contoh soal dan pembahasan kalkulus
DESCRIPTION
matematika untuk mahasiswaTRANSCRIPT
iii
DDDDAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ......................................................................... i
DAFTAR ISI ....................................................................................... iii SOAL - SOAL ....................................................................................... 2
UTS Genap 2009/2010 ................................................................................ 3
UTS Ganjil 2009/2010................................................................................ 4
UTS Genap 2008/2009 ................................................................................ 5
UTS Pendek 2008/2009 ................................................................................ 6
UTS 2007/2008 ............................................................................................ 8
UTS 2006/2007 ............................................................................................ 9
UTS 2005/2006 .......................................................................................... 10
UTS 2004/2005 .......................................................................................... 11
UTS 2003/2004 .......................................................................................... 12
UTS 2002/2003 .......................................................................................... 13
UTS 2001/2002 .......................................................................................... 14
UTS 2000/2001 .......................................................................................... 15
UTS 1999/2000 .......................................................................................... 17
PEMBAHASAN .................................................................................. 19 UTS Genap 2009/2010 .............................................................................. 20
UTS Ganjil 2009/2010.............................................................................. 24
UTS Genap 2008/2009 .............................................................................. 27
UTS Pendek 2008/2009 .............................................................................. 32
UTS 2007/2008 .......................................................................................... 39
UTS 2006/2007 .......................................................................................... 43
UTS 2005/2006 .......................................................................................... 49
UTS 2004/2005 .......................................................................................... 56
UTS 2003/2004 .......................................................................................... 60
UTS 2002/2003 .......................................................................................... 65
UTS 2001/2002 .......................................................................................... 69
UTS 2000/2001 .......................................................................................... 71
UTS 1999/2000 .......................................................................................... 76
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
2
SOAL - SOAL
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
3
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010
Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114
Jumβat, 9 April 2010
UTS Genap 2009/2010
1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
a. 14
2 2
+β€
β
x
xx
b. 25 β₯β xx
2. Diketahui ( ) xxf 2sin= dan ( ) 2β= xxg
a. Tentukan ggff RDRD dan,,,
b. Periksa apakah fg o dan gf o terdefinisi ?
c. Bila ya, tentukan fgDo
dan gfDo
3. Diketahui ( )
>β
β€<=
1,
10,
2 xxbx
xx
a
xf
Tentukan konstanta a dan b, agar ( )xf terdiferensialkan di 1=x .
4. Diketahui ( ) 53 35 xxxf β=
a. Tentukan selang kemonotonan
b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok (bila ada)
c. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya
d. Gambarkan grafiknya
No 1 2 3 4 Jumlah
Nilai Maks 10 7 8 10 35
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
4
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010
Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114
Close Book dan tanpa kalkulator
UTS Ganjil 2009/2010
1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan 312 <βx
2. Tentukan nilai a agar fungsi
( )( )
β₯+
<=
0,1
0,sin
xx
xx
ax
xf
mempunyai limit di 0=x
3. Periksa apakah fungsi
( )
β₯+
<β
β
=
1,1
1,1
12
xx
xx
x
xf
kontinu di 1=x
4. Diketahui kurva 3222=++ yxxy
a. Tentukan rumus 'y
b. Tentukan persamaan garis singgung di titik (1,1)
5. Diketahui ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )4'hitung,,44',44,24',44 hxgfxhggff =====
6. Diketahui ( )1β
=x
xxf
a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi
b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok
c. Tentukan semua asimtot
d. Sketsa grafik ( )xf
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
5
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009
Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114
Tanggal : Jumβat, 17 April 2009
UTS Genap 2008/2009
1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2121 β€β+β xx
2. Tentukan persamaan garis singgung dari 332 2=+β xxxy yang
tegak lurus dengan 01 =+β yx
3. Diberikan fungsi ( )1
32
β
+=
x
xxf . Tentukan :
a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada)
b. Selang kecekungan dan titik belok ( bila ada )
c. Asymtot
d. Grafik fungsi
4. Sebuah segiempat alasnya berimpit pada salah satu sisi sebuah
segitiga siku-siku dengan alas = 5 cm dan tinggi 6 cm, seperti
terlihat pada gambar di bawah. Berapa luas maksimal dari
segiempat tersebut.?
6 cm
5 cm
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
6
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009
Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114
Tanggal : Senin 27 Juli 2009
UTS Pendek 2008/2009
1. Cari himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut
a. 2
3
1
1
ββ₯
+ xx
b. 41
23β€
+
β
x
x
2. Diketahui fungsi ( ) 2β= xxf dan ( ) xxg β= 3
a. Cari Df, Rf, Dg, Rg
b. Periksa apakah gof terdefinisi
c. Bila ya, cari Dgof
3. a. Hitung 86
53lim
β
+
+ββ x
x
x
bila ada
b. Tentukan nilai k supaya
( )
β₯+
<=
0,23
0,tan
2 xkx
xx
kx
xf
kontinu di x = 0
4. Diketahui ( )
>+
β€+
=4,
167
4,32
xx
xx
xf
Periksa apakah ( )xf
punya turunan di x = 4
5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi 1cossin =+ xy
a. Cari nilai 'y
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
7
b. Cari persamaan garis singgung dan garis normal kurva di titik
4,
2
ΟΟ
6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh ( ) 45 5xxxf +=
a. Cari selang kemonotonan dan nilai ekstrik
b. Cari selang kecekungan dan titik belok bila ada
c. Gambar grafik ( )xf
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
8
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2007-2008
Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA1114
29 Oktober 2007
UTS 2007/2008
1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan :
a. 21
3
ββ€
+
+
x
x
x
x
b. 121
>βx
2. Diketahui ,2)( 2xxf += 1)( =xg
a. Tentukan οΏ½οΏ½, οΏ½οΏ½, οΏ½οΏ½, οΏ½οΏ½
b. Periksa apakah gof terdefinisi, jika ya tentukan ( gof )(x)
c. Tentukan Dgof
3. Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x = 1
( )
=
β
ββ
=
1;1
1;1
1sin1
)(2
x
xx
xxf
4. Diketahui x
xxxf
96)(
2+β
=
a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi
b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok (jika ada)
c. Tentukan semua asimtotnya dan titik potong terhadap sumbu x
& y (bila ada)
d. Gambarkan grafik f(x)
Soal 1 2 3 4
Nilai 10 10 8 12
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
9
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007
Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114
Senin 13 November 2006
UTS 2006/2007
1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ;
a. 512
11 <
β<β
x
b. 34
ββ₯ xx
2. Diketahui xxf =)( dan 21)( xxg β=
a. Periksa apakah fog ada ?
b. Jika fog ada, tentukan fog dan Dfog !
3. Tentukan nilai a agar 1379lim2 =+ββ
βββ
xaxxx
4. Diketahui 24
2)(
x
xxf
β= , tentukan :
a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim serta jenisnya ( jika ada )
b. Selang kecekungan dan titik belok ( jika ada )
c. Asimtot ( jika ada )
d. Sketsa grafiknya
5. Sebuah persegi panjang dibuat dalam lingkaran dengan jari-jari 4
dengan keempat titik sudutnya terleta pada lingkaran.
a. Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi suatu peubah !
b. Tentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum !
-o0o-
Selamat mengerjakan
-o0o-
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
10
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2005/2006
Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114
Senin 17 Oktober 2005
UTS 2005/2006
1. Tentukan persamaan garis singgung di dua titik potong kurva
1622=+β yxyx dengan sumbu x.
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan
( ) 4112 β€+++ xxx
3. a. Tentukan a agar 3
1349lim
2 =+++βββ
xaxxx
b. Tentukan a dan b sehingga 2)cos(
lim 20
β=+
β x
bxa
x
4. Diketahui β +
=1
)(2
x
xxf Tentukan :
a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim serta jenisnya ( jika ada)
b. Selang kecekungan dan titik belok ( jika ada )
c. Asimtot ( jika ada )
d. Sketsakan grafiknya
5. Sebuah kotak tertutup dibuat dari selembar papan segi-empat
berukuran 5 meter kali 8 meter . Ini dilakukan dengan memotong
daerah yang diarsir dari gambar di bawah dan kemudian melipat
pada garis titik-titik . berapakah ukuran x, y , dan z yang
memaksimumkan volume kotak tertutup tersebut.
x y
z
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
11
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2004/2005
Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1114
Tanggal : Senin 25 November 2004
UTS 2004/2005
1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan x
x4
3 <β
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva
43)( 22=++ xxyCosy di titik potong kurva dengan sumbu x.
3. Hitung 222
1lim
3
1 β+
β
β x
x
x
4. Diketahui 1
)(2 +
=x
xxf tentukan semua nilai ekstrim fungsi
beserta jenisnya pada selang [-Β½,2]
5. Tentukan luas maksimum dari segitiga yang terletak di dalam
parabola seperti gambar berikut ini
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
12
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2003/2004
Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314
Tanggal : Senin 6 Oktober 2003
UTS 2003/2004
1. Tentukan daerah asal dari fungsi
a. 522)( βββ= xxxf
b. 3
6)(
23
+
ββ=
x
xxxxf
2. Hitung
a. xx
x
x sin
cos1lim 2
+
βΟ
b. tentukan a agar 524lim2 =++
βββ
xaxxx
3. Periksa apakah fungsi 1
1
,22
,32)(
2
2
<
β₯
+β
+β=
x
x
xx
xxxf
terdiferensialkan di x = 1, jika ya tentukan f β(1)
4. Diketahui 1
1)(
2
β
β+=
x
xxxf
a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi beserta
jenisnya
b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok
c. Tentukan semua asimtot
d. Gambarkan grafik fungsi f(x)
5. Diketahui daerah D di kwadran pertama yang dibatasi oleh
,3,2 2xyxy β== dan sumbu y.
a. Hitung luas D
b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika D diputar terhadap
y = -1
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
13
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2002/2003
Mata kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314
Tanggal : Senin/ 11 April 2003
UTS 2002/2003
Kerjakan dengan singkat dan jelas!
Jangan lupa berdoa, sebelum mengerjakan!
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
a. xx
x<
+
β
1
1
b. 21
5 <βx
2. Diketahui fungsi 9
)(2 β
=x
xxf , tentukan :
a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim
b. Selang kecekungan dan titik belok
c. Asimtot
d. Sketsa grafik f(x)
3. Diketahui fungsi implisit 65 22β=β yxxy
a. Tentukan yβ
b. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di x = 1.
4. Diketahui daerah D dibatasi oleh .0,4, === yxxy tentukan :
a. Luas daerah D
b. Volume benda putar jika D diputae terhadap x = -1
-o0o-o0o-
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
14
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2001/2002
Mata Kuliah : Kalkulus 1 /MA-1314
Waktu :120 Menit
UTS 2001/2002
Jangan lupa berdoa sebelum mengerjakan.
Kemudian kerjakan dengan da tepat !.
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut
a. 32
7<
x
b. 342 <β<β x
2. Diketahui
bxjika
bxjika
x
x
xf>
β€
β
+
=
123
7
)(
a. Tentukan b agar f(x) kontinu !
b. Periksa apakah f differensiabel (punya turunan ) pada x = b
yang diproleh di atas !
3. Tentukan persamaan garis singgung grafik xxf 431)( β+= yang
sejajar dengan garis 332 =β yx .
4. Diketahui suatu daerah D dibatasi oleh y = x, y = 2, dan sumbu y.
Hitung :
a. luas D
b. volume benda putar jika D diputar terhadap y = -1
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
15
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2000/2001
Mata Kuliah : Kalkulus 1 (DA-1314)
Senin 23 Oktober 2000
UTS 2000/2001
1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
a. 5331 +β€β xx
b. x
x2
1<β
2. Diberikan fungsi 1
1
,
,)(
2
β₯
<
+=
x
x
qpx
xxf
a. Tentukan hubungan antara p dan q agar fungsi f kontinu di
1=x
b. Tentukan nilai p dan q agar ( )1'f ada !
3. Diberikan persamaan kurva 232
32
=+ yx
a. Tentukan dx
dy di titik (1,-1)
b. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada
kurva tersebut yang melalui titik (1,-1).
4. Hitunglah
a. x
dttx
x
x sinlim
2
0
β«
β
b. β«β
1
1
dxx
x
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
16
KERJAKANLAH SOAL NO 5 ATAU 6 (salah satu saja )
5. Diberikan fungsi 2
2
)1(
1)(
+
β=
x
xxf
a. Tetukan selang kemonotonan dan titik ekstrimnya (jika ada)
b. Tentukan selang kecekungan dan titik beloknya
c. Carilah semua asimtotnya
d. Sketsalah grafiknya
6. Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva 2)4( β= xy , garis
4=y , sumbu x dan sumbu y.
a. Gambarkan (arsir) daerah R dan hitunglah luasnya
b. Hitunglah volume bennda putar bila R diputar mengelilingi
sumbu x.
Selamat Mengerjakan
Teriring doβa Kami Untuk Keberhasilan Anda
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
17
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 1999/2000
Mata Kuliah : Kalkulus 1 /DA-1314
Tanggal : Senin 1 November 1999
UTS 1999/2000
1. Tentukan himpunan jawab : 32
β€+x
x
2. a. Hitung 52
52lim
2
+
+β
βββ x
xx
x
b. Diketahui ,25103)( 2 +ββ€β xxxg tentukan )(lim5
xgxβ
3. Diketahui 1)( 2β= xxf dan xxg += 1)(
a. Buktikan gof terdefinisi !
b. Tentukan persamaan dan asal daerah fungsi gof !
4. Diketahui
β€+β
>β
β+
=
317
33
152
)(2
2
xxqx
xx
pxx
xf
tentukan konstanta p dan q supaya f(x) kontinu di x = 3
5. Diketahui kurva 2)3( 22=+β yx
a. Tentukan yβ
b. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva, dimana garis
singgung tersebut tegak lurus pada garis y = x
6. f(x) adalah fungsi kontinu , dan f(0) = f(2) = 0. Jika grafik
( )xfy '= seperti gambar di bawah ini
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
18
a. Tentukan selang kemonotonan f(x)
b. Tentukan selang kecekungan f(x)
c. Buat sketsa grafik f(x)
Selamat Bekerja
Ebs-tza-jdn-mhd-rmi-wdt
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
19
PEMBAHASAN
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
20
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010
Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114
Jumβat, 9 April 2010
UTS Genap 2009/2010 1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
a. 14
22
+β€
β
x
xx
04
2
1
2
β₯β
β+
x
x
x
( )( )( )
014
2142
β₯+
β+β
x
xxx
( )( )
014
2422
β₯+
βββ
x
xxx
( )0
14
232
β₯+
++
x
xx
Karena 23 2 ++ xx definit positif, maka jelas bahwa
pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika
01 >+x yaitu 1β>x . Jadi himpunan penyelesaian yang
dimaksud adalah { }1β>xx .
b. ( )ixx ....25 β₯β
Dengan menggunakan definisi dari nilai mutlak untuk 5βx , kita
peroleh untuk 5β₯x pertaksamaan (i) secara berturut turut
diselesaikan sebagai berikut
( ) 25 β₯β xx
252 β₯β xx
( ) ( ) 22
252
25 β₯ββx
( )4332
25 β₯βx
3321
25 β₯βx
333321
25
21
25 ββ€ββ₯β xataux
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
21
333321
25
21
25 ββ€βͺ+β₯ xx
yang memberikan penyelesaian
( ){ } { }.335333321
2
5
21
2
5
21
2
51 +β₯=β₯β©ββ€βͺ+β₯= xxxxxxHp
Sedangkan untuk ,5<x pertaksamaan (i) secara berturut turut
menjadi
( ) 25 β₯ββ xx
252 β₯+β xx
252 ββ€β xx
( ) ( ) 22
252
25 ββ€ββx
( )4
172
25 β€βx
1721
25 β€βx
171721
25
21 β€ββ€β x
171721
25
21
25 +β€β€β x
yang memberikan penyelesaian
{ } { }1717517172
1
2
5
2
1
2
5
2
1
2
5
2
1
2
52 +β€β€β=<β©+β€β€β= xxxxxHp
Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (i) secara
keseluruhan adalah
21 HpHpHp βͺ= ( ){ }33171721
25
21
25
21
25 +β₯βͺ+β€β€β= xxx .
2. Diberikan ( ) xxf 2sin= dan ( ) 2β= xxg
a. Menentukan ggff RDRD dan,,,
),0[dan),,2[],1,1[, β=β=β=β= ggff RDRD
b. Memeriksa apakah fg o dan gf o terdefinisi
Harus kita selidiki masing masing secara berturut turut apakah
{ }β β© gf DR dan { }β β© fg DR .
Dengan menggunakan hasil pada poin sebelumnya diperoleh
{ }=β© gf DR yang menunjukkan bahwa fg o tidak terdefinisi,
sedangkan { }β β=β© ),0[fg DR yang menandakan bahwa
gf o terdefinisi.
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
22
c. Menetukan fgDo
dan gfDo
Karena fg o tidak terdefinisi, maka fgDo
tidak dapat
ditentukan. Selanjutnya menurut definisi diperoleh
( ){ }fggf DxgDxD ββ=o
{ }Rxx ββββ= 2),2[
{ }022 β₯ββ₯= xx { }2β₯= xx
3. Diberikan ( )
>β
β€<=
1,
10,
2 xxbx
xx
a
xf
Syarat perlu agar f terdiferensialkan di x = 1 adalah f harus kontinu
di titik tersebut. Kekontinuan ini dijabarkan dan memberikan hasil
( ) ( ) ( )1limlim11
fxfxfxx
==+β ββ
, yaitu 1β= ba atau ( )*1+= ab
Kemudian dengan mempertimbangkan syarat cukup agar f
terdiferensialkan di x = 1 dan dengan menggunakan (*), secara
berturut turut kita peroleh
( ) ( )11 ''+β = ff
( ) ( ) ( ) ( )1
1lim
1
1lim
11 β
β=
β
β
+β ββ x
fxf
x
fxf
xx
1lim
1lim
2
11 β
ββ=
β
β
+β ββ x
axbx
x
a
x
xa
x
( )( )
( )1
1lim
1
1lim
2
11 β
ββ+=
β
β
+β ββ x
axxa
xx
xa
xx
( )( )( )1
11limlim
11 β
β++=β
+β ββ x
xaxa
x
a
xx
( )( )axaax
++=β+β
1lim1
12 +=β aa
31β=a
Dengan demikian 32=b
Jadi agar f terdiferensialkan di x = 1 maka haruslah 31β=a dan
32=b
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
23
4. Diberikan ( ) 53 35 xxxf β=
a. Menentukan selang kemonotonan
( ) ( )( )xxxxxxf +β=β= 11151515' 242
- f monoton naik jika ( ) 0' >xf yaitu pada selang ( ) ( )1,00,1 βͺβ
- f monoton turun jika ( ) 0' <xf yaitu pada ( ) ( )ββͺβββ ,11,
b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok
( ) ( ) ( )( )xxxxxxxxf 21213021306030" 23 +β=β=β=
- f cekung ke atas jika ( ) 0" >xf yaitu pada ( ) ( )2
1
2
1 ,0, βͺβββ
- f cekung ke bawah jika ( ) 0" <xf yaitu pada ( ) ( )0,0,2
1
2
1 βͺβ
- karena pada pada 0dan,,2
1
2
1 =β== xxx terjadi
perubahan kecekungan serta ( ) ( ) ( )0dan,,2
1
2
1 fff β masing
masing ada, maka ketiga titik ( )24
7
2
1 , , ( )24
7
2
1 ,ββ , dan
(0,0) adalah titik belok.
c. Menentukan nilai ekstrim
dan jenisnya
Titik (-1,-2) merupakan titik
minimum lokal karena
( ) 01' =βf dan ( ) 01" >βf ,
sedangkan titik (1,2)
merupakan titik maksimum
lokal karena ( ) 01' =f dan
( ) 01" <f
d. Grafik ( ) 53 35 xxxf β=
ditunjukkan pada gambar di
samping
0 11β
ββββ++++++ββββ
02
1
2
1β
βββ+++βββ++++β’ β’ β’
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
24
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010
Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114
UTS Ganjil 2009/2010
1. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan .312 <βx
Pertaksamaan tersebut setara dengan 313 2 <β<β x . Kasus
312 β>βx disederhanakan menjadi 22 β>x yang akan selalu
terpenuhi untuk setiap βx β. Sedangkan kasus 312 <βx secara
berturut turut diselesaikan sebagai berikut
312 <βx
42 <x
2<x
22 <<β x
Jadi himpunan penyelesaian bagi pertaksamaan di atas adalah
{ } { }2222 <<β=<<ββ©ββ xxxxx
2. Diberikan ( )( )
β₯+
<=
0,1
0,sin
xx
xx
ax
xf
Agar f memiliki limit di x = 0 maka haruslah ( ) ( )*limlim00
xfxfxx +β ββ
=
Ekspresi pada ruas kiri (*) memberikan
( )( )x
axxf
xx
sinlimlim
00 ββ ββ
=( ) ( )
0;sin
limsin
lim00
β ===ββ β
aaax
axa
ax
axa
axx
,
sedangkan dari ruas kanan (*) diperoleh
( ) ( ) 11limlim00
=+=++ ββ
xxfxx
.
Kesimpulannya a harus bernilai 1 agar f memiliki limit di x = 0.
3. Memeriksa apakah fungsi di bawah berikut kontinu di x = 1.
( )
β₯+
<β
β
=
1,1
1,1
12
xx
xx
x
xf
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
25
Jangan terkecoh dengan kerumitan dari penampakan fungsi f.
Perhatikan bahwa untuk 1<x berlaku
( )( )1
1
11
1
12
+=β
+β=
β
βx
x
xx
x
x
(βpencoretanβ 1βx pada langkah di atas adalah benar karena 1β x ).
Dengan demikian sebenarnya kita telah menunjukkan bahwa
( ) 1+= xxf untuk setiap x, dan telah kita ketahui bersama bahwa
fungsi ini kontinu pada β, khususnya pada x = 1.
4. Diketahui kurva 3222 =++ yxxy
a. Menentukan rumus 'y
Dengan menurunkan kedua ruas persamaan kurva yang diberikan
secara implisit terhadap x, kemudian menyelesaikannya untuk
,'y maka secara berturut turut diperoleh hasil berikut
0'22'22 =+++ yyxxyyy
22'2'2 yxyyxyy ββ=+
( ) 22'22 yxyyxy ββ=+
yxy
yxy
22
2'
2
+
+β=
b. Menentukan persamaan garis singgung di titik (1,1)
Dengan melakukan subtitusi pada hasil dari bagian sebelumnya
diperoleh kemiringan garis singgung di titik (1,1) yaitu 43β .
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah ( )1143 ββ=β xy
atau 47
43 +β= xy
5. Mengevaluasi ( )4'h jika diketahui ( ) ,44 =f ( ) ,24' =f ( ) ,44 =g
( ) ,44' =g ( ) ( )( )xgfxh =dan
Penerapan aturan rantai pada ( )xh menghasilkan ( ) ( )( ) ( ).''' xgxgfxh =
Dengan demikian ( ) ( )( ) ( )4'.4'4' ggfh = ( ) ( ) 84.24'.4' === gf
6. ( )( )
1;1
11
1
11
1β
β+=
β
+β=
β= x
xx
x
x
xxf
a. Menentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
26
( )( )2
1
1'
ββ=
xxf
Karena ( ) 0' <xf untuk setiap 1β x , maka f selalu turun pada
(-β,β)/{1}. Ini juga menegaskan bahwa f tidak memiliki nilai
ekstrim.
b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok
( )( )3
1
2"
β=
xxf
f cekung ke atas jika ( ) 0" >xf yaitu untuk 1>x , dan cekung ke
bawah jika ( ) 0" <xf yaitu untuk 1<x .f tidak memiliki titik belok.
c. Menentukan asimtot
- Asimtot datar/miring (berbentuk y = ax +b)
x
xfa
x
)(lim
ββ
= 01
11
1lim =
β+=
ββ xxx
axxfbx
β=ββ
)(lim 11
11lim =
β+=
ββ xx jadi f memiliki asimtot datar
yaitu 1=y
- Asimtot tegak (berbentuk x = c)
Karena ( ) β=β
xfxlim
1
maka x = 1 merupakan asimtot tegak.
d. Sketsa grafik ( )xf
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
27
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009
Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114
Jumβat, 17 April 2009
UTS Genap 2008/2009 1. Menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
( )ixx ......2121 β€β+β
Menurut definisinya
( )
<ββ
β₯β=β
1;1
1;11
xx
xxx
( )
<ββ
β₯β=β
21;12
21;1212
xx
xxx
Sehingga :
- untuk 21<x (i) menjadi
( ) ( ) 2121 β€ββββ xx
03 β€β x
0β₯x Jadi untuk 21<x
pertidaksamaan (i) memiliki himpunan
penyelesaian ( ) ( ){ } { }2102101 <β€=<β©β₯= xxxHp
- untuk 121 <β€ x (i) menjadi
( ) ( ) 2121 β€β+ββ xx
2β€x
( ) ( ){ } { }12112122 <β€=<β€β©β€= xxxHp
- untuk 1β₯x (i) menjadi
( ) ( ) 2121 β€β+β xx
43 β€x
34β€x
( ) ( ){ } { }3411343 β€β€=β₯β©β€= xxxHp
Dengan demikian himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah
{ }340321 β€β€=βͺβͺ= xHpHpHpHp (ans)
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
28
2. Menentukan persamaan garis singgung dari 332 2=+β xxxy yang
tegak lurus dengan garis xβy+1 = 0.
Kita tahu bahwa yβ merupakan gradient dari garis yang
menyinggung kurva. Karena garis singgung yang dimaksud tegak
lurus dengan garis 01 =+β yx yang memiliki kemiringan 1, maka
gradient garis singgung yang kita cari haruslah yβ= -1/1 = -1.
Kemudian dengan menurunkan persamaan kurva yang diberikan
secara implisit terhadap x dan menyelesaikannya untuk yβ diperoleh
secara berturut turut hasil berikut
( ) ( )332 2xx DxxxyD =+β
034' =+β+ xxyy
34' ββ= yxxy
x
yxy
34'
ββ=
Karena garis singgung yang akan dicari memiliki kemiringan -1,
maka kita memperoleh
134
β=ββ
x
yx
xyx β=ββ 34
35 β= xy
Substitusikan ke persamaan kurva awal memberikan
332)35( 2=+ββ xxxx
33 2 =x 1Β±=x
untuk 1=x diperoleh
2=y dan untuk 1β=x diperoleh 8β=y .
Jadi kita memiliki 2 buah titik singgung yakni (1,2) dan (-1,-8).
- Di titik (1,2) persamaan garis singgungnya adalah
( )12 ββ=β xy atau 3+β= xy (ans)
- Di titik (-1,-8) persamaan garis singgungnya adalah
( )18 +β=+ xy atau 9ββ= xy (ans)
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
29
( )xf "1o
++++++++βββββββββ
3. Diberikan fungsi ( )1
32
β
+=
x
xxf .
a. Menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada)
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )22
2
2
22
2
2
1
13
1
32
1
322
1
312'
β
+β=
β
ββ=
β
βββ=
β
+ββ=
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxxxf
- f(x) monoton naik jika ( ) 0' >xf yaitu pada (-β,-1) dan (3,β)
- f(x) monoton turun jika ( ) 0' <xf yaitu pada (-1,1) dan (1,3)
- Karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -1 (+ οΏ½ -) dan
f(-1) ada maka titik (-1,f(-1)) = ( -1,-2) merupakan titik
maksimum lokal. Selain itu terjadi pula perubahan
kemonotonan pada x = 3 (- οΏ½ +) dan f(3) ada sehingga
(3,f(3)) = (3,6) merupakan titik minimum lokal.
b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok ( bila ada )
( )( )( ) ( )( )
( )4
22
1
3212122"
β
ββββββ=
x
xxxxxxf
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )33
22
3
22
1
8
1
322122
1
32212
β=
β
βββ+β=
β
ββββ=
xx
xxxx
x
xxx
- f(x) cekung ke atas jika ( ) 0" >xf yaitu pada selang (1,β)
- f(x) cekung ke bawah jika ( ) 0" <xf yaitu pada selang (-β,1)
- f tidak memiliki titik belok. Walaupun terjadi perubahan
kecekungan di titik x = 1 , tetapi f(1) tidak ada, sehingga x =1
bukanlah titik belok..
o1β 1
( )xf 'βββ +++o o
3
βββ+++
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
30
c. Menentukan Asimtot
- Asimtot datar/miring (berbentuk y = ax +b)
x
xfa
x
)(lim
ββ
=xx
x
x )1(
3lim
2
β
+=
ββ xx
x
x β
+=
ββ2
2 3lim
11
1
31
lim1
1
31
lim
2
2
2
2
=
β
+
=
β
+
=ββββ
x
x
xx
xx
xx
axxfbx
β=ββ
)(lim xx
x
x
ββ
+=
ββ 1
3lim
2 ( )1
13lim
2
β
ββ+=
ββ x
xxx
x
1
3lim
β
+=
ββ x
x
x
11
41lim =
β+=
ββ xx
jadi f memiliki asimtot miring ( )0β a yaitu 1+= xy (ans)
- Asimtot tegak (berbentuk x = c)
Karena ( ) β=β
+=
ββ 1
3limlim
2
11 x
xxf
xx
maka x = 1 merupakan
asimtot tegak. (ans)
d. Grafik fungsi
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
31
6
5x
y
P
x
y
l
4. Menentukan luas maksimal segi empat seperti pada gambar di
samping.
perhatikan gambar di samping !
Titik P dapat bergerak sepanjang garis l .
persamaan garis l adalah
50
5
06
0
β
β=
β
β xy 6
5
6+β=β xy
Luas segi empat yang diarsir adalah
( ) tinggialasxL .=
( ) 50;65
66
5
6. 2 β€β€+β=
+β== xxxxxyxxL
Nilai maksimum ( )xL terletak pada titik kritisnya, yaitu pada titik
stasioner atau pada ujung interval domain ( )xL . Titik stasioner
terjadi ketika ( ) 0' =xL yakni
2
5
5
12 06 =β=+β xx
Jadi sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis, yaitu 2
5=x yang
berasal dari titik stasioner dan x = 0, x = 5 yang berasal dari ujung
interval domain L(x) . untuk mengetahui nilai maksimum dari L(x),
kita evaluasi nilai L(x) pada titik - titik kritis tersebut, yakni
( )2
15
2
5 =L ,
( ) 00 =L ,
( ) 05 =L .
jadi L(x) mencapai nilai maksimum pada 2
5=x dengan luas 2
15 .
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
32
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009
Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114
Tanggal : Senin 27 Juli 2009
UTS Pendek 2008/2009 1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
a. 2
3
1
1
ββ₯
+ xx
02
3
1
1β₯
ββ
+ xx
0)2)(1(
)1(32β₯
β+
+ββ
xx
xx
0)2)(1(
52β₯
β+
ββ
xx
x
( )ans212
5
<<ββͺββ€= xxxHp
b. ( )ix
x.................4
1
23β€
+
β
Alternatif -1 (Menggunakan definisi )
Menurut definisinya
<+
β
+
ββ
β₯+
β
+
β
=+
β
01
23;
1
23
01
23;
1
23
1
23
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
atau
>βͺβ<+
ββ
β€<β+
β
=+
β
2
3
2
3
1;1
23
1;1
23
1
23
xxx
x
xx
x
x
x
β’ o o
25β 1β 2
++++++++ ββββ ββββ
β’o
231β
++++++βββββx
x
+
β
1
23βββββ
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
33
- Untuk 2
31 β€<β x pertidaksamaan (i) di atas menjadi
41
23β€
+
β
x
x
041
23β€β
+
β
x
x
01
)1(423β€
+
+ββ
x
xx
01
16β€
+
ββ
x
x
pertidaksamaan terakhir ini terpenuhi jika 611 ββ₯βͺβ< xx ,
sehingga untuk 2
31 β€<β x himpunan penyelesaian (i) adalah
( ) ( ){ }2
3
6
11 11 β€<ββ©ββ₯βͺβ<= xxxxHp { }
2
3
6
1 β€β€β= xx .
- Untuk 2
31 >βͺβ< xx pertidaksamaan (i) menjadi
41
23β€
+
ββ
x
x
041
23β€β
+
ββ
x
x
01
)1(423β€
+
++ββ
x
xx
01
72β₯
+
+
x
x
pertidaksamaan terakhir ini terpenuhi jika
127 β>βͺββ€ xx sehingga
( ) ( ){ }2
3
2
72 11 >βͺβ<β©β>βͺββ€= xxxxxHp
{ }2
3
2
7 >βͺββ€= xxx
Jadi himpunan penyelesaian dari (i) yang dimaksud adalah
21 HpHpHp βͺ= { }( )ans
61
67 ββ₯βͺββ€= xxx
β’o
61β1β
++++++βββββx
x
+
ββ
1
16βββββ
β’ o
27β 1β
+++++
x
x
+
+
1
72βββββ+++++
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
34
Aternatif -2 (Menggunakan sifat)
41
23β€
+
β
x
x
2
2
41
23β€
+
β
x
x
041
23 2
2
β€β
+
β
x
x
041
234
1
23β€
+
+
β
β
+
β
x
x
x
x
01
)1(423
1
)1(423β€
+
++β
+
+ββ
x
xx
x
xx
0)1(
)72)(16(2
β€β +
+ββ
x
xx
Jadi himpunan penyelesaian bagi (i) adalah
{ }( )ans61
27 ββ₯βͺββ€= xxxHp
Alternative -3 (menggunakan sifat lain)
41
23β€
+
β
x
x
41
234 β€
+
ββ€β
x
x
pertaksamaan ini setara dengan
41
23ββ₯
+
β
x
x dan 4
1
23β€
+
β
x
x β¦β¦β¦...(iii)
pertaksamaan sebelah kiri (iii) menjadi
041
23β₯+
+
β
x
x
01
)1(423β₯
+
++β
x
xx
β’ o
27β
1β 61β
++++++++ββββ βββββ’
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
35
01
72β₯
+
+
x
x
{ }12
71 β>βͺββ€= xxHp
Sedangkan pertaksamaan sebelah kanan (iii) menjadi
41
23β€
+
β
x
x
041
23β€β
+
β
x
x
01
)1(423β€
+
+ββ
x
xx
01
16β€
+
ββ
x
x
{ }61
2 1 ββ₯βͺβ<= xxHp
Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah
21 HpHpHp β©=
{ }( )ans6
1
2
7 ββ₯βͺββ€= xx
2. Diberikan fungsi ( ) 2β= xxf dan ( ) xxg β= 3
a. Menentukan Df, Rf, Dg, Rg
),2[ β=fD , ),0[ β=fR
]3,(ββ=gD , ),0[ β=gR
b. Memeriksa apakah gof terdefinisi
Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah { }β β© gf DR .
Berdasarkan hasil pada poin sebelumnya kita memiliki
{ }β =βββ©β=β© ]3,0[]3,(),0[gf DR yang menunjukkan
bahwa gof terdefinisi. (ans)
β’ o
27β 1β
+++++
x
x
+
+
1
72βββββ+++++
β’o
61β1β
++++++βββββx
x
+
ββ
1
16βββββ
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
36
c. Menentukan Dgof
Menurut definisinya
( ){ }gfgof DxfRxD ββ= { }]3,(2),0[ ββββββ= xx
{ } { }920320 β€ββ₯=β€ββ₯= xxxx
{ }110 β€β₯= xx
{ } ( )ans110 β€β€= x
3. a. Menghitung 3
86
53lim
β
+
+ββ x
x
x
3
86
53lim
β
+
+ββ x
x
x
( )( )
38
5
6
3lim
x
x
x x
x
β
+=
+ββ
( )( )
38
5
6
3lim
x
x
x β
+=
+ββ
321= (ans)
b. Menentukan k agar ( )
β₯+
<=
0;23
0;tan
2 xkx
xx
kx
xf kontinu di x = 0
Agar f kontinu di x = 0 maka harus berlaku
( ) ( ) ( )0limlim00
fxfxfxx
==β+β
ββ
Kekontinuan kiri f di x = 0 dijabarkan sebagai berikut
( ) ( )0lim0
fxfx
=ββ
2
0
2tan
lim kx
kx
x
=ββ
22kk =
02 2 =β kk
( ) 012 =βkk
2
1atau0 == kk
Jadi agar f kontinu di x = 0 maka haruslah { }2
1,0βk (ans)
4. Memeriksa apakah fungsi berikut memiliki turunan di x = 4
( )
>+
β€+
=4,
167
4,32
xx
xx
xf
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
37
Untuk mengetahuinya harus kita periksa apakah ( ) ( )44 ''+β = ff
.
Sekarang
( )( ) ( )
4
4lim4
4
'
β
β=
βββ
x
fxff
x
24
)4(2lim
4
82lim
4
1132lim
444
=β
β=
β
β=
β
β+=
βββ βββ x
x
x
x
x
x
xxx Sedangkan
( )( ) ( )
4
4lim4
4
'
β
β=
+β+
x
fxff
x
4
416
lim4
416
lim4
1116
7
lim444 β
β
=β
β
=β
β+
=+++ βββ x
x
x
x
x
x
x
xxx
( )
( )1
4
44lim
4
β=β
ββ=
+β xx
x
x
Karena ( ) ( )44 ''+β β ff maka f tidak tidak memiliki turunan di x = 4
5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi 1cossin =+ xy
a. Menentukan nilai 'y
( ) ( )1cossin xx DxyD =+
0sincos' =β xyy
xyy sincos' =
( )anscos
sin'
y
xy =
b. Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva
di titik ( )42
, ΟΟ
Di titik ( )42
, ΟΟ 22
1'
21
==y
Sehingga persamaan garis singgung di titik ( )42
, ΟΟ
adalah
( )24
2 ΟΟ β=β xy atau ( )Ο2221
41 β+= xy . (ans)
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
38
Sedangkan persamaan garis normal di titik ( )42
, ΟΟ
adalah
( )22
14
ΟΟ ββ=β xy atau ( )
Ο4
21
2
1 2+
+β= xy .(ans)
6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh ( ) 45 5xxxf +=
a. Menentukan selang kemonotonan dan nilai ekstrim
( ) ( )45205' 334+=+= xxxxxf
- f(x) monoton naik jika ( ) 0' >xf yaitu pada selang (-β,-4)
dan (0,β)
- f(x) monoton turun jika ( ) 0' <xf yaitu pada selang (-4,0)
- karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -4 (+ οΏ½ -) dan
f(-4) ada maka titik (-4,f(-4)) = ( -4,256) merupakan titik
maksimum lokal. Selain itu terjadi pula perubahan
kemonotonan pada x = 0 (- οΏ½ +) dan f(0) ada sehingga
(0,f(0)) = (0,0) merupakan titik minimum lokal.
b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok bila ada
( ) )3(206020" 223+=+= xxxxxf
- f(x) cekung ke atas jika ( ) 0" >xf
yaitu pada selang (-3,0) dan (0,β)
- f(x) cekung ke bawah jika
( ) 0" <xf yaitu pada selang (-β,3)
- Karena terjadi perubahan
kecekungan pada x = -3 dan f(-3)
ada maka titik (-3,f(-3))=(-3,162)
merupakan titik belok.
c. Grafik ( )xf diperagakan di samping
o4β 0
+++++( )xf '
βββββ+++++o
o3β 0
+++++( )xf "
βββββ +++++o
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
39
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2007-2008
Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA1114
Tanggal : 29 Oktober 2007
UTS 2007/2008
1. Menentukan Himpunan Pertidaksamaan :
a. 21
3
ββ€
+
+
x
x
x
x
021
3β€
ββ
+
+
x
x
x
x
0)2)(1(
)1()2)(3(β€
β+
+ββ+
xx
xxxx
0)2)(1(
632 22
β€β+
βββ+β
xx
xxxxx
0)2)(1(
6β€
β+
β
xx
{ }21 >βͺβ<= xxxHp
b. 121
>βx
2
2
121
>βx
0121 2
2
>β
β
x
0121
121
>
+β
ββ
xx
011
31
>
β
β
xx
0)1)(31(
2>
ββ
x
xx
{ }1)0()0(3
1 >βͺ<<βͺ<= xxxxHp
β’ β’ 1
+ + + + + + + - - - - - - - - + + +
3/1β’
0
β’ β’ -1 2
- - - - - + + + + + + - - - -
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
40
2. Diketahui ,2)(2
xxf += 1)( =xg
a. Menentukan οΏ½οΏ½, οΏ½οΏ½, οΏ½οΏ½, οΏ½οΏ½
- )ans(RD f =
- Untuk setiap Rx β berlaku
02 β₯x 22 2 β₯+ x
2)( β₯xf Sehingga [ ) )ans(,2 β=fR
- )ans(RDg =
- { } )ans(1=gR
b. Memeriksa apakah gof terdefinisi dan menentukan gof jika
terdefinisi.
Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah { }β β© gf DR . Dari
hasil pada poin sebelumnya kita memiliki
[ ) [ ) { }β β=β©β=β© ,2,2 RDR gf yang menunjukkan bahwa
gof terdefinisi (ans).
Selanjutnya ))(()( xfgxfgo = )ans(,1)2( 2 =+= xg
c. Menentukan Dgof
Menurut definisinya,
{ }gfgof DxfDxxD ββ= )(, { }RxRxx β+β= 2, 2
{ }RxRxx ββ= , { } )ans(Rxx β=
3. Memeriksa apakah ( )
=
β
ββ
=
1;1
1;1
1sin1
)(2
x
xx
xxf
kontinu di x = 1.
Untuk mengetahuinya harus diperiksa apakah )1()(lim1
fxfx
=β
.
Sekarang perhatikan bahwa untuk sembarang nilai x kecuali x =1
berlaku
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
41
β’ β’ 3
+ + + + - - - - - - - - - - - + + + + β’ 0 -3
11
1sin1 β€
ββ€β
x
( ) ( ) ( )2221
1
1sin11 ββ€
βββ€ββ x
xxx
( ) ( ) ( )2211 ββ€β€ββ xxfx
Selanjutnya ( ) 01lim2
1
=βββ
xx
dan ( ) 01lim2
1
=ββ
xx
, sehingga
menurut teorema apit ( ) 0lim1
=β
xfx
. Jadi karena ( ),10)(lim1
fxfx
β =β
maka f tidak kontinu di x = 1.
4. Diketahui x
xxxf
96)(
2+β
=
a. Menentukan selang keonotonan dan titik ekstrim
2
2 )96()62()('
x
xxxxxf
+βββ=
2
22)9662
x
xxxx β+ββ=
2
2 9
x
x β=
2
)3)(3(
x
xx +β=
- f monoton naik jika ( )xf ' > 0, yaitu pada selang
( ) ( )ββͺβββ ,33,
- f monoton turun jika ( )xf ' < 0, yaitu pada selang
( ) ( )3,00,3 βͺβ
- Karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -3(+ οΏ½ -) dan
f(-3) ada , maka titik (-3,f(-3)) = (-3,-12) merupakan titik
maksimum lokal. Karena terjadi perubahan kemonotonan di
x =3 (+ οΏ½ -), maka titik (3,f(3)) = (3,0) merupakan titik
minimum lokal.
b. Menentukan selang kecekungan
22
2 91
9)('
xx
xxf β=
β=
3
18)(''
xxf =
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
42
- f cekung ke atas jika ( ) 0" >xf , yaitu untuk 0>x
- f cekung ke bawah jika ( ) 0" <xf , yaitu pada selang ( )0,ββ
- f tidak memiliki titik belok.
c. Menentukan Asimtot
- Asimtot datar / miring (berbentuk y = ax + b)
196
1lim96
lim)(
lim22
2
=
+β=
+β==
ββββββ xxx
xx
x
xfa
xxx
x
xxxx
x
xxaxxfb
xxx
222 96lim
96lim)(lim
β+β=β
+β=β=
ββββββ
69
696
limlim β=+β=+β
=ββββ xx
x
xx
Jadi f memiliki asimtot miring yaitu y = x β 6
- Asimtot tegak ( berbentuk x = c)
Karena β=+β
=ββ
2
2
00
96lim)(lim
x
xxxf
xx
, maka 0=x
merupakan asimtot tegak dari f.
d. Grafik f(x)
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
43
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007
Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114
Senin 13 November 2006
UTS 2006/2007 1. Menentukan himpunan penyelesaian dari :
a. 512
11 <
β<β
x
Pertaksamaan ini setara dengan
112
1β>
βx dan 5
12
1<
βxβ¦β¦....(i)
pertidaksamaan sebelah kiri pada (i) menjadi
012
)12(1>
β
β+
x
x
012
2>
βx
x
{ }2/101 >βͺ<= xxxHp
pertidaksamaan sebelah kanan pada (i) menjadi
012
)12(51<
β
ββ
x
x
012
106<
β
β
x
x
{ }5/32/12 >βͺ<= xxxHp
Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah
21 HpHpHp β©= { } )ans(5/30 >βͺ<= xxx
b. 34
ββ₯ xx
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..(ii)
Menurut definisinya
<ββ₯
=0;
0;xx
xxx
1/2 oo
0
+ + + + + - - - - - + + + +
3/5 oo
1/2
- - - - - + + + + + - - - - -
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
44
sehingga : - untuk 0β₯x (ii) menjadi
34
ββ₯ xx
( )0
34β₯
ββ
x
xx
( )0
432
β₯βββ
x
xx
( )( )0
14β€
+β
x
xx
Pertaksamaan terakhir ini terpenuhi untuk
401 β€<βͺββ€ xx , sehingga himpunan penyelesaian bagi (ii)
untuk 0β₯x adalah
( ){ } ( ){ }4004011 β€<=β₯β©β€<βͺββ€= xxxxxxHp
- untuk 0<x (ii) menjadi
34
ββ₯β
xx
( )0
34β₯
βββ
x
xx
( )0
432
β€+β
x
xx
Karena 432 +β xx definit positif maka jelas pertaksamaan
terakhir akan terpenuhi jika 0<x . Sehingga himpunan
penyelesaian untuk (ii) adalah
{ } { }0002 <=<β©<= xxxxxHp
Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir untuk (ii) adalah
{ }0;421 β β€=βͺ= xxxHpHpHp (ans)
2. Diberikan xxf =)( dan 21)( xxg β=
a. Memeriksa apakah fog terdefinisi
Untuk memeriksanya kita selidiki apakah { }.β β© fg DR
β’ β’β’
1β 0 4
+++βββββ+++βββ
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
45
[ ) [ )β=β= ,0,,0 ff RD , RDg =
Sekarang perhatikan bahwa untuk setiap Rx β berlaku
02 β₯x
02 β€β x
11 2 β€β x
,1)( β€xg
Dengan demikian ( ]1,ββ=gR . Kemudian karena
( ] [ )ββ©ββ=β© ,01,fg DR [ ] { }β = 1,0 , maka fog terdefinisi/ada.
b. Menentukan fog dan Dfog
))(()( xgfxgfo =22
1)1( xxf β=β=
Menurut definisinya
{ }fgfog DxgDxRxD βββ= )(,
[ ){ }βββββ= ,01, 2xRxRx
{ }01 2 β₯ββ= xRx
{ }12 β€β= xRx
{ }1β€β= xRx
{ }11 β€β€ββ= xRx
3. Menentukan a agar 1379 2lim =+ββ
βββ
xaxxx
1379lim2 =+ββ
βββ
xaxxx
1379
379379lim
2
22 =
βββ
βββ
+ββ
βββ xaxx
xaxxxaxx
x
1379
979lim
2
22
=βββ
βββ
βββ xaxx
xaxx
x
1
37
9
7lim
2
=
βββ
ββ
βββ
xxx
ax
ax
x
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
46
1
37
9
7
lim
2
=
ββββ
ββ
βββ
xxx
ax
xax
x
1
37
9
7
lim
2
=
ββββ
ββ
βββ
xx
a
xa
x
139
=ββ
β a 6=β a
4. Diberikan 24
2)(
x
xxf
β=
a. Menentukan selang kemonotonan
22
2
)4(
2)2()4(2)('
x
xxxxf
β
βββ=
22
22
)4(
428
x
xx
β
+β=
22
2
)4(
82
x
x
β
+=
)(' xf selalu bernilai positif untuk setiap nilai x, (x β Β± 2). Ini
berarti f(x) selalu naik pada interval (-β,β)/{Β±2}. Fakta ini juga
menunjukkan bahwa f(x) tidak memiliki nilai ekstrim .
b. Menentukan selang kecekungan
42
2222
)4(
)82)(2)(4(2)4(4)(''
x
xxxxxxf
β
+ββββ=
32
22
)4(
)82(4)4(4
x
xxxx
β
++β=
32
33
)4(
328416
x
xxxx
β
++β=
33
3
)2()2(
484
xx
xx
+β
+=
33
2
)2()2(
)12(4
xx
xx
+β
+=
- f(x) cekung ke atas jika 0)('' >xf , yaitu pada interval
2β<x dan 20 << x
+ + + + + - - - - - + + + + + - - - - -
-2 0 2
f β(x)
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
47
- f(x) cekung ke bawah jika 0)('' <xf , yaitu pada interval
02 <<β x dan 2>x
- Karena terjadi perubahan kecekungan pada x = 0 dan f(0) ada,
maka titik (0,f(0)) = (0,0) adalah titik belok.
c. Menentukan asimtot
- Asimtot datar/miring (berbentuk y = ax +b)
0)4(
2lim
)4(
2lim
)(lim 22
=β
=β
==ββββββ xxx
x
x
xfa
xxx
( )0
1
0
14
2
lim)4(
2lim)(lim
22
2
2=
β=
β
=β
=β=ββββββ
xx
xx
x
xaxxfb
xxx
Dengan demikian f(x) memiliki asimtot datar yaitu berupa
garis y = 0.
- Asimtot tegak ( berbentuk x = c )
Karena β=β
β=β βββ
22
22 4
2limdan,
4
2lim
x
x
x
x
xx
maka f(x) memiliki
dua asimtot tegak yaitu x = 2 dan x = -2
d. Grafik f(x)
24
2)(grafik
x
xxf
β=
Q (x,y)
PO
R
4
P
R
4
Gambar 5
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
48
5. Perhatikan gambar 5 di atas !
a. Menyatakan luas persegi panjang sebagai suatu peubah.
Titik Q terletak pada lingkaran dengan persamaan
2221616 xyyx β=β=+
Sehingga luas persegi panjang = L(x) = 4Γ luas persegi panjang
OPQR.
PQOPxL ΓΓ= 4)(
40164
2β€β€β= xxx
b. Menentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum.
Nilai maksimum L(x) terletak pada titik kritisnya yaitu pada
titik stasioner atau pada ujung interval. Titik stasioner terjadi
ketika Lβ(x) = 0 yakni
0162
)2(.4164
2
2=
β
β+β
x
xxx
016
4164
2
22 =
βββ
x
xx
04164 22
2 =β
β xx
22 4464 xx =β
648 2 =x
8Β±=x
Karena 40 β€β€ x maka x yang mememuhi adalah 8=x .
Sehingga sekarang kita memiliki 3 buah titik kritis yaitu 8=x
yang berasal dari titik stasioner dan x = 0 , x = 4 yang berasal
dari ujung interval domain L(x). Untuk mengetahui dimana L(x)
mencapai maksimum, kita cukup mengevaluasi nilai L(x) pada
titik-titik kritis tersebut yaitu 32)8( =L ,
0)0( =L ,
0)4( =L .
Karena 32)8( =L merupakan luas maksimum, maka ukuran
persegi panjang agar luasnya maksimum adalah
8282.2.2 Γ=Γ PQOP ( )ans2424 Γ= .
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
49
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2005/2006
Mata Kuliah Kalkulus I (MA 1114)
Senin 17 Oktober 2005
UTS 2005/2006
1. Menentukan persamaan garis singgung di perpotongan kurva
( )iyxyx .........1622=+β dengan sumbu x.
Titik potong kurva dengan sumbu x berada pada y = 0. Sehingga
dari (i) diperoleh 162 =x atau 4Β±=x
Dengan demikian kita memiliki dua buah titik singgung yaitu
(4,0), dan (-4,0). Langkah selanjutnya adalah kita tentukan
kemiringan garis di tiap-tiap titik tersebut.
)16()( 22xx DyxyxD =+β
( ) 0'2'2 =++β yyxyyx
0'2'2 =+ββ yyxyyx
0')2()2( =βββ yyxyx
')2()2( yyxyx β=β
yx
yxy
2
2'
β
β=
Di titik (4,0), 2'=y
Di titik (-4,0), 2' =y
Jadi persamaan garis singgung di titik(4,0) adalah ( )420 β=β xy
atau ( )ans82 β= xy , sedangkan Di titik (-4,0) persamaan garis
singgungnya adalah ( )( )420 ββ=β xy atau ( ).ans82 += xy
2. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan
( ) ( )iiixxx ..............4112 β€+++
Menurut definisinya
β<+β
ββ₯+=+
1),1(
1,11
xx
xxx
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
50
Sehingga
- untuk x β₯ -1 (iii) menjadi
( ) ( ) 4112 β€+++ xxx
422 2 β€+++ xxx
232 β€+ xx
( ) ( ) 22
232
23 β€β+x
( )4
172
23 β€+x
1721
23 β€+x
171721
23
21 β€+β€β x
23
21
23
21 1717 ββ€β€ββ x
]17,17[),1[2
3
21
2
3
21
1 ββββ©ββ=Hp
]17,1[23
21 ββ=
- sedangkan untuk x < -1 (iii) menjadi
( ) ( ) 41)1(2 β€+++β xxx
422 2 β€++ββ xxx
062 β€ββ xx
0)2)(3( β€+β xx
( )!32 periksax β€β€β
]3,2[]1,(2 ββ©βββ=Hp ]1,2[ ββ=
Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk (iii) adalah
21 HpHpHp βͺ=
[ ] [ ]1,217,123
21 βββͺββ= [ ](ans)17,2
23
21 ββ=
3. a. Menentukan a agar 3
1349lim
2 =+++βββ
xaxxx
3
1
349
349.349lim
2
22
=β++
β+++++
βββ xaxx
xaxxxaxx
x
3
1
349
949lim
2
22
=β++
β++
βββ xaxx
xaxx
x
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
51
3
1
349
4lim
2=
β++
+
βββ xaxx
ax
x
3
1
34
9
4
lim
2
2
=
β++
+
βββ
xxx
ax
xax
x
3
1
34
9
4
lim
2
=
β++
+
βββ
xxx
ax
xax
x
3
1
34
9
4
lim
2
=
β++β
+
βββ
xxx
ax
xax
x
3
1
34
9
4
lim
2
=
β++β
+
βββ
xx
a
xa
x
3
1
39=
ββ
a
)ans(2
3
1
6
β=
=β
a
a
b. Menentukan nilai a dan b jika 2)cos(
lim 20
β=+
β x
bxa
x
)cos(lim0
bxax
+β
haruslah bernilai 0. Sebab jika hal ini tidak
terjadi (katakanlah 0)cos(lim0
β =+β
cbxax
) akan berakibat
β==+
β
β2
0
20 lim
)cos(lim
x
c
x
bxa
x
x
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
52
yang bertentangan dengan pernyataan 2)cos(
lim 20
β=+
β x
bxa
x Tulis
0)cos(lim0
=+β
bxax
00cos =+a ( )ans1,01 β==+ aa
Kemudian karena sekarang 2
0
)cos(lim
x
bxa
x
+
β
berbentuk 00 maka
kita dapat menerapkan dalil LβHospital
2)cos(
lim2
0
β=+
β x
bxa
x
22
)sin(lim
0
β=β
β x
bxb
x
22
)cos(lim
2
0
β=β
β
bxb
x
22
2
β=β b
42 =β b ( )ans2Β±=β b
4. Diberikan β +
=1
)(2
x
xxf
a. Menentukan selang kemonotonan
( )( ) ( )
( )22
2
1
211'
+
β+=
x
xxxxf .
)1(
1
)1(
2122
2
22
22
+
β=
+
β+=
x
x
x
xx
- f(x) monoton naik jika ( )xf ' > 0, yaitu pada selang (-1,1).
- f(x) monoton tutun jika ( )xf ' < 0 , yaitu pada selang (-β,-1)
dan (1,β).
- Karena terjadi perubahan kemonotonan (- οΏ½ + ) dititik x = -1
dan f(-1) ada, maka (-1,- Β½) merupakan titik minimum lokal.
Selain itu pada 1=x terjadi perubahan kemonotonan ( +οΏ½-)
dan f(1) , maka titik (1,Β½ ) merupakan titik maksimum local.
-1 1
- - - - - - + + + + - - - - - - f β(x)
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
53
b. Menentukan selang kecekungan
β +
β+β+β=
42
2222
)1(
)1)(2)(1(2)1(2)(''
x
xxxxxxf
32
22
)1(
)1)(2(2)1(2
+
ββ+β=
x
xxxx
32
33
)1(
4422
+
+βββ=
x
xxxx32
3
)1(
62
+
β=
x
xx
32
2
)1(
)3(2
+
β=
x
xx32 )1(
)3)(3(2
+
+β=
x
xxx
- f cekung ke atas jika )('' xf >0, yaitu pada selang )0,3(β dan
),3( β
- f cekung ke bawah jika )('' xf <0, yaitu pada selang
)3,( βββ dan )3,0(
- Karena terjadi perubahan kecekungan di 3=x , 0=x dan
3β=x serta ),3(f ),0(f )3(βf masing masing ada,
maka ))3(,3( f , ))0(0( f , dan ))3(,3( ββ f merupakan
titik belok.
c. Menentukan asimtot
- Asimtot datar/miring (berbentuk y = ax +b)
x
xfa
x
)(lim
ββ
=xx
x
x )1(lim 2
+=
ββ
0)1(
1lim 2
=+
=ββ xx
axxfbx
β=ββ
)(lim 0)1(
lim 2=
+=
ββ x
x
x
jadi f memiliki asimtot datar yaitu y = 0.
- f tidak memiliki asimtot tegak
0 33β
- - - - + + + + - - - - + + + + f β(x)
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
54
β +
=1
)(grafik2
x
xxf
x
y
1,1/2
31.0,3
-1,-1/2
31.0,3 ββ
0,0
β’
β’
β’
β’
β’
x y
z 5m
8m
d. Sketsa grafik f(x)
5. Menentukan ukuran x,y,z agar volume kotak pada gambar di bawah
ini maksimum.
Terlebih dahulu kita tentukan fungΓ dari volume benda sebagai suatu
peubah..
xyyx β=β=+ 4,822
xzzx 25,52 β=β=+
xzyVVolume ΓΓ==
xxxxV )25)(4()( ββ=
xxxx )25820( 2+ββ=
xxx )21320( 2+β=
2532 0;21320 β€β€+β= xxxx
β
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
55
Titik maksimum )(xV terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik
stasioner atau pada ujung interval dari domain ).(xV Titik stasioner
terjadi ketika V β(x) = 0 yakni
062620 2 =+β xx
062620 2 =+β xx
010133 2 =+β xx
0)1)(103( =ββ xx
3101 =βͺ= xx
Kita tolak 3
10=x Karena tidak berada pada interval 250 β€β€ x . Jadi
sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis yaitu 1=x yang
berasal dari titik stasioner dan 25,0 == xx yang berasal dari
ujung interval domain )(xV . Untuk mengetahui dimana )(xV
mencapai nilai maksimum, kita evaluasi nilai )(xV pada titik-
titik kritis tersebut, yaitu 39)1( mV = , 30)0( mV = dan
.0)( 3
25 mV = 39)1( mV = merupakan volume maksimum,
sehingga ukuran kotak agar volumenya maksimum adalah x =
1 , y = 3, z = 3 . (ans)
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
56
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2004/2005
Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1114
Senin 25 November 2004
UTS 2004/2005
1. Menetukan himpunan penyelesaian pertaksamaan ( )ixx......3 4<β
Menurut definisinya
<ββ
β₯β=β
3,)3(
3,33
xx
xxx
Sehingga :
- Untuk x β₯ 3 (i) menjadi
xx 43 <β
03 4 <ββx
x
04)3(
<ββ
x
xx
0432
<ββ
x
xx
0)1)(4(
<+β
x
xx
401 <<βͺβ< xx
{ 3)401(1 β₯β©<<βͺβ<= xxxxHp
{ }43 <β€= xx
- Sedangkan untuk x < 3 (i) menjadi
( )x
x 43 <ββ
03 4 <β+βx
x
( )0
43<
β+β
x
xx
0432
>+β
x
xx
4 0 -1
- - - - - + + + - - - - - + + + +
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
57
Karena 432 +β xx definit positif, maka jelas pertaksamaan
terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika ,0>x sehingga
{ }302 <β©>= xxxHp { }30 <<= xx
Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah
21 HpHpHp βͺ= { }40 <<= xx (ans)
2. Menentukan persamaan garis singgung pada kurva
( )iixxyCosy .....43)( 22=++ di titik potong kurva dengan sumbu x.
Letak titik potong kurva dengan sumbu x adalah y = 0, sehingga
dari (ii) diperoleh
430 2 =+ xCos
431 2 =+ x
12 =x
1Β±=x
Dengan demikian kita memiliki 2 titik singgung yang akan kita cari
persamaan garis singgungnya yaitu (1,0), dan (-1,0). Selanjutnya
kita tentukan gradien garis singgung pada kedua titik tersebut.
4)3)cos(( 22xx DxxyyD =++
06)'2).(sin(' 22=++β xxyyyxyy
06)sin('2)sin(' 222=+ββ xxyxyyxyyy
xxyyxyxyyy 6)sin()sin('2' 222β=β
xxyyyxyxy 6)sin(')sin(21( 222β=β
)sin(21
6)sin('
2
22
xyxy
xxyyy
β
β=
Di titik (1,0) yβ= -6 dan di titik (-1,0) yβ= 6. Jadi persamaan garis
singgung di titik (1,0) adalah
)1(60 ββ=β xy
( )ansxy 66 +β=
sedangkan di titik (-1,0) persamaan garis singgungnya adalah
))1((60 ββ=β xy
( )ansxy 66 +=
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
58
3. Menghitung 222
1lim
3
1 β+
β
β x
x
x
222
1lim
3
1 β+
β
β x
x
x 222
222
222
1lim
3
1 ++
++β
β+
β=
β x
x
x
x
x
422
)222)(1(lim
3
1 β+
++β=
β x
xx
x
22
)222)(1(lim
3
1 β
++β=
β x
xx
x
)1(2
)222)(1)(1(lim
2
1 β
++++β=
β x
xxxx
x
62
)222)(1(lim
2
1
=++++
=β
xxx
x
4. Menentukan nilai ekstrim dari 1
)(2 +
=x
xxf pada selang [- Β½ ,2].
22
2
)1(
)2()1()('
+
β+=
x
xxxxf
22
2
)1(
1
+
β=
x
x ( )( )22 )1(
11
+
+β=
x
xx
Pada selang [- Β½ ,2] terdapat tiga buah titik kritis yaitu titik ujung
21β=x dan 2=x serta titik stasioner .1=x
Untuk 121 <<β x , ( ) 0' >xf sedangkan untuk 21 << x , ( ) .0' <xf
jadi ( )211 =f merupakan nilai maksimum f pada selang [-Β½ ,2].
Jika f memiliki nilai minimum, harus terjadi pada titik kritis yang
lainnya yaitu pada 21β=x atau 2=x . Sekarang ( )
52
21 β=βf dan
( ) 0' >xf untuk 021 <<β x . Kemudian ( ) 00 =f dan ( )
520 β>>xf
untuk 20 β€< x , sehingga ( )52
21 β=βf adalah nilai minimum f
pada [- Β½ ,2].
-1 1
- - - - - - + + + + + + + - - - - - f β(x)
2 -Β½ β’ β’
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
59
5. Menentukan luas maksimum dari segitiga di bawah.
Titik p dapat bergerak sepanjang kurva xxy 42+β=
( periksa !)
Luas β pqr = )(xL = 2.Luas β prs
pppsrspsrsps
xL '..2
..2)( ===
)4)(2( 2xxx +ββ=
xxxx 824 223 β++β=
42;86 23β€β€β+β= xxxx
Untuk menentukan nilai maksimum L(x), terlebih dahulu harus
ditentukan titik kritisnya. Titik stasioner diperoleh dengan
menyelesaikan 0)(' =xL
08123 2 =β+β xx
04382
=+β xx
04)2(382 =+ββx
342)2( =βx
342 Β±=x
Kita tolak 342 β=x karena tidak berada dalam selang 42 β€β€ x .
Jadi pada titik stasioner kita telah memiliki sebuah titik kritis,
sedangkan dari ujung interval kita memiliki dua buah titik kritis
yaitu x = 2 dan x = 4. Untuk mengetahui yang mana yang
merupakan titik maksimum, kita evaluasi L(x) pada titik kritis yang
kita miliki, yakni 3)2(3
1634 =+f ,
0)2( =f ,
0)4( =f . Jadi
Luas segitiga maksimum adalah )ans.(33
16
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
60
PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2003/2004
Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314
Senin 6 Oktober 2003
UTS 2003/2004
1. Menetukan daerah asal suatu fungsi:
a. 522)( βββ= xxxf
{ }RxfxD f β= )(
{ }Rxxx ββββ= 522
{ }0522 β₯βββ= xxx
Kita selesaikan pertidaksamaan ( )ixx ..0522 β₯βββ
Menurut definisinya
( )
<ββ
β₯β=β
2;2
2;22
xx
xxx
<β
β₯=
0;
0;
xx
xxx
Sehingga :
- untuk 0β€x (i) menjadi
05)())2((2 β₯βββββ xx
0542 β₯β++β xx
01 β₯ββ x
1ββ€x
{ }101 ββ€β©β€= xxxHp { }1ββ€= xx
- kemudian untuk 20 << x (i) menjadi
05))2((2 β₯ββββ xx
0542 β₯ββ+β xx
013 β₯ββ x
31ββ€x
{ } { }=ββ€β©<<=31
2 20 xxxHp
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
61
- sedangkan untuk 2β₯x (i) menjadi
05)2(2 β₯βββ xx
0542 β₯βββ xx
9β₯x
{ } { }9923 β₯=β₯β©β₯= xxxxxHp
Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah
{ }91321 β₯βͺββ€=βͺβͺ= xxxHpHpHpHp yang sekaligus
menjadi daerah asal f yaitu { }91 β₯βͺββ€= xxxD f (ans)
b. 3
6)(
23
+
ββ=
x
xxxxf
Menurut definisinya
{ }RxfxD f β= )(
{ }3;03
623
ββ β₯+
ββ= x
x
xxxx
Kita selesaikan pertidaksamaan ( )iix
xxx....................0
3
623
β₯+
ββ
03
)6( 2
β₯+
ββ
x
xxx
03
)2)(3(β₯
+
+β
x
xxx
Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (ii) adalah
{ }3023 β₯βͺβ€β€ββͺβ< xxxx yang sekaligus menjadi daerah
asal f. (ans)
2. a. Menghitung xx
x
x sin
cos1lim 2
+
βΟ
Karena limit berbentuk 00 , maka kita dapat menerapkan
dalil LβHopital.
xx
x
x sin
cos1lim 2
+
βΟ xxxx
x
x cossin2
sinlim 2+
β=
βΟ
( )ans00
02
=β
=Ο
+ + + + + - - - + + + + - - - - - - - - + + + +
-3 -2 0 3
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
62
b. Menentukan a agar 524lim2 =++
βββ
xaxxx
524lim2 =++
βββ
xaxxx
524
2424lim
2
22 =
β+
β+β ++
βββ xaxx
xaxxxaxx
x
524
44lim
2
22
=β+
β+
βββ xaxx
xaxx
x
5
24
lim2
=
β+βββ
xx
ax
ax
x
5
24
lim =
β+βββ
xx
ax
ax
x
5
24
lim =
β+ββββ
xx
ax
ax
x
5
24
lim =
β+ββββ
x
a
a
x
524
=ββ
a
( )ansa 20β=
3. Memeriksa apakah
+β
+β=
,22
,32)(
2
2
xx
xxxf
1
1
<
β₯
x
x
diferensiabel di x = 1.
Jika kita perhatikan dengan baik, terlihat bahwa f tidak kontinu di
x = 1 karena ( ) ( )12lim1
fxfx
==+β
sedangkan ( ) 1lim1
=ββ
xfx
. Ini
mengakibatkan f tidak diferensiabel di x = 1. (ans)
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
63
4. 1
1)(
2
β
β+=
x
xxxf
a. Menentukan selang kemotonan
2
2
)1(
)1(1)1)(12()('
β
β+ββ+=
x
xxxxxf
22
2
)1(
)2(
)1(
2
β
β=
β
β=
x
xx
x
xx
- f(x) naik jika f β(x) > 0, yaitu pada selang (-β,0) dan (2,β).
- f(x) turun jika f β(x) < 0, yaitu pada selang (0,1) dan (1,2).
- Terjadi perubahan kemonotonan di x = 0 (+ οΏ½ -), maka
(0,f(0)) = (0,0) adalah titik maksimum local. Terjadi
perubahan kemonotonan di x =2 (- οΏ½ +), maka (2,f(2)) = (2,5)
merupakan titik minimum local.
b. Menentukan selang kecekungan
4
22
)1(
)2)(1(2)1)(22()("
β
βββββ=
x
xxxxxxf
3)1(
)2(2)1)(22(
β
ββββ=
x
xxxx
3
22
)1(
422222
β
+β+ββ=
x
xxxxx3)1(
2
β=
x
- f(x) cekung ke atas jika )(" xf > 0, yaitu pada selang x > 1
- f(x) cekung ke bawah jika )(" xf < 0, yaitu pada selang x < 1
- f tidak memiliki titik belok, walaupun terjadi perubahan
kecekungan di x = 1 tetapi f(1) tidak ada.
c. Menentukan asimtot
β’ Asimtot miring/ datar (berbentuk y = ax + b)
+ + + + - - - - - - - - + + +
0 1 2
- - - - - - - - + + + + + + +
1
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
xx
xx
xx
xx
x
xfa
xxx β
β+=
β
β+==
ββββββ2
22 1lim
)1(
1lim
)(lim
β
β+
=ββ
xx
xxx
x 11
111
lim2
2
2
11
1
111
lim
2
=
β
β+
=ββ
x
xx
x
xx
xxaxxfb
xx
ββ
β+=β=
ββββ )1(
1lim)(lim
2
1
)1()1(lim
2
β
βββ+=
ββ x
xxxx
x
21
12lim =
β
β=
ββ x
x
x
Jadi f memiliki asimtot miring y = x + 2
β’ Asimtot tegak ( berbentuk x = c )
Karena ,)1(
1lim
2
1
β=β
β+
β x
xx
x
maka x = 1 merupakan asimtot
tegak dari f.
d. Grafik f(x)
5. Materi UAS
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
64
= 1 merupakan asimtot
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
65
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2002/2003
Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314
Senin 11 April 2003
UTS 2002/2003 1. Menetukan himpunan penyelesaian dari
a. xx
x<
+
β
1
1
01
1<β
+
βx
x
x
01
)1(1<
+
+ββ
x
xxx
01
1 2
<+
βββ
x
xxx
01
1 2
<+
ββ
x
x
01
1 2
>+
+
x
x
Karena 21 x+ definit positif maka jelas pertaksamaan terakhir
terpenuhi jika dan hanya jika 1β>x . Jadi himpunan
penyelesaiannya adalah { }( )ansxx 1β>
b. 21
5 <βx
2
2
21
5 <βx
2
2
21
5 <
β
x
021
5 2
2
<β
β
x
021
521
5 <
+β
ββ
xx
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
66
01
71
3 <
β
β
xx
01713
<
β
β
x
x
x
x
0)17)(13(
2<
ββ
x
xx
{ }( )ansxxHp3
17
1 <<=
2. Diketahui 9
)(2 β
=x
xxf
a. Menentukan selang kemonotonan
22
2
)9(
).2()9.(1)('
β
ββ=
x
xxxxf
22
22
)9(
29
β
ββ=
x
xx22
2
)9(
)9(
β
+β=
x
x
Karena untuk setiap 3Β±=x ; 0)(' <xf maka f tidak selalu turun
pada (-β,β)/{Β±3}. Hal ini juga menunjukan bahwa f tidak
memiliki nilai ekstrim. (ans)
b. Menentukan selang kecekungan
Selang kecekungan dapat ditentukan dari )(" xf
42
2222
)9(
))9()(2)(9(2)9)(2()("
β
+βββββ=
x
xxxxxxf
32
22
)9(
))9()(2(2)9)(2(
β
+ββββ=
x
xxxx
32
33
)9(
364182
β
+++β=
x
xxxx32
3
)9(
542
β
+=
x
xx33
2
)3()3(
)27(2
+β
+=
xx
xx
- f(x) cekung ke atas jika )(" xf > 0, yaitu pada selang (-3,0) dan
(3,β)
β β β 0 1/7 1/3
+ + + + + + - - + + + + + +
β β β -3 0 3
- - - - + + + - - - - + + + + f β(x)
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
67
- f(x) cekung ke bawah jika )(" xf < 0, yaitu pada selang (-β,-3)
dan (0,3)
- Karena terjadi perubahan kecekungan di x = 0 dan f(0) ada,
maka titik (0,f(0)) = (0,0) merupakan titik belok.
c. Menentukan asimtot
- Asimtot datar/miring ( berbentuk y = ax + b )
0)9(
1lim
)9(lim
)(lim 22
=β
=β
==ββββββ xxx
x
x
xfa
xxx
( )0
1
0
91
1
lim0)9(
lim)(lim
22
2
2==
β
=ββ
=β=ββββββ
xx
xx
x
xaxxfb
xxx
Jadi memiliki asimtot datar yaitu y = 0
- Asimtot tegak ( berbentuk x = c )
Karena ,)9(
lim 23
β=ββ x
x
x
dan β=βββ )9(
lim 23 x
x
x
maka 3Β±=x
merupakan asimtot tegak dari f.
d. Grafik f(x)
9)(
2 β=
x
xxf
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
68
3. Diketahui ).(............................................................65 22iyxxy β=β
a. Menentukan yβ
)6()5( 22β=β xx DyxxyD
)6()5()( 22β=β xxx DyxDxyD
0)5'..10()'.2.1( 22=+β+ xyyxxyyy
05'..10'.2 22=ββ+ xyyxxyyy
22 105'.'.2 yxyxyxyy β=β
22 10')52( yxyyxyx β=β
)......(......................................................................52
10'
2
2
iixxy
yxyy
β
β=
b. Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal di x = 1.
Ketika x = 1 , maka persamaan (i) memberikan
652β=β yy
0652=+β yy
0)2)(3( =ββ yy
2atau,3 == yy
Dengan demikian kita memiliki dua titik singgung yaitu (1,3)
dan (1,2). Kemudian dengan menyulihkan kedua titik tersebut
pada (ii), maka diperoleh kemiringan garis singgung pada masing
masing titik secara beruturut-turut yaitu 21'=y dan 16' β=y .
Jadi :
- Persamaan garis singgung di titik (1,3) adalah
)1(213 β=β xy atau )(1821 ansxy β=
- Persamaan garis singgung di titik (1,2) adalah
)1(162 ββ=β xy atau )(1816 ansxy +β=
- Persamaan garis normal di titik (1,3) adalah
)1(3211 ββ=β xy atau )(06421 ansyx =β+
- Persamaan garis normal di titik (1,2) adalah
)1(2161 ββ=β
βxy atau )(03116 ansyx =+β
4. Materi UAS
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
69
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2001/2002
Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314
UTS 2001/2002
1. Menetukan himpunan penyelesaian dari :
a. 32
7<
x
032
7<β
x
02
)2(37<
β
x
x
02
67<
β
x
x
{ }670 >βͺ<= xxxHp
b. ( )ix .....342 <β<β
Pertaksamaan ini setara dengan dengan .3424 <ββ>β xx dan
- 24 β>βx
adalah suatu pernyataan yang benar untuk
sembarang nilai x, jadi pertaksamaan ini dipenuhi oleh .Rxβ
- 34 <βx
343 <β<β x
71 << x
Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk (i) adalah
{ }71 <<β©β xRxx { }71 <<= xx
2. Diberikan ( )
>β
β€+=
bxx
bxxxf
;12
;7)( 3
1
a. Menentukan nilai b agar f kontinu
Agar f kontinu dimana mana maka f harus kontinu di x = b, yaitu
harus dipenuhinya syarat )()(lim)(lim bfxfxfbxbx
==+β ββ
7/6 0 β β
- - - - - + + + + + + - - - - - -
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
70
)(lim)(lim xfxfbxbx
+β ββ
=
( ) 12lim7lim 31 β=+
+β ββ
xxbxbx
( ) 12731 β=+ bb
367 β=+ bb
2=b
b. Memeriksa apakah f diferensiabel di x = b = 2
Untuk mengetahui harus diselidiki apakah ).2()2( ''+β = ff
Tetapi karena
2
)2()(lim)2(
2
'
β
β=
βββ
x
fxff
x
( )
2
37lim
31
2 β
β+=
ββ x
x
x 3
1
2
)2(lim
31
2
=β
β=
ββ x
x
x
sedangkan
2
)2()(lim)2(
2
'
β
β=
+β+
x
fxff
x 2
3)12(lim
2 β
ββ=
+β x
x
x
,22
)2(2lim
2
=β
β=
+β x
x
x
maka jelas kesimpulannya bahwa f tidak diferensiabel di x = 2.
3. Menentukan persamaan garis singgung kurva xxf 431)( β+=
yang sejajar dengan 332 =+ yx
)4()43()(' 21
21 ββ=
βxxf
x43
2
β
β=
Karena garis singgung sejajar dengan garis 332 =+ yx yang
memiliki gradien -2/3, maka haruslah
3
2
43
2β=
β
β
x
343 =β x
943 =β x
23β=x
Subtitusi ke fungsi awal untuk mendapatkan ( ) 423 =β= fy . Jadi
persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
))((423
32 βββ=β xy atau 3
32 +β= xy .
4. Materi UAS
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
71
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2000/2001
Mata Kuliah : Kalkulus I (DA 1314)
Senin 23 Oktober 2000
UTS 2000/2001
1. Menetukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
a. 5331 +β€β xx
225331 +β€β xx
( ) ( )225331 +β€β xx
( ) ( ) 0533122
β€+ββ xx
( )( ) 0)53()31()53()31( β€+ββ++β xxxx
( ) 0646 β€ββ x
064 β€ββ x
32ββ₯x
{ }
32ββ₯= xxHp
b. ( )ix
x ......2
1 <β
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak untuk x , maka
Untuk x β₯ 0, (i) menjadi
xx
21<β
02
1 <ββx
x
02)1(
<ββ
x
xx
022
<ββ
x
xx
0)1)(2(
<+β
x
xx
201 <<βͺ< xx
{ })201()0(1 <<βͺ<β©β₯= xxxxHp { }20 <<= xx
- - - - + + + - - - - - - + + +
-1 0 2
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
72
Sedangkan untuk x < 0 (i) menjadi
xx
β<β
21
02
1 <+βx
x
02)1(
<+β
x
xx
022
<+β
x
xx
Karena 22 +β xx definit positif, maka jelas pertaksamaan
terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika 0<x , sehingga
{ }002 <β©<= xxxHp { }0<= xx
Jadi himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah
21 HpHpHp βͺ= { }020 <βͺ<<= xxx { }0;2 β <= xxx
2. Diketahui
β₯+
<=
1,
1,)(
2
xqpx
xxxf
a. Menentukan hubungan antara p dan q agar f kontinu di x = 1.
Menurut hipotesisnya, kekontinuan kiri f pada x = 1 akan
menghasilkan
( ) ( )1lim1
fxfx
=ββ
qpxx
+=ββ
2
1lim
qp +=1
Sedangkan kekontinuan kanan f di x = 1menghasilkan hubungan
trivial ( qpqp +=+ ). Jadi hubungan antara p dan q agar f
kontinu di x = 1 adalah qp +=1
b. Menentukan nilai p dan q agar 1('f ) ada
agar 1('f ) ada maka )1()1( ''+β = ff yaitu
1
)1()(lim
1
)1()(lim
11 β
β=
β
β
+β ββ x
fxf
x
fxf
xx
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
73
1
)(lim
1
)(lim
1
2
1 β
+β+=
β
+β
+β ββ x
qpqpx
x
qpx
xx
1lim
1
1lim
1
2
1 β
β=
β
β
+β ββ x
ppx
x
x
xx
1
)1(lim
1
)1)(1(lim
11 β
β=
β
+β
+β ββ x
xp
x
xx
xx
pxx
=+ββ
1lim1
( )ansp 2=
Dengan demikian kita peroleh ( )ansq 1β=
3. Diketahui kurva 232
32
=+ yx
a. Menentukan 'y di (1,-1)
)2()( 32
32
xx DyxD =+
0'.31
323
1
32 =+
ββyyx
31
31
32
31
32
'
β=
β=
β
β
x
y
y
xy
Di titik (1,-1) ( )ansy 1' =
b. Persamaan garis singgung dititik (1,-1) adalah ( ) ( )11 β=ββ xy
atau ( )ansxy 2β= . Sedangkan persamaan garis normalnya
adalah ( ) ( )1111 β=ββ β xy atau ( )ansxy β= .
4. Menghitung :
a. x
dttx
x
x sinlim
2
0
β«
β
Karena limit berbentuk 0/0 maka berlaku dalil LβHopital.
Kemudian gunakan TDK II untuk mendapatkan hasil berikut
x
dttx
x
x sinlim
2
0
β«
β ( )xD
dttD
x
x
xx
x sinlim
2
0
β«=
β
0cos
2lim
cos
2.lim
2
0
2
0
=β
=β
=ββ x
xx
x
xxx
xx
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
74
Alternative lain adalah dengan mengerjakan bagian yang
mengandung integral terlebih dahulu sebagai berikut
x
dttx
x
x sinlim
2
0
β«
β
x
t x
x
x sinlim
22
3
32
0β
=x
xx
x sinlim
3
322
3
32
0
β=
β
Selanjutnya karena limit terakhir berbentuk 0/0 maka
berlaku dalil LβHopital yang memberikan hasil berikut
x
xx
x sinlim
3
322
3
32
0
β
β
( )ansx
xx
x
0cos
2lim
2
0
=β
=β
b. β«β
1
1
dxx
x
Misalkan x
xxf =)( . Fakta bahwa )()( xf
x
x
x
xxf β=
β=
β
β=β
menunjukkan bahwa f fungsi ganjil yang berakibat 01
1
=β«β
dxx
x
5. Diberikan ( )( )
( )1;
1
21
1
1
1
11
)1(
1)(
22
2
ββ +
β=+
β=
+
+β=
+
β= x
xx
x
x
xx
x
xxf
a. Menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim
( )21
2)('
+=
xxf
f selalu naik pada (-β,β)/{-1} karena untuk setiap nilai x
kecuali x = -1, 0)(' >xf . Kenyataan ini juga menunjukkan
bahwa f tidak memiliki nilai ekstrim.
b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok
3)1(
4)("
+
β=
xxf
- f(x) cekung ke atas jika )(" xf > 0, yaitu pada selang (-β,-1)
- f(x) cekung ke bawah jika )(" xf < 0, yaitu pada selang (-1,β)
- f(x) tidak memiliki titik belok. Walaupun terjadi perubahan
kecekungan di x = -1, tetapi f(-1) tidak ada.
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
75
c. Menentukan Asimtot
- Asimtot datar / miring (berbentuk y = ax + b)
==ββ x
xfa
x
)(lim
( )0
1
21lim
1
1
21lim =
+β=
+β
ββββ xxxxx xx
12
21lim)(lim =
+β=β=
ββββ xaxxfb
xx
Jadi f memiliki asimtot datar yaitu y =1
- Asimtot tegak (berbentuk x = c)
karena ( ) β=ββ
xfxlim
1
maka x = -1 asimtot tegak dari f.
d. Sketsa Grafik f(x)
2
2
)1(
1)(Grafik
+
β=
x
xxf
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
76
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 1999/2000
Mata Kuliah Kalkulus I (DA 1314)
Senin 1 November 1999
UTS 1999/2000
1. 32
β€+x
x
2
2
32
β€+x
x
2
2
32
β€
+
xx
032 2
2
β€β
+
xx
032
32
β€
β+
++
xx
xx
02323 22
β€
+β
++
x
xx
x
xx
0)1)(2()1)(2(
β€
ββ
++
x
xx
x
xx
0)1)(2)(1)(2(
2β€
ββ++
x
xxxx
{ } ( )ansxxxHp 2112 β€β€βͺββ€β€β=
2. a. 52
52lim
2
+
+β
βββ x
xx
x
52
52lim
2
+
+β
βββ x
xx
x
+
+β
=βββ
xx
xxx
x 52
521
lim2
2
+
+β
=βββ
xx
xxx
x 52
521
lim2
-2 -1 0 2 1 β β β β β
+ + + - - - + + + + + + - - - + + +
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
77
+
+ββ
=βββ
xx
xxx
x 52
521
lim2
+
+ββ
=βββ
x
xx
x 52
521
lim2
( )2
1β=
( )ans2
1β=
b. Menentukan )(lim5
xgxβ
jika diketahui .25103)( 2+ββ€β xxxg
,25103)( 2+ββ€β xxxg
25103)()2510( 22+ββ€ββ€+ββ xxxgxx
2810)(2210 22+ββ€β€β+β xxxgxx
Karena 32210lim2
5
=β+ββ
xxx
32810limdan 2
5
=+ββ
xxx
, maka
menurut teorema apit ( )ansxgx
3)(lim5
=β
3. Diberikan 1)( 2β= xxf dan xxg += 1)(
a. Membuktikan bahwa gof terdefinisi
Akan ditunjukkan bahwa { }β β© gf DR
,β=fD
berlaku,setiapUntuk ββx
02 β₯x
112 ββ₯βx
1)( ββ₯xf
[ ),,1demikiandengan ββ=fR
[ )ββ= ,1gD
Kemudian [ ) { }β ββ=β© ,1gf DR , persis seperti yang ingin
ditunjukkan dan membuktikan bahwa gof terdefinisiβ
b. Menentukan gof dan daerah asalnya
))(()( xfgxfgo = )1( 2 β= xg )1(1 2 β+= x 2x= ( )ansx .=
Menurut definisinya
{ }gfgof DxfDxD ββ= )( [ ){ }βββββ= ,112xRx { }112 ββ₯ββ= xRx
{ }02 β₯β= xRx { } ( )ansRx β=
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
78
4.
β€+β
>β
β+
=
3,17
3,3
152
)(2
2
xxqx
xx
pxx
xf
Agar f kontinu di x = 3, maka haruslah ).(lim)3()(lim33
xffxfxx
+β ββ
==
Kekontinuan kiri f pada x = 3 menghasilkan hubungan trivial
( )209209 β=β qq . Sedangkan kekontinuan kanan f pada x = 3
dijabarkan sebagai berikut )3()(lim
3
fxfx
=+β
( )iqx
pxx
x
........2093
152lim
2
3
β=β
β+
+β
152lim2
3
β++β
pxxx
haruslah bernilai 0, sebab jika tidak (katakanlah
0152lim2
3
β =β++β
cpxxx
) akan berakibat
( )β=
β=
β
β+
+β
+β x
c
x
pxx
x
x 3lim3
152lim
3
2
3
yang menyebabkan f gagal kontinu di x = 3.
Tulis
0152lim2
3
=β++β
pxxx
015318 =β+ p
1β=p
Dengan menyulihkan hasil ini pada (i) akan memberikan
2093
152lim
2
3
β=β
ββ
+β
qx
xx
x
2093
)3)(52(lim
3
β=β
β+
+β
qx
xx
x
( ) 20952lim3
β=+β+β
qxx
20911 β=β q
1=q
Jadi Agar f kontinu di x = 3 maka haruslah p = -1 dan q = 1 (ans).
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
79
5. Diberikan 2)3( 22=+β yx
a. Menentukan yβ
( ) )2()3( 22xx DyxD =+β
0'2)3(2 =+β yyx
)3(2'2 ββ= xyy
y
xy
)3('
ββ=
b. Menentukan garis singgung yang tegak lurus garis y = x.
Karena tegak lurus dengan garis y = x yang memiliki gradien 1,
maka gradient garis singgung yang dimaksud haruslah memiliki
gradient -1/1 = -1. Sehingga dengan melihat hasil pada poin
sebelumnya diperoleh
1)3(
β=β
βy
x
3β= xy
Subtitusi ke persamaan awal memberikan 222=+ yy atau .1Β±=y
- untuk y =1 menghasilkan x = 4, sehingga persamaan garis
singgungnya adalah ( )41 ββ=β xy atau 5+β= xy
- untuk y = -1 menghasilkan x = 2, sehingga persamaan garis
singgungnya adalah ( ) ( )21 ββ=ββ xy atau 1+β= xy
6. Diketahui f(x) adalah fungsi kontinu dan f(0) = f(2) = 0, serta grafik
( )xf ' sbb.
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
80
a. Menentukan selang kemonotonan
Perhatikan grafik ( )xf ' !
- f(x) monoton naik jika ( )xf ' > 0, yaitu pada ( )1,0 dan ( )β,3
- f(x) monoton turun jika ( )xf ' < 0, yaitu pada selang (-β,-1),
(-1,0), (1,2), dan (2,3)
b. Menentukan selang kecekungan
- f(x) cekung keatas jika ( )xf " > 0, atau dengan kata lain
jika ( )xf ' naik, yaitu pada selang (-β,-1), dan (2,β)
- f(x) cekung ke bawah jika ( )xf " < 0, atau dengan kata lain
jika ( )xf ' turun, yaitu pada selang (-1,0), dan (0,2)
c. Sketsa f(x)