Proyecto de Matemáticas:Funciones

Presentado por:Jonathan Guberek

Daniel CroitoruMark Guberek

Presentado a:Patricia Caceres

COLEGIO COLOMBO HEBREOAREA DE MATEMATICA

Bogota D.CMayo 2010 Continuación

GENERALIDADES• Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce

cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.

• No es una función cuando:• De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.• De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.• Una función se puede representar tanto de forma visual, algebraica,

numérica y verbal.• Una imagen es el conjunto de elementos y para los cuales existe un

elemento x tal que y=f(x).

Continuación

Punto de corte con YPara hallar el punto de corte con Y, se debe reemplazar en la ecuación a X por 0.Punto de corte con XPara obtenerlo se iguala la función a 0. Soluciono la ecuación hasta obtener el valor de x.

Rango: Conjunto formado por las imágenes.

Dominio: Es el conjunto formado por las pre imágenes

que debe ser igual al conjunto de salida.Continuación

Función Inyectiva

• En este tipo de función se cumple la condición de que cada valor del conjunto A (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto B. De tal manera que en el conjunto A no pueden haber dos o más elementos con la misma imagen.

Continuación

Función Sobreyectiva

• Es el tipo de función que cumple la condición de que cada elemento de Y es la imagen de mínimo un elemento de X.

Continuación

Función Biyectiva• Función dada cuando, se

cumple que es a la vez Sobreyectiva e Inyectiva.

• Cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función Inyectiva y que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la característica de la Sobreyectiva. Continuación

Función Par

Es un tipo de función que satisface o que cumple la condición de que para todo x que pertenece al dominio. f(x)=f(-X)

Podría ser una función cuadrática o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c . Un ejemplo de esta sería:

f(x) = x4 + 2

Continuación

f(x) = x4 + 2corte con y 2

mínimo relativo (0,2)eje de simetría x=0

dominio=Realesrango= (2,00

conjunto salida= Realesconjunto llegada= Reales Continuació

n

Función Impar

• Función en la que todo x perteneciente al dominio

Podría ser una Función cúbica o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c . Un ejemplo de esta sería:f(x) = x3

Continuación

f(x) = x3 dominio= Realesrango=Realesconjunto salida=Realesconjunto llegada=Realescorte con x= 0corte con y=0 Continuación

Función PolinómicaGeneralidades

• Según su grado se pueden clasificar como:

Grado Nombre Expresión0 función constante y = a1 función lineal y = ax + b (Binomio, 1er Grado)2 función cuadrática y = ax² + bx + c (Trinomio, 3er Grado)3 función cúbica

Dominio= Conjunto de Salida= RConjunto de llegada=R

Continuación

Clases de funciones.

Valor Absoluto

Exponencial

Logarítmica

Racional

Polinómica

Función a Trozos

Función trigonométrica

Función Cuadrática.

Función Cubica.

Función de Grado par.

Función de Grado impar.

Función lineal.

Función Polinomica.

Constante.

MAPA CLASES FUNCIONES

Funciones Lineales

Generalidades

Afín

Lineal

Idéntica

Mapa linealesMAPA

POLINÓMICAS

Función linealGeneralidades

• Y= variable dependiente• X= variable independiente• M=pendiente (grado de inclinación de la recta con

respecto al eje horizontal)• B= punto de corte con el eje y.• Punto de corte con x• Dominio=reales• Conjunto de Salida= Reales• Rango=Reales(con excepción a la función constante)• Conjunto de llegada= Reales

Continuación

•Si , m > 0 la función es creciente.•Si m < 0 la función es decreciente.•Si m=0 la función es constante (recta horizontal).•Ecuación para hallar la pendiente:

Mapa lineales

Función lineal Afín

Es una función cuya ecuación matemática viene dada por: Y=mx+b

Donde b es una constante que determina el punto de corte con Y,y hace el desplazamiento vertical.

El punto de corte con y es distinto a 0

Continuación

Y=5x+5Dominio: RealesRango: Reales corte con x= -1Conjunto Salida: Reales corte con y= 5Conjunto llegada: RealesPendiente=5

Mapa lineales

EJEMPLO

Función lineal

Es una función cuya ecuación matemática es:Y=mx

Su corte con y siempre va a ser 0 puesto que no tiene un desplazamiento vertical .

Continuación

Y=5xDominio=Reales Conjunto Salida= RealesRango= Reales Conjunto Llegada= RealesCorte con x= 0Corte con y=0

Mapa lineales

EJEMPLO

Función lineal idéntica

• Es una función expresada con la fórmula:• Y=x• Donde y adquiere el mismo valor que x.• La pendiente es igual a 1.

Continuación

Dominio=RealesRango=RealesConjunto Salida=Reales Conjunto Llegada=RealesPunto de corte con Y=0Punto de corte con X=0

Mapa lineales

EJEMPLO

Función lineal constante

• Y=a• Siendo a cualquier número.• No tiene una pendiente por lo que su rango

siempre va a ser a.• Su corte con y es igual al a.

Continuación

Y=4Dominio=Reales Conjunto Salida=Reales corte con y=4Rango={4} Conjunto Llegada=Reales

EJEMPLO

MAPA POLINÓMICAS

Función Polinómica cuadrática

• Es una función que se define mediante un polinomio de segundo grado. Esto quiere decir con un elemento elevado al cuadrado como máximo exponente.

• Donde a no se puede ser igual a 0

Continuación

• Su representación gráfica, representaría una parábola vertical

• Siendo a negativo, estaría hacia abajo.• Siendo a positivo, estaría hacia arriba.• Corte con el eje Y, al reemplazar las x por 0• Corte con el eje X, al igualar la función con 0. La ecuación se

soluciona por factorización o por fórmula general.• El máximo relativo o mínimo relativo existe dependiendo

del signo de a.• Con a negativo y parábola hacia abajo habría, un máximo

relativo

Continuación

• Con a positivo y parábola hacia arriba, habría un mínimo relativo.

• Tanto el Dominio como el Conjunto de Salida son Reales. El Conjunto de llegada es Reales, mientras el Rango va desde el mínimo o máximo relativo hasta infinito

Continuación

Y=x^2+2x+1 corte con y= 1 Conjunto Salida=Reales corte con x=-1 Conjunto Llegada=Reales mínimo relativo x=-1D=Reales Creciente en=(-1,infinito)R=Reales positivos Decreciente en=(- infinito, -1)

MAPA POLINÓMICAS

Función Polinómica cúbica

• Se denomina función cúbica a toda función que le rige la ecuación:

• Y=ax3+bx2+cx+d• Donde a,b,c,d son números reales• Es una ecuacion de tercer grado, ya que tiene

un maximo elemento elevado a la tres o al cubo

Continuación

Corte con x= -1Corte con y= 1Conjunto Salida=RealesConjunto Llegada=RealesD=RealesR=Reales positivos

MAPA POLINÓMICAS

Función Grado Par

• Es el tipo de función que se rige según la condición de que:

• El mayor grado de la función es par• Si todos los terminos son de grado par, la

funcion es simetrica con respecto al eje X• Se rigen según la ecuación:

Continuación

Corte con y =2No tiene corte con xVértice (0,2)Dominio= RealesRango=(2,00)Conjunto salida=RealesCll=Reales MAPA POLINÓMICAS

Función Grado Impar

• Es el tipo de función que se rige según la condición de que:

• El mayor grado de la función es impar.• Se rigen según la ecuación:

Continuación

Dominio =conjunto salida=Realesrango =conjunto llegada=Reales

corte en x≈2corte con y=3

Es creciente en(-00,3)u(2.9,00)es decreciente en(3,2.9)

MAPA POLINÓMICAS

Función Valor absoluto

• Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a pedazos, siguiendo los siguientes pasos:

• 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

• 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

• 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

• 4 Representamos la función resultante.Continuación

Gráfica

• Decreciente si a<1• Creciente si a>1• El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin

tener en cuenta su signo.

• Su dominio, CS y CLL son Reales.• Su rango depende de hacia donde se

desprenda, puede ser de – infinito al máximo relativo o del mínimo relativo a infinito.

Continuación

Y=|x|

Punto corte con x= 0Punto corte con y= 0Dominio=Conjunto salida=Conjunto llegada= RealesRango= (infinito, 0)Decreciente en= (-infinito,0)Creciente en= (0, infinito)

MAPA CLASES FUNCIONES

Función racional

• La función racional es una función matemática expresada de la forma

• Donde p , q son polinomios , x es una variable desconocida

• Q≠0• Su dominio consiste en los números reales x

excepto aquellos para los que el denominador es 0.

Continuación

• Todas las funciones racionales, tienen una asíntota vertical y horizontal, es decir, tienen excepciones, estas excepciones son números en los ejes "x" e "y" que no se pueden usar para reemplazar la variable "x" en la función racional.

• Todas sus funciones racionales es de clase infinita, es decir, que su grafica, al igual que sus soluciones, no tienen final.

Continuación

• Para obtener las raíces se factoriza tanto el denominador como el numerador y se igualan cada uno de los factores a 0. Las raíces del numerador serían cortes con x mientras los del denominador cortes con y.

• Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero, es decir, donde la función no esta definida.

• Para determinar cuando es mayor o menor que 0, se realiza el proceso del cementerio.

Continuación

MAPA CLASES FUNCIONES

Corte con x= 3Corte con y= 3Asintota en y=1D=cs=realesRango= reales-(1)Cll=realescreciente

Función exponencial

• La función exponencial es del tipo:• Y= ax

• Sea a un número real positivo.• Y= ax se llamaría función exponencial de base a y

exponente x. • a no puede ser ni menor que 0 ni igual a 1. ya

que siendo 1, sería constante.• La función exponencial natural es la que tiene

como base a e, que es igual a 2.2.Xexf )( Continuación

Dominio=cs=realescll=reales

rango=(1,00)asintota x=1

crecientecorte en y=2 MAPA CLASES

FUNCIONES

Función Logarítmica

• Una función logarítmica la que se expresa como f (x) == logax

• Siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

• También cumpliría que • Se llama logaritmo común al logaritmo en base

10. • Se llama logaritmo natural al que tiene como

base a e=2.2Continuación

xa y

• Propiedades logarítmicas: • 1. El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente

multiplicado por el numero.• 2. El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los

logaritmos de los números.• 3. El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos

de los números.

• Para cambiar de base se utiliza la fórmula

Continuación

Crecientedominio=cs=reales positivos

cll=realesrango=realesasintota x=0

corte con x≈0.3 MAPA CLASES FUNCIONES

Función a Trozos

• En matemáticas, una función definida a trozos es una función cuya definición cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos distintos de su dominio o subdominios.

• Su definición varía según los intervalos que se tomen en cuenta.

• Se dividen en función mantisa y función signo.

Continuación

Función Mantisa• La función mantisa consiste en la parte decimal de un número. Su fórmula es:• mant (x) = x - [x]• Es decir, al número se le resta su parte entera, así la mantisa de los siguientes

números serán:• mant(20,918) = 0,918• mant(27,465) = 0,465

ContinuaciónDominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0, 1)Conjunto de llegada= IR

Función signo• Función que obtiene el signo de cualquier número real que se tome por entrada.

Se representa generalmente mediante sgn(x).• Su dominio de definición es R y su conjunto imagen {-1;0;1}.

f(x)=

Si x<1

1

0

1Si x=1

Si x>1

MAPA CLASES FUNCIONES

Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= {-1; 0; 1)Conjunto de llegada= IR

Función trigonométrica• Son el tipo de funciones que guardan relación con el estudio de la geometría de los

triángulos.• Se definen como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a

sus ángulos.• Existen seis tipos de funciones trigonométricas:

• La función del seno se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

• La función del coseno se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

• • La función de la tangente se define como la razón entre el cateto opuesto y el

adyacente:

Continuación

• La función de la cotangente se define como el inverso multiplicativo de la tangente.

• La función secante se define como el inverso multiplicativo del coseno

• La función cosecante se define como el inverso multiplicativo del seno:

Gráfica

Graficas de todas las funciones trigonométricas

MAPA CLASES FUNCIONES

seno

cosenotangente

cotangente

secante

cosecante

Seno

Dominio=Cll=RealesCs= RealesR= [-1,1]Pto corte con y=0Pto corte con x=πn

coseno

Dominio=Cs=RealesCll= RealesRango= [-1,1]Pto corte con Y=1Pto corte con X= )12(

2n

tangente

Rango=Cll=RealesCs= RealesPto corte con y=0Pto corte con x= πnDominio

cotangente

Dominio=Cs= Cll=RealesR= RealesPto corte con y=No hayPto corte con x=

cosecante

Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada= IRRango= (IR – (-1,1))Asíntotas en x=n πPunto de corte con x no tienePunto de corte con y no tiene

secante

Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada= IRRango= (IR – (-1,1))Asíntotas en x= π/2(2n-1)Punto de corte con x no tienePunto de corte con y = 1

Bibliografía

• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal • http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematic

as/05/definicion.html

• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_constante

• http://www.mitecnologico.com/Main/Funciones • http://cnx.org/content/m12960/latest/#eq_rf• http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html

Bibliografía

• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva • http://www.amschool.edu.sv/paes/f8.htm • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9

trica

• http://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%ADa) • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9

trica