ESCUELA POLITCNICA NACIONALFACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA ANLISIS DE CIRCUITOS I Esteban Alejandro Vaca Cerda Quito, 14 de mayo de 2012 DEBER RESONANCIA EN CIRCUITOS RLC EN SERIE Introduccin Laprincipalcaractersticadelarespuestaenfrecuenciadeuncircuitoquizseaelpico pronunciado(oelpicoresonante)queserepresentaporsuamplitudcaracterstica.El conceptoderesonanciaseaplicaenvariasreasdelacienciaydelaingeniera.La resonancia ocurre en cualquier sistema que tenga un par de polos complejos conjugados; staeslacausadequelaenergaalmacenadaosciledeunaformaaotra.Constituyeel fenmeno que permite la discriminacin de frecuencia en las redes de comunicaciones. La resonancia se presenta en cualquier circuito que tiene al menos un inductor y un capacitor. Definicin La resonancia es una condicin en un circuito RLC en el cual las reactancias capacitiva e inductiva son de igual magnitud, por lo cual dan lugar a una impedancia resistiva. Consideremos el circuito de la figura donde: 1Z R j LC| |= + e |e\ . Silaimpedanciaqueseobtieneesnetamente resistiva entonces:101LCLC e =e e =e 2011LCLC e= e = = e Figura 1: Circuito resonante RLC Donde 0ees conocida como frecuencia de resonancia. 0 00212como ff HzLCe= t=t En el siguiente grfico se representa el lugar geomtrico de la reactancia vs la frecuencia de un dipolo LC en serie, donde se observa la frecuencia de resonancia:

1X LC= e e 21CBCLe=e La resonancia en serie cumple las siguientes propiedades: 1.Laimpedanciaespuramenteresistiva,porloqueZ=R.Enotraspalabras,la combinacin en serie LC acta como un cortocircuito y toda la tensin est a travs de R. 2.Latensin sV ylacorrienteI seencuentranenfase,demodoqueelfactorde potencia es unitario. 3.ElVoltajeatravsdelabobina(inductor)ydelcapacitorpuedensermucho mayores que la tensin de la fuente. X ee0 Figura 2: Reactancia Serie L-C B ee0 Figura 3: Susceptancia Serie L-C Acontinuacinsepresentanlosgrficosdelosmdulosde:reactancia,susceptancia, impedancia y admitancia de un circuito RLC en serie, donde se observa otra caracterstica delasredesdeestetipo:existebajaimpedanciaparacorrientesalafrecuenciade resonanciayrelativamentealtaimpedanciaparatodaslasfrecuenciasqueson significativamente diferentes a 0e(tanto ms bajas, como ms altas). 1X LC= e e 21CBCLe=e 221Z R LC| |= + e |e\ . 2221CY GCLe | |= + |e\ . De la misma forma que se observa una impedancia mnima en la frecuencia de resonancia, se presenta una admitancia mxima a la frecuencia de resonancia. Figura 4: Mdulo de la Reactancia Serie L-CFigura 5: Mdulo de la Susceptancia Serie L-C Figura 6: Mdulo de la Impedancia Serie R-L-CFigura 7: Mdulo de la Admitancia Serie R-L-C Comportamiento del Mdulo De La Admitancia Debido a su Resistencia La conducta de una red se afecta por la presencia de una resistencia, por mnima que sea, de hecho est presente, e influye en la red como se ve en el grfico: Variacin del ngulo de fase con la frecuencia Relacionando el ngulo de fase con la frecuencia, obtenemos: 1arctan0LCRsi Re e == = 90 000si Rsi Reactanciacapacitivasi Reactanciainductivae = ev = = 0e < ee > e En los siguientes grficos se representan estas condiciones: e ,Y, Y0 Y0 Y0 R alta (red con altas prdidas) R alta (red con pocas prdidas) R alta (red sin prdidas) Figura 8: Lugar Geomtrico de |Y| con presencia de algunas R e0 e e0 e e0 90 90 -90 -90 Figura 9: ngulo de fase de circuito RLC con R0 Figura 10: ngulo de fase de circuito LC, R= 0 Frecuencias de media potencia, Ancho de Banda y Factor de CalidadEnelcircuitodelafigura1,larespuestaenfrecuenciadelamagnituddecorrientedel circuito est dada por la siguiente expresin: ( )221/mVIR L C=+e e DondeVmeselvoltajetotalaplicadoalared,dedondeseobtieneelsiguientelugar geomtrico del mdulo de I. LapotenciapromedioquedisipaelcircuitoRLCes:( )2P I R e= ,lamayorpotenciaque disipa la red ocurre en la resonancia cuando/mI V R = por lo que: ( )2012mVPRe =Enciertasfrecuenciascorrespondientes1 2e = e , e ,lapotenciadisipadaeslamitaddel valor mximo; esto es: ( ) ( )( )221 2/ 22 4mmVVP PR Re = e = =Portanto, 1e y2e sedenominanfrecuenciasdemediapotencia,estasfrecuenciasse obtienen al igualar Z a2R y escribir: 2212 R L RC| |+ e = |e\ . Figura 11: Lugar geomtrico de la corriente vs la frecuencia De donde se obtiene las siguientes frecuencias: 212212 212 2R RL L LCR RL L LC| |e= + + |\ .| |e= + + |\ . Es posible relacionar estas frecuencias de media potencia con la frecuencia de resonancia, con la siguiente expresin:0 1 2e= e e , lo que muestra que la frecuencia resonante es la mediageomtricadelasfrecuenciasdemediapotencia.Nteseque,engeneral,1 2ye eno son simtricas con respecto a la frecuencia resonante 0e , debido a que la respuesta en frecuencia no es simtrica en general. Sin embargo, la simetra de las frecuencias de media potenciaconrespectoalafrecuenciaderesonanciaresultamuchasvecesuna aproximacin razonable. Aunque la altura de la curva en la figura 11 est determinada por R, el ancho de la misma dependedeotrosfactores.Elanchodelacurvaderespuestadependedelanchode banda B, que se define como la diferencia entre las dos frecuencias de media potencia: 2 1B = eeEn sentido estricto, B en la ecuacin anterior es un ancho de banda de media potencia, ya que es el ancho de banda de frecuencia entre las frecuencias de media potencia. El pico de la resonancia en un circuito resonante se mide cuantitativamente por medio del factordecalidadQ.Enlaresonancia,laenergareactivaenelcircuitooscilaentrela bobina y el capacitor. El factor de calidad relaciona la energa mxima o pico almacenada con la energa que se disipa en el circuito por ciclo de oscilacin: 2Picodeenerga almacenadaenel circuitoQDisipacindeenerga por el circuitoenun perododeresonancia= tSe considera tambin como una medicin de la propiedad de un circuito para almacenar energa, en relacin con su propiedad de disipacin de energa. En el circuito RLC en serie, el pico de la energa almacenada equivale a 2/ 2 LI , en tanto que la energa que se disipa en un periodo corresponde a( ) ( )20/ 2 I R f , por consiguiente: ( ) ( )20 020 02 / 2 12/ 2fL L LIQR R CR RI ft e= t = = =e El factor de calidad es adimensional. La relacin entre el ancho de banda B y el factor de calidad Qes la siguiente: 2 00RB CRL Qe= = = eDe aqu se define que: El factor de calidad de un circuito resonante RLC en serie es la raznentrelafrecuenciaresonanteysuanchodebanda,esunamedidadela selectividad (o "agudeza" de resonancia) del circuito. Cuanto ms alto el valor de Q, ms selectivo resulta el circuito, aunque el ancho de banda se vuelve ms pequeo. La selectividad de un circuito RLC es la capacidad del mismo para responderaciertafrecuenciaydiscriminaratodaslasdems.Silabandadefrecuencia que se va a seleccionar o a rechazar es estrecha, el factor de calidad del circuito resonante debe ser alto. Si la banda de frecuencias es amplia, el factor de calidad debe ser bajo. Uncircuitoresonantesediseaparaoperarenocercadesufrecuenciaresonante.Se afirma que ser un circuito de alta Q cuando su factor de calidad sea igual o mayor que 10. ParacircuitosdealtaQ(Q>10),lasfrecuenciasdemediapotenciason,paratodofin prctico, simtricas con respecto a la frecuencia resonante y es posible aproximarlas como: 1 02Be e 2 02Be e+Los circuitos de alta Q se emplean a menudo en redes de comunicaciones. Se observa que un circuito resonante se caracteriza por cinco parmetros relacionados: las dosfrecuenciasdemediapotencia 1 2y e e ,lafrecuenciaderesonancia 0e ,elanchode banda B y el factor de calidad Q. Figura 12: Relacin ancho de banda (B) y factor de calidad (Q) Curva Universal de Resonancia Es una curva de gran importancia, donde se aprecia la variacin de la frecuencia y la calidad de la red. Para un circuito RLC, se tiene ( )( )0 020000 0 000 0001111;11;111YR j LCY YRY RcomoY LCR j LCL YQY RjRYYjQe=| |+ e |e\ .e = == e=| |+ e |e\ .e= =| | e e e+ |e e\ .=| | e e+ |e e\ . En este punto cabe introducir un trmino que permita visualizar la variacin de la frecuencia de la excitacin frente a la frecuencia de resonancia. A este trmino se lo conoce con el nombre de DESINTONIZACIN RELATIVA y representa la desviacin por unidad de la frecuencia de la fuente ( e) desde la frecuencia de resonancia (0e ), viene dado por: 00 01ee eo = e e Reemplazando la desintonizacin en 0YYse tiene: ( )00 01 11 21 1 11 1YYjQ jQ= =+ o( | |+ + o + o | (+ o + o \ . Si se considera desviaciones pequeas1 o , efecto cercano al de resonancia se tiene: ( ) ( )( )02 20 00 02002 1 11 21 2 1 211 2Q YjY j QQ QGConductanciarelativaYQ o= = ++ o+ o + o= + o

( )( )020020021 211 2Q BSusceptancia relativaYQYAdmitancia relativaYQ o= + o= + o El grfico de la susceptancia, conductancia y admitancia relativas, se conoce como curva universal de resonancia la cual se presenta a continuacin: Bibliografa: -Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Fundamentos de circuitos elctricos, McGrawHill, Tercera edicin. -Jorge Cern, Circuitos Resonantes, Escuela Politcnica Nacional. -Ing.JorgeMaraBuccella,TEORADELOSCIRCUITOSI,UniversidadTecnolgica Nacional, Mendoza, Septiembre de 2001 o=oQ0 Total(admitancia) Real(conductancia) Imag.(susceptancia) 0.5 -0.5 1.0 -1.0 -2.0 -1.5 1.5 2.0 Curva Universal de Resonancia |Y|/Y0 |Z|/Z0 0.707 0.5 -0.5 0.0 1.0 0.4 0.2 -0.4 e0 e2e1 Resonancia en un circuito serie RLC, lugar geomtrico de |z|, de |y| de I la curva universal de resonancia, puntos de media potencia, ancho de banda, factor de calidad.