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Conseguenze generali delle leggi di Newton. Principi di conservazione
Note le forze, la 2a L. di Newton consente di calcolare il moto di un corpo. E’ solo questione di calcolo
Tuttavia si possono dimostrare alcune proprietà o leggi generali molto importanti, perché
• forniscono un punto di vista globale di applicabilità generale
• la loro validità trascende di gran lunga i limiti della meccanica newtoniana
Il lavoro di sistemazione della meccanica classica copre un lungo periodo storico: dalla pubblicazione
dei “Principia” di I.Newton (1687) ai lavori di P-S de Laplace e W.R.Hamilton (1796 - 1835)
Queste sono formulate come “leggi di conservazione”, nel senso che, a certe condizioni,
alcune quantità rimangono costanti durante l’evoluzione del sistema.
Conservazione dell’Energia (invarianza per traslazione temporale: omogeneità del tempo)
Conservazione della quantità di moto (invarianza per traslazione: omogeneità dello spazio)
Conservazione del momento angolare (invarianza per rotazione: isotropia dello spazio)
sono considerate le leggi più generali della Fisica e derivano in ultima analisi da
simmetrie fondamentali dello spazio-tempo.
Altezza massima raggiunta da un corpo con velocità iniziale v0
g
vh
2
2
0
v0
h
in entrambi i casi
e in molti altri
v0
h
Esempio 1.
Energia meccanica - Introduzione. C’è sotto qualcosa?
h
v0 il modulo della velocità all’impatto vale: ghvv f 22
0
Velocità al suolo di un corpo lanciato con velocità iniziale v0 Esempio 2:
indipendentemente dall’angolo di lancio
sFFssFABFW T cos
Esempio:
lavoro di una forza costante, il cui punto di applicazione si sposta da A a B.
rs
F
A B
900
180900
9000
W
W
Wlavoro motore
lavoro resistente
lavoro nullo
Unità di misura è il Joule. grandezza scalare 2
2
s
mkgNmJW
Lavoro di una forza - definizione
prodotto scalare
Nota: questo è un esempio particolare, non la definizione generale di lavoro (*)
(*) Non dire che il lavoro è «forza per spostamento»
dsFsdFW
B
A
B
A
cos,,
F
A
B
s
d
In generale, il lavoro dipende dal tragitto.
in componenti cartesiane:
B
A
Z
B
A
Y
B
A
X
B
A
ZYX dzFdyFdxFdzFdyFdxFW ,,,,
sdFdW
Nel caso generale si divide il tragitto in tratti
abbastanza piccoli che la forza F si possa
considerare costante in ognuno di essi
queste sono le formule da ricordare!
Lavoro di una forza il cui punto di applica-
zione si sposta da A a B lungo la linea .
attenzione: i tre integrali non sono indipendenti.
Lavoro di una forza - definizione
smgABgmWP sin
Massa che scivola da A a B su un piano inclinato liscio (AB=s)
0NW smgWWW NPTOT sin
A
B P
P
||P
N
moto uniformemente accelerato con singa sgvv
if sin
22
22
moltiplicando per la massa: 22
22ifTOT v
mv
mW ovvero KTOT EW
Energia cinetica di un punto materiale
m
pv
mEK
22
22
Js
mkgEK
2
2
grandezza scalare, si misura in
Il risultato appena ottenuto è un caso particolare di un teorema generale
Lavoro di una forza - Esempio
dtmvdt
ddtv
dt
vdmsd
dt
vdmsdF
2
2
1
Teorema dell’Energia cinetica
KTOT EW
B
A
sdFW
KiKfAB
B
A
EEvm
vm
sdFW 22
22
ovvero
di validità generale, conseguenza delle sole leggi di Newton
v F
v F
v F
se W>0 l’energia cinetica aumenta (|v| aumenta)
se W<0 l’energia cinetica diminuisce (|v| diminuisce)
se W=0 l’energia cinetica non varia
12
3
Il segno del lavoro non è convenzionale! Non dipende dalla scelta delle coordinate.
per un punto materiale
Si consideri un punto materiale soggetto alla forza risultante F. In uno spostamento da A a B
il teorema è stato dimostrato per un punto materiale. Vedremo in seguito che si può
estendere ad un sistema qualsiasi
K
N
k
kTOT EWW 1
lavoro della forza Fk
la formula è identica ma c’è una differenza importante: se il sistema non è un punto
materiale il lavoro totale (somma del lavoro di tutte le forze) non è uguale al lavoro
della forza risultante
totF
N
k
k WW
1
(L’uguaglianza è garantita solo per un punto materiale)
Teorema dell’Energia cinetica – precisazione importante
Potenza
Il lavoro per unità di tempo si dice potenza.
vFdt
sdF
dt
dWP
t
WP
si misura in Watt:
potenza media potenza istantanea
grandezza scalare
Un’auto (m=1200kg) accelera da 0 a 100km/h in 6.0s.
Determinare la potenza media erogata e la potenza
istantanea massima nell’ipotesi di accelerazione costante.
kWt
E
t
WP K 77
FvvFP
kWFvP MAXMAX 154
3
2
s
mkg
s
JWP
2/63.4 smt
va
kNmaF 56.5
Lavoro di forze particolari - Forza peso
non dipende dal percorso, ma solo dagli estremi A e B
ABPsdPsdPW
B
A
B
A
,,
ABYYXX yymgABPABPW
0 AB xx AB yy -mg
proprietà di ogni forza costante, non solo forza peso.
Se yf > yi (il punto sale) il lavoro è negativo: l’energia cinetica diminuisce
Se yf < yi (il punto scende) lavoro positivo: l’energia cinetica aumenta
A
B
h
O
yA
yB
x
gmP
ABP yymgW
dxkxdW
Dipende solo dalla posizione iniziale e finale.
x
FEL
2
1
2
2
2
12
xxk
kxdxW
x
x
Lavoro di forze particolari - Forza elastica
2
1
2
22
xxk
WEL
12
12
0
0
xxW
xxW
EL
EL distensione
compressione
lunghezza del tragitto G G DADW f
dipende dal tragitto
è sempre negativo
GG
B
A
D
B
A
D dsdsW,,
ff
Lavoro di forze particolari - Forza di attrito dinamico
si consideri per semplicità il moto su un piano orizzontale, da A a B lungo la curva G.
Se l’unica forza verticale è la forza peso, il modulo di fAD è costante.
dssddW DD ff
dtv
opposta alla
velocità
A
B G
Il lavoro della forza di attrito dinamico
g
h A
B
una forza si dice conservativa se il suo lavoro non dipende dal tragitto ma solo
dalla posizione iniziale e finale
ABABAB WWW hg ,,
Una forza si dice conservativa se il suo lavoro lungo qualsiasi percorso chiuso è nullo
Forze conservative. Due definizioni equivalenti
E’ più corretto parlare di campi di forza: una forza conservativa può dipendere solo della posizione
0,,,,
B
A
B
A
A
B
B
A
sdFsdFsdFsdFsdFhghg
Def. 1
Def. 2
0 sdF
Sono definizioni equivalenti. Infatti:
Osservazione: non si può ottenere lavoro da una forza conservativa su un percorso chiuso.
Le forze il cui lavoro non dipende dal tragitto hanno un ruolo importante; sono dette conservative
ABPPP WAEBEE
Energia potenziale
Il lavoro della forza conservativa, cambiato di segno, è pari alla variazione di energia potenziale
Se una forza è conservativa si può definire una funzione della posizione (EP) tale che
A
B
la definizione ha senso perché WAB non dipende dal tragitto
(definizione “del libro”)
PEPè l’energia potenziale nel punto P
Osservazione: PEP kPEP
l’energia potenziale è definita a meno di una costante additiva.
[EP]=[W]=J grandezza scalare
g
h O
P Un modo forse più intuitivo di definire l’energia potenziale
della forza conservativa F:
P
O
PP sdFEPE 0)(
L’arbitrarietà della costante non è un problema: hanno senso solo le variazioni di energia potenziale
• Si sceglie un punto O arbitrario
• Si definisce EP(O) = EP0 arbitrario
• Nel punto P, EP vale:
La definizione ha senso perché l’integrale non dipende dal tragitto
L’energia potenziale è definita a meno della costante additiva EP0
Il lavoro WAB si può esprimere in funzione di EP calcolata in A e in B:
PPPOPPO
B
O
O
A
B
A
AB EBEEAEEsdFsdFsdFW
Energia potenziale (Altra definizione)
cost mgyEP
Energia Potenziale della forza peso
fi mgymgyW
PfPi EEW
nel caso della forza peso:
EP>0 se y>0 (W<0 e quindi EK<0)
EP<0 se y<0 (W>0 e quindi EK>0)
y è la coordinata su un asse verticale orientato «in su» (cioè opposto a g)
Dalla definizione di energia potenziale:
ogni funzione EP del tipo
Che EP sia definita a meno di una costante arbitraria appare anche dal fatto che l’origine
dell’asse y si può scegliere in modo arbitrario
costante arbitraria
Osservazioni:
soddisfa le condizioni
2
2x
kEP
In genere si pone cost=0 (EP nulla se la molla è a riposo)
+ cost.
Energia potenziale elastica
Dal confronto delle due espressioni si ricava:
22
22if x
kx
kW
PfPi EEW
nel caso della forza elastica:
Dalla definizione di energia potenziale:
gm
xk
In presenza di più forze conservative l’energia potenziale
è la somma delle energie potenziali.
PTOTPEPPEP EEEWWW
con PEPPPTOT EEE
Caso di più forze conservative
forza peso forza elastica
Se le forze sono tutte conservative
Energia meccanica:
Teorema di conservazione dell’energia meccanica
PFPIKIKF EEEE
PIKIPFKF EEEE 123 123
Se un corpo è soggetto a sole forze conservative, la sua energia meccanica è costante
KEW
PKM EEE
MIMF EE
PK EE Teorema dell’energia cinetica:
PEW
Definizione:
In altri termini:
Conservazione dell’energia meccanica
v0
Corpo lanciato verso l’alto Esempio con la forza peso.
mghvm
mghEEE
vm
EEE
PfKff
PiKii
20
20
20
02
Corpo lanciato verso l’alto lungo
un piano inclinato liscio.
v0
corpo lanciato lungo una guida liscia qualsiasi
Qual è l’altezza massima che può essere raggiunta?
il risultato non dipende dai dettagli del moto ma dalla conservazione dell’energia meccanica
g
vh
2
2
0
Conservazione dell’energia meccanica
Pendolo.
)cos1(2
2
cos0
0
2
max
2
max
0
mgvm
mgvm
EEE
mgEEE
PfKff
PiKii
Pendolo lasciato andare da un’inclinazione 0 rispetto alla verticale. Calcolare la velocità
nel punto più basso
Nota: Queste non sono piccole oscillazioni
Quanto vale la tensione del filo nel punto più basso?
2vaN
NmamgT
velocità e tensione ad un angolo generico?
v=0 0
T
gmv
0cos23 mgT
m
k
x
inizio fine
La massa m è lasciata andare con vi=0 e molla a riposo.
Trovare l’allungamento massimo della molla
doppio dell’allungamento all’equilibrio
k
mgxMax 2
00 PiKii EEE
mgxx
kEEE PfKff
2
20
Conservazione dell’energia meccanica
h
x
compressione massima della molla?
dzFdyFdxFsdFdWdE ZYXP
se si considera uno spostamento lungo x: dy = dz = 0 dxFdE XP
z
EF
y
EF
x
EF
PZ
PY
PX
Si è visto come si ricava l’energia potenziale data una forza conservativa.
Consideriamo il problema inverso: ricavare la forza (conservativa) data l’energia potenziale
In un caso 1D dx
dEF P
X
Esempi ….
La forza (conservativa) è sempre diretta nel verso di EP decrescente.
Forze conservative ed Energia potenziale
PP EEF
grad
x
EF P
X
si riassume dicendo
massa m vincolata all’estremo
di una molla ideale di costante k
su piano orizzontale liscio.
Grafico dell’Energia (caso 1D)
v
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
2
2x
kEP
cost22
22 vm
xk
EM
EP
EK
F
equilibrio
Grafico dell’Energia (caso 1D)
punti di inversione
EP
x
EM
posizioni di equilibrio
x
EM
EP
max min min
Energia meccanica in presenza di forze NON conservative
KNCCTOT EWWW
PKNC EEW
Teorema dell’energia cinetica:
PE
MNC EW
Il lavoro delle forze non conservative produce una variazione di energia meccanica.
L’energia meccanica di un sistema può essere modificata solo mediante il lavoro di
forze non conservative.
Quali sono le forze non conservative?
Oltre alle forze di attrito (radente o viscoso), resistenza del mezzo ...
consideriamo non conservative anche le “forze applicate” (muscolare, motore ...)
lavoro delle forze
non conservative
lavoro delle forze
conservative
Energia meccanica in presenza di forze NON conservative
che lavoro si deve fare per
mettere in orbita un satellite?
che lavoro si deve fare per portare il
pendolo dallo stato A allo stato B?
m
A B
A B
PKMF EEEW
il lavoro della «forza applicata» (o «esterna») F, considerata non conservativa, è
Se l’energia cinetica non varia (ad es. lavoro necessario per sollevare un oggetto)
PF EW