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Conocimiento Común en Teoría de Juegos

Juan S. Araujo Jaime E. Fernández Universidad San Francisco de Quito

Abril 2010 1. Ideas Iniciales 1.1. Álgebra del Conocimiento

Previo al desarrollo de teoría de juegos empleando las herramientas del conocimiento común, son necesarios algunos resultados y definiciones que se detallan a continuación. Éstos han sido tomados en base a los documentos de Rubinstein (1994) y Fudenberg y Tirole (1991). Definición 1. Una función de información h de un espacio es aquella que asocia para cada ∈ un conjunto no vacío h ∈ .

Dada la anterior definición, el par ,h debería usualmente satisfacer las siguientes condiciones: (1) ∈ h, ∀ ∈ Esto es, el individuo nunca excluye el estado verdadero del conjunto de estados que considera posibles. (2) ′ ∈ h h ′ h Esto es, el individuo hace uso de las consistencias e inconsistencias de los estados para realizar inferencias acerca de los mismos. Definición 2. Una función de información h de es particionable si existe una partición H de tal que para cualquier , h es elemento de la partición que contiene a . Lema 1. Una función de información h es particionable cumple con las condiciones (1) y (2). En consecuencia se habla de h como una partición de información. Definición 3. Se dice que KE : h ⊆ E es la función de conocimiento en al respecto de un evento E ⊆ , si satisface: (3) K Esto es, en todo los estados, el individuo sabe que algún estado de ha ocurrido. (4) E ⊆ F KE ⊆ KF Esto es, si ocurre F cuando lo hace E , y el individuo conoce E , entonces también conoce F . (5) KE ∩ KF KE ∩ F Esto es, si el individuo conoce E y F entonces conoce también E ∩ F.

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Si además h satisface (1) entonces K cumple con el axioma de conocimiento:

(6) KE ⊆ E . Si h es particionable entonces K cumple con el axioma de transparencia: (7) KE ⊆ KKE , donde KKE indica que el individuo conoce que conoce E . Lo anterior surge del hecho que si se cumplen (1) y (2), entonces KE es la unión de todas las partes de la partición inducida por h .

Existe también el axioma de la sabiduría dado h particionable, el cual indica que (8) ∖ KE ⊆ K ∖ KE Esto es, el individuo está conciente de lo que no sabe.

Se puede demostrar también que dado KE , existe la noción de invertibilidad, por ende (9) h ∩E ⊆ : ∈ KE. 1.2. Conocimiento Común Definición 4. Para el caso de dos individuos, sean K1 y K2 las funciones de conocimiento de los individuos 1 y 2 respectivamente para el conjunto de estados. El evento E ⊆ es conocimiento común entre 1 y 2 en el estado ∈ , si pertenece a todos los conjuntos en la secuencia K1E,K2E,K1K2E,K2K1E, . . .

El siguiente teorema fue desarrollado por Aumann (1976) y entrega una definición alternativa y más general de conocimiento común. Teorema 1. Sea M la conjunción de todas las particiones Hi . El evento E ⊆ es conocimiento común en si y sólo si M ⊆ E. Definición 5. Sean h1 y h2 las funciones de información de los individuos 1 y 2 respectivamente para el conjunto de estados. Un evento F ⊆ es evidente en sí mismo entre 1 y 2, si para todo ∈ F , se tiene que hi ⊆ F, con i 1,2 . Además, un evento E ⊆ es conocimiento común entre 1 y 2 en el estado ∈ , si hay un evento evidente en sí mismo F para el que ∈ F ⊆ E.

La ilustración que se presenta a continuación, pretende detallar el álgebra detrás del conocimiento y el conocimiento común. Ejemplo 1

En el libro El Hombre que Calculaba de Malba Tahan (1949), se cuenta la historia de la princesa Dahizé y sus tres pretendientes Aradin, Benefir y Comozán. A fin de escoger al futuro esposo de su hija, el rey pide a un sabio de gran confianza que determine cuál de

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los tres hombres es el más inteligente. El sabio entonces les plantea el siguiente juego:

Existen cinco discos de madera que son iguales en forma y en peso, tres de estos son blancos (color identificado por el número 1) y dos son negros (identificado con 0). Luego de vendar los ojos de los pretendientes, se coloca en la espalda de cada uno un disco cualquiera. El sabio a continuación les dice que se interrogará en privado uno a uno a los implicados y aquel que descubra el color de su disco mediante un razonamiento lógico y coherente será el nuevo esposo de Dahizé. Al momento de ser interrogado, el pretendiente podrá ver los discos que tienen los otros.

Dado esto, los tres jugadores conocen el conjunto de posibles estados 1 , donde cada estado6 dA ,dB ,dC , indica el color de los discos de Aradin (dA ), Benefir (dB ) y Comozán (dC ), y tiene probabilidad de ocurrencia de 1/7 . Por lo tanto, el conjunto de estados quedaría definido por

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1,1,1, 1,1,0, 1,0,1, 0,1,1,1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 .

En consideración a la narración anterior, es evidente que el evento E es

conocimiento común en un sentido informal debido aquel las reglas del juego fueron especificadas a todos los pretendientes y todos ellos saben que todos saben.

El sabio entonces exclama: "¿Quién quiere ser el primero?". Comozán inmediatamente alza la mano y, sacándose la venda de sus ojos, observa los discos de los Aradin y Benefir. Nótese que en este punto, Comozán tiene la estructura de información HC 1,1,1, 1,1,0,1,0,1, 1,0,0,0,1,1, 0,1,0,0,0,1. Esta partición indica que si el jugador observa al menos un disco blanco, no estaría seguro de cuál es el color de aquel que lleva en la espalda, pero si observa dos discos negros inmediatamente conocerá que el suyo es blanco.

Cuenta la historia que Comozán se acerca al sabio y le dice en secreto el color que piensa está en su espalda. El sabio entonces sacude su cabeza negativamente y solicita al jugador que abandone el palacio pues ha perdido su oportunidad de desposar a Dehizé. Se anuncia a los pretendientes restantes que Comozán ha salido del juego por lo que la información de éstos se actualiza. La derrota del primer jugador indica que al menos hay un disco blanco en las espaldas de los dos pretendientes restantes, pues de no ser el caso, Comozán hubiera ganado. El conjunto de estados entonces se redefine para todos los jugadores tal que 2 1,1, 1,0, 0,1 , donde los estados se componen por dA ,dB .

El sabio exclama a continuación: "¿Quién quiere ser el segundo?". Benefir alza su mano y se quita el vendaje de sus ojos para mirar el disco que está en la espalda de Aradin. La partición de información que tiene Benefir en este punto es HB 1,1, 1,0,0,1 , por lo que si observa un disco blanco dudaría al respecto del color de su disco, pero si ve uno negro sabría al instante que el suyo es blanco y

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ganaría.

El relato detalla que Benefir se acerca al sabio, le da una respuesta y pierde, retirándose consecuentemente del palacio. Aradin entonces se entera de esto y pidiendo la palabra dice "Mi disco es de color blanco". Es así que el rey le entrega la mano de Dehizé al ser reconocido como el más inteligente de los pretendientes. La solución presentada por el ganador radica en que, luego de la salida de Benefir el conjunto de estados se actualiza tal que 3 1 , donde dA , y como Aradin conoce este conjunto puede saber cuál es el color del disco que lleva en la espalda.

Nótese que la paciencia de Aradin que le llevó a ganar el juego, es completamente racional, tanto desde un punto de vista del álgebra del conocimiento, como de las leyes de probabilidad. En cuanto a lo segundo, la probabilidad de que Comozán ganase, denotada por PrC , era de 1/7. La probabilidad de que Benefir ganase y Comozán perdiera, denotada PrB ∩ C era de

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3 5/21 1/7. Y la probabilidad que Aradin sea el vencedor y los otros perdiesen, denotada PrA ∩ B,C era de 23 1 2/3 5/21 1/7.

2. Aplicaciones del Conocimiento Común en Teoría Juegos

Ahora que se conocen las definiciones y el funcionamiento del conocimiento y conocimiento común desde un punto de vista matemático, es posible aplicar estos conceptos en los modelos de equilibrio en teoría de juegos. Si bien las posibles adaptaciones son extensas, la presente sección expone tres casos particulares que pretenden ser manifestaciones suficientemente claras acerca del conocimiento común aplicado.

Defínase para esto el juego Γ I,Ui i1I ,Si i1

I y el conjunto de estados ,

en el que cada estado ∈ detalla las condiciones del entorno en que se encuentra el mencionado juego. Esto implica que cada contiene información acerca de la estructura global; en específico, le corresponden para cada jugador i , funciones de información hi ⊆ , estrategias si ∈ Si , y creencias i acerca de las posibles estrategias de los demás jugadores j ̸ i.

Dado esto, se asume que es conocimiento común en cualquier , que la estructura del juego en el que se encuentran los jugadores está dada por Γ ; en consecuencia, todos los individuos conocen sus posibles estrategias y las posibles estrategias de los demás. Otros supuestos importantes que se consideran tratan de la racionalidad de los agentes y de que sus creencias son fundamentadas en sus conocimientos al respecto del entorno. 2.1. Estar de Acuerdo en No Estar de Acuerdo

Una implicación del conocimiento común en el equilibrio de juegos fue planteada por Aumann (1976). El autor afirma que en un juego de naturaleza bayesiana, los jugadores no pueden "estar de acuerdo en no estar de acuerdo" al respecto de sus creencias posteriores

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acerca de un evento cuando estas creencias son conocimiento común. La lógica detrás del argumento fue estudiada por Geanakoplos y Polemarchakis (1982), quienes explican que si se da el caso en que las probabilidades a posteriori son distintas, los jugadores inmediatamente revisarían su posición y ajustarían su conclusión en vista de la nueva información entregada por los otros agentes. El siguiente teorema formaliza estas líneas. Teorema 2. Suponiendo un juego en que hay un grupo de individuos I con funciones de información particionables, y creencias iniciales iguales acerca de los estados ∈ . Si es conocimiento común en que las probabilidades posteriores al respecto de un evento E son qi∈I , se debe entonces cumplir que qi qj, ∀i, j ∈ I .

El ejemplo a continuación evidencia lo postulado en el teorema. Ejemplo 2

Sea un juego entre dos individuos en el que se lanzan dos monedas justas tal que el conjunto de estados se define como H,H, H,T, T,H, T,T. Al primer jugador se le permite observar la primera moneda luego de realizado el experimento, mientras que al segundo se le envía una señal cuando el resultado ha entregado al menos una cara. Esto implica que las particiones de información son H1 H,H, H,T,T,H, T,T H2 H,H, H,T, T,H,T,T. Además, a los jugadores no les está permitido comunicarse bajo ningún motivo.

El objetivo del juego es medir la probabilidad a posteriori del evento E : "las dos monedas caen de la misma forma", es decir, E H,H, T,T . Es evidente que la probabilidad inicial de E para ambos jugadores es 1 2 1/2. Ahora bien, si se toman en cuenta las particiones antes especificadas, se pueden obtener las creencias posteriores dado que ocurre un estado cualquiera. Suponiendo para esto que al lanzar las monedas el resultado entrega dos caras (esto es, H,H ), entonces en consideración a la nueva información se tiene que

Pr1E ∣ H,H 1/4

1/4 1/4 1

2

Pr2E ∣ H,H 1/4

1/4 1/4 1/4 1

3

La razón de que Pr1 ̸ Pr2 radica en que estas creencias no son conocimiento común como se muestra a continuación. En el estado H,H el jugador 1 conoce Pr2 ya que sabe la estructura de H2 y K1Pr2 1/3 H,H, H,T. Por su parte, el jugador 2 conoce Pr1 ya que sabe la estructura de H1 y K1Pr1 1/2 H,H, H,T, T,H. Sin embargo, el segundo desconoce que el primero sabe Pr2 . Considerando el evento "el jugador 1 conoce que Pr2 1/3 " -es decir, K1Pr2 1/3 -, el individuo 2 analizará secuencialmente los distintos escenarios en base a su conjunto de información h2 H,H H,H, H,T, T,H, esto implica que:

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Si el jugador 2 considera que el estado es H,H , entonces sabe que la probabilidad que le

asignaría el otro individuo sería Pr2E ∣ H1 12

13 1

213 1

3 . Si por otro lado, considera que el estado es H,T , entonces sabe que la probabilidad que se le atribuiría

sería Pr2E ∣ H1 12

13 1

213 1

3 . Pero si considera que el estado es T,H , entonces sabe que la probabilidad fijada por el otro sería Pr2E ∣ H1 1

213 1

2 1 23 . Resulta evidente entonces que

K2K1Pr2 1/3 ∅ y se puede afirmar que la creencia posterior Pr2 1/3 no es conocimiento común en el estado H,H .

Suponiendo un nuevo esquema cooperativo, en que se permite la comunicación entre los jugadores luego de realizado el experimento, las creencias posteriores se volverían consecuentemente conocimiento común en un cualquiera. Y dada la nueva información que reciben los individuos, sus particiones se redefinirían como H1

′ H,H, H,T,T,H,T,T H2

′ H,H, H,T,T,H,T,T, debido a que el jugador 1 podría indicar al segundo si vio o no una cara, y este podría comunicar si se le envió o no la señal. Por ejemplo, en el caso que el experimento entregue como estado H,H , ambos jugadores tendrían una probabilidad a posteriori igual a 1/2, y el teorema se cumpliría. 2.2. La Imposibilidad de Especular

Milgrom y Stokey (1980) introdujeron este problema en el que se afirma que individuos aversos al riesgo con creencias iniciales iguales al respecto de un evento, nunca serán participes de un juego especulativo si su disposición a apostar es conocimiento común. Para entender mejor esta idea, defínase el conjunto I′ ⊆ I que representa a los jugadores que participan en el juego. Sea ai el monto apostado por el jugador i ∈ I′ en el estado ∈ , Sea también U Ui i∈I ′ , donde Ui es la utilidad neta que recibe i en luego de realizado el juego tal que:

Ui

∑j∈I ′

aj − ai si i decide jugar en y gana

−ai si i decide jugar en y pierde

0 sii decide no jugar en

o si juega pero nadie gana .

Nótese que si en se tiene que I′ i (esto es, solamente hay un jugador), entonces el pago Ui 0.

Se cumple en un juego especulativo con estas características que

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U Ûi 0 , ∀i ∈ I′ es un óptimo de Pareto, que se puede presentar en los tres casos siguientes: - Ningún individuo participa en el juego y en consecuencia I′ ∅ . - No existe ningún ganador en el juego. - No existen suficientes jugadores para llevar a cabo el juego. En general, esto sucede cuando I′ i como se mostró antes.

Dadas estas definiciones, el argumento de Milgrom y Stokey (1980) puede formalizarse con el teorema a continuación. Teorema 3. Suponiendo un juego especulativo con I′ participantes que son aversos al riesgo de forma débil y con un óptimo de Pareto U Ûi 0 , ∀i ∈ I′ . Si es conocimiento común en que Ui ≥ Ûi para cada individuo i ∈ I′ , entonces todos los jugadores están indiferentes entre Ui y Ûi en . En caso que la aversión al riesgo fuera estricta, se cumple que Ui Ûi, ∀i ∈ I′ , y el juego no se lleva a cabo.

El siguiente ejemplo, permite ilustrar lo tratado en el teorema. Ejemplo 3

Suponiendo un juego especulativo en que tres individuos neutrales al riesgo pueden apostar un monto 1 al respecto de un suceso cualquiera. En caso de entrar en competencia, el jugador 1 ganaría en el estado 1 , el jugador 2 lo haría en 3 y el tercero en 2 . Las siguientes matrices de pagos presentan los tres escenarios que se podrían presentar. En estas matrices la primera columna presenta las estrategias del jugador 3, la segunda son las estrategias de 1 y la primera fila corresponde a lo que el individuo 2 puede hacer. - En 1 :

Apostar (A) No Apostar (NA)A A 2,−1,−1 1,0,−1

Na 0,0,0 0,0,0

NA A 1,−1,0 0,0,0

NA 0,0,0 0,0,0 - En 2 :

A NAA A −1,−1,2 −1,0,1

Na 0,−1,1 0,0,0

NA A 0,0,0 0,0,0

NA 0,0,0 0,0,0

8

- En 3 : A NA

A A −1,2,−1 0,0,0

Na 0,1,−1 0,0,0

NA A −1,1,0 0,0,0

NA 0,0,0 0,0,0

Los tres posibles estados tienen probabilidades a priori 1 2 1

4 ,3 12 , comunes para todos los individuos; y las particiones de

información difieren en base a los conocimientos del entorno que los individuos tengan tal que H1 1 ,2 ,3 H2 1 ,2 ,3 H3 1 ,2 ,3

Suponiendo que el estado 1 sucede, ¿qué estrategia sería la preferida por cada jugador? El primero optaría por apostar ya que U11 2 Û11 0. El segundo haría un analisis bayesiano de sus pagos e igualmente apostaría ya que U21 1

4 −1 14 −1 1

2 2 12 Û21 0. El último jugador igualmente

apostaría porque U31 14 −1 1

4 2 14 Û31 0. Es así que en todos los

participantes del juego deciden apostar y el teorema no se cumpliría, beneficiando claramente al agente 1.

La razón detrás del argumento anterior es que no es conocimiento común en el estado 1 que para todos los jugadores Ui1 ≥ Ûi1 , como se procede a demostrar. Usando la definición de conocimiento presentada en la primera sección de este documento se tiene que dada una serie de eventos Ei : "el jugador i prefiere apostar", es decir, Ei i , se tiene que K1E1 1 , K2K1E1 ∅, K3K1E1 ∅ K2E2 ∅ K3E3 ∅ . Esto es, los jugadores 2 y 3 no conocen cuando preferirían apostar dadas sus particiones de información, y tampoco sabrían en qué momento el individuo 1 sabe que prefiere entrar en el juego.

Sin embargo, un conjunto de estrategias como aquellas obtenidas en el ejemplo, no representan un equilibrio estable en el sentido de Nash. Esto resulta intuitivo si se considera que la mejor respuesta que tendrían los jugadores 2 y 3 frente a lo que hagan los demás individuos en el estado 1 , sería no apostar obteniendo así un pago neto de Ui1 Ûi1 0. Stiglitz (1971) y Kreps (1977) formalizaron este hecho y

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concluyeron que en un escenario con asimetría de información, creencias iniciales iguales e individuos neutrales frente al riesgo, aquellos agentes con más información no se podrán beneficiar de ésta.

Otra implicación de esto ha sido planteada por Tsakas (2010). El autor afirma que un juego especulativo no se llevará a cabo si el número de individuos que están dispuestos a participar es conocimiento común. Argumenta en cuanto a esto, que para los agentes es más importante conocer el comportamiento agregado (cuantas personas jugarán) que el comportamiento individual (quiénes son esas personas). 2.3. El Juego de la Guerra

El siguiente ejemplo es una variación del conocido juego del correo electrónico y busca englobar todos los conceptos planteados en este documento. Ejemplo 4

Suponga un escenario de batalla en que dos pelotones aliados rodean a un grupo enemigo que tiene posesión de un puente. Cada uno de los mencionados pelotones se ubica en uno de los extremos del puente, por lo que éste es el único camino que los conecta. El esquema a continuación indica la coyuntura mencionada.

Los aliados saben bien que si atacan al enemigo de forma separada perderán ya que poseen menos hombres, por lo que necesitan unir fuerzas para hacerse con el puente.

Además, se pueden presentar dos posibles estados: que llueva ( l ) o que no ( nl ). Estos estados tienen probabilidad p 1/2 y 1 − p respectivamente, según la previsión de varios expertos aliados. Si se da el primer caso, entonces el río aumentará su caudal cubriendo el puente, y varios soldados enemigos morirán.

Sean por lo tanto los siguientes juegos normales dadas las contingencias mencionadas, donde los pagos representan el número neto de soldados enemigos muertos (en miles):

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(a) Si llueve, con probabilidad de ocurrencia p 12 :

No Atacar AtacarNo Atacar 2,2 1,−5

Atacar −5,1 0,0 (b) Si no llueve con probabilidad de ocurrencia 1 − p :

No Atacar AtacarNo Atacar 0,0 1,−5

Atacar −5,1 2,2

Si se diera el caso y llueve, la estrategia de no atacar sería la mejor opción dando un pago de 2 a ambos grupos. Si por otro lado no llueve, el que los pelotones ataquen sería un óptimo de Pareto con pago de 2. Sin embargo, dada la estructura del juego, resulta muy riesgoso optar por la estrategia de atacar, excepto que se esté completamente seguro que el otro grupo hará lo mismo.

Cabe mencionar, que en el pelotón apostado a la izquierda del río según el esquema antes detallado, existe un instrumento para pronosticar la lluvia, por lo que de antemano este grupo conoce el comportamiento del clima. Es así que se pueden definir las particiones de información tal que H1 l,nl y H2 l,nl . Y dado esto, el único equilibrio de Nash sería que ambos no ataquen, por lo que el pago esperado para ambos sería 2p .

Pero en el grupo aliado 1 también existe un emisario que puede llevar mensajes (a través del puente) al otro pelotón, por lo que las condiciones del clima pueden comunicarse y por ende convertirse posiblemente en conocimiento común al refinar la partición H2 . El juego entonces presenta la siguiente estructura conocida por todas las partes: - Los pagos están definidos por las dos matrices de pagos de la misma forma que antes. - La comunicación entre los pelotones 1 y 2 está limitada a un emisario que transporta mensajes. - Si se da el estado l no se envía ningún mensaje con el emisario. Caso contrario, sí se envía el mensaje . - Siempre que alguna de las partes reciba un mensaje, reenviará inmediatamente una respuesta de confirmación. Generándose así una cadena. - Dado que el emisario debe pasar a través del puente para transportar los mensajes, existe una probabilidad 0 de que el bando enemigo lo intercepte en cada viaje, evitando así que el mensaje llegue a su destinatario. En caso de suceder lo anterior, la comunicación se corta inmediatamente. - La información que poseen los pelotones al final del proceso, es el número de veces que han enviado un mensaje.

Sea por lo tanto el conjunto de estados 0,0, 1,0, 1,1, 2,1, . . . , n,n, n 1,n, . . . ,

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donde cada estado es un par n1 ,n2 en que ni representa el número de mensajes enviados por el grupo i hacia sus aliados. Sean también las nuevas particiones de información H1 0,0,1,0, 1,1,2,1, 2,2, . . . ,n,n − 1, n,n H2 0,0, 1,0,1,1, 2,1, . . . ,n,n, n 1,n. Estas particiones indican por ejemplo que en el caso que llueva, el pelotón 1 sabrá esto (estado 0,0), pero el 2 no sabría si en efecto lloverá, o bien si se envió al emisario pero este fue interceptado por los enemigos (estado 1,0). Nótese también que en caso que se dé el evento 0,0 , el juego se basará en la primera matriz de pagos antes detallada, y en el resto de estados la segunda matriz será la verdadera.

Es necesario resaltar en este punto, que el juego propuesto es estrictamente de naturaleza bayesiana. Por lo que es útil considerar las creencias iniciales de cada estado, las cuales son iguales para ambos jugadores y se pueden definir de la siguiente manera: Pr0,0 p Prn,n 1 − p1 − 2n−1 , ∀n ̸ 0 Prn 1,n 1 − p1 − 2n

Ahora bien, líneas antes se había mencionado que los pelotones optarían por la estrategia de atacar sólo si están seguros que los otros harán los mismo, esto es, atacarán únicamente si el evento "no lloverá" es conocimiento común. Analizando entonces en base a la información que los grupos poseen: el pelotón 1 conoce cuáles son los pagos en todos los estados; por su parte, en 0,0 y 1,0 el pelotón 2 no conoce cuál es la verdadera matriz. De manera semejante, en 1,0 y 1,1 el grupo 1 no sabe si 2 sabe que la segunda matriz es la verdadera. Continuando con esto, en los estados 1,1 y 2,1 el grupo 2 desconoce si 1 conoce si 2 conoce que la segunda es la verdadera matriz de pagos. Repitiendo esta lógica, se puede concluir que el evento "no lloverá" no es conocimiento común y por ende, los dos pelotones optarán por no atacar nunca.

Para formalizar esta conclusión mediante leyes probabilísticas, es necesario trabajar secuencialmente: (a) En el estado 0,0 , el grupo 1 sabe que lloverá por lo que no atacará. El pelotón 2 por su parte no sabría si lloverá o si el emisario fue interceptado por el enemigo. Si decide atacar su pago esperado sería U2Atacar ; y si decide no atacar esperaría ganar U2 No Atacar . Nótese que U2 No Atacar U2 Atacar ya que

εε

)1()1(25)

pppp

−+−+−

=

ε)1(2)

ppp−+

=

12

2p −5p 21 − p 1 7

2p

1 − p , por lo que este grupo tampoco atacará. (b) En cualquier estado n,n − 1, ∀n ̸ 0 , el evento no lloverá no sería conocimiento común y el pelotón 1 obtendría los siguientes pagos esperados: U1 Atacar U1 No Atacar . Y se cumple que U1 No Atacar U1 Atacar porque 1 − p1 − 2n−1 −51 − p1 − 2n−2 21 − p1 − 2n−1 4 1 − . El grupo 2 por su parte tiene los pagos esperados U2 Atacar U2 No Atacar . Y se cumple también que U2 No Atacar U2 Atacar . (c) Finalmente, en cualquier estado n,n, ∀n ̸ 0, donde el evento no lloverá tampoco es conocimiento común. Los pagos esperados para las distintas estrategias de los dos grupos serían U1 Atacar U1 No Atacar U2 Atacar U2 No Atacar . Por lo que U1 No Atacar U1 Atacar y U2 No Atacar U2 Atacar .

Se cumple entonces que el equilibrio de Nash único en el juego de la guerra es aquel en que ningún pelotón atacará.

1222

1222

)1()1()1()1()1()1(2)1()1(5) −−

−−

−−+−−−−+−−−= nn

nn

pppp

εεεεεεεε

1222

12

)1()1()1()1()1()1() −−

−

−−+−−−−= nn

n

ppp

εεεεεε

2232

2232

)1()1()1()1()1()1(2)1()1(5) −−

−−

−−+−−−−+−−−= nn

nn

pppp

εεεεεεεε

2232

22

)1()1()1()1()1()1() −−

−

−−+−−−−= nn

n

ppp

εεεεεε

2212

2212

)1()1()1()1()1()1(5)1()1(2) −−

−−

−−+−−−−−−−= nn

nn

pppp

εεεεεεεε

2212

12

)1()1()1()1()1()1() −−

−

−−+−−−−= nn

n

ppp

εεεεεε

nn

nn

pppp

212

212

)1()1()1()1()1()1(2)1()1(5)

εεεεεεεε

−−+−−−−+−−−= −

−

nn

n

ppp

212

2

)1()1()1()1()1()1()

εεεεεε

−−+−−−−= −

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3. Conclusiones e Ideas Finales

El estudio del conocimiento común es de suma importancia en los modelos de teoría de juegos debido a su determinancia en el equilibrio de Nash; y es que la capacidad que los individuos posean de conocer eventos relacionados a un juego, influye directamente en las decisiones que tomen. Los ejemplos vistos en este documento son claros ejemplos de lo anterior, donde estrategias aparentemente óptimas, se ponen bajo la lupa al momento de perturbar la estructura global de un juego.

Dentro de este contexto, los estudios realizados por Aumann permiten afirmar que las diferencias en las creencias posteriores de los agentes, se deben exclusivamente a su falta de información al respecto del entorno, o bien a percepciones iniciales erróneas que puedan tener acerca de los estados. Sin embargo, en caso de existir estas discrepancias, el permitir canales de comunicación efectivos sería una solución suficiente y adecuada.

Por su parte, los resultados obtenidos por Milgrom y Stokey, entre otros, permiten extraer conclusiones muy interesantes que se pueden aplicar a los mercados. La primera de estas, mencionada ya líneas arriba, radica en la imposibilidad de ciertos individuos para especular a pesar de poseer mayor información que el resto de agentes. También es posible argumentar en cuanto a esto, que los mercados donde la información es imperfecta, deben su existencia a personas con distintos niveles de aversión al riesgo.

Cabe finalmente destacar que las aplicaciones del conocimiento común no se limitan a la teoría de juegos y al equilibrio; destacan también usos diversos en lingüística, filosofía, informática y biología. Autores como Lewis (1969), Clark (1996), van del Hoek (2000) y Pinker (2007) han visto en el conocimiento común una útil herramienta para explicar los resultados de sus investigaciones.

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4. Bibliografía y Referencias AUMANN Robert, Agreeing to disagree, 1976, Annals of Statistic 4, pp1236--1239.

FUDENBERG Drew, TIROLE Jean, Game Theory, 1991, The MIT press, Cap. 14.

GEANAKOPLOS John, POLEMARCHAKIS Heracles, We can't disagree forever,

1982, Journal of Economic Theory 28, pp 192--200.

KREPS David, A note on fulfilled expectations' equilibria, 1977 Journal of Economic

Theory 14, pp 32-43.

MILGROM Paul, STOKEY Nancy, Information, trade, and common knowledge, 1980

Journal of Economic Theory 26, pp 17--27.

STIGLITZ Joseph, Information and capital markets, 1971, Mimco.

RUBINSTEIN Ariel, A Course in Game Theory, 1994, The MIT Press, Cap. 5.

TAHAN Malba, El hombre que calculaba, 1949, Aedo, Cap. 31.

TSAKAS Elias, Aggregate information, common knowledge and agreeing not to bet,

2010, Springer.