cono de revolucion
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CUERPOS DE
REVOLUCIÓN
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• TIPOS DE CUERPOS DE REVOLUCIÓN:
CILINDRO
CONO
TRONCO DE CONO
ESFERA
DEFINICIÓNUn cuerpo de revolución es un cuerpo generado cuando una figura plana gira alrededor de un eje fijo
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C I L I N D R OEl cilindro es el cuerpo engendrado por un
rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.
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ELEMENTOS DEL CILINDRO• Bases: dos círculos
iguales y paralelos.• Superficie lateral: la cara
lateral no plana, cuyo desarrollo es un rectángulo.
• Eje: el lado fijo del rectángulo que, al girar sobre sí mismo, engendra al cilindro.
• Radio: el radio de las bases.
• Altura: distancia entre las dos bases.
altura
r
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CILINDRO OBLICUO
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ÁREA DEL CILINDROAl desarrollar un cilindro se obtiene un
rectángulo y dos círculos iguales, que constituyen las bases:
Área lateral, : Es el área de un rectángulo cuya base es la
longitud de la circunferencia de la base, 2πr, y la altura, h, es la altura del cilindro o generatriz, g:
Área de las bases, : Es la suma de las áreas de las dos
bases. Como las bases son círculos, cada una
tendrá un área:
El área total de un cilindro es la suma del área lateral más el área de las dos bases:
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VOLUMEN DE UN CILINDROUn cilindro y un prisma recto con la misma altura, bases
de igual área y secciones también de la misma área, según el principio de Cavalieri, tendrán igual volumen.
Si el radio del cilindro es r y la altura h, su volumen será:
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CONOLlamamos cono al cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos
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ELEMENTOS DEL CONO• Altura : la distancia desde el vértice al plano de la base
• Generatriz : la hipotenusa del triángulo rectángulo
• Radio : el radio de la base
• Eje : el cateto fijo del triángulo que al girar engendra el cono
• Superficie Lateral : la cara lateral no plana cuyo desarrollo es un sector circular
radio
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CONO OBLICUO
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ÁREA DEL CONO
El área total de un cono es la suma del área lateral más el área de la base:
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ÁREA DEL CONOEl área lateral es el área de un sector circular de base 2πr y de altura g:
grgralturalongitud
Alateral
ππ =⋅=⋅=2
2
2
El área de la base es el área de un círculo de radio r, por lo tanto:
2rgrAAAbaselateralcono
ππ +=+=
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VOLUMEN DE UN CONO
Un cono y una pirámide de la misma altura e iguales áreas de la base y de las secciones, por el principio de Cavalieri, tendrán el mismo volumen
hralturaAVbasecono
⋅=⋅= 2
31
31 π
r
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TRONCO DE CONO
Un tronco de cono es el cuerpo de revolución engendrado por un trapecio rectángulo al girar sobre el lado perpendicular a sus bases
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ÁREA DEL TRONCO DE CONO
menorbasemayorbaselateralconotroncoAAAA ++=
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ÁREA DEL TRONCO DE CONOEl área lateral es un sector de corona circular que podemos considerar como un trapecio curvilíneo, y aplicando la fórmula del área del trapecio:
2
)( alturamenorbaselongitudmayorbaselongitudAlateral
⋅⋅=
grRgrRgrR
Alateral
⋅+=⋅+=⋅+= )(2)(2
2)22( ππππ
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ÁREA DEL TRONCO DE CONO
menorbasemayorbaselateralconotroncoAAAA ++=
22)( rRgrRAconotronco
πππ ++⋅+=
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VOLUMEN DEL TRONCO DE CONO
El volumen de un tronco de cono se calcula como la diferencia de los volúmenes de los dos conos asociados
menorconomayorconoconotroncoVVV −=
)(3
1 22 hrHRVtroncocono
⋅−⋅= π
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ESFERALlamamos esfera al cuerpo de revolución engendrado por un semicírculo al girar sobre su diámetro
SUPERFICIE ESFÉRICA es la superficie que cubre la esfera
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ELEMENTOS DE UNA ESFERA
•Radio: Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la superficie esférica
• Semiesfera: es una de las partes en la que queda cortada una esfera por un plano que pasa por su centro
• Hemisferio: es la porción de superficie esférica de una semiesfera
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ELEMENTOS DE UNA ESFERA
Paralelos: Las circunferencias que se obtienen al cortar una esfera por planos perpendiculares a su eje
Meridianos: Las circunferencias máximas que pasan por los polos
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ELEMENTOS DE UNA ESFERA
Segmento esférico – es la porción de esfera que obtenemos al cortar una esfera por un plano que no pasa por su centro
Casquete esférico – es la porción de superficie esférica delimitada por un segmento esférico
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ELEMENTOS DE UNA ESFERA
CUÑA ESFÉRICA
ZONA ESFÉRICA
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ÁREA Y VOLUMEN DE LA ESFERA
24 rAesfera
π=
3
34rV
esferaπ=