conjuntos y funciones
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TUTORIALES Y ASESORIAS DE MATEMÁTICAS
MATE 1: ALGEBRAhttp://clubeurk.blogspot.mx/
LIC. CARLOS ALBERTO KUYOC GONGORA.CIRCULO DE IMPULSO ESTUDIANTIL
UNIDAD 1: CONJUNTO Y FUNCIONES
CONTENIDO
Identifica y relaciona los números reales en sus conjuntos correspondientes.
CONCEPTOS BÀSICOSCONJUNTO,
SUBCONJUNTOSIMBOLOGIA
FORMAS DE EXPRESIÓN IMPLICITA O POR COMPRENSIÓN
EXPLICITA O POR ENUMERACIÓN O EXNTENSIÓN
CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS
SEGÚN EL NÚMERO DE ELMENTOS VACÌO, UNITARIO, UNIVERSO
SEGÚN SU DIMENSIÓN FINITOS E INFINITOS
CONJUNTO POTENCIA
CONJUNTOS IGUALESCONCEPTOS BÀSICOS
DE UNA FUNCIÓNDOMINIO CONTRADOMINIO, RANGO
REGLA DE CORRESPONDENCIA
CUANDO EXISTE O NO UNA FUNCIÓN
EXISTE NO EXISTE
CADA ELEMENTO DEL DOMINIO SE RELACIONA CON ALGÚN
ELEMENTO DEL CONTRADOMINIO
DOMINIO TIENE + DE UN RANGO
FALTA UN DOMINIO POR RELACIONARSE
NOTACIÓN DE CONJUNTOS
El conjunto se representa con letras mayúsculas: A, B, C, D…
Emplea las comillas (“”), las llaves ({}) y X/X
Conjunto universal se representa con U
Conjunto vacío tienen por símbolo Ø
Subconjunto emplea: ,
SÍMBOLOS: = Indica que pertenece
a un conjunto = Indica que el primer
conjunto es subconjunto del segundo
= Sirve para indicar una intersección formada por elementos comunes a ambos conjuntos.
= Indica la unión o suma de los conjuntos.
Conceptos básicos:
Conjunto: colección bien definida de objetos llamados elementos.
A= “Conjunto de los números Naturales” A ={1, 2, 3, 4, 5, 6…}
E = “Conjunto de animales”E= {perro, gato, lagarto, iguano…}
Subconjunto: Es la descripción de elementos que pertenecen a otro conjunto de mayor dimensión.
B= “Conjunto de los números primos”B = {2, 3, 5, 7, 11…}C = {“x|x es un Número par “}C ={2, 4, 6, 8, 10….}
F= “Conjunto de los animales que son mamíferos”F = {perro, gato, leon…}G = {“x|x es un animal oviparo “}G ={iguano, serpiente, pollo, ….}
CONJUNTOS DE ANIMALES
RACIONALES
NO RACIONALES
Subconjunto: dados dos conjuntos A y B, se dice que un conjunto B es subconjunto de A, si todos los elementos de B pertenecen a A.
En símbolos se expresa: B ⊂ A.
Descripción de conjuntos: formas de expresión
Por su extensión o enumeración: Consiste en enumerar el listado de los elementos que definen a un conjunto.
Por su comprensión: Consiste en interpretar por medio de palabras un conjunto expresado por su extensión.
Ejemplo:
a)El conjunto de los divisores de 24
Por comprensión:
A = {x / x es divisor de 24}, o también: A = {x ∈ N / 24/x ∈N}
Por enumeración:
A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Conjunto Universal (U): Es aquel que se refiere a todos los elementos de un género específico.
Conjunto Vacío (Ø): Es un conjunto que carece de elementos.
Conjunto Unitario: Es aquel que contiene sólo un elemento.
*Según la dimensión de ellos, pueden ser:
A) FINITOS: Contiene
un número determinado de
elementos.B) INFINITOS: No tiene
un número determinado.
A =“Conjunto de las galaxias que forman el universo”B ={ x|x es una estación del año}C ={lunes, martes, miércoles, … domingo}
D = “Conjunto de los dinosaurios vivos”E ={x|x es un mamut vivo}F= {0}
G = “Conjunto de los animales racionales”H = {x|x es el centro del sistema solar}I= {LUNA}
FINITO
FINITO
FINITO
FINITO
FINITO
FINITO
FINITO
FINITO
INFINITO
Conjuntos iguales: Son conjuntos que tienen exactamente los mismos elementos, sin importar el orden.
Conjunto Potencia; determina todos los subconjuntos que componen a un conjunto. Para determinar dichos conjuntos se expresa con la relación 2n, donde n es el número de elementos que contiene cada conjunto
El conjunto potencia del Conjunto A = {solido, liquido, gaseoso}
es; 23 porque son 3 elementos, por lo tanto, el total de subconjuntos es: 2x2x2 = 8 subconjuntos (incluyendo al vacío)
123
A 312
B
{solido} {liquido} {gaseoso}
{solido, liquido} {solido, gaseoso}
{liquido, gaseoso}
{solido, liquido, gaseoso} {Ø}
A=B
Ejemplo:• Sea el conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, subraya únicamente
el inciso que relacione a todos y cada uno de los términos de conjuntos.
Es un conjunto: A) Si B) No
Según su número de elementos es: 1) Unitario 2) Vacío 3) Universo
Según su dimensión es: X) Finito Y) Infinito
Esta expresado por: I) Comprensión II) Enumeración
El total de subconjuntos es: a) 10 b) 1024
A) 1AaX B) 2AbYII C) 3AbYII D) 3AbXII
• Sea el conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, subraya únicamente el inciso que relacione a todos y cada uno de los términos de conjuntos.
Es un conjunto: A) Si B) No
Según su número de elementos es: 1) Unitario 2) Vacío 3) Universo
Según su dimensión es: X) Finito Y) Infinito
Esta expresado por: I) Comprensión II) Enumeración
El total de subconjuntos es: a) 10 b) 1024
A) 3AbXI B) 2AbYI C) 3AbYII D) 3AbXII
Ejemplo:• Sea el conjunto B = “Conjunto de los días de la semana”, subraya
únicamente el inciso que relacione a todos y cada uno de los términos de conjuntos.
Es un conjunto: A) Si B) No
Según su número de elementos es: 1) Unitario 2) Vacío 3) Universo
Según su dimensión es: X) Finito Y) Infinito
Esta expresado por: I) Comprensión II) Enumeración
El total de subconjuntos es: a) 7 b) 128
A) 3AbXI B) 2AbYI C) 3AbYII D) 3AbXII
• Sea el conjunto B = “Conjunto de los días de la semana”, subraya únicamente el inciso que relacione a todos y cada uno de los términos de conjuntos.
Es un conjunto: A) Si B) No
Según su número de elementos es: 1) Unitario 2) Vacío 3) Universo
Según su dimensión es: X) Finito Y) Infinito
Esta expresado por: I) Comprensión II) Enumeración
El total de subconjuntos es: a) 7 b) 128
A) 3AbXI B) 2AbYI C) 3AbYII D) 3AbXII
Ejemplo:• Sea el conjunto B = “Conjunto de las personas sobresalientes ”,
subraya únicamente el inciso que relacione a todos y cada uno de los términos de conjuntos.
Es un conjunto: A) Si B) No
Según su número de elementos es: 1) Unitario 2) Vacío 3) Universo
Según su dimensión es: X) Finito Y) Infinito
Esta expresado por: I) Comprensión II) Enumeración
El total de subconjuntos es: a) 7 b) 128
A) 1AaX B) 2AbYII C) B D) 3AbXII
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CLASIFICACION DE LOS NUMEROS REALES
Q´ o Q- o I= IRRACIONALES{√2, π, e-, √51 }
Q = RACIONALES{...,-7/2, -3.2, -3 , -4/2, -1, 0, , 1/3, 1, 3/2…}
Z =ENTEROS …-4, -3, -2, -1, 0,
N =NATURALES 1, 2, 3, 4, 5…
R
Números Reales en la recta numérica
Los números reales se definen como todos aquellos números que podemos encontrar sobre una recta numérica, llamada Recta Real, que contiene a todos y cada uno de los números conocidos, desde el más pequeño hasta el más grande de ellos.
Los números reales (R) se clasifican a su vez en distintos tipos de números, dependiendo de las características y formas que poseen.
π0
1 2 3 4 5 ∞-∞ -5 -4 -3 -2 -1
-π -√2 √2 √20
AXIOMAS Y PROPIEDADES EN LOS NÚMEROS REALES.
0
+-
Axioma: Es una proposición matemáticas universal que se admite sin demostración alguna. “En el conjunto de los números reales, al comparar 2 de ellos, resulta mayor aquel que se encuentre a la derecha del otro”.
Del axioma anterior se deduce la propiedad conocida como la ley de Tricotomía, Sean A y B dos números reales, se cumple:A > B (El primero es mayor que el segundo)A < B (El primero es menor que el segundo)A = B (El primero es igual que el segundo)
5 > 2
- 5 < -2
5/2 = 2.5
1/2 >1/3
√36 > π
√25 = 5 -0.2 > -0.5
Rodrigo es mayor que Manuel y menor que José . ¿Cuál es el mayor de los tres?
José>Rodrigo> Manuel
Identidad o Reflexiva: Todo número es igual así mismo.
5 = 5 a = a Rosa es igual a Rosa.
Simétrica o Reciproca: Si un número es igual a otro, éste es igual al primero.
(8+3) = 11 entonces 11 = (8+3)
a=b, entonces b=a
Si Luis tiene el mismo peso que Janet, se puede decir que Janet tiene el mismo peso que Luis
Transitiva: Si un número es igual a otro y esté es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero
5+7 = 12 y 12 = 10 + 2 entonces 5+7 = 10 + 2
Si a=b y b=c entonces a = c
Si la estatura de Reyna es la misma que la de Sandra y la de Sandra es igual a la de Shirley, entonces Reyna tiene la misma estatura que Shirley.
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
Ejemplo:Localiza en la recta real los puntos asociados a los números siguientes:
0
1 2 3 4 5 ∞-∞ -5 -4 -3 -2 -1
Ejemplo
• -32 ___ -53
• (-5)4 ____ 625
• (-2)4 ____ -32
11
5 ____
>
=
>
Carlos dice a un amigo: Yo soy mayor que tú, tú eres mayor que Enrique, Pedro y Juan son gemelos. Sofía es más joven que Juan y Pedro es más joven que Enrique. ¿Cuál es el mayor?
Carlos > tú > Enrique > Pedro = Juan > Sofía
5
12
1
11
5
0.45 0.45
=
13
)169( 2
2)169(
13>
13 0.077
Aplica correctamente la ley de la tricotomía.
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CONCEPTO DE FUNCIÓN COMO RELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS.
• FUNCIÓN: Es la relación que asocia cada elemento de un primer conjunto con uno y sólo uno de los elementos de un segundo conjunto.
• DEFINICIÓN DE DOMINIO, CONTRADOMINIO Y REGLA DE CORRESPONDENCIA
• Al primer elemento de la función se le llama dominio y al segundo se le denomina contradominio.
• A la condición que permite relacionar dos conjuntos, se le llama regla de correspondencia.
Se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados
Dominio Rango
A B
Regla de correspondencia
¿Cuándo no hay función?
A
B
C
1
2
3
4
A B
No hay función porque existe un elemento del dominio sin un contradominio
No hay función porque un elemento del dominio escogió a dos del contradominio
Π-24
2/3
NZQI
A B
Determina si hay o no hay función y su dominio, rango y regla de correspondencia si existe función
3456
2572169
A B
Dominio : Divisores Rango : CantidadesQue cumplen los criteriosDe divisibilidad
Regla de correspondencia : A cada divisor se le relaciono con la cantidad que cumple su criterio de divisibilidad correspondiente
LápizBorradorTajador
Corrector
TelaMaderaGomaMetal
A BSi es
funciónNo es
función
No hay función porque existe un elemento del dominio sin un contradominio
Determina si hay o no hay función y su dominio, rango y regla de correspondencia si existe función
UnitarioPrimo
Compuesto
22051
19
A BNo es
función
No hay función porque existe un elemento del dominio relacionado con más de un contradominio o rango
NZQI
¾
1√2
A B
Dominio : Letras o Símbolos de los R
Rango : Cantidades
Regla de correspondencia : A cada cantidad se le asocio con la letra o simbolo que le corresponde en la clasificacion de los números reales.
Si es función
Inventa y escribe una función diferente a las que hemos
mencionado, señalando sus elementos .
MATERIAS
MAESTROS
FRUTAS
COLORES
ESTADOS DE LA MATERIA
ELEMENTOS
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