conjuntos numéricos - parte 1
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CONJUNTOS e
CONJUNTOS NUMÉRICOS
MATEMÁTICA
Prof. Carlos Eduardo (Zico)
FEVEREIRO - 2012
http://www.zicoprofessor.blogspot.com
PARTE - 01/04
CONJUNTOS
De forma intuitiva associamos um conjunto a uma coleção de objetos. Toda coleção de objetos , animais, pessoas, ou coisas constitui um conjunto.A idéia de conjunto é a mesma de coleção. Os objetos são os elementos do conjunto.
Vejamos alguns exemplos:
1o) Uma coleção de livros escolares é um conjunto; e cada livro é um elementodesse conjunto.
2o) Os alunos do 1ºA formam um conjunto; e cada aluno é um elemento desseconjunto.
2o) Um time de voleibol é um conjunto; e cada atleta do time é um elementodesse conjunto.
CONCEITOS PRIMITIVOS.
REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO:
1) Por extenso ou escrita por extenso ou escrita por extensão ou representação tabular.
Exemplos:
Enumeram-se seus elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por vírgulas.
uoieaA ,,,,
,...5,3,1B
5,4,3,2,1,0C
Vogais do nosso alfabeto.
Números naturais ímpares.
Números naturais menores que 6.
2) Por compreensão ou escrita por compreensão ou por uma propriedade característica.
REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO:
A = { x/x é vogal do nosso alfabeto } uoieaA ,,,,
B = { x/x é número natural ímpar } ,...5,3,1B
C = { x/x é número natural menor que 6 }
6/ xINxC5,4,3,2,1,0C
50/ xINxC
REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO:
3) Por figuras ou graficamente usando diagramas ou diagrama de Venn.
A
a
e
i
u
o
C
1
2
0 4
3
5
Terminologia – Tipos de conjuntos
Conjunto unitário: É aquele que possui um único
elemento.
Exemplos:
53/ xINxA
7B
1/ xINxC
4Aé o mesmo que
é o mesmo que, por exemplo: 87/ xINxB
é o mesmo que 0C
ou, é o mesmo que, por exemplo: 86/ xINxB
Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não
está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio
deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este
conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto
não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns
aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem
elementos.
Exemplos: 54/ xINxCA
0/ xINxD
Conjunto vazio: Todo conjunto também possui como
subconjunto o conjunto vazio representado por:
B
OU Ø
Relação de inclusão
Relação de pertinência
Se a é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento apertence ao conjunto A e podemos escrever Aa
Se a não é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento anão pertence ao conjunto A e podemos escrever Aa
Exemplos:Z16 hgfedcbac ,,,,,,,
uoieac ,,,,Z4
1
Relação de inclusão
U
A é subconjunto de B
ou
BA Lê-se: A está contido em B
ou
A é parte de B
Podemos também escrever:
AB ( lê-se: B contém A )
Subconjuntos
A é um subconjunto de B
Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro
conjunto B quando todos os elementos
de A também pertencem a B.
Por exemplo: A = { 1,2,3 }
B = { 1,2,3,4,5,6 }
.
Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se: BA
Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os
subconjuntos de B que não são iguais a B são
chamados subconjuntos próprios.
A é um subconjunto de B
Nota: O conjunto vazio { }, ou Ф (phi), é um
subconjunto de todos os conjuntos.
Operações entre conjuntos
União de A e B (em azul )
União
A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que
contém todos os elementos de A, todos os elementos
de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um
universo U e dois conjuntos A e B, chama-se
união de A com B ao conjunto cujos elementos
pertencem pelo menos ao conjunto A ou
ao conjunto B.
“Matematicamente”: BxAxUxBA /
ieaA ,, uoB ,
uoieaBA ,,,,
5,4,3,2C 5,3,1D
5,4,3,2,1DC
Exemplo: Dados os conjuntos , ,
e , determine
BA e DC
Resolução:
Respostas: uoieaBA ,,,,
5,4,3,2,1DC
AA
BCACBACBA
Notas sobre União de conjuntos:
•Também deve ser observado que a operação de
união é comutativa, ou seja,
•A união de um conjunto A , qualquer que seja, com o
conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A , isto é:
Intersecção
Intersecção de A e B
(em azul mais escuro)
BxAxUxBA /
A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto de
elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então:
Dados dois conjuntos A e B , pertencentes a um
universo U, chama-se intersecção de A com B ao
conjunto cujos elementos pertencem tanto a A quanto a B.
“Matematicamente”:
AxUxBA / e Bxou
6,4,2C 5,4,3,2D
.DC
4,2DC
Exemplos:
1) Dados os conjuntos e , determine
Resolução:
4,2DCResposta:
ieaA ,, uoB ,
BA
BA
2) Dados os conjuntos e , determine
Resolução:
Resposta: BA
16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5E
INF FE
EFE
3) Dados os conjuntos
e , determine
Resolução:
EFEResposta:
Diferença
Dado um universo U ao qual pertencem dois
conjuntos A e B:
- chama-se diferença de A menos B ao conjunto de
elementos que pertencem a A e não pertencem a B;
- chama-se de diferença de B menos A ao conjunto
de elementos que pertencem a B e não pertencem a A.
Diferença A menos B (em azul mais escuro)
“Matematicamente”: BxAxUxBA /
AxBxUxAB /
Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre
os números inteiros e números naturais não nulos é
igual ao conjunto Z- (números inteiros não-positivos):
*INZ
•A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio
é igual ao próprio conjunto A, isto é,
A - { } = A
,...2,1,0,1,2...,Z ,...3,2,1*IN
_Z 0,1,2...,
Complementar
Complementar de B em relação a A
(em azul mais escuro)
BxAxCB
A /
Dado um universo U, diz-se complementar de um
conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que
contém todos os elementos presentes no universo e
que não pertençam a A. Também define-se complementar
para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto
do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar
de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A)
— é o complementar relativo — e usa-se o símbolo
“Matematicamente”:
B
AC
D
AC
27,25,9,4,3D
AC
Exemplo: Dados os conjuntos A e D, determine
.A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} } e D = { {10,12} }
Resolução:
Obs: DACD
A
Note no exemplo acima esta operação.
SUBCONJUNTOS importantes dos NATURAIS
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}
= { 0, 2, 4, 6,..., 2n, ...} , com INn
Números Primos: P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}
*IN
PIN
IIN
1º) Naturais Não Nulos:
2º) Naturais Pares:
3º) Naturais Ímpares: = { 1, 3, 5, 7,..., 2n+1, ...} , com INn
4º)
Números Naturais na reta real
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
Veja onde estão os
NÚMEROS NATURAIS
na reta real
…………………….
0 1 2 3 4 5 6 7
Não esquecer, por exemplo: 7,2 2e não são números naturais
“Os números naturais são aqueles pintandos em vermelhos”.
CONJUNTOS e
CONJUNTOS NUMÉRICOS
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PARTE - 01/04
FIM da PARTE 01/04
VEJA a PARTE 02/04