conjuntos numÉricos e teoria dos nÚmeros
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CONJUNTOS NUMÉRICOS e TEORIA DOS NÚMEROS. NÚMEROS NATURAIS. 1. “São os números que usamos quando precisamos contar coisas.”. 2. 3. 4. São todos os números inteiros não-negativos . N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
São todos os números inteiros não-
negativos.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
“São todos os números que pertencem aos Naturais
acrescido dos seus respectivos opostos.”
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
1. Inteiros não Negativos (Z+):
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
2. Inteiros não Positivos (Z-):
Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS
3. Inteiros não negativos e não nulos (Z*+):
Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
4. Inteiros não positivos e não nulos (Z*-):
Z*- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1}
SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS
NÚMEROS RACIONAIS
Como dividir um osso para dois cachorros?
Os Inteiros não permitem a resolver este problema!
Q = Z { números fracionários }
Q = {a/b | a, b Z e b 0}
“Para resolver isso foram criados os números
fracionários.”
1. Racionais não Negativos e não nulos (Q*+):
Q*+ = {Z*+} {Todos os números fracionários não negativos}
2. Racionais não Positivos e não nulos (Q*-):
Q*- = {Z*-} {Todos os números fracionários não Positivos}
SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS
3. Racionais não Negativos (R+):
Q+ = {Z+} {Todos os números fracionários não negativos}
4. Racionais não Positivos (Q-):
Q- = {Z-} {Todos os números fracionários não Positivos}
SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS
2,252Número Racional.
Finitos algarismos após a vírgula.
2,252525...Número Racional.
Infinitos algarismos periódicos após a vírgula (dízima periódica).
3,1415926...Não é um número Racional.
Infinitos algarismos aleatórios após a vírgula
O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os
números que NÃO podem ser representados
por uma fração de números inteiros.
I = {Todos os números que Q não consegue descrever}
Raizes inexatas. Inf. algarismos não periódicos após a vírgula.
3,1415926...Número PI.
Supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais .
2,7182818...Número de Euler.
Como Pi, já foram calculadas bilhões de casas decimais.
3
2 = 1,41421...
5 ; 8...
R Números Reais
Q Números Racionais
..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...
Z Números Inteiros
...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...N
Números naturais0, 1, 2, 3, 4...
I Números Irracionais
2
3
3 5
e
R Números Reais
Q Números Racionais
..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...Z
Números Inteiros...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
N Números naturais
0, 1, 2, 3, 4...
I Números Irracionais
2
3
3 5
e
C Números Imaginários
1i
1
03 4i
00
4i
23 4iy xi
z
Axiomas
“Um axioma é uma sentença ou proposição que
não é provada ou demonstrada, é considerada
como óbvia, um consenso inicial necessário para a
construção ou aceitação de uma teoria!”
Axiomas para os números Reais
1. Toda e qualquer subtração, na verdade, é uma
soma, ou seja:
a – b = a + (– b)
2. Toda e qualquer divisão, na verdade, é uma
multiplicação, ou seja:
= a ÷ b = a· ab
1b( )
Axiomas para os números Reais
3. Lei de Fechamento: A soma a+b e o produto a·b de
dois números reais são únicos.
4. Lei Comutativa:
a) a + b = b + a
b) a·b = b·a
““A ordem na adição e na multiplicação é irrelevante!”A ordem na adição e na multiplicação é irrelevante!”
Axiomas para os números Reais
5. Lei Comutativa:
a) a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c ) + b = a + b +c
b) (a·b)·c = a·(b·c) = b·(a·c) = a·b·c
““A ordem em adições e multiplicações sucessivas é A ordem em adições e multiplicações sucessivas é
irrelevante!”irrelevante!”
Axiomas para os números Reais
6. Lei Distributiva:
a) a·(b + c) = a·b + a·c
b) b·(a + c) = b·a + b·c
c) c·(a + b) = c·a + c·b
““A multiplicação é distributiva em relação a adição!”A multiplicação é distributiva em relação a adição!”
Axiomas para os números Reais
7. Lei de Identidade:
a) Existe apenas um número real na qual a soma dele com outro
número qualquer X é igual a X, ou seja:
X + 0 = 0 + X = X
b) Existe apenas um número real na qual a multiplicação dele
com outro número qualquer x é igual a x, ou seja:
1·X = X·1 = X
Axiomas para os números Reais
8. Lei de Inverso:
a) Para qualquer número Real X existe um Real – X, tal que:
X + (–X) = (–X) + X = 0
b) Para qualquer número Real X ≠ 0, existe um número real X-1 tal
que:
X·(X-1) = (X-1)·X = 1
Axiomas para os números Reais
9. Lei do fator zero:
a) Para qualquer número Real X:
X·0 = 0
b) Se X e Y são dois números reais tal que X·Y = 0,
então obrigatoriamente X = 0 ou Y = 0.
Axiomas para os números Reais
10. Lei do número negativo:
a) (–1)·a = – a
b) (–1)·(–a) = – (–a) = a
c) (–a)·(–b) = a·b
d) –ab = (–a)·b = a·(–b) = – (–a)·(–b)
Axiomas para os números Reais
11. Lei dos Quocientes:
– a a=
– b b
a – a a – a– = = =–
b
a)
b)
b –
b
– b
*
a c= a d = b c
b d
a k a= k R
b
c) se e somente se
d) para qualquer
k b
Axiomas para os números Reais
12. Lei do número absoluto:
Qualquer número Real tem um número absoluto
correspondente, tal que:
Se a < 0, ou seja, o negativo de a, | – a | = a
Se a > 0, ou seja, o positivo de a, | a | = a
| – a | = | a | = a