conjuntos. noções básicas conjunto dos times de futebol para os quais os alunos de uma turma...
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CONJUNTOSCONJUNTOS
Noções básicas
Conjunto dos times de futebol para os quais os alunos de uma
turma torcem: Brasiliense, Gama, Ceilândia.
Torcedores do Ceilândia
Torcedores do Brasiliense
Torcedores do Gama
BIR
Y S
AR
KYS
BIR
Y S
AR
KYS
BIR
Y S
AR
KYS
Noções básicas
Conjunto dos números pares:
0, 2, 4, 6, 8, ...
BIR
Y S
AR
KYS
Conjunto dos dias da semana em que uma pessoa pratica
natação: segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira.
Elementos de um conjunto
O conjunto A é formado pelos elementos: 1, 2, 5 e 10.
1 pertence a A
3 não pertence a A
∊
3 ∉ A
Então:
1 A
Representação de um conjunto
O conjunto A é formado pelos elementos: 1, 3, 5, 7 e 9.
Podemos representá-lo:
enumerando os elementos: A = {1, 3, 5, 7, 9}
considerando uma propriedade que todos os elementos do
conjunto, e somente eles, verificam:
A = {xx é um número ímpar menor que 10}
desenhando uma figura:
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos, A e B, são iguais (A = B) se A tem os mesmos
elementos de B.
O conjunto A contém os números
naturais menores que 5.
O conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4}
A = B
Exemplo
Igualdade de conjuntos
Quando um conjunto tem ao menos um elemento diferente dos
elementos de outro conjunto, dizemos que os conjuntos são
diferentes.
X = {0, 2, 3, 4, ...}
Y = {1, 2, 3, 4, ...}
X ≠ Y (X é diferente de Y)
Exemplo
Conjunto universo
Conjunto universo, que indicamos por U, é o conjunto formado
por todos os elementos utilizados para estudar uma situação.
Vamos resolver a equação x² = 4:
x = 2
se U = : ℕuma solução
x = –2 ou
x = 2
se U = :ℤ
duas soluções
Conjunto unitário e conjunto vazio
C = {xx é um número natural primo par} = {2}
Exemplo
Conjunto vazio, cuja notação é ou {}, é o conjunto que
não tem elementos.
B = {xx é um número primo par maior que 5} =
Conjunto unitário é o conjunto formado por um único
elemento.
Exemplo
Dizemos que A é subconjunto do conjunto B se, e somente se,
todos os elementos de A pertencem a B e também que A é parte
de B.
Subconjuntos de um conjunto
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A ⊂ B ou B ⊃ A
Se um conjunto A não é subconjunto de B, dizemos
que A não está contido em B.
Subconjuntos de um conjunto
A = {1, 2, 3, 7}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
C = {0}
A ⊄ BC ⊄ BC ⊄ A
Subconjuntos de um conjunto
Observações
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
Todo conjunto está contido nele mesmo.
Se A B e B A, então o conjunto A é igual a B.
1. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {c, d} e C = {b, c},
classificar cada sentença como verdadeira ou falsa.
a) A C b) B A c) C A d) C B
a) Verdadeira. Todos os elementos de C pertencem a A.
b) Verdadeira. O elemento d de B não pertence a A.
c) Falsa. O elemento a pertence a A e não a C.
d) Falsa. O elemento b pertence a C e não a B.
Resolução
EXEMPLOS
a) Se X B, então X é um subconjunto de B. Logo, há
mais de um conjunto X que obedece a essa condição.
Poderíamos ter, por exemplo: X = , uma vez que o
conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
X = {1}; ou X = {1, 2}, entre outros.
2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um
exemplo de um conjunto X, em cada caso.
a) X B
Resolução
EXEMPLOS
2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um
exemplo de um conjunto X, em cada caso.
b) B X
b) Se B X, então B é um subconjunto de X. Logo,
poderemos determinar infinitos exemplos para X,
desde que os elementos 1, 2 e 3 pertençam ao
conjunto X. Como exemplo, temos:
X = {0, 1, 2, 3} ou X = {0, 1, 2, 3, 4}
Resolução
EXEMPLOS
c) X B e B X
2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um
exemplo de um conjunto X, em cada caso.
EXEMPLOS
Resolução
c) Se X B e B X, então o conjunto X é igual a B.
Logo, só existe uma possibilidade: X = {1, 2, 3}
3. Quais os subconjuntos (elementos do conjunto das partes) do conjunto:
a) X = {2, 4} 4 2, ,4 ,2 ,0)X(P
b) Y = {1, 3, 5} 5 3, 1, ,5 3, ,5 1, ,3 1,,5 ,3 ,1 ,0)Y(P
c) W = {3} 1 ,0)W(P
d) S = { } 0)W(P
Conclui-se que: • Se n(X) = 0, então n(P(X)) = 1.• Se n(X) = 1, então n(P(X)) = 2.• Se n(X) = 2, então n(P(X)) = 4.• Se n(X) = 3, então n(P(X)) = 8.• ...• Se n(X) = a, então n(P(X)) = 2a
EXEMPLOS
4. Dado um conjunto com 256 subconjuntos e (x + 3) elementos. Determine o valor de x. X = 5
5. Se o número de elementos do conjunto das partes do conjunto A é 1024, calcule o número de elementos de A.
10 elementos
5x 83x
22 2562 ))x(P(n2 Se 83)(x3)(xn(x)
10n(x) 22 10242 10n(x))x(n
EXEMPLOS