conferencia teoremas integrales calculo vectoriall
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Temas de Calculo VectorialTRANSCRIPT
Objetivos del Cálculo Vectorial
1. Describir y caracterizar los campos vectoriales existentes en la naturaleza y/o provocados artificialmente, en cualquier sistema de coordenadas (Cálculo Diferencial de Vectores).2. Estudiar la forma en que los campos vectoriales actúan sobre los cuerpos que se encuentran a su paso. (Cálculo Integral de Vectores).
3. Aplicar los resultados para establecer las ecuaciones fundamentales de la Física y de la Ingeniería:• Balance de masa.• Balance de momento lineal (2da Ley de
Newton).• Balance de Energía.• Teorema Electromagnética clásica.
Cálculo Diferencial de Vectores
x
i y
j z
k
1
hu
u
eu 1
hv
v
ev 1
hw
w
ew
Operador Vectorial
En coordenadas cartesianas:
Campo Vectorial
V u(x,y,z)i v(x,y,z ) j +w(x,y,z)k
a) Gradiente
V ux uy uzvx vy vzwx wy wz
b) Divergencia
V trV uxvywz
c) Rotacional
V
i j kx
y
z
u v w
ESCALAR (1er invariante del tensor gradiente)
Tensor de segundo orden
Casos Particulares
V 0Campo Solenoidal o cuerpo incompresible
V 0Campo Conservativo o Campo Irrotacional
Consecuencias
Si
V 0
V
: Función Potencial (escalar)
V ui vj +wk =x
i +y
j +z
k
Como
(x) udx C1(y) vdy C2 (x,y,z ) U((x),(y),(z ))
(z ) wdz C3
V 0 y además
V 0
2 0 Ecuación de Laplace
Si ,
Cálculo Integral de Vectores1. Integral de Línea El campo actúa tangencialmente a la
trayectoria
r(s) x(s)i y(s) j z(s)k
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k
F drC F(c( t)) Tdt
a
b
Si la curva es cerrada i.e
a b
circulación de campo F alrededor de la curva C
F drC
Donde T =dr
ds
dr
dtdr
dt
Caso Especial
F 0 F Si
F dr ba
b
ay
Obviamente si
F drC
0
C es cerrada
En general si
C no es cerrada
F drC 0
2. Si C es cerrada, define una superficie S
Circulación alrededor de C F dsC
lims 0
1
sF ds F rot F
pero lims 0
1
scirculación d
ds(circulación )
F dsC
F ndsS
La circulación del campo F alrededor
de la curva C que rodea la superficie S
Rotacional del campo F sobre la
superficie S rodeada por la curva C
TEOREMA DE STOKES
Definición
ds nds
Otra forma de expresar el Teorema de Stokes
La cantidad de amor que circula en un corazón no depende del tamaño del mismo, sino de la intensidad del flechazo
2. Si S es cerrada, define un volumen V
La componente F n es perpendicular
a la superficie S y penetra o sale del volumen V
limV 0
1
VF nds F div F
pero limV 0
1
Vflujo neto d
dVflujo neto
F ndsS
FdVV
El flujo neto del campo F através
de la superficie S que rodea el volumen V
Divergencia del campo F alojada
en el volumen V
TEOREMA DE GAUSS
Definición
ds nds
Casos Especiales
Si F es solenoidal, F = 0
superficie F
CERO. (incompresibilidad)
El flujo neto de campo através de la
S que rodea al volumen V es
Si F es conservativo, F = 0
F
C CERO.
La circulación del campo alrededor de cualquier
curva cerrada es
Casos Especiales
Si F = M (x , y )i + N (x , y )j R2
F Nx
My
k y el Teorema de Stokes
F dsC
Nx
My
k kdxdy
S
F dsC
Nx
My
ds Teorema de Green
S
Aplicaciones
Ecuación de Balance de Masa : ""
Cantidad de masa en V en un instante dado dVV
(1)
Cambio de masa en V a través del tiempo (tasa de cambio)
si = (t ) t
dVV
(2)
El cambio de masa se debe a que la masa penetra o sale del volumen V a través de la
superficie S y en dirección perpendicular a la misma, es decir la masa total que penetre
al volumen V através de la superficie S , a una velocidad v será :
v ndsS
(3)
De (2) y (3), si = (t ) tentra a la integral
tdV v nds
S
V
(4)
Utilizando el Teorema de Gauss
v ndsS
v dVV
(5)
En (4 ) y agrupando
t v
dV 0
V
Pero V es arbitrario :
t v 0 Ecuación de Conservación
o Balance de Masa
Usando :
v v v
tv v = 0
DDt
v = 0
tv =
DDt
pero
Tenemos
Caso especial
Si = cte DDt
0
Ecuación de Continuidad (incompresible)
V 0
Aplicaciones
Ecuación Balance de Momentum Lineal : (v)
La tasa de cambio del momentum lineal (v) de un cuerpo es debida
a la suma de las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo (2da Ley de Newton ).
D v Dt
F
Fcuerpoo volumen
fdVV
Donde :
Fsuperficie T ndsS
T Tensor de esfuerzo
Usando el Teorema de la Divergencia
D v Dt
T 2ª Ley de Newton
F = ma
D v Dt
F
EJEMPLO
La fuerza electromotriz en un circuito C es igual a la circulación del
campo eléctrico E alrededor de dicho circuito.
E ndsC
(1)
Faraday descubrió que en un circuito estacionario t0
la
fuerza electromotriz inducida por un flujo de campo magnético variable es :
E t
(2)
Donde = B ndsS
(3)
S es cualquier superficie rodeada por C
De (2) y (3) :
B
t nds E nds
C
S
(4)
Usando el Teorema de Stokes :
E ndsC
E ndsS
(5)
Sustituyendo (5) en (4 ) :
E B
t
nds 0
S
Como S es arbitraria
E B
t
Ecuación de Maxwell
Problemas
1) Calcule el flujo neto del campo F = xi yj zk a través de la superficie limitada
por x 2 y 2 9 y los planos z = 1, z = -1.
F ndsS
FdVV
Donde F = 3
Flujo neto = 3 dV = 3 rdrddz 3r2
20
3
2 1 ( 1)
0
3
0
2
-1
1
V
332
2(2 )(2)
54
Volumen del cilindro r2h ()(32)(2) 18
Flujo neto = 3 dVV
3(Volumen del cilindro ) = 3(18) 54
Resolviendo de otra forma
Utilizando el Teorema de Gauss
Problemas
2) Calcule la circulación del campo F = yi xj zk alrededor de la curva x 2 y 2 9.
F drC
F ndsS
Utilizando el Teorema de Stokes
Donde F = 2k, n = k
2 2( ) 2(9 ) 18F r C S
d ds área de la circunferencia
F drC
2 dsS
2 rdrd0
3
0
2
2r2
20
3
(2)
2
32
22
18
Resolviendo de otra forma
Área de la circunferencia r2 ()(32) 9