concreto armado da ufpr volume ii 2016 · 8-1 2016 tc040 8 8 lajes maciÇas de concreto armado 8.1...
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Esta publicação visa atender os alunos das disciplinas TC037 Estruturas de Concreto I e TC040 Estruturas de Concreto II do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Paraná. É de responsabilidade dos Professores Roberto Dalledone Machado e Marcos Antonio Marino (aposentado). Agradecemos aos antigos e atuais professores das citadas disciplinas pela colaboração prestada na elaboração deste trabalho.
M. A. Marino ([email protected]) R. Dalledone M. ([email protected])
8-1 2016 tc040
88 LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO
8.1 Introdução Na teoria das estruturas, consideram-se elementos de superfície aqueles em que uma
dimensão, usualmente chamada espessura, é relativamente pequena em face das demais (Figura 8.1):
Figura 8.1 - Estruturas laminares
Os elementos de superfície recebem as seguintes denominações:
- placas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações normais ao seu plano;
- cascas: elementos de superfície não plana; e
- chapas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações contidas em seu plano.
As lajes maciças de concreto armado constituem estruturas laminares, tipo placa. Em casos especiais, onde se requer lajes com maior rigidez (maior altura), pode-se fazer uso de lajes
nervuradas (Figura 8.2).
Figura 8.2 - Lajes maciças e nervuradas
Quando for desejado que a superfície inferior das lajes nervuradas se torne contínua e plana, fecham-se os vazios com elementos inertes (tijolos, blocos vazados de concreto, isopor, etc.), como mostrado na Figura 8.3. Esta laje é denominada mista.
Figura 8.3 - Laje mista
As lajes que se apoiam diretamente sobre pilares são denominadas lajes lisas e as lajes que se apoiam sobre pilares com capitéis denominam-se lajes cogumelo.
Neste Capítulo somente serão abordadas as lajes maciças apoiadas em vigas.
8.2 Vãos efetivos de lajes Segundo a ABNT NBR 6118 - 14.7.2.2, quando os apoios puderem ser considerados
suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo (Figura 8.4) deve ser calculado pela seguinte expressão:
placa casca chapa
laje maciça laje nervurada
8-2 2016 tc040
210ef aa Equação 8.1
h3,0
t5,0mina
h3,0
t5,0mina
22
11
onde:
ef vão efetivo da laje;
0 distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos;
t comprimento do apoio paralelo ao vão da laje analisada;
h espessura da laje.
Figura 8.4 - Vão efetivo de laje
8.3 Curvaturas de lajes As lajes maciças de concreto armado (Figura 8.5) podem apresentar:
- curvatura em uma só direção; ou
- curvaturas em duas direções ortogonais.
Figura 8.5 - Curvaturas de lajes
Quando a laje apresenta curvatura em uma só direção, seu comportamento é idêntico ao de uma viga de larga base e pouca altura. As lajes com curvaturas em duas direções ortogonais têm comportamento de placa. As lajes com curvatura em uma só direção podem ser consideradas como apoiadas somente nas bordas perpendiculares ao eixo da curvatura, ao passo que as lajes com curvaturas em duas direções ortogonais são apoiadas em todo seu contorno (Figura 8.5).
h
t2 t1
laje
viga
0
ef
y
x
y
x
x
x
y
y
8-3 2016 tc040
Quando a relação entre o vão maior (y) e vão menor (x) superar dois, a critério do projetista, a curvatura na direção do vão maior pode ser desprezada. Nesta condição somente a
curvatura (esforços) na direção do vão menor (x) será considerada.
As lajes consideradas como de curvatura em uma só direção são também chamadas lajes armadas em uma só direção. As de curvaturas em duas direções ortogonais são denominadas armadas em duas direções (Figura 8.6).
Figura 8.6 - Lajes armadas em uma ou duas direções
8.4 Lajes contínuas Assim como as vigas, as lajes apresentam, também, condições de continuidade. Desta
forma os apoios podem ser:
- apoio simples, onde a extremidade da laje é considerada rotulada, transmitindo à viga suporte somente cargas verticais (reação de apoio);
- apoio contínuo, onde duas lajes contíguas transmitem somente cargas verticais (reação de apoio) para a viga suporte; e
- borda livre, onde a extremidade da laje é considerada em balanço.
A consideração de apoios simples em lajes de extremidade evita que sejam transmitidos momentos torçores para as vigas suportes.
Na determinação dos esforços de um painel de laje, é prática comum considerar as lajes isoladamente. Como em regiões de continuidade de lajes existe momento negativo, este pode ser representado, nas lajes isoladas, por um engaste (Figura 8.7).
Figura 8.7 - Lajes contínuas
Na Figura 8.7,
- o apoio simples é representado por uma linha contínua;
x
y
x
y
L1
L3
L2
V1
V2
V4 V5
V2
V5 V4
V3
V1
V5
V3 V3
V4 V2
V5
P3 P4
L1
L2
L3
V1 P2 P1
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- o engaste é representado pela hachura; e
- a borda livre é representada por uma linha tracejada.
Ainda na Figura 8.7:
- a laje L1 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V1 e V4, contínua na direção da laje L2 (apoiada sobre a V5) e contínua na direção da laje L3 (apoiada sobre a V2);
- a laje L2 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V1 e V3, contínua na direção das lajes L1 e L3 (apoiada sobre a V5) e com uma borda livre; e
- a laje L3 é considerada simplesmente apoiada nas vigas V3 e V4, contínua na direção da laje L1 (apoiada sobre a V2) e contínua na direção da laje L2 (apoiada sobre a V5).
Quando sobre um apoio comum, duas lajes contíguas apresentarem diferentes dimensões, considera-se o engaste no vão maior se este for igual ou superior a 2/3 do vão menor (Figura 8.8). Deve ser observado na Figura 8.8 que a laje L1 deverá sempre ser considerada como engastada na direção da laje L2.
Figura 8.8 - Lajes contínuas de diferentes dimensões
8.5 Espessura de lajes A fixação da espessura das lajes deve atender às exigências dos esforços solicitantes
(momento fletor e força cortante) para o estado limite último, bem como às verificações do estado limite de serviço (flechas, vibrações, fissuração, etc).
Segundo a ABNT NBR 6118 - 13.2.4.1, nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para as espessuras:
- 7 cm para cobertura não em balanço;
- 8 cm para lajes de piso não em balanço;
- 10 cm para lajes em balanço;
- 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
- 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
- 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de /42 para lajes
de piso biapoiadas e /50 para lajes de piso contínuas; e
- 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel.
8.6 Cargas atuantes nas lajes As cargas atuantes nas lajes podem ser:
- permanentes, devidas ao peso próprio, contra-piso, revestimento, paredes, etc.; e
- acidentais, decorrentes das condições de uso da laje (residência, escritório, escola, biblioteca, etc.).
213
2
L1
L2
1
2
L1
L2
213
2
L1
L2
1
2
L1
L2
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8.6.1 Cargas permanentes
Segundo a ABNT.NBR.6120, os pesos específicos dos materiais de construção que eventualmente possam constituir carregamento em lajes podem ser tomados como sendo:
argamassa de cal, cimento e areia .............................................................. 19,0 kN/m3
argamassa de cimento e areia .................................................................... 21,0 kN/m3
argamassa de gesso ................................................................................... 12,5 kN/m3
reboco ......................................................................................................... 20,0 kN/m3
concreto simples ......................................................................................... 24,0 kN/m3
concreto armado ......................................................................................... 25,0 kN/m3
O carregamento atuante na laje (peso por unidade de área) é dado pela expressão:
hg mat Equação 8.2
onde:
g carga permanente uniformemente distribuída (kN/m2);
mat peso específico do material (kN/m3); e
h espessura do material (m).
Para materiais de acabamento ou coberturas, podem ser adotados os seguintes valores, considerando pesos por unidade de área:
cerâmica ..................................................................................................... 0,70 kN/m2
tacos ........................................................................................................... 0,65 kN/m2
cobertura de telhas francesas (com vigamento) .......................................... 0,90 kN/m2
cobertura de telhas coloniais (com vigamento) ............................................ 1,20 kN/m2
cobertura de fibro-cimento (com vigamento) ............................................... 0,30 kN/m2
cobertura de alumínio (com vigamento) ...................................................... 0,16 kN/m2
8.6.2 Cargas acidentais
A ABNT NBR 6120 apresenta uma série de valores que podem ser assumidos para as cargas acidentais que venham a constituir carregamento em lajes. Alguns valores são reproduzidos a seguir:
arquibancadas ............................................................................................... 4,0 kN/m2
bibliotecas
sala de leitura ....................................................................................... 2,5 kN/m2
sala para depósito de livros .................................................................. 4,0 kN/m2
sala com estantes ................................................................................ 6,0 kN/m2
cinemas
platéia com assentos fixos ................................................................... 3,0 kN/m2
estúdio e platéia com assentos móveis ................................................ 4,0 kN/m2
banheiro ............................................................................................... 2,0 kN/m2
corredores
com acesso ao público ......................................................................... 3,0 kN/m2
sem acesso ao público ......................................................................... 2,0 kN/m2
edifícios residenciais
dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro ........................................... 1,5 kN/m2
dispensa, área de serviço e lavanderia ................................................ 2,0 kN/m2
escadas
com acesso ao público ......................................................................... 3,0 kN/m2
sem acesso ao público ......................................................................... 2,5 kN/m2
escolas
anfiteatro, corredor e sala de aula ........................................................ 3,0 kN/m2
outras salas .......................................................................................... 2,0 kN/m2
8-6 2016 tc040
escritórios ...................................................................................................... 2,0 kN/m2
forros sem acesso de pessoas ...................................................................... 0,5 kN/m2
ginásio de esportes ....................................................................................... 5,0 kN/m2
hospitais
dormitório, enfermarias, sala de recuperação ou cirurgia, banheiro ..... 2,0 kN/m2
corredor ................................................................................................ 3,0 kN/m2
lojas .............................................................................................................. 4,0 kN/m2
restaurantes .................................................................................................. 3,0 kN/m2
teatros
palco .................................................................................................... 5,0 kN/m2
platéia com assentos fixos ................................................................... 3,0 kN/m2
estúdio e platéia com assentos móveis ................................................ 4,0 kN/m2
banheiro ............................................................................................... 2,0 kN/m2
Exemplo 8.1: Determinar o carregamento em uma laje de edifício comercial. A laje terá de 10 cm de espessura, contra-piso (argamassa de cimento e areia) de 1 cm, acabamento superior com tacos e acabamento inferior com forro de gesso com 1 cm de espessura.
Solução: As cargas permanentes (Equação 8.2) e acidentais deverão ser determinadas por unidade de área (kN/m2). Os pesos do concreto armado, conta-piso e gesso correspondem a 25 kN/m3, 21 kN/m3 e 12,5 kN/m3, respectivamente. Os tacos pesam 0,65 kN/m2. A carga acidental de um edifício comercial deve ser considerada como sendo 2 kN/m2.
a) Dados - uniformização de unidades (kN e m)
3
arm-conc m/kN25
3
piso-cont m/kN21
3
gesso m/kN5,12
2
taco m/kN65,0g
m10,0cm10h arm-conc
m01,0cm1h piso-cont
m01,0cm1hgesso
2
com-edif m/kN2q
b) Carga permanente
pp: .................. 25,0 x 0,10 = 2,50 kN/m2
contra-piso: .... 21,0 x 0,01 = 0,21 kN/m2
gesso: ............. 12,5 x 0,01 = 0,13 kN/m2
tacos: ................................. = 0,65 kN/m2
gk = 3,49 kN/m2 ( 3,50 kN/m2)
c) Carga acidental
qk = 2,00 kN/m2
tacos
contra-piso (1 cm)
concreto armado (10 cm)
gesso (1 cm)
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d) Carga total
gk = 3,50 kN/m2
qk = 2,00 kN/m2
pk = 5,50 kN/m2
8.6.3 Paredes
O peso das paredes depende do tipo de tijolo (maciço ou furado) e da espessura do reboco. Este peso normalmente é apresentado por metro quadrado de parede (parede de 1 m de largura por 1 m de altura), como mostrado na Figura 8.9.
O peso por unidade de área de uma parede rebocada em ambas as faces pode ser representado por:
rebrebtijtijpar e2ep Equação 8.3
onde:
ppar peso da parede por unidade de área (kN/m2);
tij peso específico do tijolo (kN/m3);
etij espessura (menor dimensão em planta) do tijolo (m);
reb peso específico do reboco (kN/m3); e
ereb espessura do reboco (m).
Figura 8.9 - Carga de parede
Para materiais componentes de parede, podem ser usados os seguintes valores:
tijolo de furado ................................................................................................ 12 kN/m3
tijolo de maciço .............................................................................................. 16 kN/m3
reboco ............................................................................................................ 20 kN/m3
A Tabela 8.1 mostra alguns valores de peso de parede. Na Tabela foi considerado reboco de 2,5 cm de espessura por face.
parede sem reboco parede com reboco
tijolo (cm)
tijolo furado (kN/m2)
tijolo maciço (kN/m2)
parede (cm)
tijolo furado (kN/m2)
tijolo maciço (kN/m2)
10 1,20 1,60 15 2,20 2,60
15 1,80 2,40 20 2,80 3,40
20 2,40 3,20 25 3,40 4,20
Tabela 8.1 - Pesos de paredes
e
hpar
1 m par
1 m
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8.6.3.1 Cargas de paredes em lajes de dupla curvatura
As cargas de paredes apoiadas em lajes de dupla curvatura (Figura 8.10) podem ser consideradas como equivalentes a uma carga uniformemente distribuída em toda esta laje. Para este caso, considera-se o peso total da parede e divide-se este valor pela área total da laje, como apresentado a seguir:
yx
parparparpar
hpg
Equação 8.4
onde:
gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de área, atuando em toda laje (kN/m2);
ppar peso da parede por unidade de área (kN/m2);
par largura da parede (m);
hpar altura da parede (m);
x menor dimensão da laje (m); e
y maior dimensão da laje (m).
Figura 8.10 - Parede sobre laje de dupla curvatura
Exemplo 8.2: Determinar a carga das paredes atuantes na laje abaixo representada. A altura das paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de tijolo furado de 10 cm, reboco de 1,5 cm em cada face.
Solução: O peso por metro quadrado de parede é determinado pela Equação 8.3 e a carga uniformemente distribuída sobre a laje é determinada pele Equação 8.4.
a) Dados - uniformização de unidades (kN e m)
3
tij m/kN12
3
reb m/kN20
m10,0cm10etij
m015,0cm5,1ereb
m7,42,25,2par
2,2
m
3,5
m
6,0 m
2,5 m
x par
gpar (kN por m2 de laje)
y
8-9 2016 tc040
m7,2hpar
m5,3x
m0,6y
b) Curvatura da laje
curvaturadupla271,15,3
0,6
x
y
c) Peso por metro quadrado de parede
rebrebtijtijpar e2ep
2par m/kN80,1015,020210,012p
d) Carga uniformemente distribuída na laje
yx
parparparpar
hpg
2par m/kN09,1
00,650,3
70,270,480,1g
8.6.3.2 Cargas de paredes em lajes de uma só curvatura
As cargas de paredes apoiadas em lajes de uma só curvatura se situam em duas condições:
- paredes paralelas ao lado maior da laje; e
- paredes paralelas ao lado menor da laje.
A carga de parede paralela ao lado maior é considerada como uma carga linear uniformemente distribuída ao longo de sua largura (Figura 8.11), cujo valor é dado por:
parparpar hpg Equação 8.5
onde:
gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de comprimento (linear), atuando ao longo da largura da parede (kN/m);
ppar peso da parede por unidade de área (kN/m2); e
hpar altura da parede (m).
Figura 8.11 - Parede paralela ao lado maior da laje
A carga de parede paralela ao lado menor é considerada como uma carga uniformemente
distribuída na área de dimensões x por 0,5 x (Figura 8.12), cujo valor é dado por:
y par
gpar (kN por metro de laje) x
8-10 2016 tc040
2
hpg
xx
parparparpar
Equação 8.6
onde:
gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de área, atuando na
área de dimensões x por 0,5 x (kN/m2);
ppar peso da parede por unidade de área (kN/m2);
par largura da parede (m);
hpar altura da parede (m); e
x menor dimensão da laje (m).
Figura 8.12 - Parede paralela ao lado menor da laje
Exemplo 8.3: Determinar a carga das paredes atuantes nas lajes abaixo representadas. A altura das paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de tijolo furado de 12 cm, reboco de 1,5 cm em cada face.
Solução: O peso por metro quadrado de parede é determinado pela Equação 8.3. A carga linear uniformemente distribuída sobre a laje L1 é determinada pela Equação 8.5 e a carga
uniformemente distribuída na região x por 0,5 x da laje L2 é determinada pela Equação 8.6.
a) Dados - uniformização de unidades (kN e m)
3
tij m/kN12
1,6 m 2,5 m
6 m
2,4 m
2,2
m
L1
3,6 m
6 m
2,4 m
1,7 m
L2
2
xy
x gpar (kN por m2 de laje)
par
8-11 2016 tc040
3
reb m/kN20
m12,0cm12etij
m015,0cm5,1ereb
m2,2par1
m7,1par2
m7,2hh 2parpar1
m4,2x2x1
m0,6y2y1
b) Curvatura da laje
curvaturasóuma250,24,2
0,6
x
y
c) Peso por metro quadrado de parede
rebrebtijtijpar e2ep
2par m/kN04,2015,020212,012p
d) Laje L1 - peso por metro linear de parede
parparpar hpg
m/kN51,570,204,2gpar
e) Laje L2 - peso por metro quadrado de parede
2
hpg
xx
parparparpar
2par m/kN25,3
2
40,240,2
70,270,104,2g
f) Carregamentos
1,6 m 2,5 m
6 m
2,4 m
2,2
m
L1
5,51 kN/m
L2
1,2 m 6 m
2,4 m 3,25 kN/m2
1,7 m
3 m
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8.6.4 Parapeitos e balcões
Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m (ABNT NBR 6120 - 2.2.15), como mostrado na Figura 8.13.
Figura 8.13 - Parapeitos e balcões
8.6.5 Redução de cargas acidentais em pilares e fundações
No cálculo dos pilares e das fundações de edifícios para escritórios, residências e casas comerciais não destinadas a depósitos, as cargas acidentais podem ser reduzidas de acordo com os valores indicados na Tabela 8.2 (ABNT NBR 6120 - 2.2.1.8).
Nº de pisos que atuam sobre o elemento
Redução percentual das cargas acidentais
1, 2 e 3 0%
4 20%
5 40%
6 ou mais 60%
Tabela 8.2 - Redução de cargas acidentais
Na aplicação da Tabela 8.2, o forro deve ser considerado como piso (Figura 8.14).
Figura 8.14 - Redução de cargas acidentais
8.7 Determinação de esforços em lajes Para a determinação dos esforços em lajes maciças de concreto armado, duas
simplificações são admitidas:
- existe uma separação virtual entre as lajes e as vigas que suportam o painel de lajes; e
2 kN/m 0,8 kN/m
g + 1,0 q
g + 1,0 q
g + 1,0 q
g + 0,8 q
g + 0,6 q
g + 0,4 q
g + 0,4 q
g + 0,4 q
2º
1º (cob)
3º
4º
5º
6º
7º
iº
8-13 2016 tc040
- a reação de apoio das vigas suporte do painel de lajes se faz de forma uniformemente distribuída.
Embora concretadas de forma monolítica, admite-se que as lajes e vigas sejam separadas virtualmente, de tal forma que possam ser projetadas individualmente (Figura 8.15). As vigas suporte das lajes são consideradas como apoios indeslocáveis.
Figura 8.15 - Separação virtual entre lajes e vigas
Uma vez que as vigas suportes das lajes são consideradas como indeslocáveis, pode-se admitir que as reações de apoio existentes nas interfaces lajes/vigas sejam consideradas como uniformemente distribuídas (Figura 8.16). Rigorosamente isto não ocorre, pois existe uma
tendência de levantamento nos cantos das lajes.
Figura 8.16 - Reação de apoio de lajes
8.7.1 Lajes isoladas
A determinação dos esforços em lajes isoladas pode ser feita por processos aproximados (MARCUS), pela teoria das placas (BARES), pela teoria das charneiras plásticas (LANGENDONCK), etc.. Dentre o conjunto de soluções apresentadas na literatura mundial, destacam-se as tabelas de CZERNY, para determinação dos momentos fletores atuantes em lajes isoladas. A notação a ser usada para as tabelas de CZERNY está mostrada na Figura 8.17 e o conjunto de tabelas é apresentado em 8.11.
Figura 8.17 - Notação das tabelas de CZERNY
As tabelas de CZERNY foram confeccionadas para várias condições de contorno e carga. Os momentos fletores são dados pelas seguintes expressões:
mby
mbx
my
mx y
x
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y
2x
by
y
2x
y
x
2x
bx
x
2x
x
pm
pm
pm
pm
Equação 8.7
onde:
x menor vão;
y maior vão;
mx momento fletor positivo na direção x;
my momento fletor positivo na direção y;
mbx momento fletor negativo (borda) na direção x;
mby momento fletor negativo (borda) na direção y;
p carga uniformemente distribuída em toda laje;
x coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x;
y coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y;
x coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x; e
y coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y.
Se a carga uniformemente distribuída corresponder a um valor característico (pk = gk + qk) os momentos fletores resultarão característicos (mk). Se a carga corresponder a um valor de cálculo
(pd = g gk + q qk), os momentos fletores resultarão de cálculo (md).
8.7.2 Lajes contínuas
Como as tabelas de CZERNY determinam momentos fletores isolados em bordas que são contínuas em um painel de lajes, torna-se necessário uniformizar estes momentos negativos atuantes nestas regiões de continuidade de lajes (Figura 8.18).
Figura 8.18 - Momentos fletores em lajes continuas
O momento negativo de borda, atuante na junção das lajes Li e Lj, é dado pela seguinte expressão:
mbij = max
mbi + mbj
2
0,8mbj
mbj > mbi Equação 8.8
A uniformização dos momentos fletores negativos atuantes na junção das lajes Li e Lj implica em alterações (correções) nos momentos fletores positivos mi e mj (Figura 8.19). O momento mi tem seu
xj
Li Lj
mi mj
mbi mbj
xi yj
yi
xj
Li Lj mbij mbj
mi,cor mj,cor
xi yj
yi
8-15 2016 tc040
valor reduzido ao passo que o momento mj tem seu valor aumentado.
Figura 8.19 - Momentos fletores uniformizados em lajes continuas
O ajuste de momentos fletores positivos nas lajes Li e Lj corresponde a:
bibj
bijbj
jcor,j
icor,i
mm
2
mmmm
mm
Equação 8.9
Como pode ser observado na Equação 8.9, a correção de momentos positivos só é feita para o momento mj (momento que sofre acréscimo). Caso mbi seja maior que mbj, os índices i e j devem ser invertidos na Equação 8.8 e na Equação 8.9.
Deve ser observado também que na Figura 8.18 e na Figura 8.19, bem como na Equação 8.8 e na Equação 8.9, os índices x e y correspondentes as direções das lajes Li e Lj não foram considerados (aprecem na Figura 8.17). A relação entre os valores apresentados sem os índices x e y (direções) corresponde a:
mi
myi
momento fletor positivo na direção y da laje Li;
mj
mxj
momento fletor positivo na direção x da laje Lj;
mbi
mbyi
momento fletor negativo na direção y da laje Li; e
mbj
mbxj
momento fletor negativo na direção x da laje Lj.
Exemplo 8.4: Determinar os momentos fletores de cálculo atuantes no painel de lajes abaixo indicado. Considerar:
- estado limite último, combinações últimas normais (g = 1,4 e q = 1,4);
- carga permanente uniformemente distribuída (gk): 4 kN/m2; e
- carga acidental uniformemente distribuída (qk): 2 kN/m2.
Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 8.7 para a determinação dos momentos fletores em lajes isoladas. A uniformização dos momentos negativos nas regiões de continuidade de lajes é feita com a utilização da Equação 8.8. Para a correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9.
a) Carregamento das lajes (valores de cálculo)
qqkgd qgp
2
d m/kN4,80,24,10,44,1p
4 m
1,2 m
5m 3 m 1,8 m
L1 L2 L3
L4
8-16 2016 tc040
b) Laje L1
m8,1x1
m0,4y1
00,12
00,8
20,40
20,14
tab22,28,1
0,4
1y
1x
1y
1x
x1
y1
m/kNm92,120,14
8,14,8pm
2
1x
21xd
d,1x
m/kNm68,020,40
8,14,8pm
2
1y
21xd
d,1y
m/kNm40,300,8
8,14,8pm
2
1x
21xd
d,1bx
m/kNm27,200,12
8,14,8pm
2
1y
21xd
d,1by
c) Laje L2
m0,3x2
m0,4y2
50,17
00,13
83,47
87,27
tab33,10,3
0,4
2y
2x
2y
2x
x2
y2
m/kNm71,287,27
0,34,8pm
2
2x
22xd
d,2x
m/kNm58,183,47
0,34,8pm
2
2y
22xd
d,2y
m/kNm82,500,13
0,34,8pm
2
2x
22xd
d,2bx
m/kNm32,450,17
0,34,8pm
2
2y
22xd
d,2by
d) Laje L3
m0,4x3
m0,5y3
90,12
10,11
40,34
90,24
tab25,10,4
0,5
3y
3x
3y
3x
x3
y3
m/kNm40,590,24
0,44,8pm
2
3x
23xd
d,3x
y2 = 4 m
x2 = 3 m
L2 mbx2
mx2
my2
mby2
x3= 4 m
y3 = 5 m
L3
mby3
my3
mbx3
mx3
y1 = 4 m
x1 = 1,8 m
L1 mbx1
mx1
my1
mby1
8-17 2016 tc040
m/kNm91,340,34
0,44,8pm
2
3y
23xd
d,3y
m/kNm11,1210,11
0,44,8pm
2
3x
23xd
d,3bx
m/kNm42,1090,12
0,44,8pm
2
3y
23xd
d,3by
e) Laje L4 (laje isostática - laje em balanço)
m2,1x4
m/kNm05,62
2,14,8
2
pm
224xd
d,4bx
f) Uniformização de momentos fletores - Lajes L1/L2
d,1bd,2b
d,2b
d,2bd,1b
d,12b mm
m8,02
mm
maxm
82,58,02
82,540,3maxm d,12b
66,4
61,4maxm d,12b
m/kNm66,4m d,12b ◄
d,1bd,2bd,12bd,2b
d,2cor,d,2 mm2
mmmm
2
66,482,571,2m cor,d,2
m/kNm29,3m cor,d,2 ◄
g) Uniformização de momentos fletores - Lajes L2/L3
d,2bd,3b
d,3b
d,3bd,2b
d,23b mm
m8,02
mm
maxm
42,108,02
42,1082,5maxm d,23b
34,8
12,8maxm d,23b
m/kNm34,8m d,23b ◄
d,2bd,3bd,23bd,3b
d,3cor,d,3 mm2
mmmm
2
34,842,1091,3m cor,d,3
m/kNm95,4m cor,d,3 ◄
h) Uniformização de momentos fletores - Lajes L1/L4
x4= 1,2 m
L4
mbx4
L1
3,40
1,92
L2 5,82
2,71
5,82
L1 L2
3,29
5,82
1,92
4,66
L2 L3
3,91
5,82 10,42
3,29
4,66
L2
3,29
L3
4,95
8,34 4,66
L1
0,6
8
L1
0,6
8
Como a laje L4 corresponde a um trecho isostático (laje em balanço), obrigatoriamente o momento fletor atuante na junção das lajes L1 e L4 é o da laje L4 (6,05 kNm/m.
Não há correção do momento positivo da laje L1,
8-19 2016 tc040
i) Uniformização de momentos fletores - Lajes L2/L4
m/kNm05,6mm d,4bd,24b ◄
m/kNm58,1m d,2 ◄
j) Uniformização de momentos fletores - Lajes L3/L4
Como a laje L4 corresponde a um trecho isostático (laje em balanço), obrigatoriamente o momento fletor atuante na junção das lajes L3 e L4 é o da laje L4 (6,05 kNm/m).
Há correção do momento positivo da laje L4 pois o momento da borda desta laje (10,42 kNm/m) é superior ao momento da borda da laje L4 (6,05 kNm/m).
m/kNm05,6mm d,4bd,34b ◄
d,4bd,3bd,34bd,3b
d,4cor,d,4 mm2
mmmm
2
05,611,1240,5m cor,d,4
m/kNm43,8m cor,d,4 ◄
k) Momentos fletores (kNm/m) na direção L1/L2/L3
L2
L4
1,5
8
4,3
2
6,0
5
L2
L4
1,5
8
6,0
5
L3
L4
5,4
0
12
,11
6,0
5
L3
L4
8,4
3
6,0
5
L1 L2 L3
L4
1,92 3,29
4,95
4,66
8,34
Como a laje L4 corresponde a um trecho isostático (laje em balanço), obrigatoriamente o momento fletor atuante na junção das lajes L2 e L4 é o da laje L4 (6,05 kNm/m.
Não há correção do momento positivo da laje L2, pois o momento da borda desta laje (4,32 kNm/m) é inferior ao momento da borda da laje L4 (6,05 kNm/m).
8-20 2016 tc040
l) Momentos fletores (kNm/m) nas direções L1/L4, L2/L4 e L3/L4
m) Observação
Embora a relação entre o vão maior (4 m) e o vão menor (1,8 m) da laje L1 supere dois, a dupla curvatura desta laje foi considerada.
Caso a curvatura na direção do vão maior fosse desprezada (consideração de laje armada em uma só direção), o resultado final praticamente não se alteraria pois o momento fletor positivo na direção do balanço resultou bem próximo de zero (0,68 kNm/m) e o momento fletor negativo (6,05 kNm/m) foi definido pela laje em balanço.
8.8 Armadura de flexão
8.8.1 Armadura principal e armadura secundária
Para as lajes armadas em duas direções (curvatura em duas direções ortogonais), todas as armaduras de flexão (armaduras longitudinais) são consideradas como principal. Para as lajes
armadas em uma só direção (uma só curvatura na direção do vão menor), a armadura considerada como principal é aquela posicionada na direção do vão menor. Na direção do vão maior deve-se colocar, obrigatoriamente, uma armadura de distribuição, denominada armadura secundária (Figura 8.20).
Figura 8.20 - Armadura principal e secundária de lajes
8.8.2 Equivalência de vigas e lajes
Na determinação da armadura de flexão (momentos fletores) de lajes devem ser seguidos os mesmos princípios estabelecidos para vigas (Capítulo 4).
L1 L2 L3
L4
6,0
5
6,0
5
6,0
5
0,6
8
8,4
3
1,5
8
armadura principal
armadura secundária
y y
x x
8-21 2016 tc040
De modo simplificado pode ser dito que vigas são peças fletidas de pouca base e muita altura. Ao contrário, lajes são peças fletidas de pouca altura e muita base.
A armadura de flexão de lajes será determinada considerando o memento fletor atuando em fixas de um metro de largura. Desta forma, no uso das equações gerais de vigas, adaptadas para lajes, o valor de bw será sempre considerado como igual a um metro (bw = 1 m) (Figura 8.22).
8.8.2.1 Momento fletor mínimo
Assim como para vigas, no dimensionamento da armadura de flexão de lajes, é ´necessário considerar a atuação de um momento fletor mínimo (md,min). É, também, obrigatório considerar este momento fletor mínimo atuando em apoios de lajes que não apresentem continuidade.
ABNT NBR 6118 - 19.3.3.2:
“Nos apoios de lajes que não apresentem continuidade com planos de lajes adjacentes e que tenham ligação com os elementos de apoio, deve-se dispor de armadura negativa de borda, conforme Tabela 19.1. Essa armadura deve ser estender até pelo menos a 0,15 do vão menor da laje a partir da face do apoio.”
A Figura 8.21 mostra a armadura negativa de borda, calculada para resistir a um momento fletor mínimo em bordas sem continuidade, como estabelecido pela Equação 8.11.
Figura 8.21 - Armadura negativa de borda sem continuidade
Os momentos fletores mínimos (md,mim) a serem considerados correspondem a:
- momento negativo em bordas com continuidade
sup,ctk0min,d fW8,0m (por metro de laje) Equação 8.10
- momento negativo em bordas sem continuidade
sup,ctk0min,d fW8,067,0m (por metro de laje) Equação 8.11
- momento positivo em lajes armadas em duas direçõs
sup,ctk0min,d fW8,067,0m (por metro de laje) Equação 8.12
- momento positivo (armadura principal) em lajes armadas em uma direção
sup,ctk0min,d fW8,0m (por metro de laje) Equação 8.13
- momento positivo (armadura secundaria) em lajes armadas em uma direção
sup,ctk0min,d fW8,050,0m (por metro de laje)
considerando:
m/cm9,0
A%20
A2
princ,s
s
Equação 8.14
8-22 2016 tc040
Os valores de W0 (resistência da seção transversal bruta do concreto, relativo à fibra mais tracionada) e fctk,sup (resistência característica superior do concreto à tração), constantes da Equação 8.10 a Equação 8.14Equação 8.10, correspondem a:
6
hbW
2w
0 (seção retangular) Equação 8.15
MPa50ff11,01ln756,2f
MPa50ff0,39f
ckcksupctk,
ck3 2
cksupctk,
(fck em MPa) Equação 8.16
8.8.2.2 Armadura de flexão
Para as lajes de pouca altura, as armaduras de compressão devem ser evitadas. Desta forma as equações para determinação ou verificação da armadura longitudinal de lajes, como estabelecidas no Capítulo 4, correspondem a:
x
yds
cdwcs
cmax,s
cmin,s
ydsz
Rds
ck
ck
dtlx,x
s
z
x
cd2
w
Rdc
Sd
min,d
Rd
fA
fdb
A%4A
A%15,0A
fd
mA
MPa50f350,0
MPa50f450,0
tabfdb
m
m
m
maxm
MPa50f400
50f8,0
MPa50f8,0
ckck
ck
MPa50f200
50f185,0
MPa50f85,0
ckck
ck
c
Equação 8.17
8.8.2.3 Altura útil
Para a determinação da altura útil é conveniente adotar a altura útil da armadura mais afastada da borda tracionada (Figura 8.22).
8-23 2016 tc040
Figura 8.22 - Seção transversal de laje
5,1chd nom Equação 8.18
8.8.2.4 Diâmetro da armadura de flexão
Segundo a ABNT NBR 6118 - 20.1, qualquer barra de armadura de flexão de lajes deve ter seu diâmetro limitado a 1/8 da espessura da laje (Figura 8.23 e Equação 8.19).
Figura 8.23 - Diâmetro máximo da armadura de flexão
8
h Equação 8.19
8.8.2.5 Espaçamento da armadura de flexão
ABNT NBR 6118 - 20.1:
“As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores.”
“A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, no máximo, 33 cm. A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal.”
A Figura 8.24 mostra os espaçamentos máximos da armadura de flexão para lajes maciças de concreto armado.
Figura 8.24 - Espaçamento máximo da armadura de flexão
Deve ser observado também que a ABNT NBR 6118 - 20.1 não faz referência ao espaçamento mínimo entre as barras de flexão de lajes de concreto armado. Por razões construtivas, é conveniente não se posicionar barras com afastamentos inferiores a 7 cm.
De modo geral, pode-se estabelecer para as barras de flexão de lajes de concreto armado:
- armadura principal
h
8
h
armadura principal
h2
cm20
mins
armadura secundária
cm33s
h d = h – (cnom + 1,5 )
bw = 100 cm
8-24 2016 tc040
h2
cm20minscm7 Equação 8.20
- armadura secundária
cm33scm10 Equação 8.21
Observar que na Equação 8.21 o espaçamento mínimo para armadura secundária foi fixado em 10 cm.
Exemplo 8.5: Determinar as armaduras necessárias para o painel de lajes abaixo representada.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- estado limite último, combinações últimas normais (g = 1,4; q = 1,4, c = 1,4 e
s = 1,15);
- espessura das lajes (h): 12 cm;
- cobrimento nominal (cnom): 2,5 cm;
- barras de flexão não alternadas;
- carga permanente uniformemente distribuída (gk): 5 kN/m2: e
- carga acidental uniformemente distribuída (qk): 1,5 kN/m2.
Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 8.7 (página 8-14) para a determinação dos momentos fletores em lajes isoladas. A uniformização dos momentos negativos na região de continuidade de lajes é feita com a utilização da Equação 8.8 (página 8-14). Para a correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9 (página 8-15). As armaduras devem ser determinadas considerando a Equação 8.10 (página 8-22) até a Equação 8.21 (página 8-24).
a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm)
2
ck kN/cm5,2MPa25f
MPa50f80,0 ck
MPa50f85,0 ckc
MPa50f45,0 ckdtlx,
MPa50ff0,39f ck3 2
cksupctk,
23 2supctk, cm/kN333,0MPa33,3250,39f
normal) combinação - (ELU 1,40c
5 m
6m 4 m 2 m
L1 L2 L3
8-25 2016 tc040
2
c
ckcd kN/cm 79,1
1,40
2,5ff
2
yk kN/cm 60MPa 600f
normal) combinação - (ELU 1,15s
2
s
yk
yd kN/cm 17,521,15
60ff
cm 100bw
cm 12h
cm 5,2cnom
2
wc cm002112100hbA
322
w0 cm0,4002
6
12100
6
hbW
momento negativo mínimo em bordas com continuidade
cmkN36,639333,0400028,0fW8,0m sup,ctk0min,d
laje de metro m/porkN 6,39m100
1kN36,639m min,d
momento negativo mínimo em bordas sem continuidade
lajedemetropor/mkN28,439,667,0fW8,067,0m sup,ctk0min,d
momento positivo mínimo em lajes armadas em duas direções
lajedemetropor/mkN28,439,667,0fW8,067,0m sup,ctk0min,d
momento positivo mínimo (armadura principal) em lajes armadas em uma direção
laje de metro m/porkN39,6fW8,0m sup,ctk0min,d
momento positivo mínimo (armadura secundaria) em lajes armadas em uma direção
lajedemetropor/mkN20,339,650,0fW8,050,0m sup,ctk0min,d
m/cm9,0
A%20
A2
princ,s
s
lajedemetropor/cm80,12001100
15,0A%15,0A 2
cmin,s
lajedemetropor/cm00,482001100
4A%4A 2
cmax,s
8
h
mm5,12cm50,18
12max,
cm24122
cm20min
h2
cm20minscm7
cm20scm7 (armadura principal)
cm33scm10 (armadura secundária)
b) Carregamento das lajes (valores de cálculo)
8-26 2016 tc040
qqkgd qgp
2
d m/kN1,95,14,10,54,1p
c) Laje L1
m0,2x1
m0,5y1
00,8
50,42
20,14
tab50,20,2
0,5
1x
1y
1x
x1
y1
m/kNm56,220,14
0,21,9pm
2
1x
21xd
d,1x
m/kNm86,050,42
0,21,9pm
2
1y
21xd
d,1y
m/kNm55,400,8
0,21,9pm
2
1x
21xd
d,1bx
d) Laje L2
m0,4x2
m0,5y2
70,12
20,48
40,26
tab25,10,4
0,5
2x
2y
2x
x2
y2
m/kNm52,540,26
0,41,9pm
2
2x
22xd
d,2x
m/kNm02,320,48
0,41,9pm
2
2y
22xd
d,2y
m/kNm46,1170,12
0,41,9pm
2
2x
22xd
d,2bx
e) Laje L3
m0,5x3
m0,6y3
10,10
80,23
00,22
tab20,10,5
0,6
3y
3y
3x
x3
y3
m/kNm34,1000,22
0,51,9pm
2
3x
23xd
d,3x
m/kNm56,980,23
0,51,9pm
2
3y
23xd
d,3y
m/kNm52,2210,10
0,51,9pm
2
3y
23xd
d,3by
y1 = 5 m
x1 = 2 m
L1
mbx1
mx1
my1
y2 = 5 m
x2 = 4 m
L2
mbx2
mx2
my2 mbx2
x3 = 5 m
y3 = 6 m
L3
my3
mx3 mby3
8-27 2016 tc040
f) Uniformização de momentos fletores - Lajes L1/L2
d,1bd,2b
d,2b
d,2bd,1b
d,12b mm
m8,02
mm
maxm
46,118,02
46,1155,4maxm d,12b
17,9
01,8maxm d,12b
m/kNm17,9m d,12b
d,1bd,2bd,12bd,2b
d,2cor,d,2 mm2
mmmm
2
17,946,1152,5m cor,d,2
m/kNm67,6m cor,d,2
g) Uniformização de momentos fletores - Lajes L2/L3
d,2bd,3b
d,3b
d,3bd,2b
d,23b mm
m8,02
mm
maxm
52,228,02
52,2246,11maxm d,23b
02,18
99,16maxm d,23b
m/kNm02,18m d,23b
d,2bd,3b
d,23bd,3b
d,3cor,d,3 mm2
mmmm
2
02,1852,2256,9m cor,d,3
m/kNm81,11m cor,d,3
h) Momentos fletores (kNm/m) na direção L1/L2/L3
L1
2,56
L2 11,46
5,52
11,46 4,55
L1
2,56
L2
6,67
11,46 9,17
L2 L3
9,56 22,52 9,17
6,67
11,46
L2 L3
11,81 18,02 9,17
6,67
L2 L3
11,81
18,02 9,17
L1
2,56 6,67
8-28 2016 tc040
i) Momentos fletores (kNm/m) das lajes sem continuidades (L1, L2 e L3)
j) Altura útil (verificação para o maior momento fletor de cálculo atuante)
d = h − cnom + 1,5 ϕℓ
d = 12 − 2,5 + 1,5 × 1,0 = 8 cm (assumido ϕ = 10 mm)
mSd = 18,02 kNm/m (maior momento fletor de cálculo, em valor absoluto)
md,min = 6,39 kNm/m
mRd = max
md,min
mSd
= max 6,39
18,02 = 18,02 kNm/m = 1802 kNcm/m
βc =m Rd
bw d2 fcd=
1802
100 ×82×1,79= 0,157 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,258 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,897βs = 1,000
As =m Rd
βz dβs fyd
≥ As,min
≤ As,max
As =1802
0,897×8×1,000 ×52,17= 4,81 cm2/m
> 1,80 𝑐m2/m
< 48,0 𝑐m2/m
As = 4,81 cm2/m
7 𝑐𝑚 ≤ 𝑠 ≤ 20 𝑐𝑚
é possível usar armadura de 7 mm
d = 12 − 2,5 + 1,5 × 0,7 = 8,45 cm (ϕ = 7 mm)
d = 8,45 cm
k) Armadura para os momentos fletores na direção L1/L2/L3
mSd = 2,56 kNm/m (positivo)
md,min = 4,28 kNm/m
mRd = max
md,min
mSd
= max 4,28
2,56 = 4,28 kNm/m = 428 kNcm/m
βc =m Rd
bw d2 fcd=
428
100 ×8,452×1,79= 0,033 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,050 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,980βs = 1,000
L1
0,86
L2
3,02
L3
10,34
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm)
7,0 0,385 8
8,0 0,503 10
9,5 0,709 14
10,0 0,785 16
s 0,385 cm2
100 cm 4,810 cm2 s = 8,00 cm
8-29 2016 tc040
As =m Rd
βz dβs fyd
≥ As,min
≤ As,max
As =428
0,980×8,45×1,000 ×52,17= 0,99 cm2/m < 1,80 𝑐m2/m
As = 1,80 cm2/m
7 cm ≤ s ≤ 20 cm
mSd = 9,17 kNm/m (negativo)
md,min = 6,39 kNm/m
mRd = max 6,39
9,17 = 9,17 kNm/m = 917 kNcm/m
βc =917
100 ×8,452×1,79= 0,072 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,110 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,956βs = 1,000
As =917
0,956×8,45×1,000 ×52,17= 2,18 cm2/m
> 1,80 𝑐m2/m
< 48,0 𝑐m2/m
As = 2,18 cm2/m
7 cm ≤ s ≤ 20 cm
mSd = 6,67 kNm/m (positivo)
md,min = 4,28 kNm/m
mRd = max 4,28
6,67 = 6,67 kNm/m = 667 kNcm/m
βc =667
100 ×8,452×1,79= 0,052 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,079 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,969βs = 1,000
As =667
0,969×8,45×1,000 ×52,17= 1,56 cm2/m < 1,80 𝑐m2/m
As = 1,80 cm2/m
7 cm ≤ s ≤ 20 cm
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
5,0 0,196 10 1,96
5,5 0,238 13 1,83
6,0 0,283 15 1,89
6,4 0,322 17 1,89
►7,0 0,385 ►20 1,93
s 0,196 cm2
100 cm 1,800 cm2 s = 10,89 cm
10 cm 0,196 cm2
100 cm As,ef As,ef = 1,96 cm2/m
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
5,0 0,196 8 2,45
5,5 0,238 10 2,38
6,0 0,283 12 2,36
6,4 0,322 14 2,30
►7,0 0,385 ►17 2,26
s 0,283 cm2
100 cm 2,18 cm2 s = 12,98 cm
12 cm 0,283 cm2
100 cm As,ef As,ef = 2,36 cm2/m
8-30 2016 tc040
mSd = 18,02 kNm/m (negativo)
md,min = 6,39 kNm/m
mRd = max 6,39
18,02 = 18,02 kNm/m = 1802 kNcm/m
βc =1802
100 ×8,452×1,79= 0,141 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,228 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,909βs = 1,000
As =1802
0,909×8,45×1,000 ×52,17= 4,50 cm2/m
> 1,80 𝑐m2/m
< 48,0 𝑐m2/m
As = 4,50 cm2/m
7 cm ≤ s ≤ 20 cm
mSd = 11,81 kNm/m (positivo)
md,min = 4,28 kNm/m
mRd = max 4,28
11,81 = 11,81 kNm/m = 1181 kNcm/m
βc =1181
100 ×8,452×1,79= 0,092 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,143 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,943βs = 1,000
As =1181
0,943×8,45×1,000 ×52,17= 2,84 cm2/m
> 1,80 𝑐m2/m
< 48,0 𝑐m2/m
As = 2,84 cm2/m
7 cm ≤ s ≤ 20 cm
l) Armadura para os momentos fletores na direção das lajes sem continuidades (L1, L2 e L3)
mSd = 0,86 kNm/m (positivo)
md,min = 4,28 kNm/m
mRd = max 4,28
0,86 = 4,28 kNm/m = 428 kNcm/m
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
5,0 0,196 10 1,96
5,5 0,238 13 1,83
6,0 0,283 15 1,89
6,4 0,322 17 1,89
►7,0 0,385 ►20 1,93
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
►7,0 0,385 ►8 4,81
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
5,5 0,238 8 3,40
6,0 0,283 9 3,14
6,4 0,322 11 3,22
►7,0 0,385 ►13 3,21
8-31 2016 tc040
βc =428
100 ×8,452×1,79= 0,033 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,050 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,980βs = 1,000
As =428
0,980×8,45×1,000 ×52,17= 0,99 cm2/m < 1,80 𝑐m2/m
As = 1,80 cm2/m
7 cm ≤ s ≤ 20 cm
mSd = 3,02 kNm/m (positivo)
md,min = 4,28 kNm/m
mRd = max 4,28
3,02 = 4,28 kNm/m = 428 kNcm/m
βc =428
100 ×8,452×1,79= 0,033 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,050 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,980βs = 1,000
As =428
0,980×8,45×1,000 ×52,17= 0,99 cm2/m < 1,80 𝑐m2/m
As = 1,80 cm2/m
7 cm ≤ s ≤ 20 cm
mSd = 10,34 kNm/m (positivo)
md,min = 4,28 kNm/m
mRd = max 4,28
10,34 = 10,34 kNm/m = 1034 kNcm/m
βc =1034
100 ×8,452×1,79= 0,081 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,125 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,950βs = 1,000
As =1034
0,950×8,45×1,000 ×52,17= 2,47 cm2/m
> 1,80 𝑐m2/m
< 48,0 𝑐m2/m
As = 2,47 cm2/m
7 cm ≤ s ≤ 20 cm
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
5,0 0,196 10 1,96
5,5 0,238 13 1,83
6,0 0,283 15 1,89
6,4 0,322 17 1,89
►7,0 0,385 ►20 1,93
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
5,0 0,196 10 1,96
5,5 0,238 13 1,83
6,0 0,283 15 1,89
6,4 0,322 17 1,89
►7,0 0,385 ►20 1,93
8-32 2016 tc040
m) Armadura para os momentos fletores em bordas sem continuidade
mSd = md,min = 4,28 kNm/m (negativo)
mRd = 4,28 kNm/m = 428 kNcm/m
βc =428
100 ×8,452×1,79= 0,033 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,050 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,980βs = 1,000
As =428
0,980×8,45×1,000 ×52,17= 0,99 cm2/m < 1,80 𝑐m2/m
As = 1,80 cm2/m
7 cm ≤ s ≤ 20 cm
n) Armadura positiva
L1 L2
7 mm @ 20 cm
L3
7 mm @ 20 cm 7 mm @ 13 cm
7 mm @ 20 cm 7 mm @ 20 cm 7 mm @ 15 cm
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
5,0 0,196 7 2,80
5,5 0,238 9 2,64
6,0 0,283 11 2,57
6,4 0,322 13 2,48
►7,0 0,385 ►15 2,57
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
5,0 0,196 10 1,96
5,5 0,238 13 1,83
6,0 0,283 15 1,89
6,4 0,322 17 1,89
►7,0 0,385 ►20 1,93
8-33 2016 tc040
o) Armadura negativa
p) Armadura de borda
q) Consideração da laje L1 com curvatura em uma só direção
Embora a relação entre o vão maior (5 m) e o vão menor (2 m) da laje L1 supere dois, a dupla curvatura desta laje foi considerada, resultando na armadura mostrada no item n (todas armaduras consideradas como principais).
Caso a curvatura na direção do vão maior fosse desprezada (consideração de laje armada em uma só direção), os momentos fletores da laje L1 resultariam:
m0,2x1
m0,5y1
0,250,20,2
0,5
x1
y1
m/kNm56,22,14
0,21,9
2,14
pm
221xd
d,1x
m/kNm55,40,8
0,21,9
0,8
pm
221xd
d,1bx
Como não houve modificações nos momentos fletores na direção L1/L2, a distribuição de momentos e armadura nesta direção permanecerá inalterada para todo o painel de laje.
y1 = 5 m
x1 = 2 m
L1
mbx1
mx1
B A
p
8
pm
2
B
2,14
pm
2
AB
L1 L2
7 mm @ 17 cm
L3
7 mm @ 8 cm
7 mm @ 20 cm em todo contorno do
painel de laje
8-34 2016 tc040
A única modificação deverá ser feita para a laje L1, na direção do maior vão (5 m), onde não haverá momento positivo atuando e deverá ser posicionada apenas uma armadura de distribuição, função do momento positivo na outra direção (2,56 kNm/m).
É importante observar que a armadura positiva para o momento fletor positivo da laje L1, na direção L1/L2/L3, resultou:
mSd = 2,56 kNm/m (positivo)
md,min = 4,28 kNm/m (momento fletor mínimo de laje armada em duas direções)
As = 1,80 cm2/m (1 ϕ 7 mm @ 20 cm)
Como agora a laje será armada em uma só direção, o valor de md,min a ser considerado é outro:
mSd = 2,56 kNm/m (positivo)
md,min = 6,39 kNm/m (momento fletor mínimo de laje armada em uma só direção)
mRd = max 2,56
6,39 = 6,39 kNm/m = 639 kNcm/m
βc =639
100 ×8,452×1,79= 0,050 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,076 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,970βs = 1,000
As,princ =639
0,970×8,45×1,000 ×52,17= 1,49 cm2/m < 1,80 𝑐m2/m
As,princ = 1,80 cm2/m
7 cm ≤ s ≤ 20 cm (armadura principal)
L2 L3
11,81
18,02 9,17
L1
2,56 6,67
L1 L2
3,02
L3
10,34
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
5,0 0,196 10 1,96
5,5 0,238 13 1,83
6,0 0,283 15 1,89
6,4 0,322 17 1,89
►7,0 0,385 ►20 1,93
8-35 2016 tc040
Para a armadura de distribuição, tem-se:
mSd = md,min = 3,20 kNm/m
mRd = 3,20 kNm/m = 320 kNcm/m
βc =320
100 ×8,452×1,79= 0,025 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,037 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,985βs = 1,000
As,dist =320
0,985×8,45×1,000 ×52,17= 0,74 cm2/m < 1,80 𝑐m2/m
As,dist = 1,80 cm2/m (para mSd = mSd ,min = 3,20 kNm/m)
As,princ = 1,80 cm2/m (para mSd = 2,56 kNm/m e mSd ,min = 6,39 kNm/m)
As,distr ≥
20% As,princ
0,9 cm2/m
=
20
100× 1,80 = 0,36 cm2/m
0,9 cm2/m
As,dist = 1,80 cm2/m
10 cm ≤ s ≤ 30 cm (arnadura secundária)
- armadura positiva (calculada para L1 armada em uma única direção)
- armadura negativa e armadura de borda: inalteradas
r) Observação
A armadura positiva para a laje L1, calculada considerando dupla curvatura, resultou a mesma quando calculada considerando uma só curvatura. Embora os valores de mSd e mSd,min, fossem diferentes para as duas considerações de curvatura da laje, prevaleceu, para os dois casos, As,mim = 0,15% Ac (1,80 cm2/m).
O uso de um único tipo de barra ( de 7 mm) nem sempre é a melhor solução. Como
pode ser observado na tabela acima, para 1,80 cm2/m, cinco escolhas são possíveis: de
5 mm @ 10 cm; de 5,5 mm @ 13 cm; de 6 mm @ 15 cm; de 6,4 mm @ 17 cm e de 7 mm @ 20 cm. Todas são válidas e cabe ao responsável pelo projeto decidir qual disposição de armadura será a mais adequada.
L1 L2
7 mm @ 20 cm
L3
inalterada inalterada
7 mm @ 20 cm inalterada inalterada
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
5,0 0,196 10 1,96
5,5 0,238 13 1,83
6,0 0,283 15 1,89
6,4 0,322 17 1,89
►7,0 0,385 ►20 1,93
8-36 2016 tc040
8.8.3 Comprimento de barras
8.8.3.1 Armadura positiva
8.8.3.1.1 Barras não alternadas
Os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras não alternadas devem seguir o indicado na Figura 8.25. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.
Figura 8.25 - Comprimento de barras não alternadas - armadura positiva
Observar na Figura 8.25 que as barras que constituem a armadura positiva das lajes maciças de concreto devem terminar em gancho. Isto deve ser feito para melhorar as condições de ancoragem. O gancho de 90°, como mostrado na Figura 8.25, é o mais conveniente, embora nem sempre possa ser usado. A ponta superior deste gancho deve, também, respeitar o
cobrimento nominal, o que nem sempre é possível. Quando o gancho de 90º não puder ser utilizado, pode-se fazer uso dos ganchos de 135° ou 180º, como mostrado na Figura 8.26.
Figura 8.26 - Ganchos da armadura positiva
O diâmetro interno da curvatura (D) dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 8.3.
Bitola (mm) Tipo de Aço
CA-25 CA-50 CA-60
<20 4 5 6
20 5 8 -
Tabela 8.3 - Diâmetro dos pinos de dobramento
2
D
a)
4
D
b)
8
D
c)
cbx = 0x + bwx1 + bwx2 - 2 cnom -
bwx2 bwx1
cbx
cby
0x
bw
cnom
cnom
cnom
0y
cby
= 0y
+ bwy1
+ bwy2
- 2 cnom
-
bwy2
bwy1
8-37 2016 tc040
8.8.3.1.2 Barras alternadas
Os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, para lajes contínuas, devem seguir o indicado na Figura 8.27. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado ao comprimento do gancho da
extremidade que chega ao apoio. Na Figura 8.27, x (vão efetivo na direção x) será sempre o menor vão da laje, determinado pela Equação 8.1 (página 8-2).
Figura 8.27 - Comprimento de barras alternadas - armadura positiva para lajes contínuas
Os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, para lajes sem continuidade, devem seguir o indicado na Figura 8.28. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado ao comprimento do gancho da extremidade que chega ao apoio.
cbx = 0x + bwx1 + bwx2 - 0,2 x
bwx2 bwx1
cbx
cby
0x
bw
bwy2
bwy1
0y
cby
= 0y
+ bwy1
+ bwy2
- 0,2 x
8-38 2016 tc040
Figura 8.28 - Comprimento de barras alternadas - armadura positiva para lajes sem continuidade
Para as lajes que apresentam continuidade em uma só direção, os comprimentos horizontais das armaduras positivas (cbx e cby) de barras alternadas, devem ser determinados de tal forma que:
- na direção da continuidade, seja seguido o indicado na Figura 8.27; e
- na direção onde não existe continuidade, seja seguido o indicado na Figura 8.28.
É importante observar que a ABNT NBR 6118 - 20.1, não faz referência aos espaçamentos máximo e mínimo da armadura de flexão de lajes maciças de concreto constituídas por barras alternadas. Como o mínimo de três barras por metro de laje deve ser mantido, o espaçamento máximo das barras alternadas deve seguir o indicado na
Figura 8.29 {[3 bar x (2 x 17 cm )] = 102 cm 1 m}.
Figura 8.29 - Espaçamento máximo da armadura de flexão - barras alternadas
Quanto ao espaçamento mínimo deve-se ser mantido o estabelecido na Equação 8.20 (página 8-24). Desta forma, pode-se estabelecer para armadura de flexão de lajes maciças de concreto constituídas por barras alternadas:
armadura principal
h2
cm17
mins
bw
cnom
cnom
cnom
bw
y1
bw
y2
cbx = 0x + bwx1 + bwx2 - 0,1 x
bwx2 bwx1
cbx
cby
0x
0y
cby
= 0y
+ bwy1
+ bwy2
- 0,1 x
8-39 2016 tc040
h2
cm17minscm7 Equação 8.22
8.8.3.2 Armadura negativa
8.8.3.2.1 Lajes contínuas - barras não alternadas
Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb) de barras não alternadas de lajes contínuas devem seguir o indicado na Figura 8.30. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.
Figura 8.30 - Comprimento de barras não alternadas de lajes contínuas - armadura negativa
As barras que constituem a armadura negativa das lajes continuas devem terminar em gancho de 90°, com mostrado na Figura 8.30. Os detalhes do gancho devem respeitar o indicado na Figura 8.26 e na Tabela 8.3 (página 8-36).
8.8.3.2.2 Lajes contínuas - barras alternadas
Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb) de barras alternadas de lajes contínuas devem seguir o indicado na Figura 8.31. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.
cb = 0,5 x,maior
cb
0,25 x,maior
0,25 x,maior
xk
xj
cnom
cnom
xi
x
8-40 2016 tc040
Figura 8.31 - Comprimento de barras alternadas de lajes contínuas - armadura negativa
8.8.3.2.3 Lajes em balanço - barras não alternadas
Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb) de barras não alternadas de lajes em balanço devem seguir o indicado na Figura 8.32. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.
As barras que constituem a armadura negativa das lajes em balanço devem terminar em gancho de 90°, com mostrado na Figura 8.32. Os detalhes do gancho devem respeitar o indicado na Figura 8.26 e na Tabela 8.3 (página 8-36).
Figura 8.32 - Comprimento de barras não alternadas de lajes em balanço - armadura negativa
8.8.3.2.4 Lajes em balanço - barras alternadas
Os comprimentos horizontais das armaduras negativas (cb,maior e cb,menor) de barras alternadas de lajes em balanço devem seguir o indicado na Figura 8.33. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal somado aos comprimentos dos ganchos das extremidades.
cnom
cnom
bal
cnom
bal
x25,0max
bal
bal
bal
xb
25,0maxc
cb
x
cnom
cnom
cb = 0,375 x,maior
cb
0,25 x,maior
0,25 x,maior
xj
xi
8-41 2016 tc040
Figura 8.33 - Comprimento de barras alternadas de lajes em balanço - armadura negativa
8.8.3.3 Armadura de borda - vigas de contorno
Os comprimentos horizontais das armaduras negativas de borda (cb) de barras não alternadas de lajes devem seguir o indicado na Figura 8.34. O comprimento total das barras, antes das dobras, será igual ao comprimento horizontal (cb) somado ao comprimento do gancho (cganc) e ao comprimento de ancoragem dentro da viga (cancor).
Figura 8.34 - Vigas de contorno - armadura de borda
8.9 Reações de apoio Segundo a ABNT NBR 6118 - 14.7.6.1, as reações de apoio das lajes maciças retangulares
com carga uniformemente distribuída, em cada apoio, são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados por retas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos:
- 45° entre dois apoios do mesmo tipo;
- 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; e
cnom
cnom
bal
cnom
bal
bal
bal
xmaior,b
25,0maxc
cb,maior
x
bal
x25,0max
cb,menor
bal
bal
xmenor,b
25,0max5,0c
cnom
cnom
cb
bw
Li
Asy,borda
Asx,b
ord
a
cb = 0,15
xi + b
w
cganc
cancor
xi
8-42 2016 tc040
- 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
A Figura 8.35 mostra o esquema para cálculo de reações de apoio de lajes.
Figura 8.35 - Reações de apoio de lajes
Para a viga Vn, sobre a qual as lajes mostradas na Figura 8.35 estão apoiadas, a reação de apoio será dada por:
i
nkVn
Apr
Equação 8.23
onde:
rVn reação de apoio na viga Vn;
pk valor característico da carga uniformemente distribuída na laje;
An área n definida pelo trapézio de base i da Figura 8.35;
i vão da laje e da viga Vn, correspondente a base do trapézio da Figura 8.35.
A Equação 8.23 é válida para qualquer trapézio ou triângulo mostrado na Figura 8.35. A reação de apoio em qualquer viga suporte das lajes mostradas na Figura será sempre dada pelo produto da carga uniformemente distribuída pela área do triângulo ou trapézio onde atua esta carga, dividido pela base do trapézio ou triângulo (vão da viga suporte).
Exemplo 8.6: Determinar os esquemas de carregamento das vigas do painel abaixo representado. Determinar, também, os carregamentos nos pilares.
Dados:
- carga permanente atuante nas lajes (peso próprio incluído): 3,5 kN/m2;
- carga acidental atuante nas lajes: 1,5 kN/m2;
- paredes atuantes sobre as vigas de contorno (tijolo furado de 10 cm, reboco de 1,5 cm e 2,5 m de altura): 4,5 kN/m; e
- peso próprio das vigas (20 cm x 50 cm): 2,5 kN/m.
Solução: A solução do problema consiste na determinação, para as lajes, dos triângulos e trapézios conforme a ABNT NBR 6118 14.7.6.1. Os carregamentos sobre as vigas são determinados pela aplicação da Equação 8.23. Os carregamentos nos pilares são determinados pelo cálculo das reações de apoio das vigas.
60° 45°
60° 45°
An
Vn
i
60° 90°
90° 45°
An
Vn
i
P1
P3 P4
P2
V4
V3
V2B V2A
V1B V1A
L1 L2
4 m 7 m
5 m
8-43 2016 tc040
a) Laje L1 - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2)
21A m 928,2
2
464,14A
23 m 177,5464,1
2
072,25A
24 m 967,8536,2
2
072,25A
22A m 928,2
2
464,14A
i
nkVn
Apr
kN/m 562,24
928,25,3rV1A
kN/m 624,35
177,55,3rV3
kN/m 277,65
967,85,3rV4
kN/m 562,24
928,25,3rV2A
1,464 5
m
A1A
A2A
A3 A4
45°
45° 60°
60°
V4
V3
V2A
V1A 4 m
1,4
64
2,536
1,4
64
2,0
72
AL1 = 4 m x 5 m = 20 m2
PL1 = 20 m2 x 3,5 kN/m2 = 70 kN
5 m
2,562 kN/m
2,562 kN/m
3,6
24 k
N/m
6,2
77 k
N/m
V
4
V3
V2A
V1A 4 m
L1
An = 2,928 + 5,177 + 8,967 + 2,928 = 20 m2
Pn = 4 × 2,562 + 5 × 3,624 + 5 × 6,277 + 4 × 2,562 = 70 kN
8-44 2016 tc040
b) Laje L2 - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2)
21B m 088,12500,2
2
670,27A
24 m 825,10
2
330,45A
22B m 088,12500,2
2
670,27A
i
nkVn
Apr
kN/m 044,67
088,125,3rV1B
kN/m 578,75
825,105,3rV4
kN/m 044,67
088,125,3rV2B
AL2 = 5 m x 7 m = 35 m2
PL2 = 35 m2 x 3,5 kN/m2 = 122,5 kN
4,330
5 m
A1B
A2B
A4
60°
60° 90°
90°
V4
V2B
V1B 7 m
2,5
00
2,670
2,5
00
5 m
V4
V2B
V1B
7 m
6,044 kN/m
6,044 kN/m
7,5
78 k
N/m
An = 12,088 + 10,825 + 12,088 = 35 m2
Pn = 7 × 6,044 + 5 × 7,578 + 7 × 6,044 = 122,5 kN
8-45 2016 tc040
c) Painel de lajes - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2)
d) Painel de lajes - carga acidental (qk = 1,5 kN/m2)
Os procedimentos para a obtenção dos valores mostrados no painel de carga acidental são os mesmos efetuados para o painel de cargas permanentes (itens a, b e c). Trocou-se a carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) pela carga acidental (qk = 1,5 kN/m2). Como não há variação de cargas de uma laje para a outra, o painel mostrado neste item foi obtido do painel mostrado no item c, na proporção 1,5/3,5 (carga acidental / carga permanente).
e) V3 - carregamento e reações de apoio
carga acidental: qk = 1,553 kN/m
carga permanente:
reação da laje: 03,624 kN/m
parede: 04,500 kN/m
peso próprio da viga: 02,500 kN/m
gk = 10,624 kN/m
06
,277
kN
/m
07
,578
kN
/m
13
,855
kN
/m
P1
P3 P4
P2
V4
V3
V2B V2A
V1B V1A
L1 L2
4 m 7 m
5 m
2,562 kN/m
3,6
24 k
N/m
2,562 kN/m
6,044 kN/m
6,044 kN/m 2
,69
0 k
N/m
3,2
48 k
N/m
5,9
38 k
N/m
P1
P3 P4
P2
V4
V3
V2B V2A
V1B V1A
L1 L2
4 m 7 m
5 m
1,098 kN/m
1,5
53 k
N/m
1,098 kN/m
2,590 kN/m
2,590 kN/m
8-46 2016 tc040
kN560,262
5624,10GG 3P,kP1k,
kN883,32
5553,1QQ 3P,kP1k,
f) V4 - carregamento e reações de apoio
carga acidental: qk = 5,938 kN/m
carga permanente:
reação da laje: 13,855 kN/m
peso próprio da viga: 02,500 kN/m
gk = 16,355 kN/m
kN888,402
5355,16GG 2V,kV1k,
kN845,142
5938,5QQ 2V,kV1k,
g) V1 = V2 - carregamento e reações de apoio
V1A
carga acidental: qk = 1,098 kN/m
carga permanente:
reação da laje: 02,562 kN/m
parede: 04,500 kN/m
peso próprio da viga: 02,500 kN/m
gk = 9,562 kN/m
V1B
carga acidental: qk = 2,590 kN/m
carga permanente:
reação da laje: 06,044 kN/m
parede: 04,500 kN/m
peso próprio da viga: 02,500 kN/m
gk = 13,044 kN/m
V2 V1
V4
5 m
qk = 5,938 kN/m
gk = 16,355 kN/m
Gk,V1 = 40,888 kN
Qk,V1 = 14,845 kN
Gk,V2
Qk,V2
P3 P1
V3
5 m
qk = 1,553 kN/m
gk = 10,624 kN/m
Gk,P1 = 26,560 kN
Qk,P1 = 3,883 kN
Gk,P3
Qk,P3
8-47 2016 tc040
kN366,8611
7888,40
11
5,37044,13
11
94562,9GG 3P,kP1k,
kN078,8411
4888,40
11
5,77044,13
11
24562,9GG 4P,kP2k,
kN809,1811
7845,14
11
5,37590,2
11
94098,1QQ 3P,kP1k,
kN558,1811
4845,14
11
5,77590,2
11
24098,1QQ 4P,kP2k,
h) Carga nos pilares
- carga permanente
V1B
7 m P1 P2
V1A
4 m
Gk,P2 = 84,078 kN
Qk,P2 = 18,558 kN
Gk,P1 = 86,366 kN
Qk,P1 = 18,809 kN
qk = 2,590 kN/m
gk = 13,044 kN/m
qk = 1,098 kN/m
gk = 9,562 kN/m
Qk = 14,845 kN
Gk = 40,888 kN
086
,36
6
kN
(V1
)
026
,56
0
kN
(V3
)
112
,92
6 k
N
P1
P3 P4
P2
V4
V3
V2B V2A
V1B V1A
L1 L2
112,926 kN
84,078 kN (V1)
84,078 kN
8-48 2016 tc040
- carga acidental
i) Verificação
carga permanente:
lajes: (20 m2 + 35 m2) x 3,5 kN/m2 ............................... 192,5 kN
pp das vigas: [2 x (4 m + 7 m + 5 m)] x 2,5 kN/m .......... 80,0 kN
paredes: {[2 x (4 m + 7 m)] + 5 m} x 4,5 kN/m ............. 121,5 kN
total: ............................................................................ 394,0 kN
carga acidental:
lajes: (20 m2 + 35 m2) x 1,5 kN/m2 ................................. 82,5 kN
carga permanente nos pilares:
2 x (112,926 + 84,078) ................................................ 394,0 kN
carga acidental nos pilares:
2 x (22,692 + 18,558) .................................................... 82,5 kN
j) Observação
Neste exemplo foram usados números com três casas decimais, o que não é necessário para cálculos normais de estruturas de concreto. Este número exagerado de casas decimais foi usado para demonstrar a precisão da verificação apresentada no item i.
8.10 Força cortante em lajes maciças de concreto armado Segundo a ABNT NBR 6118 19.4.1, as lajes maciças podem prescindir de armadura
transversal para resistir as forças de tração oriundos da força cortante, quando a força cortante de cálculo, a uma distância d da face do apoio, obedecer à expressão1:
vSd ≤ vRd 1 Equação 8.24
onde:
vSd força cortante solicitante de cálculo (por metro de laje), podendo ser assumidas as reações de apoio como mostrado em 8.9; e
vRd1 força cortante resistente de cálculo (por metro de laje).
A força cortante resistente de cálculo2 é dada por:
vRd 1 = τRd κ 1,2 + 40ρ1 d Equação 8.25
1 A ABNT NBR 6118 apresenta a equação de verificação de força cortante como sendo VSd VRd1, ou seja,
verificação de forças pontuais (kN). A Equação 8.24 faz a verificação de forças cortantes por unidade de comprimento (kN/m).
2 A expressão apresentada pela ABNT NBR 6118 corresponde a VRd 1 = τRd κ 1,2 + 40ρ1 + 0,15σcp bw d. Nesta
expressão estão incluídos o valor de bw, para que a expressão resulte em força pontual (kN), e o valor cp, relativo à força de protensão. A Equação 8.25 não tem bw (resulta em força cortante por unidade de comprimento - kN/m) e
não tem cp (não considera força de protensão).
018
,80
9
kN
(V1
)
003
,88
3
kN
(V3
)
022
,69
2 k
N
P1
P3 P4
P2
V4
V3
V2B V2A
V1B V1A
L1 L2
22,692 kN
18,558 kN (V1)
18,558 kN
8-49 2016 tc040
onde:
Rd tensão resistente de cálculo ao cisalhamento;
κ coeficiente função da taxa de armadura existente na região próxima ao apoio onde está sendo considerada a força cortante;
1 taxa de armadura existente na região próxima ao apoio onde está sendo considerada a força cortante; e
d altura útil da laje.
A tensão resistente de cálculo ao cisalhamento Rd é dada por:
- para concretos de classes até C50:
τRd =0,0525
γc fck
23 fck em MPa Equação 8.26
- para concretos de classes C55 até C90:
τRd =0,371 ln 1 + 0,11fck
γc fck em MPa Equação 8.27
O coeficiente κ deve ser determinado da seguinte forma:
- para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio:
κ = 1,0 Equação 8.28
- para os demais casos:
κ = max 1,6 − d
1,0 d em metros Equação 8.29
A taxa de armadura 1, na região próxima ao apoio onde está sendo considerada a força cortante, é dada pela expressão:
ρ1 = min
As1
bw d
2%
Equação 8.30
onde:
As1 área da armadura de tração que se estende até não menos de d + b,nec além da seção considerada (Figura 8.36)3;
bw largura mínima da seção ao longo da altura útil d (1 metro); e
d altura útil da laje.
Figura 8.36 - Armadura a ser considerada na verificação de força cortante em lajes
3 Alguns autores preferem considerar, sempre, a armadura positiva que chega ao apoio, ignorando as armaduras
tracionadas negativas.
d
seção
considerada
As
d + b,nec
As1 d
seção
considerada
As
d + b,nec
As1
8-50 2016 tc040
De modo geral pode-se adotar para valores de As1:
- 100% da armadura principal que chega ao apoio onde está sendo considerada a força cortante, para o caso de armadura não alternada; e
- 50% da armadura principal que chega ao apoio onde está sendo considerada a força cortante, para o caso de armadura alternada.
Exemplo 8.7: Verificar, para o painel abaixo representado, se as lajes podem prescindir de armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- estado limite último, combinações últimas normais (g = 1,4 q = 1,4, c = 1,4 e
s = 1,15);
- espessura das lajes (h): 10 cm;
- cobrimento nominal (cnom): 2,5 cm;
- barras de flexão alternadas;
- carga permanente atuante nas lajes (peso próprio incluído): 3,5 kN/m2; e
- carga acidental atuante nas lajes: 1,5 kN/m2.
Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 8.7 (página 8-14) para a determinação dos momentos fletores em lajes isoladas. A uniformização dos momentos negativos na região de continuidade de lajes é feita com a utilização da Equação 8.8 (página 8-14). Para a correção dos momentos positivos deve-se usar a Equação 8.9 (página 8-15). As armaduras devem ser determinadas com a aplicação da Equação 8.10 (página 8-21) a Equação 8.22 (página 8-39). A determinação das reações de apoio das lajes (força cortante) deve ser feita com a aplicação da Equação 8.23 (página 8-42). A verificação da força cortante é feita com o uso da Equação 8.24 a Equação 8.30.
a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm)
2
ck kN/cm5,2MPa25f
MPa50f80,0 ck
MPa50f85,0 ckc
MPa50f45,0 ckdtlx,
MPa50ff0,39f ck3 2
cksupctk,
23 2supctk, cm/kN333,0MPa33,3250,39f
normal) combinação - (ELU 1,40c
P1
P3 P4
P2
V4
V3
V2B V2A
V1B V1A
L1 L2
4 m 4 m
5 m V5
8-51 2016 tc040
2
c
ckcd kN/cm 79,1
1,40
2,5ff
2
yk kN/cm 60MPa 600f
normal) combinação - (ELU 1,15s
2
s
yk
yd kN/cm 17,521,15
60ff
cm 100bw
cm 10h
cm 5,2cnom
2
wc cm000110100hbA
322
w0 cm6671
6
10100
6
hbW
momento negativo mínimo em bordas com continuidade
cmkN09,444333,066718,0fW8,0m sup,ctk0min,d
laje de metro m/porkN 44,4m100
1kN09,444m min,d
momento negativo mínimo em bordas sem continuidade
lajedemetropor/mkN97,244,467,0fW8,067,0m sup,ctk0min,d
momento positivo mínimo em lajes armadas em duas direções
lajedemetrom/porkN2,974,440,67supctk,
f0
W0,80,67mind,
m
lajedemetropor/cm50,10001100
15,0A%15,0A 2
cmin,s
lajedemetropor/cm00,400001100
4A%4A 2
cmax,s
8
h
mm5,12cm25,18
10max,
h2
cm17minscm7 (barras alternadas)
cm20102
cm17minscm7
cm17scm7 (armadura principal, barras alternadas)
cm33scm10 (armadura secundária)
b) Carregamento das lajes (valores de cálculo)
qqkgd qgp
2
d m/kN0,75,14,15,34,1p
8-52 2016 tc040
c) Laje L1
m0,4x1
m0,5y1
9,9
2,35
4,21
tab25,10,4
0,5
1x
1y
1x
x1
y1
m/kNm23,54,21
0,40,7pm
2
1x
21xd
d,1x
m/kNm18,32,35
0,40,7pm
2
1y
21xd
d,1y
m/kNm31,119,9
0,40,7pm
2
1x
21xd
d,1bx
d) Momentos fletores das lajes com continuidade (L1/L2)
A uniformização de momentos é feita pela própria simetria do painel de lajes.
e) Momentos fletores das lajes sem continuidade (L1 e L2)
f) Altura útil (verificação para o maior momento fletor de cálculo atuante)
d = h − cnom + 1,5 ϕℓ
d = 10 − 2,5 + 1,5 × 0,8 = 6,3 cm (assumido ϕ = 8 mm)
mSd = 11,31 kNm/m (maior momento fletor de cálculo, em valor absoluto)
md,min = 4,44 kNm/m
mRd = max
md,min
mSd
= max 4,44
11,31 = 11,31 kNm/m = 1131 kNcm/m
βc =m Rd
bw d2 fcd=
1131
100 ×6,32×1,79= 0,159 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,262 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,895βs = 1,000
y1 =
5 m
x1 = 4 m
L1
mbx1
mx1
my1
L1
11,31 kN/m
5,23 kN/m
L2
5,23 kN/m
L1 L2
3,1
8 k
N/m
3,1
8 k
N/m
8-53 2016 tc040
As =m Rd
βz dβs fyd
≥ As,min
≤ As,max
As =1131
0,895×6,3×1,000 ×52,17= 3,84 cm2/m
> 1,50 𝑐m2/m
< 40,0 𝑐m2/m
As = 3,84 cm2/m
7 𝑐𝑚 ≤ 𝑠 ≤ 20 𝑐𝑚
é possível usar armadura de 6 mm
d = 10 − 2,5 + 1,5 × 0,6 = 6,6 cm (ϕ = 6 mm)
d = 6,6 cm
g) Cálculo da armadura para momentos fletores
mSd = 5,23 kNm/m (positivo)
md,min = 2,97 kNm/m
mRd = max 2,97
5,23 = 5,23 kNm/m = 523 kNcm/m
βc =523
100 ×6,62×1,79= 0,067 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,103 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,958βs = 1,000
As =523
0,958×6,6×1,000 ×52,17= 1,59 cm2/m
> 1,50 𝑐m2/m
< 40,0 𝑐m2/m
As = 1,59 cm2/m
7 cm ≤ s ≤ 20 cm
mSd = 11,31 kNm/m (negativo)
md,min = 4,44 kNm/m
mRd = max 4,44
11,31 = 11,31kNm/m = 1131 kNcm/m
βc =1131
100 ×6,62×1,79= 0,145 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,235 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,906βs = 1,000
As =1131
0,906×6,6×1,000 ×52,17= 3,63 cm2/m
> 1,50 𝑐m2/m
< 40,0 𝑐m2/m
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm)
6,0 0,283 7
6,4 0,322 8
7,0 0,385 10
8,0 0,503 13
s 0,283 cm2
100 cm 3,840 cm2 s = 7,37 cm
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
►5,0 0,196 ►12 1,63
5,5 0,238 14 1,70
6,0 0,283 17 1,66
s 0,196 cm2
100 cm 1,590 cm2 s = 12,33 cm
12 cm 0,196 cm2
100 cm As,ef As,ef = 1,63 cm2/m
8-54 2016 tc040
As = 3,63 cm2/m
7 cm ≤ s ≤ 20 cm
mSd = 3,18 kNm/m (positivo)
md,min = 2,97 kNm/m
mRd = max
md,min
mSd
= max 2,97
3,18 = 3,18 kNm/m = 318 kNcm/m
βc =318
100 ×6,62×1,79= 0,043 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,065 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,974βs = 1,000
As =318
0,974×6,6×1,000 ×52,17= 0,95 cm2/m < 1,50 𝑐m2/m
As = 1,50 cm2/m
7 cm ≤ s ≤ 20 cm
mSd = md,min = 2,97 kNm/m (negativo− borda sem continuidade)
mRd = 2,97 kNm/m = 297 kNcm/m
βc =297
100 ×6,62×1,79= 0,038 ⇝ tabela ⇝
βx = 0,057 < 0450 (βx,dtl )
βz = 0,977βs = 1,000
As =297
0,977×6,6×1,000 ×52,17= 0,88 cm2/m < 1,50 𝑐m2/m
As = 1,50 cm2/m
7 cm ≤ s ≤ 20 cm
h) Armadura para momentos fletores e borda
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
►6,0 0,283 ►7 4,04
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
►5,0 0,196 ►13 1,51
5,5 0,238 15 1,59
(mm) As,bar
(cm2) s
(cm) As,ef
(cm2/m)
►5,0 0,196 ►13 1,51
5,5 0,238 15 1,59
L1 L2 5 mm @ 13 cm 1,51 cm2/m
5 mm @ 12 cm 1,63 cm2/m
6 mm @ 7 cm 4,04 cm2/m
5 mm @ 13 cm 1,51 cm2/m
(em todo contorno)
8-55 2016 tc040
i) Reação de apoio - laje L1 - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) - valores característicos
21A m 928,2
2
464,14A
23 m 177,5464,1
2
072,25A
24 m 967,8536,2
2
072,25A
22A m 928,2
2
464,14A
OKm20928,2967,8177,5928,2A 2n
i
nkVn
Apr
kN/m 562,24
928,25,3rV1A
kN/m 624,35
177,55,3rV3
kN/m 277,65
967,85,3rV4
kN/m 562,24
928,25,3rV2A
1,464 5
m
A1A
A2A
A3 A4
45°
45° 60°
60°
V4
V3
V2A
V1A 4 m
1,4
64
2,536
1,4
64
2,0
72
AL1 = 4 m x 5 m = 20 m2
PL1 = 20 m2 x 3,5 kN/m2 = 70 kN
5 m
2,562 kN/m
2,562 kN/m
3,6
24 k
N/m
6,2
77 k
N/m
V
4
V3
V2A
V1A 4 m
L1
8-56 2016 tc040
OKkN70)562,24()277,65()624,35()562,24(Pn
j) Painel de lajes - carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) - valores característicos
k) Painel de lajes - carga acidental (qk = 1,5 kN/m2) - valores característicos
Os procedimentos para a obtenção dos valores mostrados no painel de carga acidental são os mesmos efetuados para o painel de cargas permanentes (itens h e i). Trocou-se a carga permanente (gk = 3,5 kN/m2) pela carga acidental (qk = 1,5 kN/m2). Como não há variação de cargas de uma laje para a outra, o painel mostrado neste item foi obtido do painel mostrado no item i, na proporção 1,5/3,5 (carga acidental / carga permanente).
l) Apoio V1A - verificação da força cortante (igual para V1B, V2A e V2B)
qkgkSd r4,1r4,1v
m/kN562,2r A1V,gk
m/kN098,1r A1V,qk
m/kN1,5098,14,1562,24,1vSd
MPa em ff0525,0
ck3 2
ck
c
Rd
23 2
Rd cm/kN032,0MPa321,0254,1
0525,0
0,1k (barras alternadas)
06
,277
kN
/m
06
,277
kN
/m
P1
P3 P4
P2
V4
V3
V2B V2A
V1B V1A
L1 L2
4 m 4 m
5 m
2,562 kN/m 3
,62
4 k
N/m
2,562 kN/m
2,562 kN/m
2,562 kN/m
3,6
24 k
N/m
V5
02
,690
kN
/m
02
,690
kN
/m
P1
P3 P4
P2
V4
V3
V2B V2A
V1B V1A
L1 L2
4 m 4 m
5 m
1,098 kN/m
1,5
53 k
N/m
1,098 kN/m
1,098 kN/m
1,098 kN/m
1,5
53 k
N/m
V5
8-57 2016 tc040
2
AA
ef,s1s (barras alternadas)
m/cm51,1A 2ef,s (1 5 mm @ 13 cm) - armadura positiva que chega na V1A
%2
db
A
minw
1s
1
%114,0
%2
%114,0
min
%2
6,61002
51,1
min1
d402,1kv 1Rd1Rd
m/kN3,26cm/kN263,06,6100
114,0402,10,1032,0v 1Rd
1RdSd vv
m/kN3,26
1Rd
m/kN1,5
Sd vv
m) Apoio V3 - verificação da força cortante (igual para V5)
m/kN624,3r 3V,gk
m/kN553,1r 3V,qk
m/kN2,7553,14,1624,34,1vSd
2
Rd cm/kN032,0
0,1k (barras alternadas)
m/cm63,1A 2ef,s (1 5 mm @ 12 cm) - armadura positiva que chega na V3 (V5)
%123,0
%2
%123,0
min
%2
6,61002
63,1
min1
m/kN4,26cm/kN264,06,6100
123,0402,10,1032,0v 1Rd
m/kN4,26
1Rd
m/kN2,7
Sd vv
n) Apoio V4 - verificação da força cortante
m/kN277,6r 4V,gk
m/kN690,2r 4V,qk
m/kN6,12690,24,1277,64,1vSd
2
Rd cm/kN032,0
8-58 2016 tc040
0,1k (barras alternadas)
m/cm04,4A 2ef,s (1 6 mm @ 7 cm) - armadura negativa sobre a V44
%306,0
%2
%306,0
min
%2
6,61002
04,4
min1
m/kN9,27cm/kN279,06,6100
306,0402,10,1032,0v 1Rd
m/kN9,27
1Rd
m/kN6,12
Sd vv
8.11 Tabelas de CZERNY As tabelas as seguir apresentadas são válidas para lajes retangulares apoiadas em todas as
suas bordas, com carregamento uniformemente distribuído. Estas tabelas apresentadas por CZERNY no volume I do Beton Kalender de 1976 foram adaptadas por BURKE para coeficiente
de Poisson () igual a 0,20.
Nas tabelas que se seguem valem as seguintes notações:
x menor vão da laje;
y maior vão da laje;
mx momento fletor positivo na direção x;
my momento fletor positivo na direção na y;
mbx momento fletor negativo (borda) na direção x;
mby momento fletor negativo (borda) na direção y;
a flecha máxima da laje;
p carga uniformemente distribuída em toda laje;
x coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x;
y coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y;
x coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x;
y coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y;
a coeficiente para definição da flecha;
Ec módulo de elasticidade secante do concreto (Ecs); e
h espessura da laje.
x
2x
x
pm
y
2x
y
pm
x
2x
bx
pm
y
2x
by
pm
a3
c
4x
hE
pa
4 Alguns autores consideram as armaduras positivas que chegam ao apoio (1,63 cm
2/m - 1 de 5 mm @ 12 cm).
8-59 2016 tc040
8.11.1 Quatro bordas com apoios simples
y/x x y x y a
1,00 22,7 22,7 21,4
1,05 20,8 22,5 19,4
1,10 19,3 22,3 17,8
1,15 18,1 22,3 16,5
1,20 16,9 22,3 15,4
1,25 15,9 22,4 14,3
1,30 15,2 22,7 13,6
1,35 14,4 22,9 12,9
1,40 13,8 23,1 12,3
1,45 13,2 23,3 11,7
1,50 12,7 23,5 11,2
1,55 12,3 23,5 10,8
1,60 11,9 23,5 10,4
1,65 11,5 23,5 10,1
1,70 11,2 23,5 9,8
1,75 10,8 23,5 9,5
1,80 10,7 23,5 9,3
1,85 10,4 23,5 9,1
1,90 10,2 23,5 8,9
1,95 10,1 23,5 8,7
2,00 9,9 23,5 8,6
>2 8,0 23,5 6,7
8.11.2 Três bordas com apoios simples e um engaste em x
y/x x y x y a
1,00 32,4 26,5 11,9 31,2
1,05 29,2 25,0 11,3 27,6
1,10 26,1 24,4 10,9 24,7
1,15 23,7 23,9 10,4 22,3
1,20 22,0 23,8 10,1 20,3
1,25 20,2 23,6 9,8 18,7
1,30 19,0 23,7 9,6 17,3
1,35 17,8 23,7 9,3 16,1
1,40 16,8 23,8 9,2 15,1
1,45 15,8 23,9 9,0 14,2
1,50 15,1 24,0 8,9 13,5
1,55 14,3 24,0 8,8 12,8
1,60 13,8 24,0 8,7 12,2
1,65 13,2 24,0 8,6 11,7
1,70 12,8 24,0 8,5 11,2
1,75 12,3 24,0 8,45 10,8
1,80 12,0 24,0 8,4 10,5
1,85 11,5 24,0 8,35 10,1
1,90 11,3 24,0 8,3 9,9
1,95 10,9 24,0 8,25 9,6
2,00 10,8 24,0 8,2 9,4
>2 8,0 24,0 8,0 6,7
x
y
my
mx
mby
y
my
mx
x
8-60 2016 tc040
8.11.3 Três bordas com apoios simples e um engaste em y
y/x x y x y a
1,00 26,5 32,4 11,9 31,2
1,05 25,7 33,3 11,3 29,2
1,10 24,4 33,9 10,9 27,4
1,15 23,3 34,5 10,5 26,0
1,20 22,3 34,9 10,2 24,8
1,25 21,4 35,2 9,9 23,8
1,30 20,7 35,4 9,7 22,9
1,35 20,1 37,8 9,4 22,1
1,40 19,7 39,9 9,3 21,5
1,45 19,2 41,1 9,1 20,9
1,50 18,8 42,5 9,0 20,4
1,55 18,3 42,5 8,9 20,0
1,60 17,8 42,5 8,8 19,6
1,65 17,5 42,5 8,7 19,3
1,70 17,2 42,5 8,6 19,0
1,75 17,0 42,5 8,5 18,7
1,80 16,8 42,5 8,4 18,5
1,85 16,5 42,5 8,3 18,3
1,90 16,4 42,5 8,3 18,1
1,95 16,3 42,5 8,3 18,0
2,00 16,2 42,5 8,3 17,8
>2 14,2 42,5 8,0 16,7
8.11.4 Duas bordas com apoios simples e dois engastes em x
y/x x y x y a
1,00 46,1 31,6 14,3 45,3
1,05 39,9 29,8 13,4 39,2
1,10 36,0 28,8 12,7 34,4
1,15 31,9 27,9 12,0 30,4
1,20 29,0 26,9 11,5 27,2
1,25 26,2 26,1 11,1 24,5
1,30 24,1 25,6 10,7 22,3
1,35 22,1 25,1 10,3 20,4
1,40 20,6 24,8 10,0 18,8
1,45 19,3 24,6 9,75 17,5
1,50 18,1 24,4 9,5 16,3
1,55 17,0 24,3 9,3 15,3
1,60 16,2 24,3 9,2 14,4
1,65 15,4 24,3 9,05 13,7
1,70 14,7 24,3 8,9 13,0
1,75 14,0 24,3 8,8 12,4
1,80 13,5 24,3 8,7 11,9
1,85 13,0 24,3 8,6 11,4
1,90 12,6 24,3 8,5 11,0
1,95 12,1 24,3 8,4 10,6
2,00 11,8 24,3 8,4 10,3
>2 8,0 24,3 8,0 6,7
x
y
mbx
my
mx
y
x
my mby
mx
8-61 2016 tc040
8.11.5 Duas bordas com apoios simples e dois engastes em y
y/x x y x y a
1,00 31,6 46,1 14,3 45,3
1,05 29,9 46,4 13,8 43,2
1,10 29,0 47,2 13,5 41,5
1,15 28,0 47,7 13,2 40,1
1,20 27,2 48,1 13,0 39,0
1,25 26,4 48,2 12,7 37,9
1,30 25,8 48,1 12,6 37,2
1,35 25,3 47,9 12,4 36,5
1,40 24,8 47,8 12,3 36,0
1,45 24,4 47,7 12,2 35,6
1,50 24,2 47,6 12,2 35,1
1,55 24,0 47,6 12,1 34,7
1,60 24,0 47,6 12,0 34,5
1,65 24,0 47,6 12,0 34,2
1,70 24,0 47,4 12,0 33,9
1,75 24,0 47,3 12,0 33,8
1,80 24,0 47,2 12,0 33,7
1,85 24,0 47,1 12,0 33,6
1,90 24,0 47,1 12,0 33,5
1,95 24,0 47,1 12,0 33,4
2,00 24,0 47,0 12,0 33,3
>2 24,0 47,0 12,0 32,0
8.11.6 Duas bordas com apoios simples, um engaste em x e outro em y
y/x x y x y a
1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3
1,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,1
1,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,5
1,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,7
1,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,9
1,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,2
1,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,8
1,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,5
1,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,5
1,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,5
1,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,7
1,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,1
1,60 19,7 40,2 9,2 12,3 21,5
1,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,0
1,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,5
1,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,1
1,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,7
1,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,4
1,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,0
1,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,8
2,00 17,1 40,2 8,4 12,2 18,5
>2 14,2 40,2 8,0 12,0 16,7
x
y
my
mx
mbx
x
mby
y
mbx
my
mx
8-62 2016 tc040
8.11.7 Três bordas engastadas e um apoio simples em x
y/x x y x y a
1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,4
1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6
1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7
1,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,1
1,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1
1,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,5
1,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,2
1,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,9
1,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,9
1,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,0
1,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,2
1,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,5
1,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,0
1,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,4
1,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,0
1,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,6
1,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,4
1,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,2
1,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,9
1,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,8
2,00 24,0 54,1 12,0 17,5 33,7
>2 24,0 54,0 12,0 17,5 32,0
8.11.8 Três bordas engastadas e um apoio simples em y
y/x x y x y a
1,00 44,6 38,1 18,3 16,2 55,4
1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1
1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1
1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1
1,20 32,1 36,2 13,5 13,9 36,7
1,25 29,8 36,1 12,7 13,5 33,8
1,30 28,0 36,2 12,2 13,3 31,7
1,35 26,4 36,6 11,6 13,1 29,7
1,40 25,2 37,0 11,2 13,0 28,1
1,45 24,0 37,5 10,9 12,8 26,6
1,50 23,1 38,3 10,6 12,7 25,5
1,55 22,3 39,3 10,3 12,6 24,5
1,60 21,7 40,3 10,1 12,6 23,6
1,65 21,1 41,4 9,9 12,5 22,8
1,70 20,4 42,7 9,7 12,5 22,1
1,75 20,0 43,8 9,5 12,4 21,5
1,80 19,5 44,8 9,4 12,4 21,0
1,85 19,1 45,9 9,2 12,3 20,5
1,90 18,7 46,7 9,0 12,3 20,1
1,95 18,4 47,7 8,9 12,3 19,7
2,00 18,0 48,6 8,8 12,3 19,3
>2 14,2 48,6 8,0 12,0 16,7
x
mby
y
mbx
my
mx
x
mby
y
mbx
my
mx
8-63 2016 tc040
8.11.9 Quatro bordas engastadas
y/x x y x y a
1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5
1,05 43,1 47,3 18,2 18,8 62,4
1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6
1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4
1,20 35,2 49,3 15,5 17,9 50,3
1,25 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6
1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3
1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4
1,40 29,6 54,8 13,7 17,5 42,0
1,45 28,6 56,4 13,4 17,5 40,5
1,50 27,8 57,3 13,2 17,5 39,5
1,55 27,2 57,6 13,0 17,5 38,4
1,60 26,6 57,8 12,8 17,5 37,6
1,65 26,1 57,9 12,7 17,5 36,9
1,70 25,5 57,8 12,5 17,5 36,3
1,75 25,1 57,7 12,4 17,5 35,8
1,80 24,8 57,6 12,3 17,5 35,4
1,85 24,5 57,5 12,2 17,5 35,1
1,90 24,2 57,4 12,1 17,5 34,7
1,95 24,0 57,2 12,0 17,5 33,8
2,00 24,0 57,1 12,0 17,5 34,5
>2 24,0 57,0 12,0 17,5 34,3
8.12 Simbologia específica a dimensão
flecha
bw largura da laje
largura mínima da seção ao longo da altura útil d
bwxi largura da viga i na direção x
bwxj largura da viga j na direção x
bwyi largura da viga i na direção y
bwyj largura da viga j na direção y
cb comprimento horizontal de barra
cb,maior comprimento horizontal maior de barra
cb,menor comprimento horizontal menor de barra
cbx comprimento horizontal de barra na direção x
cby comprimento horizontal de barra na direção y
cnom cobrimento nominal
d altura útil da laje
ereb espessura do reboco
etij espessura (menor dimensão em planta) do tijolo
fcd resistência à compressão do concreto de cálculo
fck resistência à compressão do concreto característica
fyd resistência ao escoamento do aço de cálculo
fyk resistência ao escoamento do aço característica
g carga permanente uniformemente distribuída
gk valor característico da carga permanente
x
mby
y
mbx
my
mx
8-64 2016 tc040
gpar carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de área
carga uniformemente distribuída, devida à parede, por unidade de comprimento
gtaco peso do taco por metro quadrado
h espessura da laje
espessura do material
hconc arm espessura do concreto armado
hcont piso espessura do contra-piso
hgesso espessura do gesso
hpar altura da parede
k coeficiente função da taxa de armadura existente na região próxima ao apoio
vão de laje
vão de viga
b comprimento de ancoragem
b,nec comprimento de ancoragem necessário
bal vão de laje em balanço
ef vão efetivo da laje
i vão de laje
vão de viga
par largura da parede
x menor dimensão da laje
x,maior maior dos vãos x
xi menor dimensão da laje Li
xj menor dimensão da laje Lj
y maior dimensão da laje
yi maior dimensão da laje Li
yj maior dimensão da laje Lj
0 distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos
0x distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos na direção x
0y distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos na direção y
mbi momento fletor negativo (borda) da laje Li
mbi,d momento fletor negativo (borda) de cálculo da laje L i
mbij momento fletor negativo (borda) na junção das lajes Li e Lj
mbij,d momento fletor negativo (borda) de cálculo na junção das lajes Li e Lj
mbj momento fletor negativo (borda) da laje Lj
mbj,d momento fletor negativo (borda) de cálculo da laje L j
mbx momento fletor negativo (borda) na direção x
mbxi,d momento fletor negativo (borda) de cálculo na direção x da laje Li
mby momento fletor negativo (borda) na direção y
mbyi,d momento fletor negativo (borda) de cálculo na direção y da laje Li
mi momento fletor positivo da laje Li
mi,cor momento fletor positivo corrigido da laje Li
mi,d,cor momento fletor positivo corrigido de cálculo da laje Li
mj momento fletor positivo da laje Lj
mj,cor momento fletor positivo corrigido da laje Lj
mx momento fletor positivo na direção x
mxi,d momento fletor positivo de cálculo na direção x da laje L i
8-65 2016 tc040
my momento fletor positivo na direção y
myi,d momento fletor positivo de cálculo na direção y da laje Li
mAB momento fletor positivo no vão AB
mB momento fletor negativo (engaste) no apoio B
mRd momento fletor resistente de cálculo
mRd1 momento fletor resistente de cálculo sem a consideração de armadura comprimida
mRd1,lim momento fletor resistente de cálculo corresponde ao limite de dutilidade da seção
mRd1,lim transversal (x = x,lim)
mSd momento fletor solicitante de cálculo
p carga uniformemente distribuída correspondente à somatória da carga permanente
mais a carga acidental
carga uniformemente distribuída na laje
carga uniformemente distribuída na viga
pd valor de cálculo da somatória carga permanente mais carga acidental
pk valor característico da carga uniformemente distribuída na laje
valor característico da somatória carga permanente mais carga acidental
ppar peso da parede por unidade de área
peso da parede por unidade de área
q carga acidental uniformemente distribuída
qedif com carga acidental de edifícios comerciais
qk valor característico da carga acidental
rgk reação de apoio característica devida à carga permanente
rgk,Vi reação de apoio característica devida à carga permanente na viga V i
rqk reação de apoio característica devida à carga acidental
rqk,Vi reação de apoio característica devida à carga acidental na viga Vi
rVn reação de apoio na viga
s espaçamento entre as barras que constituem a armadura longitudinal
t comprimento do apoio
vRd1 força cortante resistente de cálculo
vSd força cortante solicitante de cálculo
As1 área da armadura de tração que se estende até não menos de d + b,nec além da
seção considerada
Ac área de concreto
An área de triângulo ou trapézio
As área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada
As,bar área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada de uma barra
As,min área da seção transversal mínima da armadura longitudinal tracionada
As,princ área da seção transversal principal da armadura longitudinal tracionada
As,ef área da seção transversal efetiva da armadura longitudinal tracionada
Asx,fiss armadura de fissuração na direção x
Asx,pos armadura positiva na direção x
Asy,fiss armadura de fissuração na direção y
Asy,pos armadura positiva na direção y
ALi área da laje Li
D diâmetro interno da curvatura
Es módulo de elasticidade do aço
Ec módulo de elasticidade secante do concreto
Gk,Pi Reação de apoio devida à carga permanente no pilar P i
8-66 2016 tc040
Gk,Vi Reação de apoio devida à carga permanente na viga V i
PLi força resultante atuante na laje Li
Qk,Pi Reação de apoio devida à carga acidental no pilar P i
Qk,Vi Reação de apoio devida à carga acidental na viga V i
a coeficiente para definição da flecha
x coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x
y coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y
c valor adimensional auxiliar
s valor adimensional que define a tensão de tração referente à armadura As
x coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x
x valor adimensional que define a posição da linha neutra
y coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y
z valor adimensional que define o braço de alavanca do binário de forças Rcd1, Rsd1
diâmetro das barras da armadura
diâmetro da barra longitudinal
c coeficiente de ponderação da resistência do concreto
conc arm peso específico do concreto armado
cont piso peso específico do contra-piso
g coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas
gesso peso específico do gesso
mat peso específico do material
q coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas
reb peso específico do reboco
s coeficiente de ponderação da resistência do aço
tij peso específico do tijolo
1 taxa de armadura existente na região próxima ao apoio
Rd tensão resistente de cálculo ao cisalhamento
8.13 Exercícios Ex. 8.1: Dimensionar e detalhar as armaduras positivas e negativas do painel de lajes
abaixo representado.
Dados:
- concreto: C20; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 11 cm;
- altura útil da laje (d): 8 cm;
- carga permanente (gk): 4,5 kN/m2 (peso próprio incluído); e
- carga acidental (qk): 2,0 kN/m2.
Obs.:
- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes;
- as armaduras das lajes devem ser alternadas; e
- as dimensões da figura correspondem a centímetros.
8-67 2016 tc040
Ex. 8.2: Para o painel abaixo indicado, determinar o valor da carga acidental uniformemente
distribuída (qk) que as lajes podem suportar.
Dados:
- concreto: C20; e
- aço: CA-50.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 12 cm;
- altura útil da laje (d): 9 cm;
- armadura positiva: 1 de mm @ 15 cm nas duas direções;
- armadura negativa: 1 de mm @ 10 cm; e
- carga permanente (gk): 5 kN/m2 (peso próprio incluído).
Obs.:
- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.
Ex. 8.3: Dimensionar e detalhar as armaduras positivas e negativas do painel de lajes
abaixo representado.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
7 m 7 m
4 m
15
15
300 435
15
15
15
660 L1 L2
8-68 2016 tc040
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 10 cm;
- altura útil da laje (d): 7 cm;
- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e
- carga acidental (qk): 2 kN/m2.
Obs.:
- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes;
- as armaduras das lajes devem ser alternadas; e
- as dimensões da figura correspondem a centímetros.
Ex. 8.4: A figura abaixo representa a forma de um pavimento de um edifício. Sabendo-se
que as lajes serão carregadas, além do peso próprio, por uma carga de revestimentos de 1,50 kN/m2 e por uma carga acidental igual a 2,0 kN/m2, pede-se determinar e detalhar as armaduras positivas e negativas do painel de lajes.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-50.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 10 cm;
- altura útil da laje (d): 7 cm; e
- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.
Obs.:
- a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e
- as armaduras das lajes devem ser alternadas.
20 20
20 520 20
20
20
300
20
400
300
L2
L1
8-69 2016 tc040
4,0 m 6,0 m
4,0 m
2,5 m L1
L2 L3
Ex. 8.5: A figura abaixo representa um painel de lajes de um pavimento de um edifício.
Sabendo-se que as lajes estão carregadas, além do peso próprio, por uma carga de revestimentos de 1,50 kN/m2 e por uma carga acidental igual a 2,0 kN/m2, pede-se determinar as armaduras positivas e negativas da laje L3.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 11 cm;
- altura útil da laje (d): 8 cm; e
- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.
Obs.:
- a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e
- as armaduras das lajes devem ser alternadas.
Ex. 8.6: Apresenta-se, na figura abaixo, o esquema estrutural de um pavimento constituído
por três lajes maciças de concreto armado. Determinar as armaduras necessárias nas posições N1, N2 e N3 (cm2/m).
L1 L2
L3
4 m
2,4 m
3 m 3 m
8-70 2016 tc040
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 10 cm;
- altura útil da laje (d): 7 cm;
- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e
- carga acidental (qk): 2 kN/m2.
Obs.:
- a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e
- as dimensões da figura correspondem a centímetros.
Ex. 8.7: Determinar a máxima carga acidental (qk) que o painel de laje abaixo representado
pode suportar.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 11 cm;
- altura útil da laje (d): 8 cm;
- armadura positiva: 1 de 10 mm @ 15 cm nas duas direções;
- armadura negativa: 1 de 10 mm @ 10 cm; e
- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído).
Obs.:
- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.
L1
L2
L3
200 400
600
400
400
200 700
200
N1
N2
N3
8-71 2016 tc040
Ex. 8.8: Determinar, para o painel de lajes abaixo representado:
a. o diagrama de momentos fletores (valores de cálculo) na direção x;
b. a armadura negativa necessária na borda (encontro) das lajes L1/L2; e
c. a armadura positiva, na direção x, da laje L3.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,35, q = 1,5, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 12 cm;
- altura útil da laje (d): 9 cm;
- revestimento: 1 kN/m2;
- carga acidental (qk): 6 kN/m2; e
- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.
Obs.:
- a carga acidental atua simultaneamente nas três lajes; e
- as armaduras das lajes devem ser alternadas.
2,2 m 5,0 m
5,0 m
L1 L2
L2
4,2 m
9,0 m
6,0 m
L1
L3
3,0 m
6,0 m
7,0 m
x
y
8-72 2016 tc040
Ex. 8.9: Determinar o diagrama de momentos fletores de cálculo sobre os eixos u e v do
painel de lajes abaixo representado.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- carga permanente nas lajes (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído);
- carga acidental nas lajes (qk): 2 kN/m2; e
- peso da parede (ppar): 4,8 kN/m.
Obs.:
- a carga acidental atua simultaneamente em todas as lajes.
Ex. 8.10: Determinar a máxima carga acidental (qk) que o painel de lajes abaixo
representado podem suportar.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-50.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 10 cm;
- altura útil da laje (d): 7 cm;
- armadura positiva: 1 de 6,3 mm @ 12 cm nas duas direções;
- armadura negativa: 1 de mm @ 10 cm; e
- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído).
Obs.:
- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.
v
u
4 m
4 m
3 m
1 m
2m 4m 4m
4m
4
m
2m
L4
L3
L2 L1
3 m
1 m
parede
vazado
8-73 2016 tc040
Ex. 8.11: Determinar o espaçamento necessário para as barras N1 e N2 do painel de laje
abaixo representado.
Dados:
- concreto: C20; e
- aço: CA-50.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 10 cm;
- altura útil da laje (d): 7 cm;
- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído);
- carga acidental (qk): 2 kN/m2;
- armadura positiva (N2): de 6,3 mm; e
- armadura negativa (N1): de mm.
Obs.:
- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.
Ex. 8.12: Para a laje abaixo indicada, determinar:
a. o diagrama de momentos fletores de calculo das lajes L1, L2 e L3, na direção x;
b. a armadura positiva (cm²/m) da laje L2, na direção y; e
c. a armadura negativa (cm²/m) entre as lajes L2 e L3, na direção x.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 10 cm;
5,0 m 3,2 m
4,0 m
L1 L2
5,0 m 3,2 m
4,0 m
L1 L2
N1
N2
8-74 2016 tc040
- altura útil da laje (d): 7 cm;
- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e
- carga acidental (qk): 2 kN/m2.
Obs.:
- a laje L1 é em balanço, apoiada apenas na sua borda direita (ligação com a laje L2);
- as demais lajes são suportadas por vigas;
- a região entre as lajes L2 e L4 não tem laje (vazio);
- a laje L3 tem uma parede com peso de 2,5 kN/m2 e altura 2,8 m (área hachureada); e
- as cargas acidentais atuam simultaneamente em todas as lajes.
Ex. 8.13: Determinar as armaduras positivas e negativas (cm2/m) na direção x do conjunto de lajes abaixo representado.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-50.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 12 cm;
- altura útil da laje (d): 9 cm;
- carga permanente (gk): 5 kN/m2 (peso próprio incluído); e
- carga acidental (qk): 3 kN/m2.
Obs.:
- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes;
- as armaduras das lajes devem ser alternadas; e
x
y
parede
pilar vazado
2,0 m 2,0 m 4,0 m 1,5 m
L2 L1 L3
L4 3,0 m
4,0 m
8-75 2016 tc040
- apresentar, ao final dos cálculos, o esquema das armaduras, com as indicações das áreas (cm2/m).
Ex. 8.14: Determinar, para a laje abaixo representada, a altura h mínima (múltiplo de 5 cm),
de tal modo que a resistência aos momentos fletores ocorra sem a necessidade de armadura de compressão.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,35, q = 1,5, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje: h = d + 4 cm;
- revestimento: 1 kN/m2;
- carga acidental (qk): 10 kN/m2; e
- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.
12 m
12 m L1
6,0 m 4,0 m
4,0 m
5,0 m
L1
L2
P6
P2
P4 P5
P7
P1 P3
V5
A
V5
B
x
y
V4
V6
V1A V1B
V3
V2
8-76 2016 tc040
Ex. 8.15: A planta de formas abaixo indicada representa um conjunto de quatro lajes
maciças de concreto armado. Levando-se em consideração que na extremidade livre das lajes em balanço L3 e L4 atua uma carga de 2 kN/m na vertical e uma carga horizontal de 0,8 kN/m posicionada a 80 cm do piso, determinar:
a. as armaduras positivas (cm2/m) para a laje L1; e
b. as armaduras negativas (cm2/m) para as lajes L2 e L3.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 10 cm;
- altura útil da laje (d): 7 cm;
- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e
- carga acidental (qk): 3 kN/m2.
Obs.:
- a carga acidental atua simultaneamente nas lajes; e
- as dimensões da figura correspondem a centímetros.
Ex. 8.16: Para o painel de laje abaixo representado, determinar:
a. o esquema de carga atuante na viga V2; e
b. as condições de segurança quanto ao estado limite último, solicitações tangenciais.
Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 2,2 kN/m2 e altura 2,2 m.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- somente solicitações tangenciais (força cortante);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 10 cm;
- altura útil da laje (d): 7 cm;
355
20
110
205
355
110
20
20
20
V1A
V3
V2
V1B
P1
V6
V4
L1 L2
P6 P5
P3
20
V5
P2
P4
20
L4
L3
580
8-77 2016 tc040
- acabamento dos pisos:
regularização: 0,5 kN/m2;
revestimento: 0,7 kN/m2;
- carga acidental (qk): 3 kN/m2; e
- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.
Obs.:
- as dimensões da figura correspondem a centímetros; e
- as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.
Ex. 8.17: Para o painel de laje abaixo representado, determinar:
a. o esquema de cargas (permanente e acidental) atuantes na viga V5; e
b. as condições de segurança quanto ao estado limite último, solicitações tangenciais.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- somente solicitações tangenciais (força cortante);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura das lajes (h):
L1: 12 cm;
L2: 8 cm;
- altura útil das lajes: d = h - 3 cm;
- acabamento dos pisos:
regularização: 0,5 kN/m2;
revestimento: 1,0 kN/m2;
- carga acidental (qk): 2,0 kN/m2;
- dimensões das vigas: 20 cm x 50 cm; e
- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.
Obs.:
- as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.
V1 – 15 x 60
L1 h = 10 cm
L2 h = 10 cm
V2 – 15 x 60
V3
– 1
5 x
60
V4
– 1
5 x
60
V5
– 1
5 x
60
285
285 285
P1 P2
P3 P4
8-78 2016 tc040
Ex. 8.18: O condomínio de um certo edifício pretende aproveitar a laje de cobertura para
construir um depósito e decidiu consultar um especialista para opinar sobre a viabilidade da proposta.
O depósito a ser construído será em alvenaria de tijolos furados, 15 cm de espessura (tijolos de 10 cm + reboco de 2,5 cm por face) com 2,8 m de altura. Possuirá laje de cobertura (L2) impermeabilizada com carga total (valor característico) de 3,0 kN/m2.
Levantando informações do projeto estrutural a época da construção, soube-se que:
- a laje de cobertura existente (L1) foi dimensionada para suportar um momento fletor solicitante de cálculo igual a 10 kNm/m na direção x e 20 kNm/m na direção y.
- A viga V1 foi dimensionada para suportar um momento fletor solicitante de cálculo igual a 120 kNm.
Considerando as informações fornecidas, você autorizaria ou não a construção do depósito? Justifique sua resposta.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje L1: 10 cm;
- acabamento do piso da laje L1:
regularização: 0,5 kN/m2;
impermeabilização: 0,5 kN/m2;
- carga acidental da laje L1: 0,5 kN/m2;
- dimensões da viga V1: 20 cm x 50 cm; e
- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.
Obs.:
- para o levantamento de cargas, desprezar as aberturas de portas e janelas;
- a viga V1 só recebe carga da laje (L1) existente (não existe parede sobre ela);
- a viga V1 pode ser considerada como simplesmente apoiada nos pilares; e
6,0 m 4,0 m
4,0 m
5,0 m
L1 h = 12 cm
L2 h = 8 cm
P6
P2
P4 P5
P7
P1 P3
V5
A
V5
B
V4
V6
V1A V1B
V3
V2
8-79 2016 tc040
- ignorar as verificações de força cortante nas lajes e vigas.
Ex. 8.19: No projeto de lajes comuns de edifícios de concreto armado (lajes sem armadura de compressão), após o pré-dimensionamento (fixação da altura da laje), deve-se:
a. verificar os esforços de cisalhamento;
b. dimensionar a armadura de flexão; e
c. verificar as deformações (flechas).
Considerando apenas os itens a e b acima (ignorar as deformações), determine o máximo
valor possível de x para a laje abaixo representada.
Dados:
- concreto: C20; e
- aço: CA-50.
Considerar:
- solicitações normais (momento fletor) e solicitações tangenciais (força cortante);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 12 cm;
- altura útil da laje (d): 9,5 cm;
- relação entre vãos (y / x); 1,5;
- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído); e
- carga acidental (qk): 1,5 kN/m2.
Obs.:
- adotar para x um valor múltiplo de 5 cm.
L2
Laje impermeabilizada com carga total igual a
3,0 kN/m2
Vista frontal do depósito
3,0 m
3,0 m 2,80 m
Área prevista para o depósito (no meio da laje
de cobertura)
8,0 m
5,0 m
V1
Laje de cobertura (existente) h = 10 cm
L1
y
x
8-80 2016 tc040
Ex. 8.20: Para a estrutura abaixo representada, determinar:
a. o esquema de carga atuante na viga V7; e
b. as condições de segurança das lajes quanto ao estado limite último, solicitações tangenciais.
Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 2,2 kN/m2 e altura 2,3 m.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- somente solicitações tangenciais (força cortante);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 10 cm;
- altura útil da laje (d): 7 cm;
- carga permanente nas lajes (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído);
- carga acidental nas lajes (qk): 2 kN/m2; e
- peso próprio das vigas: 3 kN/m.
Obs.:
- as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.
x
y
P6
4,0 m 4,0 m
1,2
m
4,0
m
1,2
m
3,2
m
3,2
m
P1
P2 P3
P4 P5
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
B
V8
L1
V7
C
V7
A
L2
L3
8-81 2016 tc040
Ex. 8.21: Para a estrutura abaixo representada, determinar:
a. o esquema de carga atuante na viga V2; e
b. as condições de segurança das lajes quanto ao estado limite último, solicitações tangenciais.
Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 2,8 kN/m2 e altura 2,2 m.
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- somente solicitações tangenciais (força cortante);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 10 cm;
- altura útil da laje (d): 7 cm;
- acabamento dos pisos (revestimento + regularização): 1,5 kN/m2;
- carga acidental (qk): 2 kN/m2; e
- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.
Obs.:
- as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.
Ex. 8.22: Para a estrutura abaixo representada, determinar:
a. o máximo momento fletor solicitante de cálculo atuante na viga V4; e
b. as condições de segurança das lajes quanto ao estado limite último, solicitações tangenciais.
Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 8 kN/m.
V4
B
V6
B
V3
P1 P2
P3 P4
P5 P6
V1
V2
L1
L3
L2
V4
A
V6
A
6,0 m
3,0 m
4,0 m
3,0 m 3,0 m
V5
8-82 2016 tc040
Dados:
- concreto: C25; e
- aço: CA-60.
Considerar:
- somente solicitações tangenciais (força cortante);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 10 cm;
- altura útil da laje (d): 7 cm;
- acabamento dos pisos (revestimento + regularização): 1,5 kN/m2;
- carga acidental (qk): 2 kN/m2; e
- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.
Obs.:
- as dimensões da figura correspondem a centímetros; e
- as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.
Ex. 8.23: Determinar o carregamento atuante nos pilares da estrutura abaixo representada.
Sobre todas as vigas do pavimento existe parede de peso equivalente a 9 kN/m.
Considerar:
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 10 cm;
- acabamento dos pisos:
regularização: 0,5 kN/m2;
revestimento: 1,0 kN/m2;
- carga acidental (qk): 3,0 kN/m2;
- dimensões das vigas: 20 cm x 50 cm; e
- peso específico do concreto armado: 25 kN/m3.
Obs.:
- as dimensões da figura correspondem a centímetros; e
- as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.
V4
– 2
0X
50
P1 20X20
V1 – 20X50
V2 – 20X50
V3 – 20X50
L1
h = 10 cm
L2
h = 10 cm
P4 20X20
P3 20X20
P2 20X20
480 20 20
280
280
20
20
20
V5
– 2
0X
50
8-83 2016 tc040
Ex. 8.24: Determinar o carregamento atuante nos pilares da estrutura abaixo representada.
Considerar:
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- carga permanente nas lajes (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído);
- carga acidental nas lajes (qk): 2 kN/m2; e
- peso próprio das vigas: 3 kN/m.
Obs.:
- as vigas devem ser admitas como simplesmente apoiada nos pilares.
Ex. 8.25: Determinar a máxima carga acidental qk que as lajes L1 e L2 são capazes de
suportar, sabendo-se que:
80
20
20
20
580
V2
V4
V3
V1
P2
V7
V5
L1
L2
P5 P4
P1
380 20 20
80
20
20
20
V6
P3
P6
580
380 20
3 m
4 m
4 m
3 m 6 m
P1 P2
P3 P4
P5 P6
V6
V7
V1
V2
V3
V4
V5
L1
L2
8-84 2016 tc040
- as armaduras positivas (N1, N2, N3 e N4) são constituídas por barras de 5 mm espaçadas a cada 10 cm;
- a armadura negativa (N5) é constituída por barras de 8 mm espaçadas a cada 10 cm; e
- o carregamento máximo que a viga V4 é capaz de suportar, decorrente das reações das lajes e de seu peso próprio, é igual a 25 kN/m (valor característico).
Dados:
- concreto: C20; e
- aço: CA-50.
Considerar:
- somente solicitações normais (momento fletor);
- estado limite último, combinações normais (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);
- espessura da laje (h): 10 cm;
- altura útil da laje (d): 7 cm;
- carga permanente (gk): 4 kN/m2 (peso próprio incluído);
- peso próprio das vigas: 1,5 kN/m.
Obs.:
- a carga acidental atua simultaneamente nas duas lajes.
V2
N2
N4
N1
N3
L1 L2 480 cm
N5
V1
V3
V4
V5
400 cm 400 cm
480 cm