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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, lacual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .
Algebra lineal Básica
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, lacual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .¿Cual seŕıa el vector vector nulo o vector cero?
Algebra lineal Básica
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, lacual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .
EJEMPLOS: El vector x =
51035
es un vector de R4 y su primera,
segunda, tercera y cuarta componentes son 5, 10,−3 y 5, en eseorden.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, lacual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .EJEMPLOS: Los vectores
e1 =
10...0
, e2 =
01...0
, · · · , en =
00...1
son vectores de Rn. A estos vectores los llamamos vectorescanónicos de Rn
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, lacual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .¿Cuando dos vectores son iguales?
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Geométricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretarcomo puntos;
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Geométricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretarcomo puntos;
En las aplicaciones f́ısicas, es importante que pensemos en un vector,no como un punto, sino como algo que tiene magnitud, dirección ysentido. Estos vectores los llamaremos vectores libres.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
[SUMA] Dados u =
u1u2...un
y v =
v1v2...vn
, definimos
u + v =
u1 + v1u2 + v2
...un + vn
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
[PRODUCTO POR ESCALAR] Dados u =
u1u2...un
y λ ∈ R , definimos
λu =
λu1λu2...
λun
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
[RESTA] Definimos u − v
u − v = u + (−v)
PR = OR − OP .
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Teorema (Ejer. 9 del Taller2Parte A)
Sean u, v y w vectores de Rn y sean α, β dos números reales. Entonces
1 u + v ∈ Rn. Ley clau para +.2 (u + v) + w = u + (v + w). Ley asoc para +
3 u + v = v + u. Ley conm. para +
4 Existe un único vector z ∈ Rn tal que u + z = z + u = u(z = 0).Ley mod para la suma
5 Para cada u, existe un único vector p ∈ Rn tal queu + p = p + u = 0 (p = -u). Existencia del opuesto para suma.
6 αu ∈ Rn. Ley clau para el producto por escalar7 α(u + v) = αu + αv. Ley dist del producto por escalar resp +
8 (α+ β)u = αu + βu. Ley dist del producto por escalar respecto a +de escalares.
9 (αβ)u = α(βu) = β(αu). Ley asoc respecto al producto porescalares
10 αu = 0, si y solo si, α = 0 ó u = 0.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Coloquio de Matemáticas:
Lunes 16 de febrero a las 11:00 am.Salón: 202-405”‘El residuo sobre funciones meromorfas con polos lineales del punto devista de la geometŕıa en conos”’Profesora Sylvie PaychaInstituto de MatemáticasUniversidad de Potsdam
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Combinación Lineal)
Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk
lo llamamos combinación lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A losescalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinaciónlineal.
EJEMPLO: Sean u =
(
−12
)
y v =
(
25
)
y w =
(
3−2
)
. Calculemos la
combinación lineal de ellos dada por 3u − v + 2w .
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Combinación Lineal)
Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk
lo llamamos combinación lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A losescalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinaciónlineal.
EJERCICIO ¿los vectores
−1340
y
20−1
son combinaciones lineales
de
10−2
y
−52−3
?.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , λi ∈ R} = Gen{v1, v2, . . . , vk}
V es generado por v1, v2, . . . , vk ; además, a {v1, v2, . . . , vk} lo llamamosconjunto generador de V .
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , λi ∈ R} = Gen{v1, v2, . . . , vk}
V es generado por v1, v2, . . . , vk ; además, a {v1, v2, . . . , vk} lo llamamosconjunto generador de V .
EJEMPLO: Si V = Gen{u, v}, entonces 2u +√5v , 0, u, 3v , u − v son
vectores de V .
EJERCICIO ¿El vector
302
pertenece a Gen
101
,
00−1
?.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , λi ∈ R} = Gen{v1, v2, . . . , vk}
V es generado por v1, v2, . . . , vk ; además, a {v1, v2, . . . , vk} lo llamamosconjunto generador de V .
EJERCICIO Demuestre que Gen{e1, e2, . . . , en} = Rn.EJERCICIO Determine Gen{e1, e3} si ei ∈ R3.EJERCICIO Determine Gen{v} si v es cualquier vector no nulo.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , λi ∈ R} = Gen{v1, v2, . . . , vk}
V es generado por v1, v2, . . . , vk ; además, a {v1, v2, . . . , vk} lo llamamosconjunto generador de V .
EJERCICIO Determine un conjunto generador de
V =
3r − sr + 5s
r
, r , s ∈ R
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos únicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos únicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
EJERCICIO: Demostremos que
13−2
,
−1−54
,
1−20
, es un
conjunto l.i.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos únicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
EJERCICIO: Demostremos que
13−2
,
−123
,
21−5
, es un
conjunto l.d.EJERCICIO: Demuestre que todo conjunto de Rn que contenga al vector0 es un conjunto l.d.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Producto escalar )
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de Rn, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Producto escalar )
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de Rn, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
EJERCICIO: Dados
21−5
,
130
,
−2−1−1
, Calcule
u · v , u · w , v · w , (3u) · v , (u + v) · w y v · u.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Producto escalar )
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de Rn, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
EJERCICIO: Suponga que un fabricante produce cuatro art́ıculos. La
demanda para los art́ıculos está dada por d =
30204010
. Los precios
unitarios para los articulos están dados por el vector p =
20151840
. Si
satisface su demanda. ¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Producto escalar )
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de Rn, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
Teorema (Ejer. 50 del Taller2ParteB)
Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v + w) = u · v + u · w. Ley dist3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como la ráız cuadrada deu · u; es decir,
‖u‖ =√u · u =
√
u21+ · · ·+ u2
n
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como la ráız cuadrada deu · u; es decir,
‖u‖ =√u · u =
√
u21+ · · ·+ u2
n
EJERCICIO: Dados u =
21−5
, y los puntos P =
523
, Q =
1−13
,
Calcule ‖u‖ y ‖PQ‖,
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como la ráız cuadrada deu · u; es decir,
‖u‖ =√u · u =
√
u21+ · · ·+ u2
n
Teorema
Dados los vectores u, v ∈ Rn, y λ ∈ R tenemos que(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv para
algún λ ∈ R. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.(e) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖. La igualdad se cumple, si y solo si, u = λv
con λ ≥ 0. Desigualdad triangular.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)
donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadrático con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)
donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadrático con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .Como a ≥ 0, la gráfica de p(x) es una parábola cóncava haćıa arriba convértice en el semiplano superior. Recordando que el vértice de p(x) es(
− b2a, c − b2
4a
)
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)
donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadrático con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .Como a ≥ 0, la gráfica de p(x) es una parábola cóncava haćıa arriba convértice en el semiplano superior. Recordando que el vértice de p(x) es(
− b2a, c − b2
4a
)
entonces
0 ≤ c − b2
4a= ‖v‖2 − 4(u · v)
2
4‖u‖2
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)
donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadrático con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .Como a ≥ 0, la gráfica de p(x) es una parábola cóncava haćıa arriba convértice en el semiplano superior. Recordando que el vértice de p(x) es(
− b2a, c − b2
4a
)
entonces
0 ≤ c − b2
4a= ‖v‖2 − 4(u · v)
2
4‖u‖2
Además, si u = λv entonces
|u · v | = |λv · v | = |λ||v · v | = |λ|‖v‖2 = |λ|‖v‖‖v‖= ‖λv‖‖v‖ = ‖u‖‖v‖
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Ángulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el ángulodeterminado por u y v como el menor giro positivo.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Ángulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el ángulodeterminado por u y v como el menor giro positivo.
OBS: Dados dos vectores u y v no nulos, siempre podemos construir untriángulo como el de la siguiente figura
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Ángulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el ángulodeterminado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triángulo, tenemos
‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v + ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ
Entoncescos θ =
u · v‖u‖‖v‖
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Ángulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el ángulodeterminado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triángulo, tenemos
‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v + ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ
Entoncescos θ =
u · v‖u‖‖v‖
EJEMPLO: Calcule el ángulo de u =
1−1−11
y v =
1−1−1−1
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Proyección ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyección ortogonal de vsobre u como el vector
proyuv =( v · u‖u‖2
)
u
Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Proyección ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyección ortogonal de vsobre u como el vector
proyuv =( v · u‖u‖2
)
u
Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Proyección ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyección ortogonal de vsobre u como el vector
proyuv =( v · u‖u‖2
)
u
Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
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Conceptos básicos de Vectores en Rn
Definición (Proyección ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyección ortogonal de vsobre u como el vector
proyuv =( v · u‖u‖2
)
u
Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
EJEMPLOS: Halle la proyuv y la componente vectorial de v ortogonal au (Esto es vc), para cada uno de los siguientes casos:
(a) u =
1−1−1
y v =
1−11
(b) u = e1 y v =
2−103
proyvu =( v · u‖v‖2
)
v
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Producto Ax
Las columnas de las matrices son vectores de Rm, m son las filas de lamatriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesión(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como
A = [a1 a2 . . . an] ai son las columnas de A.
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Producto Ax
Las columnas de las matrices son vectores de Rm, m son las filas de lamatriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesión(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como
A = [a1 a2 . . . an] ai son las columnas de A.
Definición
Sea A una matriz, cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an de Rm,
y sea x un vector de Rn, cuyas componentes son x1, x2, . . . , xn.Definimos el producto matricial Ax como la combinación lineal
Ax = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan.
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Producto Ax
Las columnas de las matrices son vectores de Rm, m son las filas de lamatriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesión(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como
A = [a1 a2 . . . an] ai son las columnas de A.
Definición
Sea A una matriz, cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an de Rm,
y sea x un vector de Rn, cuyas componentes son x1, x2, . . . , xn.Definimos el producto matricial Ax como la combinación lineal
Ax = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan.
EJEM: Dado A =
−1 0 32 1 13 5 −2
y x =
013
, tenemos
Ax = 0
−123
+ 1
015
+ 3
31−2
=??
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a)
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn).
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan=(
x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)
+(
y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan=(
x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)
+(
y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)
= Ax + Ay
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan=(
x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)
+(
y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)
= Ax + Ay
Observe que el sistema lineal
{
3x − 2y + z = −2x − 3z = 1
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan=(
x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)
+(
y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)
= Ax + Ay
Observe que el sistema lineal
{
3x − 2y + z = −2x − 3z = 1
⇔ x(
3
1
)
+y
(−20
)
+z
(
1
−3
)
=
(−21
)
⇔(
3 −2 11 0 −3
)
xyz
=
(
−21
)
Algebra lineal Básica
-
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Algebra lineal Básica
-
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vectorde Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
Algebra lineal Básica
-
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vectorde Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.
Algebra lineal Básica
-
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vectorde Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de Rn, tal que Ax = b.
Algebra lineal Básica
-
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vectorde Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de Rn, tal que Ax = b.
El vector b es combinación lineal de las columnas de A.
Algebra lineal Básica
-
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vectorde Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de Rn, tal que Ax = b.
El vector b es combinación lineal de las columnas de A.
El vector b pertenece al conjunto generado por las columnas de A.
Algebra lineal Básica
-
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vectorde Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de Rn, tal que Ax = b.
El vector b es combinación lineal de las columnas de A.
El vector b pertenece al conjunto generado por las columnas de A.
Definición (Espacio nulo)
El espacio nulo de una matriz A esta dado por
NA = {x ∈ Rn : Ax = 0}
Algebra lineal Básica
-
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
−31−5
se encuentran en NA.
Algebra lineal Básica
-
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
−31−5
se encuentran en NA.
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solución única, i.e. x = 0.
Algebra lineal Básica
-
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
−31−5
se encuentran en NA.
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solución única, i.e. x = 0.
Teorema (Propiedades del espacio nulo)
Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar,tenemos que:
(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA
DEM
Algebra lineal Básica
-
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
−31−5
se encuentran en NA.
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solución única, i.e. x = 0.
Teorema (Propiedades del espacio nulo)
Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar,tenemos que:
(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA
DEM Puesto que x , y ∈ NA, Ax = 0 y Ay = 0;
Algebra lineal Básica
-
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
−31−5
se encuentran en NA.
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solución única, i.e. x = 0.
Teorema (Propiedades del espacio nulo)
Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar,tenemos que:
(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA
DEM Puesto que x , y ∈ NA, Ax = 0 y Ay = 0; entonces,(a) A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0, por tanto, x + y ∈ NA.(b) A(λx) = λ(Ax) = λ0 = 0, de donde, concluimos que λx ∈ NA.Ix = x donde I es la matriz n × n dada por [e1 e2 · · · en] y x ∈ Rn
Algebra lineal Básica
-
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espaciocolumna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn}.
Algebra lineal Básica
-
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espaciocolumna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn}.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,
CA = Gen{a1, a2, . . . , an}
donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.
Algebra lineal Básica
-
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espaciocolumna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn}.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,
CA = Gen{a1, a2, . . . , an}
donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.
EJEM Dada A =
−1 22 11 −1
determinemos si
47−1
,
504
se
encuentran en CA.
Algebra lineal Básica
-
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espaciocolumna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn}.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,
CA = Gen{a1, a2, . . . , an}
donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.
EJEM Dada A =
−1 22 11 −1
determinemos si
47−1
,
504
se
encuentran en CA.
M.Aum =
−1 2 4 52 1 7 01 −1 −1 −4
M.Esc =
−1 2 4 50 5 15 100 0 0 −1
Algebra lineal Básica
-
Definición (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espaciocolumna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn}.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,
CA = Gen{a1, a2, . . . , an}
donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.
EJEM Dada A =
−1 22 11 −1
determinemos si
47−1
,
504
se
encuentran en CA.
M.Aum =
−1 2 4 52 1 7 01 −1 −1 −4
M.Esc =
−1 2 4 50 5 15 100 0 0 −1
Entonces 1ro SI, 2do NOAlgebra lineal Básica
-
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA
Algebra lineal Básica
-
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA
DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c .
Algebra lineal Básica
-
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA
DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c . Entonces,
(1). b + c = Ax + Ay = A(x + y), por tanto, b + c ∈ CA.
(2). λb = λ(Ax) = A(λx), de donde concluimos que λb ∈ CA.
Algebra lineal Básica
-
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA
DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c . Entonces,
(1). b + c = Ax + Ay = A(x + y), por tanto, b + c ∈ CA.
(2). λb = λ(Ax) = A(λx), de donde concluimos que λb ∈ CA.
Corolario (1)
si el vector u es solución del sistema Ax = b y el vector v es solución delsistema homogéneo asociado (Ax = 0), entonces (u + v) es solución delsistema Ax = b.
DEMA(u + v) = Au + Av = b + 0 = b.
Algebra lineal Básica
-
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Algebra lineal Básica
-
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solución del sistema Ax = b, entonces v es solución del sistemaAx = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solución del sistemahomogéneo asociado Ax = 0.
Algebra lineal Básica
-
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solución del sistema Ax = b, entonces v es solución del sistemaAx = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solución del sistemahomogéneo asociado Ax = 0.
DEM Sea v una solución del sistema Ax = b, entonces h = v − u essolución del sistema homogéneo asociado (Coro 2) y por tantov = h + u. La otra implicación es el resultado del Coro 1.
Algebra lineal Básica
-
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solución del sistema Ax = b, entonces v es solución del sistemaAx = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solución del sistemahomogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (4)
Un sistema Ax = b que tiene más de una solución, tiene infinitassoluciones.
Algebra lineal Básica
-
Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solución del sistema Ax = b, entonces v es solución del sistemaAx = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solución del sistemahomogéneo asociado Ax = 0.
Corolario (4)
Un sistema Ax = b que tiene más de una solución, tiene infinitassoluciones.
DEM Sean u y v dos soluciones diferentes del sistema Ax = b. Por elCoro 2, h = u − v 6= 0 es solución del sistema homogéneo asociadoAx = 0. Por el Propiedades de NA, αh, ∀α ∈ R, también es solución delsistema homogéneo, lo que nos indica que el sistema homogéneo tieneinfinitas soluciones. Por el Coro 3, w = αh + u es también solución delsistema Ax = b. Aśı que, el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones.
Algebra lineal Básica
-
Rectas, Planos e Hiperplanos
DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que larecta que contiene a P y tiene dirección d es
el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d .
Algebra lineal Básica
-
Rectas, Planos e Hiperplanos
DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que larecta que contiene a P y tiene dirección d es
el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d . Al vector d lo llamamos vector director de la recta.
x − p = td ⇒ x = p + td
Algebra lineal Básica
-
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Algebra lineal Básica
-
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuación e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d ,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
Algebra lineal Básica
-
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuación e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d ,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuación vectorial L :(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.
Algebra lineal Básica
-
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuación e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d ,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuación vectorial L :(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.
2 Determine si R =
(
3−1−2
)
y S =
(
4−10
)
pertenecen a la recta L.
Algebra lineal Básica
-
Formas de expresar una recta
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuación e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d ,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuación vectorial L :(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.2 Halle un vector d que sea un vector director de la recta L y verifique
que el vector PQ, de (a), es paralelo a d .
Algebra lineal Básica
-
EJEM. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
Algebra lineal Básica
-
EJEM. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
Algebra lineal Básica
-
EJEM. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.
1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =
3−21
y Q =
530
y
L2 es la recta con ecuación vectorial
xyz
=
0−43
+ t
410−2
Algebra lineal Básica
-
EJEM. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.
1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =
3−21
y tiene vector
dirección v =
23−1
y L2 es la recta que pasa por los puntos
Q =
0−21
y P =
231
Algebra lineal Básica
-
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en común.
Algebra lineal Básica
-
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en común.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y sólo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
Algebra lineal Básica
-
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en común.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y sólo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =
321
y Q =
130
y L2
es la recta con ecuación vectorial
xyz
=
5−41
+ t
22−2
Algebra lineal Básica
-
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en común.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y sólo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =
0−20
y tiene vector
dirección v =
13−1
y L2 es la recta que pasa por los puntos
Q =
1−21
y R =
23−1
Algebra lineal Básica
-
Ejercicios
Halle la ecuación vectorial y las ecuaciones simétricas de las rectas:
1 La recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
Algebra lineal Básica
-
Ejercicios
Halle la ecuación vectorial y las ecuaciones simétricas de las rectas:
1 La recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
2 L2 es la recta con ecuación vectorial
xyz
=
0−43
+ t
410−2
Algebra lineal Básica
-
Ejercicios
Halle la ecuación vectorial y las ecuaciones simétricas de las rectas:
1 La recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
2 L2 es la recta con ecuación vectorial
xyz
=
0−43
+ t
410−2
3 L2 es la recta que pasa por los puntos Q =
0−21
y P =
231
Algebra lineal Básica
-
PLANOS
DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c , d ∈ Rn diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinación lineal de los vectores c y d , es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d .
Algebra lineal Básica
-
PLANOS
DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c , d ∈ Rn diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinación lineal de los vectores c y d , es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d .
Observe que PX = tc + sd con t, s ∈ R. Ahora si x = OX y p = OP ,entonces para t, s ∈ R
x − p = tc + sd x = p + tc + sdEsta es la ecuación vectorial del plano.
Algebra lineal Básica
-
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
Algebra lineal Básica
-
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
Algebra lineal Básica
-
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones paramétricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.
Algebra lineal Básica
-
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones paramétricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P
Algebra lineal Básica
-
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones paramétricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?
Algebra lineal Básica
-
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones paramétricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?
4 ¿Los puntos M =
221−2
N =
64−9−2
se encuentran en el plano P?.
Algebra lineal Básica
-
Ecuaciones del plano
EJEM. Encontremos una ecuación vectorial del plano que contiene los
puntos P =
(
−253
)
, Q =
(
0−21
)
y R =
(
20−3
)
Algebra lineal Básica
-
Ecuaciones del plano
EJEM. Encontremos una ecuación vectorial del plano que contiene los
puntos P =
(
−253
)
, Q =
(
0−21
)
y R =
(
20−3
)
El plano que contiene los puntos P , Q y R tiene como vectores directoresa d1 = PQ y d2 = PR .
Algebra lineal Básica
-
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinación lineal de los vectoresdirectores del otro plano.
Algebra lineal Básica
-
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinación lineal de los vectoresdirectores del otro plano.
Teorema (Planos iguales- Ejer. 71 Taller2ParteB)
Dos planos son iguales, si y solo si, los dos planos son paralelos y tienenal menos un punto común
Algebra lineal Básica
-
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Algebra lineal Básica
-
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Algebra lineal Básica
-
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, larecta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen común.
Algebra lineal Básica
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Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, larecta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen común.
DEM: pd L ⊂ P ⇔ L||P y P ∩ L 6= ∅.Sea L : P + td , t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1, r , s ∈ R.
Algebra lineal Básica
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Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, larecta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen común.
DEM: pd L ⊂ P ⇔ L||P y P ∩ L 6= ∅.Sea L : P + td , t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1, r , s ∈ R.⇒:Si L ⊂ P entonces P ∈ P (P ∩ L 6= ∅). Entonces otra ecuaciónvectorial de P es P + rc1 + sd1. Además, como P + td ∈ L ∀t ∈ Rentonces P + td = P + r0c1 + s0d1, t ∈ R. En particular, si t = 1tenemos d = r0c1 + s0d1, es decir, d ∈ Gen{c1, d1}. Por lo tanto, L||P.
Algebra lineal Básica
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Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, larecta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen común.
DEM: pd L ⊂ P ⇔ L||P y P ∩ L 6= ∅.Sea L : P + td , t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1, r , s ∈ R.⇐:Si L||P y ∃M ∈ P ∩ L. Entonces existen α, β ∈ R tales qued = αc1 + βd1. Ahora, note que L : M + td ∀t ∈ R y P : M + rc1 + sd1,r , s ∈ R. Demostremos que L ⊂ P. Para ello, sea X ∈ L entoncesX = M + t0d = M + t0(αc1 + βd1) = M + r0c1 + s0d1 lo que implica queX ∈ P.
Algebra lineal Básica
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Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, larecta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen común.
EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:
xyz
=
0−21
+ t
0−21
+ s
20−3
Algebra lineal Básica
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Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusión de una recta en un plano)
Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, larecta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen común.
EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:
xyz
=
0−21
+ t
0−21
+ s
20−3
PREG: Existe otra recta contenida
en P? Cuántas rectas contenidas en P existen? Ejer. 75 Taller2ParteC
Algebra lineal Básica
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Rectas y planos ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal alplano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.
Algebra lineal Básica
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Rectas y planos ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal alplano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.
Algebra lineal Básica
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Ejercicios
1. Determine si la recta L:
xyz
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela a P:
xyz
=
0−21
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: No
2. Determine si la recta L que contiene los puntos P =
1−11
y
Q =
403
es ortogonal al plano P:
xyz
=
5−23
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: Śı
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n.
.
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
.
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuación
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuación
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuación
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
PORQUE
(x − p) · n = 0 equivalentemente l1x1 + l2x2 + · · ·+ lnxn = d (2)
donde con d = l1p1+ l2p2+ · · ·+ lnpn = n ·p.
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuación
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
PORQUE
(x − p) · n = 0 equivalentemente l1x1 + l2x2 + · · ·+ lnxn = d (2)
donde con d = l1p1+ l2p2+ · · ·+ lnpn = n ·p.A esta ecuación la llamamosecuación general del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuación
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuación
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.
-Hiperplanos en R son puntos-Hiperplanos en R2 son rectas (Ejer. 87 Taller2parteC)-Hiperplanos en R3 son planos.
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1.Aśı que una ecuaciónpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1.Aśı que una ecuaciónpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1.Aśı que una ecuaciónpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1.Aśı que una ecuaciónpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
SOL: Una ecuación del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuación del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1.Aśı que una ecuaciónpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
SOL: Una ecuación del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?Ejer. 82 Talle2parteC
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R5 que pasa porel origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R5 que pasa porel origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aqúı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
.
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R5 que pasa porel origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aqúı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
. Como un
punto de H1 es el origen, su ecuación es
(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.
Algebra lineal Básica
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R5 que pasa porel origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aqúı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
. Como un
punto de H1 es el origen, su ecuación es
(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.
PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?Ejer.85 Taller2ParteC
Algebra lineal Básica
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Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
Algebra lineal Básica
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Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Algebra lineal Básica
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Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Teorema (Propiedades-Ejer. 88 del Taller2ParteC)
Si u, v y w son vectores de R3 y λ es un escalar, entonces:
1) u× v = −v× u 2) u× (v+ w) = u× v+ u× w3) (u+ v)× w = u× w+ v× w. 4) λ(u× v) = (λu)× v = u× (λv)5) u× 0 = 0× u = 0. 6) u× u = 0.7) u× (v× w) = (u · w)v− (u · v)w. 8) (u× v) · u = (u× v) · v = 0.9) u · (v× w) = w · (u× v)
Algebra lineal Básica
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Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
DEM Prop. 8
u× v · u =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
·(
u1u2u3
)
Algebra lineal Básica
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Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
DEM Prop. 8
u× v · u =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
·(
u1u2u3
)
= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3= 0
De manera análoga u× v · v = 0
Algebra lineal Básica
-
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
-El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:
(e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2)
Algebra lineal Básica
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Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
-El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:
(e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2)
-Note que e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1 y e3 × e1 = e2
Algebra lineal Básica
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Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j ku1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
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∣
Algebra lineal Básica
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Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el ángulo entre losvectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 =
Algebra lineal Básica
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Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el ángulo entre losvectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v
Algebra lineal Básica
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Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el ángulo entre losvectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2
Algebra lineal Básica
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Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el ángulo entre losvectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)= ‖u‖2‖v‖2sin2θ
Algebra lineal Básica
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Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el ángulo entre losvectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)= ‖u‖2‖v‖2sin2θ
‖u× v‖ ≤ ‖u‖‖v‖
Algebra lineal Básica
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Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u× v = 0.
Algebra lineal Básica
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Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u× v = 0.
DEM: ⇒ si u es paralelo a v, v = λu, entonces,
u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0
.
Algebra lineal Básica
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Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u× v = 0.
DEM: ⇐ Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0, pero‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ ahora, como u, v 6= 0 entonces sinθ = 0, por lotanto θ = 0 ó θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.
Algebra lineal Básica
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Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u× v = 0.
Corolario
El área del paralelogramo cuyos lados no paralelos están dados por losvectores u y v de R3 está dada por la magnitud del producto vectorial deellos, es decir, ‖u× v‖.
Algebra lineal Básica
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Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u× v = 0.
Corolario
El área del paralelogramo cuyos lados no paralelos están dados por losvectores u y v de R3 está dada por la magnitud del producto vectorial deellos, es decir, ‖u× v‖.
DEM: Observe que h, la altura del paralelogramo, está dada porh = ‖u‖ sin θ y el área del paralelogramo, es base por altura, tenemos
A = ‖v‖h = ‖v‖‖u‖ sin θ = ‖u × v‖
Algebra lineal Básica
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Corolario
El volumen del paraleleṕıpedo cuyas aristas no paralelas están dadas porlos vectores u, v y w de R3 está dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM:
Algebra lineal Básica
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Corolario
El volumen del paraleleṕıpedo cuyas aristas no paralelas están dadas porlos vectores u, v y w de R3 está dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
Algebra lineal Básica
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Corolario
El volumen del paraleleṕıpedo cuyas aristas no paralelas están dadas porlos vectores u, v y w de R3 está dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
Observemos que h, la altura del paraleleṕıpedo, es la norma del vector
proyv×wu =u · (v × w)‖v × w‖2
v × w
Vol=(área del paral)(altura)=‖v × w‖ h=‖v × w‖ |u · (v × w)|‖v × w‖ = |u·(v×w)|
Algebra lineal Básica
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Corolario
El volumen del paraleleṕıpedo cuyas aristas no paralelas están dadas porlos vectores u, v y w de R3 está dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
Corolario
Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares, si y sólo si, u · (v×w) = 0
Algebra lineal Básica
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Teorema (Ecuación normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c yd, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal an = c × d, son iguales.
Algebra lineal Básica
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Teorema (Ecuación normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c yd, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal an = c × d, son iguales.
Algebra lineal Básica
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Teorema (Ecuación normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c yd, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal an = c × d, son iguales.
DEM: ⊆ Sea X ∈ P. Entonces existen α, β ∈ R tal que PX = αc + βd .Luego,
PX · n = (αc + βd) · (c × d) = αc · (c × d) + βd · (c × d) = 0
por lo tanto, PX⊥n, de donde, concluimos que X ∈ H.
Algebra lineal Básica
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Teorema (Ecuación normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c yd, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal an = c × d, son iguales.
DEM: ⊇ Sea X ∈ H. Entonces PX · (c × d) = 0 por el corolario anteriortenemos que PX , c y d son coplanares. Como c y d no son paralelos yson vectores distintos de cero entonces existen α, β ∈ R tal que
PX = αc + βd .
Luego, X ∈ P.
Algebra lineal Básica
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Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)
Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.P1||P2, si y sólo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.P1⊥P2, si y sólo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.
Algebra lineal Básica
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Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)
Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.P1||P2, si y sólo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.P1⊥P2, si y sólo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.
Algebra lineal Básica
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Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)
Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.P1||P2, si y sólo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.P1⊥P2, si y sólo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.
EJEM: Determine si el plano P1 que contiene el punto P =
−253
y
tiene vectores directores c1 =
27−2
y d1 =
4−5−6
es paralelo o es
ortogonal al plano P2 definido por 3x − z = 4.
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Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vectornormal n ∈ R3.
L||P, si y sólo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.L⊥P, si y sólo si, d ||n; es decir, d = λn.
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Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vectornormal n ∈ R3.
L||P, si y sólo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.L⊥P, si y sólo si, d ||n; es decir, d = λn.
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Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vectornormal n ∈ R3.
L||P, si y sólo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.L⊥P, si y sólo si, d ||n; es decir, d = λn.
EJEM: Determine si la recta L :
xyz
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela u
ortogonal al plano P que contiene al punto M =
5−23
y tiene vectores
directores c1 =
0−21
y d1 =
20−3
.
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QUIZ 1
1 Deduzca una fórmula para determinar la distancia más corta delpunto P(x0, y0) a la recta L cuya ecuación es ax + by + d = 0
2 Determine si los siguientes planos son ortogonales o paralelos alhiperplano H : x1 + x2 − 2 = x4
x = 1 + t − 2sy = −3s + 2tz = 1− t + sw = 2 + t
x =
1−150
+ s
−2010
+ t
−201−4
x = 2− ty = −2s + 1z = 1 + t + sw = −t − 2s − 2
3 Teniendo en cuenta la siguiente propiedad x · (y × z) = z · (x × y)demuestre la identidad de Lagrange. Es decir,
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2
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