ECUACIONES DIFERENCIALES

Paola Lizette Zenteno Zumaya 9310410Maestro: Cesar Octavio Martínez Padilla

Es una ecuación en la que la incógnita es una función y en la que además de la propia incógnita aparecen derivadas suyas. Las derivadas pueden ser parciales, en cuyo caso estamos ante una ecuación en derivadas parciales (abreviada comúnmente como EDP) o bien totales, en cuyo caso se denomina ecuación diferencial ordinaria (EDO).

¿Qué es una ecuación diferencial?

¿Qué es una ecuación diferencial?

O bien, una ecuación que contiene las derivadas de una o mas variables independientes en una ecuación diferencial.

Es una ecuación diferencial ordinaria, donde es la variable dependiente

la variable independiente .

es la derivada de con respecto de

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales

El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de mas alto orden que aparece en la ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.

El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación.

¿Qué es el orden?

Es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial.

Hay otra clasificación importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias la cual se basa en si éstas son lineales o no lineales. Se dice que la ecuación diferencial

Es lineal cuando F es una función lineal en las variables y,y´,y(n). Por lo tanto, la ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n es . 3.-

¿A que se le llama grado?

¿A que se le llama grado?

La ecuación que no es de la forma (3), es un ecuación no lineal.

Un problema físico sencillo que de origen a una ecuación diferencial no lineal es el péndulo oscilante.

ecuación Diferencial LinealLa forma general de una ecuación diferencial lineal de

orden n es como sigue:an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x)dxn dx n-1 dxRecuérdese que linealidad quiere decir que todos los

coeficientes solo son funciones de x y que y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden.

Ordinarias y parciales Para desarrollar sistemáticamente la teoría de las

ecuaciones diferenciales, es útil clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. Una de las clasificaciones mas obvias se basa en si la función desconocida depende de una o de varias variables independientes. En el primer caso solo aparecen derivadas ordinarias en la ecuación diferencial y se dice que es ecuación diferencial ordinaria. En el segundo caso, las derivadas son parciales y la ecuación se llama ecuación diferencial parcial. El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de mas alto orden que aparece en la ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.

Clasificación y tipo de orden

Clasificación y tipo de orden

El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo,

d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex dx2 dx es una ecuación diferencial de segundo orden.

La solución de la ecuación diferencial puede quedar de tres formas distintas, entre las cuales no siempre se puede cambiar.

*Explícita*Paramétrica*ImplícitaEJEMPLO:

Sea la familia de curvas consistente en todas las circunferencias de radio unidades con centro en el eje.

Derivando:Que es la expresión diferencial de la familia de curvas, pues cualquier curva de la familia la verifica. Además, existen dos soluciones singulares, que también verifica la ecuación diferencial y son las rectas.

Solución

Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, podemos demostrar que, por sustitución directa, toda función de la familia monoparametrica

y = cex también satisface la ecuación dy = 2xy dx

Solución particular

Si toda solución de una ecuación de orden n,

F(x, y, y´,..., y(n) ) = 0, en un intervalo I, se puede obtener de una familia n-parametrica

G(x, y, c1, c2,..., cn) = 0 con valores adecuados de los parámetros c1(i = 1, 2, ..., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial.

Solución general

Trayectorias Ortogonales

Sea dada una ecuación diferencial donde la función está definida en un recinto D del plano XOY que contiene el punto Si la función satisface a las condiciones:

es una función continua de dos variables x e y, en el recinto D;admite derivada parcial continua con respecto de x e y en el

recinto D, entonces, existe una, y sólo una, solución de la ecuación dada que satisface a la condición .

La condición se llama condición inicial.El problema de la búsqueda de la solución de la ecuación que

satisface la condición inicial , lleva el nombre de Cauchy.Geométricamente esto significa que se busca la curva integral que

pasa por el punto dado del plano XOY (Fig. 1.2).

Existencia y unidad

Campos direccionales

La terna (x,y,y’) determina la dirección de una recta que pasa por el punto(x,y). El conjunto de los segmentos de estas rectas es la representación geométrica del campo direccional.

Título Ecuaciones diferenciales Autor Isabel Carmona Jover Edición 4 Editor Pearson Educación, 1992.

Ecuaciones Diferenciales de Dennis Zill Cullens - 6ta edición Braun M - Ecuaciones Diferenciales Y Sus Aplicaciones. http://www.elcalculo.8k.com./ http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/

eDiferenciales/eDiferenciales.htm http://www.ciencia.net/VerArticulo/matematicas/Ecuaci%C3%B3n-

Diferencial?idArticulo=34 http://books.google.com/books?id=SOusxpFmiDgC&printsec=frontcover&dq=ecuaciones+diferenciales&source=bl&ots=LBAkbYc3rJ&sig=HvbOUoxMvYFxE6U-WF6jtUSrQjo&hl=es&ei=MoR7S5yRIZTkswOO8aTLCA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9&ved=0CCcQ6AEwCA#v=onepage&q=&f=false

Referencias