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Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-1
EyM 1-1
Tema 1: Introducción
Concepto de campoCampos escalares y vectorialesOperaciones con vectores
Sistemas de coordenadasCartesianoCurvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
Operadores vectoriales.GradienteDivergenciaRotacionalCombinación de operadores: LaplacianaExpresiones con operadores
Ejercicios
EyM 1-2
Concepto de campo
• Un campo en Física es la descripción de una determinada propiedad (física) de los puntos del espacio.
• Campo Escalar.– Se puede describir con sólo un número para cada punto.– Se representa por medio de una función de la posición.– Ejemplos: Temperatura de un medio. Altura del terreno.
Potencial Electrostático...• Campo Vectorial.
– Para cada punto la propiedad varía con la dirección considerada.
– Requiere una función vectorial: un vector que cambia con cada punto del espacio.
– Ejemplos: La velocidad de un fluido. La fuerza de la gravedad...
• El campo electromagnético requiere al menos dos campos vectoriales.
Electricidad y Magnetismo Introducción
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EyM 1-3
Las magnitudes escalares son aquellas que llevan asociado solamente un valor numérico.
Se designan mediante una letra generalmente minúscula, p.e. t=temperatura, h=altura, …
Las magnitudes vectoriales son aquellas que no solo tienen asociado un valor numérico sino también una dirección y sentido en el espacio.
Se designan mediante una letra sobre la que se coloca una flecha A o también un guión A, aunque en textos mecanografiados suele utilizarse una letra subrayada A o incluso una letra negrilla A.
Se representan geométricamente por medio de vectores o sea una línea terminada con una flecha.
La longitud del vector representa su magnitud, que se designa bien por la letra del vector A o como |A|, y la flecha indica la dirección.
rA A
Algebra vectorial
rA
rA A=
EyM 1-4
Operaciones sobre Vectores
Igualdad.- Se dice que dos vectores A y B son iguales si y solo si sus magnitudes, direcciones y sentidos son iguales.
Suma.- Dados dos vectores A y B se define el vector C suma de los anteriores C = A + B como aquel que se obtiene de la siguiente forma: se coloca el vector B a continuación del A y el vector C es el que une el origen del A con el extremo del B.
Resta.- Dados dos vectores A y B el vector resta C = A - B es la suma del A con el -B (opuesto del B ) que se define como aquel que tiene la misma magnitud y dirección que el B pero sentido opuesto. Su construcción geométrica es evidente.
rA
rA
rB −
rB
r r rC A B= +
r r rC A B= −
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07/01/2009 EyM 1-3
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Operaciones sobre Vectores
Propiedad Conmutativa.- A + B = B + A
rA
rB
r r r r rC A B B A= + = +
rB
rA
Propiedad Asociativa.- (A + B ) + C = A + (B + C)
rA
rB
r rB C+
rCr r
A B+
( ) ( )r r r r r rA B C A B C+ + = + +
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Operaciones sobre Vectores
Multiplicación y división por un escalar.- Dados un vector A y un escalar m el producto mA es un nuevo vector cuyo módulo es |mA|= |m|.|A| y cuya dirección es la de A si m>0 o el opuesto si m<0.
La división es una multiplicación por el inverso del escalar, o sea por 1/m.
Vector unitario.- Dado un vector A el vector unitario según A es aquél que tiene su misma dirección y sentido pero módulo unidad.
Se obtiene dividiendo el vector A por su módulo |A|.
Los vectores unitarios suelen designarse con una letra minúscula con un símbolo especial superpuesto: â.
Propiedades.-Conmutativa: m A = A mAsociativa: m(nA) = (mn)ADistributiva respecto al escalar: (m+n)A = mA + nADistributiva respecto al vector: m(A + B) = mA + mB
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EyM 1-7
Operaciones sobre Vectores
Propiedades importantes del producto escalar:
Producto escalar.- Dados dos vectores A y B el producto escalar de ambos es una magnitud escalar cuyo valor es el producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman.
Si designamos por α a dicho ángulo será:
Geométricamente puede interpretarse como el producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él.
r r r rA B A B• = cosα
rA
rB
αrB cosα
Conmutativa: A·B = B·A
Asociativa respecto de la suma: A·(B + C) = A·B + A·C
EyM 1-8
Operaciones sobre Vectores
Producto vectorial.- El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuyo módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman ambos y cuya dirección es la del vector unitario en la dirección de la normal al plano que forman los factores y cuyo sentido es el matemático positivo de avance del sacacorchos al girar desde el primer factor al segundo.
r r r rA B A B u× = sin $α
rA
rB
α$u
Geométricamente el módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo que forman los factores.
Propiedades importantes del producto vectorial:
Conmutativa: A×B ≠ B×A pero A×B = - B×A
Distributiva respecto de la suma: A×(B + C) = A×B + A×C
Asociativa : A × (B × C) ≠ (A × B) × C
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Operaciones sobre Vectores
Geométricamente representa el volumen del paralelepípedo que forman A, By C
Cumple la siguiente propiedad de rotación del orden de los factores:
Producto mixto escalar y vectorial.- Dados tres vectores A, B y C se define como:
( ) φθ sincosCBACBArrrrrr
=ו$u
φ
θ
rA
rB
rC
donde φ es el ángulo formado por B y Cy θ es el ángulo formado por A y la normal al plano que forman B y C.
( ) ( ) ( )ACBBACCBArrrrrrrrr
ו=ו=ו
Producto vectorial doble.-
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BACCABCABA
CBCBArrrrrr
rrrr
rrrrr
•−•=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
••=××
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Tema 1: Introducción
Concepto de campoCampos escalares y vectorialesOperaciones con vectores
Sistemas de coordenadasCartesianoCurvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
Operadores vectoriales.GradienteDivergenciaRotacionalCombinación de operadores: LaplacianaExpresiones con operadores
Ejercicios
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z z= 0
y y= 0
x x= 0
P
Sistemas de coordenadas
• Hacen falta para describir analíticamente los puntos del espacio.• El más simple es el cartesiano:
– Al decir que un punto P tiene coordenadasx0, y0, z0 se quiere decir que está contenidoen los planos:
– Los vectores unitarios llevan la dirección y sentido en que se desplaza el punto al incrementar la coordenada correspondiente.
– Los vectores unitarios se ordenan deforma que el producto vectorial del primero por el segundo da el tercero:
000 zzyyxx ===
zyx ˆˆˆ =×
X
Z
Y
$x
$y
$z
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Sistema cartesiano (2)
rrr rr l+ ∆
∆rl
O
– El vector de posición del punto es el vector que une el origen de coordenadas con el punto.
– Sus componentes en cartesianas:
– Un desplazamiento a lo largo de una curva se puede definir por un vector:
– Si el desplazamiento es de magnitud muy pequeña (infinitesimal) se puede representar por:
– La longitud del desplazamiento infinitesimal será:
» Puesto que una curva está definida por dos ecuaciones, los tres diferenciales se pueden reducir a uno.
zzyyxxr ˆˆˆ ++=r
222 dzdydxldldlddl ++=⋅==rrr
zzyyxxl ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆r
zdzydyxdxld ˆˆˆ ++=r
O
P
XY
Z
rr
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Tema 1: Introducción
Concepto de campoCampos escalares y vectorialesOperaciones con vectores
Sistemas de coordenadasCartesianoCurvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
Operadores vectoriales.GradienteDivergenciaRotacionalCombinación de operadores: LaplacianaExpresiones con operadores
Ejercicios
EyM 1-14
Sistemas de Coordenadas Curvilíneas Ortogonales
En el manejo de problemas físicos y para simplificar las manipulaciones matemáticas es necesario describir los vectores en función de sus componentes sobre un conjunto de direcciones de referencia.
Un sistema de coordenadas utiliza la representación de cada punto como intersección de tres superficies mutuamente ortogonales:
u cteu cteu cte
1
2
3
===
Estas superficies se llaman superficies coordenadas del sistema y para que la representación de cada punto sea unívoca se requiere que las funciones que representan las superficies coordenadas sean:
• independientes • uniformes • derivables y con derivadas continuas• admitan función inversa
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Sistemas de CoordenadasCurvilíneas Ortogonales
Las líneas de intersección de las superficies coordenadas se llaman curvas coordenadas (u1 , u2 , u3) y en cada punto son ortogonales entre sí.
Los vectores unitarios tangentes a las curvas coordenadas, respectivamente â1 , â2 y â3 , son ortogonales entre si y coinciden con los vectores unitarios normales a las superficies coordenadas Â1, Â2 y Â3 por lo que ambos conjuntos forman la base para representar cualquier vector en el sistema de coordenadas.
u1
u2
u3 P
â1
â2
â3332211
332211
ˆˆˆˆˆˆ
BABABA
BaBaBaB
++=
++=r
EyM 1-16
Sistemas de CoordenadasCurvilíneas Ortogonales
En general los vectores unitarios cambian de dirección punto a punto en el espacio.
En general las coordenadas no representan distancias:
Los sistemas de coordenadas de utilización más frecuente son el Cartesiano, el Cilíndrico y el Esférico que pasamos a describir.
por lo que para medir distancias a lo largo de las curvas coordenadas es necesario utilizar unos factores de proporcionalidad llamados factores de escala:
dl dudl dudl du
1 1
2 2
3 3
≠≠≠
dl h dudl h dudl h du
1 1 1
2 2 2
3 3 3
===
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EyM 1-17
Sistema de coordenadas Cartesiano
Las superficies coordenadas del sistema son planos paralelos a tres planos ortogonales entre si que se toman como referencia.
Sus ecuaciones se designan como:x ctey ctez cte
===
Por tanto cada punto resulta de la intersección de tres planos y sus coordenadas son las constantes correspondientes a los mismos y que en general se designan mediante una terna (x,y,z). Para poder describir todos los puntos del espacio las tres coordenadas deben poder variar entre - ∞ y + ∞. z
x
y
P
EyM 1-18
Sistema de coordenadas Cartesiano
Estos vectores unitarios son constantes en todos los puntos del espacio (se mantienen paralelos a los de referencia en todos los puntos).
Las líneas coordenadas son rectas ortogonales entre sí y los vectores unitarios llevan sus direcciones y se designan: $, $, $x y z
Cualquier punto del espacio puede designarse mediante su vector de posición r que se define como el vector que une el origen del sistema de coordenadas con el punto en cuestión. Sus componentes serán las coordenadas del punto y por tanto será: rr xx yy zz= + +$ $ $
Las coordenadas son métricas por lo que sus factores de escala son la unidad. La diferencial de longitud a lo largo de cada línea coordenada será: dx, dy, dz. Las diferenciales de superficie serán: dydz, dzdx y dxdyrespectivamente en las superficies coordenadas x=cte, y=cte y z=cte. La diferencial de volumen será: dv = dxdydz.
x
y
z
r
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EyM 1-19
• El diferencial de superficie y volumen:– En cartesianas:
– En curvilíneas generalizadas ortogonales:A pesar del aspecto del dibujo,al ser las dimensiones muypequeñas, los lados son“rectos” y ortogonales.
Curvilíneas
dy
dz
dxX
Z
YdzdydxdV =
u2
u1
u3h2du2
h3du3
h1du1
321321 dududuhhhdV =
dydxdSz =
22113 duhduhdS =
EyM 1-20
Ejercicio
Dados dos vectores A y B cuyas componentes cartesianas son conocidas (Ax, Ay, Az) y (Bx, By, Bz) obtenga la expresión de su producto escalar y vectorial
( )( ) =++++=⋅ zBzyByxBxzAzyAyxAxBA ˆˆˆ.ˆˆˆrr
==×BzByBxAzAyAxzyx
BAˆˆˆ
rr
AzBzAyByAxBx ++=
( ) ( ) ( )AyBxAxByzAxBzAzBxyAzByAyBzx −+−+− ˆˆˆ
( ) ( )
=×+×+×++×+×+×+×+×+×=
=++×++=×
zzAzBzyzAzByxzAzBxzyAyBzyyAyByxyAyBxzxAxBzyxAxByxxAxBx
zBzyByxBxzAzyAyxAxBA
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆrr
( ) ( ) ( )AyBxAxByzAxBzAzBxyAzByAyBzx −+−+−= ˆˆˆ
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EyM 1-21
Ejercicio
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )BACCAB
BzAzCzzBzAzCzzByAyCyyByAyCyyBxAxCxxBxAxCxxAyByAxBxCzzAzBzAxBxCyyAzBzAyByCxxAyCyAxCxBzzAxCxAzCzByyAzCzAyCyBxx
AyBzCyAyByCzAxBxCzAxBzCxzAxByCxAxBxCyAzBzCyAzByCzy
AzBxCzAzBzCxAyByCxAyBxCyxByCxBxCyBxCzBzCxBzCyByCz
AzAyAxzyx
CBA
rrrrrr
rrr
•−•=
=−+−+−+++−+−+−+++++=
=+−−++−−+
++−−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=××
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆˆ
Usando las componentes cartesianas de A , B y C demuestre la igualdad:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BACCABCABA
CBCBArrrrrr
rrrr
rrrrr
•−•=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
••=××
( ) ( ) ( )ByCxBxCyzBxCzBzCxyBzCyByCzxCzCyCxBzByBxzyx
CB −+−+−==× ˆˆˆˆˆˆ
rr
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Sistema de coordenadas Cilíndricas
Las superficies coordenadas del sistema son: . Planos z = cte. . Semiplanos que contienen al eje z y forman un ángulo
ϕ con el semiplano xz que se toma como referencia. . Cilindros de eje el z y radio ρ.
x
P
y
z
ρϕ
z
$z
ϕ
$ρ
Las coordenadas del sistema serán ternas de valores ρ, ϕ, z. Para describir unívocamente todos los puntos del espacio las coordenadas deberán variar en los márgenes: 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π y - ∞ < z < + ∞.
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EyM 1-23
Sistema de coordenadas Cilíndricas
La relación entre las coordenadas del sistema cilíndrico y las del cartesiano puede expresarse fácilmente observando que aquel se obtiene de éste mediante un giro de ángulo ϕ alrededor del eje z. La relación puede expresarse pues por medio de la correspondiente matriz de giro. Así los vectores unitarios se relacionan como:
x
y
z
ρ
ϕ
z
$z
ϕ
$ρ
$y
$x
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
zyx
z ˆˆˆ
1000cossin0sincos
ˆˆˆ
ϕϕϕϕ
ϕρ
Nótese que la matriz de giro es unitaria y por tantosu inversa es igual que su transpuesta. Pueden obtenerse por tanto las relaciones:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=
+=
zzyx
yx
ˆˆcosˆsinˆˆ
sinˆcosˆˆϕϕϕ
ϕϕρ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−=
zzyx
ˆˆcosˆsinˆˆsinˆcosˆˆ
ϕϕϕρϕϕϕρ
ϕ
ϕ
yϕ
x
$ρ
EyM 1-24
Sistema de coordenadas Cilíndricas
En cilíndricas el vector de posición de un punto se expresará como:rr zz= +$ $ρρ
Por tanto:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
zzyx
01000cossin0sincos ρ
ϕϕϕϕ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
zzyx
ϕρϕρ
sincos
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+=
−
zzxytg
yx
1
22
ϕ
ρ
Las coordenadas ρ y z son métricas, por lo que su factor de escala es la unidad, mientras que la coordenada ϕ es angular y su factor de escala es el radio del arco que se describe con su variación, o sea ρ.
Por tanto las diferenciales de longitud a lo largo de las líneas coordenadas son:dzdlddlddl z === ,, ϕρρ ϕρ
Las diferenciales de superficie son:ρϕρρϕρ ϕρ dddSdzddSdzddS z === ,,
Y la diferencial de volumen es: dzdddV ⋅⋅= ϕρρ
Electricidad y Magnetismo Introducción
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EyM 1-25
Ejercicio
Obtener geométricamente las coordenadas cartesianas de un punto en función de sus coordenadas cilíndricas.
Obtener geométricamente las coordenadas cilíndricas de un punto en función de sus coordenadas cartesianas.
Obtener geométricamente las componentes cartesianas de los vectores unitarios en cilíndricas.
Obtener geométricamente las componentes cilíndricas de los vectores unitarios en cartesianas.
zzyx === ;sin;cos ϕρϕρ
zzxytgyx =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=+= − ;; 122 ϕρ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=
+=
zzyx
yx
ˆˆcosˆsinˆˆ
sinˆcosˆˆϕϕϕ
ϕϕρ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−=
zzyx
ˆˆcosˆsinˆˆsinˆcosˆˆ
ϕϕϕρϕϕϕρ
EyM 1-26
Ejercicio
Obtener el área lateral y el volumen de un cilindro de radio R y altura H .
R
H
x
y
z
dz
ϕϕρ Rdd =
dzddS ϕρ=
( ) RHHRdzdSH
z
ππϕρπ
ϕ
220
2
0
=== ∫ ∫= =
( ) dzdddzdddV ϕρρϕρρ ==
( ) ( ) HRzdzddV HRH
z
R2
020
0
2
0
2
0 0 2πϕρϕρρ π
π
ϕ ρ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== ∫ ∫ ∫
= = =
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07/01/2009 EyM 1-14
EyM 1-27
Ejercicio
Obtener la longitud de media circunferencia usando cartesianas y cilíndricas .
( ) ( ) ( )233
222
211; duhduhduhdldlL
C
++== ∫
∫ +==⇒=====C
zyx dydxLdzctezhhh 22;00;1
( )( ) 2
12222
2222
222
1
;022;
xR
RdxxR
xdxdydx
dxyxdyydyxdxRyx
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=+
−==+=+
RRRxsenR
xRdxRL
R
R
R
Rx
πππ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−=
−
−
−=∫ 22
1
22
RdL πϕρπ
ϕ
== ∫=0
x
y
R− R
( ) ( ) ( ) ϕρϕρρ ddzdddl =++= 222
EyM 1-28
Las coordenadas del sistema serán ternas de valores r, θ, ϕ. Para describir unívocamente todos los puntos del espacio las coordenadas deben variar en los márgenes: 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π
Sistema de coordenadas Esféricas
Las superficies coordenadas del sistema son: . Semiplanos que contienen al eje z y forman ángulo ϕ con el xz. . Esferas con centro en el origen y radio r. . Conos de eje el z, vértice en el origen y ángulo θ con el semieje z
positivo.
y
z
r
ϕ
Pθ
x
$zϕ
$ρ
r
$θ
x
y
z
r
ϕ
P
θ
θ
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EyM 1-29
Sistema de coordenadas Esféricas
La relación entre las coordenadas del sistema esférico y las del cilíndrico puede expresarse fácilmente observando que aquél se obtiene de éste mediante un giro de ángulo θ alrededor del eje ϕ que es común a ambos sistemas. La relación puede expresarse mediante una matriz de giro y los vectores unitarios se relacionan (obsérvese el orden de los vectores) mediante:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
zr ˆˆˆ
cos0sin010
sin0cos
ˆˆ
ˆ
ϕρ
θθ
θθϕθ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=
+=
ϕϕθρθθ
θρθ
ˆˆˆsinˆcosˆˆcosˆsinˆ
z
zr
Si se sustituyen los vectores unitarios en cilíndricas en función de los cartesianos obtendremos la relación entre los vectores unitarios en esféricas y los cartesianos:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
zyx
zyx
r ˆˆˆ
cossinsincossin0cossin
sinsincoscoscos
ˆˆˆ
1000cossin0sincos
cos0sin010
sin0cos
ˆˆ
ˆ
θϕθϕθϕϕ
θϕθϕθϕϕϕϕ
θθ
θθϕθ
EyM 1-30
Sistema de coordenadas Esféricas
Como la matriz de giro es producto de dos matrices unitarias es también unitaria y su inversa es igual a su transpuesta por lo que:
Por tanto:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=−+=
++=
yxzyx
zyxr
ˆcosˆsinˆˆsinˆsincosˆcoscosˆˆcosˆsinsinˆcossinˆ
ϕϕϕθϕθϕθθ
θϕθϕθ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
rzyx
ˆˆ
ˆ
cos0sinsinsincossincoscossinsincoscos
ˆˆˆ
ϕθ
θθϕθϕϕθϕθϕϕθ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
++=
−+=
θθθ
ϕϕθϕθϕθ
ϕϕθϕθϕθ
ˆsinˆcosˆ
ˆcosˆsincosˆsinsinˆ
ˆsinˆcoscosˆcossinˆ
rz
ry
rx
El vector de posición será : por lo quezzyyxxrrr ˆˆˆˆ ++==r
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
rzyx
00
cos0sinsinsincossincoscossinsincoscos
θθϕθϕϕθϕθϕϕθ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
θϕθϕθ
cossinsincossin
rzryrx
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07/01/2009 EyM 1-16
EyM 1-31
Sistema de coordenadas Esféricas
La coordenada r es métrica y su factor de escala es la unidad.
Las coordenadas θ y ϕ son angulares y sus factores de escala son los radios de los arcos que se describen, respectivamente r y r sen(θ).
La diferencial de volumen será:dV= r2sen(θ) dr dθ dϕ.
x
y
z
r
ϕ
dr
dϕ
dθrsinθ
θ
Las diferenciales de superficie serán, sobre superficies r constante, θ constante y φ constante, por tanto:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
θϕθϕθθ
ϕ
θ
rd)drsen( d)drsen( rd
drdSrdS
dSr
Las diferenciales de línea serán: ϕθθ ϕθ drdlrddldrdlr sin,, ===
EyM 1-32
Ejercicio
Obtener geométricamente las coordenadas cartesianas de un punto en función de sus coordenadas esféricas.
Obtener geométricamente las coordenadas esféricas de un punto en función de sus coordenadas cartesianas.
Obtener geométricamente las componentes cartesianas de los vectores unitarios en esféricas.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
θϕθϕθ
cossinsincossin
rzryrx
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=++= −−
zyx
tgxytgzyxr
2211222 ;; θϕ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=−+=
++=
yxzyx
zyxr
ˆcosˆsinˆˆsinˆsincosˆcoscosˆˆcosˆsinsinˆcossinˆ
ϕϕϕθϕθϕθθ
θϕθϕθ
z
y
rϕ
Pθ
x
zx
y
Electricidad y Magnetismo Introducción
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EyM 1-33
Ejercicio
Obtener el área y el volumen de una esfera de radio R.
La superficie es la de una superficie r=cte (r=R). Por lo tanto:
( )( ) ϕθθϕθθ ddsenrdrsenrddScter
2===
( )
( )( ) 22
02
2
0 0
2
0
2
0
2
0
2
0
4112
cos2
RR
RdsendRddsenrdSS
ππ
θπθθϕϕθθ ππ
ϕ
π
θ
π
θ
π
ϕ
π
θ
π
ϕ
=+−−=
=−==== ∫ ∫∫ ∫∫ ∫= == == =
( )
34
223
3
32
0 00
2
0
2
0 0
2
R
RdsenddrrdrddsenrVR
r
R
r
π
πθθϕϕθθπ
ϕ
π
θ
π
θ
π
ϕ
=
=== ∫ ∫∫∫ ∫ ∫= === = =
EyM 1-34
Ejercicio
Obtener el área lateral y el volumen de un cono de altura H y radio de la base R .
ϕθθ drdrsendS 0=
22
22
220
2
00 2
2
22
HRR
HRHR
RdrdrsenSHR
rlat
+=
+
+== ∫ ∫
+
= =
π
πϕθπ
ϕ
y
z Rθ0
x
H
dr
rsenθ0dφ
dφ
ϕθθ ddrdsenrdV 2=
=== ∫∫ ∫∫== ==
00
03
32
0
cos
0
2
0 cos32 θ
θ
π
ϕ
θθ
θ
θθθπθθϕ dsenHdrrdsendV
H
ry
x
z R
θHr
θcosHr =
31
32cos
32 2
2
223
0
23 0HR
HHRHH ππθπ
θ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
−
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-18
EyM 1-35
Ejericio
( ) 0cos2ˆ
2ˆ
21cosˆˆˆ
2
0
2
0
=+−=+−== ∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕϕϕϕϕρϕππ
dydsenxdysenxdldCC
C
r
X
Y
( ) ( )22 ϕρρ dddl += ϕϕρ dd cos=
( ) ( ) ϕρϕϕϕρϕϕ dddddl =+=+= 2222 coscos
πϕπ
ϕ
== ∫∫=0
ddlC
φρ sen=
=∫Cdl
Obtenga los valores de las siguientes integrales de línea sobre la curva definida entre 0 y π.
=∫Cldr
222222
21
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⇒=+⇒=⇒= yxyyxsensen φρρφρ
x
EyM 1-36
Ejercicio cont.
ϕϕρφρ ddsen cos=⇒=
Gráficamente también se ve que la integral es la suma de vectores longitud a lo largo de la línea por lo que el resultado es la diferencia entre el vector de posición del punto final y el del punto inicial. Si ambos coinciden el resultado es nulo (ocurre para cualquier contorno cerrado).También se ve gráficamente que para cada elemento diferencial hay uno simétrico cuya suma da cero. Por tanto la integral es cero.También se puede hacer analíticamente de la siguiente forma:
02
ˆ222ˆcos2ˆ2cosˆ
0
2
000
=+=+= ∫∫∫ππππ ϕϕϕϕϕϕϕ senysenxdsenydxld
C
r
ϕϕρρρ ˆˆ ddld +=r
ϕϕϕϕϕρ
cosˆˆˆˆcosˆˆysenxsenyx
+−=+=
( ) ( )( ) ( ) ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕρρϕϕϕρρϕ
dsenydsenxddsenydsendxld
cos2ˆcosˆcosˆcosˆ
22 +−=
++−=r
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-19
EyM 1-37
Ejericio
xaxeaABld
Cˆˆ2 −=−=∫
rrr
( ) ( )22 ϕρρ dddl += ϕπ
ρ πϕ
dead−
−=
ϕπ
ϕϕπ
πϕ
πϕ
πϕ
deadaedeadl−−−
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 2
2211
Sobre la curva en z=0 de la figura calcular: πϕ
ρ−
= ae=∫C
dl =∫Cldr
aedxe
axax =∫
x
y
a
a/e2ldr
Ar
Br
( )( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=−+=+== −
=
−∫∫ 22
2
02
2
02
11111111e
aeadeadlLC π
πππ
ϕπ
ππϕπ
ϕ
πϕ
EyM 1-38
Tema 1: Introducción
Concepto de campoCampos escalares y vectorialesOperaciones con vectores
Sistemas de coordenadasCartesianoCurvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
Operadores vectoriales.GradienteDivergenciaRotacionalCombinación de operadores: LaplacianaExpresiones con operadores
Ejercicios
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-20
EyM 1-39
Representación del Campo escalar
Anteriormente se estableció el concepto de campo escalar y campo vectorial como magnitudes físicas de carácter escalar y vectorial respectivamente. En general estas magnitudes varían en el espacio y en el tiempo siendo necesaria su representación algébrica y gráfica. Normalmente la representación gráfica en función del tiempo suele hacerse mediante una sucesión de representaciones gráficas espaciales, correspondientes a sucesivos instantes de tiempo, que permiten así dar una idea de la evolución del campo. Para cada instante de tiempo la representación gráfica del campo escalar se hace mediante el uso de las superficies isotímicas o de igual valor del campo.Para un campo bidimensional las superficies isotímicas se reducen a curvas
isotímicas. Es bien conocido el ejemplo de las curvas de nivel de los mapas geográficos que representan la altura de los diversos puntos de una región.
xy
h y
x
h1 h2 h3
EyM 1-40
Representaciones 3D de una función:a) Mesh plot b) Surf plot
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-21
EyM 1-41
Representación del Campo
2
0.004
M1 0.5 0 0.5 1
1
0.5
0
0.5
1
1.819
1.819
1.637
1.637
1.637
1.456 1.456
1.456
1.274 1.274
1.274
1.274
1.093
1.093
1.093
1.093
1.093
0.911
0.9110.911
0.911
0.911
0.911
0.911
0.911
0.73
0.730.73
0.73
0.73
0.73
0.73
0.73
0.549
0.5490.549
0.549
0.549
0.549
0.549
0.549
0.367
0.367
0.3670.367
0.186
0.186
0.1860.186
M
Las figuras muestran la representación de la superficiey de sus curvas de nivel.
1010
1010cos
1010cos ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=yxz
EyM 1-42
Representación del campo escalar
F
f x y,( ) cos x sin y( )+( ):=
FF
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-22
EyM 1-43
Representación del campo escalar
)10
(),( tsentf πρρ −=
M
EyM 1-44
Representación del Campo vectorial
Para los campos vectoriales suele recurrirse a la utilización de las líneas de campo, aquellas en las que el campo es tangente a las mismas en todos sus puntos. Tal como indica esta definición, las líneas de campo permiten dar una idea de la dirección del campo en los puntos de una región. Para añadir información sobre el sentido del campo se superpone una punta de flecha a las líneas de campo en el sentido del mismo.Para dar una idea de la magnitud del campo en la zona de representación, se recurre a poner mayor densidad de líneas de campo allí donde éste es más intenso, de manera que la densidad de líneas sea proporcional al módulo del campo.
ω
rv
rv
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-23
EyM 1-45
Representación del Campo vectorial
A veces resulta más sencilla una representación más directa del campo consistente en la elección de una malla de puntos dentro de la zona de estudio y el dibujo en cada uno de esos puntos del campo como una pequeña flecha que marca la dirección y sentido del campo y cuya longitud se hace proporcional a su magnitud.
EyM 1-46
Gradiente de un Campo Escalar
La representación algébrica de un campo escalar se hace por medio de una función f(r) = f(u1,u2,u3) que expresa el valor del campo en cada punto.
Un desplazamiento elemental desde un punto r a un punto próximo r + dr se expresa mediante
333222111 ˆˆˆ duahduahduahrd ++=r
El campo habrá variado su valor en
=++= 33
22
11
duufdu
ufdu
ufdf
∂∂
∂∂
∂∂
De esta manera se define el gradiente de un campo escalar como una magnitud vectorial que nos permite calcular la variación direccional del campo.
u1
u2
u3
O
P f=cte
rr drr
[ ]
( ) rdfgrad
duahduahduahauf
ha
uf
ha
uf
hr
⋅=
++⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++= 3332221113
332
221
11
ˆˆˆˆ1ˆ1ˆ1∂∂
∂∂
∂∂
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-24
EyM 1-47
Gradiente de un Campo Escalar
La dirección del gradiente indica la dirección de máxima variación del campo ya que df = grad f ·dr =|grad f||dr|cosα es máximo si dr es paralelo a grad f (α=0).
Si el desplazamiento se realiza sobre una superficie de campo constante (isotímica) entones df = 0 = grad f ·dr lo que implica, si dr ≠ 0 y grad f ≠ 0 (o sea f ≠ cte), que grad f es perpendicular a dr cualquiera que sea dr sobre la superficie isotímica. Por lo tanto la dirección de grad f es perpendicular al plano tangente sobre la superficie isotímica y tiene la dirección de la normal a dicha superficie.
Pf=cte
$n
drr
Veamos que indica el módulo del gradiente:
( ) ( ) αcosgragra rdfdrdfddf rr=⋅=
donde α es el ángulo entre ambos vectores. Por tanto:
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= rd
dfmaxfd rgra que se produce si α = 0.
En resumen: el módulo del gradiente es la máxima variación posible del campo para un desplazamiento diferencial, que debe hacerse a lo largo de la dirección del gradiente que, a su vez, es la dirección perpendicular a las superficies isotímicas del campo.
EyM 1-48
Ejercicio
La figura muestra las líneas φ = cte de un pozo de potencial. Superponga una representación de las líneas de campo mostrando claramente (indique cómo) su dirección, intensidad y simetría.
Er
ϕgradE −=r
Las líneas de campo deben ser perpendiculares a las equipotenciales y su sentido hacia potenciales decrecientes. Debe representarse mas densidad de líneas donde el campo es más intenso que es donde están más próximas las equipotenciales
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-25
EyM 1-49
Ejercicio
22),,(yx
zzyxf+
=
Dada la siguiente función f calcule su gradiente en coordenadas cilíndricas.
Primero transformamos la ecuación a coordenadas cilíndricas: 2),,(ρzzyxf =
( )
zzfffz
zfy
yfx
xf
auf
ha
uf
ha
uf
hfgrad
ˆˆ1ˆˆˆˆ
ˆ1ˆ1ˆ13
332
221
11
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=
++=
ϕϕρ
ρρ
∂∂
∂∂
∂∂
La expresión del gradiente en curvilíneas, cartesianas y cilíndricas es:
( ) zzzzffffgrad ˆ1ˆ2ˆˆ1ˆ
23 ρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ+
−=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
EyM 1-50
Representación del Campo vectorial
f x y,( ) sin x( ) cos y( )⋅:= grad x y,( )x
f x y,( )dd
yf x y,( )d
d
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
:=
surf M N,( )
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-26
EyM 1-51
Fuentes de un Campo Vectorial
Dada la existencia de un campo vectorial A(r) resulta necesario averiguar la existencia y naturaleza de sus fuentes en determinadas regiones del espacio. El ejemplo del campo de velocidades de un fluido incompresible, por ejemplo agua, permite dar una idea intuitiva del objeto de nuestro estudio.Sea un estanque lleno de agua en reposo y planteémonos la manera de provocar el movimiento del agua para crear así nuestro campo de velocidades. Abriendo un agujero en la base del estanque el agua saldrá por dicho agujero creándose el campo de velocidades. Las líneas de campo evidentemente convergen hacia el agujero que constituye un sumidero para dichas líneas. El efecto opuesto se produce si a través del agujero introducimos agua en el estanque: ahora las líneas de campo divergen de la fuente que hemos creado. Este tipo de agentes productores de campo reciben, por razones obvias, el nombre de fuentes de tipo divergencia.
EyM 1-52
Divergencia de un Campo Vectorial
Para averiguar si en una región existen fuentes o sumideros del campo habráque rodear dicha región por una superficie y medir si a través de dicha superficie entra más agua de la que sale o viceversa. En el primer caso habrá un sumidero mientras que en el segundo habrá una fuente. La medida del agua que entra o sale a través de la superficie se realiza por medio del caudal o flujo de agua sobre la superficie. Se define el flujo del campo A(r) sobre una superficie elemental , donde es el vector unitario normal al elemento de superficie, como:
ndSSd ˆ=r
$n( ) SdrAflujod
rrr⋅= )(
Si la superficie a considerar es cerrada el sentido de es hacia el exterior del volumen encerrado por la superficie, estando indeterminado en el caso de superficies abiertas.
$n
dS$n $n
dS
S
rA
En el caso del campo de velocidades del agua a través de dS pasará, por unidad de tiempo, un volumen de agua . r r
v dS⋅
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-27
EyM 1-53
• Definiciones:– El flujo de un campo vectorial a
través de una superficie se define como:» es un vector de módulo dS y dirección
normal a la superficie. Sentido el que se quiera.
– Si la superficie es cerrada, el flujo se representa como:
» Por convenio es saliente del volumenencerrado por la superficie.
• Interpretación:– El flujo de un vector a través
de una superficie cerrada mide si las líneas de campo tienen su origen o su fin en el volumen encerrado:
Flujo de un vector a través una superficie
∫∫ ⋅S
SdArr
Sdr ∫∫ ⋅
SSdArr
dSr
S
s rA dS
S⋅ >∫∫ 0
s rA dS
S⋅ <∫∫ 0
s rA dS
S⋅ =∫∫ 0
dSr
S
Sdr
EyM 1-54
Divergencia de un Campo Vectorial
El flujo total sobre una superficie cerrada será: ∫∫ ⋅=S
SdrAFlujorrr )(
Para investigar si en un punto tenemos o no una fuente rodeamos dicho punto por una superficie cerrada S, calculamos el flujo sobre S y calculamos el límite de dicho flujo cuando hacemos la superficie cada vez más pequeña tendiendo al punto.Es decir calculamos: ∫∫ ⋅→ SS SdrA
rrr )(lim 0
Pero, desafortunadamente, este límite siempre es nulo si A se mantiene finito.Para poder seguir obteniendo información acerca de la existencia o no de
fuentes calculamos una nueva magnitud, relacionada con el flujo y que llamamos divergencia del campo, como:
∫∫ ⋅= → SV SdrAV
Adivrrrr
)(1lim)( 0
siendo V el volumen encerrado por la superficie S. Como V es esencialmente positivo el signo de la divergencia será el mismo que el del flujo y obtendremos información de la existencia de fuentes o sumideros en el punto en cuestión.
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-28
EyM 1-55
Divergencia de un Campo Vectorial
Puede encontrarse fácilmente la expresión de la divergencia en coordenadas curvilíneas ortogonales en un punto P. Rodeemos dicho punto por una superficie elemental como indica la figura y cuyo volumen es: ∆V = h1h2h3∆u1∆u2∆u3.
u1
u2
u3
P
A
BC
D
E
FG
h1du1
h2du2
h3du3
El flujo de A(u1,u2,u3) = A1â1+ A2â2+ A3â3 sobre la superficie PEFG será:
( ) ( )[ ]( ) 3232132321ˆ
ˆ
uuhhAuuhhaA
PEFGareanA PenPEFG
∆∆−=∆∆−⋅=
⋅=Φr
r
Si consideramos ahora la superficie ABCD, el valor del flujo se podrá obtener, en primera aproximación, como:
Flujo(ABCD)=Flujo(PEFG) + (Variación Flujo con u1) x (Variación u1)
( ) ( ) 1323211
3232111
uuuhhAu
uuhhAuu
PEFGPEFGABCD ∆∆∆+∆∆=∆
Φ−+Φ−=Φ
∂∂
∂∂
Sin embargo la normal hacia el exterior del volumen en ABCD es opuesta a la normal en PEFG por lo que:
EyM 1-56
Divergencia de un Campo Vectorial
Por lo tanto será: ( ) 3211321
uuuAhhuPEFGABCD ∆∆∆=Φ+Φ
∂∂
El mismo proceso puede seguirse en el resto de caras con lo que quedará:
( ) ( ) ( ) 3213213
3212132
3211321
uuuAhhu
uuuAhhu
uuuAhhuTotal ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=Φ
∂∂
∂∂
∂∂
Por tanto la divergencia será:
( )
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++=
∆∆∆Φ
=
→∆→∆→∆
3213
2132
1321321
321321
000
1
lim)(
3
2
1
Ahhu
Ahhu
Ahhuhhh
uuuhhhAdiv Total
uuu
∂∂
∂∂
∂∂
r
Y en cartesianas: ( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++= zyx A
zA
yA
xAdiv
∂∂
∂∂
∂∂)(
r
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-29
EyM 1-57
Ejercicio
zxyzyexxA xy ˆˆˆ2 ++=r
Calcular la div(A) en (-1, 1, 2) siendo
( ) xyxexzA
yA
xAAdiv xyzyx ++=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
= 2r
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 111
2,1,1311112 −−
−−−=−+−+−= eeAdiv
r
EyM 1-58
Rotacional de un Campo Vectorial
Otra forma de generar el campo de velocidades en el estanque con agua puede ser el giro de un mecanismo con paletas que al rotar provoquen una rotación de la masa de agua. Este nuevo tipo de generador de campo recibe el nombre de fuente de tipo rotacional.
Para medir la rotación de las líneas de campo se utiliza una herramienta matemática que se llama circulación del campo.
( ) ldrAncirculaciodrrr
⋅=)(
Dada una trayectoria a lo largo de una curva C con un determinado sentido de recorrido y un campo vectorial se define la circulación elemental como:( )rA rr
C
( )rA rr
dlr dl es un vector cuyo módulo es la diferencial de arco
sobre la curva C, cuya dirección es la de la tangente a la curva y cuyo sentido es el establecido para el recorrido.
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-30
EyM 1-59
Rotacional de un Campo Vectorial
Si las líneas de campo no presentan remolinos en una determinada dirección, supongamos que son paralelas, y tomamos una espira perpendicular al campo, resultará que en todos los puntos de la espira A·dl = 0 al ser A ⊥ dl y por tanto la circulación del campo sobre la espira será nula.
( )rA rr
ldr
ldr
C
Por el contrario si el campo presenta remolinos, entonces, A·dl ≠ 0 y la circulación será no nula.
( )rA rr
ldr
ldr
C
Naturalmente que el resultado obtenido dependerá de la orientación de la espira (se obtiene la rotación del campo respecto al eje perpendicular al plano de la espira), por lo que, al hacer la medida, habrá que situarla en tres posiciones mutuamente ortogonales y así se obtendrá una información de tipo vectorial.
EyM 1-60
Se define así el rotacional de un campo vectorial como un vector cuya componente según la normal a una espira C de área S es:n
Rotacional de un Campo Vectorial
Si se quiere averiguar si en punto existen o no fuentes de tipo rotacional del campo habría que situar tres espiras ortogonales centradas en el punto, medir la circulación del campo sobre ellas y obtener el límite cuando las espiras se hacen tender al punto.Sin embargo dicho límite es siempre idénticamente nulo por lo que conviene dividir la circulación por el área de la espira que, al tender también a cero al tender la espira al punto, permite obtener un límite no idénticamente nulo, de valor proporcional a la circulación.
( ) ∫ ⋅=⋅→ CS
ldAS
nArotrrr 1limˆ
0Puede encontrarse fácilmente la expresión para el rotacional de un campo vectorial en coordenadas curvilíneas ortogonales calculando la circulación sobre la espira elemental de la figura.
u1
u2
u3
P A
BC
h2du2
h3du3
$a1
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-31
EyM 1-61
Rotacional de un Campo Vectorial
La circulación en el segmento PA será: ( ) 222222 ˆ uhAauhAldACPA ∆=∆⋅=⋅=rrr
( ) ( ) 32223
22233
uuhAu
uhAuuCCC PA
PABC ∆∆−∆−=∆−
+−=∂∂
∂∂
La circulación sobre el segmento BC puede obtenerse en primera aproximación de la circulación sobre PA teniendo en cuenta que el sentido de circulación es el opuesto:
De forma análoga pueden obtenerse: ( )( ) 333333 ˆ uhAauhAldACCP ∆−=−∆⋅=⋅=rrr
( ) ( ) 23332
33322
uuhAu
uhAuuCCC CP
CPAB ∆∆+∆=∆−
+−=∂∂
∂∂
Por tanto será: ( ) ( )
323
22
2
33 uuu
hAu
hACTotal ∆∆⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
∂∂
∂∂
Y la componente según del rotacional:1a
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
∆∆=⋅
→∆→∆
3
22
2
33
323232001
1limˆ3
2 uhA
uhA
hhuuhhCaArot Total
uu ∂
∂∂
∂r
EyM 1-62
Rotacional de un Campo Vectorial
Finalmente se podrá escribir el rotacional como:
( )332211
321
21
3
13
2
32
1 ˆˆˆ
hAhAhAuuu
hha
hha
hha
Arot∂∂
∂∂
∂∂
=r
Y en cartesianas:( )
zyx AAAzyx
zyx
Arot∂∂
∂∂
∂∂
ˆˆˆ
=r
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-32
EyM 1-63
Ejercicio
( )
( ) ( ) ( )yxyzzyxyx
zxyzyxzyx
zyx
AAAzyx
zyx
Arot
zyx
2
222
22ˆ00ˆ20ˆ
2
ˆˆˆˆˆˆ
−+−−−=
===∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂r
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xzxArot ˆ4212122ˆ2120ˆ 2
)1,2,1(=−−−+−−=
−
r
Calcular el rotacional de A en (1, -2, 1) siendo zzyxyzxyxA ˆˆ2ˆ 222 ++=r
EyM 1-64
Teorema de Gauss
De la definición de divergencia como: ∫∫ ⋅= → SV SdrAV
Adivrrrr
)(1lim)( 0
podemos obtener para un elemento diferencial la expresión:∫∫∆ ⋅=
SSdrAdVAdivrrrr
)()(donde ∆S es la superficie que rodea al elemento diferencial.
Supongamos que dicho elemento diferencial es uno de los elementos en que se ha dividido una región V rodeada por una superficie S. Si sumamos el resultado anterior a todos los elementos del volumen: ∑∫∫∑ ∆
⋅=S
SdrAdVAdivrrrr
)()(
El sumatorio del primer miembro en el límite, cuandoel número de elementos es muy grande, se transformaen la integral de volumen de la divergencia.
En el segundo miembro hay que observar que el flujo sobre la superficie común de dos elementos de volumense cancela, al ser las normales de sentidos opuestos.
Solo quedará el flujo sobre las caras no comunes, que corresponden a la superficie S que encierra el volumen. Por tanto quedará:
∫∫∫∫∫ ⋅=SV
SdrAdVAdivrrrr
)()(
VS
$n
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-33
EyM 1-65
Teorema de Stokes
Retomando la definición de la componente del rotacional sobre la normal a unaespira elemental ∆C tenemos: ( ) ∫∆→∆
⋅∆
=⋅CS
ldAS
nArotrrr 1limˆ
0Podemos reescribir: ( ) ∫∆ ⋅=⋅
CldAdSnArotrrr
ˆSi suponemos que nuestra espira elemental es uno de los elementos en los que hemos subdividido una superficie S apoyada en un contorno C, con la normal a la superficie en el sentido adecuado según el del recorrido sobre C, la suma sobre todos los elementos será:
( ) ∑∫∑ ∆⋅=⋅
CldASdArotrrrr
La suma de los términos del primer miembro da una integral sobre la superficie S. La suma de los términos del segundo miembro se cancela en las caras comunes de los diversos contornos elementales y solo queda la integral sobre C. Por tanto resulta:
( ) ∫∫∫ ⋅=⋅CS
ldASdArotrrrr
$ndS
S
C
EyM 1-66
Operador Nabla (∇)
Si se escriben en coordenadas cartesianas las expresiones del gradiente, la divergencia y el rotacional tendremos:
( ) ffzz
yy
xx
zzfy
yfx
xffgrad ∇=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= ˆˆˆˆˆˆ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
( ) AAzz
yy
xx
Az
Ay
Ax
Adiv zyx
rrr⋅∇=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= ˆˆˆ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
( ) AAzz
yy
xx
AAAzyx
zyx
Arot
zyx
rrr×∇=×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++== ˆˆˆ
ˆˆˆ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
Vemos que podemos definir un operador diferencial de carácter vectorial, llamado “nabla”, como:
∇≡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ z
zy
yx
xˆˆˆ
∂∂
∂∂
∂∂
con el que se compacta considerablemente la notación.
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-34
EyM 1-67
Operador Nabla (∇)
La simbología introducida en el sistema de coordenadas cartesiano se extiende a cualquier sistema de coordenadas considerando que la “forma” del operador, en este caso, será diferente para el gradiente, la divergencia y el rotacional:
Gradiente
Divergencia
Rotacional
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++≡∇ 3
332
221
11
ˆ1ˆ1ˆ1 auh
auh
auh ∂
∂∂∂
∂∂
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++≡∇ 321
3213
2132
1321
ˆˆˆ1 ahhu
ahhu
ahhuhhh ∂
∂∂∂
∂∂
332211
321
332211
321
ˆˆˆ1
AhAhAhuuu
ahahah
hhh ∂∂
∂∂
∂∂
≡∇
Conviene resaltar que aunque el operador ∇ tiene carácter vectorial no es un vector por lo que su analogía con un vector es simbólica. ∇ no tiene módulo ni dirección y por ejemplo el que ∇⋅A = 0 no implica que ∇ ⊥ A.
EyM 1-68
Expresiones de la Divergencia
• Curvilíneas:
• Cartesianas:
• Cilíndricas:
• Esféricas:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
+∂
∂=⋅∇
3
213
2
132
1
321
321
1u
hhAu
hhAu
hhAhhh
Ar
zA
yA
xAA zyx
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇r
zAAA
A z
∂∂
+∂ϕ∂
ρ+
∂ρ∂ρ
ρ=⋅∇ ϕρ 11r
∂ϕ∂
θ+
∂θθ∂
θ+
∂∂
=⋅∇ ϕθ Ar
Arr
Arr
A r
sen1sen
sen11 2
2
r
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-35
EyM 1-69
• Curvilíneas:
• Cartesianas:
• Cilíndricas: Esféricas:
332211
321
332211
321
ˆˆˆ1
hAhAhAuuu
uhuhuh
hhhA
∂∂
∂∂
∂∂
=×∇
zyA
xA
yxA
zAx
zA
yA
AAAzyx
zyx
A xyzxyz
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
=×∇
zAAAz
z
A
ϕρ ρ∂∂
∂ϕ∂
∂ρ∂
ϕρρ
ρ=×∇
ˆˆˆ1
32
2
sen
ˆsenˆˆ
sen1
ArrAAr
rrr
rA
r θ∂ϕ∂
∂θ∂
∂∂
ϕθθ
θ=×∇
Expresiones del rotacional
EyM 1-70
Operador Nabla (∇)
Dado su carácter de operador diferencial debe seguir las reglas de la notación diferencial. Ello significa que el operador debe escribirse delante de la función sobre la que opera, debiendo situarse el resto de factores delante del operador para que no haya lugar a equívocos.
Las normas de utilización del operador cuando se aplica a productos de funciones consisten en:
a) Utilizar en primer lugar su carácter diferencial escribiendo tantos sumandos como factores. En cada sumando el operador actúa sobre un factor, lo que se indica por medio de algún símbolo que se sitúa sobre dicho factor.
b) Utilizar a continuación su carácter vectorial para reescribir cada sumando de acuerdo con la notación diferencial antes mencionada. Para ello deberán tenerse en cuenta las propiedades de conmutación y operación de los productos: escalar, vectorial, mixto y vectorial doble. Una vez situado al final de cada sumando el factor sobre el que actúa el operador (el que lleva el símbolo recordatorio), delante de él el operador y delante de éste el resto de términos, ya puede suprimirse el símbolo recordatorio.
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-36
EyM 1-71
Operador Nabla (∇)
La aplicación sucesiva del operador ∇ conduce a nuevos operadores de ordensuperior. Así por ejemplo: ( ) ( ) fff ∆=∇⋅∇=∇⋅∇
donde ∆ es un operador diferencial escalar de segundo orden llamado operador de Laplace o “laplaciano”.
Su expresión en coordenadas curvilíneas ortogonales resulta:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=∆ ∑
= iii i uf
hhhh
uhhhf
∂∂
∂∂
2321
3
1321
1
Este operador escalar puede operar también sobre campos vectoriales en cuyocaso resulta:
( ) AAArrr
×∇×∇−⋅∇∇=∆
EyM 1-72
Laplaciana de un escalar:Definición y expresiones
Es la divergencia de su gradiente:• Curvilíneas:
• Cartesianas:
• Cilíndricas:
• Esféricas:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=∆⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⋅∇
++=∇
33
21
322
13
211
32
1321
3
213
2
132
1
321
321
333
222
111 1
1
ˆ1ˆ1ˆ1
uf
hhh
uuf
hhh
uuf
hhh
uhhhf
uhhA
uhhA
uhhA
hhhA
uuf
hu
uf
hu
uf
hU
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
r
2
2
2
2
2
2
zf
yf
xfU
∂∂
∂∂
∂∂
++=∆
2
2
2
2
22
2
2
2 1111z
fffz
ffff∂∂
∂ϕ∂
ρ∂ρ∂ρ
∂ρ∂
ρ∂∂ρ
∂ϕ∂
ρ∂ρ∂ρ
∂ρ∂
ρ++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∆
2
2
2222
2
2
22
2
111
11
∂ϕ∂
θ∂θ∂θ
∂θ∂
θ∂∂
∂∂
∂ϕ∂
θ∂θ∂θ
∂θ∂
∂∂θ
∂∂
θ
fsenr
fsensenrr
frrr
fsen
fsenrfsenr
rsenrf
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=∆
( ) fff ∆=∇=∇⋅∇ 2
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-37
EyM 1-73
Rotacional del gradiente de un escalar:
• Rotacional del gradiente:– Es nulo siempre:
– Demostración: Para cualquier contorno C y una de sus superficies S:
Luego el rotacional de un gradiente siempre debe ser nulo.
0≡∇×∇ U
( ) 0==⋅∇=⋅∇×∇ ∫∫∫∫C
CSdUldU
StokesSdU
rr
S$n
C
EyM 1-74
Ejercicio
Demostrar utilizando coordenadas cartesianas que 0=∇×∇ φ
0ˆˆ
ˆˆˆˆ
2222
22
≡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−
∂∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−
∂∂∂
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−
∂∂∂
=∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂=∇×∇
xyyxz
xzzxy
yzzyx
zyxzyx
zyx
φφφφ
φφ
φφφφ
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-38
EyM 1-75
Divergencia del rotacional de un vector.
• Divergencia del rotacional:
– Basta con tomar volumen arbitrario:
» Como C1 y C2 son el mismo contorno recorrido en sentidos contrarios, el resultado es nulo:
( ) 0≡×∇⋅∇ Ar
( )∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫=⋅+⋅=⋅×∇+⋅×∇=
=⋅×∇=×∇⋅∇
2121
0CCSS
SV
ldAldASdASdA
SdAdVArrrrrrrr
rrr
+
S1$n
C1S2
$n
C2V
S
EyM 1-76
Ejercicio
Demostrar utilizando coordenadas cartesianas que 0=×∇⋅∇ Ar
0
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆ
222222
=∂∂
∂−
∂∂
∂+
∂∂∂
+∂∂
∂−
∂∂
∂−
∂∂∂
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=
=∂∂∂∂∂∂⋅∇=×∇⋅∇
yzA
xzA
zyA
xyA
zxA
yxA
yA
xA
zz
AxAy
zA
yAxz
zy
yx
x
AAAzyx
zyxA
xyxzyz
xyxzyz
zyx
r
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-39
EyM 1-77
Ejercicio
Obtener Ar
×∇×∇( ) AAArrr
×∇×∇−⋅∇∇=∆ a partir de
( ) ( )AAA
AArr
r
rr
∇⋅∇−⋅∇∇=⋅∇∇⋅∇
∇=×∇×∇
( ) AAArrr
×∇×∇−⋅∇∇=∆
EyM 1-78
Laplaciana de un vector.
• Definición:
• Su expresión es complicada, salvo en cartesianas:– Limitando el cálculo a su componente x:
( ) AAArrr
×∇×∇−⋅∇∇=∆
( )[ ]zx
Ayx
AxA
xzA
yA
xA
xA zyxzyx
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ 22
2
2
++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++∇=⋅∇∇
r
[ ] [ ] [ ]
2
2
2
222
zA
yA
zxA
yxA
xA
zA
zyA
xA
yA
zA
yxA
zxzy
zxxyyz
∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−−+=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=×∇−×∇=×∇×∇
rrr
[ ] ( )[ ] [ ] xxxx A
zA
yA
xA
xAxAxA ∆=++=×∇×∇−⋅∇∇=∆ 2
2
2
2
2
2
∂∂
∂∂
∂∂rrr
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-40
EyM 1-79
Laplaciana de un vector. (2)
• Repitiendo el cálculo para las componentes y y z:
– La laplaciana de un campo vectorial es otro campo vectorial cuyas componentes en coordenadas cartesianas (y sólo en cartesianas) son las laplacianas (escalares) de las componentes del campo original.
zAyAxAA zyx ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆r
EyM 1-80
Ejercicio
Siendo r el vector de posición de un punto (x,y,z) calcule:
( )rr∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆˆˆˆˆˆ =∆+∆+∆=++∆=∆ zzyyxxzzyyxxrr
( )rar∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆˆˆˆˆˆ =∆+∆+∆=++∆=∆ zzayyaxxazazyayxaxrar
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-41
EyM 1-81
Ejercicio
Siendo φ un escalar y A y B vectores desarrolle:
( )Ar
ϕ⋅∇ ( ) ( ) AAAAAAArr&r&
r&rr&
r⋅∇+∇⋅=⋅∇+∇⋅=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⋅∇+⋅∇=⋅∇ ϕϕϕϕϕϕϕ
( )Ar
ϕ×∇ ( ) ( ) AAAAAAArr&r&
r&rr&
r×∇+×∇=×∇+∇×−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛×∇+×∇=×∇ ϕϕϕϕϕϕϕ
( )BArr
×⋅∇ ( ) ( ) BAABBABABArrrr&rrr&rrr
×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ×⋅∇=×⋅∇
( )BArr
⋅∇ ( ) ( ) ( )BAABBABABA &rr&rr&rrr&rrr⋅∇+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅∇=⋅∇+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅∇=⋅∇
( )ABABABB
AABBA &rr&rr
&rrr&r
&rrr&r ∇⋅+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅−∇=
⋅∇⋅∇−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ×∇×−=×⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ×∇
( ) ( ) ( )ABABABBAABrrrr&rrr&r&rr
∇⋅+×∇×=∇⋅+×⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ×∇−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅∇
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BABAABABBArrrrrrrrrr
∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇
EyM 1-82
Ejercicio cont.
( )BArr
××∇ ( ) ( )BABABA &rrr&rrr××∇+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ××∇=××∇
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BABABABABA
BABArrrr&rr&rr
&rr&rr
&rr∇⋅−⋅∇=⋅∇−⋅∇=
⋅∇⋅∇=××∇
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BAABABBABArrrrrrrrrr
∇⋅−∇⋅+⋅∇−⋅∇=××∇
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-42
EyM 1-83
Ejercicio
Si a es un vector constante y r es el vector de posición calcule:
( )rr⋅∇
( )rr×∇
( )ra rr⋅∇
( )ra rr××∇
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3ˆˆˆ =∂∂
+∂∂
+∂∂
=++⋅∇=⋅∇ zz
yy
xx
zzyyxxrr
( )
0ˆˆ
ˆˆˆˆ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=∂∂∂∂∂∂=×∇
yx
xyz
xz
zxy
zy
yzx
zyxzyx
zyxrr
( ) ( ) azayaxazayaxara zyxzyxrrr
=++=++∇=⋅∇ ˆˆˆ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) aaarara
rarara
rarara
rrr&rr&rr
&rr&rr&rr&rr
&rrrr
23 =−=∇⋅−⋅∇=
=⋅∇−⋅∇=⋅∇⋅∇
=××∇=××∇
( ) ( )( ) axxxaxxxara xxr
LLLrr
=+∂∂=++∂∂=∇⋅ ˆˆ
EyM 1-84
Tema 1: Introducción
Concepto de campoCampos escalares y vectorialesOperaciones con vectores
Sistemas de coordenadasCartesianoCurvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
Operadores vectoriales.GradienteDivergenciaRotacionalCombinación de operadores: LaplacianaExpresiones con operadores
Ejercicios
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-43
EyM 1-85
Revisión de Conceptos Básicos
Producto mixto escalar y vectorial.- Dados tres vectores A, B y C cumple la siguiente propiedad de rotación del orden de los factores:
( ) ( ) ( )ACBBACCBArrrrrrrrr
ו=ו=ו
Producto vectorial doble.-
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BACCABCABA
CBCBArrrrrr
rrrr
rrrrr
•−•=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
••=××
Para medir distancias a lo largo de las curvas coordenadas es necesario utilizar unos factores de proporcionalidad llamados factores de escala:
dl h dudl h dudl h du
1 1 1
2 2 2
3 3 3
===
En Cilíndricas las diferenciales de longitud a lo largo de las líneas coordenadas son:
dzdlddlddl z === ,, ϕρρ ϕρ
ϕθθ ϕθ drdlrddldrdlr sin,, ===En Esféricas las diferenciales de longitud a lo largo de las líneas coordenadas son:
( ) ( ) ( )233
222
211 duhduhduhldldlddl ++=⋅==
rrr
EyM 1-86
Operador Nabla (∇)
Gradiente
Divergencia
Rotacional
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++≡∇ 3
332
221
11
ˆ1ˆ1ˆ1 auf
ha
uf
ha
uf
hf
∂∂
∂∂
∂∂
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++≡⋅∇ 321
3213
2132
1321
1 Ahhu
Ahhu
Ahhuhhh
A∂∂
∂∂
∂∂r
332211
321
332211
321
ˆˆˆ1
AhAhAhuuu
ahahah
hhhA
∂∂
∂∂
∂∂
≡×∇r
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=∆ ∑
= iii i uf
hhhh
uhhhf
∂∂
∂∂
2321
3
1321
1
( ) AAArrr
×∇×∇−⋅∇∇=∆
Laplaciano
Laplaciano de un vector
0≡∇×∇ U ( ) 0≡×∇⋅∇ Ar
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-44
EyM 1-87
Ejercicio
Calcule: ∫∫Resfera
dSr
zysensenxsenr ˆcosˆˆcosˆ θϕθϕθ ++= ϕθθ ddsenRdS 2=
02
2ˆ00cosˆ
ˆcosˆˆ
0
22
0
2
0
2
0
22
0
2
0
22
0
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=+
++=
∫∫
∫∫∫∫∫∫
==
====
ππ
θ
π
ϕ
π
θ
π
ϕ
π
θ
π
ϕ
θπθθθϕ
θθϕϕθθϕϕ
senRzdsendRz
dsendsenRydsendRxdSrResfera
EyM 1-88
Ejercicio
Calcule: ∫∫Resfera
dSθ
zsenysenx ˆˆcosˆcoscosˆ θϕθϕθθ −+=
22
0
2
0
22
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
ˆ42
22ˆ00ˆ
cosˆcoscosˆˆ
πθθπθθϕ
θθθϕϕθθθϕϕθ
ππ
θ
π
ϕ
π
θ
π
ϕ
π
θ
π
ϕ
RzsenRzdsendRz
dsendsenRydsendRxdSResfera
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+=−
−+=
∫∫
∫∫∫∫∫∫
==
====
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-45
EyM 1-89
Ejercicio
( ) ( ) 242222Ldl 22B
A=+++==∫
( )yx4B2ABLldB
A+==−==∫
rrrrr
X
Y
A:(-2,-2)
B:(2,2)
1.Obtenga los valores de las siguientes integrales de línea sobre la curva y=x definida entre (-2,-2) y (2,2).
=∫B
Adl
=∫B
Aldr
EyM 1-90
Ejercicio
∫=CdlL
Sobre la espiral logarítmica de ecuación situada en el plano z=0y con 0≤φ<2π calcular:
πϕ
ρ −= ae
∫=C
ldLrr
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )222
211
211
211
dzdd
duhduhduhdl
++=
=++=
ϕρρ
ϕπ
ϕπ
ρρ πϕπϕπϕ
deadldz
deadz
ae −−−
+=⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=
−=⇒⎭⎬⎫
==
2
1100
( )( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=−+=+== −
=
−∫∫ 22
2
02
2
02
11111111e
aeadeadlLC π
πππ
ϕπ
ππϕπ
ϕ
πϕ
xeaax
eaxarrldldL AB
r
rC
B
A
ˆˆˆ 22 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=−=== ∫∫
rrrrr r
r
ρϕ
Brr
Arr a2ea
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-46
EyM 1-91
Ejercicio
Verificar el teorema de Gauss para la superficie de un cubo de lado unidad centrado en el origen y con aristas paralelas a los ejes coordenados usando el vector xxA ˆ=
r
x
y
z1)( == ∫∫∫∫∫∫ VV
dVdVAdivr
( ) 1=∂∂
+∂
∂+
∂∂
=zA
yA
xAAdiv zyx
r
Como A solo tiene componente según x solo habráflujo sobre las caras x=1/2 y x=-1/2.
( )
( ) 121
211
21
21
ˆˆˆˆ
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
=−⋅+⋅=⋅
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫∫ ∫ ∫
−= −=−= −=
−= −=−= −=
z yz y
z yS
z y
dydzdydz
dydzxxxdydzxxxSdArr
EyM 1-92
Ejercicio
Verificar el Teorema de Stokes sobre un contorno cuadrado de lado 2, vértice en el origen y sobre el plano z=0 siendo zxyyyxxxA ˆˆˆ 22 ++=
r
( ) ( ) ( ) ( )02ˆˆ02ˆˆˆˆ
2
22
−+−−=∂∂∂∂∂∂= xyzyyxyxxyyxx
zyxzyx
Arotr
zx
y
zn ˆ=r
( ) ( ) 822
22ˆ2
0
22
0
22
0
2
0
===⋅=⋅ ∫ ∫∫∫∫∫= =
xyxydxdydxdyzArotSdAroty x
SS
rrr(1)
(2)
(3)
(4)
La integral de circulación se calcula por tramos.
En cada tramo dl marca el sentido de circulación y los límites de la integral van desde el valor inferior al superior de la variable.
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅4321
ldAldAldAldAldAC
rrrrrrrrrr
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-47
EyM 1-93
Ejercicio cont.
( ) ( )2
2ˆ
2
0
22
0
2
011
====⋅=⋅ ∫∫∫∫==
xxdxdxAdxxAldAxx
x
rrr
( ) ( )8
244ˆ
2
0
22
0
2
0
22
022
=====⋅=⋅ ∫∫∫∫∫===
yydyydyxdyAdyyAldAyyy
y
rrr
( )( )
( )2
2ˆ
2
0
22
0
2
033
−=−=−=−=−⋅=⋅ ∫∫∫∫==
xxdxdxAdxxAldAxx
x
rrr
( )( )
( )( ) 00ˆ
2
0
22
0
22
044
===−=−⋅=⋅ ∫∫∫∫∫=== yyy
y ydyydyxdyAdyyAldArrr
80282 =+−+=⋅∫C
ldArr
EyM 1-94
Ejercicio
Verificar el Teorema de Stokes sobre el contorno circular de la figura usando a) el círculo inscrito, b) la semiesfera y c) el cilindro mostrados. El campo es:
zzzzyxxyA ˆˆˆˆˆ −=−+−= ϕρr
a)
b)
c)
Cálculo de la circulación del vector:
( ) 22
0
2ˆˆˆ RdzzldAC
πϕρϕϕρπ
ϕ
=⋅−=⋅ ∫∫=
rr
Cálculo del rotacional:
( ) 222
0 0
22
22ˆˆ2 RRddzzSdArotR
Sa
ππϕρρπ
ϕ ρ
=⋅=⋅=⋅ ∫ ∫∫∫= =
rr
Cálculo del flujo del rotacional sobre a):
( ) zzxyzyx
zyxArot ˆ2
ˆˆˆ=
−−∂∂∂∂∂∂=
r
Electricidad y Magnetismo Introducción
07/01/2009 EyM 1-48
EyM 1-95
Ejercicio cont.
a)
b)
c) ( ) ( ) ϕρρϕρρϕρρ dddzdddzzSdArot 2ˆˆˆ2 =+⋅=⋅rr
Cálculo del flujo del rotacional sobre c):
El flujo sobre la superficie lateral es cero. El flujo sobre la tapa superior del cilindro es:
( ) 222
0 0
22
222 RRddSdArotR
Sc
ππϕρρπ
ϕ ρ
=⋅==⋅ ∫ ∫∫∫= =
rr
Cálculo del flujo del rotacional sobre b): ( ) ϕθθ ddsenRrzSdArot 2ˆˆ2 ⋅=⋅rr
( ) 222
0
2
0
2 22122cos2 RRdsendRSdArot
bSππθθθϕ
π
θ
π
ϕ
===⋅ ∫∫∫∫==
rr