computer aided ship design -part i. optimal ship design-
TRANSCRIPT
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
Naval A
rch
itectu
re &
Ocean
En
gin
eerin
g
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
Computer Aided Ship design
-Part I. Optimal Ship Design-
September, 2009
Prof. Kyu-Yeul Lee
Department of Naval Architecture and Ocean Engineering,Seoul National University of College of Engineering
ํ๋ถ3ํ๋ ๊ต๊ณผ๋ชฉโ์ ์ฐ์ ๋ฐ์ค๊ณ(Computer Aided ship design)โ๊ฐ์ ๊ต์ฌ
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
Naval A
rch
itectu
re &
Ocean
En
gin
eerin
g
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
8. Combinatorial Optimization (์กฐํฉ ์ต์ ํ)
8.1. Introduction
8.2. Cut Algorithm (์ ๋จ ํ๋ฉด๋ฒ)
8.3. Enumeration Algorithm (์ด๊ฑฐ๋ฒ)
8.4. Networks flow Theory(๋คํธ์ํฌ ์ด๋ก)
- Ch.8 Combinatorial Optimization
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
Naval A
rch
itectu
re &
Ocean
En
gin
eerin
g
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
8. Combinatorial Optimization (์กฐํฉ ์ต์ ํ)8.1 Introduction
- Ch.8 Combinatorial Optimization
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต์ ํ ๋ฌธ์ ์ ๋ถ๋ฅ
์ค๊ณ๋ณ์์ ํํ
์ฐ์์ ๋ฌธ์ (Continuous Problem)์ค๊ณ๋ณ์๊ฐ ์ฐ์์ (Continuous)์ถ ๋ฌธ์
์ด์ฐ์ ๋ฌธ์ (Discrete Problem)์ค๊ณ ๋ณ์๊ฐ ์ด์ฐ์ (Discrete)์ถ ์ต์ ํ ๋ฌธ์
์กฐํฉ ์ต์ ํ(Combinatorial optimization) ๋ฌธ์ ๋ผ๊ณ ๋ ํจ
์ ์๊ณํ๋ฒ(Integer programming;์ค๊ณ ๋ณ์๊ฐ ์ ์์ถ ์ต์ ํ๋ฌธ์ )์ด ๋ํ์
- Ch.8 Combinatorial Optimization
4/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
Combinatorial Optimization-Integer Programming (์ ์ ๊ณํ๋ฒ)
Integer Programming(์ ์ ๊ณํ๋ฒ):
์ ํ๊ณํ๋ฒ์ ํด ์ค์์ ์ ์ํด๋ง์ ์ถ์ ํ๋ ๊ฒฝ์ฐ, ์ต์ ํด๊ฐ ์ ์๊ฐ ๋๋ค๋ ๊ฒ์ ๋ณด์ฅํ ์ ์๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ ์ ํ์ ์๊ณํ๋ฒ(์ ์๊ณํ๋ฒ)์ด๋ผ ํจ
์กฐํฉ ์ต์ ํ ๋ฌธ์ ์ ์ท์ข
์๋ฅผ ๋ค์ด ํญ๊ณตํ์ฌ์์ ์ฌ๊ฐ๊ธฐ ๊ตฌ๋งค๊ณํ์ ์ํ ๋ชจํ์ ์ต์ ํด๋ฅผ ์ฐพ๋ ๊ฒฝ์ฐ ์ ํ๊ณํ๋ฒ์ ์ด์ฉํ์ฌ ๊ตฌํ ํด๊ฐ โB747์ 13/4๋, Air Bus 400์
22/3๋ ๊ตฌ์ โ ์ด๋ผ๋ฉด ์ด๋ ์คํ์ด ๋ถ๊ฐ๋ฅํ ๋ต์ด๋ค
์ ์๊ณํ๋ฒ์ ์ด์ฉํ์ฌ โB747์ 3๋, Air Bus 400์ 7๋ ๊ตฌ์ โ์ด๋ผ๋์คํ ๊ฐ๋ฅํ ์ ์ ํด๋ฅผ ๊ตฌํ ์ ์๋ค.
- Ch.8 Combinatorial Optimization
5/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
Combinatorial Optimization-์ ์๊ณํ๋ฒ์ ํด๋ฒ
Round off ๋ฐฉ๋ฒ
์ด๊ฑฐ๋ฒ
1) ์ค์ ํด์ ์์์ ์ ๋ฒ๋ฆฌ๋ ๋ฐฉ๋ฒ
1) ๊ฐ๋ฅํ ๋ชจ๋ ํด์ ์กฐํฉ์ ์ด๊ฑฐํ์ฌ, ์ต์ ๊ฐ์ ์ฐพ๋ ๋ฐฉ๋ฒ
2) ๋ฌธ์ ๊ฐ ์ปค์ง ์๋ก ์กฐํฉ์ ์๊ฐ ์ฒ๋ฌธํ ์ ์ผ๋ก ์ฆ๊ฐํจ
3) ์ ์ฝ์กฐ๊ฑด์ ๋ชจ๋ ๋ง์กฑ์ํค๊ธฐ ์ด๋ ค์ธ ์ ์๋ค.
2) ์ต์ ํด๋ก๋ถํฐ ๋ฉ๋ฆฌ ๋จ์ด์ ธ ์์ ์ ์๋ค.
ex) ๊ตฌํ ์ต์ ํด๊ฐ x*=3.5 =>์ ์ ์ต์ ํด๋ 3
- Ch.8 Combinatorial Optimization
6/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
Combinatorial Optimization -์ ์ ๊ณํ๋ฒ์ ํด๋ฒ
1 1 2
2 1
3 2
( ) 3 2 9
( ) 2
( ) 2
0,j
g x x
g x
g x
x j
x
x
x
Minimize
Subject to
1 2( )f x x x
1x
2x
1 2( )f x x x
*x
1 1 2( ) 3 2 9g x x x
: ์ ์ ๊ฐ๋ฅํด
: ์ต์ ํด*x
์ ๋ฌธ์ ์ ์ต์ ํด๋ ์ ์๊ฐ ์๋๋ค.
x* = (5/3 , 2)
3 2( ) 2g x x
2 1( ) 2g x x
โ๋ฐ์๋ฌ, ๊ฒฝ์๊ณผํ, 4์ ํ, ๋ฏผ์์ฌ, 2003.โ
โStanley Zionts, Linear and integer programming, Prentice-Hall, 1974, p.342 ~ p.387โ
Round off ๋ฐฉ๋ฒ
x* = (5/3 , 2) โ x* = (1 , 2)
์ด๊ฑฐ๋ฒ
x= (0 , 0) x = (1 , 0) x= (2 , 0)
x= (0 , 1) x= (1 , 1) x = (2 , 1)
x= (0 , 2) x = (1 , 2)
์ ์ ๊ฐ๋ฅํด
์ ์ ์ต์ ํด- Ch.8 Combinatorial Optimization
7/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
Typical Examples of Combinatorial Optimization
- ์ต๋จ๊ฒฝ๋ก๋ฌธ์ (shortest route problem)
: ๋ ์ง์ ์ฌ์ด์ ์ต๋จ๊ฒฝ๋ก(๊ฐ์ฅ ์์ ๋น์ฉ ๋๋ ๊ฐ์ฅ ์งง์
๊ฑฐ๋ฆฌ๋ ์๊ฐ์ ๋์ฐฉํ ์ ์๋ ๊ฒฝ๋ก)๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์
- ์ต์๊ฑธ์นจ๋๋ฌด๋ฌธ์ (minimum spanning tree problem)
: ๋คํธ์ํฌ์์ ๋ชจ๋ ์ฐ๊ฒฐํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ ์ค์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๋น์ฉ
๋๋ ์๊ฐ์ผ๋ก ์ฐ๊ฒฐํ ์ ์๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์
(์ค๋น๋ฐฐ์น๋ฌธ์ , ๋คํธ์ํฌ ์ค๊ณ๋ฌธ์ )
- ์ต๋ํ๋ฆ๋ฌธ์ (maximal flow problem)
: ๋คํธ์ํฌ์์ ํ ์ง์ ์์ ๋ค๋ฅธ ์ง์ ์ผ๋ก ๋ณด๋ผ ์ ์๋ ์ต๋
์ ์ ํต๋์ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ (๊ตํตํ๋ฆ ๋ถ์๋ฌธ์ , ์ก์ ๊ด ์ค๊ณ๋ฌธ์ )
โ๋ฐ์ฌํฅ, ์ต์ ๊ฒฝ์๊ณผํ, ์๊ทธ๋ง๊ทธ๋ํ, 2004, p.168โ
์์ ์ธ๊ฐ์ง ๊ฒฝ์ฐ๋ Chapter 4์์ ๋ฐฐ์ธ ๋ํ์ ์ธ ๋คํธ์ํฌ ๋ชจํ์ผ๋ก, ์ด
๋ฅผ ์ํ ํจ๊ณผ์ ์ธ ํด๋ฒ๋ค์ด ๊ฐ๋ฐ๋์ด ์๋ค.
- Ch.8 Combinatorial Optimization
8/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
Typical Examples of Combinatorial Optimization
- ํ ๋น ๋ฌธ์ (Assignment problem)
: ๋ช ๋ช ์ ์ข ์ ์์๊ฒ ๋ช ๊ฐ์ ์์ ์ ํ ๋นํ๋ ๊ฒฝ์ฐ์ ๊ฐ์ฅ ํจ๊ณผ์ ์ผ๋ก
ํ ๋นํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ ๊ตฌํ๋ ๋ฌธ์ , ํน์ํ ํํ์ ์์ก๋ฌธ์ ์ด๊ธฐ๋ ํ๋ค.
- ์ธํ์ ๋ฌธ์ (Traveling Salesman Problem; TSP):ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๊ณ ๊ฐ๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธ
ํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์
โ๋ฐ์ฌํฅ, ์ต์ ๊ฒฝ์๊ณผํ, ์๊ทธ๋ง๊ทธ๋ํ, 2004, p.168โ
- Ch.8 Combinatorial Optimization
9/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ธํ์๋ฌธ์ ์ํ์ ์ต์ ํ ๋ชจ๋ธ ์ ์ํ
โ ์ธํ์์ ๊ฐ ๋ ธ๋์์ ์ถ๋ฐํ์ฌ ๋จ ํ ๋ ธ๋์๋ง ๊ฐ ์ ์๋ค.
์กฐ๊ฑด
1 2
34
8
13
15
12
24
18
โก ์ธํ์์ ๋์ฐฉํ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๊ธฐ์ค์ผ๋ก ๋ณผ ๋ ๋จ ํ ๋ ธ๋์์๋ถํฐ ์ถ๋ฐํ์ฌ ์จ๋ค.
โข ์ธํ์์ ๋ชจ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๋ฐฉ๋ฌธํ์ฌ ์ฒ์ ์ถ๋ฐ์ง๋ก ๋์์์ผ ํ๋ค.
์ธํ์ ๋ฌธ์ (Traveling Salesman Problem; TSP)ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๊ณ ๊ฐ๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ ์ด๋ค.
ex) 1๋ฒ์์ ์ถ๋ฐํ์ฌ, ๋ค์์ ์ง๋ค์ ๋ชจ๋ ํ๋ฒ์ฉ ๊ฑฐ์ณ ๋ค์ 1๋ฒ์ผ๋ก ๋์์ค๋ ๋ฌธ์ ๋ฅผ ์๊ฐํ ์ ์๋ค.
์ถ๋ฐ
- Ch.8 Combinatorial Optimization
10/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ธํ์๋ฌธ์ ์ํ์ ์ต์ ํ ๋ชจ๋ธ ์ ์ํ
์ธํ์ ๋ฌธ์
1) ์ค๊ณ๋ณ์์ ์ ํ
1 2
34
8
13
15
12
24
18
์ธํ์ ๋ฌธ์ (TSP : Traveling Salesman Problem)
์ธํ์ ๋ฌธ์ ๋ ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๋ ธ๋(๊ณ ๊ฐ)
๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ง์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋์ธํ์ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ ์ด๋ค.
1: : ( , 1,2,3,4)
0 : ij
i jx i j
i j
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ๋ฉด
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ์ง ์์ผ๋ฉด,
์ด ๋ฌธ์ ์์ ๊ตฌํด์ผ ํ ๋ณ์๋ ๊ฐ๊ฐ์ ๋ ธ๋ ์ฌ์ด๋ฅผ ํต๊ณผํ๋ ๊ฒฝ๋ก ์ด๋ฉฐ, ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ํํํ ์ ์๋ค.
์ถ๋ฐ
3442413432312432,21141312 ,,,,,,,,,, xxxxxxxxxxxx
๋ค์ ๋์ดํด ๋ณด๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ๋ค.
- Ch.8 Combinatorial Optimization
11/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ธํ์๋ฌธ์ ์ํ์ ์ต์ ํ ๋ชจ๋ธ ์ ์ํ
์ธํ์ ๋ฌธ์
1 2
34
8
13
15
12
24
18
์ธํ์ ๋ฌธ์ (TSP : Traveling Salesman Problem)
์ธํ์ ๋ฌธ์ ๋ ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๋ ธ๋(๊ณ ๊ฐ)
๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ง์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋์ธํ์ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ ์ด๋ค.
1: : ( , 1,2,3,4)
0 : ij
i jx i j
i j
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ๋ฉด
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ์ง ์์ผ๋ฉด,
์ถ๋ฐ
2) ์ ์ฝ์กฐ๊ฑด์ ์ ์ํ
โ ์ธํ์์ ๊ฐ ๋ ธ๋์์ ์ถ๋ฐํ์ฌ ๋จ ํ ๋ ธ๋์๋ง ๊ฐ ์ ์๋ค.
๋ ธ๋1์์ ๊ฐ ์ ์๋ ๋ ธ๋๋ 2,3,4๋ก 3๊ฐ์ง๊ฐ ์๋ค. ์ด์ ๊ด๋ จ๋ ์ค๊ณ๋ณ์๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ๋ค.
12 13 14, ,x x xHow can you describe this condition in mathematic form?
1) ์ค๊ณ๋ณ์
3442413432312432,21141312 ,,,,,,,,,, xxxxxxxxxxxx
- Ch.8 Combinatorial Optimization
12/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ธํ์๋ฌธ์ ์ํ์ ์ต์ ํ ๋ชจ๋ธ ์ ์ํ
์ธํ์ ๋ฌธ์
1 2
34
8
13
15
12
24
18
์ธํ์ ๋ฌธ์ (TSP : Traveling Salesman Problem)
์ธํ์ ๋ฌธ์ ๋ ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๋ ธ๋(๊ณ ๊ฐ)
๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ง์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋์ธํ์ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ ์ด๋ค.
1: : ( , 1,2,3,4)
0 : ij
i jx i j
i j
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ๋ฉด
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ์ง ์์ผ๋ฉด,
์ถ๋ฐ
2) ์ ์ฝ์กฐ๊ฑด์ ์ ์ํ
โ ์ธํ์์ ๊ฐ ๋ ธ๋์์ ์ถ๋ฐํ์ฌ ๋จ ํ ๋ ธ๋์๋ง ๊ฐ ์ ์๋ค.
๋ ธ๋1์์ ๊ฐ ์ ์๋ ๋ ธ๋๋ 2,3,4๋ก 3๊ฐ์ง๊ฐ ์๋ค. ์ด๋ฅผ ์์์ ์ ํ ์ค๊ณ๋ณ์๋ก ํํํ๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ๋ค.
12 13 14 1x x x
๋ค๋ฅธ ๋ ธ๋๋ค์ ๋ํด์๋ ๋ง์ฐฌ๊ฐ์ง๋ก ์๊ฐํด๋ณด๋ฉด,
21 23 24 1,x x x 31 32 34 1,x x x 41 42 43 1,x x x
1) ์ค๊ณ๋ณ์
3442413432312432,21141312 ,,,,,,,,,, xxxxxxxxxxxx
- Ch.8 Combinatorial Optimization
13/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ธํ์๋ฌธ์ ์ํ์ ์ต์ ํ ๋ชจ๋ธ ์ ์ํ
์ธํ์ ๋ฌธ์
1 2
34
8
13
15
12
24
18
์ธํ์ ๋ฌธ์ (TSP : Traveling Salesman Problem)
์ธํ์ ๋ฌธ์ ๋ ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๋ ธ๋(๊ณ ๊ฐ)
๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ง์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋์ธํ์ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ ์ด๋ค.
1: : ( , 1,2,3,4)
0 : ij
i jx i j
i j
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ๋ฉด
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ์ง ์์ผ๋ฉด,
์ถ๋ฐ
2) ์ ์ฝ์กฐ๊ฑด์ ์ ์ํ
โก ์ธํ์์ ๋์ฐฉํ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๊ธฐ์ค์ผ๋ก ๋ณผ ๋ ๋จ ํ ๋ ธ๋์์๋ถํฐ ์ถ๋ฐํ์ฌ ์จ๋ค.
๋ ธ๋2๋ก ๊ฐ๋ ๊ฒฝ์ฐ๋ ๋ ธ๋ 1,3,4์์ ์ค๋ ๊ฒฝ์ฐ 3๊ฐ์ง๊ฐ ์๋ค. ์ด๋ฅผ ์ค๊ณ๋ณ์๋ก ํํํ๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ๋ค.
12 32 42, ,x x x How can you describe this condition in mathematic form?
1) ์ค๊ณ๋ณ์
3442413432312432,21141312 ,,,,,,,,,, xxxxxxxxxxxx
- Ch.8 Combinatorial Optimization
14/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ธํ์๋ฌธ์ ์ํ์ ์ต์ ํ ๋ชจ๋ธ ์ ์ํ
์ธํ์ ๋ฌธ์
1 2
34
8
13
15
12
24
18
์ธํ์ ๋ฌธ์ (TSP : Traveling Salesman Problem)
์ธํ์ ๋ฌธ์ ๋ ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๋ ธ๋(๊ณ ๊ฐ)
๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ง์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋์ธํ์ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ ์ด๋ค.
1: : ( , 1,2,3,4)
0 : ij
i jx i j
i j
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ๋ฉด
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ์ง ์์ผ๋ฉด,
์ถ๋ฐ
2) ์ ์ฝ์กฐ๊ฑด์ ์ ์ํ
โก ์ธํ์์ ๋์ฐฉํ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๊ธฐ์ค์ผ๋ก ๋ณผ ๋ ๋จ ํ ๋ ธ๋์์๋ถํฐ ์ถ๋ฐํ์ฌ ์จ๋ค.
๋ ธ๋2๋ก ๊ฐ๋ ๊ฒฝ์ฐ๋ ๋ ธ๋ 1,3,4์์ ์ค๋ ๊ฒฝ์ฐ 3๊ฐ์ง๊ฐ ์๋ค. ์ ์ฝ์กฐ๊ฑด์ ์ํ์ ์ผ๋ก ํํํด ๋ณด๋ฉด,
12 32 42 1x x x ๋ค๋ฅธ ๋ ธ๋๋ค์ ๋ํด์๋ ๋ง์ฐฌ๊ฐ์ง๋ก ์๊ฐํด๋ณด๋ฉด,
21 31 41 1,x x x 13 23 43 1,x x x 14 24 34 1,x x x
1) ์ค๊ณ๋ณ์
3442413432312432,21141312 ,,,,,,,,,, xxxxxxxxxxxx
- Ch.8 Combinatorial Optimization
15/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ธํ์๋ฌธ์ ์ํ์ ์ต์ ํ ๋ชจ๋ธ ์ ์ํ
์ธํ์ ๋ฌธ์
1 2
34
8
13
15
12
24
18
์ธํ์ ๋ฌธ์ (TSP : Traveling Salesman Problem)
์ธํ์ ๋ฌธ์ ๋ ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๋ ธ๋(๊ณ ๊ฐ)
๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ง์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋์ธํ์ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ ์ด๋ค.
1: : ( , 1,2,3,4)
0 : ij
i jx i j
i j
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ๋ฉด
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ์ง ์์ผ๋ฉด,
์ถ๋ฐ
2) ์ ์ฝ์กฐ๊ฑด์ ์ ์ํ
โข ์ธํ์์ ๋ชจ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๋ฐฉ๋ฌธํ์ฌ ์ฒ์ ์ถ๋ฐ์ง๋ก ๋์์์ผ ํ๋ค.
How can you describe this condition in mathematic form?
1)๋ชจ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๋ฐฉ๋ฌธํ์ง ์๊ณ ์ฒ์ ์ถ๋ฐ์ง๋ก ๋์์ค๊ฑฐ๋, 2)์ฒ์ ์ถ๋ฐ์ง๊ฐ ์๋๊ฒฝ์ฐ๋ก ๋์์์๋ ์๋๋ค.
1) ์ค๊ณ๋ณ์
3442413432312432,21141312 ,,,,,,,,,, xxxxxxxxxxxx
- Ch.8 Combinatorial Optimization
16/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ธํ์๋ฌธ์ ์ํ์ ์ต์ ํ ๋ชจ๋ธ ์ ์ํ
์ธํ์ ๋ฌธ์
1 2
34
8
13
15
12
24
18
์ธํ์ ๋ฌธ์ (TSP : Traveling Salesman Problem)
์ธํ์ ๋ฌธ์ ๋ ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๋ ธ๋(๊ณ ๊ฐ)
๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ง์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋์ธํ์ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ ์ด๋ค.
1: : ( , 1,2,3,4)
0 : ij
i jx i j
i j
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ๋ฉด
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ์ง ์์ผ๋ฉด,
์ถ๋ฐ
1) ์ค๊ณ๋ณ์
3442413432312432,21141312 ,,,,,,,,,, xxxxxxxxxxxx
2) ์ ์ฝ์กฐ๊ฑด์ ์ ์ํ
โข ์ธํ์์ ๋ชจ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๋ฐฉ๋ฌธํ์ฌ ์ฒ์ ์ถ๋ฐ์ง๋ก ๋์์์ผ ํ๋ค.
1)๋ชจ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๋ฐฉ๋ฌธํ์ง ์๊ณ ์ฒ์ ์ถ๋ฐ์ง๋ก ๋์์ค๋ ๊ฒฝ์ฐ๋,
x12+ x21โค1, x13+ x31โค1,x14+ x41โค1,
x13+ x32 + x21 โค2, x13+ x34 + x41 โค2, x14+ x42 + x21 โค2, x14+ x43 + x31 โค2
1->2->1, 1->4->1, 1->3->1, 1->2->3->1, 1->2->4->1,
1->3->2->1, 1->3->4->1, 1->4->3->1
์ ๊ฒฝ์ฐ๋ฅผ ํผํ๋ ค๋ฉด ๋ค์์ ์กฐ๊ฑด์ ๋ง์กฑํด์ผ ํ๋ค.
x12+ x23 + x31 โค2, x12+ x24 + x41 โค2
17/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ธํ์๋ฌธ์ ์ํ์ ์ต์ ํ ๋ชจ๋ธ ์ ์ํ
์ธํ์ ๋ฌธ์
1 2
34
8
13
15
12
24
18
์ธํ์ ๋ฌธ์ (TSP : Traveling Salesman Problem)
์ธํ์ ๋ฌธ์ ๋ ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๋ ธ๋(๊ณ ๊ฐ)
๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ง์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋์ธํ์ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ ์ด๋ค.
1: : ( , 1,2,3,4)
0 : ij
i jx i j
i j
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ๋ฉด
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ์ง ์์ผ๋ฉด,
์ถ๋ฐ
1) ์ค๊ณ๋ณ์
3442413432312432,21141312 ,,,,,,,,,, xxxxxxxxxxxx
2) ์ ์ฝ์กฐ๊ฑด์ ์ ์ํ
โข ์ธํ์์ ๋ชจ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๋ฐฉ๋ฌธํ์ฌ ์ฒ์ ์ถ๋ฐ์ง๋ก ๋์์์ผ ํ๋ค.
2)์ฒ์ ์ถ๋ฐ์ง๊ฐ ์๋ ๊ณณ์ผ๋ก ๋์๊ฐ๋ ๊ฒฝ์ฐ๋,
1->2->3->2, 1->2->4->2, 1->3->4->3, 1->4->2->3->2, 1->3->2->4->2,
1->2->3->4->3
์ ๊ฒฝ์ฐ๋ฅผ ํผํ๋ ค๋ฉด ๋ค์์ ์กฐ๊ฑด์ ๋ง์กฑํด์ผ ํ๋ค.
x23+ x32โค1, x24+ x42โค1, x34+ x43โค1- Ch.8 Combinatorial Optimization
18/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์๋ฌธ์ ์ํ์ ์ต์ ํ ๋ชจ๋ธ ์ ์ํ
์ธํ์์ ๊ฐ ๋ ธ๋์์ ์ถ๋ฐํ์ฌ ๋จ ํ ๋ ธ๋์๋ง ๊ฐ ์ ์๋ค.
2) ์ ์ฝ์กฐ๊ฑด
x12+ x13+ x14=1 x21+ x23+ x24=1x31+ x32+ x34=1 x41+ x42+ x43=1
x21+ x31+ x41=1 x12+ x32+ x42=1x13+ x23+ x43=1 x14+ x24+ x34=1
x12+ x21โค1 x13+ x31โค1
x14+ x41โค1
x23+ x32โค1 x24+ x42โค1
x34+ x43โค1
x12+ x23 + x31 โค2 x12+ x24 + x41 โค2
x13+ x32 + x21 โค2 x13+ x34 + x41 โค2
x14+ x42 + x21 โค2 x14+ x43 + x31 โค2
์ธํ์์ ๋์ฐฉํ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๊ธฐ์ค์ผ๋ก ๋ณผ ๋ ๋จ ํ ๋ ธ๋์์๋ถํฐ ์ถ๋ฐํ์ฌ ์จ๋ค.
์ธํ์์ ๋ชจ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๋ฐฉ๋ฌธํ์ฌ ์ฒ์ ์ถ๋ฐ์ง๋ก ๋์์์ผ ํ๋ค.
N
i
ijx1
1
N
j
ijx1
1
i๋ ธ๋์์ ๋จ ํ๋ฒ๋ง ์ถ๋ฐ j๋ ธ๋์ ๋จ ํ๋ฒ๋ง ๋์ฐฉ
์ธํ์ ๋ฌธ์ *
1 2
34
8
13
15
12
24
18
*์ธํ์ ๋ฌธ์ (TSP : Traveling Salesman Problem)
์ธํ์ ๋ฌธ์ ๋ ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๋ ธ๋(๊ณ ๊ฐ)๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ง์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋ ์ธํ์ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ ์ด๋ค.
1: : ( , 1,2,3,4)
0 : ij
i jx i j
i j
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ๋ฉด
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ์ง ์์ผ๋ฉด,
์ถ๋ฐ 1) ์ค๊ณ๋ณ์
3442413432312432,21141312 ,,,,,,,,,, xxxxxxxxxxxx
๋ฐ๋ผ์ ๋ฏธ์ง์ 12๊ฐ, ์ 8๊ฐ์ ๋น์ ํ ๋ถ์ ๋ฐฉ์ ์ ์ด๋ค. ๋ฏธ์ง์ 4๊ฐ๋ฅผ ๊ฐ์ ํ๋ฉด ํด๋ฅผ ๊ตฌํ ์ ์๋ค.
๋ฌด์ํ ๋ง์ ํด๊ฐ ์กฒ์ฌํ๋ฏ๋ก, ํด๋ฅผ ์ ์ ํ๋ ๊ธฐ์ค์ด ํ์ํ๋ค.
๋ชฉ์ ํจ์๋ฅผ ์ต์ํ(ex.์ด๋์๊ฐ ์ต์ํ)ํ๋ ๋ฌธ์ ๋ก ํ ์ ์๋ค.
- Ch.8 Combinatorial Optimization19/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ธํ์๋ฌธ์ ์ํ์ ์ต์ ํ ๋ชจ๋ธ ์ ์ํ
3) ๋ชฉ์ ํจ์ ๊ตฌ์ฑ
์ธํ์ ๋ฌธ์ *
1 2
34
8
13
15
12
24
18
*์ธํ์ ๋ฌธ์ (TSP : Traveling Salesman Problem)
์ธํ์ ๋ฌธ์ ๋ ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๋ ธ๋(๊ณ ๊ฐ)๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ง์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋ ์ธํ์ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ ์ด๋ค.
1: : ( , 1,2,3,4)
0 : ij
i jx i j
i j
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ๋ฉด
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ์ง ์์ผ๋ฉด,
์ถ๋ฐ 1) ์ค๊ณ๋ณ์
3442413432312432,21141312 ,,,,,,,,,, xxxxxxxxxxxx
๋ชฉ์ ํจ์๋ก ์๊ฐํด ๋ณผ ์ ์๋ ๊ฒ์ ์ธํ์์ด ์ด๋ํ๋๋ฐ ๊ฑธ๋ฆฌ๋ ์๋์ง์ ์ต์ํ, ์ด๋๊ฑฐ๋ฆฌ์ ์ต์ํ, ์ด๋์๊ฐ์ ์ต์ํ, ์ด์ต์ ์ต๋ํ ๋ฑ์ด ์์ ์ ์๋ค.
์ฌ๊ธฐ์๋ ์ธํ์์ ์ด ์ด๋๊ฑฐ๋ฆฌ์ ์ต์ํ๋ฅผ ๋ชฉ์ ํจ์๋ก ๋๋ฉด,
344241
343231
243221
141312
1224812181524181381513
xxxxxxxxx
xxxF
๋ฏธ์ง์ 12๊ฐ, ์ 8๊ฐ์ ๋น์ ํ ๋ถ์ ๋ฐฉ์ ์ ์ด๋ค.
๋ชฉ์ ํจ์๋ฅผ ์ต์ํํ๋ ๋ฌธ์ ๋ก ํ ์ ์๋ค.
- Ch.8 Combinatorial Optimization
20/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์๋ฌธ์ ์ํ์ ์ต์ ํ ๋ชจ๋ธ ์ ์ํ(์์ฝ)
344241
343231
243221
141312
1224812181524181381513
xxxxxxxxx
xxxF
Minimize
์ธํ์์ ๊ฐ ๋ ธ๋์์ ์ถ๋ฐํ์ฌ ๋จ ํ ๋ ธ๋์๋ง ๊ฐ ์ ์๋ค.
์ธํ์์ ์ด ์ด๋๊ฑฐ๋ฆฌ ์ต์ํ3)๋ชฉ์ ํจ์
2)์ ์ฝ์กฐ๊ฑด
x12+ x13+ x14=1 x21+ x23+ x24=1x31+ x32+ x34=1 x41+ x42+ x43=1
x21+ x31+ x41=1 x12+ x32+ x42=1x13+ x23+ x43=1 x14+ x24+ x34=1
x12+ x21โค1 x13+ x31โค1
x14+ x41โค1
x23+ x32โค1 x24+ x42โค1
x34+ x43โค1
x12+ x23 + x31 โค2 x12+ x24 + x41 โค2
x13+ x32 + x21 โค2 x13+ x34 + x41 โค2
x14+ x42 + x21 โค2 x14+ x43 + x31 โค2
์ธํ์์ ๋์ฐฉํ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๊ธฐ์ค์ผ๋ก ๋ณผ ๋ ๋จ ํ ๋ ธ๋์์๋ถํฐ ์ถ๋ฐํ์ฌ ์จ๋ค.
์ธํ์์ ๋ชจ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๋ฐฉ๋ฌธํ์ฌ ์ฒ์ ์ถ๋ฐ์ง๋ก ๋์์์ผ ํ๋ค.
N
i
ijx1
1
N
j
ijx1
1
i๋ ธ๋์์ ๋จ ํ๋ฒ๋ง ์ถ๋ฐ j๋ ธ๋์ ๋จ ํ๋ฒ๋ง ๋์ฐฉ
์ธํ์ ๋ฌธ์ *
1 2
34
8
13
15
12
24
18
*์ธํ์ ๋ฌธ์ (TSP : Traveling Salesman Problem)
์ธํ์ ๋ฌธ์ ๋ ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๋ ธ๋(๊ณ ๊ฐ)๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ง์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋ ์ธํ์ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ ์ด๋ค.
1: : ( , 1,2,3,4)
0 : ij
i jx i j
i j
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ๋ฉด
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ์ง ์์ผ๋ฉด,
์ถ๋ฐ 1) ์ค๊ณ๋ณ์
3442413432312432,21141312 ,,,,,,,,,, xxxxxxxxxxxx
21/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
Naval A
rch
itectu
re &
Ocean
En
gin
eerin
g
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
8. Combinatorial Optimization(์กฐํฉ ์ต์ ํ) 8.2 Cut Algorithm(์ ๋จ ํ๋ฉด๋ฒ)
- Ch.8 Combinatorial Optimization
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์กฐํฉ์ต์ ํ ๋ฌธ์ ์ ํด๋ฒโ ์) ์ ๋จ ํ๋ฉด๋ฒ
1 1 2
2 1
3 2
( ) 3 2 9
( ) 2
( ) 2
0,j
g x x
g x
g x
x j
x
x
x
Minimize
Subject to
1 2( )f x x x
1x
2x
1 2( )f x x x
*x
1 1 2( ) 3 2 9g x x x
: ์ ์ ๊ฐ๋ฅํด
: ์ต์ ํด*x
์ ๋ฌธ์ ์ ์ต์ ํด๋ ์ ์๊ฐ ์๋๋ค.
x* = (5/3 , 2)
์ต์ ํด(x*)์ ๋ชจ๋ ์ ์ ๊ฐ๋ฅํด ์ฌ์ด๋ฅผ ์ง๋๋์๋ก์ด ์ ์ฝ์กฐ๊ฑด์ ๊ตฌํ ์ ์๋ค๋ฉด?
์๋ก์ด ์ ์ฝ ์กฐ๊ฑด
3 2( ) 2g x x
2 1( ) 2g x x
1. ์ ํ ๊ณํ ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํ์ด ์ต์ ํด๋ฅผ ๊ตฌํ๋ค.
2. ๊ตฌํ ์ต์ ํด๊ฐ ์ ์๊ฐ ์๋๋ฉด ์ ๋จ ํ๋ฉด์์ถ๊ฐํ์ฌ ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํผ๋ค.
3. ์ ์ํด๊ฐ ๋์ฌ ๋๊น์ง ๊ณผ์ 1, 2๋ฅผ ๋ฐ๋ณตํ๋ค.
์๋ก์ด ์ ์ฝ์กฐ๊ฑด์ ์ ๋จ ํ๋ฉด์ด๋ผ๊ณ ํ๋ค.
์ ๋จ ํ๋ฉด๋ฒ
โ๋ฐ์๋ฌ, ๊ฒฝ์๊ณผํ, 4์ ํ, ๋ฏผ์์ฌ, 2003.โ
โStanley Zionts, Linear and integer programming, Prentice-Hall, 1974, p.342 ~ p.387โ
23/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์กฐํฉ์ต์ ํ ๋ฌธ์ ์ ํด๋ฒโ ์) ์ ๋จ ํ๋ฉด๋ฒ
1 1 2
2 1
3 2
( ) 3 2 9
( ) 2
( ) 2
0,j
g x x
g x
g x
x j
x
x
x
Minimize
Subject to
1 2( )f x x x
1x
2x
1 2( )f x x x
*x
1 1 2( ) 3 2 9g x x x
: ์ ์ ๊ฐ๋ฅํด
: ์ต์ ํด*x
์๋ก์ด ์ ์ฝ ์กฐ๊ฑด
3 2( ) 2g x x
2 1( ) 2g x x
1. ์ ํ ๊ณํ ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํผ๋ค.
2. ์ ์ํด๊ฐ ์๋๋ฉด ์ ๋จ ํ๋ฉด(์ ์ฝ์กฐ๊ฑด)์ ์ถ๊ฐ ํ๋ค.
1 2 3
1 4
2 5
3 2 9
2
2
0,j
x x x
x x
x x
x j
๋ถ๋ฑํธ ์ ์ฝ ์กฐ๊ฑด์๋ฑํธ ์ ์ฝ ์กฐ๊ฑด์ผ๋ก
๋ณํ
Minimize
Subject to
1 2( )f x x xx1 x2 x3 x4 x5 bi bi/ai
x3 3 2 1 0 0 9 3
x4 1 0 0 1 0 2 2
x5 0 1 0 0 1 2
Obj. -1 -1 0 0 0 f+0 -
- Ch.8 Combinatorial Optimization
24/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์กฐํฉ์ต์ ํ ๋ฌธ์ ์ ํด๋ฒโ ์) ์ ๋จ ํ๋ฉด๋ฒ
1 1 2
2 1
3 2
( ) 3 2 9
( ) 2
( ) 2
0,j
g x x
g x
g x
x j
x
x
x
Minimize
Subject to
1 2( )f x x x
1x
2x
1 2( )f x x x
*x
1 1 2( ) 3 2 9g x x x
: ์ ์ ๊ฐ๋ฅํด
: ์ต์ ํด*x
์๋ก์ด ์ ์ฝ ์กฐ๊ฑด
3 2( ) 2g x x
2 1( ) 2g x x
1. ์ ํ ๊ณํ ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํผ๋ค.
2. ์ ์ํด๊ฐ ์๋๋ฉด ์ ๋จ ํ๋ฉด(์ ์ฝ์กฐ๊ฑด)์ ์ถ๊ฐ ํ๋ค.
x1 x2 x3 x4 x5 bi bi/ai
x3 3 2 1 0 0 9 3
x4 1 0 0 1 0 2 2
x5 0 1 0 0 1 2
Obj. -1 -1 0 0 0 f+0 -
x1 x2 x3 x4 x5 bi bi/ai
x3 0 2 1 -3 0 3 3/2
x1 1 0 0 1 0 2
x5 0 1 0 0 1 2 2
Obj. 0 -1 0 0 1 f+2 -
x1 x2 x3 x4 x5 bi bi/ai
x2 0 1 1/2 -3/2 0 3/2
x1 1 0 0 1 0 2 2
x5 0 0 -1/2 3/2 1 1/2 1/3
Obj. 0 0 1/2 -1/2 0 f+7/2 -
x1 x2 x3 x4 x5 bi bi/ai
x2 0 1 0 0 1 2
x1 1 0 1/3 0 -2/3 5/3
x4 0 0 -1/3 1 2/3 1/3
Obj. 0 0 1/3 0 1/3 f+11/3 -
1 2
5, 2
3x x
์ ํ ์ด๋ธ๋ก๋ถํฐ ์ต์ ์ ์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ๋ค.
์ ์ํด๊ฐ ์๋๋ฏ๋ก์ ๋จ ํ๋ฉด์ ์ถ๊ฐํด์ผ ํจ
- Ch.8 Combinatorial Optimization25/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์กฐํฉ์ต์ ํ ๋ฌธ์ ์ ํด๋ฒโ ์) ์ ๋จ ํ๋ฉด๋ฒ
1 1 2
2 1
3 2
( ) 3 2 9
( ) 2
( ) 2
0,j
g x x
g x
g x
x j
x
x
x
Minimize
Subject to
1 2( )f x x x
1x
2x
1 2( )f x x x
*x
1 1 2( ) 3 2 9g x x x
: ์ ์ ๊ฐ๋ฅํด
: ์ต์ ํด*x
์๋ก์ด ์ ์ฝ ์กฐ๊ฑด
3 2( ) 2g x x
2 1( ) 2g x xx1 x2 x3 x4 x5 bi bi/ai
x2 0 1 0 0 1 2
x1 1 0 1/3 0 -2/3 5/3
x4 0 0 -1/3 1 2/3 1/3
Obj. 0 0 1/3 0 1/3 f+11/3 -
1. ์์ Simplex ํ ์ด๋ธ์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ๋ํ๋ผ ์ ์๋ค.
1 2 5
2 1 3 5
3 3 4 5
3 5
( ) : 2
1 2 5( ) :
3 3 3
1 2 1( ) :
3 3 3
1 1 11( ) :
3 3 3
g x x
g x x x
g x x x
f x x f
x
x
x
x
, , ,i j i j i jf a a i i if b b ,
1
0n
i i j j
j m
f f x
2. ์ g2๋ฅผ ์ด์ฉํ์ฌ ์ ๋จ ํ๋ฉด์ ๋ง๋ ๋ค.(์์ธ ๋ฐฉ๋ฒ์ ์ฐธ๊ณ ์๋ฃ: ์ ๋จ ํ๋ฉด์ ๊ณ์ฐํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ ์ฐธ๊ณ )
1 1 0
1 1 1, 1 1 1, 1
2 2 2, 1 1 2, 2
2, 1 1 2,
( ) :
( ) :
( ) :
( ) :
m m n n
m m n n
m m n n
m m m m n n m
f z c x c x z
g x a x a x b
g x a x a x b
g x a x a x b
x
x
x
x
1 3 5
5 5 1 1 2 21 1 0
3 3 3 3 3 3x x x
1 3 5
2 1 10 0
3 3 3x x x
1
3 5
1 1 2
3 3 3x x
1 2 3
1 4
2 5
3 2 9
2
2
0,j
x x x
x x
x x
x j
3. ๋ณธ ๋ฌธ์ ์ ์๋ ์ ์ฝ์กฐ๊ฑด(โ , โก)์ผ๋ก๋ถํฐ
โก
โ
3 1 2
5 2
9 3 2
2
x x x
x x
์ ๋จ ํ๋ฉด
โกโ
โ โ
โ โ, โกโ์ ์ ๋จ ํ๋ฉด์์ ๋์ ํ ์ ๋ฆฌํ๋ฉด
1 2 3x x ์ ๋จ ํ๋ฉด
4. ๋ณธ ๋ฌธ์ ์ ์ ๋จ ํ๋ฉด์ ์ถ๊ฐํ์ฌ ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํผ๋ค.
1. ์ ํ ๊ณํ ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํผ๋ค.
2. ์ ์ํด๊ฐ ์๋๋ฉด ์ ๋จ ํ๋ฉด(์ ์ฝ์กฐ๊ฑด)์ ์ถ๊ฐ ํ๋ค.
- Ch.8 Combinatorial Optimization26/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์กฐํฉ์ต์ ํ ๋ฌธ์ ์ ํด๋ฒโ ์) ์ ๋จ ํ๋ฉด๋ฒ
1 1 2
2 1
3 2
( ) 3 2 9
( ) 2
( ) 2
0,j
g x x
g x
g x
x j
x
x
x
Minimize
Subject to
1 2( )f x x x
1x
2x
1 2( )f x x x
*x
1 1 2( ) 3 2 9g x x x
: ์ ์ ๊ฐ๋ฅํด
: ์ต์ ํด*x
์๋ก์ด ์ ์ฝ ์กฐ๊ฑด
3 2( ) 2g x x
2 1( ) 2g x x
1 2 3
1 4
2 5
1 2 6
3 2 9
2
2
3
0,j
x x x
x x
x x
x x x
x j
๋ถ๋ฑํธ ์ ์ฝ ์กฐ๊ฑด์๋ฑํธ ์ ์ฝ ์กฐ๊ฑด์ผ๋ก
๋ณํ
Minimize
Subject to
1 2( )f x x xx1 x2 x3 x4 x5 x6 bi bi/ai
x3 3 2 1 0 0 0 9 3
x4 1 0 0 1 0 0 2 2
x5 0 1 0 0 1 0 2 -
x6 1 1 0 0 0 1 3 3
Obj. -1 -1 0 0 0 f+0 f+0 -
4 1 2( ) 3g x x x ์ถ๊ฐํ ์ ๋จ ํ๋ฉด
1. ์ ํ ๊ณํ ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํผ๋ค.
2. ์ ์ํด๊ฐ ์๋๋ฉด ์ ๋จ ํ๋ฉด(์ ์ฝ์กฐ๊ฑด)์ ์ถ๊ฐ ํ๋ค.
- Ch.8 Combinatorial Optimization27/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์กฐํฉ์ต์ ํ ๋ฌธ์ ์ ํด๋ฒโ ์) ์ ๋จ ํ๋ฉด๋ฒ
1 1 2
2 1
3 2
( ) 3 2 9
( ) 2
( ) 2
0,j
g x x
g x
g x
x j
x
x
x
Minimize
Subject to
1 2( )f x x x
1x
2x
1 2( )f x x x
*x
1 1 2( ) 3 2 9g x x x
: ์ ์ ๊ฐ๋ฅํด
: ์ต์ ํด*x
์๋ก์ด ์ ์ฝ ์กฐ๊ฑด
3 2( ) 2g x x
2 1( ) 2g x x
1 22, 1x x
์ต์ ์ ์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ๋ค.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 bi bi/ai
x3 3 2 1 0 0 0 9 3
x4 1 0 0 1 0 0 2 2
x5 0 1 0 0 1 0 2 -
x6 1 1 0 0 0 1 3 3
Obj. -1 -1 0 0 0 0 f+0 - 4 1 2( ) 3g x x x
x1 x2 x3 x4 x5 x6 bi bi/ai
x3 0 2 1 -3 0 0 3 3/2
x1 1 0 0 1 0 0 2
x5 0 1 0 0 1 0 2 2
x6 0 1 0 -1 0 1 1 1
Obj. 0 -1 0 1 0 0 f+2 -
x1 x2 x3 x4 x5 x6 bi bi/ai
x3 0 0 1 -1 0 -2 1
x1 1 0 0 1 0 0 2
x5 0 0 0 1 1 -1 1
x2 0 1 0 -1 0 1 1
Obj. 0 0 0 0 0 1 f+3 -
์ ์ํด ์ด๋ฏ๋ก ๋ฌธ์ ํ์ด๋ฅผ ์ข ๋ฃ ํ๋ค.
1. ์ ํ ๊ณํ ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํผ๋ค.
2. ์ ์ํด๊ฐ ์๋๋ฉด ์ ๋จ ํ๋ฉด(์ ์ฝ์กฐ๊ฑด)์ ์ถ๊ฐ ํ๋ค.
- Ch.8 Combinatorial Optimization28/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ ๋จ ํ๋ฉด์ ๊ณ์ฐํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ
์ ํ ๊ณํ๋ฒ์ผ๋ก ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํผ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ๋ค๋ฉด,
1 1 0
1 1 1, 1 1 1, 1
2 2 2, 1 1 2, 2
2, 1 1 2,
( ) :
( ) :
( ) :
( ) :
m m n n
m m n n
m m n n
m m m m n n m
f z c x c x z
g x a x a x b
g x a x a x b
g x a x a x b
x
x
x
x
1 ~ mx x๊ธฐ์ ๋ณ์:
๋น๊ธฐ์ ๋ณ์:1 ~m nx x
๋น๊ธฐ์ ๋ณ์๋ ๋ชจ๋ 0์ด๋ฏ๋ก,
๊ธฐ์ ๋ณ์ ๋น๊ธฐ์ ๋ณ์ (=0)
1 1 2 2, , n nx b x b x b
๋ฐ๋ผ์ 1 2, , mb b b ์ด ์ ์์ด๋ฉด 1 ~ nx x ์ด ์ ์์ด๋ฉฐ,
์ด ๋ฌธ์ ๋ ์ ์ํด๋ฅผ ๊ฐ์ง๋ค.
โ๋ฐ์๋ฌ, ๊ฒฝ์๊ณผํ, 4์ ํ, ๋ฏผ์์ฌ, 2003.โ
- Ch.8 Combinatorial Optimization
29/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ ๋จ ํ๋ฉด์ ๊ณ์ฐํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ
์ ํ ๊ณํ๋ฒ์ผ๋ก ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํผ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ๋ค๋ฉด,
1 1 0
1 1 1, 1 1 1, 1
2 2 2, 1 1 2, 2
2, 1 1 2,
( ) :
( ) :
( ) :
( ) :
m m n n
m m n n
m m n n
m m m m n n m
f z c x c x z
g x a x a x b
g x a x a x b
g x a x a x b
x
x
x
x
๊ธฐ์ ๋ณ์ ๋น๊ธฐ์ ๋ณ์ (=0)
1 2, , mb b b ๊ฐ ์ ์๊ฐ ์๋๋ฉด, ์ด ๋ฌธ์ ๋ ์ ์ํด๋ฅผ
๊ฐ์ง์ง ์์ผ๋ฏ๋ก ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ์ ๋จ ํ๋ฉด์ ๊ณ์ฐํ๋ค.
์ข๋ณ(bi)์ด ์ ์๊ฐ ์๋ ์์ ์ ํํ์ฌ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด๋ณํํ๋ค.
,
1
n
i i j j i
j m
x a x b
, , ,
1
n
i i j i j i j j i i i
j m
x a a a x b b b
, ,i j i ja a ์ฌ๊ธฐ์, ๋ ๋ณด๋ค ์์ ๊ฐ์ฅ ํฐ ์ ์๋ฅผ ๋ปํ๋ค.
, , ,
1
n
i i j i j i j j i i i
j m
x a a a x b b b
, , ,i j i j i jf a a i i if b b ๋ก ์นํํ๋ฉด
, ,
1
n
i i j i j j i i
j m
x a f x b f
, ,
1 1
n n
i i j j i j j i i
j m j m
x a x f x b f
, ,
1 1
n n
i i j j i i i j j
j m j m
x a x b f f x
,
1
1n
i i j j i
j m
f f x f
โ
- Ch.8 Combinatorial Optimization30/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ ๋จ ํ๋ฉด์ ๊ณ์ฐํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ
์ ํ ๊ณํ๋ฒ์ผ๋ก ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํผ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ๋ค๋ฉด,
1 1 0
1 1 1, 1 1 1, 1
2 2 2, 1 1 2, 2
2, 1 1 2,
( ) :
( ) :
( ) :
( ) :
m m n n
m m n n
m m n n
m m m m n n m
f z c x c x z
g x a x a x b
g x a x a x b
g x a x a x b
x
x
x
x
๊ธฐ์ ๋ณ์ ๋น๊ธฐ์ ๋ณ์ (=0)
1 2, , mb b b ๊ฐ ์ ์๊ฐ ์๋๋ฉด, ์ด ๋ฌธ์ ๋ ์ ์ํด๋ฅผ
๊ฐ์ง์ง ์์ผ๋ฏ๋ก ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ์ ๋จ ํ๋ฉด์ ๊ณ์ฐํ๋ค.
์ข๋ณ(bi)์ด ์ ์๊ฐ ์๋ ์์ ์ ํํ์ฌ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด๋ณํํ๋ค.
,
1
n
i i j j i
j m
x a x b
, , ,
1
n
i i j i j i j j i i i
j m
x a a a x b b b
, ,i j i ja a ์ฌ๊ธฐ์, ๋ ๋ณด๋ค ์์ ๊ฐ์ฅ ํฐ ์ ์๋ฅผ ๋ปํ๋ค.
, , ,i j i j i jf a a i i if b b ๋ก ์นํํ๋ฉด
, ,
1 1
n n
i i j j i i i j j
j m j m
x a x b f f x
,
1
1n
i i j j i
j m
f f x f
์ โ ์ xi, xj์ ์ ์๋ฅผ ๋์ ํ๋ฉด ์ข๋ณ์ ์ ์์ด๋ฏ๋ก
,
1
0n
i i j j
j m
f f x
โ
์ โก์ xi, xj์ (์ ์ํด๊ฐ ์๋)์ต์ ํด๋ฅผ ๋์ ํ๋ฉด
โก
,
1
0n
i i j j i
j m
f f x f
Xj=0์ด๋ฏ๋ก ์ 2๋ฅผ ๋ง์กฑํ์ง ๋ชปํ๋ค.
๋ฐ๋ผ์ ์ โก๋ ์ ์ํด๋ ๋ง์กฑํ๊ณ , ์ ์ํด๊ฐ ์๋์ต์ ํด๋ ๋ง์กฑํ์ง ์๋ ์ ๋จ ํ๋ฉด์ด ๋๋ค.
- Ch.8 Combinatorial Optimization31/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
Naval A
rch
itectu
re &
Ocean
En
gin
eerin
g
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
8. Combinatorial Optimization(์กฐํฉ ์ต์ ํ) 8.3 Enumeration Algorithm (์ด๊ฑฐ๋ฒ)
- Ch.8 Combinatorial Optimization
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์๋ฌธ์ ์ํ์ ์ต์ ํ ๋ชจ๋ธ ์ ์ํ(์์ฝ)
344241
343231
243221
141312
1224812181524181381513
xxxxxxxxx
xxxF
Minimize
์ธํ์์ ๊ฐ ๋ ธ๋์์ ์ถ๋ฐํ์ฌ ๋จ ํ ๋ ธ๋์๋ง ๊ฐ ์ ์๋ค.
์ธํ์์ ์ด ์ด๋๊ฑฐ๋ฆฌ ์ต์ํ3)๋ชฉ์ ํจ์
2)์ ์ฝ์กฐ๊ฑด
x12+ x13+ x14=1 x21+ x23+ x24=1x31+ x32+ x34=1 x41+ x42+ x43=1
x21+ x31+ x41=1 x12+ x32+ x42=1x13+ x23+ x43=1 x14+ x24+ x34=1
x12+ x21โค1 x13+ x31โค1
x14+ x41โค1
x23+ x32โค1 x24+ x42โค1
x34+ x43โค1
x12+ x23 + x31 โค2 x12+ x24 + x41 โค2
x13+ x32 + x21 โค2 x13+ x34 + x41 โค2
x14+ x42 + x21 โค2 x14+ x43 + x31 โค2
์ธํ์์ ๋์ฐฉํ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๊ธฐ์ค์ผ๋ก ๋ณผ ๋ ๋จ ํ ๋ ธ๋์์๋ถํฐ ์ถ๋ฐํ์ฌ ์จ๋ค.
์ธํ์์ ๋ชจ๋ ๋ ธ๋๋ฅผ ๋ฐฉ๋ฌธํ์ฌ ์ฒ์ ์ถ๋ฐ์ง๋ก ๋์์์ผ ํ๋ค.
N
i
ijx1
1
N
j
ijx1
1
i๋ ธ๋์์ ๋จ ํ๋ฒ๋ง ์ถ๋ฐ j๋ ธ๋์ ๋จ ํ๋ฒ๋ง ๋์ฐฉ
์ธํ์ ๋ฌธ์ *
1 2
34
8
13
15
12
24
18
*์ธํ์ ๋ฌธ์ (TSP : Traveling Salesman Problem)
์ธํ์ ๋ฌธ์ ๋ ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๋ ธ๋(๊ณ ๊ฐ)๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ง์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋ ์ธํ์ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ ์ด๋ค.
1: : ( , 1,2,3,4)
0 : ij
i jx i j
i j
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ๋ฉด
๋ ธ๋ ์์๋ ธ๋ ๋ก์ด๋ํ์ง ์์ผ๋ฉด,
์ถ๋ฐ 1) ์ค๊ณ๋ณ์
3442413432312432,21141312 ,,,,,,,,,, xxxxxxxxxxxx
33/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)
1 2 3 4
1 โ 13 15 8
2 13 โ 18 24
3 15 18 โ 12
4 8 24 12 โ
๊ฐ ๋ ธ๋ ์ฌ์ด์ ๊ฑฐ๋ฆฌ
1. ์ต์ํด๋ฅผ ๊ฐ์ง ๊ฐ๋ฅ์ฑ์ด ๋์ ๋ ธ๋๋ถํฐ ๋ถ๋จ(branch)2. ๋ถ๋จ๋ ๋ ธ๋์์ ํ์(bound)์ผ๋ก ํด ์์ฑ3. ๋ ์ด์ ๋ถ๋จํ ๋ ธ๋๊ฐ ์๊ฑฐ๋, ํ ์ต์ํด ๋ณด๋ค ํ์๋ ํด๊ฐ ํฌ๋ฉด ์ด์ ๋ ธ๋๋ก ์ด๋ํ์ฌ ๋ถ๋จ ๋ฐ ํ์ ์์ ๋ฐ๋ณต
1 2
34
8
13
15
12
24
18
8
8
13
13
15
15
1
12
20
24
32
4
18
38
3
1
13
51
2
18
50
1
15
65
3
2
18
31
12
43
3
1
8
51
4
24
37
2
12
49
1
15
64
3
4
12
27
18
33
3
2
24
51 4
24
57
4 2
1 4 3 12
1 2 3 14
๋ฐฉ๋ฌธ ์์
๋ถ๋จ ํ์๋ฒ : ์ด๊ฑฐ๋ฒ์ ์ผ์ข ์ผ๋ก์ ๋ฐ์ ๊ฐ๋ฅํ ์ ๋์์ ํ๊ฐํ๋ ์ ์ฒด๋ฅผ ์กฐ์ฌํ์ง ์๊ณ ๋ถ๋ถ์ ์กฐ์ฌํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ.์ด๋ ๋ ธ๋์์ ๋ถํ ์ด ๋์ด์ผ ํ๊ณ ์ด๋ ์ ์ ๋ถํ ํ ํ์๊ฐ ์๋์ง๋ฅผ ๊ฒฐ์ ํ๋ ๊ธฐ์ค์ด ํ์.
8+12+18+13=51
13+18+12+8=51๋ถ๋จ ํ์ ์์
344241
343231
243221
141312
1224812181524181381513
xxxxxxxxx
xxxF
Minimize
โ๋ฐ์๋ฌ, ๊ฒฝ์๊ณผํ, 4์ ํ, ๋ฏผ์์ฌ, 2003, p155 ~ p.162โ
โ๊ฐ๋งน๊ท, ๋คํธ์ํฌ์ ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ, ๋ฐ์์ฌ, 2001โ
โLaurence A. Wolsey, Integer programming, A Wiley-Interscience Publication, 1998, p91 ~ p.95โ
- Ch.8 Combinatorial Optimization34/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Little, Murty, Sweeney์ Karel ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
1 2 3 4 5
1 โ 25 40 31 27
2 5 โ 17 30 25
3 19 15 โ 6 1
4 9 50 24 โ 6
5 22 8 7 10 โ
1
5 2
4 3
25
5
171515
22
27
6
24
106
8
2531
9 4019
50
301
7
๊ฐ ํ์ ์ต์ ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ก
ํด๋น ํ์ ๊ฑฐ๋ฆฌ ์ฐจ๊ฐ
25
5
1
6
7
1 2 3 4 5
1 โ 0 15 6 2
2 0 โ 12 25 20
3 18 14 โ 5 0
4 3 44 18 โ 0
5 15 1 0 3 โ
๊ฐ ์ด์ ์ต์ ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ก
ํด๋น ์ด์ ๊ฑฐ๋ฆฌ ์ฐจ๊ฐ
30 0 0 025 + 5 + 1 + 6 + 7 + 3 = 47
ํํ(lower bound) : 47
1 2 3 4 5
1 โ 0 15 3 2
2 0 โ 12 22 20
3 18 14 โ 2 0
4 3 44 18 โ 0
5 15 1 0 0 โ
Dij : i๋ฒ์งธ ํ์ ์ต์ ๊ฑฐ๋ฆฌ์ j๋ฒ์งธ ์ด์ ์ต์ ๊ฑฐ๋ฆฌ์ ํฉ
D12 = 2 + 1 = 1
D35 = 2 + 0 = 2
๋ถ๋จ์ ์ํ edge ์ ์
D21 = 12 + 3 = 15
D45 = 3 + 0 = 3
D53 = 0 + 12 = 12
D54 = 0 + 2 = 2
๋ชจ๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
ํํ = 47
ํํ = 6247 + 15 = 62
- Ch.8 Combinatorial Optimization35/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Little, Murty, Sweeney์ Karel ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
๋ชจ๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
ํํ = 47
1 2 3 4 5
1 โ 0 15 3 2
2 0 โ 12 22 20
3 18 14 โ 2 0
4 3 44 18 โ 0
5 15 1 0 0 โ
๋ถ๋จ์ ์ํ edge ์ ์
1 2 3 4 5
1 โ 0 15 3 2
2 โ โ 12 22 20
3 18 14 โ 2 0
4 3 44 18 โ 0
5 15 1 0 0 โ
edge(21)๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์ง ์๋
ํด์ ํํ ๊ตฌํ๊ธฐ
ํ๊ณผ ์ด ์ ๋ฆฌ
(๊ฑฐ๋ฆฌ ์ฐจ๊ฐ)
12
3
1 2 3 4 5
1 โ 0 15 3 2
2 โ โ 0 10 8
3 15 14 โ 2 0
4 0 44 18 โ 0
5 12 1 0 0 โ
edge(21)๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์ง ์๋
ํด์ ํํ ๊ตฌํ๊ธฐ
ํ๊ณผ ์ด ์ ๋ฆฌ
(๊ฑฐ๋ฆฌ ์ฐจ๊ฐ)
47+12+3=62
ํํ = 62
C21= โ ๋ก ์์
ํํ = 62
- Ch.8 Combinatorial Optimization36/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Little, Murty, Sweeney์ Karel ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
๋ชจ๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
ํํ = 47
ํํ = 62
1 2 3 4 5
1 โ 0 15 3 2
2 0 โ 12 22 20
3 18 14 โ 2 0
4 3 44 18 โ 0
5 15 1 0 0 โ
๋ถ๋จ์ ์ํ edge ์ ์
1 2 3 4 5
1 โ โ 15 3 2
2 0 โ 12 22 20
3 18 14 โ 2 0
4 3 44 18 โ 0
5 15 1 0 0 โ
edge(21)๋ฅผ ์ฌ์ฉํ๋ ํด์
ํํ ๊ตฌํ๊ธฐ
2ํ๊ณผ 1์ด ์ญ์
2 3 4 5
1 โ 15 3 2
3 14 โ 2 0
4 44 18 โ 0
5 1 0 0 โ
ํ๊ณผ ์ด ์ ๋ฆฌ (๊ฑฐ๋ฆฌ ์ฐจ๊ฐ)C12= โ ๋ก ์์ (12๋ ๊ฒฝ๋ก์
ํฌํจ๋ ์ ์์ผ๋ฏ๋ก)
2
1
2 3 4 5
1 โ 13 1 0
3 13 โ 2 0
4 43 18 โ 0
5 0 0 0 โ
ํํ ๊ณ์ฐ
47+2+1=50
ํํ = 50
ํํ = 50
- Ch.8 Combinatorial Optimization
37/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Little, Murty, Sweeney์ Karel ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
๋ชจ๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
ํํ = 47
ํํ = 622 3 4 5
1 โ 13 1 0
3 13 โ 2 0
4 43 18 โ 0
5 0 0 0 โ
ํํ = 50 1 2 3 4 5
1 โ 0 15 3 2
2 โ โ 0 10 8
3 15 14 โ 2 0
4 0 44 18 โ 0
5 12 1 0 0 โ
D15 = 1 + 0 = 1
D45 = 18 + 0 = 18
D35 = 2 + 0 = 2
D52 = 13 + 0 = 13
D53 = 13 + 0 = 13
D54 = 0 + 1 = 1
edge(45)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
edge(45)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
- Ch.8 Combinatorial Optimization
38/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Little, Murty, Sweeney์ Karel ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
๋ชจ๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
ํํ=47
ํํ=62ํํ=50
edge(45)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
edge(45)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
2 3 4 5
1 โ 13 1 0
3 13 โ 2 0
4 43 18 โ 0
5 0 0 0 โ
D15 = 1 + 0 = 1
D45 = 18 + 0 = 18
D35 = 2 + 0 = 2
D52 = 13 + 0 = 13
D53 = 13 + 0 = 13
D54 = 0 + 1 = 1
2 3 4 5
1 โ 13 1 0
3 13 โ 2 0
4 43 18 โ โ
5 0 0 0 โ
edge(45)๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์ง ์๋ํด์ ํํ ๊ตฌํ๊ธฐ
ํ๊ณผ ์ด ์ ๋ฆฌ
(๊ฑฐ๋ฆฌ ์ฐจ๊ฐ)
18
C45= โ ๋ก ์์ 2 3 4 5
1 โ 13 1 0
3 13 โ 2 0
4 25 0 โ โ
5 0 0 0 โ
ํด์ ๊ณ์ฐ
50+18 =50
ํํ = 68
ํํ=68
2 3 4 5
1 โ 13 1 0
3 13 โ 2 0
4 43 18 โ 0
5 0 0 0 โ
edge(45)๋ฅผ ์ฌ์ฉํ๋
ํด์ ํํ ๊ตฌํ๊ธฐ
4ํ๊ณผ 5์ด ์ญ์
C54= โ ๋ก ์์ (54๋ ๊ฒฝ๋ก์
ํฌํจ๋ ์ ์์ผ๋ฏ๋ก)2 3 4
1 โ 13 1
3 13 โ 2
5 0 0 โ
1
ํ๊ณผ ์ด ์ ๋ฆฌ (๊ฑฐ๋ฆฌ ์ฐจ๊ฐ)
2
ํํ=53
ํํ ๊ณ์ฐ
2 3 4
1 โ 12 0
3 11 โ 0
5 0 0 โ
50+1+2=53
ํํ = 53
- Ch.8 Combinatorial Optimization39/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Little, Murty, Sweeney์ Karel ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
๋ชจ๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
ํํ=47
ํํ=62ํํ=50
edge(45)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
D14 = 12 + 0 = 12
D52 = 11 + 0 = 11
D34 = 11 + 0 = 11
D53 = 12 + 0 = 12
edge(14)๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด์ ํํ ๊ตฌํ๊ธฐ
ํํ=68ํํ=53
2 3 4
1 โ 12 0
3 11 โ 0
5 0 0 โ
edge(14)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
edge(14)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
edge(45)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
2 3 4
1 โ 12 โ
3 11 โ 0
5 0 0 โ
ํ๊ณผ ์ด ์ ๋ฆฌ(๊ฑฐ๋ฆฌ ์ฐจ๊ฐ)12
C14= โ ๋ก ์์
ํด์ ๊ณ์ฐ
2 3 4
1 โ 0 โ
3 11 โ 0
5 0 0 โ
edge(45)๋ฅผ ์ฌ์ฉํ๋ ํด
53+12 =65
ํํ = 65
edge(14)๋ฅผ ์ฌ์ฉํ๋ํด์ ํํ ๊ตฌํ๊ธฐ
2 3 4
1 โ 12 0
3 11 โ 0
5 0 0 โ
1ํ๊ณผ 4์ด ์ญ์ 2 3
3 11 โ
5 0 0
ํ๊ณผ ์ด ์ ๋ฆฌ(๊ฑฐ๋ฆฌ ์ฐจ๊ฐ)
11
ํด์ ๊ณ์ฐ
2 3
3 0 โ
5 0 0
53+11 =64ํํ = 64
ํํ=64
ํํ=65
(321453)
- Ch.8 Combinatorial Optimization40/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Little, Murty, Sweeney์ Karel ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
๋ชจ๋ ํด
ํํ=47
ํํ=62ํํ=50
edge(45)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
D12 = 2 + 1 = 3
D35 = 2 + 0 = 2
D23 = 8 + 0 = 8
D45 = 0 + 0 = 0
ํํ=68ํํ=53
edge(14)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
edge(14)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
edge(45)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
ํํ=64
ํํ=65
(321453)
1 2 3 4 5
1 โ 0 15 3 2
2 โ โ 0 10 8
3 15 14 โ 2 0
4 0 44 18 โ 0
5 12 1 0 0 โ
edge(21)๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์ง ์๋ ํด
edge(41)๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด์ ํํ ๊ตฌํ๊ธฐ
D53 = 0 + 0 = 0
D54 = 0 + 2 = 2
D41 = 0 +12 = 12
edge(41)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
ํํ=74
62 + 12 = 74
ํํ = 74
edge(41)๋ฅผ ์ฌ์ฉํ๋ํด์ ํํ ๊ตฌํ๊ธฐ
1 2 3 4 5
1 โ 0 15 3 2
2 โ โ 0 10 8
3 15 14 โ 2 0
4 0 44 18 โ 0
5 12 1 0 0 โ
4ํ๊ณผ 1์ด ์ญ์
2 3 4 5
1 0 15 โ 2
2 โ 0 10 8
3 14 โ 2 0
5 1 0 0 โ
C14= โ ๋ก ์์ (14๋ ๊ฒฝ๋ก์
ํฌํจ๋ ์ ์์ผ๋ฏ๋ก)
ํด์ ๊ณ์ฐ
ํํ = 62
edge(41)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
edge(41)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
ํํ=62
- Ch.8 Combinatorial Optimization41/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Little, Murty, Sweeney์ Karel ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
๋ชจ๋ ํด
ํํ=47
ํํ=62ํํ=50
edge(45)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
ํํ=68ํํ=53
edge(14)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
edge(14)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
edge(45)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
ํํ=64
ํํ=65
(321453)
edge(41)๋ฅผ ์ฌ์ฉํ๋ ํด
edge(41)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
ํํ=74
2 3 4 5
1 0 15 โ 2
2 โ 0 10 8
3 14 โ 2 0
5 1 0 0 โ
edge(41)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
edge(41)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
ํํ=62
D12 = 2 + 1 = 3
D35 = 2 + 2 = 4
D23 = 8 + 0 = 8
D53 = 0 + 0 = 0
D54 = 0 + 2 = 2
edge(23)๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด์ ํํ ๊ตฌํ๊ธฐ
62 + 8 = 70
ํํ = 70
edge(23)๋ฅผ ์ฌ์ฉํ๋ํด์ ํํ ๊ตฌํ๊ธฐ
2 3 4 5
1 0 15 โ 2
2 โ 0 10 8
3 14 โ 2 0
5 1 0 0 โ
2ํ๊ณผ 3์ด ์ญ์
C32= โ ๋ก ์์ (32๋ ๊ฒฝ๋ก์
ํฌํจ๋ ์ ์์ผ๋ฏ๋ก) 2 4 5
1 0 โ 2
3 โ 2 0
5 1 0 โ
ํํ=62
- Ch.8 Combinatorial Optimization42/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Little, Murty, Sweeney์ Karel ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
๋ชจ๋ ํด
ํํ=47
ํํ=62ํํ=50
edge(45)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
ํํ=68ํํ=53
edge(14)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
edge(14)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
edge(45)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
ํํ=64 ํํ=65
(321453)
edge(41)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
ํํ=74
edge(41)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
edge(21)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
ํํ=62
ํํ=70
edge(23)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
ํํ=62
edge(41)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
ํํ=66
edge(35)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ์ง์๋ ํด
edge(35)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
ํํ=62
edge(23)๋ฅผ
์ฌ์ฉํ๋ ํด
(412354)
- Ch.8 Combinatorial Optimization43/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Bellmore-Malone์ ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 48 14 12 29 4 0 54
2 12 โ 20 0 56 14 20 61
3 18 0 โ 10 31 6 49 35
4 42 3 0 โ 20 11 31 12
5 0 24 9 21 โ 26 56 56
6 36 23 54 25 0 โ 18 45
7 47 34 64 28 47 0 โ 0
8 0 18 25 38 7 2 52 โ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 48 14 12 29 4 0 54
2 12 โ 20 0 56 14 20 61
3 18 0 โ 10 31 6 49 35
4 42 3 0 โ 20 11 31 12
5 0 24 9 21 โ 26 56 56
6 36 23 54 25 0 โ 18 45
7 47 34 64 28 47 0 โ 0
8 12 30 37 50 19 14 64 โ ์ด์์ 12 ์ฐจ๊ฐ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 48 14 12 29 2 0 52
2 12 โ 20 0 56 12 20 59
3 18 0 โ 10 31 4 49 33
4 42 3 0 โ 20 9 31 10
5 0 24 9 21 โ 24 56 54
6 36 23 54 25 0 โ 18 43
7 49 36 66 30 49 0 โ 0
8 0 18 25 38 7 0 52 โ
์ง์ ์ผ๋ก ์ญ์ ๋์ง ์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ ์ธ 2๋ฅผ ์ญ์ ๋์ง ์์
๋ชจ๋ ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ฐจ๊ฐ, ๋ ๋ฒ ์ง์์ง ๊ฑฐ๋ฆฌ์์๋ 2๋งํผ ๋ํจ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 76 43 38 51 42 19 80
2 42 โ 49 26 78 52 39 87
3 48 28 โ 36 53 44 68 61
4 72 31 29 โ 42 49 50 38
5 30 52 38 47 โ 64 75 82
6 66 51 83 51 22 โ 37 71
7 77 62 93 54 69 38 โ 26
8 42 58 66 76 41 52 83 โ
ํ๊ฐ๋ฆฌ๋ฒ ์ฌ์ฉ
26 + 29 + 28 + 19 + 26 + 52 + 22 + 30 = 2322 4 3 2, 1 7 8 6 5 1
์ง์ ์(7)์
๋ ธ๋์(8)๊ฐ
๊ฐ์ง ์์
์ธํ์ ๊ฒฝ๋ก
์์ฑํ์ง ๋ชปํจ
ํ๊ณผ ์ด ์ ๋ฆฌ(๊ฑฐ๋ฆฌ ์ฐจ๊ฐ)
- Ch.8 Combinatorial Optimization44/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Bellmore-Malone์ ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 48 14 2 29 2 0 52
2 0 โ โ โ 44 0 8 47
3 18 0 โ 0 31 4 49 33
4 42 3 0 โ 20 9 31 10
5 0 24 9 11 โ 24 56 54
6 36 23 54 15 0 โ 18 43
7 49 36 66 20 49 0 โ 0
8 0 18 25 28 7 0 52 โ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 46 14 0 29 2 0 52
2 0 โ โ โ 44 0 8 47
3 20 0 โ 0 33 6 51 35
4 42 1 0 โ 20 9 31 10
5 0 22 9 9 โ 24 56 54
6 36 21 54 13 0 โ 18 43
7 49 34 66 18 49 0 โ 0
8 0 16 25 26 7 0 52 โ
์ง์ ์ผ๋ก ์ญ์ ๋์ง ์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ์ธ 2๋ฅผ ์ญ์ ๋์ง ์์
๋ชจ๋ ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ฐจ๊ฐ, ๋ ๋ฒ ์ง์์ง ๊ฑฐ๋ฆฌ์์๋ 2๋งํผ ๋ํจ
์ง์ ์ผ๋ก ์ญ์ ๋์ง ์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ์ธ 1๋ฅผ ์ญ์ ๋์ง ์์
๋ชจ๋ ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ฐจ๊ฐ, ๋ ๋ฒ ์ง์์ง ๊ฑฐ๋ฆฌ์์๋ 1๋งํผ ๋ํจ
C23=โ,
C24=โ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 48 14 12 29 2 0 52
2 12 โ 20 0 56 12 20 59
3 18 0 โ 10 31 4 49 33
4 42 3 0 โ 20 9 31 10
5 0 24 9 21 โ 24 56 54
6 36 23 54 25 0 โ 18 43
7 49 36 66 30 49 0 โ 0
8 0 18 25 38 7 0 52 โ
2ํ์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ 12 ์ ํํ์ฌ ํด๋น ํ ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ฐจ๊ฐ4์ด์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ 10 ์ ํํ์ฌ ํด๋น ์ด ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ฐจ๊ฐ
C23=โ C24=โ C32=โ
C34=โ
C42=โC43=โ
P
P1 P2
(2432) ,
(178651)
232
P3
2
3
4 1
8
7
6
5
์ง์ ์(7)์
๋ ธ๋ ์(8)๊ฐ
๊ฐ์ง ์์
์ง์ ์(7)์
๋ ธ๋ ์(8)๊ฐ
๊ฐ์ง ์์
- Ch.8 Combinatorial Optimization45/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Bellmore-Malone์ ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
์ง์ ์ผ๋ก ์ญ์ ๋์ง ์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ์ธ 1๋ฅผ ์ญ์ ๋์ง ์์
๋ชจ๋ ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ฐจ๊ฐ, ๋ ๋ฒ ์ง์์ง ๊ฑฐ๋ฆฌ์์๋ 1๋งํผ ๋ํจ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 46 15 0 30 3 0 53
2 0 โ โ โ 44 0 7 47
3 21 0 โ 0 34 7 51 36
4 42 0 0 โ 20 9 30 10
5 0 21 9 8 โ 24 55 54
6 36 20 54 12 0 โ 17 43
7 49 33 66 17 49 0 โ 0
8 0 15 25 25 7 0 51 โ
์ง์ ์ผ๋ก ์ญ์ ๋์ง ์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ์ธ 7์ ์ญ์ ๋์ง ์์
๋ชจ๋ ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ฐจ๊ฐ, ๋ ๋ฒ ์ง์์ง ๊ฑฐ๋ฆฌ์์๋ 7๋งํผ ๋ํจ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 46 15 0 30 10 0 60
2 0 โ โ โ 37 0 0 47
3 28 0 โ 0 34 14 51 43
4 49 0 0 โ 20 16 30 17
5 0 14 2 1 โ 24 48 54
6 43 20 54 12 0 โ 17 50
7 49 26 59 10 42 0 โ 0
8 0 8 18 18 0 0 44 โ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 46 14 0 29 2 0 52
2 0 โ โ โ 44 0 8 47
3 20 0 โ 0 33 6 51 35
4 42 1 0 โ 20 9 31 10
5 0 22 9 9 โ 24 56 54
6 36 21 54 13 0 โ 18 43
7 49 34 66 18 49 0 โ 0
8 0 16 25 26 7 0 52 โ
C23=โ C24=โ C32=โ
C34=โ
C42=โC43=โ
P
P1 P2
(2432) ,
(178651)
232
P3
2
3
4 1
8
7
6
5
์ง์ ์(7)์
๋ ธ๋ ์(8)๊ฐ
๊ฐ์ง ์์
38 + 29 + 28 + 39 + 26 + 52 + 22 + 30 = 2641 4 3 2 7 8 6 5 1
ํํ=264
์ง์ ์(7)์
๋ ธ๋ ์(8)๊ฐ
๊ฐ์ง ์์
์ง์ ์(8)์
๋ ธ๋ ์(8)๊ฐ
๊ฐ์
- Ch.8 Combinatorial Optimization46/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Bellmore-Malone์ ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 48 14 12 29 2 0 52
2 12 โ 20 0 56 12 20 59
3 18 0 โ 10 31 4 49 33
4 42 3 0 โ 20 9 31 10
5 0 24 9 21 โ 24 56 54
6 36 23 54 25 0 โ 18 43
7 49 36 66 30 49 0 โ 0
8 0 18 25 38 7 0 52 โ
26 + 29 + 28 + 19 + 26 + 52 + 22 + 30 = 2322 4 3 2, 1 7 8 6 5 1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 48 14 12 29 2 0 52
2 12 โ 20 0 56 12 20 59
3 18 โ โ โ 31 4 49 33
4 42 3 0 โ 20 9 31 10
5 0 24 9 21 โ 24 56 54
6 36 23 54 25 0 โ 18 43
7 49 36 66 30 49 0 โ 0
8 0 18 25 38 7 0 52 โ
C32=โ,
C34=โ
3ํ์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ 4 ์ ํํ์ฌ ํด๋น ํ ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ญ์
2์ด์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ 3 ์ ํํ์ฌ ํด๋น ์ด ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ญ์
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 45 14 12 29 2 0 52
2 12 โ 20 0 56 12 20 59
3 14 โ โ โ 27 0 45 29
4 42 0 0 โ 20 9 31 10
5 0 21 9 21 โ 24 56 54
6 36 20 54 25 0 โ 18 43
7 49 33 66 30 49 0 โ 0
8 0 15 25 38 7 0 52 โ
C23=โ C24=โ C32=โ
C34=โ
C42=โC43=โ
P
P1 P2
(2432) ,
(178651)
232
P3
2
3
4 1
8
7
6
5
ํํ=264
์ง์ ์ผ๋ก ์ญ์ ๋์ง ์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ์ธ 9๋ฅผ ์ญ์ ๋์ง ์์
๋ชจ๋ ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ฐจ๊ฐ, ๋ ๋ฒ ์ง์์ง ๊ฑฐ๋ฆฌ์์๋ 9๋งํผ ๋ํจ
์ง์ ์(7)์
๋ ธ๋ ์(8)๊ฐ
๊ฐ์ง ์์
- Ch.8 Combinatorial Optimization47/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Bellmore-Malone์ ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 36 5 12 29 2 0 52
2 12 โ 11 0 56 12 20 59
3 14 โ โ โ 27 0 45 29
4 51 0 0 โ 29 18 40 19
5 0 12 0 21 โ 24 56 54
6 36 11 45 25 0 โ 18 43
7 49 24 57 30 49 0 โ 0
8 0 6 16 38 7 0 52 โ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 45 14 12 29 2 0 52
2 12 โ 20 0 56 12 20 59
3 14 โ โ โ 27 0 45 29
4 42 0 0 โ 20 9 31 10
5 0 21 9 21 โ 24 56 54
6 36 20 54 25 0 โ 18 43
7 49 33 66 30 49 0 โ 0
8 0 15 25 38 7 0 52 โ
์ง์ ์ผ๋ก ์ญ์ ๋์ง ์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ์ธ 9๋ฅผ ์ญ์ ๋์ง ์์
๋ชจ๋ ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ฐจ๊ฐ, ๋ ๋ฒ ์ง์์ง ๊ฑฐ๋ฆฌ์์๋ 9๋งํผ ๋ํจ
2 4 2,
1 7 8 1,
3 6 5 3
26 + 31
+ 19 + 26 + 42
+ 44 + 22 + 38
= 248
C23=โ C24=โ C32=โ
C34=โ
C42=โC43=โ
P
P1 P2
(2432) ,
(178651)
232
P3
2
3
4 1
8
7
6
5
ํํ=264
P2 ํํ=248
ํํ=248(242),
(1781),
(3653)
์ง์ ์(8)์
๋ ธ๋ ์(8)๊ฐ
๊ฐ์
์ง์ ์(7)์
๋ ธ๋ ์(8)๊ฐ
๊ฐ์ง ์์
- Ch.8 Combinatorial Optimization48/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Bellmore-Malone์ ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
์ง์ ์ผ๋ก ์ญ์ ๋์ง ์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ์ธ 9๋ฅผ ์ญ์ ๋์ง ์์
๋ชจ๋ ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ฐจ๊ฐ, ๋ ๋ฒ ์ง์์ง ๊ฑฐ๋ฆฌ์์๋ 9๋งํผ ๋ํจ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 36 5 12 29 2 0 52
2 12 โ 11 0 56 12 20 59
3 14 โ โ โ 27 0 45 29
4 51 0 0 โ 29 18 40 19
5 0 12 0 21 โ 24 56 54
6 36 11 45 25 0 โ 18 43
7 49 24 57 30 49 0 โ 0
8 0 6 16 38 7 0 52 โ
C24=โ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 36 5 12 29 2 0 52
2 12 โ 11 โ 56 12 20 59
3 14 โ โ โ 27 0 45 29
4 51 0 0 โ 29 18 40 19
5 0 12 0 21 โ 24 56 54
6 36 11 45 25 0 โ 18 43
7 49 24 57 30 49 0 โ 0
8 0 6 16 38 7 0 52 โ
2ํ์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ 11 ์ ํํ์ฌ ํด๋น ํ ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ญ์
4์ด์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ 12 ์ ํํ์ฌ ํด๋น ์ด ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ญ์
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 36 5 0 29 2 0 52
2 1 โ 0 โ 45 1 9 48
3 14 โ โ โ 27 0 45 29
4 51 0 0 โ 29 18 40 19
5 0 12 0 9 โ 24 56 54
6 36 11 45 13 0 โ 18 43
7 49 24 57 18 49 0 โ 0
8 0 6 16 26 7 0 52 โ
C23=โ C24=โ C32=โ
C34=โ
C42=โC43=โ
P
P1
(2432) ,
(178651)
232
P3
2
3
4 1
8
7
6
5
ํํ=264ํํ=248
(242),
(1781),
(3653)
P4 P5
P2
C24=โC42=โ
P2
์ง์ ์(7)์
๋ ธ๋ ์(8)๊ฐ
๊ฐ์ง ์์
- Ch.8 Combinatorial Optimization49/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Bellmore-Malone์ ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
์ง์ ์ผ๋ก ์ญ์ ๋์ง ์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ์ธ 9๋ฅผ ์ญ์ ๋์ง ์์
๋ชจ๋ ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ฐจ๊ฐ, ๋ ๋ฒ ์ง์์ง ๊ฑฐ๋ฆฌ์์๋ 9๋งํผ ๋ํจ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 36 5 0 29 2 0 52
2 1 โ 0 โ 45 1 9 48
3 14 โ โ โ 27 0 45 29
4 51 0 0 โ 29 18 40 19
5 0 12 0 9 โ 24 56 54
6 36 11 45 13 0 โ 18 43
7 49 24 57 18 49 0 โ 0
8 0 6 16 26 7 0 52 โ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 45 14 0 38 11 0 61
2 1 โ 0 โ 45 1 0 48
3 14 โ โ โ 27 0 36 29
4 51 0 0 โ 29 18 31 19
5 0 12 0 0 โ 24 47 54
6 36 11 45 4 0 โ 9 43
7 49 24 57 9 49 0 โ 0
8 0 6 16 17 7 0 43 โ
1 4 2 7 8 1,
3 6 5 3
38 + 31 + 39 + 26 + 42
+ 44 + 22 + 38
= 280
C23=โ C24=โ C32=โ
C34=โ
C42=โC43=โ
P
P1
(2432) ,
(178651)
232
P3
2
3
4 1
8
7
6
5
ํํ=264ํํ=248
(242),
(1781),
(3653)
P4 P5
P2
C24=โC42=โ
P4 ํํ=280
ํํ=280
์ง์ ์(7)์
๋ ธ๋ ์(8)๊ฐ
๊ฐ์ง ์์
์ง์ ์(8)์
๋ ธ๋ ์(8)๊ฐ
๊ฐ์
- Ch.8 Combinatorial Optimization50/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Bellmore-Malone์ ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 36 5 12 29 2 0 52
2 12 โ 11 0 56 12 20 59
3 14 โ โ โ 27 0 45 29
4 51 0 0 โ 29 18 40 19
5 0 12 0 21 โ 24 56 54
6 36 11 45 25 0 โ 18 43
7 49 24 57 30 49 0 โ 0
8 0 6 16 38 7 0 52 โ
2 4 2,
1 7 8 1,
3 6 5 3
26 + 31
+ 19 + 26 + 42
+ 44 + 22 + 38
= 248
C42=โ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 36 5 12 29 2 0 52
2 12 โ 11 0 56 12 20 59
3 14 โ โ โ 27 0 45 29
4 51 โ 0 โ 29 18 40 19
5 0 12 0 21 โ 24 56 54
6 36 11 45 25 0 โ 18 43
7 49 24 57 30 49 0 โ 0
8 0 6 16 38 7 0 52 โ
2์ด์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ 6 ์ ํํ์ฌ ํด๋น ์ด ๊ฑฐ๋ฆฌ์์ ์ญ์
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 30 5 12 29 2 0 52
2 12 โ 11 0 56 12 20 59
3 14 โ โ โ 27 0 45 29
4 51 โ 0 โ 29 18 40 19
5 0 6 0 21 โ 24 56 54
6 36 5 45 25 0 โ 18 43
7 49 18 57 30 49 0 โ 0
8 0 0 16 38 7 0 52 โ
C23=โ C24=โ C32=โ
C34=โ
C42=โC43=โ
P
P1
(2432) ,
(178651)
232
P3
2
3
4 1
8
7
6
5
ํํ=264ํํ=248
(242),
(1781),
(3653)
P4 P5
P2
C24=โ C42=โํํ=280
P2
1 7 8 2 4 3 6 5 119 + 26 + 58 + 26 + 29 + 44 + 22 + 30 = 254
P5 ํํ=254
ํํ=254
์ง์ ์(8)์
๋ ธ๋ ์(8)๊ฐ
๊ฐ์
- Ch.8 Combinatorial Optimization51/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ธํ์ ๋ฌธ์ - ๋ถ๋จํ์๋ฒ(branch and bound method)(Bellmore-Malone์ ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ์ ์ฉ)
C23=โ C24=โ
264
C32=โC34=โ
248
C42=โC43=โ
250
P
P1
C24=โ
280
P4
C42=โ
254
P2
P5
C17=โC18=โ
274
C71=โC78=โ
251
P6P7
(1 4 3 2 7
8 6 5 1)
1 2 3 4 5 6 7 8
1 โ 76 43 38 51 42 19 80
2 42 โ 49 26 78 52 39 87
3 48 28 โ 36 53 44 68 61
4 72 31 29 โ 42 49 50 38
5 30 52 38 47 โ 64 75 82
6 66 51 83 51 22 โ 37 71
7 77 62 93 54 69 38 โ 26
8 42 58 66 76 41 52 83 โ
(2 4 3 2) ,
(1 7 8 6 5 1)
232
(2 4 2),
(1 7 8 1),
(3 6 5 3)
(1 4 2 7 8 1),
(3 6 5 3)
(1 7 8 2 4
3 6 5 1)
(1 7 8 1),
(2 4 6 5 3 2)
P8
C81=โC87=โ 266
P3
(1 6 5 3 2
4 7 8 1)
(1 7 6 5 3
2 4 8 1)
(1 7 8 3 2
4 6 5 1)
- Ch.8 Combinatorial Optimization
52/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
Naval A
rch
itectu
re &
Ocean
En
gin
eerin
g
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
8. Combinatorial Optimization(์กฐํฉ ์ต์ ํ)
8.4 Network theory(๋คํธ์ํฌ ์ด๋ก)
-shortest route problem
-minimum spanning tree problem
-maximal flow problem
-Assignment problem
- Ch.8 Combinatorial Optimization
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
๋คํธ์ํฌ
๋คํธ์ํฌ์ ๊ตฌ์ฑ์์์ ๊ตฌ์กฐ
1
๋คํธ์ํฌ์ ์ข ๋ฅ
- ๋จ๋ฐฉํฅ ๋คํธ์ํฌ(directed network)
- ์๋ฐฉํฅ ๋คํธ์ํฌ(undirected network)
๊ฒฝ๋ก(path, route) : ์ ๊ทธ๋ฆผ์ โ โโขโโกโโฃ ์ ๊ฐ์ ์ฐ์๋๋ edge
๊ณ ๋ฆฌ(loop, cycle) : โ โโขโโกโโ ๊ณผ ๊ฐ์ด ์ฒ์์ผ๋ก ๋๋์์ค๋ ๊ฒฝ๋ก
๋๋ฌด(tree) ๋คํธ์ํฌ : ๊ณ ๋ฆฌ๊ฐ ์๋ ๋คํธ์ํฌ
2
3
4
6
5
node
edge
ํ๋ฆ
1
11
3
3
2
2
2
5
14
โ๋ฐ์ฌํฅ, ์ต์ ๊ฒฝ์๊ณผํ, ์๊ทธ๋ง๊ทธ๋ํ, 2004, p.163 ~ p.168โ
- Ch.8 Combinatorial Optimization
54/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
Why We study Network Theory?
๋คํธ์ํฌ ์ด๋ก์ผ๋ก ์ ํํ ๋ฌ์ฌํ ์ ์๋ ํ์ค์ธ๊ณ๊ฐ ๋ง์ด์กฒ์ฌํ๋ค.
๋คํธ์ํฌ ์ด๋ก์ ๋ค๋ฅธ ์ํ์ ๋ชจ๋ธ๊ณผ๋ ๋ฌ๋ฆฌ ๋์ผ๋ก ์ง์ ํ์ ํ ์ ์๊ธฐ ๋๋ฌธ์ ์ด์ฉ์๋ค์ด ์ฝ๊ฒ ์ดํดํ ์ ์๋ค.
๋คํธ์ํฌ ์ด๋ก์ ๋๊ท๋ชจ์ ๋ชจํ์ ๋ํ์ฌ์๋ ์๋นํ ํจ์จ์ ์ถ ํด๋ฒ์ ๊ฐ์ง๊ณ ์๋ค.
๋คํธ์ํฌ ์ด๋ก์ ์ด์ฉํ๋ฉด ๋ค์์ ์ ์ฝ์กฐ๊ฑด๊ณผ ๋ณ์๋ก ์ถํด์ ๋ค๋ฅธ ์ต์ ํ ๊ธฐ๋ฒ์ด ํ ์ ์๋ ๋ณต์กํ ๋ฌธ์ ์ ์ ์ฉํ ์์๋ค.
โ๋ฐ์ฌํฅ, ์ต์ ๊ฒฝ์๊ณผํ, ์๊ทธ๋ง๊ทธ๋ํ, 2004, p.163
- Ch.8 Combinatorial Optimization
55/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
Examples of Combinatorial Optimization
- ์ต๋จ๊ฒฝ๋ก๋ฌธ์ (shortest route problem)
: ๋ ์ง์ ์ฌ์ด์ ์ต๋จ๊ฒฝ๋ก(๊ฐ์ฅ ์์ ๋น์ฉ ๋๋ ๊ฐ์ฅ ์งง์
๊ฑฐ๋ฆฌ๋ ์๊ฐ์ ๋์ฐฉํ ์ ์๋ ๊ฒฝ๋ก)๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์
- ์ต์๊ฑธ์นจ๋๋ฌด๋ฌธ์ (minimum spanning tree problem)
: ๋คํธ์ํฌ์์ ๋ชจ๋ ์ฐ๊ฒฐํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ ์ค์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๋น์ฉ
๋๋ ์๊ฐ์ผ๋ก ์ฐ๊ฒฐํ ์ ์๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์
(์ค๋น๋ฐฐ์น๋ฌธ์ , ๋คํธ์ํฌ ์ค๊ณ๋ฌธ์ )
- ์ต๋ํ๋ฆ๋ฌธ์ (maximal flow problem)
: ๋คํธ์ํฌ์์ ํ ์ง์ ์์ ๋ค๋ฅธ ์ง์ ์ผ๋ก ๋ณด๋ผ ์ ์๋ ์ต๋
์ ์ ํต๋์ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์ (๊ตํตํ๋ฆ ๋ถ์๋ฌธ์ , ์ก์ ๊ด ์ค๊ณ๋ฌธ์ )
โ๋ฐ์ฌํฅ, ์ต์ ๊ฒฝ์๊ณผํ, ์๊ทธ๋ง๊ทธ๋ํ, 2004, p.168โ
์์ ์ธ๊ฐ์ง ๊ฒฝ์ฐ๋ ๋ํ์ ์ธ ๋คํธ์ํฌ ๋ชจํ์ผ๋ก, ์ด๋ฅผ ์ํ ํจ๊ณผ์ ์ธ ํด
๋ฒ๋ค์ด ๊ฐ๋ฐ๋์ด ์๋ค.
- Ch.8 Combinatorial Optimization
56/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
Examples of Combinatorial Optimization
- ํ ๋น ๋ฌธ์ (Assignment problem)
: ๋ช ๋ช ์ ์ข ์ ์์๊ฒ ๋ช ๊ฐ์ ์์ ์ ํ ๋นํ๋ ๊ฒฝ์ฐ์ ๊ฐ์ฅ ํจ๊ณผ์ ์ผ๋ก
ํ ๋นํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ ๊ตฌํ๋ ๋ฌธ์ , ํน์ํ ํํ์ ์์ก๋ฌธ์ ์ด๊ธฐ๋ ํ๋ค.
- ์ธํ์ ๋ฌธ์ (Traveling Salesman Problem;TSP):ํ ๋ช ์ ์ธํ์์ด ์ต๋จ์๊ฐ์ ์ฃผ์ด์ง ๊ณ ๊ฐ๋ค์ ์ ํํ๊ฒ ํ๋ฒ์ฉ ๋ฐฉ๋ฌธ
ํ๊ณ ๋ค์ ์ถ๋ฐ์ ์ผ๋ก ๋์์ค๋ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฌธ์
- Ch.8 Combinatorial Optimization
57/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋จ ๊ฒฝ๋ก ๋ฌธ์ -๋ค์ต์คํธ๋ผ๋ฒ(Dijkstra method)
๋ค์ต์คํธ๋ผ๋ฒ(Dijkstra method) โ ์ต๋จ ๊ฒฝ๋ก๋ฌธ์ ์ ๋ํ์ ํด๋ฒ
1๋จ๊ณ ์ฒ์์ ์ถ๋ฐnode๋ฅผ ์ ํํ์ฌ ๊ฐ node๊น์ง์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ
ํ์ํ๋, ์ง์ ์ฐ๊ฒฐ๋๋ edge๊ฐ ์์ผ๋ฉด โ๋ก ํ์ํ๋ค.
2๋จ๊ณ ์ ํ๋์ง ์์ node์ ๋ํ์ฌ, ๊ฐ์ฅ ์์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ ๊ฐ๋ node๋ฅผ ์ ํํ๊ณ ์ฐ๊ฒฐํ์ฌ ์๊ตฌ์ต๋จ๊ฑฐ
๋ฆฌ๋ก ์ผ๋๋ค.
๋์ฐฉnode๊ฐ ์ ํ๋๋ฉด ๋๋ด๊ณ , ์๋๋ฉด 3๋จ๊ณ๋ก ๊ฐ๋ค.
3๋จ๊ณ ์ ํ๋์ง ์์ node์ ๋ํด, ์ง์ ์ ์ ํ๋ node์ ์ฐ๊ฒฐ๋ ๋์ ๊ฑฐ๋ฆฌ๊ฐ ๊ธฐ์กด์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ณด๋ค ์์ผ
๋ฉด ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ ์์ ํ์ฌ 2๋จ๊ณ๋ก ๊ฐ๋ค.
โ๋ฐ์ฌํฅ, ์ต์ ๊ฒฝ์๊ณผํ, ์๊ทธ๋ง๊ทธ๋ํ, 2004, p.168 ~ p.172โ
- Ch.8 Combinatorial Optimization
58/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
์ต๋จ ๊ฒฝ๋ก ๋ฌธ์ -๋ค์ต์คํธ๋ผ๋ฒ(Dijkstra method)
์ด๊ธฐ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ
1
2
3
4
6
5
12
6
11
5
15
20
18
14
13
110
7
30
720
16
์ถ๋ฐ์ง
12
15
โ
โ
โ
- โค, โฅ, โฆ๋ฒ node๋ ์ง์ ์ฐ๊ฒฐ๋๋ ๊ฒฝ๋ก๊ฐ ์์ผ๋ฏ๋ก ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผโ๋ก ํ๋ค.
20
67575646
4537353426
2423141312
20161471030181113
56201512
xxxxxxxxx
xxxxxF
๋ชฉ์ ํจ์Minimize
์ค๊ณ๋ณ์
์ ์ฝ์กฐ๊ฑด
6757564645373534262423141312 ,,,,,,,,,,,,, xxxxxxxxxxxxxx
00
1
1323373534
12262423
141312
xxxxxxxxx
xxx
100
0
675737
56462667
45355756
3424144645
xxxxxxxxxxx
xxxxx jixij ,,0
jixij ,,10 ๋๋
- Ch.8 Combinatorial Optimization59/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋จ ๊ฒฝ๋ก ๋ฌธ์ -๋ค์ต์คํธ๋ผ๋ฒ(Dijkstra method)
์์ ์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ ์ค โก๋ฒ node์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๊ฐ 12๋ก ๊ฐ์ฅ ์์ผ๋ฏ๋กโก๋ฒ node๋ฅผ ์ ํํ์ฌ ์ฐ๊ฒฐํ๊ณ , ๊ฐ node์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ ์์
1
2
3
4
6
5
12
6
11
5
15
20
18
14
13
110
7
30
7
20
16
์ถ๋ฐ์ง
12
15
โ
โ
โ
20ร17
ร25
- Ch.8 Combinatorial Optimization
60/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋จ ๊ฒฝ๋ก ๋ฌธ์ -๋ค์ต์คํธ๋ผ๋ฒ(Dijkstra method)
์์ ์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ ์ค ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฐ(15)์ ๊ฐ๋ โข๋ฒ node๋ฅผ ์ ํํ์ฌ ์ฐ๊ฒฐํ๊ณ , ์์ ์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ ์์
1
2
3
4
6
5
12
6
11
5
15
20
18
14
13
110
7
30
7
20
16
์ถ๋ฐ์ง
12
15 โ
โ
โ
20ร17
ร25
ร
ร45
33
- Ch.8 Combinatorial Optimization
61/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋จ ๊ฒฝ๋ก ๋ฌธ์ -๋ค์ต์คํธ๋ผ๋ฒ(Dijkstra method)
์ธ ๋ฒ์งธ ์์ ๋ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ
1
2
3
4
6
5
12
6
11
5
15
20
18
14
13
110
7
30
7
20
16
์ถ๋ฐ์ง
12
15 โ
โ
โ
20ร17
ร25
ร
ร45
ร24
33ร27
- Ch.8 Combinatorial Optimization
62/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋จ ๊ฒฝ๋ก ๋ฌธ์ -๋ค์ต์คํธ๋ผ๋ฒ(Dijkstra method)
๋ค ๋ฒ์งธ ์์ ๋ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ
1
2
3
4
6
5
12
6
11
5
15
20
18
14
13
110
7
30
7
20
16
์ถ๋ฐ์ง
12
15 โ
โ
โ
20ร17
ร25
ร
ร45
ร24
33ร27
ร44
- Ch.8 Combinatorial Optimization
63/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋จ ๊ฒฝ๋ก ๋ฌธ์ -๋ค์ต์คํธ๋ผ๋ฒ(Dijkstra method)
๋ค์ฏ ๋ฒ์งธ ์์ ๋ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ
1
2
3
4
6
12
6
11
5
15
20
18
14
13
110
7
30
7
20
16
์ถ๋ฐ์ง
12
15 โ
โ
โ
20ร17
ร25
ร
ร45
ร24
33ร27
ร44ร43
5
- Ch.8 Combinatorial Optimization
64/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋จ ๊ฒฝ๋ก ๋ฌธ์ -๋ค์ต์คํธ๋ผ๋ฒ(Dijkstra method)
1
2
3
4
6
12
6
11
5
15
20
18
14
13
110
30
7
20
16
์ถ๋ฐ์ง
12
15 โ
โ
โ
20ร17
ร25
ร
ร45
ร24
33ร27
ร44ร43
5
7
์ต์ข ์ ์ผ๋ก ์ป์ด์ง ๊ฐ ์ง์ ๊น์ง์ ์ต๋จ๊ฒฝ๋ก์ ์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ
๊ฐ ์ง์ ๊น์ง์ ์ต๋จ๊ฒฝ๋ก์ ๊ฑฐ๋ฆฌ
์ง์ ์ต๋จ๊ฒฝ๋ก ๊ฑฐ๋ฆฌ
2 1 โ 2 12
3 1 โ 3 15
4 1 โ 2 โ 4 17
5 1 โ 2 โ 4 โ 5 27
6 1 โ 2 โ 4 โ 6 24
7 1 โ 2 โ 4 โ 5 โ 7 43
- Ch.8 Combinatorial Optimization
65/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
๋ค์ต์คํธ๋ผ(Dijkstra) ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ
๊ฐ์ค ๊ทธ๋ํ์์ ์ถ๋ฐ์ V์์๋ถํฐ ๋ค๋ฅธ ๋ชจ๋ vertex๊น์ง ๊ฐ์ค์น๊ฐ์ด ์ต์์ธ ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ ์ฐพ๋ ๋ฐฉ๋ฒ. ์ฆ, ํญ์ ๊ฐ์ฅ ๊ฐ๊น์ด ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ ๊ฐ๋ vertex๋ก์ edge๋ฅผ ์ ํํ๋ค. ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ , ๊ฐ ์ธ์ vertex์ ๋ํด ์ค์ง ํ๋์ ํ๋ณด edge๋ง์ ์ถ์ ํ๋ค.
์๊ณผ ๊ฐ์ ๊ทธ๋ํ์์ 1์์ ์์ํด์8๋ก ๊ฐ๋ ์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ ๋ค์ต์คํธ๋ผ ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ์ ์ด์ฉํด์ ๊ตฌํด๋ณด์.
๋จผ์ ์์ ๊ทธ๋ํ๋ฅผ ์ธ์ ํ๋ ฌ๋ก ๋ฐ๊พผ๋ค.
๋ค์ต์คํธ๋ผ ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ ๋์์๋ฆฌ
- Ch.8 Combinatorial Optimization
66/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
๋ค์ต์คํธ๋ผ(Dijkstra) ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ โ ๋์์๋ฆฌ(1)
1 2 3 4 5 6 7 8
1 0 2 โ โ โ 3 โ โ
2 2 0 4 1 โ โ โ โ
3 โ 4 0 โ 3 โ โ โ
4 โ 1 โ 0 3 โ 2 โ
5 โ โ 3 3 0 โ โ 4
6 3 โ โ โ โ 0 6 โ
7 โ โ โ 2 โ 6 0 4
8 โ โ โ โ 4 โ 4 0
โ ๊ฐ์ ์ฐ๊ฒฐ๋์ง ์์ ๋ถ๋ถ์ ๋ํ๋ธ ๊ฒ์ผ๋ก ์ค์ ๋ก๋ ์ถฉ๋ถํ ํฐ ๊ฐ์ ๋ฃ๋๋ค.
1. ์ฒ์์ ์ถ๋ฐnode๋ฅผ ์ ํํ์ฌ ๊ฐ node๊น์ง์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ ํ์, ์ง์ ์ฐ๊ฒฐ๋๋edge๊ฐ ์์ผ๋ฉด โ๋ก ํ์ํ๋ค.
2. ์ ํ๋์ง ์์ node์ ๋ํ์ฌ, ๊ฐ์ฅ ์์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ ๊ฐ๋ node๋ฅผ ์ ํํ๊ณ ์ฐ๊ฒฐ ํ์ฌ ์๊ตฌ์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ก ์ผ๋๋ค. ๋์ฐฉnode๊ฐ ์ ํ๋๋ฉด ๋๋ด๊ณ , ์๋๋ฉด 3๋จ๊ณ๋ก ๊ฐ๋ค.
3. ์ ํ๋์ง ์์ node์ ๋ํด, ์ง์ ์ ์ ํ๋ node์ ์ฐ๊ฒฐ๋ ๋์ ๊ฑฐ๋ฆฌ๊ฐ ๊ธฐ์กด์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ณด๋ค ์์ผ๋ฉด ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ ์์ ํ์ฌ 2๋จ๊ณ๋ก ๊ฐ๋ค.
- Ch.8 Combinatorial Optimization67/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
๋ค์ต์คํธ๋ผ(Dijkstra) ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ โ ๋์์๋ฆฌ(2)
1 ๋จ๊ณ - ๊ฒฝ๋ก 1์์ ์์ํ๋ค.
๊ฒฝ๋ก 2๋ ๊ฒฝ๋ก 6์ผ๋ก ๊ฐ ์ ์๋๋ฐ ๊ฐ์ฅ ๊ฐ๊น์ด ๊ฒฝ๋ก์ธ 2๋ก ๊ฐ๋ค. ๊ฐ์ค์น๋ 2์ด๋ค.๊ฒฝ๋ก 2๋ก ๊ฐ์ผ๋ฏ๋ก ๋ค์์ ๊ฒฝ๋ก 3์ด๋ ๊ฒฝ๋ก 4๋ก ๊ฐ ์ ์๋ค.
๋ฐ๋ผ์ ๋ฌดํ๋์๋ ๊ฒฝ๋ก 3๊ณผ ๊ฒฝ๋ก 4์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ ์์ ํด์ผ ํ๋ค.
๊ฒฝ๋ก 3์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ ๋ฌดํ๋์์ 2 + 4 = 6 ์ผ๋ก ์์ ๊ฒฝ๋ก 4์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ ๋ฌดํ๋์์ 2 + 1 = 3 ์ผ๋ก ์์
- Ch.8 Combinatorial Optimization68/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
๋ค์ต์คํธ๋ผ(Dijkstra) ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ โ ๋์์๋ฆฌ(3)
2 ๋จ๊ณ - ๊ฒฝ๋ก 4์ ๊ฒฝ๋ก 6์ ๊ฐ์ค์น ๊ฐ์ 3์ผ๋ก, ๊ฐ์ฅ ์๋ค.
๋จผ์ ๊ฒฝ๋ก 4๋ก ๊ฐ๊ฒ ๋๋ฉด ๊ฒฝ๋ก 5์ 7์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๊ฐ ์์ ๋๋ค.
๊ฒฝ๋ก 5์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ ๋ฌดํ๋์์ 3 + 3 = 6 ์ผ๋ก ์์ ๊ฒฝ๋ก 7์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ ๋ฌดํ๋์์ 3 + 2 = 5 ๋ก ์์
- Ch.8 Combinatorial Optimization
69/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
๋ค์ต์คํธ๋ผ(Dijkstra) ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ โ ๋์์๋ฆฌ(4)
3 ๋จ๊ณ - ๊ฒฝ๋ก 6์ผ๋ก ๊ฐ๋ค.
๊ฒฝ๋ก 6์์๋ ๊ฒฝ๋ก 7๋ก ๊ฐ ์ ์์ง๋ง ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ ์์ ํ์ง ์๋๋ค.(ํ์ฌ ๊ฒฝ๋ก 7์ ๊ฐ์ค์น๊ฐ์ 5์ธ๋ฐ ๋ฐํด, ๊ฒฝ๋ก 1์์ ๊ฒฝ๋ก 6์ ๊ฑฐ์ณ ๊ฒฝ๋ก 7๋ก๊ฐ๊ฒ๋๋ฉด ๊ทธ ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ 3 + 6 = 9 ๊ฐ ๋๊ธฐ ๋๋ฌธ)๊ฐ์ด ๋ ํฌ๋ฏ๋ก ๊ฒฝ๋ก 7์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ์๋ ์๋ฌด๋ฐ ์ํฅ์ ๋ฏธ์น์ง ๋ชปํ๋ค.
- Ch.8 Combinatorial Optimization
70/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
๋ค์ต์คํธ๋ผ(Dijkstra) ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ โ ๋์์๋ฆฌ(5)
4๋จ๊ณ - ๊ฒฝ๋ก 7์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๊ฐ 5 ์ด๋ฏ๋ก ๊ฒฝ๋ก 7๋ก ๊ฐ๋ค.
๊ฒฝ๋ก 8์ ์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ 5 + 4 = 9๋ก ์์
๊ฒฝ๋ก 3, 5์์ ๊ฐ๊ฐ ์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ ๋น๊ตํด ๋ณด๋ฉด ๊ทธ ์์น์์์ ๊ฐ์ค์น ๊ฐ์ด ๋ ํฌ๋ฏ๋ก์์์ต๋จ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ ์์ ๋์ง ์๋๋ค.๊ฒฝ๋ก 1 - 2 - 4 - 7 - 8 ๋ก ๊ฐ ๋ ๊ฐ์ค์น๊ฐ 9๋ก ์ต์๋ก ํ์ ๋๋ค.
- Ch.8 Combinatorial Optimization71/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต์ ๋น์ฉ ๋ฌธ์ (์ต์ ๊ฑธ์นจ ๋๋ฌด ๋ฌธ์ )- ๊ทธ๋ฆฌ๋(Greedy) ํด๋ฒ
๋คํธ์ํฌ์์ ๋ชจ๋ node๋ฅผ ์ฐ๊ฒฐํ๋, ์ฐ๊ฒฐ๋ ์ด ๊ธธ์ด๋ฅผ ์ต์๋ก ํ๋ ๋ฌธ์ -์์ก์์คํ ์ด๋ ์ปดํจํฐ ๋คํธ์ํฌ์ ์ค๊ณ์ ์ฃผ๋ก ์ด์ฉ
์์ ๋ชจํ : 6๊ฐ ์ง์ญ์ ๋ถ์ฐ๋์ด ์๋ ์ปดํจํฐ๋ฅผ ๋คํธ์ํฌ๋ก ์ฐ๊ฒฐํ๋ ๋ฌธ์
1
2
6
3
5
5
7
8
8
5
6
6
5
4 47
7
์ปดํจํฐ ๋คํธ์ํฌ
33
โ๋ฐ์ฌํฅ, ์ต์ ๊ฒฝ์๊ณผํ, ์๊ทธ๋ง๊ทธ๋ํ, 2004, p.172 ~ p.175โ
- Ch.8 Combinatorial Optimization
72/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต์ ๋น์ฉ ๋ฌธ์ (์ต์ ๊ฑธ์นจ ๋๋ฌด ๋ฌธ์ )- ๊ทธ๋ฆฌ๋(Greedy) ํด๋ฒ
๊ทธ๋ฆฌ๋ ํด๋ฒ(greedy algorithm)
- ์ต์๊ฑธ์นจ๋๋ฌด๋ฌธ์ ์ ๋ํ์ ํด๋ฒ
1๋จ๊ณ ์์์ node์์ ์ถ๋ฐํ์ฌ, ๊ทธ node์ ๊ฐ์ฅ ๊ฐ๊น์ด node๋ฅผ ์ ํํ๊ณ
์ฐ๊ฒฐํ๋ค.
2๋จ๊ณ ์ ํ๋์ง ์์ node๋ค์ ์ค์์, ์ ํ๋ node๋ค๊ณผ์ ๊ฑฐ๋ฆฌ๊ฐ ๊ฐ์ฅ ์งง
์ node๋ฅผ ์ ํํ๊ณ ์ด๋ฅผ ์ฐ๊ฒฐํ๋ค. ๋ชจ๋ node๊ฐ ์ ํ๋ ๋ ๊น์ง ์ด
๋ฅผ ๋ฐ๋ณตํ๋ค.
โ๋ฐ์ฌํฅ, ์ต์ ๊ฒฝ์๊ณผํ, ์๊ทธ๋ง๊ทธ๋ํ, 2004, p.172 ~ p.175โ
- Ch.8 Combinatorial Optimization
73/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต์ ๋น์ฉ ๋ฌธ์ (์ต์ ๊ฑธ์นจ ๋๋ฌด ๋ฌธ์ )- ๊ทธ๋ฆฌ๋(Greedy) ํด๋ฒ
1
2
6
3
5
5
7
8
8
5
6
6
5
4 47
73
3
์ฒซ ๋ฒ์งธ ์ฐ๊ฒฐ : 1๋ฒ node์์ ์ถ๋ฐ, ๊ฐ์ฅ ๊ฐ๊น์ด node๊ฐ 3๋ฒ์ด๋ฏ๋ก ์ ํํ์ฌ์ฐ๊ฒฐ
- Ch.8 Combinatorial Optimization
74/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต์ ๋น์ฉ ๋ฌธ์ (์ต์ ๊ฑธ์นจ ๋๋ฌด ๋ฌธ์ )- ๊ทธ๋ฆฌ๋(Greedy) ํด๋ฒ
1
2
6
3
5
5
7
8
8
5
6
6
5
4 47
73
3
๋ ๋ฒ์งธ ์ฐ๊ฒฐ : ์ ํ๋ node โ , โข๋ฒ์์ ๊ฐ์ฅ ๊ฐ๊น์ด ๊ฑฐ๋ฆฌ์ ์๋ ์ ํ๋์ง์์ node๊ฐ โค๋ฒ์ด๋ฏ๋ก ์ ํํ๊ณ ์ด๋ฅผ โข๋ฒ node์ ์ฐ๊ฒฐ
- Ch.8 Combinatorial Optimization
75/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต์ ๋น์ฉ ๋ฌธ์ (์ต์ ๊ฑธ์นจ ๋๋ฌด ๋ฌธ์ )- ๊ทธ๋ฆฌ๋(Greedy) ํด๋ฒ
1
2
6
3
5
5
7
8
8
5
6
6
5
4 47
73
3
์ธ ๋ฒ์งธ ์ฐ๊ฒฐ : ์ ํ๋ node โ , โข, โค๋ฒ์์ ์์ง ์ ํ๋์ง ์์ โก, โฃ, โฅ๋ฒnode๋ก ์ฐ๊ฒฐ๋๋ ๊ฒฝ๋ก์ค ๊ฐ์ฅ ์์ ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ ๊ฐ๋ node โก๋ฅผ ์ ํ
- Ch.8 Combinatorial Optimization
76/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต์ ๋น์ฉ ๋ฌธ์ (์ต์ ๊ฑธ์นจ ๋๋ฌด ๋ฌธ์ )- ๊ทธ๋ฆฌ๋(Greedy) ํด๋ฒ
1
2
6
3
5
5
7
8
8
5
6
6
5
47
73
3
๋ค ๋ฒ์งธ, ๋ค์ฏ ๋ฒ์งธ ์ฐ๊ฒฐ : ๋ง์ฐฌ๊ฐ์ง ๋ฐฉ๋ฒ์ผ๋ก โฅ๋ฒ, โฃ๋ฒ node ์ ํ
4
- Ch.8 Combinatorial Optimization
77/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต์ ๋น์ฉ ๋ฌธ์ (์ต์ ๊ฑธ์นจ ๋๋ฌด ๋ฌธ์ )- ๊ทธ๋ฆฌ๋(Greedy) ํด๋ฒ
1
2
6
3
5
56
4 4
3
3
์ต์ข ์ ์ผ๋ก ์ฐ๊ฒฐ๋ ๋คํธ์ํฌ : ์ด ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ 3 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
n๊ฐ์ node๊ฐ ์ฃผ์ด์ง๋ฉด ํญ์ n-1๊ฐ์ edge๋ก ์ฐ๊ฒฐ๋๋ ํด๋ฅผ ๊ฐ๋๋ค.์ต์ ์ฐ๊ฒฐ์ ์์ํ๋ node๊ฐ ์ด๋ node์ธ๊ฐ์ ๊ด๊ณ๊ฐ ์๋ค.
- Ch.8 Combinatorial Optimization
78/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋ ํ๋ฆ ๋ฌธ์
๊ฐ edge์ ํ๋ฅผ ์ ์๋ ์ฉ๋์ด ํ์ ๋์ด ์์ ๋ ํ๋ ค ๋ณด๋ผ ์ ์๋ ์ต๋์ ์ ํต๋์ ๊ตฌํ๋ ๋ฌธ์ ํ๋ฆ์ ์ : ์์ , ์์, ๊ฐ์ค ๋ฑ์ ์ ๋์ฒด๋ ๊ตํต๋, ์ ๋ณด๋, ํต์ ๋ ๋ฑ
์์ ๋ชจํ : T ์ง์ญ์ ์์๊ณต๊ธ ๋ฌธ์
S
1
2
3
4
5
5 21
4
6
3
3
1
3
T4
5
4
์์๊ณต๊ธ ๋คํธ์ํฌ
์์์ง ์์์ง
0
0
3
0
2
02
2
3
1
04
0
0
0
0
0
- Ch.8 Combinatorial Optimization
79/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋ ํ๋ฆ ๋ฌธ์
์ต๋ํ๋ฆ๋ฌธ์ ์ ํด๋ฒ
1๋จ๊ณ ๊ณต๊ธ์ง์์ ์์์ง๋ก ์์ ์ฉ๋์ ๊ฐ๋ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ ํํ๋ค. ์ด๋ฌํ ๊ฒฝ๋ก
๋ฅผ ์ ํํ ์ ์์ผ๋ฉด, ํ์ฌ์ ํ๋ฆ๋์ด ์ต๋์ด๋ค.
2๋จ๊ณ ์ ํํ ๊ฒฝ๋ก์ ํฌํจ๋ edge์ ์ฉ๋์ค ์ต์๊ฐ์ ๊ทธ ๊ฒฝ๋ก์ ํ๋ฆ๋์ผ๋ก
๋ฐฐ์ ํ๋ค.
3๋จ๊ณ ๊ฐ edge์ ์ฉ๋์ ๋ํด, ์์์ ๊ฒฐ์ ๋ ํ๋ฆ๋์ ์๋ฐฉํฅ์ผ๋ก๋ ๋นผ์ฃผ๊ณ
์ญ๋ฐฉํฅ์ผ๋ก๋ ๋ํด์ค ๋ค์ 1๋จ๊ณ๋ก ๊ฐ๋ค.
โ๋ฐ์ฌํฅ, ์ต์ ๊ฒฝ์๊ณผํ, ์๊ทธ๋ง๊ทธ๋ํ, 2004, p.175 ~ p.179โ
- Ch.8 Combinatorial Optimization
80/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋ ํ๋ฆ ๋ฌธ์
S
1
2
3
4
5
5 21
4
6
3
3
1
3
T4
5
4
์์๊ณต๊ธ ๋คํธ์ํฌ
์์์ง ์์์ง
0
0
3
0
2
02
2
3
1
04
0
0
0
0
0
โ๋ฐ์ฌํฅ, ์ต์ ๊ฒฝ์๊ณผํ, ์๊ทธ๋ง๊ทธ๋ํ, 2004, p.175 ~ p.179โ
- Ch.8 Combinatorial Optimization
81/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋ ํ๋ฆ ๋ฌธ์
์ฒซ ๋ฒ์งธ ๋ฐฐ์ - ์์ ํ๋ฆ์ฉ๋์ ๊ฐ๋ ๊ฒฝ๋ก ์ ํ (Sโโ โโฃโT ๊ฒฝ๋ก)- ๊ฐ edge์ ์ฉ๋์ด 5, 3, 5์ด๋ฏ๋ก 3์ ๋ฐฐ์ - ํ๋ฆ๋ 3์ ์๋ฐฉํฅ์ ์ฉ๋์์๋ ๋นผ์ฃผ๊ณ ์ญ๋ฐฉํฅ์ ์ฉ๋์๋ ๋ํด์ค๋ค.
S
1
2
3
4
5
2 2
1
4
6
3
0
1
3
T4
2
4
์ฒซ ๋ฒ์งธ ๋ฐฐ์ ํ์ ์ฉ๋ ๋ณํ
3
3
0
3
0
2
02
2
3
1
04
3
3
0
0
3 0
- Ch.8 Combinatorial Optimization
82/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋ ํ๋ฆ ๋ฌธ์
๋ ๋ฒ์งธ ๋ฐฐ์ : ๊ฒฝ๋ก SโโขโT๋ฅผ ์ ํ, ํ๋ฆ๋ min{6, 3} = 3์ ๋ฐฐ์
S
1
2
3
4
5
2 2
1
4
3
3
0
1
3
T4
2
4
๋ ๋ฒ์งธ ๋ฐฐ์ ํ์ ์ฉ๋ ๋ณํ
3
3
0
3
3
2
02
2
0
1
04
3
3
0
0
3 3
- Ch.8 Combinatorial Optimization
83/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋ ํ๋ฆ ๋ฌธ์
์ธ ๋ฒ์งธ ๋ฐฐ์ : SโโกโโคโT ๊ฒฝ๋ก์ 2 ๋ฐฐ์
S
1
2
3
4
5
2 2
1
2
3
3
0
1
3
T4
2
2
2
3
2
3
3
2
02
0
0
3
24
3
3
0
0
2 3
- Ch.8 Combinatorial Optimization
84/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋ ํ๋ฆ ๋ฌธ์
๋ค ๋ฒ์งธ ๋ฐฐ์ : Sโโ โโกโโขโโฃโT ๊ฒฝ๋ก์ 2 ๋ฐฐ์
S
1
2
3
4
5
0 0
1
2
3
3
0
1
3
T2
0
2
2
5
2
5
3
2
2
0
0
0
3
24
5
3
2
0
2 3
- Ch.8 Combinatorial Optimization
85/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋ ํ๋ฆ ๋ฌธ์
๋ค์ฏ ๋ฒ์งธ ๋ฐฐ์ : SโโขโโคโT ๊ฒฝ๋ก์ 2 ๋ฐฐ์
S
1
2
3
4
5
0 0
1
2
1
3
0
1
1
T2
0
0
2
5
2
5
5
2
2
0
0
0
3
44
5
3
2
2
2 3
- Ch.8 Combinatorial Optimization
86/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
์ต๋ ํ๋ฆ ๋ฌธ์
์ต์ข ๋ฐฐ์ ๊ฒฐ๊ณผ
S
1
2
3
4
5
1T
5
2
25
2
2
4
5
3
2
2
312 12
์์์ง ์์์ง
- Ch.8 Combinatorial Optimization
87/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1.Optimal Ship Design
ํ๋น๋ฌธ์ (Assignment Problem) - ํ๊ฐ๋ฆฌ๋ฒ(Hungarian method)1)
์ฐ๊ตฌ์์ฐ๊ตฌ๊ณผ์
๊ฐ ๋ ๋ค
๊ฐ 14 16 12
์ 10 13 11
๋ณ 13 15 10
์ด๋ค ์ฐ๊ตฌ์์์ ์์ผ๋ก ์ํํด์ผ ํ ์ฐ๊ตฌ๊ณผ์ ๊ฐ 3๊ฑด(๊ฐ, ๋, ๋ค)์๋๋ฐ, ์ด ๊ณผ์ ๋ค์
3๋ช ์ ์ฑ ์์ฐ๊ตฌ์(๊ฐ, ์, ๋ณ)์๊ฒ ํ๋์ฉ ํ ๋นํ๋ ค๊ณ ํ๋ค.
๊ฐ ๊ณผ์ ์ ์ฐ๊ตฌ์๋ณ ์์์ํ๊ธฐ๊ฐ์ ํ์ ๊ฐ๋ค.
๊ฐ
๋
๋ค
์ฐ๊ตฌ์ ์ฐ๊ตฌ๊ณผ์ 14
๊ฐ
์
๋ณ
16
12
1013
11
1315
10
)3,2,1;3,2,1(01 1 1 1 1 1
s.t.101513111310121614
332313
322212
312111
333231
232221
132111
333231232221132111
jixxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxx
xxxxxxxxxF
ij
Minimize
333231232221132111 ,,,,,,,, xxxxxxxxx์ค๊ณ๋ณ์
1)ํ๊ฐ๋ฆฌ๋ฒ(Hungarian Method) : ํ๊ฐ๋ฆฌ ์ํ์ ์พจํ๋์ ์ํ์ฌ ์ ์๋ ํ ๋น ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํด๊ฒฐํ๋ ๊ธฐ๋ฒ.
โ๋ฐ์ฌํฅ, ์ต์ ๊ฒฝ์๊ณผํ, ์๊ทธ๋ง๊ทธ๋ํ, 2004, p.151 ~ p.156โ
- Ch.8 Combinatorial Optimization88/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
ํ๋น๋ฌธ์ (Assignment Problem) - ํ๊ฐ๋ฆฌ๋ฒ(Hungarian method)
์ฐ๊ตฌ์์ฐ๊ตฌ๊ณผ์
๊ฐ ๋ ๋ค
๊ฐ 14 16 12
์ 10 13 11
๋ณ 13 15 10 )3,2,1;3,2,1(01 1 1 1 1 1
s.t.101513111310121614
332313
322212
312111
333231
232221
132111
333231232221132111
jixxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxx
xxxxxxxxxF
ij
Minimize
333231232221132111 ,,,,,,,, xxxxxxxxx์ค๊ณ๋ณ์
๊ฐ ์ด์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๋น์ฉ ์ ํํ์ฌ ํด๋น์ด์ ๋น์ฉ์์ ์ฐจ๊ฐ
์ฐ๊ตฌ์์ฐ๊ตฌ๊ณผ์
๊ฐ ๋ ๋ค
๊ฐ 14 16 12
์ 10 13 11
๋ณ 13 15 10
0์ด ์๋ ํ์ ๊ทธ ํ์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๋น์ฉ์ ํด๋น ํ์ ๋ชจ๋ ๋น์ฉ์์ ์ฐจ๊ฐ
์ฐ๊ตฌ์์ฐ๊ตฌ๊ณผ์
๊ฐ ๋ ๋ค
๊ฐ 4 3 2
์ 0 0 1
๋ณ 3 2 0
- Ch.8 Combinatorial Optimization
89/90
2009 Fall, Computer Aided Ship Design โ Part1 Optimal Ship Design
SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr
Seoul NationalUniv.
ํ๋น๋ฌธ์ (Assignment Problem) - ํ๊ฐ๋ฆฌ๋ฒ(Hungarian method)
์ฐ๊ตฌ์์ฐ๊ตฌ๊ณผ์
๊ฐ ๋ ๋ค
๊ฐ 14 16 12
์ 10 13 11
๋ณ 13 15 10 )3,2,1;3,2,1(01 1 1 1 1 1
s.t.101513111310121614
332313
322212
312111
333231
232221
132111
333231232221132111
jixxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxx
xxxxxxxxxF
ij
Minimize
333231232221132111 ,,,,,,,, xxxxxxxxx์ค๊ณ๋ณ์
์ง์ ์์ ํ์ ์๋ณด๋ค ์ ์ผ๋ฏ๋ก ํ ๋น์ด ๋์ง ์์์ง์ ์ผ๋ก ์ง์์ง์ง ์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๋น์ฉ๋งํผ ์ง์์ง์ง ์์ ๋ชจ๋ ๋น์ฉ์์ ์ฐจ๊ฐ, ์ง์ ์ผ๋ก ๋๋ฒ ์ง์์ง๋ ๋น์ฉ์๋๋ํจ
์ฐ๊ตฌ์์ฐ๊ตฌ๊ณผ์
๊ฐ ๋ ๋ค
๊ฐ 2 1 0
์ 0 0 1
๋ณ 3 2 0
๊ฐ์ฅ ์ ์ ์์ ์ง์ ์ผ๋ก ๋ชจ๋ 0์ ์ง์
์ฐ๊ตฌ์์ฐ๊ตฌ๊ณผ์
๊ฐ ๋ ๋ค
๊ฐ 1 0 0
์ 0 0 2
๋ณ 2 1 0
๊ฐ์ฅ ์ ์ ์์ ์ง์ ์ผ๋ก ๋ชจ๋ 0์ ์ง์
์ง์ ์์ ํ์ ์๊ฐ ๊ฐ์ผ๋ฏ๋ก ํ ๋น ํ ์ ์์
โปโ๋ณ๋คโ, โ๊ฐ๋โ, โ์๊ฐโ ์ฐ๊ตฌ๊ณผ์ ํ ๋น ๋จ- Ch.8 Combinatorial Optimization
90/90