Universidade Federal do Recôncavo da Bahia

Centro de Formação de Professores

CURSO: Licenciatura em Matemática/Física/Química

DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e integral II

PROFESSOR: Álvaro Fernandes Serafim

ALUNO (A): ________________________________________________________________________________ Data: _____/_____/______.

CCoommpprriimmeennttoo ddee aarrccoo nnaa ffoorrmmaa ccaarrtteessiiaannaa Dada uma função contínua � = ����, � ∈ ⊂ ℝ, e a sua representação gráfica (curva) no plano

cartesiano, uma porção da curva do ponto ��, ����� e ���, ����� é chamada de arco.

No caso particular da função do 1º grau (graficamente uma reta), é fácil calcular o comprimento

de arco...

Basta aplica o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da figura.

Chamando de � o comprimento do segmento AB, obtemos:

�� = �� − ��� + ����� − ������ ⇒

� = ��� − ��� + ����� − ������

CCoommpprriimmeennttoo ddee aarrccoo nnaa ffoorrmmaa ppaarraammééttrriiccaa

No caso da função representar graficamente uma curva qualquer, utilizaremos um raciocínio

semelhante ao realizado para obter áreas de regiões planas limitadas por gráficos de funções.

Iremos aproximar o arco por subdivisões de segmentos de reta, obtendo o valor exato do

comprimento de arco como um limite no infinito...

Considere uma curva de equação � = ����, onde � é derivável e contínua em ��, ��. Vamos

determinar o comprimento de arco desta curva do ponto até �.

Seja P uma partição de ��, �� dada por � = �� < �� < �� < ⋯ < � !� < � < ⋯ < �" = �.

Sejam #�, #�, … , #" os correspondentes pontos sobre a curva. Unindo os pontos #�, #�, … , #",

obtemos uma poligonal, cujo comprimento nos dá uma aproximação do arco da curva de até �.

Veja uma ilustração de poligonal para % = 7:

O comprimento da poligonal, denotada por ", é dado por

% = ' ���( − �(−1�2 + ����(� − ���(−1��2%(=1

(1)

Sendo � uma função derivável em ��, ��, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio em cada

subintervalo �� , � !��, ( = 1,2,3, … , %.

Relembrando...

Sendo � derivável e contínua em ��, ��, o

Teorema do Valor Médio afirma que existe

pelo menos um número real , ∈ ��, ��, tal que

�′�,� = ���� − ����� − � ,

isto é, a reta tangente ao gráfico de �em � = ,

é paralela a hipotenusa AB.

Assim, podemos escrever �′�, � = -�./�!-�./01�./!./01

, onde , é um ponto do subintervalo �� !�, � �.

Substituindo este resultado em (1), obtemos:

" = ' ��� − � !��� + ��′�, ��� ∙ �� − � !��� =" 3�

' �1 + ��′�, ����� − � !�� =" 3�

= ' �1 + ��′�,(��2∆./%(=1

(2)

onde ∆./= � − � !�.

A soma que aparece em (2) é uma soma de Riemann da função �1 + ��′�����.

A medida que % cresce muito e, consequentemente cada ∆./ torna-se infinitamente pequeno, "

aproxima-se do comprimento de arco da curva de até �.

Obtemos assim, a seguinte fórmula para o comprimento de arco:

� = lim"→9 ' �1 + ��′�, ���∆./" 3�

⇒

� = : �1 + ;�′���<�=

>?� (3)

Pode ocorrer situações em que a curva é dada como função de �, isto é � = @���, em vez de

� = ����. Neste caso, o comprimento de arco da curva de �@�,�, ,� e ��@�?�, ?� é dado por

� = : �1 + ;@′���<�A

B?� (4)

Exemplo 1: Calcule o comprimento de arco da curva � = �C �⁄ − 4, de �1, −3� até ��4, 4�,

como mostra a figura.

Resp.: �80√10 − 13√13� 27⁄

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

A

B

CCoommpprriimmeennttoo ddee aarrccoo nnaa ffoorrmmaa ppaarraammééttrriiccaa

Vamos obter agora uma fórmula de integral definida que calcula o comprimento de arco de uma

curva na forma paramétrica.

Considere uma curva definida por I� = ��J�� = ��J�K , J ∈ �J�, J��, onde � = ��J� e � = ��J� são funções

contínuas com derivadas contínuas e �′�J� ≠ 0, para todo J ∈ �J�, J��.

Do estudo da derivada de uma função na forma paramétrica, sabemos que ANA. = NO�P�

.O�P�.

Substituindo esta derivada na fórmula � = Q �1 + ��′�����=> ?�, obtemos

� = Q �1 + ��′�����=> ?� = Q �1 + ;NO�P�

.O�P�<�P1

PR �O�J�?J , onde ��J�� = � e ��J�� = �. Assim,

� = : ���′�J��2 + ��′�J��2J1

J0?J (5)

Exemplo 2: Mostre que o comprimento de arco de uma circunferência de raio S é 2TS.

Exercícios:

1º) Calcule o comprimento da hipociclóide I� = 4�U%C�J�� = 4,V�C�J�K , J ∈ �0, 2T�, de acordo com a figura 1.

Resp.: 24TW. ,.

2º) Calcule o comprimento da espiral I� = UP,V��J�� = UP�U%�J�K , J ∈ �1, 2�, de acordo com a figura 2.

Resp.: √2�U� − U�W. ,.

Figura 1

Figura 2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

x

y

A: t = 1

B: t = 2