comportamento di edifici in muratura...

Capitolo 5

COMPORTAMENTO DI EDIFICIIN MURATURA PORTANTE

5.1 CLASSIFICAZIONE DEGLI EDIFICI

Quantunque le classificazioni pecchino sovente di rigidità nel loro intento diordinare e organizzare in gruppi gli elementi di un insieme, soprattutto quandoquesto sia caratterizzato da peculiarità molto eterogenee, qual’è il caso appuntodegli edifici esistenti in muratura portante di mattoni, sembra utile riproporrequella adottata da Michele Pagano(1). Essa consta delle seguenti tre classi:

I. Edifici interamente in muratura con orizzontamenti costituiti da volte;II. Edifici con ritti in muratura e orizzontamenti costituiti da solai la cui

orditura principale è composta da travi isostatiche in legno o ferro;III. Edifici con ritti in muratura ed orizzontamenti costituiti da solai

ammorsati in un cordolo perimetrale in calcestruzzo armato.

È evidente che, in molti casi, un dato edificio potrà anche contenere le trevarianti suindicate, e dunque presentarsi a tipologia ibrida.

5.2 EDIFICI DI PRIMA CLASSE: INTEGRALMENTE IN MURATURA CON ORIZZONTAMENTI A VOLTA

Si tratta di tipologie costruttive storiche nelle quali l’organizzazione strutturaleportante è interamente affidata a murature. In sostanza, sia l’apparato fondale,sia le strutture verticali e gli orizzontamenti (o impalcati), sono realizzati medianteelementi lapidei o in laterizio (Figura 5.1c), variamente legati. Discorso a partevale per le coperture che, invece, riscontrano il favore prevalentemente di capriatein legno o comunque di dispositivi strutturali con elementi lignei.

Le fondazioni possono essere realizzate secondo lo schema di Figura 5.1a e5.1b: una serie di piloni in muratura posti in prossimità degli incroci dei murimaestri raggiungono lo strato fondale più resistente; un sistema di volte sostienele parti restanti delle strutture di elevazione.

Lo schema dell’arco di fondazione può essere anche «rovesciato», in tal casoil livello terra poggia direttamente sul suolo (Figura 5.2)

(1) Michele Pagano, Teoria degli Edifici. Edifici in Muratura, Liguori Editore, Napoli 1969.

Figura 5.1 - Schema delle fondazioni di un fabbricato di prima classe. a) Piantacon evidenziate le zone dei piloni in muratura; b) Particolare dei pilonidi fondazione e delle volte a botte del livello terra. c) Particolare degliorizzontamenti ai piani

Figura 5.2 - Schema delle fondazioni di un fabbricato di prima classe con archirovesciati

Capitolo 5 - COMPORTAMENTO DI EDIFICI IN MURATURA PORTANTE

Per quanto riguarda gli orizzontamenti (incluso, come si vede in Figura 5.1b,il livello terra) il sistema costruttivo adottato si fonda sul principio della volta.Numerosissime sono le tipologie di volta adottate; di seguito si riporta una breveillustrazione di alcuni tipi principali raggruppate secondo le seguenti categorie:

a) a botte;b) a padiglione;c) a crociera;d) a doppia curvatura.

Tutti questi sistemi si fondano principalmente sul comportamento statico del-l’arco. Anche le aperture sui muri sono generalmente ottenute mediante l’inserimentodi un arco di scarico o di una piattabanda al di sopra delle stesse (Figura 5.3).

L’assenza di soluzione di continuità nel materiale utilizzato per fondazione estrutture di elevazione, ovvero la muratura in laterizio o in elementi lapidei, rendemolto sensibili i fabbricati ai cedimenti differenziali che possono manifestarsi conampie fessurazioni nei maschi murari.

Figura 5.3 - Piattabande e archi di scarico sopra i vani di aperture (da Donghi)


5.3 PRINCIPI DI FUNZIONAMENTO DELLE VOLTE

Per quanto concerne i limiti di questa trattazione ci si sofferma a sottolineare soloalcuni degli aspetti relativi al comportamento delle volte. Questi verranno illustrati inmodo sintetico in un approccio di tipo intuitivo, rimandando il lettore che voglia appro-fondirne lo studio ai manuali classici di Scienza delle Costruzioni. Cionondimeno ritengoutile, come sempre, che sia colto almeno l’aspetto generale della problematica.

5.3.1 VOLTE A BOTTE

Nel caso in cui la generatrice della volta sia un arco a tutto sesto la situazionesi presenta come in Figura 5.4. Si tratta di un cilindro sezionato a metà e appoggiatoorizzontalmente su due supporti continui nelle imposte dell’arco che lo genera(lati lunghi della Figura 5.4a indicati con L2), mentre i lati delle due testate L1possono offrire o meno appoggio continuo alle estremità della volta.

Il regime delle spinte è regolato dalla forma geometrica della volta stessa maanche da quella dei sostegni verticali. Alla direttrice di spinta principale in direzioneL1 (Figura 5.4a), si associa quella secondaria in direzione L2 (Figura 5.4b). Se ladimensione di L2 è molto più grande di L1, prevale la componente di spinta principale.Se le murature presentano delle aperture, il regime delle spinte si fa più significativopoichè dette aperture concentrano il flusso delle tensioni sui ritti. Nel caso limitein cui L1 = L2 = L, le spinte S1 e S2 sui 4 ritti d’angolo (cantonali) risultano sensibiliin entrambe le direzioni (Figure 5.4c e 5.4d), originando una risultante S orientatagenericamente che tende ad «aprire» verso l’esterno i cantonali.

In sostanza la volta innesca anche meccanismi di resistenza a compressione,lungo le diagonali di pianta, più o meno rilevanti.

Figura 5.4 - Comportamento di volta a botte


Le volte che generano gli orizzontamenti possono essere più o meno ribassate(vedi Figura 5.5). Ciò implica un aumento del valore di spinta che, come è noto,dipende dalla monta h in modo inversamente proporzionale. In generale, per avereuna idea dell’entità della spinta S, si può adottare lo schema di arco a 3 cernierecon ipotesi di carico verticale distribuito in modo costante. In tali circostanze ilcalcolo è molto semplice e veloce ed è dato dalla:

S = qL2 / (8h) (5.1)

L’azione della risultante R all’imposta può pensarsi assorbita dal piedritto secon-do le due componenti S (spinta orizzontale) e V (azione verticale).

Figura 5.5 - Risultante e componenti verticale e orizzontale all’imposta di una voltain muratura

Se la disposizione interessa muri interni o di spina, aventi luci contigue pres-sochè uguali (vedi Figura 5.6a), la componente orizzontale tende ad annullarsi,restando gravante sul piedritto la somma delle due aliquote di carico verticalederivanti dalle luci contigue. Invero, nel caso di luci contigue diverse, prevarrà lacomponente di spinta relativa all’azione della campata di luce maggiore (5.6b).


Figura 5.6 - a) Risultante verticali per eliminazione di spinta su campate contiguesimmetriche; b) prevalenza di spinta su campate asimmetriche

Per quanto attiene al comportamento sotto azioni orizzontali, come è noto,l’arco è una forma strutturale non ottimale. Similmente le volte sono affette daanalogo difetto con una qualche attenuante. La loro estensione spaziale garantisceuna certa rigidezza. Anche in questo caso la valutazione è molto difficile da fareperchè dipende da molteplici fattori, non ultimo l’entità della sua compressione.Ad ogni modo se consideriamo una distorsione della pianta tale da creare unafigura deformata romboidale (Figura 5.7b), una diagonale risulterà tesa (B’O’C’) euna compressa (A’O’D’). La diagonale compressa, che schematizza un arco diagonaledella volta, tenderà ad alzarsi di una quantità δ (Figura 5.7c), mentre l’altro arcodiagonale teso, ad abbassarsi di δ (Figura 5.7d). Questo effetto eguale ed oppostodifferenzia il comportamento della volta (figura spaziale) da quello di un arco singolo(figura piana). In pratica il sistema costituito dai due archi diagonali si controventaa vicenda, consentendo la formazione del meccanismo tirante-puntone. Anche sup-ponendo che il materiale in cui è costruito la volta abbia resistenza a trazionenulla, e quindi che in pratica questo tipo di comportamento sia vanificato dal fattoche non sarebbe teoricamente possibile nessuna azione della diagonale tesa con-trastante l’innalzamento di quella compressa, possiamo però osservare che se, comegeneralmente avviene, il sistema volta è compresso nella configurazione orizzon-talmente indeformata (Figura 5.7a), lo sono anche entrambi le diagonali.(2) Pertantola diagonale tesa nella configurazione deformata (Figura 5.7b) può contrastare effi-cacemente lo spostamento δ, nei limiti della sua decompressione. Oltre detto limitela riserva di efficacia è data dalla resistenza a trazione (quindi scarsa).

(2) È evidente che la compressione della volta dipende dai carichi gravanti sulla medesima. Il con-cetto è analogo a quello dell’arco che, per garantire il suo funzionamento, deve risultare caricato.


Il funzionamento tirante-puntone può dunque essere interessante al fine dellamodellazione del comportamento degli edifici sotto carichi orizzontali, consentendodi rappresentare l’orizzontamento costituito dalla volta, mediante l’inserimento di unoschema piano tirante-puntone lungo le direttrici diagonali della maglia di pianta.(3)

Figura 5.7 - a) volta non deformata; b) configurazione deformata; c) innalzamentodella diagonale compressa; d) abbassamento della diagonale tesa

5.3.2 VOLTE A PADIGLIONE

Dal punto di vista geometrico risultano composte dall’intersezione di due voltecilindriche impostate sui lati paralleli dei piedritti della pianta rettangolare (Figura5.8). La superficie è delimitata dai 4 spicchi la cui generatrice dei lati giace sullesuperfici curve diagonali. Anche in questo caso il comportamento dipende dallevariabili già viste per la volta a botte, ovvero: lunghezza relativa dei lati dellapianta; apertura dei muri di imposta, condizioni di carico, ecc. Cosicché nei rittiin cui la presenza delle aperture è sensibile, si accentua il comportamento adarco di tipo 1, in quelli continui il comportamento di tipo 2 (Figura 5.8b). Nelcaso in cui la pianta sia quadrata e il sistema sia sorretto da 4 pilastri ugualiagli angoli, la spinta su questi assume andamento diagonale a 45° ed è possibiledeterminarla in via semplificata mediante la 5.1, dove h è la monta degli archidiagonali ed L la loro luce. Essa tende ad aprire i montanti verso l’esterno.

Un tipo particolare di volta a padiglione è quella di Figura 5.9b. Essa vienedetta anche volta a schifo ed è molto diffusa nell’edilizia storica in quanto, al vantaggiodi una maggiore libertà della pianta (forma rettangolare anziché quadrata), uniscequello dell’estradosso piano che agevola la formazione del piano superiore.

(3) Il problema è quello relativo alla scelta di una «sezione ideale resistente» degli elementi tirantee puntone «fittizi», e dell’eventuale attribuzione di un modulo elastico rappresentativo.


Figura 5.8 - Volta a padiglione

Figura 5.9 - a) volta a botte con testata a padiglione; b) volta a schifo

5.3.3 VOLTE A CROCIERA

Anche le volte a crociera sono composte dall’intersezione di due volte cilindricheincrociate. Il tipo più semplice è quello impostato su pianta quadrata. I semicilindrisono tagliati a filo delle murature (Figura 5.10a). Il comportamento statico risultasostanzialmente combinato secondo gli schemi già visti nei precedenti paragrafi,che si riconducono a quelli relativi alle spinte degli archi impostati sui lati dipianta e a quelli sulle diagonali, con conseguente azione che induce i piedritti alribaltamento verso l’esterno. Le varianti tipologiche sono notevoli, ad esempio inFigura 5.10b si illustra una volta crociera impostata su archi a sesto acuto.

Nel caso essa sia impostata su muri di supporto continuo valgono le indicazionidi Figura 5.4.


Figura 5.10 - Volta a crociera

5.3.4 VOLTE A DOPPIA CURVATURA

Gli esempi più semplici sono costituiti dalla Figura 5.11 dove la volta è generatasu una pianta quadrata da una duplice curva avente identico raggio. La formaassunta è quella di una calotta sferica tagliata a filo dei lati del tamburo di sostegno.Il regime delle spinte è analogo ai casi visti in precedenza in funzione delle stessevariabili quali: la presenza di muri continui di supporto, le forature negli stessi.Nella condizione di appoggio su 4 cantonali identici, impostati su pianta quadrata,la spinta assume andamento diagonale a 45° verso l’esterno.

Figura 5.11 - Volta a doppia curvatura


5.4 CONDIZIONI FISIOLOGICHE DEGLI EDIFICI ESISTENTI DI PRIMA CLASSE

Dopo la breve digressione sul comportamento delle volte riprendiamo l’argo-mento relativo agli edifici riconducibili alla prima classe. Nella stragrande mag-gioranza dei casi (per non dire totalità), fanno parte dell’edilizia storica appartenentead epoche antecedenti l’avvento del calcestruzzo armato e quindi sono privi dicordolature interpiano in calcestruzzo armato (obbligatorie per norma negli ultimidecenni). Generalmente la loro situazione statica ha subito nel tempo mutamentidovuti a molteplici cause quali ad esempio: assestamenti dell’apparato fondale;sollecitazioni eccezionali a carattere dinamico (terremoti); esposizioni a condizioniclimatiche di vario genere (escursioni termiche, vento ecc); variazioni delle con-dizioni d’uso e dunque dei carichi gravanti sugli orizzontamenti; fenomeni dovutia maturazione dei leganti quali ritiro e viscosità; infine, anche, manomissioni del-l’apparato strutturale originario. Tutto ciò, unito magari alla scarsa qualità deimateriali, finisce col produrre il superamento dei limiti di resistenza a trazione,già di per se bassi, in molte sezioni, configurando la parzializzazione delle stesse(vedi Figura 5.12). Il quadro generale tende dunque ad assestarsi, al limite, aduno stato privo di zone tese, in cui il sistema può essere pensato come un insiemedi conci idealmente separati, il cui contatto avviene «localmente» in parti di sezionisoggette a compressione, e dove i letti di malta hanno assunto il compito di favorireil contatto fra le superfici scabre su una più ampia superficie.

Figura 5.12 - Fessurazioni conseguenti alla parzializzazione del sistema murario


L’effettiva capacità portante di detto sistema che, sostanzialmente, ha subitonel tempo una diminuzione di rigidezza, è sicuramente inferiore a quella originaria,in cui l’arco avrebbe potuto supporsi in condizioni perfettamente integre. Nondi-meno, l’adozione di una ipotesi limite, che consideri a priori la parzializzazionedi tutte le sezioni, può considerarsi a vantaggio della sicurezza.

5.5 EDIFICI DI SECONDA CLASSE: CON RITTI IN MURATURA EORIZZONTAMENTI A STRUTTURA PORTANTE IN LEGNO O IN FERRO

A questa categoria appartengono ancora edifici a carattere storico, sempre prividi cordolatura in calcestruzzo armato, in cui gli orizzontamenti sono realizzatida solai nei quali l’orditura portante principale è costituita da una travatura ligneao in ferro. Il sistema è dunque monodirezionale, di tipo a travi appoggiate suimuri maestri. Il criterio di distribuzione dei carichi monodirezionale investe gene-ralmente due murature ai lati opposti della «cellula» di pianta quadrangolare rela-tiva al vano in cui giace il solaio. Gli altri due muri risultano dunque «scarichi»per quanto concerne le azioni trasmesse dall’orizzontamento.

In Figura 5.13a è riportato il caso, non infrequentre, in cui la presenza di un«rompitratta» origina una distribuzione dei carichi sui 4 muri che circoscrivono la«cellula» del solaio. L’azione trasmessa dal rompitratta può assimilarsi ad un caricoconcentrato, mentre quella dei travetti può assimilarsi ad un carico distribuito.

Questo tipo di solai viene generalmente completato da un tavolato ligneo sul qualesi dispone un massetto e la finitura del pavimento (piastrelle o listellatura lignea).

Figura 5.13 - a) Solaio a struttura lignea con rompitratta centrale (da Levi);b) Solai a voltine di laterizio (pieno o forato) con travature in ferroe getto di conglomerato sovrastante

a)

b)


Appartengono ai solai monodirezionali anche quelli composti da travaturemetalliche e voltine variamente composte (Figura 5.13b). La mutua spinta fra levoltine adiacenti, poste ad interassi uguali, si annulla, mentre la spinta residuadelle voltine di bordo, essendo gli interassi delle travature metalliche dell’ordinedi circa 1 metro e la monta molto ribassata, risulta estremamente limitata e inmolti casi trascurabile agli effetti della stabilità del muro.

Per quanto riguarda le forature di porte e finestre, possiamo trovare la mede-sima tipologia relativa ai casi di Figura 5.3: archi di scarico o piattabande, ovverol’architrave può essere costituito da una trave di ferro o in legno.

Ad ogni modo, di fondamentale interesse, risultano i seguenti aspetti:a) differenziazione netta fra il materiale costituente l’orizzontamento e quella

costituente la muratura di elevazione;b) valutazione della capacità di un effettivo ammorsamento delle travi nei

muri portanti in grado di fornire la trasmissione dello sforzo normale dal muro alla trave (e viceversa);

c) valutazione della rigidezza dell’orizzontamento, che dal passaggio dei casi di Figura 5.13 a quelli di Figura 5.14, presenta diversi gradi di valutazione(4);

d) presenza di eventuali riseghe nei muri portanti che diminuiscono lo spessore di questi con l’aumentare dei piani.

Per quanto indicato al punto a) il primo effetto di questa organizzazione strut-turale sta, dunque, nell’eliminazione della spinta nei piedritti da parte dei solai,in quanto orizzontali. Restano comunque eventuali condizioni di comportamentoad arco laddove, come suggerito nella letteratura storica, si debbano appoggiareeventuali travi maestre intermedie sopra aperture.(5)

Una seconda importante caratteristica sta nella valutazione del punto b). Spessol’innesto delle travature (lignee o in ferro), all’interno dei maschi murari, può con-siderarsi a scorrimento orizzontale libero, se si trascurano gli effetti dell’attrito frai materiali. In tali circostanze il paramento murario risulta privo di «aggancio oriz-zontale». Quantunque raccomandati dalla manualistica d’epoca (vedi esempio Figura5.14), la realizzazione di ancoraggi in grado di realizzare una funzione almeno ditirante dei travetti di solaio si riscontra rarissimamente nella pratica costruttiva.

Figura 5.14 - «Nella pratica le buone regole di costruzione vogliono che si considerinoi travicelli come semplicemente appoggiati. Ciò non ostante sarà uti-lissimo, ed in alcuni casi anche indispensabile, di bene assicurare gliestremi di questi ferri alle murature.» (da Boubèe 1880)

(4) Cfr. Anche Appendice E.(5) «L’appoggio di trave maestra non deve di regola risultare in corrispondenza di apertura di porta

o finestra; quando ciò non possa evitarsi, si deve costruire sulla relativa piattabanda un arco di scarico».Carlo Levi, Corso di Costruzioni, Milano, Hoepli, 1950.


L’aspetto segnalato in c) rappresenta invece il riscontro di un diverso di gradorigidezza offerto dall’orizzontamento. È evidente che nel caso di solai in legno,in cui il collegamento fra i travetti è rappresentato unicamente dalla chiodaturadi un tavolato spesso qualche centimetro, rappresenta una condizione diversa, adesempio, dal caso in cui si riscontri un doppio tavolato incrociato, o un sistemacostruttivo basato su elementi in laterizio integrati da un getto di conglomeratoancorchè non armato.

Per quanto concerne invece il punto d), la condizione si verifica molto spessonei muri perimetrali dove, mantenendo il filo verticale esterno, la risega fungenteda appoggio alle travi dei solai viene ricavata all’interno dei muri portanti. Neconsegue una eccentricità di carico che può risultare a favore del ribaltamentodella muratura verso l’esterno. La mancanza dell’effetto tirante dei travetti inter-piano impone dunque di considerare, ai fini della verifica al ribaltamento, l’interaaltezza del muro anzichè quella interpiano.

Figura 5.15 - Condizione di cinematismo di un paramento murario (da Pizzetti -Trisciuoglio, rielaborata dall’Autore)

In Figura 5.15 viene illustrato un caso esemplificativo delle possibili condizionirelative ad un muro perimetrale B di un edificio di seconda classe (ma per moltiversi le considerazioni possono essere valide anche per quelli di prima classe):

a) il muro B è scarico delle azioni relative ai solai, il che comporta unadiminuzione degli effetti benefici della risultante dei carichi verticali (uscita dalnocciolo centrale di inerzia);

b) il muro B è eretto con eccentricità morfologiche che tengono a piombosolo il filo esterno e rientrano nella superficie interna, incrementando così l’ec-centricità dei carichi verso l’esterno;


c) il muro A (di spina) esercita una azione di spinta verso B dovuta agliarchi di scarico delle forature in prossimità dell’incrocio;

d) il muro A potrebbe manifestare fessurazione verticali in C (ovvero sullecosiddette croci dei muri) dovute a: degrado dei materiali; effetti relativi alla dif-ferenza di temperatura interna ed esterna(6); accorciamento differenziale a com-pressione per le diverse condizioni di carico rispetto a B, ecc..

In definitiva, tutto ciò comporta una tendenza al ribaltamento verso l’esternodi B e la necessità di una verifica nelle ipotesi che la muratura perimetrale sicomporti rigidamente su tutta l’altezza dell’edificio.

Nelle Figure 5.16 e 5.17 si riporta una verifica al ribaltamento di un muro esternodi un fabbricato ibrido di prima e seconda classe. I primi tre piani fuori terra sono,infatti, costituiti da orizzontamenti a volta; gli ulteriori 3, mediante solai con traviappoggiate. Il caso, tratto dal citato volume dell’Ing. Russo(7), riguarda un fabbricatosul Lungotevere di Roma. L’Autore conduce un’analisi semplificata e spedita, nel-l’ipotesi che non possa essere considerato il funzionamento a tirante dei solai.

Figura 5.16 - Schema del fabbricato oggetto di analisi del ribaltamento del muroperimetrale (da Russo)

(6) Una differenza di temperatura di 15°C tra interno ed esterno può causare una tensione di scor-rimento all’incrocio dei maschi murari dell’ordine di 0,3÷0,5 daN/cm2.

(7) Cristoforo Russo, Le Lesioni dei Fabbricati, UTET, Torino 1947.


Figura 5.17 - Verifica al ribaltamento del muro di Figura 5.16 (da Russo)


5.6 EDIFICI DI TERZA CLASSE: CON RITTI IN MURATURA EDORIZZONTAMENTI ANCORATI AD UN CORDOLO DI CEMENTOARMATO

L’avvento della tecnica del calcestruzzo armato ha notevolmente modificato, insenso favorevole ovviamente, il comportamento strutturale degli edifici in muraturaportante attraverso una serie di innovazioni tecniche. In principal luogo l’introduzionedella realizzazione di solai in laterocemento, il cui confezionamento viene completatocon getto in opera di calcestruzzo spesso accompagnato da una armatura diffusasulla soletta, ha comportato la realizzazione di una cordolatura in calcestruzzo armatoai livelli dei vari solai. Ciò, unitamente al miglioramento della qualità degli elementicostituenti la muratura, e la qualità dei leganti, ha contributo al conseguimento diun comportamento scatolare dell’intero sistema costruttivo.

Già da molti anni, tutte le normative tecniche hanno reso obbligatoria la rea-lizzazione di una cordolatura in c.a. di interpiano (ovvero al livello dei solai),imponendo addirittura regole per un dimensionamento minimo al di sotto dellequali non è consentito derogare (sezione e armatura).

Figura 5.18 - Effetto cerchiante di una cordolatura in calcestruzzo armato

Nella stragrande maggioranza dei casi, soprattutto quando le dimensioni delfabbricato sono geometricamente regolari, la presenza di solai siffatti(8) attribuisceun comportamento a diaframma orizzontale rigido.

(8) Anche, ovviamente quando l’orizzontamento sia costituito semplicemente da una soletta armata.


Il comportamento scatolare ha molto migliorato il comportamento sismico diquesti fabbricati.

In alcuni casi, il solo effetto cerchiante della cordolatura (Figura 5.18), è suf-ficiente ad assicurare impedimenti al cinematismo di ribaltamento laterale. Altrivantaggi sono comunque assicurati, tra i quali si ricorda:

— valido elemento fungente da architrave in caso di forature del paramento murario non espressamente previste in fase di primo progetto;

— ripartitore di effetti dovuti a cedimenti locali;— diminuzione dell’altezza libera di inflessione del pannello murario, che

può ridursi al limite in articolazione cerniera-cerniera fra gli estremi della cordolatura interpiano (qualora si possa fare affidamento sull’effetto di controventamento orizzontale dei solai).

Un ulteriore menzione va fatta anche riguardo alla tendenza dell’utilizzo diuna architrave in calcestruzzo armato al di sopra delle aperture dei vani di portee finestre. In questo caso, se l’architrave è realmente efficace, ovvero se a questapuò essere attribuito un effettivo comportamento di resistenza a trazione, si haun conseguente effetto di collaborazione fra i maschi murari contigui (effetto fasciao effetto accoppiamento).(9)

5.7 GLI ORIZZONTAMENTI

5.7.1 ORIZZONTAMENTI INFINITAMENTE RIGIDI

Per le nuove costruzioni, gli orizzontamenti possono essere considerati infi-nitamente rigidi nel loro piano a condizione che(10):

1) siano realizzati in calcestruzzo armato;2) siano realizzati in latero-cemento con soletta in c.a. di almeno 40

mm di spessore;3) siano realizzati in struttura mista con soletta in cemento armato di

almeno 50 mm di spessore, ad esempio solai in legno con soletta collaborante in c.a, solai in acciao-calcestruzzo con soletta collaborante in c.a. In tal caso la soletta deve essere collegata da connettori a taglio opportunamente dimensionati agli elementi strutturali in acciaio o in legno e purché le aperture presenti non ne riducano significativamente la rigidezza;

4) siano in grado di trasmettere le forze ottenute dalla soluzione del modello di calcolo sismico (analisi lineare statica, analisi modale) incrementate del 30%.

Per gli edifici esistenti in muratura la Circolare 617/09 ha invece assuntoun’ottica meno restrittiva ammettendo di considerare infinitamente rigidi i solaiche siano:

ben collegati alle pareti e dotati di una sufficiente rigidezza e resistenza nel loro piano.

Poiché, come si nota, questa seconda definizione, lascia la valutazione al pro-gettista, nel prosieguo porremo in evidenza alcune caratteristiche degli orizzonta-menti in modo da potersi orientare nella scelta.

(9) Cfr. § 5.8.(10) Condizioni desunte dalle NTC.


L’ipotesi del traverso infinitamente rigido, consente di imporre la congruenzafra gli spostamenti orizzontali dei ritti del modello strutturale. Una prima conse-guenza di questa ipotesi è quella rappresentata in Figura 5.19: un telaio costituitoda più piedritti, e avente più gradi di libertà, può essere equiparato ad un sistemacomposto da una sola asta verticale in cui le masse ai vari livelli degli impalcatisono discretizzate alle relative quote della singola asta.

Figura 5.19 - La presenza del traverso infinitamente rigido impone la congruenzadi tutti gli spostamenti orizzontali ai vari livelli, assimilando il com-portamento del telaio a quello di un unica asta in cui le masse sianoconcentrate ai relativi livelli del traverso

In sostanza la struttura, ai vari livelli, è vincolata agli stessi spostamenti oriz-zontali e la sua deformata può essere ricostruita a partire da quella della singolaasta che ne riassume il comportamento globale. In particolare l’asta verticale rias-sume le caratteristiche di rigidezza delle singole aste orizzontali, in simboli:

ktot = Σ ki (5.1)

Qualora l’ipotesi di traverso infinitamente rigido non sia verificata, i piedrittidel sistema strutturale a più gradi di libertà di cui alla Figura 5.19, tendono ciascunoa comportarsi in modo autonomo (vedi Figura 5.20). In tal caso nella strutturaaumentano i modi di vibrare, perchè ciascun ritto ne avrà uno di suo in funzionedelle proprie caratteristiche. In secondo luogo, questi modi di vibrare mettono ineccitazione un’aliquota della massa totale relativamente bassa. Per raggiungere,dunque, le aliquote di percentuale della massa sismica partecipante, indicate nelleNTC, sarà necessario aumentare il numero dei modi da considerare nel calcolo.


Figura 5.20 - Struttura con traverso deformabile e comportamento autonomo deisingoli ritti, a destra uno dei possibili modi di vibrare.

Da un punto di vista puramente qualitativo anche la forma planimetrica diun impalcato può dare alcune significative informazioni in relazione alla sua rigi-dezza. Nel caso di piante in cui siano presenti sensibili restringimenti, e soluzionidi continuità, l’ipotesi di indeformabilità potrebbe essere poco attendibile anchequando siano soddisfatte le ipotesi relative alla tipologia costruttiva vista per ipunti 1), 2) e 3) (Figura 5.21a). In effetti nella zona più «debole» (tratteggiata),e specie per eccentricità notevole fra baricentro delle masse e delle rigidezze, pos-sono verificarsi spostamenti relativi significativamente diversi per una stessa dire-zione. Molto più idonee saranno invece forme compatte, anche in presenza disensibili eccentricità fra baricentro delle masse e delle rigidezze (Figura 5.21b).

Figura 5.21 - Esempi di solai più o meno deformabili


La Circolare 617/09 ha dato, comunque, le ulteriori seguenti indicazioni(11):

Gli orizzontamenti devono essere dotati di opportuna rigidezza e resistenza nel piano e collegatiin maniera efficace alle membrature verticali che li sostengono perché possano assolvere la funzionedi diaframma rigido ai fini della ripartizione delle forze orizzontali tra le membrature verticali stesse.

Particolare attenzione va posta quando abbiano forma molto allungata o comunque non com-patta: in quest’ultimo caso, occorre valutare se le aperture presenti, soprattutto se localizzate inprossimità dei principali elementi resistenti verticali, non ne riducano significativamente la rigidezza.Essi possono essere considerati infinitamente rigidi nel loro piano se, modellandone la deformabilitànel piano, i loro spostamenti orizzontali massimi in condizioni sismiche non superano per più del10% quelli calcolati con l’assunzione di piano rigido. Tale condizione può ritenersi generalmentesoddisfatta nei casi specificati nelle NTC(12), salvo porre particolare attenzione quando essi sianosostenuti da elementi strutturali verticali (per es. pareti) di notevole rigidezza e resistenza.

Quando gli orizzontamenti possono essere considerati infinitamente rigidi nelloro piano, le masse e le inerzie rotazionali di ogni piano, possono essere con-centrate nel loro centro di gravità. Ne consegue un concetto fondamentale nellavalutazione delle azioni sismiche ovvero la coincidenza o meno del baricentro dellemasse con il baricentro delle rigidezze.

5.7.2 ECCENTRICITÀ ACCIDENTALI

L’eccentricità accidentale è una eccentricità aggiuntiva che va considerata in ognicaso (anche qualora non vi sia presente una eccentricità geometrica fra baricentrodelle masse e delle rigidezze). Essa tiene forfettariamente conto di diversi fattori:

• variabilità spaziale del moto sismico;• incertezze nella localizzazione delle masse;• incertezze del modello;• fattori di carattere esecutivo.

La variabilità spaziale del moto sismico incide significativamente in costruzioniche abbiano un ampio sviluppo planimetrico lungo una direzione prevalente (adesempio nei ponti), molto meno, invece, nei fabbricati storici che generalmentehanno piante compatte. Le incertezze nella localizzazione delle masse, invece, sonomolto più probabili nelle costruzioni, in quanto è plausibile che i sovraccarichiaccidentali non siano uniformemente distribuiti sui solai, come invece si ipotizzain genere. Si osserva solo che nei fabbricati a struttura portante in muratura,data l’elevata incidenza del peso proprio delle stesse, la percentuale dei sovraccarichiaccidentali risulta sensibilmente ridotta rispetto ad altre tipologie strutturali (adesempio ossature in c.a. o metalliche con muri di tamponamento alleggeriti). Adogni modo, il DM 14.01.08, dispone che per i soli edifici, ed in assenza di piùaccurate determinazioni, l’eccentricità accidentale in ogni direzione non possa esse-re considerata inferiore a 0,05 volte la dimensione dell’edificio misurata perpen-dicolarmente alla direzione di applicazione dell’azione sismica (Lmax i). Detta eccen-tricità è assunta costante, per entità e direzione, su tutti gli orizzontamenti:

eacc = 0,05 x Lmax i (5.3)

(11) Circ. 617/09, § C.7.2.6.(12) Queste condizioni sono quelle indicate ai punti 1), 2), 3) e 4) sopra riportati.


Inoltre, qualora la distribuzione di elementi secondari non strutturali (ad esem-pio tramezzature interne) sia fortemente irregolare in pianta, gli effetti di taleirregolarità debbono essere valutati e tenuti in conto. Questo requisito si intendesoddisfatto incrementando di un fattore 2 l’eccentricità accidentale di cui alla (5.3):

eacc = 2 x 0,05 x Lmax i (5.4)

5.7.3 FUNZIONE DEL SOLAIO INFINITAMENTE RIGIDO NELLA DISTRIBUZIONE DELLE AZIONI

SISMICHE

Si abbia una parete muraria di un edificio che, per semplicità di esposizionedel concetto, assumiamo ad un solo piano fuori terra. In detta parete siano collocatialcuni fori di porte e finestre (Figura 5.22a). Si consideri di avere determinato laforza orizzontale F che rappresenta l’azione sismica e che agisce nel baricentrodel traverso orizzontale (infinitamente rigido).

Un modello di comportamento semplificato della situazione può essere effet-tuato considerando che lo schema statico sia composto da un telaio avente i 3ritti (Figura 5.22b) collegati in sommità dal traverso. Ciascun ritto assume le dimen-sioni desunte dall’aver trascurato le porzioni di muratura superiori e/o inferioriai fori.

Figura 5.22 - Ripartizione su ritti giacenti in direzione della forza con ipotesi di«traverso infinitamente rigido»


Se k1, k2, k3 sono le rigidezze dei tre ritti, imponendo l’uguaglianza degli spo-stamenti in sommità, come condizione di congruenza, ne consegue direttamente:

1) per l’equilibrio alla traslazione orizzontale:F = F1 + F2 + F3 (equilibrio alla traslazione orizzontale) (5.5)

2) per il comportamento elastico lineare dei materiali:F1 = k1 x x1F2 = k2 x x2 (5.6)F3 = k3 x x3

per il comportamento di traverso infinitamente rigido, la seguente condizionedi congruenza, ovvero identità degli spostamenti:

x1 = x2 = x3 = x (5.7)

La rigidezza complessiva del telaio è data dalla somma delle singole rigidezzedei ritti per cui, considerando la (5.1) si ottiene:

F = ktot x x (5.8)

ktot = k1 + k2 + k3 (5.9)

Quest’ultima, sostituita alla (5.8) dà:

F = (k1 + k2 + k3) x x ⇒ x = F / (k1 + k2 + k3) (5.10)

E conseguentemente la soluzione:

F1 = k1 x x1 = k1 x x = F x k1 / (k1 + k2 + k3)

F2 = k2 x x2 = k2 x x = F x k2 / (k1 + k2 + k3) (5.11)

F3 = k3 x x3 = k3 x x = F x k3 / (k1 + k2 + k3)

In virtù del traverso infinitamente rigido, l’azione orizzontale (sismica) F sidistribuisce dunque in funzione proporzionale alla rigidezza dei piedritti. Più sonorigidi, maggiore è la quota parte relativa.

Prendiamo ora in considerazione questo ulteriore aspetto. Stavolta si abbiain pianta la situazione di Figura 5.23. L’orizzontamento ABCD, costituito sempreda un solaio infinitamente rigido, trasmetta l’azione (sismica) orizzontale F = 5.000daN sui ritti S1 = S2 = S3 = S4 , tutti dello stesso materiale di muratura e dimen-sioni:

S1 = S2 = S3 = S4 t = 30 cm; L = 500 cm; H = 300 cm


Figura 5.23 - Ripartizione su ritti giacenti in direzione parallela e ortogonale allaforza F con ipotesi di «traverso infinitamente rigido»

Come è noto, la rigidezza dei singoli ritti è data dalla formula:

1k = —————— (5.12)

1 1—— + ——kf kt

dove:kf = n E J / H3 (5.13)

è detta rigidezza flessionale e rappresenta il contributo della deformazioneflessionale, mentre, per pareti con sezione rettangolare:

kt = G A / (1,2 H) (5.14)

rappresenta il contributo del taglio. Nelle (5.13) e (5.14) si ha:E = modulo elastico della muratura;J = momento di inerzia lungo la direzione di spostamento;H = altezza della muratura (o interpiano);G = modulo di elasticità tangenziale della muratura;A = t x L = sezione orizzontale del pannello murario;1,2 = numero relativo al fattore di taglio χ per sezioni rettangolari;n = coefficiente dovuto allo schema statico del pannello murario (n = 3 per

muro con schema statico a mensola e sommità libera, n = 12 per schema statico come indicato in Figura 5.22, dove la sezione superiore del muro non ruota dopo lo spostamento).


Con le posizioni (5.13) e (5.14), dopo semplici passaggi algebrici, la (5.12)diventa:

1k = ______________________ (5.15)

H3 1,2 H_______ + _______12 E J G A

Supponiamo di aver stimato, con le considerazioni fatte al capitolo 4, i para-metri E e G della muratura in:

E = 45.000 daN/cm2

G = 13.500 daN/cm2

Si ha, per i setti 1 e 2:J1 = J2 = 30 x 5003 / 12 = 312,500 x 106 cm4

A1 = A2 = 15.000 cm2

k1 = k2 = 516.055 daN/cm2

Per i setti 3 e 4:J3 = J4 = 500 x 303 / 12 = 1,125 x 106 cm4

A1 = A2 = 15.000 cm2

K3 = k4 = 21.635 daN/cm2

Per la congruenza imposta dall’orizzontamento infinitamente rigido, possiamoapplicare identico ragionamento visto per il caso di Figura 5.22 e, con le (5.11),determinare le aliquote di azioni afferenti a ciascun setto:

ktot = Σki = k1 + k2 + k3 + k4 = 2 x 516.055 + 2 x 21.635 = 1.075.380 daN/cm2

F1 = F2 = F x k1 / (Σki) = 5.000 x 516.055 / 1.075.380 ≈ 2.400 daN

F3 = F4 = F x k3 / (Σki) = 5.000 x 21.635 / 1.075.380 ≈ 100 daN

L’esempio dimostra come la presenza del solaio infinitamente rigido imponela condizione che la resistenza all’azione (orizzontale) sismica resti quasi intera-mente affidata alle pareti il cui piano è parallelo alla direzione del sisma stesso(pareti di controventamento), mentre le pareti disposte ortogonalmente hanno unainfluenza del tutto trascurabile. Questo fatto è di notevole importanza in quanto,tra i vari benefici per le costruzioni i cui orizzontamenti sono rigidi, vi è proprioquello di distribuire le sollecitazioni taglianti nel piano delle pareti di controven-tamento, dove le stesse offrono maggior cimento, liberando quelle ortogonali alladirezione del sisma, del dannosissimo effetto di una azione fuori del piano.

Con un ragionamento analogo, possiamo estendere le considerazioni anche nellosviluppo verticale dell’edificio. Si osservi questa volta lo schema di Figura 5.24, nelquale viene rappresentata una costruzione con 4 livelli fuori terra di cui ci interessasviluppare il ragionamento lungo una sola direzione. Il piano terra ha due setti Scentrali interni, mentre nelle parti esterne ha 2 pilastri P per ciascun lato. I livellisuperiori invece hanno le strutture verticali costituite da setti S nelle pareti esterne,mentre nelle zone interne ci sono dei pilastri P. Ad ogni livello il solaio è consideratoinfinitamente rigido e la risultante F dell’azione orizzontale sismica è applicata nei


relativi baricentri. Secondo le condizioni (5.11), le azioni sono assorbite dai setti ailivelli 1, 2 e 3 in quanto i pilastri P hanno rigidezza molto più piccola e poco con-tribuiscono a contrastare le azioni F. Al livello 1, se l’orizzontamento fosse deformabile,l’azione (F/2 + F/2 + F/2) sarebbe trasmessa dai setti dei tre livelli superiori ai duepilastri del livello terra. Viceversa, i pilastri centrali dei livelli superiori, non trasmet-terebbero praticamente alcuna azione orizzontale ai setti centrali del livello terra.Con queste condizioni la struttura, a livello terra, si troverebbe a far fronte alleazioni orizzontali in modo irragionevole, ovvero con i pilastri anzichè con i setti.

Figura 5.24 - Ripartizione verticale

La rigidezza del solaio al livello 1, invece, rende di nuovo la congruenza deglispostamenti orizzontali, cosicchè si innesta nuovamente il comportamento di tipo(5.11), con il risultato che l’azione orizzontale viene nuovamente trasmessa ai siste-mi più rigidi del livello terra (setti).

In effetti il modello di comportamento opposto a quello di orizzontamentoinfinitamente rigido è quello schematizzato in Figura 5.25, dove è rappresentatoin pianta lo schema di 3 ritti dello stesso materiale, ma con sezioni diverse, collegatiad un solaio deformabile. In sostanza la forza F si distribuisce su ciascun rittoin funzione della propria area di influenza indipendentemente dalla rigidezza deglistessi. Cosicchè, nella fattispecie dell’esempio, il ritto S2, le cui caratteristiche dirigidezza sono inferiori a S3, reagirà con R2, proporzionale all’area di influenza,con l’irragionevole conseguenza che il ritto meno idoneo è quello che assorbe ilcarico orizzontale maggiore. In Figura 5.25b sono qualitativamente indicati glispostamenti afferenti ai tre sottosistemi che si comportano in modo autonomo.


Figura 5.25 - Modello limite di comportamento di «traverso infinitamentedeformabile» lungo una sola direzione

Concludiamo le osservazioni di questo paragrafo, relative alla funzione del traversoinfinitamente rigido, con un ultimo esempio relativo al caso in cui un sistema di rittisia soggetto ad un momento agente nel piano dell’impalcato. Ciò accade, come vistoin precedenza, qualora, per il caso di azioni sismiche orizzontali, vengano prese inconsiderazione condizioni di eccentricità accidentali (minime imposte dalla norma) oper effettive eccentricità fra baricentro delle masse e baricentro delle rigidezze.

In Figura 5.26 si ha un sistema costituito da 3 ritti verticali e da un impalcatoconsiderato infinitamente rigido. Tra il baricentro delle masse e il baricentro ygdelle rigidezze esiste una eccentricità e. I ritti sono dunque soggetti ad una azioneorizzontale F lungo x, che rappresenta l’azione sismica, e la coppia nel piano del-l’impalcato M = F x e.

Figura 5.26 - Modello limite di comportamento dei ritti nell’ipotesi di «traversoinfinitamente deformabile» soggetto ad azione di torsione nel pianoorizzontale


Le condizioni di congruenze saranno dunque espresse attraverso la composi-zione del moto del traverso in una rototraslazione dove:

a) lo spostamento orizzontale del sistema è x’1 = x’2 = x’3 (Figura 5.26c);b) la rotazione rigida intorno al baricentro yg impone la proporzionalità

degli spostamenti x”1 = x”2 = x”3 rispetto alle distanze d1, d2, d3 (Figura 5.26d).

Anche in questo caso, assume importanza fondamentale la rigidezza dei setti,ciascuno dei quali verrà cimentato da una azione proporzionale a detta grandezza.

5.8 TRAVI DI ACCOPPIAMENTO (O FASCE DI PIANO) IN MURATURA

Nell’esempio di Figura 5.22 del § 5.7.3 si è scelto di trascurare la presenzadi materiale al di sopra dei vani delle aperture. Le NTC prevedono che si possainserire nel modello di calcolo anche il contributo di queste parti, definite con iltermine: travi di accoppiamento(13), a patto che le verifiche vengano poi estese atali elementi. Inoltre:

Possono essere considerate nel modello travi di accoppiamento in muratura solo se sorretteda un cordolo di piano o da un architrave resistente a flessione efficacemente ammorsato alleestremità.(14)

La Circ. 617/09 ha ulteriormente ampliato la descrizione nel modo seguente:

Nella modellazione di edifici esistenti possono essere considerate le travi di accoppiamentoin muratura, quando siano verificate tutte le seguenti condizioni:

• la trave sia sorretta da un architrave o da un arco o da una piattabanda strutturalmenteefficace, che garantisca il sostegno della muratura della fascia anche nel caso in cui quest’ultimavenga fessurata e danneggiata dal sisma;

• la trave sia efficacemente ammorsata alle pareti che la sostengono (ovvero sia possibileconfidare in una resistenza orizzontale a trazione, anche se limitata) o si possa instaurare nellatrave un meccanismo resistente a puntone diagonale (ovvero sia possibile la presenza di unacomponente orizzontale di compressione, ad esempio per l’azione di una catena o di un elementoresistente a trazione in prossimità della trave).(15)

In questo paragrafo illustriamo alcune considerazioni in merito alla funzionedi questi elementi strutturali. Si prenda, ad esempio, la parete muraria di Figura5.27: abbiamo già osservato che, nel caso di edifici di classe 1 o 2, l’ipotesi disolaio infinitamente rigido possa cadere in difetto. Ammettiamo ora di trascurareanche il contributo delle parti di muratura che collegano i ritti sopra e sotto i foridelle aperture. In tali circostanze, l’azione sismica orizzontale, si distribuisce suiritti in funzione della zona di influenza delle masse sismiche gravanti sugli stessi.Ciascuno ritto funziona in modo «disaccopiato» come fosse una semplice mensolaincastrata alla base. La Figura 5.27a evidenzia questo comportamento mostrandoche i ritti subiscono spostamenti orizzontali diversi. Nella parte bassa della figuracentrale si sono indicate le sezioni di muratura reagente e le relative tensioni diflessione. Queste ultime presentano l’andamento nel caso in cui siano considerateinteramente reagenti, prescindendo dal peso proprio dei ritti (flessione semplice).

(13) O anche «travi in muratura», NTC § 7.8.2.2.4.(14) NTC § 7.8.1.5.2.(15) CNTC § C8.7.1.4.


In Figura 5.27b si riporta la modellazione che tiene conto del contributo delletravi di accoppiamento, prescindendo dal fatto che il solaio possa essere consideratoinfinitamente rigido. In tal caso è sufficiente che l’elemento orizzontale di colle-gamento fra i ritti possa essere considerato tensoresistente. Per la normativa ita-liana, come anticipato in precedenza, ciò equivale al fatto che la porzione di mura-tura di collegamento sia sorretta da un cordolo in calcestruzzo armato, o da unapiattabanda di acciaio. Ad ogni modo il concetto equivale a garantire una resistenzaa trazione dell’elemento trave di accoppiamento. È evidente che ciò non può esserevero, ad esempio, per i casi indicati in Figura 5.3, in quanto ci si dovrebbe affidarealla trascurabile resistenza a trazione della muratura. Per i casi di edifici in classe3, la presenza di un cordolo in c.a. è invece garantita dalla tipologia costruttiva.

Figura 5.27 - Comportamento di pareti in cui siano prese in considerazione le fascedi piano. a) Senza la collaborazione delle fasce di piano. b) Collabo-razione delle fasce di piano (meccanismo puntone-tirante)


In Figura 5.28 osserviamo un esempio che spiega il modello di comportamentodella trave di accoppiamento in presenza di un solaio in laterocemento con cordolointerpiano di bordo in calcestruzzo armato e architravi dei vani finestra, composteanch’esse da una trave in calcestruzzo armato ben ammorsata alle estremità, inmodo da non poter «sfilarsi» nel suo comportamento flessionale. Il particolare a)mostra la sezione del sistema trave.

Figura 5.28 - Modello di comportamento delle travi di accoppiamento in muratura

Possiamo notare, in una sezione ingrandita (Figura 5.28b), che essa è costituita,a partire dall’intradosso del vano finestra, da:

• elemento tensoresistente (architrave armata); • muratura;• elemento tensoresistente (cordolo armato);• muratura.

È possibile interpretare il comportamento di questo sistema mediante l’assi-milazione ad un traliccio dove il corrente superiore e quello inferiore risultanocomposti dagli elementi armati, mentre l’anima dalla muratura, come indicato inFigura 5.34c. Allo stesso modo, come mostra la Figura 5.28d, si ha un ulterioresistema composto da muratura e corrente inferiore tensoresistente.

Dunque, stante il seguente modello di comportamento, la trave di accoppia-mento, posta al di sopra del vano finestra, «funzionerebbe» come una trave com-posta (piattabanda - anima - piattabanda). In sostanza si comporta come un tralicciodi Mörsch nel quale la parte superiore funziona da corrente compresso e gli sforzisono assorbiti dal cordolo di piano in calcestruzzo armato; la parte inferiore fun-


ziona da corrente teso, dove gli sforzi sono assorbiti dall’architrave armato (ele-mento tensoresistente), e, infine, l’anima è governata dal comportamento a com-pressione dei puntoni di muratura compressi.

Analogamente la trave di accoppiamento, compresa fra il solaio e l’intradossosuperiore del vano finestra, funzionerebbe come una trave soggetta ad armaturasemplice dove la zona tesa viene rappresentata dal cordolo di calcestruzzo armatodel solaio, mentre la parte in muratura è soggetta alla formazione degli archidelle isostatiche di compressione (vedi Figura 5.29).

Figura 5.29 - Schema di comportamento a flessione di una trave in calcestruzzoarmato con armatura semplice

5.9 INTERAZIONI DEL COMPORTAMENTO STRUTTURALE: MURATURE,SOLAIO INFINITAMENTE RIGIDO, TRAVI DI ACCOPPIAMENTO

Per analizzare l’interazione nel modello strutturale fra: murature, solaio infi-nitamente rigido e travi di accoppiamento, si propone l’analisi di una costruzionesemplice quale quella indicata nelle Figure (5.30a, 5.30d, 5.30e).

La pianta è a forma quadrata di dimensioni pari a 5 m x 5 m. La strutturasi eleva su due livelli impostati rispettivamente a quota L1 = 300 cm e L2 = 600cm. Le murature sono state ipotizzate in elementi di laterizio semipieni aventispessore pari a 25 cm e densità pari a 1.200 daN/m3, con E = 50.000 daN/cm2

e G = 20.000 daN/cm2. Nelle sole due pareti in direzione x sono stati modellati 2 fori: una porta a

livello terra di larghezza 140 cm e altezza 250 cm; una finestra a livello primodi larghezza pari a 140 cm e altezza pari a 150 cm (altezza da terra pari a 100cm).

Si ipotizza una zona sismica 2. L’analisi condotta è di tipo lineare dinamico.La modellazione delle murature è stata effettuata mediante elementi finiti a gusciodi mesh 50 cm x 50 cm.


Vengono presentati i seguenti 4 casi:1) caso in cui si ha l’ipotesi di traverso infinitamente rigido e il contributo

delle travi di accoppiamento;2) caso in cui si ha l’ipotesi di traverso infinitamente rigido e nessun con-

tributo delle travi di accoppiamento;3) caso in cui si ha l’ipotesi di traverso deformabile e il contributo delle

travi di accoppiamento;4) caso in cui si ha l’ipotesi di traverso deformabile e nessun contributo

delle travi di accoppiamento.I carichi di piano sono i seguenti:

• permanenti di 600 daN/m2;• sovraccarico accidentale di 200 daN/m2.

Al fine di poter comparare in modo omogeneo i risultati, i carichi sono statimantenuti identici per i quattro casi elencati, prescindendo dunque dal fatto chele diverse tipologie costruttive di orizzontamento (rigido o deformabile) abbianonella realtà anche pesi diversi. Si pensi ad esempio al caso di solai a strutturalignea piuttosto che in laterocemento.

5.9.1 CASO IN CUI SI HA L’IPOTESI DI TRAVERSO INFINITAMENTE RIGIDO E IL CONTRIBUTO

DELLE TRAVI DI ACCOPPIAMENTO

In questa prima simulazione di calcolo si sono considerate le seguenti ipotesi:a) orizzontamenti infinitamente rigidi;b) contributo delle travi in muratura di accoppiamento.

La prima ipotesi viene soddisfatta dal fatto che i solai sono in laterocementodi spessore 20+4 cm. La seconda dal fatto che sono state adottate architravi reagentia flessione sopra i vani di porte e finestre. Per la finestratura tra il primo e ilsecondo livello si è anche tenuto conto del contributo della porzione di muraturaal di sotto della finestra in quanto anche quest’ultima è sorretta da un elementoresistente a flessione (rappresentato dal cordolo interpiano in c.a.). Infatti, a livelloperimetrale, ad ogni livello è stato inserito un cordolo in calcestruzzo armato disezione 25 cm x 24 cm.

L’orditura degli orizzontamenti ha andamento incrociato ai due livelli in mododa caricare la coppia di murature in direzione x (a livello 2) e y (a livello 1).

Il calcolo, per la condizione sismica SLV lungo x, ha dato i seguenti risultatiin termini di spostamento (vedi Figura 5.30b):

Livello 2: δ2 ≈ 0,028 cm;Livello 1: δ1 ≈ 0,019 cm.


Figura 5.30 - Modello di comportamento di parete soggetta ad azione sismica orizzontaletenendo conto del contributo delle travi di accoppiamento e dell’ipotesidi orizzontamento infinitamente rigido. a) Pareti lungo la direzione xcon le aperture ; b) Deformata per azioni sismiche allo SLV (mesh elementifiniti a guscio). c) Meccanismo di formazione dei puntoni diagonali neiparamenti murari. d) Pareti lungo la direzione y senza aperture. e) Piantacon indicazione dell’orditura dei solai

Dalla rappresentazione deformata della mesh (sempre di Figura 5.30b) è pos-sibile rendersi conto del meccanismo di puntone - diagonale di reazione dellamuratura (Figura 5.30c) agli spostamenti prodotti dal sisma. Ciò avviene sia neimaschi murari, sia nelle travi di muratura di accoppiamento. Il contributo di questeultime è, dunque, da prendere in considerazione solo se queste esercitano unaeffettiva resistenza al meccanismo di rottura conseguente a questo tipo di com-portamento. Nella fattispecie la rottura può aver luogo per:

1) schiacciamento alle estremità della diagonale compressa del pannello murario;

2) scorrimento orizzontale;3) fessurazione diagonale;4) scorrimento verticale.

In genere i primi tre tipi di rottura sono i più frequenti.Il modello di comportamento considerato può essere ipotizzato nel caso degli

edifici di terza classe, in quanto, l’ipotesi a) suindicata è implicitamente garantitadall’esecuzione del solaio in laterocemento(16), mentre per quanto concerne l’ipotesib), molto spesso, anche questa può verificarsi data la presenza di cordolatureinterpiano in c.a. e architravi armate al di sopra dei vani dei fori finestra. Indefinitiva, qualora si tenga in considerazione il contributo della trave di accop-piamento, bisognerà dunque effettuare le verifiche per i tipi di rottura previstidalle vigenti norme per le costruzioni esistenti.(17)

(16) O altre tipologie come definite al § 5.7.1.(17) In sostanza, per azioni nel piano, le NTC considerano la trave di accoppiamento come un pan-

nello di muratura ruotato di 90° e dunque soggetto a verifica di rottura a taglio per fessurazione diago-nale o per scorrimento, e a pressoflessione, come indicato in C8.7.1.5.


5.9.2 CASO IN CUI SI HA L’IPOTESI DI TRAVERSO INFINITAMENTE RIGIDO E NESSUN

CONTRIBUTO DELLE TRAVI DI ACCOPPIAMENTO

In questa seconda simulazione si è soppressa la sola condizione relativa alcontributo delle travi di accoppiamento, eliminandole dal modello agli elementifiniti. Tutte le altre condizioni di calcolo sono rimaste inalterate rispetto all’esempiosvolto al precedente paragrafo (Figura 5.31).

I risultati dell’analisi, per la condizione sismica SLV lungo x, ha dato i seguentivalori in termini di spostamento (vedi Figura 5.31b):


Come si può notare, lo spostamento al livello 2 è aumentato di circa 2,36volte, mentre quello a livello 1 di circa 1,42. Poichè le norme tecniche consentono,per gli edifici di classe 3, di non tener conto nei calcoli del contributo delle travidi accoppiamento in muratura, evitandone quindi la verifica, è chiaro che, in questomodo, l’influenza in termini di spostamento può risultare molto sensibile. Osser-vando la deformata delle pareti è evidente inoltre, che la sola ipotesi di impalcatorigido, tende a «disaccoppiare» il funzionamento dei due maschi, ciascuno deiquali attiva un meccanismo indipendente assimilabile ad una mensola incastrataalla base.

Figura 5.31 - Modello di comportamento di parete soggetta ad azione sismicaorizzontale tenendo conto del solo contributo dell’ipotesi diorizzontamento infinitamente rigido e trascurando quello delle travidi accoppiamento. a) Pareti lungo la direzione x con le aperture ;b) Deformata per azioni sismiche allo SLV (mesh elementi finiti aguscio). c) Meccanismo di formazione dei puntoni diagonali neiparamenti murari. d) Pareti lungo la direzione y senza aperture. e)Pianta con indicazione dell’orditura dei solai

5.9.3 CASO IN CUI SI HA L’IPOTESI DI TRAVERSO DEFORMABILE E IL CONTRIBUTO DELLE


TRAVI DI ACCOPPIAMENTO

Il caso qui illustrato presente tutte le condizioni di calcolo di quello relativo alparagrafo 5.9.1 ad eccezione dell’ipotesi di traverso infinitamente rigido (Figura 5.32).In tal senso si può apprezzare il contributo delle sole travi di accoppiamento, le qualimanifestano un comportamento analogo, qualitativamente, al caso di Figura 5.30.

Figura 5.32 - Modello di comportamento di parete soggetta ad azione sismicaorizzontale tenendo conto del solo contributo delle travi diaccoppiamento e trascurando quello del traverso infinitamente rigidoa) Pareti lungo la direzione x con le aperture ; b) Deformata perazioni sismiche allo SLV (mesh elementi finiti a guscio). c)Meccanismo di formazione dei puntoni diagonali nei paramentimurari. d) Pareti lungo la direzione y senza aperture. e) Pianta conindicazione dell’orditura dei solai

È una condizione che può essere applicata nei casi di edifici in classe 1 e 2,laddove gli impalcati non consentano di fare affidamento su una loro rigidezza,ma le condizioni dei paramenti murari, la configurazione geometrica degli stessie l’inserimento di opportuni incatenamenti (o le stesse architravi), possano effet-tivamente far supporre ad un comportamento tensoresistente dell’elemento travedi accoppiamento. Nel modello di calcolo è stato tolto il cordolo in calcestruzzoarmato ai livelli degli orizzontamenti.

In termini di spostamenti di piano i risultati dell’analisi, per la condizionesismica SLV lungo x, ha dato i seguenti valori (vedi Figura 5.32b):


ovvero addirittura inferiori, a parità di tutte le altre condizioni, a quelli vistiper l’analogo caso in cui però anche l’ipotesi di solaio infinitamente rigido è sod-disfatta. Come è possibile? Il dato è spiegabile dal fatto che il modello di calcoloelastico-lineare agli elementi finiti considera:


a) gli incroci fra le pareti resistenti a trazione;b) una distribuzione del carico sismico anche direttamente sulle pareti lungo

i lati y.In particolar modo questa seconda condizione fa cadere in difetto l’ipotesi

vista al § 5.7.3 in relazione alla congruenza degli spostamenti di tutte le pareti.

Figura 5.33 - Modello tridimensionale del comportamento di Figura 5.32

Figura 5.34 - Comportamento delle pareti lungo y nel caso di impalcato deformabile

La situazione è ben rappresentata nelle Figure 5.33 e 5.34b, dove è chiaro,dalla lettura della deformata di parete, che la stessa è soggetta a una condizionedi carico distribuito lungo i due livelli interpiano, mentre alle estremità essa èagganciata alle due pareti ortogonali.


È evidente che questa condizione cadrebbe subito in difetto qualora gli incrocimurari non fossero in grado di offrire sufficiente resistenza a trazione, con con-seguente ribaltamento dell’intero paramento.

È chiaro, dunque, anche da questo esempio, che i risultati di un calcolo diquesto tipo, ancorchè computerizzato, devono sempre essere considerati critica-mente, o anche, come spesso si dice: cum grano salis.

5.9.4 CASO IN CUI SI HA L’IPOTESI DI TRAVERSO DEFORMABILE E NESSUN CONTRIBUTO

DELLE TRAVI DI ACCOPPIAMENTO

Anche tale condizione può essere applicata a costruzioni di classe 1 o 2 quandonè gli orizzontamenti, nè le travi di accoppiamento, possano avere caratteristiche talida non poter fare affidamento sul loro contributo. In tali circostanze ciascun maschiomurario presenta un comportamento disaccoppiato e slegato dagli altri. Lo schemastatico diventa dunque molto semplicemente quello di una mensola incastrata allabase che funziona in modo autonomo assumendo come carichi verticali ed orizzontali(azioni sismiche), quelli derivanti dalla quota parte relativa alla zona di influenza.

La condizione di comportamento disaccoppiato è ulteriormente esaltata quandonon si ipotizzi nemmeno la tenuta delle «croci di muro». Nel caso contrario, invece,la situazione risulta evidenziata in Figura 5.35. L’analisi numerica offre i seguentirisultati

A) Livello 2, spostamento lungo x: δA ≈ 0,045 cm;B) Livello 1, spostamento lungo x: δB ≈ 0,027 cm;C) Livello 2, spostamento lungo x: δC ≈ 5,9 cmD) Livello 2, spostamento lungo y: δD ≈ 4,5 cm

Figura 5.35 - Schema di comportamento del modello tridimensionale nelle seguentiipotesi: a) impalcato deformabile; b) nessun contributo delle travi diaccoppiamento; c) funzionamento elastico delle croci di muro (angoli)


Lo spostamento significativo delle pareti lungo y è anche dovuto al fatto che,nel calcolo del modello di figura, il programma ha considerato anche il 30% diazione sismica lungo questa direzione.

Anche in questo caso valgono le osservazioni viste al § 5.9.3: gli spostamentidel sistema strutturale sono conseguenti all’ipotesi di comportamento elastico linea-re delle murature e, in particolare, della resistenza a trazione offerta dalla crocidi muro (angoli). Nell’ipotesi che questi non siano in grado di offrire sufficienteresistenza a trazione, bisogna considerare che i paramenti murari assumono uncomportamento a mensola per l’intera altezza, e dunque il comportamento globaledel sistema risulta governato dal comportamento fuori piano dei singolo maschimurari. Nel modello di calcolo questa condizione si ottiene svincolando le paretilungo i lati verticali (Figura 5.36).

Figura 5.36 - Schema di comportamento del modello tridimensionale nelle seguentiipotesi: a) impalcato deformabile; b) nessun contributo delle travi diaccoppiamento; c) Croci di muro (angoli) non collaboranti

5.10 ANALISI CINEMATICHE

I precedenti paragrafi hanno messo in luce il comportamento degli edifici inmuratura, evidenziando quali sono i casi in cui una costruzione possa assumere uncomportamento indipendente per ciascun maschio murario (classi di edifici 1 e 2).In queste situazioni, ma anche qualora si voglia indagare su situazioni di caratterelocale, l’approccio di calcolo viene affrontato mediante un modello cinematico.

Ciò è anche confermato dall’esperienza derivante dalle osservazioni dei danniprovocati dal sisma, i quali manifestano collassi parziali dovuti a perdita di equi-librio di pareti o porzioni di pareti, proprio nei casi di costruzioni che manifestanole carenze strutturali tipiche delle classi 1 e 2.



Questi tipi di collasso sono anche definiti come:• meccanismi di I° modo: quando derivano da un effetto (sismico)

ortogonale al piano medio della parete,• meccanismi di II° modo: quando sono conseguenti, invece, ad effetti

(sismici) lungo il piano della parete.In Figura 5.37, sono riportati alcuni schemi di collasso locale riferiti a mec-

canismi di I° modo. Alla stessa stregua sono considerati quelli relativi alle Figure5.15 e 5.16. Nella Figura 5.38 sono rappresentati alcuni casi rappresentativi deglischemi di Figura 5.37 a seguito del terremoto de L’Aquila del 2009. Altre esem-plificazioni sono riportate in Appendice C).

Figura 5.37 - Alcuni esempi di meccanismi di collasso di I° modo (immagine trattadal programma CINE – vedi anche Appendice C.3)

Figura 5.38 - Meccanismi di I° modo: a) ribaltamento di facciata; b) martellamentodel colmo su facciata (Foto Arch. Roberto Amabilia)

I meccanismi di II° modo sono sostanzialmente:a) rottura per pressoflessione nel piano (cfr. § 3.5.9.1),b) rottura per scorrimento nel piano (cfr. § 3.5.9.3.1),c) rottura per fessurazione diagonale (cfr. § 3.5.9.3.2.)

Nella Figura 5.39 è illustrato un caso che presenta le condizioni b) e c).

Figura 5.39 - Meccanismi di II° modo: piano sopra rottura per scorrimento e fes-surazione diagonale; piano sotto rottura per fessurazione diagonale(Foto Arch. Roberto Amabilia)

Nella Figura 5.40 la fessurazione diagonale assume andamenti incrociati, mani-festando la rottura nei due sensi di oscillazione del fabbricato, a seguito dell’eventosismico.

Figura 5.40 - Meccanismi di II° modo: rottura per fessurazione diagonale nei duesensi (da Manuale AeDES)


In sostanza l’analisi cinematica si basa sull’individuazione, a priori, dei possibilimeccanismi di collasso locale che potrebbero interessare la costruzione a seguitodi un evento sismico.

I concetti suesposti sono espressi nel § 8.71 del DM 14.01.08:

Nelle costruzioni esistenti in muratura soggette ad azioni sismiche, particolarmente negliedifici, si possono manifestare meccanismi locali e meccanismi d’insieme. I meccanismi localiinteressano singoli pannelli murari o più ampie porzioni della costruzione, e sono favoriti dal-l’assenza o scarsa efficacia dei collegamenti tra pareti e orizzontamenti e negli incroci murari.I meccanismi globali sono quelli che interessano l’intera costruzione e impegnano i pannellimurari prevalentemente nel loro piano.

La sicurezza della costruzione deve essere valutata nei confronti di entrambi i tipi di mec-canismo.

Per l’analisi sismica dei meccanismi locali si può far ricorso ai metodi dell’analisi limitedell’equilibrio delle strutture murarie, tenendo conto, anche se in forma approssimata, della resi-stenza a compressione, della tessitura muraria, della qualità della connessione tra le pareti murarie,della presenza di catene e tiranti. Con tali metodi è possibile valutare la capacità sismica intermini di resistenza (applicando un opportuno fattore di struttura) o di spostamento (determinandol’andamento dell’azione orizzontale che la struttura è progressivamente in grado di sopportareall’evolversi del meccanismo).

Nella Circolare 617/09, quanto suindicato, viene ulteriormente esplicitato con leseguenti parole:

C8.7.1.6 Metodi di analisi dei meccanismi locali Negli antichi edifici in muratura sono spesso assenti sistematici elementi di collegamento

tra le pareti, a livello degli orizzontamenti; ciò comporta una possibile vulnerabilità nei riguardidi meccanismi locali, che possono interessare non solo il collasso fuori dal piano di singolipannelli murari, ma più ampie porzioni dell’edificio (ribaltamento di intere pareti mal collegate,ribaltamento di pareti sommitali in presenza di edifici di diversa altezza, collassi parziali negliedifici d’angolo degli aggregati edilizi, etc.). È indispensabile valutare la sicurezza dell’edificionei confronti di tali meccanismi.

Un possibile modello di riferimento per questo tipo di valutazioni è quello dell’analisi limitedell’equilibrio delle strutture murarie, considerate come corpi rigidi non resistenti a trazione; ladebole resistenza a trazione della muratura porta infatti, in questi casi, ad un collasso per perditadi equilibrio, la cui valutazione non dipende in modo significativo dalla deformabilità della struttura,ma dalla sua geometria e dai vincoli. In Appendice (C8.A.4 della Circ. 617/09 - NdA) è propostoun metodo basato su tale approccio, nella forma cinematica, particolarizzato all’esecuzione diun’analisi sismica. Applicando il principio dei lavori virtuali ad ogni meccanismo prescelto, èpossibile valutare la capacità sismica in termini di resistenza (analisi cinematica lineare) o dispostamento, attraverso una valutazione in spostamenti finiti (analisi cinematica non lineare).(18)

APPENDICE C8A.4. ANALISI DEI MECCANISMI LOCALI DI COLLASSO IN EDIFICI ESISTENTIIN MURATURA

Negli edifici esistenti in muratura spesso avvengono collassi parziali per cause sismiche,in genere per perdita dell’equilibrio di porzioni murarie; la verifica nei riguardi di questi meccanismi,secondo le modalità descritte nel seguito, assume significato se è garantita una certa monoliticitàdella parete muraria, tale da impedire collassi puntuali per disgregazione della muratura. Mec-canismi locali si verificano nelle pareti murarie prevalentemente per azioni perpendicolari al loro

(18) Nel prosieguo della presente trattazione tratteremo il caso dell’analisi cinematica lineare.


piano, mentre nel caso di sistemi ad arco anche per azioni nel piano. Le verifiche con riferimentoai meccanismi locali di danno e collasso (nel piano e fuori piano) possono essere svolti tramitel’analisi limite dell’equilibrio, secondo l’approccio cinematico, che si basa sulla scelta del mec-canismo di collasso e la valutazione dell’azione orizzontale che attiva tale cinematismo.

L’applicazione del metodo di verifica presuppone quindi l’analisi dei meccanismi locali ritenutisignificativi per la costruzione, che possono essere ipotizzati sulla base della conoscenza delcomportamento sismico di strutture analoghe, già danneggiate dal terremoto, o individuati con-siderando la presenza di eventuali stati fessurativi, anche di natura non sismica; inoltre andrannotenute presente la qualità della connessione tra le pareti murarie, la tessitura muraria, la presenzadi catene, le interazioni con altri elementi della costruzione o degli edifici adiacenti.

L’approccio cinematico permette inoltre di determinare l’andamento dell’azione orizzontaleche la struttura è progressivamente in grado di sopportare all’evolversi del meccanismo. Talecurva è espressa attraverso un moltiplicatore α, rapporto tra le forze orizzontali applicate ed icorrispondenti pesi delle masse presenti, rappresentato in funzione dello spostamento dk di unpunto di riferimento del sistema; la curva deve essere determinata fino all’annullamento di ognicapacità di sopportare azioni orizzontali (α = 0). Tale curva può essere trasformata nella curvadi capacità di un sistema equivalente ad un grado di libertà, nella quale può essere definita lacapacità di spostamento ultimo del meccanismo locale, da confrontare con la domanda di spo-stamento richiesta dall’azione sismica.

Per ogni possibile meccanismo locale ritenuto significativo per l’edificio, il metodo si articolanei seguenti passi:

• trasformazione di una parte della costruzione in un sistema labile (catena cinematica), attraverso l’individuazione di corpi rigidi, definiti da piani di frattura ipotizzabili per la scarsa resistenza a trazione della muratura, in grado di ruotare o scorrere tra loro (meccanismo di danno e collasso);

• valutazione del moltiplicatore orizzontale dei carichi α0 che comporta l’attivazione del meccanismo (stato limite di danno);

• valutazione dell’evoluzione del moltiplicatore orizzontale dei carichi al crescere dello spostamento dk di un punto di controllo della catena cinematica, usualmente sceltoin prossimità del baricentro delle masse, fino all’annullamento della forza sismica orizzontale;

• trasformazione della curva così ottenuta in curva di capacità, ovvero in accelerazione a* e spostamento d* spettrali, con valutazione dello spostamento ultimo per collasso del meccanismo (stato limite ultimo), definito in seguito;

• verifiche di sicurezza, attraverso il controllo della compatibilità degli spostamenti e/o delle resistenze richieste alla struttura.

Per l’applicazione del metodo di analisi si ipotizza, in genere: • resistenza nulla a trazione della muratura; • assenza di scorrimento tra i blocchi; • resistenza a compressione infinita della muratura.

Tuttavia, per una simulazione più realistica del comportamento, è opportuno considerare,in forma approssimata:

a) gli scorrimenti tra i blocchi, considerando la presenza dell’attrito; b) le connessioni, anche di resistenza limitata, tra le pareti murarie;c) la presenza di catene metalliche; d) la limitata resistenza a compressione della muratura, considerando le cerniere

adeguatamente arretrate rispetto allo spigolo della sezione; e) la presenza di pareti a paramenti scollegati.



5.10.1 ANALISI CINEMATICA LINEARE (CIRC. 617/09 - § C8A.4.1)

Per ottenere il moltiplicatore orizzontale α0 dei carichi che porta all’attivazione del meccanismolocale di danno si applicano ai blocchi rigidi che compongono la catena cinematica le seguentiforze: i pesi propri dei blocchi, applicati nel loro baricentro; i carichi verticali portati dagli stessi(pesi propri e sovraccarichi dei solai e della copertura, altri elementi murari non considerati nelmodello strutturale); un sistema di forze orizzontali proporzionali ai carichi verticali portati, sequeste non sono efficacemente trasmesse ad altre parti dell’edificio; eventuali forze esterne (adesempio quelle trasmesse da catene metalliche); eventuali forze interne (ad esempio le azionilegate all’ingranamento tra i conci murari). Assegnata una rotazione virtuale θk al generico bloccok, è possibile determinare in funzione di questa e della geometria della struttura, gli spostamentidelle diverse forze applicate nella rispettiva direzione. Il moltiplicatore α0 si ottiene applicandoil Principio dei Lavori Virtuali, in termini di spostamenti, uguagliando il lavoro totale eseguitodalle forze esterne ed interne applicate al sistema in corrispondenza dell’atto di moto virtuale:

n n+m n o

α0 (ΣPiδx,i + ΣPjδx,j) _ ΣPiδy,i_ ΣFhδh = Lfi (5.16)

i=1 j=n+1 i=1 h=1

[C8A.4.1]dove:— n è il numero di tutte le forze peso applicate ai diversi blocchi della catena cinematica;— m è il numero di forze peso non direttamente gravanti sui blocchi le cui masse, per

effetto dell’azione sismica, generano forze orizzontali sugli elementi della catena cinematica, in quanto non efficacemente trasmesse ad altre parti dell’edificio;

— o è il numero di forze esterne, non associate a masse, applicate ai diversi blocchi; — Pi è la generica forza peso applicata (peso proprio del blocco, applicato nel suo baricentro,

o un altro peso portato);— Pj è la generica forza peso, non direttamente applicata sui blocchi, la cui massa, per

effetto dell’azione sismica, genera una forza orizzontale sugli elementi della catena cinematica, in quanto non efficacemente trasmessa ad altre parti dell’edificio;

— δx,i è lo spostamento virtuale orizzontale del punto di applicazione dell’i-esimo peso Pi, assumendo come verso positivo quello associato alla direzione secondo cui agisce l’azione sismica che attiva il meccanismo;

— δx,j è lo spostamento virtuale orizzontale del punto di applicazione dell’j-esimo peso Pj, assumendo come verso positivo quello associato alla direzione secondo cui agisce l’azione sismica che attiva il meccanismo;

— δy,i è lo spostamento virtuale verticale del punto di applicazione dell’i-esimo peso Pi, assunto positivo se verso l’alto;

— Fh è la generica forza esterna (in valore assoluto), applicata ad un blocco;— δh è lo spostamento virtuale del punto dove è applicata la h-esima forza esterna, nella

direzione della stessa, di segno positivo se con verso discorde;— Lfi è il lavoro di eventuali forze interne.

Circ. 617/09, § C8A.4.2.3 Verifiche di sicurezza(omissis)Nel caso in cui la verifica riguardi un elemento isolato o una porzione della costruzione

comunque sostanzialmente appoggiata a terra, la verifica di sicurezza nei confronti dello Statolimite di Salvaguardia della Vita è soddisfatta se l’accelerazione spettrale a0* che attiva il mec-canismo soddisfa la seguente disuguaglianza:

ag(PVR)Sa*0 ≥ ————— (5.17)

q[C8A.4.9]

in cui ag è funzione della probabilità di superamento dello stato limite scelto e della vitadi riferimento come definiti al § 3.2 delle NTC, S è definito al § 3.2.3.2.1 delle NTC, e q è ilfattore di struttura, che può essere assunto uguale a 2,0.

Se invece il meccanismo locale interessa una porzione della costruzione posta ad una certaquota, si deve tener conto del fatto che l’accelerazione assoluta alla quota della porzione diedificio interessata dal cinematismo è in genere amplificata rispetto a quella al suolo. Una appros-simazione accettabile consiste nel verificare, oltre alla C8A.4.9, anche la:

Se(T1)·Ψ(Z)·γa*0 ≥ —————— (5.18)

q[C8A.4.10]

dove: Se(T1), Ψ(Z) e γ sono definite come al punto precedente, tenendo conto che lo spettrodi risposta è riferito alla probabilità di superamento del 10% nel periodo di riferimento VR.

Allo scopo di apprendere quali siano le implicazioni concettuali di una analisicinematica lineare, vediamo come può essere sviluppato questo approccio medianteun semplice esempio.

5.10.2 ESEMPIO APPLICATIVO DI ANALISI CINEMATICA LINEARE

ESEMPIO 5.1

In Figura 5.41 è rappresentato lo schema di una parete in cui è stato individuatoun possibile meccanismo di ribaltamento fuori del piano (potrebbe riferirsi alcaso della Figura 5.38a).

Figura 5.41 - Schema di calcolo al ribaltamento fuori piano di una parete


a) Dati della parete:altezza media H = 600 cm,lunghezza parete L = 5 mspessore t = 50 cm,peso proprio specifico della parete = 2.200 daN/m3,peso complessivo della parete P2 = 0,5 m x 2.200 daN/m3 x 6 m x 5 m = 33.000 daNaltezza baricentro da terra = 300 cm

b) Carichi derivanti dalla copertura e dal solaiocarichi permanenti dal colmo di coperturaP1g = 100 daN/m2 x 5 m x 5 m = 2.500 daNcarichi accidentali (neve) dal colmo di coperturaP1Q = 120 daN/m2 x 5 m x 5 m = 3.000 daNcarichi dal piano primo = trascurabili in quanto ordito nell’altro senso

c) Condizione di caricoLe masse associate ai carichi gravitazionali sono le seguenti (cfr. anche Tabella1.1, categoria H):P2 = 33.000 daNP1 = P1g + Ψ21 P1Q = 2.500 daN + 0 x 3.000 daN = 2.500 daN

d) Applicazione del Principio dei Lavori Virtuali per la determinazione delmoltiplicatore delle forze inerziali α0Il Principio dei Lavori Virtuali esprime la generica condizione che in un sistemamateriale soggetto ad un insieme di forze equilibrate e di spostamenti congruenticon le deformazioni ammesse per quel sistema, il lavoro compiuto dalle forzeesterne Lfe sia uguale a quello compiuto dalle forze interne Lfi.Delle 3 condizioni suindicate:1) insieme di forze equilibrate;2) insieme di spostamenti congruenti con le deformazioni ammesse dal sistema;3) identità Lfe = Lfiè necessario e sufficiente che almeno 2 di queste siano soddisfatte affinchè anchela terza risulti verificata.Nella (5.16) Lfe è espresso dai membri a sinistra dell’uguaglianza. In generale illavoro compiuto dalle forze esterne è dato dal prodotto di:• forze x spostamenti;• momenti x rotazioni.Applicando una rotazione virtuale unitaria θ = 1 intorno al punto C della pareteil lavoro virtuale esterno Lfe è dato da:Primo membro della (5.16):

nα0 ΣPiδx,j = α0 P1 x δ1 + α0 P2 x δ2 (5.19)

1Ma, poichè per una rotazione piccola si ha:δx,1 ≈ 300 cm x θ (5.20)δx,2 ≈ 600 cm x θ (5.21)la (5.19) diventa:α0 P1 x δx,1 + α0 P2 x δx,2 = α0 x θ x (2.500 daN x 600 cm + 33.000 daN x 300 cm) == α0 x 1 x 11,4 x 106 daNcm (5.22)

Si noti che la (5.19) rappresenta il momento ribaltante.


Secondo membro della (5.16):D’altro canto le forze gravitazionale P1 e P2 esercitano un momento che tende astabilizzare la parete per cui si ha il seguente lavoro:

P1 x t/2 x θ + P2 x t/2 x θ (5.23)

Si noti che essendo:

δy,1 = δy,2 ≈ t/2 x θ (5.24)

la (5.23) esprime anche il secondo membro della (5.16):n

ΣPiδy,j = P1 x δy,1 + P2 x δy,2 = 2.500 daN x 25 cm + 33.000 daN x 25 cm1 = 887.500 daNcm (5.25)

Il terzo membro della (5.16) è nullo in quanto non agiscono forze esterne (adesempio un tirante).Infine poichè il sistema è rigido, e lo spostamento assume il significato di unarotazione rigida, il lavoro interno Lfi risulta nullo, essendo nulle le deformazioni(ε, γ). Pertanto la (5.16) assume la seguente formulazione:

α0 x 11.400.000 daNcm _ 887.500 daNcm = 0 (5.26)

da cui:

887.500 daNcmα0 = ——————————— = 0,007785 (5.27)

114.000.000 daNcm

La (5.27) esprime dunque le forze orizzontali che rappresentano l’azione sismicacome una aliquota α0 delle masse gravitazionali, per questo motivo, α0, è anchedetto moltiplicatore delle azioni orizzontali inerziali.

e) Determinazione dell’accelerazione spettrale dell’oscillatore semplice equi-valenteCosa possiamo fare con il valore di α0? Possiamo risalire al valore dell’accelerazionespettrale limite che farebbe ribaltare il sistema e confrontarla con il valore ag previstaper il sito di progetto nello stato limite che si vuol considerare (in questo caso SLV).Il procedimento prevede dunque di adottare un criterio molto simile a quello dell’analisinon lineare statica (pushover)(19), ovvero definire un sistema equivalente ad un gradodi libertà (oscillatore semplice) che riassuma le caratteristiche dinamiche della parete.A questo scopo si utilizza la «massa partecipante» M* (ricordando che, d’ora innanzi,con l’asterisco verranno indicate grandezze riferite all’oscillatore semplice):

n+m

(ΣPiδx,i)2

i=1M* = —————— (5.28)

n+m

g ΣPiδ2x,i

[C8A.4.3]

(19) Per una trattazione semplificata dei concetti relativi all’analisi non lineare statica si veda anche:Marco Boscolo Bielo, Progettazione strutturale (cit.) e Costruzioni antisismiche in muratura (cit.).


dove:— n+m è il numero delle forze peso Pi applicate le cui masse, per effetto dell’azione

sismica, generano forze orizzontali sugli elementi della catena cinematica;— δx,i è lo spostamento virtuale orizzontale del punto di applicazione dell’i-esimo

peso Pi.

Nella fattispecie la (5.28) si coniuga nella seguente espressione:

(2.500 x 600 + 33.000 x 300)2 daN 33.581 daNM* = ——————————————————— ≈ ——————— (5.29)

g (2.500 x 6002 + 33.000 x 3002) g

L’accelerazione spettrale dell’oscillatore semplice è data dalla:

n+m

α0 ΣPi α0gi=1a*0 = —————— = ——— (5.30)

M*FC e*FC [C8A.4.4]dove:— g è l’accelerazione di gravità;

n+m

— e* = gM* / ΣPi è la frazione di massa partecipante della struttura; (5.31)i=1

— FC è il fattore di confidenza. Nel caso in cui per la valutazione del moltiplicatoreα0,non si tenga conto della resistenza a compressione della muratura, il fattoredi confidenza da utilizzare sarà comunque quello relativo al livello di conoscenzaLC1.

Nel nostro esempio la (5.31) diventa:

33.581 daN 33.581 daNe* = g x ——————— = ——————— ≈ 0,946 (5.32)

g x (P1 + P2) 35.500 daN

mentre la (5.30):

α0 g 0,007785 ga*0 = ———— = ——————— ≈ 0,0061 g (5.33)

e* FC 0,946 x 1,35

g) VerificaOttenuto il valore di a*0 si opera con la (5.17) o con la (5.18) a seconda del casoin esame. Per il nostro esempio vale la (5.17):

ag (PVR)Sa*0 ≥ —————

q

Per la valutazione dei parametri ag (PVR) e S è necessario riferirsi alle condizioni

del sito di progetto.


Località di Progetto: Zona 2, Lat. 45,9104°; Long. 12,4207° (N 45° 54’ 37»; E 12°25’ 15») Suolo tipo Cag/g SLV = 0,2145 ag (PVR

) = g x 0,2145

F0 SLV = 2,426S = SS x ST

SS = 1,7 _ 0,6 x 2,426 x 0,2145 = 1,387 (il valore deve essere compreso tra 1 e 1,5)ST = 1S = SS x ST = 1,387q = 2

per cui si ottiene:

ag (PVR) x S g x 0,2145 x 1,387

———————— = —————————— = 0,1487 g > 0,0061g q 2

e pertanto la verifica non risulta soddisfatta.


comportamento di edifici in muratura...

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