COMPORTAMENTI LOCALI E

FENOMENI GLOBALI

Vincenzo Auletta

STRUTTURA DELLE RETI SOCIALI

COMPORTAMENTI LOCALI E FENOMENI

GLOBALI

Le network sono uno strumento utilissimo per

descrivere il rapporto tra i comportamenti locali dei

singoli ed i fenomeni globali che si verificano in una

popolazione

Come l’informazione viaggia nella rete?

Come diversi archi possono svolgere funzioni diverse

nella diffusione delle infromazioni?

Come in una rete sociale diversi nodi possono svolgere

ruoli distinti e come fare a riconoscerli?

Come questi processi condizionano l’evoluzione della rete

nel tempo?

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ESPERIMENTO DI GRANOVETTER (1970)

Granovetter per la sua tesi di dottorato intervistò

numerose persone che avevano appena trovato

lavoro per come erano venuti a conoscenza

dell’offerta di lavoro

Nella maggior parte dei casi da contatti personali

Più spesso da conoscenti che da amici

Conclusione sorprendente

Gli amici dovrebbbero essere quelli che più ci tengono ad

aiutare e fornire notizie utili

Perché i conoscenti sono più utili nella ricerca di un

nuovo lavoro?

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TESI DI GRANOVETTER

Due diversi modi di vedere l’amicizia

A livello locale

L’amicizia può essere forte o debole

A livello globale

L’amicizia può legare due nodi vicini o lontani nella rete

Spiegazione di Granovetter

Le informazioni viaggiano sui link che collegano parti

diverse della rete

Questi link tendono a rappresentare amicizie deboli

Teoria della “Strength of Weak Ties”

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TRIADIC CLOSURE

In una rete sociale se due nodi hanno un amico in

comune hanno buone probabilità di diventare amici

in futuro

Motivazioni sociologiche

I due nodi hanno maggiori occasioni di incontrarsi e

frequentarsi

Se hanno un amico comune tendono a fidarsi dell’amico

e ad accettare l’altro

L’amico comune tende a favorire la loro amicizia per non

doversi dividere tra i due

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B C

A

COEFFICIENTE DI CLUSTERIZZAZIONE

Se osserviamo l’evolversi di una rete sociale nel

tempo noteremo la tendenza alla chiusura di tutti i

triangoli

Coefficiente di clusterizzazione

Probabilità che due nodi scelti a caso tra gli amici di un

nodo siano amici tra loro

Più è forte la triadic closure maggiore sarà il coefficiente

di clusterizzazione

Bearman e Moody hanno scoperto empiricamente

che ragazze con basso coefficiente di

clusterizzazione sono più propense al suicidi

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FORZA DEL LEGAME

Secondo Granovetter il legame interpersonale può

essere di tue tipi

strong: amicizia

weak: conoscenza

Proprietà locale

Proprietà della Strong Triadic Closure

Ipotesi operativa di Granovetter

Se A ha legami strong con B e C allora con alta

probabilità c’è un’amcicizia tra B e C

Può essere strong o weak

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B C

A

S S

S o W

BRIDGE

Un bridge è un arco che collega due componenti

distinte della rete

Proprietà globale della rete

Un bridge è un arco che non appartiene ad un

triangolo

In una rete sociale i bridge sono rari

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B

A

C

D

F

E

G

H bridge

LOCAL BRIDGE

Un local bridge è un arco che riduce la distanza tra una coppia di nodi

Svolge funzione simile al bridge

Proprietà globale della rete

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Lo span di un local

bridge è la distanza tra i

suoi estremi se

togliessimo l’arco

Maggiore lo span più

importante il ruolo di

coesione dell’arco

B

A

C

D

F

E

G

H local

bridge

I L

M N O

Span = 4

STRENGTH OF WEAK TIES

Assumiamo la Strong Triadic Closure

Se un nodo ha almeno due strong ties allora ogni local bridge a cui è adiacente è un weak tie

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• Quindi

Se la rete ha un numero sufficiente di strong ties allora ogni local bridge è un weak tie

Le informazioni cruciali viaggiano sui weak tie

Collega una proprietà globale (local bridge) ad un comportamento locale (strength of tie)

B

C A

l.b.

• Sia AB un local bridge

• AB e BC strong ties

• BC non può esistere perchè AB non può stare in un triangolo

• BC esiste per STC -- CONTRADDIZIONE

• Quindi AB non può essere uno strong tie

FORZA DEI LEGAMI IN DATA-SET REALI

Per molti anni non si è potuto verificare le teorie di Granovetter su network di grandi dimensioni e in contesti realistici Mancanza di dati concreti

Oggi abbiamo dati per reti “who-talks-to-whom” di grandi dimensioni Facebook, social networks, tabulati telefonici, email

Onnela e al. 2007 Dati di un provider di telefonia cellulare che copriva il 20%

della popolazione statunitense

Periodo di osservazione 18 settimane

Due utenti sono collegati se hanno scambiato almeno una telefonata in entrambe le direzioni

La forza del legame è misurata dal numero di minuti di comunicazione

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NEIGHBORHOOD OVERLAP

Neighborhood overlap di A e B ( NO(A, B) )

NO(A, B) = #(vicini comuni ad A e B)/ #(vicini ad A o B)

Se AB è un local bridge NO(A, B) = 0

Nodi con piccolo neighborhood overlap sono “quasi” dei

local bridge.

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B

A

C

D

F

E

G

H

I L

M N O

0

1/6

1/4

RISULTATI EMPIRICI SU FORZA DEI LEGAMI

E NEIGHBORHOOD OVERLAP

Conferma la connessione tra la forza dei legami

(locale) e la neighborhood overlap (globale)

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Archi ordinati in

maniera decrescente per

forza del legame

Ad ogni arco è assegnato

il suo percentile

IPOTESI DI ONNELA ET AL.

La rete è fatta da comunità densamente legate da

legami forti collegate da legami deboli

I legami deboli svolgono un ruolo fondamentale nel

tenere unita la comunità

Esperimento:

1. Cancella gli archi uno alla volta in ordine decrescente

di forza

La dimensione della componente gigante diminuisce

gradualmente

2. Cancella gli archi uno alla volta in ordine crescente di

forza

1. La dimensione della componente gigante diminuisce molto

più velocemente

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FORZA DEI LEGAMI NEI SOCIAL NETWORKS

L’utilizzo sempre più diffuso dei social networks

come ha modificato il comportamento degli utenti?

Numerosi esperimenti condotti su principali social

networks (facebook, twitter)

Gli utenti di un social network tendono ad avere

molti più contatti ma con minor forza dei legami

Molto diffuso il fenomeno del passive engagement

una persona ne segue un’altra attraverso le notifiche ma senza

mantenere contatti diretti

Le informazioni fluiscono molto più velocemente

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RUOLO DEI NODI IN UNA SOCIAL NETWORK

La discussione precedente ha riguardato gli archi

della rete

Archi diversi svolgono ruoli differenti

E per i nodi?

Possiamo individuare ruoli diversi dei nodi a seconda

della loro posizione nella rete?

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EMBEDDEDNESS E STRUCTURAL HOLES

Embeddedness di un arco AB = #(vicini comuni ad A e B) È il numeratore della funzione di neighborhood overlap

Un local bridge ha embeddedness nulla

La fiducia tra i due nodi adiacenti cresce con l’embeddedness dell’arco che li unisce

Se un nodo è adiacente ad archi con alta embeddedness ha più facilità di relazione e maggiore fiducia nei suoi vicini

Uno structural hole indica l’assenza di connessioni tra due aree della rete Tali buchi sono coperti dai local bridge

Un nodo adiacente ad uno structural hole può avere dei vantaggi dalla sua posizione Controlla il passaggio delle informazioni

Conosce le cose prima degli altri

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UN ESEMPIO A

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A è circondato da archi con alta embeddedness È incluso in una comunità molto coesa

B, C e D si trovano su uno structural hole

Controllano tutte le interazioni tra le varie comunità

CENTRALITÀ DI UN NODO

Misura il ruolo svolto dal nodo nella rete

Diverse misure di centralità legate a aspetti diversi

della rete

Degree centrality

Closeness centrality

Betweenness centrality

Eigenvector centrality

Definite in modo da fornire un valore in [0, 1]

Misurano l’”importanza” del nodo

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DEGREE CENTRALITY

Degree centrality di z

grado(z)/(n-1)

Misura l’importanza di un nodo in base al numero dei

suoi vicini

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B

E C

A

D

G

F 1/3

1/3

1/2 1/2 1/3

1/3

1/3

CLOSENESS CENTRALITY

Closeness centrality di z

(n-1)/∑u≠zd(u,z)

Inverso della distanza media

Misura la velocità con cui un nodo viene

raggiunto/raggiunge da tutti gli altri

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B

E C

A

D

G

F 6/15

6/15

6/11 6/11 3/5

6/15

6/15

CLOSENESS CENTRALITY CON PARAMETRO

DI DECADIMENTO

Per far pesare di più i collegamenti con i nodi vicini

si può definire la centrality usando un parametro di

decadimento 0 < < 1

∑u≠zd(u,z)

Pesa maggiormente in nodi vicini

Per 1 tende alla dimensione della componente in

cui si trova il nodo

Per 0 tende al grado

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BETWEENESS CENTRALITY

Betweenness centrality di z

2 / (n-1)(n-2) ∑u≠v, z ≠ u,v Pz(u,v) / P(u,v)

P(u,v) = # cammini minimi tra u e v

Pz(u,v) = # cammini minimi tra u e v passanti per z

Misura quanto il nodo z è cruciale per la comunicazione

tra tutte le coppie di nodi

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B

E C

A

D

G

F 0

0

8/15 8/15 9/15

0

0

EIGENVECTOR CENTRALITY

Misura l’importanza di un nodo in funzione

dell’importanza dei suoi vicini

Cosa vi ricorda?

Cz(G) = ∑u≠z G u,z Cu(G)

In forma matriciale C(G) = G C(G)

C(G) è un autovettore per G e è l’autovalore corrispondente

Scegliamo l’autovalore più grande che per le reti considerate è

sempre nonnegativo

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GRAPH PARTITIONING

Dalla discussione precedente ricaviamo un’idea di struttura di una rete sociale Un insieme di comunità fittamente connesse legate insieme da

legami occasionali

Definizione volutamente informale

Come possiamo individuare le aree fittamente connesse Identificare le comunità della rete è vitale per gli esperti di

marketing

Problema algoritmico non banale

Numerosi metodi euristici per il graph partitioning Metodi agglomerativi

Si parte dai singoli e si cerca di aggregarli in gruppi

Metodi divisivi

Si parte dalla rete in generale e si cerca di dividerla in sottoreti connesse in modo sparso tra loro

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UN ESEMPIO DI PARTIZIONAMENTO DI UNA

RETE IN COMUNITÀ Au

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GRAPH PARTITIONING PER DIVISIONE

Basta individuare i local bridge?

No

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Possibile soluzione

Calcoliamo la betweenness degli archi

Gli archi con alta betweenness sono quelli su cui passa la maggior parte dell’informazione

GRAPH PARTITIONING PER DIVISIONE

Algoritmo di Girvan-Newman

1. Trova gli archi con più alta betweeness e rimuovili dal

grafo

Se il grafo si divide in più componenti hai trovato le regioni in

cui si divide il grafo

2. Ricalcola la betweeness di ogni arco e torna a passo 1

Se una componente si divide in sottocomponenti queste sono

le regioni annidate nella regione padre

3. Procedi fin quando rimangono archi nel grafo

L’algoritmo può essere adattato per calcolare

anche la betweenness dei nodi

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ESEMPIO A

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CALCOLO DELLA BETWEENNESS DEGLI

ARCHI

L’algoritmo di Girman-Newman ad ogni passo deve

ricalcolare la betweenness di tutti gli archi

rimanenti nel grafo

Dipende dal numero di cammini minimi tra ogni coppia

di nodi

Si può fare efficientemente?

Idea

Utilizziamo una BFS da ogni nodo u

Calcoliamo come un’unità di flusso si distribuisce nella

rete a partire da un nodo u

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ALGORITMO PER IL CALCOLO DELLA

BETWEENNESS

Algoritmo

1. A partire da ogni nodo u esegui una BFS e costruisci l’albero dei percorsi minimi

2. Per ogni nodo v, calcola quanti cammini minimi ci sono da u a v Se il nodo v si trova al k-imo livello dell’albero i cammini

minimi da u a v hanno lunghezza k e passano per i padri di v nell’albero

Il numero dei cammini minimi per v è la somma del numero di cammini minimi per i suoi padri

3. Determina quanto flusso attraversa ogni arco del grafo Bottom up

Ad ogni nodo assegna un’unità di flusso più tutto quello che gli arriva dai figli

Ogni nodo distribuisce equalmente il proprio flusso tra i padri

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ESEMPIO A

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La rete

L’albero della BFS da A

ESEMPIO A

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Numero di

cammini

minimi da A Flusso

sull’arco

EFFICIENZA DELL’ALGORITMO DI GIRMAN-

NEWMAN

L’algoritmo richiede di ricalcolare ad ogni passo la

betweenness di tutti gli archi

Non scala per reti di grandi dimensioni

Approcci alternativi

Approssimazione della betweenness

Utilizzo di algoritmi alternativi di graph partitioning

basati sia su approccio agglomerativo che divisivo

E’ un argomento di ricerca attiva in questo

momento

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