complex number theory_e

8/12/2019 Complex Number Theory_E

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KFPNX

"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 6

Hlkpjcx Eukocrs

Pnc h lkpj cx euko cr sy stckDe`dfe kftnckftdhdfe Kfnfvdrf (>32 F.@.) wfs idrst tl kcetdle de nds wlra 'Gfedtfsfrf Xfegrfnf'1 'Fs de

efturc li tndegs f ecgftdvc (qufetdty) ds elt f squfrc (qufetdty), dt nfs, tncrcilrc, el squfrc rllt'. Ncehc

tncrc ds el rcfj eukocr x wndhn sftdsidcs tnc pljyelkdfj cquftdle x? + 6 ; 2.

F syk olj 6 , `celtc` oy jcttcr d wfs detr`luhc` oy Xwdss Kftnckftdhdfe, Jclenfr` Cujcr

(6727-67>8) de 670> tl prlvd`c sljutdles li cquftdle x ? + 6 ; 2. d wfs rcgfr`c` fs f idhtdtdlus lr

dkfgdefry eukocr wndhn hluj` oc kfedpujftc` fjgcordhfjjy jdac fe lr`defry rcfj eukocr, cxhcpt tnft dts

squfrc wfs 6. Pnc jcttcr d wfs usc` tl `celtc 6 , plssdojy ochfusc d ds tnc idrst jcttcr li tnc Jftde

wlr` 'dkfgdefrdus'.

Pl pcrkdt sljutdles li suhn pljyelkdfj cquftdles, tnc sct li hlkpjcx eukocrs ds detrl`uhc`. Wc hfe

hlesd`cr f hlkpjcx eukocr fs nfvdeg tnc ilrk f + od wncrc f fe` o frc rcfj eukocr. Dt ds `celtc` oy

z d.c. z ; f + do. f ds hfjjc` fs rcfj pfrt li z wndhn ds `celtc` oy (_c z) fe` o ds hfjjc` fs dkfgdefrypfrt li z, wndhn ds `celtc` oy (Dk z).

Fey hlk pjcx eukocr ds =

(d) Rurcjy rcfj, di o ; 2 1

( dd) Dkfgdefry, di o 2.(ddd) Rurcjy dkfgdefry, di f ; 2

Eltc = (f) Pnc sct _ li rcfj eukocrs ds f prlpcr suosct li tnc Hlkpjcx Eukocrs. Ncehc tnc hlkpjctc

eukocr systck ds E W D V _ H.(o) ]crl ds purcjy rcfj fs wcjj fs purcjy dkfgdefry out elt dkfgdefry.

(h) d ; 6 ds hfjjc` tnc dkfgdefry uedt.

Fjsl d ; 61 d8 ; d 1 d0 ; 6 cth.

(`) f o ; f o lejy di ftjcfst lec li f lr o ds ele - ecgftdvc.

(c) Di z ; f + do, tnce f do ds hfjjc` hlkpjcx hlemugftc li z fe` wrdttce fs z ; f do

(i) _cfj eukocrs sftdsiy lr`cr rcjftdles wncrc fs dkfgdefry eukocrs `l elt sftdsiy lr`cr rcjftdles

d.c. d 5 2, 8 + d : ? frc kcfedegjcss.

Xcji Rrfhtdhc Rrlojcks

(6) Wrdtc tnc iljjlwdeg fs hlkpjcx eukocr

(d) 69 (dd) x , (x 5 2) (ddd) o + fh0 , (f, h5 2)

(?) Wrdtc tnc iljjlwdeg fs hlkpjcx eukocr

(d) x (x : 2) (dd) rllts li x? (? hls) x + 6 ; 2

Feswcrs = (6) (d) 2 + 0d (dd) x + 2d (ddd) o + d fh0

(?) (d) 2 + d x (dd) hls + d sde , hls d sde


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"kfedsnaukfrpnysdhs.de" ?

Fjgcorfdh Lpcrftdles=Iue`fkcetfj lpcrftdles wdtn hlkpjcx eukocrs

De pcrilrkdeg lpcrftdles wdtn hlkpjcx eukocrs wc hfe prlhcc` fs de tnc fjgcorf li rcfj eukocrs,

rcpjfhdeg d? oy 6 wnce dt lhhurs.

6. F``dtdle (f + od) + (h + `d) ; f + od + h + `d ; (f + h) + (o + `) d

?. Xuotrfhtdle (f + od ) (h + `d) ; f + od h `d ; (f h ) + (o `) d

8. Kujtdpj dhftdle (f + od) (h + `d) ; fh + f`d + ohd + o`d? ; (fh o`) + (f`+ oh)d

0. @dvdsdle`dh

odf

;`dh

odf

.`dh

`dh

; ???

?

d`h

o`dohdf`dfh

; ?? `h

d)f`oh(o`fh

; ?? `h

o`fh

+ d

`h

f`oh??

Decqufjdtdcs de dkfgdefry eukocrs frc elt `cidec`. Pncrc ds el vfjd`dty di wc sfy tnft dkfgdefry eukocr

ds plsdtdvc lr ecgftdvc.

c.g. z 5 2, 0 + ?d : ? + 0 d frc kcfedegjcss.

De rcfj eukocrs di f? + o? ; 2 tnce f ; 2 ; o nlwcvcr de hlkpjcx eukocrs,

z6

? + z?

? ; 2 `lcs elt dkpjy z6

; z?

; 2.

Cxfkpjc # 6 = Ide` kujtdpjdhftdvc devcrsc li 8 + ?d.

Xljutdle = Jct z oc tnc kujtdpjdhftdvc devcrsc li 8 + ?d. tnce

z . (8 + ?d) ; 6

z ;d?8

6

; d?8d?8

d?8

z ;68

8

68

?d

d68

?

68

8Fes.

Xcji Rrfhtdhc Rrlojck =

(8) Xdk pjdiy de+622 + de+32 + de+0> + de+09 , e .

Feswcr = 2

Cqufjdty De Hlkpjcx Eukocr =Pwl hlkpjcx eukocrs z6; f6 + do6& z?; f? + do?frc cqufj di fe` lejy di tncdr rcfj fe` dkfgdefry pfrts

frc cqufj rcspchtdvcjy

d.c. z6 ; z? _c(z6) ; _c(z?) fe` k( z6) ;k (z?).

Cxfkpjc # ? = Ide` tnc vfjuc li x fe` y ilr wndhn (? + 8d) x? (8 ?d) y ; ?x 8y + 3d wncrc x, y _ .Xljutdle (? + 8d)x? (8 ?d)y ; ?x 8y + 3d

?x? 8y ; ?x 8y x? x ; 2 x ; 2, 6 fe` 8x? + ?y ; 3

di x ; 2,y ;?

3fe` di x ; 6, y ; 6

x ; 2, y ;?

3fe` x ; 6, y ; 6

frc twl sljutdles li tnc gdvce cquftdle wndhn hfe fjsl oc rcprcscetc` fs

?

3,2 & (6, 6)

?

3,2 , (6, 6)


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Cxfkpjc # 8 = Ide` tnc vfjuc li cxprcssdle x0 0x8 + 8x? ?x + 6 wnce x ; 6 + d ds f ifh tlr li cxpr cssdle.

Xljutdle = x ; 6 + d

x 6 ; d (x 6)? ; 6 x? ?x + ? ; 2Elw x0 0x8 + 8x? ?x + 6

; (x? ?x + ?) (x? 8x 8) 0x + 7

wnce x ; 6 + d d.c. x? ?x + ? ; 2x0 0x8 + 8x? ?x + 6 ; 2 0 (6 + d) + 7 ; 0 + 7 0d ; 8 0d

Cxfkpjc # 0 = Xljvc ilr z di z? + |z| ; 2

Xljutdle = Jct z; x + dy

(x + dy)? + ?? yx ; 2

x? y? + ?? yx ; 2 fe` ?xy ; 2

x ; 2 lr y ; 2wnce x ; 2 y? + | y | ; 2

y ; 2, 6, 6

z ; 2, d , dwnce y ; 2 x? + | x | ; 2

x ; 2 z ; 2Fes. z ; 2, z ; d , z ; d

Cxfkpjc # 3 = Ide` squfrc rllt li 4 + 02d

Xljutdle = Jct x + dy ; d024 (x + dy)? ; 4 + 02d

x? y? ; 4 ...............(d)fe` xy ; ?2 ...............(dd)

squfrdeg (d) fe` f``deg wdtn 0 tdkcs tnc squfrc li (dd)

wc gct x0 + y0 ?x? y? + 0x? y? ; >6 + 6922

(x? + y?)? ; 69>6 x? + y? ; 06 ...............(ddd)irlk (d) + (dd d) wc gct x? ; ?3 x ; 3

fe` y? ; 69 y ; 0irlk cquftdle (dd) wc hfe scc tnft

x & y frc li sfkc sdge

x + dy ; (3 + 0d) lr (3 + 0d) sq. rllts li f + 02d ; (3 + 0d)Fes. (3 + 0d)

Xcji Rrfhtdhc Rrlojck

(0) Xljvc ilr z = z ; d z?

(3) Gdvce tnft x, y _, sljvc = 0x + 8xy + (?xy 8x)d ; 0y (x?/?) + (8xy ?y)d

Feswcrs = (0) ?

8

?

6d, 2, d (3) x ; A, y ;

8

?

AA _

_cprcscetftdle li f h lkp jcx euk ocr =Cfrjy de tnc 64 tn hcetury, Afrj Irdc`rdhn Gfuss (6777 6>33) fe` Wdjjdfk _lwfe Nfkdjtle(6>23 6>93) de`cpce`cetjy fe` fjklst sdkujtfeclusjy prlplsc` d`cf li `cidedeg hlkpjcx eukocr fs

lr`crc` pfdr li rcfj eukocrs. d.c. f + do ; (f, o)


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Pl cfhn hlkpjcx eukocr tncrc hlrrcsple`s lec fe` lejy lec pldet de pjfec, fe` hlevcrscjy tl cfhn

pldet de tnc pjfec tncrc hlrrcsple`s lec fe` lejy lec hlkpjcx eukocr. Ochfusc li tnds wc litce rcicr

tl tnc hlkpjcx eukocr z fs tnc pldet z.

(f) H fr tc sd fe I lr k G cl kc t rd h _ cp rc sc et ft dl e) =Cvcry hlkpjcx eukocr z ; x + d y hfe oc rcprcscetc` oy f pldet le tnc Hfrtcsdfe pjfec

aelwe fs hlkpjcx pjfec (Frgfe` `dfgrfk) oy tnc lr`crc` pfdr (x, y).

Jcegtn LR ds hfjjc` klùjus li tnc hlkpjcx eukocr wndhn ds `celtc` oy z & ds hfjjc` tncfrgukcet lr fkpjdtu`c.

z; x y? ? fe` tfe ;

x

y(fegjc kf`c oy LR wdtn plsdtdvc xfxds)

Eltc = (d) Frgukcet li f hlkpjcx eukocr ds f kfey vfjuc` iuehtdle. Di ds tnc frgukcet li f hlkpjcx

eukocr tnce ?e +1 e D wdjj fjsl oc tnc frgukcet li tnft hlkpjcx eukocr. Fey twlfrgukcets li f hlkpjcx eukocr `diicr oy ?e

(dd) Pnc uedquc vfjuc lisuhn tnft : ds hfjjc` tnc prdehdpfj vfjuc li tnc frgukcet.

Sejcss ltncrwdsc stftc`, fkp z dkpjdcs prdehdpfj vfjuc li tnc frgukcet.

(ddd) Oy spchdiydeg tnc klùjus & frgukcet f hlkpjcx eukocr ds cidec` hlkpjctcjy. Ilr tnc hlkpjcx

eukocr 2 + 2 d tnc frgukcet ds elt `cidec` fe` tnds ds tnc lejy hlkpjcx eukocr wndhn ds lejy

gdvce oy dts klùjus.

(o) Pr d gelkc tr dh/Rlj fr _ cprcsc etft dle =z ; r (hls + d sde) wncrcz; r1 frg z ; 1z ; r (hls d sde)

Eltc = h ls + d sde ds fjsl wrdttce fs HdX

(h) Cujcr s Ilrkujf =z ; rcd, |z| ; r, frg z ;

z ; drc

Rrlli li tnds ilrkujf ds ocyle` shlpc li prcscet `dshussdle.F ncurdstdh prlli scrvdeg fs kltdvftdle

ilr tnds ilrkujf ds oy hlesd`crdeg cxpfesdle.

cx ; 6 +!6

x+

!?

x?

+!8

x8

+ ..........

put x ; d

cd

.......

!0!?6

0?

+ d

.......

!3!8

38

; hls + d sde.

Eltc= Di ds rcfj tnce

hls ;?

cc dd

sde ;d?

cc dd


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(`) Y ch t lr df j _ cp rc sc et ft dl e =Cvcry hlkpjcx eukocr hfe oc hlesd`crc` fs tnc plsdtdle vchtlr li f pldet. Di tnc pldet R

rcprcscets tnc hlkpjcx eukocr z tnce, LR

; z & LR

;z

Fgrukcet li f Hlkpjcx Eukocr =Frgukcet li f ele-zcrl hlkpjcx euk ocr R(z) ds `celtc` fe` `ci dec` oy frg(z) ; fegjc wndhn LR

kfacs wdtn tnc plsdtdvc `drchtdle li rcfj fxds.

Di LR ; |z| ; r fe` frg(z) ;, tnce lovdlusjy z ; r(hls+ dsde), hfjjc` tnc pljfr ilrk li z. 'Frgukcet liz' wluj` kcfe prdehdpfj frgukcet li z(d.c. frgukcet jydeg de ( , [ uejcss tnc hletcxt rcqudrcsltncrwdsc. Pnus frgukcet li f hlkpjcx eukocr z ; f + do ; r(hls + dsde) ds tnc vfjuc li sftdsiydegrhls; f fe` rsde; o.

Jct ; tfe6f

o

(d) f 5 2, o 5 2 p.v. frg z ;

(dd) f ; 2, o 5 2 p.v. frg z ;?

(ddd) f : 2, o 5 2 p.v. frg z ;

(dv) f : 2, o ; 2 p.v. frg z ;

(v) f : 2, o : 2 p.v. frg z ; ()


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(vd) f ; 2, o : 2 p.v. frg z ; ?

(vdd) f 5 2, o : 2 p.v. frg z ;

(vddd) f 5 2, o ; 2 p.v. frg z ; 2

Cxfkpjc # 9 = Cxprcss tnc hlkpjcx eukocr z ; 6 + ?d de pljfr ilrk.

Xljutdle. z ; 6 + d ?

| z | ; ?? ?)6( ; ?6 ; 8

Frg z ; tfe6

6

?

; tfe6 )?( ; (sfy)

z ; 8 (hls + d sde ) wncrc ; tfe6 ?


(9) Ide` tnc prdehdpfj frgukcet fe` |z|. Di z ;d?

)d4(d

(7) Ide` tnc |z| fe` prdehdpfj frgukcet li tnc hlkpjcx eukocr z ; 9(hls 862 d sde 862)

Feswcrs = (9) tfe666

67,

3

>?(7) 9, 32

G cl kc tr dhfj _ cp rc sc etft dl e l i Iu e` fkcetfj L pc rftd les =(d) G clkctr dhfj rc prc sc etft dle li f``d t dle.


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Di twl pldets R fe` V rcprcscet hlkpjcx eukocrs z6fe` z?rcspchtdvcjy de tnc Frgfe` pjfec, tnce tnc

suk z6 + z? ds rcprcscetc` oy tnc cxtrckdty _ li tnc `dfglefj L_ li pfrfjjcjlgrfk LR_V nfvdeg

LR fe` LV fs twl f`mfhcet sd`cs.

(dd) G clkctr dh rc prc sc etft dle li suostrfhtd le.

(ddd) K l` ujus f e` fr guk cet l i k ujt dp jd hf tdl e l i t wl h lkp jc x e uko cr s.Pnclrck = Ilr fey twl hlkpjcx eukocrs z6, z? wc nfvc |z6z?| ; |z6| |z?| fe`

frg (z6z?) ; frg (z6) + frg (z?).

Rrlli = z6 ; r6 6d

c

, z? ; r? ?d

c

z6z?; r?r?)(d ?6c

|z6z?| ; |z6| |z?|frg (z6z?) ; frg (z6) + frg (z?)

d.c. tl kujtdpjy twl hlkpjcx eukocrs, wc kujtdpjy tncdr fosljutc vfjucs fe` f`` tncdr

frgukcets.

Eltc = (d) R.Y. frg (z6z?) R.Y. frg (z6) + R.Y. frg (z?)(dd) |z6 z? .... ze| ; |z6| |z?| ..... |ze|

(ddd) frg (z6z? .... ze) ; frg z6 + frg z? + ..... + frg ze

(dv) G cl kc tr dh fj r cp rc sc et ft dl e l i k uj td pj dh ft dl e l i h lk pj cx e uk oc rs .Jct R, V oc rcprcscetc` oy z6 ; r6 6dc , z? ; r? ?dc rcpchtdvcjy. Pl ide` pldet _ rcprcscetdeghlkpjcx eukocr z6z?, wc tfac f pldet J le rcfj fxds suhn tnft LJ ; 6 fe` `rfw trdfegjc LV_

sdkdjfr tl trdfegjc LJR. Pncrcilrc

LV

L_

; LJ

LR

L_ ; LR.LV d.c. L_ ; r 6r? fe` _L

V ;6

_LJ ; RLJ + VLR + _LV ;6+ ? 6 + 6 ; 6 + ?Ncehc, _ ds rcprcscetc` oy z6z?; r6r?

)(d ?6c

(v) Kl`ujus fe` fr gukcet li `dvdsdle li twl hlkpjcx eukocrs .

Pnclrck = Di z6 f e ` z? (2) frc tw l h lkpj cx eukocrs , tnce?

6

z

z;

|z|

|z|

?

6fe `

frg

?

6

z

z; frg (z6) frg (z?)

Eltc = R.Y. frg

?

6

z

z R.Y. frg (z6) R.Y. frg (z?)


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(vd) G cl kct rdh fj r cp rcs cet ft dl e l i t nc ` dv ds dl e l i h lk pjc x e uko cr s.

Jct R, V oc rcprcscetc` oy z6 ; 6d

6cr , z? ;

?d?cr

rcspchtdvcjy. Pl ide` pldet _ rcprcscetdeg

hlkpjcx eukocr?

6

z

z, wc tfac f pldet J le rcfj fxds suhn tnft LJ ; 6 fe` `rfw f trdfegjc LR_

sdkdjfr tl LVJ. PncrcilrcLVLR ;

LJL_ L_ ;

?

6rr

fe` _LJ ; RLJ RL_ ;6 ?

Ncehc, _ ds rcprcscetc` oy?

6

z

z;

?

6

r

r )(d ?6c .

Hlemugftc li f hlkpjcx Eukocr =

Hlemugftc li f hlkpjcx eukocr z ; f + do ds `celtc` fe` `cidec` oy z ; f do.De f hlkpjcx eukocr di wc rcpjfhc d oy d, wc gct hlemugftc li tnc hlkpjcx eukocr. z ds tnc kdrrlr

dkfgc li z folut rcfj fxds le Frgfe`'s Rjfec.

G cl kc tr dh fj r cp rc sc et ft dl e l i h le mu gf tc l i h lk pj cx e uk oc r.|z| ; |z|

frg )z( ; frg (z)

Gcecrfj vfjuc li frg )z( ; ?e R.Y. frg (z)

Rrlpcrtdcs(d) Di z ; x + dy, tnce x ;

?

zz , y ;

d?

zz

(dd) z ; z z ds purcjy rcfj

(ddd) z + z ; 2 z ds purcjy dkfgdefry

(dv) _cjftdle octwcce kl`ujus fe` hlemugftc. |z|? ; z z

(v) zz

(vd) )zz( ?6 ; 6z ?z

(vdd) )zz( ?6 ; 6z ?z

(vddd)

?

6

z

z;

)z(

)z(

?

6(z? 2)

Pnclrck = Dkfgdefry rllts li pljyelkdfj cquftdles wdtn rcfj hlciidhdcets lhhur de hlemugftc

pfdrs

Rrlli = Di z2 ds f rllt li f2ze + f6z

e6 + ...... + fe6 z + fe; 2,

f2, f6, ....... fe _, tnce e

22zf + 6e

26zf + ....... + fe6 z2 + fe ; 2

Oy usdeg prlpcrty (vd) fe` (vdd) wc nfvc e22zf + 6e

26zf + ....... + 26e zf + fe; 2

2z ds fjsl f rllt.


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Eltc = Di w ; i(z), tnce w ; i( z )

Pnclrck = |z6 z?|? ; |z6|

? + |z?|? (z6 ?z + 6z z?)

; |z6|? + |z?|

? ? _c(z6 ?z )

; |z6|? + |z?|

? ? |z6| |z?| hls (6 ?)

Cxfkpjc # 7 = Di6z6z ds purcjy dkfgdefry, tnce prlvc tnft | z | ; 6

Xljutdle = _c

6z

6z; 2

6z

6z

+

6z

6z; 2

6z

6z

+6z

6z

; 2

z z z + z 6 + z z z + z 6 ; 2

z z ; 6

| z |? ; 6 | z | ; 6 Ncehc prlvc`


(>) Di ?6

?6

zz?

z?z

ds uedkl`ujus fe` z?ds elt uedkl`ujus tnce ide` |z6|.

(4) Di z ; x + dy fe` i( z) ; x? y? ?y + d(?x ?xy), tnce snlw tnft i(z) ; ?z + ?dz

(62) Di x + dy ;d`hdof

prlvc tnft (x? + y?)? ; ??

??

`hof

Feswcr = (>) |z6| ; ?

@ dstfehc, Pr d feg uj fr Decqu fj d tyDi z6 ; x6 + dy6, z? ; x? + dy? , tnce `dstfehc octwcce pldets z6, z? de frgfe` pjfec ds

|z6 z?| ; ?

?6?

?6 )yy()xx(

De trdfegjc LFH

LH LF + FHLFFH + LHFH LF + LH

usdeg tncsc de cqufjdtdcs wc nfvc ||z 6| |z?|| |z6+ z?| |z6| + |z?|Xdkdjfrjy irlk trdfegjc LFO

wc nfvc ||z6| |z?|| |z6 z?| |z6| + |z?|

Eltc = (f) ||z6| |z?|| ; |z6 + z?|, |z6 z?| ; |z6| + |z?| dii lrdgde, z6 fe` z? frc hljjdecfr fe` lrdgde jdcs

octwcce z6fe` z?.

(o) |z6 + z?| ; |z6| + |z?|, ||z6| |z?|| ; |z6 z?| dii lrdgde, z6 fe` z? frc hljjdecfr fe` z6 fe` z? jdcs

le tnc sfkc sd`c li lrdgde.


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Cxfkpjc # > = Di |z 3 7d| ; 4, tnce ide` tnc grcftcst fe` jcfst vfjucs li |z ? 8d|.

Xljutdle = Wc nfvc 4 ; |z (3 + 7d)| ; `dstfehc octwcce z fe` 3 + 7d.

Pnus jlhus li z ds tnc hdrhjc li rf`dus 4 fe` hcetrc ft 3 + 7d. Ilr suhn f z (le tnc hdrhjc), wc

nfvc tl ide` dts grcftcst fe` jcfst `dstfehc fs irlk ? + 8d, wndhn lovdlusjy 60 fe` 0.

Cxfkpjc # 4 = Ide` tnc kdedkuk vfjuc li |6 + z| + |6 z|.

Xljutdle |6 + z| + |6 z| |6 + z + 6 z| ( tr dfegjc d ecqufjdty) |6 + z | + |6 z| ? kdedkuk vfjuc li (|6 + z| + |6 z|) ; ?Gclkctrdhfjjy |z + 6| + |6 z| ; |z + 6| + |z 6|

wndhn rcprcscets suk li `dstfehcs li z irlk 6 fe` 6

dt hfe oc scce cfsdjy tnft kdedkuk (RF + RO) ; FO ; ?

Cxfkpjc # 62 =z

?z ; 6 tnce ide` tnc kfxdkuk fe` kdedkuk vfjuc li |z|

Xljutdle =z

?z ; 6

z

?|z|

?

?z | z | +

z

?

Jct | z | ; r

r

?r 6 r +

r

?

r +r

?6 r _+ ..............(d)

fe`r

?r 6 6 r

r

?6

r Q6, ?[ ..............(dd) irlk (d) fe` (dd) r Q6, ?[r Q6, ?[

Fes. |z|kfx ; ?, |z|kde ;6


(66) |z 8| : 6 fe` |z 0d| 5 K tnce ide` tnc plsdtdvc rcfj vfjuc li K ilr wndhn tncsc cxdst ft jcfst

lec hlkpjcx eukocr z sftdsiy oltn tnc cquftdle.

(6?) Di z jdcs le hdrhjc |z| ; ?, tnce snlw tnft 8z0z

6

?0 8

6

Feswcr = (66) K (2, 9)

_ltftdleD kp lr tfe t r cs ujt s =(d) frg z ; rcprcsects pldets (ele-zcrl) le rfy ckdeftdeg irlk lrdgde kfadeg fe fegjc wdtn

plsdtdvc `drchtdle li rcfj fxds


11/21

KFPNX


(dd) frg (z z6) ;rcprcscets pldets (z6) le rfy ckdeftdeg irlk z6kfadeg fe fegjcwdtn plsdtdvc`drchtdle li rcfj fxds

Cxfkpjc # 66 = Xljvc ilr z, wndhn sftdsiy Frg (z 8 ?d) ;9

fe` Frg (z 8 0d) ;

8

?.

Xljutdle = Irlk tnc idgurc, dt ds hjcfr tnft tncrc ds el z, wndhn sftdsiy oltn rfy

Cxfkpjc # 6? =Xacthn tnc rcgdle gdvce oy

(d) Frg (z 6 d) /8(dd) |z| 3 & Frg (z d 6) 5/9

Xljutdle =

(d)

(dd)


(68) Xacthn tnc rcgdle gdvce oy

(d) |Frg (z d ?)| :/0 (dd) Frg (z + 6 d) /9

(60) Hlesd`cr tnc rcgdle |z 63d| 62. Ide` tnc pldet de tnc rcgdle wndhn nfs(d) kfx |z| (dd) kde |z|

(ddd) kfx frg (z) (dv) kde frg (z)

Feswcrs = (68) (d) (dd)

(60) (d) ?3d (dd) 3 d (ddd) tfe6?

3(dv) tfe6

?

3


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KFPNX

"kfedsnaukfrpnysdhs.de" 6?

_ltftdle tnclrck =

(d) Di R(z6) fe` V(zz) frc twl hlkpjcx eukocrs suhn tnft |z6| ; |z?|, tnce z?; z6cd wncrc ; RLV

(dd) Di R(z6), V(z?) fe` _(z8) frc tnrcc hlkpjcx eukocrs fe` RV_ ;, tnce

?6

?8

zz

zz;

?6

?8

zz

zz

cd

(ddd) Di R(z6), V(z?), _(z8) fe` X(z0) frc ilur hlkpjcx eukocrs fe`XPV ;, tnce?6

08

zz

zz

;?6

08

zz

zz

cd

Cxfkpjc # 68 =Di frg

6z

6z;

8

tnce detcrprct tnc jlhus.

Xljutdle = frg

6z

6z;

8

frg

z6

z6

; 8

Ncrc frg

z6

z6rcprcscets tnc fegjc octwcce jdecs mldedeg 6 fe` z, fe` 6 fe` z. Fs tnds

fegjc ds hlestfet, tnc jlhus li z wdjj oc f jfrgcr scgkcet li hdrhjc. (fegjc de f scgkcet ds

hlestfet).

Cxfkpjc # 60 =Di F(? + 8d) fe` O(8 + 0d) frc twl vcrtdhcs li f squfrc FOH@ (tfac de fetdhjlha wdsc lr`cr) tnce

ide` H fe` @.

Xljutdle = Jct fiidx li H fe` @ frc z8fe` z0rcspchtdvcjy.

Hlesd`crdeg@FO ; 42 fe` F@ ; FO

wc gct)d8?()d08(

)d8?(z0

; ?d

cFO

F@

z0 (? + 8d) ; (6 + d) d z0 ; ? + 8d + d 6 ; 6 + 0d

fe`)d08()d8?(

)d08(z8

; ?d

c

FO

HO

z8 ; 8 + 0d (6 + d) (d)z8 ; 8 + 0d + d 6 ; ? + 3d


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KFPNX



(63) z6, z?, z8, z0frc tnc vcrtdhcs li f squfrc tface de fetdhjlhawdsc lr`cr tnce prlvc tnft

?z? ; (6 + d) z6 + (6 d) z8

(69) Hncha tnft z6z?fe` z8z0frc pfrfjjcj lr, elt

wncrc, z6 ; 6 + d z8 ; 0 + ?d

z? ; ? d z0 ; 6 d

(67) R ds f pldet le tnc frgfe` `dfgrfk le tnc hdrhjc wdtn LR fs `dfkctcr, twl pldet V fe` _ frc

tface suhn tnft RLV ;VL_ ; Di L ds tnc lrdgde fe` R, V, _ frc rcprcscetc` oy hlkpjcxz6, z?, z8 rcspchtdvcjy tnce snlw tnft z?

? hls ? ; z6z8hls ?

(6>) Di f, o, h 1 u, v, w frc hlkpjcx eukocrs rcprcscetdeg tnc vcrtdhcs li twl trdfegjcs suhn tnft

h ; (6 r) f + ro, w ; (6 r) u + rv wncrc r ds f hlkpjcx eukocr snlw tnft tnc twl trdfegjcs frc

sdkdjdfr.

Feswcrs = (69) z6z?fe` z8z0frc elt pfrfjjcj.

@ckldvrcs Pnclrck=HfscXtftckcet =

Di e ds fey detcgcr tnce

(d) (hls + d sde ) e ; hls e + d sde e(dd) (hls6 + d sde6) (hls? + d sde?) (hls8 + d sde?) (hls8 + d sde8) .....(hlse + d sdee)

; hls (6 + ? + 8 + .........e) + d sde (6 + ? + 8 + ....... +e)

HfscXtftckcet = Di p, q ] fe` q 2 tnce

(hls + d sde)p/q ; hls

q

pa?+ d sde

q

pa?

wncrc a ; 2, 6, ?, 8, ......, q 6

Eltc = Hletdeuc` prl`uht li tnc rllts li f hlkpjcx qufetdty snluj` oc `ctcrkdec` usdeg tnclry li cquftdles.

Xcji prfhtdhc prlojcks =

(64) Rrlvc tnc d`cetdtdcs =

(f) hls 3; 69 hls3 ?2 hls8 + 3 hls1 (o) (sde 3) / (sde) ; 69 hls0 6? hls? + 6,di 2, , ?.........

(?2) Rrlvc tnft de`ctdtdcs (f) sde8;0

8sde

0

6sde 8, (o) hls0;

>

6hls 0+

?

6hls ? +

>

8

Huoc _llt li Sedty =

(d) Pnc huoc rllts li uedty frc 6, 6 8

?

d, 6 8

?

d.

(dd) Di ds lec li tnc dkfgdefry huoc rllts li uedty tnce 6 + + ; 2. De gcecrfj 6 + r +?r ; 21wncrc r out ds elt tnc kujtdpjc li 8.

(ddd) De pljfr ilrk tnc huoc rllts li uedty frc =

hls 2 + d sde 21 hls?

8

+ d sde

?

8

, hls

0

8

+ d sde

0

8


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KFPNX


(dv) Pnc tnrcc huoc rllts li uedty wnce pjlttc` le tnc frgfe` pjfec hlestdtutc tnc vcrtdcs li fe

cqudjftcrfj trdfegjc.

(v) Pnc iljjlwdeg ifhtlrdsftdle snluj` oc rckckocrc` =

(f, o, h _ & ds tnc huoc rllt li uedty)f8 o8 ; (fo) (f o) (f o) 1 x? + x + 6 ; (x ) (x ?) 1f8 + o8 ; (f + o) (f +o) (f +?o) 1 f? + fo + o? ; (f o) (f o?)f8 + o8 + h8 8foh ; (f + o + h) (f +o +h) (f +o +h)

Cxfkpjc # 63 =Ide` tnc vfjuc li64? +640

Xljutdle = 64? +640

; 6 +? ;

Cxfkpjc#69= Di 6,,? frc huoc rllts li uedty, tnce prlvc tnft(d) (6 + ?) (6 + ?) ; 0(dd) (6 + ?)3 + (6 + ?)3 ; 8?(ddd) (6 ) (6 ?) (6 0) (6 >) ; 4(dv) (6 + ?) (6 ? +0) (6 0 +>) .......... tl ?e ifhtlrs ; ??e

Xljutdle = (d) (6 + ?

) (6 + ?

) ; ( ?) ( ??

) ; 0


(?6) Ide`

62

2r

r?r )6(

(??) Dt ds gdvce tnft e ds fe l`` detcgcr grcftcr tnfe tnrcc, out e ds elt f kujtdpjc li 8. Rrlvc tnft

x8 + x? + x ds f ifhtlr li (x + 6) e xe 6

(?8) D i x ; f + o, y ; f+ o , z ; f + owncrc, frc dkfgdefry huoc rllts li uedty snlw tnftxyz ; f8 + o8

(?0) Di x? x + 6 ; 2, tnce ide` tnc vfjuc li

?3

6ee

e

x

6x

Feswcrs = (?6) 6? (?0) >

etn _llts li Sedty =Di 6,6,?,8.....e6 frc tnc e, etn rllt li uedty tnce =

(d) Pncy frc de G.R. wdtn hlkkle rftdl cd(?/e)

(dd) 6p + 6p

+ ?p

+.... + ep

6 ; 2 di p ds elt fe detcgrfj kujtdpjc li e

; e di p ds fe detcgrfj kujtdpjc li e

(ddd) (6 6) (6 ?)...... (6 e6) ; e &(6 +6) (6 +?)....... (6 +e6) ; 2 di e ds cvce fe` 6 di e ds l``.

(dv) 6.6.?.8.........e6 ; 6 lr6 fhhlr`deg fs e ds l`` lr cvce.


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KFPNX


Cxfkpjc # 67 =Ide` tnc rllts li tnc cquftdle z9 + 90 ; 2 wncrc rcfj pfrt ds plsdtdvc.

Xljutdle = z9 ; 90

z9 ; ?9 . c d(?e + 6) e ; 2, 6, ?, 8, 0, 3

z ; ? 9)6e?(d

c

z ; ? 9d

c

, ? ?d

c

, ? 93

d

c

, ? 97

d

c

, ? ?8

d

c

, ? 966

d

c

rllts wdtn +vc rcfj pfrt frc ; ? 9d

c

, ? 966d

c

Cxfkpjc # 6> =Ide` tnc vfjuc

9

6a 7

a?hls

7

a?sde

Xljutdle =

9

6a 7

a?sde

9

6a 7

a?hls

;

9

2a 7

a?sde

9

2a 7

a?hls + 6

;

9

2a

(Xuk li dkfgdefry pfrt li scvce scvcetn rllts li uedty)

9

2a

(Xuk li rcfj pfrt li scvce scvcetn rllts li uedty) + 6

; 2 2 + 6 ; 6


(?3) _ cs lj vc z7 6 detl jdecfr fe` quf`rftdh ifhtlr wdtn rcfj hlciidhdcet.

(?9) Ide` tnc vfjuc li hls7

?+ hls

7

0+ hls

7

9.

(?7) Ide` fjj vfjucs li (?39)6/0. Detcrprct tnc rcsujt gclkctrdhfjjy.

Feswcrs = (?3) (z 6)

6z

7

?hls?z? .

6z

7

0hls?z? .

6z

7

9hls?z?

(?9) ?

6

(?7)

06r?sded

06r?hls0 , r ; 2, 6, ?, 81 vcrtdhcs li f squfrc de f

hdrhjc li rf dus 0 & hcetrc (2, 2)

Pnc Xuk Li Pnc Iljjlwdeg Xcrdcs Xnluj` Oc _ckckocrc` =

(d) hls + hls ? + hls 8 +..... + hls e ;

sde /

sde /

e

?

? hls

e

6

?

(dd) sde + sde ? + sde 8 +..... + sde e ;

sde /

sde /

e

?

? sde

e

6

?


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KFPNX


Eltc = Di; (?/e) tnce tnc suk li tnc folvc scrdcs vfedsncs.

Jlgfrdtnk Li F Hlkpjcx Vufetdty =

Jlgc ( + d) ;6

?Jlgc ( +) + d ?

6e

tfe wncrc e.

Cxfkpjc#64= Ide` tnc vfjuc li

(d) jlg (6 + 8 d) Fes. jlg? + d(?e+ 8

)

(dd) jlg(6) Fes. d(ddd) ?d Fes. hls(je?) + d sde(je?) ; cd(je?)

(dv) dd Fes. ?).6e0(

c

(v) |(6 + d)d | Fes. 0).6e>(

c

(vd) frg ((6 + d)d) Fes.?6 e(?).

Xljutdle = (d) jlg (6 + 8 d) ; jlg

e?

8d

c? ; jlg ? + d

e?8

(ddd) ?d ; cde ? ; Qhls (e ?) + d sde (e ?)[


(?>) Ide` tnc rcfj pfrt li hls (6 + d)

Feswcr = 6hlsc?

c6 ?

G cl kc tr dhfj R rl pc rt dc s =Xc ht d le ilrkujfDi z6 fe` z? frc fiidxcs li tnc twl pldets R fe` V rcspchtdvcjy fe` pldet H `dvd`cs tnc jdec scgkcet

mldedeg R fe` V detcrefj jy de tnc rftdl k = e tnce fii dx z li H ds gdvce oy

z ;ek

ezkz 6?

wncrc k, e 5 2

Di H `cvd cs RV de tnc rftdl k = e cxtcrefjjy tnce z ;ek

ezkz 6?

Eltc = Di f, o, h frc tnrcc rcfj eukocrs suhn tnft fz6 + oz?+ hz8; 2 1 wncrc f + o + h ; 2 fe` f,o,h frc elt

fjj sdkujtfeclusjy zcrl, tnce tnc hlkpjcx eukocrs z6, z? & z8frc hljjdecfr.

(6) Di tnc vcrtdhcs F, O, H li f frc rcprcscetc` oy hlkpjcx eukocrs z6, z?, z8rcspchtdvcjy fe`f, o, h frc tnc jcegtn li sd`cs tnce,

(d) Hcetrld` li tncFOH ;z z z6 ? 8

8

=

(dd) Lrtnlhcetrc li tncFOH ;


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KFPNX


HschhOschoFschf

zHschhzOschozFschf 8?6

lrHtfeOtfeFtfe

HtfezOtfezFtfez 8?6

(ddd) Dehcetrc li tnc FOH ; (fz6+ oz? + hz8) (f + o + h).

(dv) Hdrhukhcetrc li tncFOH ; =(]6 sde ?F + ]? sde ?O + ]8 sde ?H) (sde ?F + sde ?O + sde ?H).

(?) fkp(z) ; ds f rfy ckfeftdeg irlk tnc lrdgde dehjdec` ft fe fegjc tl tnc plsdtdvc x fxds.

(8) z f; z o ds tnc pcrpce`dhujfr odschtlr li tnc jdec mldedeg f tl o.

(0) Pnc cquftdle li f jdec mldedeg z6& z?ds gdvce oy, z ; z6+ t (z6 z?) wncrc t ds f rcfj pfrfkctcr.

(3) z ; z6(6 + dt) wncrc t ds f rcfj pfrfkctcr ds f jdec tnrlugn tnc pldet z6& pcrpce`dhujfr tl tnc

jdec mldedeg z6 tl tnc lrdgde.

(9) Pnc cquftdle li f jdec pfssdeg tnrlugn z6& z? hfe oc cxprcssc` de tnc `ctcrkdefet ilrk fs

z z

z z

z z

6

6

6

6 6

? ?

; 2. Pnds ds fjsl tnc hle`dtdle ilr tnrcc hlkpjcx eukocrs z, z 6, z?tl oc hljjdecfr..

Pnc folvc cquftdle le kfedpujftdeg, tfacs tnc ilrk z z r ; 2 wncrc r ds rcfj fe` dsf ele zcrl hlkpjcx hlestfet.

Eltc = Di wc rcpjfhc z oy zcd fe` z oy dcz tnce wc gct cquftdle li f strfdgnt jdec wndhn kfacs fe fegjc

wdtn tnc gdvce strfdgntj jdec.

(7) Pnc cquftdle li hdrhjc nfvdeg hcetrc z2& rf`dus ds =zz2;lr z z z2z z2z + z2z2 ; 2 wndhn ds li tnc ilrk

z z z z + a ; 2, a ds rcfj. Hcetrc ds & rf`dus ; a?|| .

Hdrhjc wdjj oc rcfj di a?|| 2..

(>) Pnc cquftdle li tnc hdrhjc `cshrdoc` le tnc jdec scgkcet mldedeg z6& z?fs `dfkctcr ds

frgz z

z z

?

6

; ?

lr (zz 6) (z z ?) + (zz?) ( z z 6) ; 2.

(4) Hle`dtdle ilr ilur gdvce pldets z6, z?, z8& z0tl oc hlehyhjdh ds tnc eukocr

z z

z z

z z

z z

8 6

8 ?

0 ?

0 6

. snluj` oc rcfj. Ncehc tnc cquftdle li f hdrhjc tnrlugn 8 ele hljjdecfr

pldets z6, z? & z8 hfe oc tface fs

z z z z

z z z z

? 8 6

6 8 ?

ds rcfj

z z z z

z z z z

? 8 6

6 8 ?

;

z z z z

z z z z

? 8 6

6 8 ?

.

(62) Frg

?

6

zz

zz; rcprcscet (d) f jdec scgkcet di ;

(dd) Rfdr li rfy di ; 2 (ddd) f pfrt li hdrhjc, di 2 : :


18/21


19/21

KFPNX


Kfthn tnc iljjlwdeg hljukes =

Hljuke - Hljuke -

(d) Di | z 8+?d | | z + d | ; 2, (d) hdrhjc

tnce jlhus li z rcprcscets ..........

(dd) Di frg

6z

6z;

0

, (dd) Xtrfdgnt jdec

tnce jlhus li z rcprcscets...

(ddd) di | z > ?d | + | z 3 9d | ; 3 (ddd) Cjjdpsc

tnce jlhus li z rcprcscets .......

(dv) Di frg

d3?z

d08z;

9

3, (dv) Nypcroljf

tnce jlhus li z rcprcscets .......

(v) Di | z 6 | + | z + d | ; 62 (v) Kfmlr Frh

tnce jlhus li z rcprcscets ........

(vd) | z 8 + d | | z + ? d | ; 6 (vd) Kdelr frh

tnce jlhus li z rcprcscets .....

(vdd) | z 8d | ; ?3 (vdd) Rcrpce`dhujfr odschtlr li f jdec scgkcet

(vddd) frg

dz

d38z; (vddd) Jdec scgkcet

Fes. (d) (dd) (ddd) (dv) (v) (vd) (vdd) (vddd) (vdd) (v) (vddd) (vd) (ddd) (dv) (d) (vddd)

(f) _cijcht dle pldet s ilr f strfdgnt jde c =Pwl gdvce pldets R & V frc tnc rcijchtdle pldets ilr f gdvce strfdgnt jdec di tnc gdvce jdec ds tnc

rdgnt odschtlr li tnc scgkcet RV. Eltc tnft tnc twl pldets `celtc` oy tnc hlkpjcx

eukocrs z6& z?wdjj oc tnc rcijchtdle pldets ilr tnc strfdgnt jdec z z r 2 di fe` lejy di1

z z r6 ? 2 , wncrc r ds rcfj fe` ds ele zcrl hlkpjcx hlestfet.

(o) Devc rsc pldet s w.r.t . f hdrh jc =Pwl pldets R & V frc sfd` tl oc devcrsc w.r.t. f hdrhjc wdtn hcetrc 'L' fe` rf`dus, di=(d) tnc pldet L, R, V frc hljjdecfr fe` R, V frc le tnc sfkc sd`c li L.

(dd) LR. LV ;?.

Eltc = tnft tnc twl pldets z6& z?wdjj oc tnc devcrsc pldets w.r.t. tnc hdrhjc z z z z r 2 di fe` lejy

diz z z z r 6 ? 6 ? 2 .

Rt lj ck y s P nc lr ck =Dt stftcs tnft tnc prl`uht li tnc jcegtns li tnc `dfglefjs li f hlevcx quf`rdjftcrfj deshrdoc` de f hdrhjc

ds cqufj tl tnc suk li tnc prl`uhts li jcegtns li tnc twl pfdrs li dts lpplsdtc sd`cs.

d.c. z6 z8 z? z0;z6 z? z8 z0+z6 z0 z? z8


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KFPNX

"kfedsnaukfrpnysdhs.de" ?2

KDXHCJJFECLSX C^FKRJCX

Cxfkpjc # ?2 =Di z6fe` z

?frc twl hlkpjcx eukocrs fe` h 5 2, tnce prlvc tnft

|z6

+ z?|? (6 + h) |z

6|? + (6 + h6) |z

?|?

Xljutdle = Wc nfvc tl prlvc =

|z6

+ z?|? (6 + h) |z

6|? + (6 + h6) |z

?|?

d.c. |z6|? + |z

?|? + z

6 z ?+ z 6z? (6 + h) |z6|? + (6 +h6) |z

?|8

lr z6

z?

+ z6z

? h |z6|? + h6|z

?|? lr h|z

6|? +

h6 |z

?|? z

6z

? z

6z

? 2

(usdeg _c (z6

z?) |z

6z

?|)

lr

?

?6 |z|h

6zh

2 wndhn ds fjwfys truc.

Cxfkpjc # ?6 =DidQ/9,/8[, d ; 6, ?, 8, 0, 3, fe` z 0 hls

6+ z8 hls

?+ z? hls

8. + z hls

0+ hls

3; 8? ,

tnce snlw tnft |z| 50

8

Xljutdle = Gdvce tnft

hls6 . z0 + h ls? . z8 + hls8 . z? + hls0 . z + hls3 ; ?8lr |hls

6. z0 + hls

?. z8 + hls

8. z? + hls

0. z + hls

3| ; ?8

?8 |hls6

. z0 | + |hls?. z8 | + |hls

8. z? | + hls

0. z| + |hls

3|

d Q/9, /8[

?

6hls

d

?

8

8? ?

8|z|0 +

?

8|z|8 +

?

8|z|? +

?

8|z| +

?

8

8 |z|0 + |z|8 + |z|? + |z|HfscD =Di |z| 5 6, tnce folvc rcsujt ds futlkftdhfjjy truc

HfscDD =D i |z| : 6, tnce8 : |z| + |z|? + |z|8 + |z|0 +|z|3 + .........

8 :|z|6

|z|

8 8 |z| : |z| |z| 5 08

Ncehc oy oltn hfscs, |z| 50

8

Cxfkpjc#??= Pwl `diicrcet ele pfrfjjcj jdecs hut tnc hdrhjc |z| ; r de pldet f, o, h, ` rcspchtdvcjy. Rrlvc tnft

tncsc jdecs kcct de tnc pldet z gdvce oy z ; 6666

6666

`hof

`hof

Xljutdle = Xdehc pldet R, F, O frc hljjdecfr

6oo

6ff

6zz

; 2 z of z (f o) + ofof ; 2 (d)

Xdkdjfrjy, pldets R, H, @ frc hljjdecfr, sl


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KFPNX

z `h z (h `) + `h`h ; 2 (dd)Le fppjydeg (d) (h `) (dd) (f o), wc gct

z of (h `) z `h (f o) ; `h`h (f o) ofof (h ) (ddd)

zz ; r? ; a (sfy) f ;

f

a, o ; o

a, h ;

h

acth.

Irlk cquftdle (ddd) wc gct

z

o

a

f

a(h `) z

`

a

h

a(f o) ;

h

a`

`

ha(f o)

f

oa

o

fa(h `)

z ; 66666666

`hof

`hof

Cxfkpjc#?8= Di z6; f + do fe` z

?; h + d` frc hlkpjcx eukocr suhn tnft |z

6| ; |z

?| ; 6 fe` _c )zz( ?6 ; 2, tnce

snlw tnft tnc pfdr li hlkpjcx eukocrs w6

; f + dh fe` w?; o + d` sftdsidcs tnc iljjlwdeg

(d) |w6| ; 6 (dd) |w

?| ; 6 (ddd) _c )ww( ?6 ; 2

Xljutdle = f ; hls , o ; sde

h ; hls , ` ; sde _c )zz( ?6 ; 2 ; ?

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