LYCÉE CHAPTAL – PT* – 2018/2019 COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE LINÉAIRE

Compléments d’algèbre linéaireENTRAÎNEMENT 1

♣ Exercice 1 — Résoudre, en fonction du para-mètre m ∈ C, le système d’équations linéaires sui-vant :

x − y + z = m

x +my − z = 1

x − y − z = 1

Indication — Du pivot, rien que du pivot !

Correction — Notons S l’ensemble des solutions. On dis-tingue deux cas :

• si m 6= −1, S =��

m+12 , 0, m−1

2

�

;

• si m= −1, S = {(y, y,−1) | y ∈ R}.

♣ Exercice 2 — Résoudre dans M2(R) :

X 2 + X = A avec A=�

1 11 1

�

Indication — On pourra poser X =�

a bc d

�

et résoudre un

système d’équations non linéaires. Soustraire la premièreéquation et la dernière puis factoriser.

Correction — En factorisant l’équation obtenue par d − a,on trouve d = a. En réinjectant, on trouve alors quatre solu-tions : −A/2− I2,−A, A− I2 et A/2.

♣ Exercice 3 — Soit A=

1 1 10 1 10 0 1

.

Calculer An pour n ∈ N.

Indication — La formule du binôme peut-elle s’appliquer ?

Correction — ∀n ∈ N, An =

1 n n(n+1)2

0 1 n0 0 1

!

.

♣ Exercice 4 —

1. Déterminer la dimension et des équations carté-siennes du sous-espace F de R4 engendré par(0,2, 1,−1) et (2,−1,1, 0).

2. Trouver un supplémentaire de F .

Indication — 2. Choisir deux vecteurs non colinéaires dansR4 \ F puis montrer que les espaces sont supplémentaires.

Correction — On a clairement dim(F) = 2. De plus,

u= (x , y, z, t) ∈ F ⇐⇒�

x + 2y + 4t = 0

x − 2z − 2t = 0

Enfin, on peut poser G = Vect((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)) et mon-trer à l’aide du déterminant que R4 = F ⊕ G.

♣ Exercice 5 — Soit H = {P ∈ Rn[X ] | P(1) = 0}.1. Montrer que H est un espace vectoriel et en déter-

miner une base.

2. Montrer que H est un hyperplan de Rn[X ] de troisfaçons différentes.

Indications —

1. On peut revenir à la définition d’un sev (à savoir faire)ou déterminer directement une famille génératrice de H.On trouve dim(H) = n.

2. On peut déterminer la dimension de H, ou montrer queVect(1) est supplémentaire à H ou enfin voir que H est lenoyau d’une certaine forme linéaire (hors programme).

♣ Exercice 6 — Soient E un K-espace vectoriel de di-mension finie et f ∈ L (E).1. On suppose que E = Ker f ⊕ Im f .

Démontrer que Im f = Im f 2.

2. La réciproque est-elle vraie ?

Correction —

1. On a toujours Im f 2 ⊂ Im f .Si y ∈ Im f , y = f (x) avec x ∈ E. Il existe par ailleurs(x1, x2) ∈ Ker( f )× Im( f ) tel que x = x1 + x2. D’où :

f (x) = f (x1 + x2) = f (x2) et x2 = f (z2)

= f ( f (z2)) ∈ Im f 2

Ainsi Im f ⊂ Im f 2.

2. Im f = Im f 2⇐⇒ E = Ker f +Im f et en dimension finie,la somme est directe (théorème du rang).

♣ Exercice 7 — Soit E un K-espace vectoriel de dimen-sion finie et f ∈ L (E) vérifiant f 3 = idE .

1. Montrer que Im( f − idE) ⊂ Ker( f 2 + f + idE).

2. En déduire que Im( f − idE) et Ker( f − idE) sontsupplémentaires dans E.

Indication — 2. On travaille en dimension finie...

Correction —

1. Soit y ∈ Im( f − idE). Comme y = f (x)− x avec x ∈ E,on a f 2(y) + f (y) + y = f 3(x)− x = 0E .

2. En appliquant le théorème du rang à g = f − idE , on a :

dim(Im( f − idE)) + dim(Ker( f − idE)) = dim(E)

De plus, si x ∈ Im( f − idE)∩ Ker( f − idE) :

f 2(x) + f (x) + x = 0E et f (x)− x = 0E

Ainsi, il vient 3x = 0E puis x = 0E .

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MICKAËL PROST http://www.mickaelprost.fr

♣♣ Exercice 8 — Soit φ l’application définie sur R[X ]par φ(P) = (X 2 + 1)P ′′ + 4P ′ − 2P.

1. Montrer que φ ∈ L (R[X ]).2. Exprimer deg(φ(P)) en fonction deφ(P) puis en dé-

duire que, pour tout n ∈ N, φ induit par restrictionun endomorphisme de Rn[X ].

3. Déterminer le noyau de φ.

4. Trouver l’ensemble des polynômes P vérifiantφ(P) = X .

Indications —

2. On pourra distinguer les cas n 6= 2 et n= 2 en posantP = aX 2 + bX + c.

4. Sauriez-vous trouver une solution particulière? lessolutions de l’équation homogène?

Correction —

2. Soit P =n∑

k=0

akX k avec an 6= 0. Le terme « dominant »

de φ(P) est [n(n− 1)− 2] anX n si celui-ci est non nul.• si n 6= 2 alors n(n− 1) 6= 2 et deg(P) = deg(φ(P)).• si deg(P) = 2 alors P = aX 2 + bX + c conduit àφ(P) = 2(4a− b)X + 2(a+ 2b− c).

En conclusion, pour tout P ∈ Rn[X ], φ(P) ∈ Rn[X ].3. D’après ce qui précède, si deg(P) 6= 2, φ(P) = 0̃ im-

plique P = 0̃. Dans le cas où n= 2, on obtient b = 4aet c = 9a, soit P = a(X 2 + 4X + 9).Ainsi, Ker(φ) = Vect(X 2 + 4X + 9).

4. En cherchant une solution de degré 1, on trouveP = −X/2− 1.On a alors S =

�

−X/2− 1+ a(X 2 + 4X + 9), a ∈ R

.

♣♣ Exercice 9 — ENSAM

Soit f un endomorphisme d’un K-ev de dimension finie.On pose, pour tout k ∈ N, Nk = Ker( f k) et Ik = Im( f k).

1. Montrer que, pour tout k ∈ N, Nk ⊂ Nk+1 et que siNk = Nk+1, alors Nk+1 = Nk+2.

2. Montrer qu’il existe un entier naturel i tel queNi = Ni+1, puis que E = Ni ⊕ Ii .

3. Montrer que f restreinte à Ker( f i) est nilpotente.

4. Montrer que f restreinte à Im( f i) est un automor-phisme de Im( f i).

Indication — 2. Étudier la monotonie de la suite de termegénéral un = dim(Ker( f n)). Comparer alors N2i et Ni .

Correction —

2. D’après ce qui précède, (un)n∈N est une suite d’entiersnaturels croissante, elle est donc stationnaire. Il existeainsi i ∈ N tel que pour tout j ¾ i, dim(Ker( f j)) =dim(Ker( f i)). Comme par ailleurs, N j ⊂ Ni , on a bienN j = Ni pour tout j ¾ i.Soit y ∈ Ni ∩ Ii . Alors f i(y) = 0E et y = f i(x)pour un certain x ∈ E. Ainsi, x ∈ N2i = Ni , doncy = f i(x) = 0E . Ainsi, Ni ∩ Ii = {0E}. Le théorème durang permet alors de conclure.

♣♣♣ Exercice 10 — GROUPE CACHAN

On pose E =C (R+,R) et on considère l’application ψqui à toute fonction f de E associe la fonction g définiepar :

∀x ∈ R+, g(x) =

∫ x

0

2t f (t) dt

1. Montrer que E est un espace vectoriel de dimensioninfinie.

2. Prouver que ψ est un endomorphisme de E.

3. Étudier l’injectivité et la surjectivité de ψ.Conclure.

4. Déterminer pour tout λ ∈ R le sous-espace vectorielKer(ψ−λidE).

Indications —

1. Exhiber la bonne famille !

2. Toute fonction dérivable est continue...

3. Dériver et bien réfléchir.

4. On résoudra une certaine équation différentielle.

Correction —

1. E est clairement un espace vectoriel et (x 7→ xn)n∈N estune famille libre de E qui contient une infinité de vec-teurs, c’est donc un espace de dimension infinie.

2. La linéarité découle de celle de l’intégrale ; ψ est parailleurs à valeurs dans E car g est bien continue sur R+

en tant que primitive de x 7→ 2x f (x).

3. • Soit f ∈ Ker(ψ). g étant l’application nulle, g ′ l’estégalement, ce qui s’écrit :

∀x ∈ R+, 2x f (x) = 0

Cela conduit à f (x) = 0 pour x > 0 et par continuitéde f , f est bien nulle sur R+. Bref, ψ est injective.

• L’application ψ ne peut être surjective : si elle l’était,pour toute fonction continue g ∈ E, il existerait f ∈ Etelle que g =ψ( f ). Mais donc g serait dérivable. Orcertaines fonctions continues ne sont pas dérivables(la racine carrée par exemple). Absurde !

• ψ est donc un exemple d’application linéaire qui estinjective sans être surjective.

4. Soit f ∈ Ker(ψ−λidE). Cela implique 2x f (x) = λ f ′(x).Pour λ 6= 0, on obtient f (x) = Aexp

�

x2/λ�

où A est unréel quelconque.Réciproquement, toute fonction de cette forme vérifie

bien

∫ x

0

2t f (t) dt = λ f (x) (à vérifier). Ainsi,

• pour λ 6= 0, Ker(ψ−λidE) = Vect�

x 7→ exp�

x2/�

;

• par ailleurs, comme déjà vu, Ker(ψ) = {0E}.

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