Complejidad sin MatematicasDante R. Chialvo Northwestern University. Chicago, IL, USA.Email: d-chialvo@northwestern.edu www.chialvo.net

Motivacin y elementos de redes Conceptos bsicos Ejemplos de redes complejas

Simplemente Google por: Complex Networks o Redes Complejas!Ricard Sole :http://complex.upf.es/Albert Diaz-Guilera: http://www.ffn.ub.es/~albertAlbert Barabasi: http://www.nd.edu/~alb/ D. J. Watts, and S. Strogaz, Nature 393, 440442 (1998). A. L. Barabsi, and R. Albert, Science 286, 509512 (1999). S. H. Strogatz, Nature 410, 268276 (2001).A. L. Barabsi, and R. Albert, Review of Modern Physics 74, 4797 (2002).S. Dorogovtsev, and J. F. F. Mendes, Advances in Physics 51, 10791187 (2002). S. Bornholdt, and H. G. Schuster, editors, Handbook of Graphs and Networks - From the Genome to the Internet,Wiley-VCH, Berlin, 2002. R. Pastor-Satorras, M. Rub, and A. Daz-Guilera, editors, Statistical Mechanics of Complex Networks, Springer, 2003.D. J. Watts y S. H. Strogatz (1998). Collective Dynamics of Small World Networks Nature Vol. 393. Sporns O, Chialvo DR, Kaiser M, and Hilgetag CC. Organization, Development and Function of Complex Brain Networks. Trends in Cognitive Sciences, 8 (9): 387-433 (2004). Sole et al, Selection, Tinkering, and Emergence in Complex Networks, Complexity vol. 8(1), 20-33 (2003) Algunas referencias y sitios.

Una red compleja es el esqueleto de un sistema complejo Vista de SateliteVista del usuarioNew York New York

La incapacidad de las redes aleatorias de capturar algunas caractersticas bsicas de las redes complejas.

Los avances recientes en computacin y obtencin de datos de sistemas reales produjo gran cantidad de informacin en diferentes sistemas complejos. Esto revel una discordancia seria entre lo que se creia y lo que actualmente se veia en redes reales.

La red, en muchos casos, es una forma comprimida del sistema complejo, y entonces sintetiza y disminuye el monto de informacion a estudiar.Que impuls el estudio de redes complejas?

MilgramEl psiclogo S. Milgram (Yale U.) realiz un experimento que parta seleccionando 300 personas al azar en USA (Boston y Omaha), debidamente instrudos para enviar una carta a nica persona objetivo en Boston. Estos diseminadores disponan de ciertas guas acerca de la persona objetivo, tal como su localizacin geogrfica y ocupacin. Con base en esta informacin, los diseminadores debieron mandar una carta a una persona que ellos conocan y que se ajustaba lo mejor posible a esta informacin. Este proceso se repiti hasta que las cartas eventualmente llegaron finalmente a la persona objetivo.

Los operarios de aerolineas en EEUU, encargados de despachar las valijas perdidas, repiten diariamente (sin saberlo) el mismo experimento. Cuando preguntados acerca de que criterio usan, responden que ponen la valija en el primer vuelo que se dirija mas o menos en la direccin del supuesto destino.

MilgramMilgram public los resultados (Psychology Today) diciendo que 60 de las 300 cartas llegaron a la persona correcta. En promedio, las cartas pasaron por seis intermediarios hasta llegar a la persona correcta. La conclusin fue que las personas estn mucho ms cercanas entre si de lo que uno podra haber imaginado. Esta experiencia gener un hito en lo que ahora se conoce como propiedad de mundos pequeos o los seis grados de separacin o los seis grados de Kevin Bacon o el mundo es un pauelo que veremos en un momento en mas detalle.

MilgramDespus del experimento de Milgram, pasaron muchos aos antes de continuar con ese tipo de trabajos, principalmente por las limitaciones en cuanto al manejo de grandes cantidades de informacin.

Describen amplia variedad de sistemas naturales, tecnolgicos y sociales.Se representan por medio de grafos dirigidos o no-dirigidos.Tenemos nodos y enlaces. Un enlace (i,j) conecta los nodos i y jCada nodo tiene un nmero de enlaces conectados que se lo llama grado del nodo. Que es una red?enlaceNodo con grado=2

Hay muchos modos de conectarse Que podemos cuantificar que nos diga algo de la estructura de la red?

Grado del nodo: k(n) FriendshipComo caracterizar una red: Grado La cantidad de enlacesetc

Clustering Coefficient: C(n)FriendshipComo caracterizar una red: Clustering Coefficient

Clustering Coefficient: C(n)Numero de conecciones: 2FriendshipComo caracterizar una red: Clustering Coefficient

Clustering Coefficient: C(n)Numero de conecciones: 2Numero total posible: kn(kn-1) = (43) = 6FriendshipComo caracterizar una red: Clustering Coefficient

Clustering Coefficient: C(n)Numero de conecciones : 2Numero total posible: kn(kn-1) = (43) = 6Cn = 2 / 6 = 0.333Como caracterizar una red: Clustering Coefficient

Clustering Coefficient: C(n)Numero de conecciones: 2Numero total posible: kn(kn-1) = (43) = 6Cn = 2 / 6 = 0.333Dice cuan buena es la conectividad con el vecindario FriendshipComo caracterizar una red: Clustering Coefficient Clustering o apiamiento o agrupamientoo...

Distancia (pathlength)ijFriendshipComo caracterizar una red: Distancia (pathlength)

Distancia (pathlength)ijFriendshipComo caracterizar una red: Distancia (pathlength)

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Como caracterizar una red: Distancia (pathlength) Distance

DistanciaDistance : length of the shortest pathsComo caracterizar una red: Distancia (pathlength)

Matriz de distancias de todos a todos: L i,j=Largo de la via mas cortaLij = Como caracterizar una red: Distancia (pathlength) nodo inodo j

123456789121122233421211122343112221323421221212352121211236221212220732311221283322211219443332212

Betweenness (carga) El numero de caminos mas cortos que pasa por un dado nodo o un dado enlace. Grado de los vecinosGrado promedio de los vecinos con los que esta conectado un nodo. (cuantos amigos tienen mis amigos).

Como caracterizar una red: Otras medidas

Grado?Clustering?Distancia (Pathlength)?Modelos de redes aleatoriasModelo de WATTS - STROGATZ

Reconectar un enlace con probabilidad pModelo de WATTS - STROGATZ Modelos de redes aleatorias

Modelo de WATTS - STROGATZ Modelos de redes aleatorias

SMALL - WORLD = Clustering aun altoDistancia cortaWatts, Strogatz. Nature 393/4, 1998Unos pocos shortcuts reducen dramaticamente la distancia sin afectar el clustering Medir L y C en cada caso Modelos de redes aleatoriasRed regularRed aleatoriaEl mundo es un pauelo aqui

Grilla RegularRed Small-World AleatorioDistribucion de GradoModelos de redes aleatorias

Scale-freeHomogeneasP(k) ~ k -Mirando el grado de las redes en la Naturaleza se ve que estas no son homogeneas, son no uniformesEn redes aleatorias la mayoria de los nodos estan enlazados por mas o menos el mismo numero de nodos, mientras que en redes scale-free ( o libres de escala) hay unos pocos muy bien conectados (hubs)

Libre de escala (o scale-free) mucho de poco y poco de mucho

El analisis de redes naturales revelo que eran scale-freeactoressemanticawwwinternetproteinametabolica

Complex networks: Statics and Dynamics Diaz-Guilera, (2006)El rico se vuelve mas rico, al final unos pocos tienen mucho y muchos pocoComo se originan las redes no uniformes (libres de escala)

ResumiendoAleatoriaDe pequeo mundoThe few well connectedDistancia minima promedio: L (distancia mas corta entre dos nodos)Clustering: C(k) (cuantos de tus enlaces estan tambien mutualmente enlazados)Es de pequeo mundo si C >> Crand L ~ Lrand

No Uniforme Homogeneas

La red de carreteras es uniformeLas consecuencias de borrar un nodo (ciudad o aeropuerto) es muy diferente en cada caso La red de aerolineas es NO uniforme Red robusta al dao aleatorio pero fragil al dao selectivo Algunos consecuencias importantes de la no-uniformidad

Nature July 27, 2000

Ejemplos (con referencias) de redes complejas se pueden ver accediendo a la WWW red:

http://www.visualcomplexity.com/vc/

Un poupurri incompleto y desactualizado de redes

Internet es una red compleja donde los nodos son computadoras y routers y los enlaces comunican computadoras.

Internet

Internet

Internet

WWW es una red virtual compleja donde los nodos son las pginas web y las enlaces son los hyperlinks. Se pueden establecer a nivel de dominios y de pginas.

www.chialvo.netwww.ucm.eswww.ucla.edu/~dchialvo/La WWW

Redes Lingsticas : palabras son nodos y los enlaces conectan palabras consecutivas o casi consecutivas en un texto. En otras redes lingsticas los nodos son palabras pero las enlaces son los sinnimos, antnimos, etc. En otras redes los enlaces pueden ser las asociaciones libres evocadas por una palabra (perfume flor; futbol Madrid, etc).Redes Lingsticas

http://www.expasy.ch/cgi-bin/show_thumbnails.plRedes Metablicaslos nodos son substratos y los enlaces las reacciones entre los substratos.

Redes Metablicas

Redes MetablicasE. Almaas, B. Kovacs, T. Vicsek, Z.N. Oltvai and A.-L. Barabsi Global organization of metabolic fluxes in the bacterium Escherichia coli. Nature 427, 839-843 (2004).

Interacciones entre protenas : los nodos son protenas y los enlaces conectan aquellas protenas que a travs de experimentos se demuestra su interaccinUna motivacin es determinar patrones mas tpicos de interaccin en salud y enfermedad, interferir y manipularlos en aplicaciones de diagnostico y tratamiento, diseos de nuevas drogas etc.

Proteoma

One way to understand the p53 network is to compare it to the Internet.The cell, like the Internet, appears to be a scale-free network.P53Redes de genes

Red Social: Es un conjunto de personas, cada una de ellas conocida para un subconjunto de las restantes. Se puede definir en diferentes contextos particulares, como por ejemplo, la Universidad Complutense, o generales; por ejemplo, el mundo entero.

Redes Sociales Una motivacin para su estudio es conocer los patrones de interaccin humana, y otra puede ser investigar implicaciones para la difusin de informacin, dinmica de formacin de opiniones , contagio de ideas o enfermedades.

http://www-personal.umich.edu/~mejn/networks/Amarillo- Raza Blanca Verde AfroamericanosRosa - Otros Red de amistades (nios de escuela)

Red Social:

Collaborativas (co-autora de papers) donde los nodos son cientficos y los enlaces representan co-autora en un paper.

El ejemplo ms famoso de este tipo de red es en torno al matemtico Paul Erds (nmero de Erds). Erds (1919-1996), el matemtico mas prolifico, con ms publicaciones y con ms co-autores es el origen de una red y tiene nmero de Erds 0, sus co-autores tienen nmero 1, los co-autores de stos tiene nmero 2, y as sucesivamente.

Veamos la distribucin de los nmeros de Erds considerando solamente aquellos autores que han colaborado y que adems estn a una distancia finita de Erds. Existen (a la fecha del estudio) 268.000 de estos autores.

Nmeros de Erds Dante Chialvo tiene nmero 4Media:4.65Mediana : 5

Nmero de ErdsNmero de Autores011504265933336054836425877606400147115918314698191024411681223135

Citaciones en artculos cientficos donde los nodos son artculos publicados y un enlace apunta a una referencia de un artculo publicado.

Actores de cine (y/o TV) donde los nodos son los actores y una enlace representa una participacin conjunta de actores en una pelcula.Tres estudiantes inventaron el juego Los seis grados de Kevin Bacon y es posible jugarlo on-line en una pgina de CS-D de Virginia U. (o los 4 grados de KB) ( http://oracleofbacon.org/)El grafo para el orculo de Bacon es provisto por la base de datos de pelculas de Virginia U.

The Oracle says: alfredo alcon has a Bacon number of 3. Alfredo Alcon was in Jandro (1965) with Luis Induni Luis Induni was in Bianco, il giallo, il nero, Il (1975) with Eli Wallach Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin Bacon The Oracle says: Palito Ortega has a Bacon number of 3. Palito Ortega was in Amor en el aire (1967) with Cris Huerta Cris Huerta was in Bianco, il giallo, il nero, Il (1975) with Eli Wallach Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin Bacon

El oraculo

Ejemplos de Redes ComplejasLlamadas Telefnicas (larga distancia). Los nodos son nmeros telefnicos y las aristas son arcos dirigidos del nodo origen al nodo destino de la llamada.(dur el experimento un da - USA)

Redes Ecolgicas en las cuales los nodos son especies y Los enlaces representan relaciones tipo predador-presa entre las especies. [se estudiaron 7 webs de comida]

Contactos sexuales humanos. Los nodos son personas y las enlaces conectan dos personas que se han relacionado sexualmente. (Experimento conducido en Suecia )

Sex-webNodos: Personas Enlaces: relation sexualLiljeros et al. Nature 20014781 Suecos; 18-74; 59% respondio.

Food Web (red troficas)Nodes: trophic species Links: trophic interactionsR.J. Williams, N.D. Martinez Nature (2000)R. Sole (cond-mat/0011195)

Ejemplos de Redes Complejas Redes Neuronales en las cuales los nodos son neuronas y los enlaces son sinapsis o correlaciones entre (grupos de) neuronas. [C elegans, Corteza Cerebral, Fmri]

Redes de Potencia donde los nodos son generadores, transformadores y subestaciones, y los enlaces son lneas de transmisin de alto voltaje. [Western USA ]

Otras Redes

Circuitos ElectrnicosEvolucin Viral

Mapa del sistema nervioso del C. Elegans

Redes Reales: varios casos

La Topologa de Redes Reales: varios casos

1) The easiest approximation is to discard the directionality and the weights. Unfortunately, most of the theoretical work is done under this simplest characterization.2) So... what can be measured? what kind of analysis is possible in a network?3) The first question to ask is: how many neighbours do I have? vertex degree gives an idea of how well or poorly is a vertex connected to the rest of the network.4) so, we select a vertex (show vertex falling) and we simply count how many neighbors does it have... (change slide)1) Clustering is NOT a property of the node, it is a property of its NEIGHBOURS!!END) Clustering says how well are connected BUT doesnt say how many groups are there, so...1) The concept of distance in a graph is not the same as geometrical distance.2) for example, if I want to drive from Frankfurt to Berlin following the shortest path, I could drive the following road. (show next slide)1) The concept of distance in a graph is not the same as geometrical distance.2) for example, if I want to drive from Frankfurt to Berlin following the shortest path, I could drive the following road. (show next slide)1) The concept of distance in a graph is not the same as geometrical distance.2) for example, if I want to drive from Frankfurt to Berlin following the shortest path, I could drive the following road. (show next slide)1) This path seems to be the shortes but I could also drive along the following path. (show next)... or even this other way that seems to take much longer. (show next)

1) besides, all these paths, although geometrically different, in a graph theoretical sense, they represent the same distance (show next)1)1) Possible correlations between ki and knn(i) will be discussed later and found to be very important