comparação de modelos estatísticos
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SOCIEDADE EDUCACIONAL DE SANTA CATARINA - SOCIESC
INSTITUTO SUPERIOR TUPY – IST
CAIO ZAFALON
CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO
Joinville
2009/2
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CAIO ZAFALON
CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO
Projeto apresentado ao InstitutoSuperior Tupy como pré-requisito paraobtenção de grau de bacharel emEngenharia de Produção Mecânica.
Profa. Dra. Sueli Fisher
Joinville
2009/2
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CAIO ZAFALON
CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO
Projeto julgado e aprovado em suaforma final, sendo assinado pelosprofessores da Banca Examinadora.
Joinville, ____de _______________de __________
______________________________________ Profa. Dra. Sueli Fischer Beckert – IST
_____________________________________ Prof. Dr. Ricardo Martins Cury – IST
______________________________________ Prof. Dr. Adilson José de Oliveira - IST
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AGRADECIMENTOS
A minha orientadora Dra. Sueli Fisher Beckert quero agradecer pelo apoio,
disponibilidade e ajuda prestada na elaboração deste projeto.
Aos meus pais por todo o apoio necessário mesmo nos momentos mais
difíceis.
E por fim, à minha namorada Rafaella por toda a paciência e carinho durante
a elaboração deste projeto.
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RESUMO
A verificação eficaz das características da qualidade de um processo de produção
necessita freqüentemente de ferramentas do controle estatístico de processo para adetecção, identificação e análise das causas significantes responsáveis porvariações que afetam o comportamento do processo de maneira imprevisível. Esteprojeto apresenta um estudo focado nos gráficos de controle de Shewhart, CUSUMe MMEP a fim de, verificar a sensibilidade dos mesmos. A partir deste pressuposto,um comparativo do desempenho dos gráficos de controle será realizado a partir deum estudo de caso, em que, os dados serão coletados em um modelo idealestatístico e através de uma empresa metal mecânica local, serão coletados asinformações reais para a realização de um comparativo no intuito de avaliar ascaracterísticas de aplicação de cada gráfico de controle.
Palavras-chave: Gráfico de Controle. Controle Estatístico de Processo. CUSUM,MMEP e Shewhart.
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LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 Gráfico linear de causas comuns de variação......................................17
Figura 2 Gráfico linear de causas especiais de variação....................................18
Figura 3 Gráfico de uma curva normal típica......................................................20
Figura 4 Gráfico das distribuições normais com mesma média e desvios padrão
diferentes....................................................................................................................21
Figura 5 Gráfico das distribuições normais com mesmo desvio padrão e médias
diferentes....................................................................................................................21
Figura 6 Gráfico de probabilidades da distribuição normal.................................22Figura 7 Gráficos dos Padrões anormais de variação de um processo.............24
Figura 8 Gráfico de dispersão de um processo com normalidade......................25
Figura 9 Gráfico de dispersão de um processo sem normalidade......................26
Figura 10 Gráfico de controle genérico para monitoramento de um processo.....28
Figura 11 Gráfico de uma Máscara V típica..........................................................42
Fígura 12 Estrutura do gráfico de controle MMEP................................................45
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LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Tabela da eficiência relativa do estimador R........................................33
Tabela 2 Tabela de implementação do algoritmo de soma acumulada..............40
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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
A2 , D3 e D4 Coeficientes para o projeto de gráficos de Shewhart
Ci+ Soma acumulada incluindo a i-ésima amostra
Ci− Soma acumulada dos valores acima do pretendido Soma acumulada dos valores abaixo do pretendido0 Soma acumulada (valor inicial)
CEP Controle Estatístico de Processos
CUSUM Soma acumulada (Cumulative Sum )
MMEP Média Móvel Exponencialmente Ponderada
d Distância entre o vértice e o ponto de superposição da máscara Vd2 e d3 Fatores de correção para a estatística R
H Intervalo de decisão
h Intervalo de decisão padronizado
Ho Hipótese nula
H1 Hipótese alternativa
K Declividade da máscara V
K Declividade padronizada da máscara V (fator de sensibilidade)LC Linha Central
LIC Limite Inferior de Controle
LSC Limite Superior de Controle
n Tamanho da amostra
R Amplitude amostral
I-ésima observação
−1 Uma observação anterior a i-ésima Média das observações Média das médias das observações Média da j-ésima amostra Variável padronizada dos valores de i x
σ Desvio padrão da população
σ
Desvio padrão estimado
Desvio padrão das médias amostraisδ Tamanho ou amplitude da mudança em unidades de desvio padrão
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α Probabilidade de um erro tipo I
β Probabilidade de um erro tipo II
θ Ângulo da máscara V
μ Média populacional0 Valor médio desejado do processo, média sob controle
μ1
Valor médio do processo para o estado fora controle
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 10
1.1 ESTRUTURA DO TRABALHO ......................................................................... 12
2 CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO ....................................................... 13
2.1 CONTROLE DO PROCESSO OU CONTROLE DO PRODUTO ...................... 14
2.2 CAUSAS COMUNS.......................................................................................... 15
2.3 CAUSAS ESPECIAIS ....................................................................................... 16
2.4 SUBGRUPOS RACIONAIS .............................................................................. 18
2.5 COMPORTAMENTO NORMAL DO PROCESSO ............................................ 19
2.5.1 Propriedades da Distribuição Normal ................................................... 21
2.5.2 Padrões de Anormalidade ...................................................................... 232.5.3 Identificação da Normalidade no Processo .......................................... 24
3 GRÁFICOS DE CONTROLE DE SHEWHART ...................................................... 28
3.1 ETAPAS PARA UTILIZAÇÃO DOS GRÁFICOS DE CONTROLE .................... 29
3.1.1 Coleta dos Dados .................................................................................... 30
3.1.2 Estabelecimento dos Limites de Controle ............................................ 30
3.1.3 Interpretação do Controle Estatístico ................................................... 30
3.2 GRÁFICOS DE CONTROLE PARA VARIÁVEIS .............................................. 313.2.1 Gráfico − ............................................................................................ 33
3.2.2 Gráfico & ........................................................................................ 36
3.3 GRÁFICOS DE CONTROLE CUSUM .............................................................. 37
3.3.1 Gráfico de Controle CUSUM Tabular ..................................................... 38
3.3.2 Máscara V ................................................................................................ 41
3.4 GRÁFICO DE CONTROLE MMEP ................................................................... 43
3.4.1 MMEP como Preditor do Nível do Processo......................................... 453.5 CAPACIDADE DO PROCESSO ...................................................................... 45
3.5.1 Índice de Capacidade Potencial do Processo ().............................. 47
3.5.2 Índice de Desempenho do Processo () ........................................... 48
3.5.3 Índices ..................................................................................... 48
4 METODOLOGIA .................................................................................................... 50
4.1 CRONOGRAMA .............................................................................................. 51
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 52
REFERÊNCIAS......................................................................................................... 53
ANEXOS ................................................................................................................... 55
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1 INTRODUÇÃO
O Controle Estatístico de Processos e em particular as técnicas de Controle
da Qualidade, através dos gráficos de controle, têm sido cada vez mais importantes
pelo fato de desempenharem papel primordial na indústria moderna. O controle de
qualidade almeja realizar tarefas que não possuam defeitos, uma antiga
preocupação da humanidade. A primeira idéia de controlar um processo produtivo é
atribuída a Walter Shewhart, que em 1931 apresentou e instrumentalizou um
conjunto de conceitos que servem de base para o moderno Controle Estatístico de
Processos (CEP). Montgomery (2004), diz que, o principal objetivo do Controle
Estatístico de Processo é atingir uma garantia da qualidade para tornar-se cada vezmais o fator chave na decisão do fabricante em relação a produtos e serviços. Este
fator é considerado a base que conduz ao sucesso de uma organização, tanto para
a manutenção da competitividade no mundo globalizado, como para a rentabilidade
de um processo produtivo. Para que este nível de qualidade possa ser atingido,
devem-se utilizar técnicas estatísticas convenientes e recorrer ao empenho geral de
todos os envolvidos na melhoria contínua para a estabilidade de um processo.
Desta forma, o Controle Estatístico de Processos pode ser entendido comoum conjunto de ferramentas práticas, utilizado para fornecer informações que
permitem tomar decisões relacionadas à especificação, produção e inspeção do
produto a ser fabricado bem como a avaliação do produto final. Os gráficos de
controle apresentam essas informações, de modo que, quando usadas
adequadamente são de fundamental importância para as decisões descritas acima.
Um dos grandes desafios atuais na indústria é a dificuldade na seleção do
gráfico de controle e uma limitação no uso de gráficos tradicionais como & (média e amplitude) e i & (valores individuais e amplitude móvel). Estes
gráficos, também conhecidos como gráficos de Shewhart, apresentam uma
desvantagem de apenas usar a informação sobre o processo contido no último
ponto plotado. Conforme Montgomery (2004, p. 100) “essa característica torna o
gráfico de controle de Shewhart relativamente insensível a pequenas mudanças no
processo da ordem de 1,5 sigma ou menos”. De acordo com Alves (2003), os
gráficos de Shewhart não acumulam as informações de amostras anteriores, mas
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através de testes de seqüência fazem o uso de valores amostrais plotados
sucessivamente para uma tomada de decisão.
A dificuldade imposta pelas regras adicionais dos gráficos de Shewhart e sua
inabilidade de detectar desvios moderados fez com que se desenvolvessem
modelos de gráficos de controle que acumulam informações das amostras coletadas
sucessivamente capazes de detectar tais desvios e que fossem fáceis de utilizar. Um
desses modelos de gráficos que acumulam informações incorporadas na estatística
analisada são os Gráficos de Controle de Soma Acumulada (Cumulative Sum
Control Charts – CUSUM). Estes gráficos são capazes de detectar pequenas
mudanças na distribuição da característica da qualidade, manter um controle
apertado sobre o processo e dar uma estimativa do novo nível do processo ou danova média.
Para tanto, no estudo em lotes de produção a utilização inadequada de
gráficos de controle pode gerar decisões incorretas na aprovação ou reprovação de
lotes de produção devido ao critério de como eles foram implementadas no processo
produtivo.
Ainda de Alves (2003), é importante que os produtos sejam produzidos
corretamente à primeira vez. Dessa maneira, a variabilidade das características daqualidade reduz sistematicamente sendo de total interesse para o processo
produtivo, pois aumenta a confiabilidade do produto final. São ações fundamentais
para alcançar a estabilidade e melhorar a capacidade em qualquer processo de
produção.
O projeto tem por objetivo estabelecer critérios para seleção eficaz dos
gráficos de controle em processos normais de produção. Especificamente, será
realizada revisão dos gráficos tradicionais de controle, um estudo em outras técnicascontrole estatístico de processo (CUSUM e MMEP), a comparação dos resultados
obtidos, quanto à normalidade e aos índices de desempenho, nos diferentes gráficos
de controle e relacionar fatores relevantes para a correta utilização do gráfico de
controle.
O conteúdo apresentado neste projeto é de grande relevância aos envolvidos
direta ou indiretamente ao controle de qualidade nas indústrias, pois ainda hoje
muitos dos métodos de controle utilizados genericamente nestas empresas são
baseados quase que exclusivamente em análises de médias e índices simples de
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desempenho, que se constituem em técnicas relativamente lentas e ineficientes na
identificação de variações ou desvios de processo.
1.1 ESTRUTURA DO TRABALHO
A estrutura do trabalho inicia (capítulo 1) com introdução aos assuntos
tratados, objetivos do trabalho, justificativa e importância, e as limitações do mesmo.
O segundo (capítulo 2) consiste na apresentação de uma visão dos conceitos
relacionados à qualidade de serviços e controle estatístico de processos. Disserta
também, os fundamentos principais para o conhecimento de um processo normal,
assim como, as principais características de anormalidade para que se entenda oprincípio dos gráficos de controle.
O Terceiro capítulo inicia o estudo com os gráficos de controle, explicando os
gráficos de Shewhart, CUSUM e MMEP finalizando a fundamentação teórica falando
sobre a capacidade do processo e seus principais índices, assim como as
considerações para a continuidade deste trabalho.
O quarto capítulo é apresentado a metodologia e o cronograma para segunda
fase do projeto referente para o primeiro semestre do ano de 2010.O quinto e ultimo capítulo descreve as considerações finais abrangendo a
idéia da continuação deste projeto.
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2 CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO
Ao falar em controle estatístico de processo, é necessário citar as etapas do
controle da qualidade em um processo produtivo. As etapas são:
— Definir um padrão a ser atingido;
— Inspecionar (medir o que foi produzido e comparar com o padrão);
— Diagnosticar a não conformidade (descrição do desvio entre o que foi
produzido e o padrão);
— Identificar as causas das não conformidades/defeitos;
— Realizar uma ação corretiva para eliminação das causas;
— Atualizar os padrões, seja do produto ou processo.
É importante destacar que: “O estado da estatística preditiva assume uma
população estável, mas predições não podem ser realizadas antes que as condições
do processo tenham sido inteiramente definidas” (FLOTT, 2002, p.112).
O CEP, tradicionalmente, é uma ferramenta com base estatística, de auxílio
ao controle da qualidade, nas etapas do processo, particularmente no caso de
processos repetitivos. É importante dizer que, para prognosticar a produção
utilizando o controle estatístico de processo, é necessário que haja uma população
estabilizada. Uma vez verificado que o processo é estável e controlado o prognóstico
pode ser antecipado, ou seja, se alguma coisa dê errada ou prestes a dar errado, o
CEP apresentará sinais claros de não conformidade no processo.
Os métodos estatísticos e sua aplicação na melhoria da qualidade têm uma
longa história. Em 1924, Walter A. Shewhart desenvolveu o conceito estatístico decontrole, que é considerado segundo Montgomery (2004, p.7) “o começo formal do
controle estatístico da qualidade”.
No final dos anos de 1920, Harold F. Dodge e Harry G. Romig desenvolveram
a amostragem de aceitação com base estatística como uma alternativa a 100% de
inspeção. No meio da década de 30, os métodos estatísticos de controle eram
largamente usados na Western Eletric, a divisão de manufatura da Bell Telephone
Lab., empresa em que Shewhart, Harold e Harry trabalhavam. No entanto, o valor docontrole estatístico da qualidade não era amplamente reconhecido pela indústria.
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Desde 1980, tem havido um grande crescimento no uso de métodos
estatísticos para a melhoria da qualidade nos Estados Unidos. Isto aconteceu, em
grande parte, às grandes perdas de negócios e mercados sofridas por muitas
companhias domésticas, que não adotaram o uso dos métodos estatísticos
perdendo em alguns casos, na indústria automobilística, cerca de 1 milhão de
dólares por hora (MONTGOMERY 2004, p.8).
Porém, hoje, o CEP é entendido como uma filosofia de gerenciamento
(princípios de gerenciamento) e um conjunto de técnicas e habilidades, originais da
estatística e da engenharia de produção, que visam garantir a estabilidade e a
melhoria contínua do processo de produção. Em resumo, visa o controle e a
melhoria do processo.
2.1 CONTROLE DO PROCESSO OU CONTROLE DO PRODUTO
Segundo Flott (2002, p. 112), entretanto, na prática, a primeira vez que o
gráfico de controle é utilizado no processo, é comumente utilizado para mostrar que
o processo está fora de controle. Estando fora de controle não significa
necessariamente que o processo não esteja encontrando as especificações.Estando em controle estatístico de processo, significa que a variabilidade do
processo reduziu, e isso está diretamente ligado com a qualidade do produto.
Foi notado em várias referências que o assunto de controle estatístico de
processo, é tratado como controle estatístico do produto. Hay-yu (2008, p.2)
pergunta: “O que nós medimos quando dissemos que estamos medindo o processo?
Mais precisamente, talvez, o que estamos controlando?”. Analisando a questão, é
dito que a produção do processo é medida e não a variação do processo em si.A maioria das indústrias que aplicam o controle estatístico de processo utiliza
no conceito da característica do produto, com espessura, circularidade,
comprimento, diâmetro, etc. O problema está ligado que até o setor de qualidade
juntamente com a organização age como se o “P”, da palavra CEP, fosse ligado à
peça ou produto, e não ao processo.
Flott, ao entrevistar uma grande companhia no setor de qualidade foi
questionado que, ao se plotar características do produto, eles na verdade, estariam
controlando o processo. Mesmo que isso de certa forma seja verdadeira, deve-se
perceber e visualizar que aplicar a ferramenta somente no produto não é suficiente,
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pois, se houver algum parâmetro inerente a fabricação do produto em si, haverá
descontrole do processo. Portanto, o ideal é que sejam controlados todos os
parâmetros envolventes no processo para que isso não seja necessário no produto.
2.2 CAUSAS COMUNS
O primeiro passo para reduzir a variação de qualquer processo é saber
distinguir causas comuns de causas especiais. Atribui-se a causas comuns, ou
causas aleatórias, às formas que agem de forma consistente no processo. De
acordo com Montgomery (2004) “Essa variabilidade natural ou “ruído de fundo” é o
efeito cumulativo de muitas causas pequenas, essencialmente inevitáveis”. Portanto,
são causas que ocorrem inerentes ao processo. De acordo com Filho (2008) são
exemplos de causas comuns:
a) Quanto ao Meio Ambiente
— Iluminação deficiente;
— Alto nível de ruído;
— Variação de temperatura do ambiente.
b) Quanto a Mão-de-obra
— Treinamento inadequado;
— Treinamento insuficiente.
c) Quanto a Máquina
— Envelhecimento; — Desgaste.
d) Quanto a Matéria-prima
— Compra continua de material de baixa qualidade (variação da matéria-prima
entre lotes).
e) Quanto aos Métodos — Instruções erradas ou inexistentes;
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— Especificações inexistentes ou confusas;
— Especificações da matéria-prima incompatíveis com as especificações do
produto.
f) Quanto ao Meio de Medição
— Instrumento de medição inadequado;
— Método de medição incompleto ou incorreto.
2.3 CAUSAS ESPECIAIS
As causas especiais, ou, causas atribuíveis são tipos de variabilidade
específicos no processo, portanto, máquinas ajustadas ou controladas de maneira
inadequada, erros do operador, ou matéria-prima defeituosa. Diz-se que quando um
processo opera na presença de causas atribuíveis está fora de controle e quando
opera apenas com as causas aleatórias, o processo está sob controle estatístico. De
acordo com Filho (2008) são exemplos de causas especiais:
a) Quanto ao Meio Ambiente — Iluminação precária devido à lâmpadas queimadas;
— Aumento da temperatura devido à quebra do controlador da temperatura.
b) Quanto a Mão-de-obra
— Falta de cuidado devido a acesso de mau-humor;
— Saúde subitamente abalada;
— Operador substituto inexperiente;
— Vício que afeta esporadicamente o comportamento.
c) Quanto a Máquina
— Súbita desregulagem da máquina;
— Ferramenta indevida tomada por engano no almoxarifado;
— Quebra ou inoperância de algum componente notada pelo operador.
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d) Quanto a Matéria-prima
— Uma remessa fora da especificação;
— Lote que recebeu estocagem ou manuseio inadequado;
— Utilização de material indevido.
e) Quanto aos Métodos
— Folha de instrução de operação ilegível, usada por um colaborador de
processo inexperiente.
f) Quanto ao Meio de Medição
— Quebra do instrumento de controle;
— Quebra dos óculos do operador do instrumento.
A Figura 1 apresenta um gráfico linear. Nele estão sendo acompanhados os
indicadores de defeitos. O gráfico mostra os efeitos nos índices devido às causas
comuns.
Figura 1 – Gráfico linear de causas comuns de variação
Fonte: Schissatti (1998, cap. 2)
Da mesma forma, a Figura 2 mostra os efeitos nos índices devido às causas
especiais em um gráfico de controle.
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Figura 2 – Gráfico linear de causas especiais de variação
Fonte: Schissatti (1998, cap. 2)
2.4 SUBGRUPOS RACIONAIS
Subgrupo racional é uma amostra na qual todos os itens são produzidos sob
condições, em que, apenas variações, causas comuns, são responsáveis na
variação observada (NELSON, 1988).
A parte mais importante na preparação de um gráfico de controle é a
formação de subgrupos, pois é fundamental para a determinação do seu
desempenho. “Antes de formar os subgrupos é necessário eliminar as variações e,
então agrupar os dados para que a variação por fatores admissíveis constitua a
variação dentro do subgrupo” (KUME, 1993).
Não existe regra geral estabelecida para a escolha do tamanho e a freqüência
do subgrupo, também chamado de tamanho de amostra. Mas de acordo comParanthaman (1990), o tamanho do subgrupo pode ser classificado como:
— Amostra individual (n= 1). Quando um único dado já é representativo. A taxa
de produção é baixa ou mesmo quando a avaliação é muito dispendiosa;
— Amostra pequena ou moderada (n= 4, 5 ou 6). As pequenas amostras são
extraídas com elevada freqüência nas empresas, pois tendo baixa freqüência,
ou seja, amostragem muito grande, na extração de amostras, muitos itens
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defeituosos poderão ser produzidos no período de retirada de uma amostra
para outra.
— Amostra grande (n>10). Juran (1992) afirma que, “quanto maior o tamanho do
subgrupo menor o desvio-padrão da distribuição das médias, sendo os limites
de controle 3σ mais rígidos, e mais sensíveis ao gráfico ". No gráfico quando o n = 15 até 25 utiliza-se para descobrir pequenas mudanças.
É aconselhável a coletar dados em intervalos regulares, porém deve-se ter
muito cuidado para não haver manipulação dos dados por parte dos operadores. Os
dados poderão estar sendo induzidos nos períodos de amostragem, evitando que a
mesma seja totalmente aleatória como se é desejado.
2.5 COMPORTAMENTO NORMAL DO PROCESSO
Conhecida como a “curva em forma de sino”, a distribuição normal tem sua
origem associada aos erros de mensuração. Sabe-se que, quando se efetuam
repetidas mensurações de determinada grandeza com um equipamento equilibrado,
não se chega ao mesmo resultado todas às vezes. Obtém-se, ao contrário, umconjunto de valores que oscilam de modo aproximadamente simétrico, em torno do
verdadeiro valor. Construindo-se o histograma desses valores, obtém-se uma figura
com forma aproximadamente simétrica. Gauss deduziu matematicamente a
distribuição normal como distribuição de probabilidade dos erros de observação,
denominando-a então “lei normal dos erros”. Abraham de Moivre, um matemático
francês exilado na Inglaterra, publicou a função densidade de probabilidade da
distribuição normal com média µ e variância σ² (ou, de forma equivalente, desviopadrão σ) em 1733.
Inicialmente se supunha que todos os fenômenos da vida real devessem
ajustar-se a uma curva em forma de sino; em caso contrário, suspeitava-se de
alguma anormalidade no processo de coleta de dados. Daí a designação de curva
normal.
A observação cuidadosa subseqüente mostrou, entretanto, que essa
distribuição normal, não correspondia à realidade. De fato, não são poucos os
exemplos de fenômenos da vida real representados por distribuições não normais,
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curvas assimétricas, por exemplo. Mesmo assim, a distribuição normal desempenha
papel preponderante na estatística, e os processos de inferência nela baseados têm
larga aplicação.
A distribuição normal tem sua função de densidade de probabilidade dada
por:
f x =1σ 2π e
−1
2−(x−μ)σ 2
−∞ < x < ∞ (1)
Como se pode observar, através da equação acima, a distribuição normal
inclui os parâmetros μ e σ, os quais possuem os seguintes significados:
μ: Posição central da distribuição (média, x);
σ: Dispersão da distribuição (desvio padrão, x).
Segundo Montgomery (2004, p.40), “se uma variável aleatória “x” tem
distribuição normal com média μ e variância σ2, ela é representada por: X N(μ,
σ2)”.A figura 2 ilustra uma curva normal típica, com seus parâmetros descritosgraficamente.
Figura 3 – Gráfico de uma curva normal típica
Fonte: Correa (2003)
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2.5.1 Propriedades da Distribuição Normal
Para uma mesma média μ e diferentes desvios padrão σ, a distribuição que
tem maior desvio padrão se apresenta mais achatada, acusando maior dispersão em
torno da média. A que tem menor desvio padrão apresenta “pico” mais acentuado e
maior concentração em torno da média. A Figura 3 compara três curvas normais,
com mesma média, porém com desvios padrão diferentes. A curva A se apresenta
mais dispersa que a curva B, que por sua vez se apresenta mais dispersa que a
curva C. Neste caso, σ A > σ B > σ C.
As distribuições normais com o mesmo desvio padrão e médias diferentes
possuem a mesma dispersão, mas diferem quanto à localização. Quanto maior amédia, mais à direita está a curva. A Figura 4 ilustra o fato, em que, a curva A possui
média maior que a curva B (μ A > μ B).
Figura 4 – Gráfico das distribuições normais com mesma média e desvios
padrão diferentes
Fonte: Correa (2003)
Figura 5 – Gráfico das distribuições normais com mesmo desvio padrão e
médias diferentes
Fonte: Correa (2003)
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22
Como descrito anteriormente, a probabilidade de uma variável assumir
valores entre a e b é igual à área sob a curva entre esse dois pontos. A
determinação destas probabilidades é realizada matematicamente através da
integração da função de densidade de probabilidade entre os pontos a e b de
interesse. No caso da normal, a integral não pode ser calculada exatamente, e a
probabilidade entre dois pontos só pode ser obtida aproximadamente, por métodos
numéricos. Esta tarefa é facilitada através do uso da distribuição normal padrão.
No caso da distribuição normal, algumas dessas áreas com os pontos a e b
função da média μ e do desvio padrão σ são bastante difundidos, e estão
representadas na Figura 5.
Figura 6 – Gráfico de probabilidades da distribuição normal
Fonte: Correa (2003)
Portanto, 68,26% dos valores populacionais caem entre os limites definidos
como média mais ou menos um desvio padrão (μ 1σ); 95,46% dos valores caem
entre média mais ou menos dois desvios padrão (μ 2σ); e 99,73% dos valores
caem entre média mais ou menos três desvios padrão (μ 3σ).
Infelizmente, a normalidade não garante a ausência de causas especiais
agindo no processo. Algumas causas especiais podem alterar o processo sem
destruir sua simetria ou unimodalidade. Da mesma forma, uma distribuição não
normal pode não ter causas especiais agindo sobre ela, mas sua forma de
distribuição é não simétrica.
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23
2.5.2 Padrões de Anormalidade
Siqueira (1997, p. 48), diz que, “quando se um ponto pertencente a um
subgrupo fora dos limites de controle, o processo está fora de controle ou instável”.
Isto significa que há uma causa especial presente. É possível visualizar a ausência
de controle de um processo imaginando que o ponto fora do limite de controle
pertence a uma população diferente para a qual os limites de controles, presentes,
foram estabelecidos.
Um processo pode ser considerado fora de controle, mesmo quando todos os
pontos estão dentro dos limites de controle. Caso esse, que ocorre quando se tem
um padrão de variação anormal no processo. Nos gráficos de controle, não é normalque nove ou mais pontos consecutivos se situam dentro da faixa de ± 1 σ em torno
do valor central. “A probabilidade de ocorrência de um padrão anormal é
aproximadamente igual à probabilidade de um ponto cair além do limite de ± 3 σ”, diz
SIQUEIRA (1997, p.48). Existem oito padrões clássicos para sensibilizar os gráficos
de controle conforme representados na Figura 6:
— Padrão 1 – Um ou mais pontos fora dos limites de controle; — Padrão 2 – Uma seqüência de oito pontos consecutivos de um mesmo lado
da linha central;
— Padrão 3 – Seis pontos em uma seqüência sempre crescente ou decrescente;
— Padrão 4 – Quatorze pontos em seqüência alternadamente para cima e para
baixo;
— Padrão 5 – Dois ou três pontos fora dos limites de alerta dois-sigma;
— Padrão 6 – Quatro ou cinco pontos consecutivos além dos limites um-sigma; — Padrão 7 – Quinze pontos em seqüência na zona C (tanto acima quanto
abaixo da linha central);
— Padrão 8 – Oito pontos em seqüência de ambos os lados da linha central com
nenhum na zona C.
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Figura 7 – Gráficos dos Padrões anormais de variação de um processo
Fonte: Siqueira (1997)
2.5.3 Identificação da Normalidade no Processo
A análise para identificar se os dados coletados podem ser utilizados para
definição dos intervalos de confiança baseia-se na hipótese de que os erros seguem
uma distribuição Normal (distribuição de Gauss). A condição de normalidade dos
resíduos não é necessária para a obtenção dos estimadores de mínimos quadrados,
mas é fundamental para a definição de intervalos de confiança e testes de
significância. Ou seja, na falta de normalidade, os estimadores são não-
tendenciosos, mas os testes não têm validade, principalmente em amostras
pequenas. Entretanto, pequenas fugas da normalidade não causam grandesproblemas.
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A não-normalidade dos resíduos pode ser causada por violações de outras
condições básicas, tais como a variância não constante dos erros ou a escolha de
um modelo incorreto para a equação.
O teste mais simples e rápido é o teste gráfico de dispersão, comparando a
freqüência acumulada dos resíduos padronizados com a curva Normal, em que, “s” é
desvio-padrão dos resíduos. O aspecto do gráfico varia de acordo com o software
estatístico, mas sempre existe uma linha-base, representando a curva Normal, e os
resíduos acumulados do modelo ajustado devem aproximar-se desta linha. Fugas
significativas são indicadoras de não-normalidade dos resíduos, e o modelo deve ser
descartado, buscando-se outra configuração para a equação.
As Figuras 7 e 8 mostram a dispersão dos resíduos resultando emnormalidade ou não. As figuras são meramente para efeito de visualização.
Figura 8 – Gráfico de dispersão de um processo com normalidade
Fonte: adaptado UNISINOS (2004)
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Figura 9 – Gráfico de dispersão de um processo sem normalidadeFonte: adaptado UNISINOS (2004)
É bastante comum também, o emprego de um teste numérico. Pelas
propriedades da Normal, 68% dos resíduos devem estar no intervalo (-1; 1), 90% no
intervalo (-1,64; 1,64) e 95% no intervalo (-1,96; 1,96). Então, se os resíduos
corresponderem a estes limites, aproximadamente, pode-se dizer que a normalidade
está garantida.Outro método de grande utilização para identificação da normalidade no
processo é o teste de Anderson-Darling. Usual para os métodos de máxima
verossimilhança e mínimos quadrados. É uma medida da proximidade dos pontos e
da reta estimada no gráfico de probabilidade. O teste de Anderson-Darling é um
teste alternativo dos testes de aderência, o qual tem a vantagem de ser mais
sensível que outros testes como o Chi-quadrado e Kolmogorov- Smirnov, pois dá
mais ênfase aos pontos das caudas da distribuição. Assim, valores pequenos daestatística de Anderson-Darling indicam que a distribuição estima melhor os dados.
Para estabelecer um critério de rejeição ou não rejeição do modelo
(distribuição de probabilidade), é formulada a seguinte teste de hipótese:
H0: Y segue uma determinada distribuição de probabilidade
H1: Y não segue esta distribuição de probabilidade proposta
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A estatística do teste para tomar a decisão é dada por:
2
= − − (2
−1)
=1 + 1 − +1− (2)
Em que, F é a função de distribuição acumulada da distribuição específica. Observe
que são os dados ordenados. Os valores críticos ou de rejeição para o teste de
Anderson-Darling dependem da distribuição específica que está sendo testada. O
teste de Anderson-Darling é um teste unicaudal e a hipótese nula (H0) é rejeitada se
o teste estatístico fornecer valor superior ao crítico. Cabe observar que este teste
pode ser ajustado (pode ser multiplicado por uma constante, a qual usualmente
depende do tamanho da amostra n), MELO(2000).
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3 GRÁFICOS DE CONTROLE DE SHEWHART
Os métodos estatísticos e de probabilidade com base no tempo são
suficientes para determinar se existem causas especiais. A mais versátil e robusta é
o gênero de gráficos de controle desenvolvidos pelo Dr. Walter Shewhart do Bell
Lababoratory na década de 20. Foi o responsável pela distinção entre variação
controlada e não controlada, que corresponde a chamadas causas comuns e
especiais. Shewhart desenvolveu uma ferramenta simples, mas poderosa para
separar os dois tipos de causas, o gráfico de controle.
Desta forma, o gráfico de controle é uma ferramenta utilizada dentro do
controle estatístico de processo para descrever, de maneira precisa, umacaracterística da qualidade que foi medida ou calculada a partir de uma amostra
versus o número da amostra ou o tempo. O gráfico contém uma linha central,
representando o valor médio da característica da qualidade que corresponde ao
estado sob controle. Duas outras linhas horizontais, chamadas limite superior de
controle (LSC) e limite inferior de controle (LIC). Estes limites são estabelecidos para
probabilidades de 99,73% sendo μ ± 3σ e são escolhidos de modo que, se o
processo está sob controle, praticamente todos os pontos amostrais estarão entreeles.
A Figura 9 mostra um gráfico de controle genérico.
Figura 10 –
Gráfico de controle genérico para monitoramento de um processoFonte: Bornia (2004)
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Além de oferecer uma exposição visual dos dados que representa um
processo, os gráficos de controle utilizam amostragens seqüenciais para identificar
quando um processo se altera e necessita de ação corretiva. O principal foco do
gráfico de controle é a tentativa de separar as causas de variações especiais das
causas de variações comuns.
Os gráficos de controle podem ser usados, também, para estimar parâmetros
de um processo de produção e, com isso, determinar a capacidade do processo.
Pode não ser possível eliminar totalmente a variabilidade do processo, mas o gráfico
de controle é uma ferramenta eficaz auxiliar na redução dessa variabilidade.
Montgomery (2004) destaca algumas das razões que contemplam a
popularidade dos gráficos de controle:
— É uma técnica comprovada de melhoria da produtividade;
— São eficazes na prevenção de defeitos;
— Evitam ajustes desnecessários nos processos;
— Fornecem informações confiáveis para diagnóstico sobre o desempenho e
capacidade dos processos.
3.1 ETAPAS PARA UTILIZAÇÃO DOS GRÁFICOS DE CONTROLE
Os gráficos de controle são desenvolvidos a partir das medições de
determinada característica ou aspecto do processo. Essas medições se combinam
em um dado estatístico, por exemplo, média, mediana, amplitude, desvio padrão,
valores individuais, que descreve um atributo da forma de distribuição do processo.
Para que os gráficos de controle possam ser desenvolvidos devem-se seguiralgumas etapas listadas abaixo:
1. Coleta dos dados;
2. Estabelecimento dos limites de controle (LIC, LC e LSC);
3. Interpretação do controle estatístico.
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3.1.1 Coleta dos Dados
Os dados para medição são coletados em amostras individuais de um fluxo
do processo. As amostras são coletadas em subgrupos e podem consistir em uma
ou mais peças. Em geral, quanto maior o subgrupo, maior será a facilidade de
detecção das mudanças do processo.
3.1.2 Estabelecimento dos Limites de Controle
De acordo com Montgomery (2004, p.102), “os limites de controle são
definidos pela variação natural dos valores estatísticos de controle”. Eles definem umintervalo em que os valores estatísticos devem cair dentro de modo aleatório.
Considera-se, idealmente, que existam apenas causas comuns de variação. Por
exemplo, se a média de dois subgrupos diferentes do mesmo processo for
calculada, é plausível esperar que eles sejam mais ou menos iguais. Mas, como eles
foram calculados usando peças diferentes, não se espera que as duas médias
sejam idênticas. Existe um limite para as expectativas sobre essa diferença devido à
possibilidade aleatória. Isso define a posição do limite de controle.Para auxiliar na análise gráfica dos valores estatísticos de controle marcados,
desenham-se linhas indicando a estimativa da linha central e os limites de controle
da estatística de controle no gráfico. Geralmente, para configurar uma carta de
controle é preciso calcular:
— A Linha Central;
— O Limite Superior de Controle (LSC); — O Limite Inferior de Controle (LIC).
As fórmulas serão apresentadas a frente neste projeto.
3.1.3 Interpretação do Controle Estatístico
A solução de problemas de um processo é possível através da interpretaçãodo gráfico de controle, sendo esta, a etapa mais difícil e a que consome mais tempo.
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Meticulosidade, paciência, perspicácia, e entendimento são requeridos para se
desenvolver ações que irá melhorar o desempenho de forma mensurável.
Considerando que o processo não tem causas especiais que afetam sua
variabilidade, os valores estatísticos de controle ficarão entre os limites de controle
de modo aleatório, ou seja, nenhum padrão, gerando anormalidade, será evidente.
O objetivo da análise do gráfico de controle é identificar qualquer evidência de
que a variabilidade ou a centralização do processo não esteja operando em nível
constante, que um ou ambos estejam fora de controle estatístico, necessitando
portando, tomar providências apropriadas. A centralização é controlada pela média
dos valores estatísticos, e a variação pela amplitude dos valores estatísticos de
controle. Conforme o Manual de Referência do CEP (2005), as conclusõesdeclaradas para essas estatísticas de controle também se aplicam igualmente as
outras possíveis estatísticas de controle.
A mesma referência ainda diz que os limites de controle da centralização
dependentes dos valores estatísticos da variação devem ser analisados em primeiro
lugar por questões de estabilidade. Assim, a habilidade em interpretar tanto as
amplitudes dos subgrupos como as médias dos subgrupos depende da variabilidade
peça-a-peça, em que, o gráfico R é analisado em primeiro lugar.A prontidão é importante na análise de problemas, pois se consegue
minimizar o resultado inconsistente da produção obtendo evidências “frescas” para
seu diagnóstico. Para cada indicação de uma causa especial nos dados do gráfico
de controle, deve-se conduzir a análise da operação do processo para determinar a
causa e então corrigi-la. Busca-se também, melhorar a compreensão do processo
para que a prevenção da causa, não se repita.
É importante frisar que o referencial, apesar de utilizar os gráficos da média eamplitude, os conceitos se aplicam a todas as abordagens dos gráficos de controle.
3.2 GRÁFICOS DE CONTROLE PARA VARIÁVEIS
Em geral, duas situações se aplicam ao controle estatístico de processo: uma
em que as características da qualidade são mensuráveis, denominadas variáveis, e
a outra corresponde às características da qualidade não mensuráveis denominados
atributos avaliados com base em dados que só podem ser contados ou classificados
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tais como, passa/não passa, claro/escuro, com trinca/sem trinca, etc. Este trabalho
citará apenas os gráficos de controle para variáveis.
Segundo Montgomery (2004, p.129), “uma característica da qualidade que é
medida em sua escala numérica é chamada variável”. A exemplo disso, pode-se
citar características como tamanho ou largura, temperatura e volume, etc. Uma
variável pode ser contínua ou discreta, conforme o seu contra domínio seja infinito
ou finito. Se a característica de qualidade é variável, usualmente monitora-se o
processo com dois gráficos de controle, Saniga e Shirland (1977), afirmar que um é
empregado para monitorar a centralidade e o outro para monitorar a dispersão da
variável.
Conforme Siqueira (1997, p.10) o uso do gráfico de controle por variável temfinalidades de fornecer informações quanto a:
a) Para melhoria da qualidade – o gráfico de controle por variável é a mais
efetiva técnica para alcançar a melhoria da qualidade, embora se sabe que,
utilizar gráfico de controle unicamente para comprovar a existência de um
programa de controle de qualidade não é suficiente;
b) Sobre a capacidade do processo – Admitindo que o processo já tenha umamelhoria significativa de qualidade, o gráfico de controle, durante o ciclo de
qualidade, indicará quando não será mais possível obter melhoria da
qualidade sem investimento significativo. Nesse momento, a verdadeira
capacidade do processo pode ser obtida;
c) Para tomada de decisões relativas à especificações do produto – Se a
capacidade do processo foi obtida, as especificações podem ser estreitadas;
d) Para tomada de decisões sobre o processo de produção – O gráfico decontrole é utilizado para identificar se um padrão normal de variação está
ocorrendo e, portanto, o processo está sob controle, ou se um padrão
anormal de variação está ocorrendo, e há necessidade de eliminação das
causas especiais de variação;
e) Para tomada de decisões sobre peças recém-produzidas – O gráfico de
controle pode também ser utilizado para liberação de itens para um processo
seguinte identificando se a peça está conforme ou necessitando de
retrabalho.
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Um gráfico de controle para variáveis pode explicar dados do processo em
termos de sua variação, variabilidade peça-a-peça e média do processo. Por isso, os
gráficos de controle geralmente são preparados e analisados aos pares, um gráfico
para medida representativa do processo e outro para a variação do processo. O par
mais comumente utilizado é o dos gráficos , em que, é a média aritimética
dos valores em pequenos subgrupos e R é a amplitude dos valores dentro de cada
subgrupo. Os gráficos podem ser os mais comuns, mas não significa que eles
são os mais apropriados para todas a situações. Outro par de gráfico que vem sendo
aplicado com maior freqüência são os gráficos
&
, em que,
são os valores
individuais e é a amplitude móvel.A seguir apresentam-se as fórmulas dos gráficos de controle para variáveis,
com três desvios padrões de afastamento em relação à linha média.
3.2.1 Gráfico −
Considerando os gráficos de controle por variáveis, esse é o mais utilizado na
industria. O gráfico é principalmente escolhido quando o tamanho da amostra variarentre 2 e 9 unidades. Invariavelmente, o tamanho da amostra se situa em torno de 4
ou 5 unidades. Na prática o tamanho da amostra deve ser determinado com base na
capacidade de detecção de mudanças, ou seja, na capacidade de inspeção e o
tempo de resposta, na taxa de produção, no custo de inspeção ou então no erros
estatísticos associados.
No entanto, a medida que "n" aumenta diminui a sensibilidade da amplitude R
como estimador do desvio padrão do processo s. Montgomery demonstra que para
valores de "n" próximos de 10, a amplitude já perde significativamente sua
sensibilidade como estimador (MONTGOMERY, 1991, p. 204).
A Tabela 1 abaixo apresenta a "eficiência relativa" do estimador R em função
do tamanho da amostra "n":
Tabela 1 – Tabela da eficiência relativa do estimador R
n Eficiência Relativa
2 1,0003 0,9924 0,975
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5 0,9556 0,93010 0,850
Fonte: Montgomery (1991)
Supomos agora que “m” amostras de tamanho “n” e suas respectivas médias1, 2 ,… , m também são normalmente distribuídas, então um estimador não
viciado de μ é dado por:
=
1
=1
(3)
Sendo assim, pode ser usado como linha central de um gráfico de .Agora para construir os limites de controle para a média utilizam-se as
amplitudes das amostras “n” como estimador do desvio padrão σ. Portanto, um
estimador para uma amostra 1 , 2 ,… , n de tamanho “n” pode ser definido como:
= − í (4)
Do relacionamento do range e do desvio padrão de uma amostra
normalmente distribuída tem-se que a variável aleatória = , chamada de
amplitude relativa é uma função do tamanho da amostra “n” com média 2. Por
conseqüência, um estimador de σ é dado por
2
(valores tabulados de d2 podem
ser consultados no anexo).Deste modo, tem-se que a média das amplitudes 1,2,… , pode ser
dada por:
=1
=1
(5)
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35
e o desvio padrão pode ser estimado por: =2
, em que, σ é o desvio padrão, é a
amplitude e
2 é a constante. Este estimador é particularmente bom para amostras n
de tamanhos pequenos, entre 2 e 5, perdendo eficiência rapidamente à medida quea amostra aumenta de tamanho devido ao fato de não explicar o comportamento das
amostras entre Xmax e Xmin.
Desta forma, os parâmetros do gráfico podem ser definidos como:
= + 2
=
6
= − 2
Pode-se também construir um gráfico de controle para a variável R, em que a
média pode ser estimada por e o desvio padrão pode ser estimado por , que é
uma função da amplitude relativa W = R/σ cujo desvio padrão é definido como d3,
também sendo uma função que depende exclusivamente do tamanho da amostra n.
Portanto, R = Wσ e o desvio padrão de R, o qual é obtido pela expressão
σR = d3
σ,
pode ser estimado por:
= 3
2
(7)
Desta forma, os parâmetros do gráfico R podem ser definidos como:
= 4 = 8 = − 3
Compreendendo melhor, a amplitude “R” mede a variação “dentro” de cada
amostra em um dado momento. O gráfico monitora a variação “entre” as amostras,
que é a variação do processo ao longo do tempo. Ao controlar um processo através
de gráficos, é preciso maximizar a probabilidade de ocorrer variação “entre”
amostras, ao longo do tempo, e minimizar a probabilidade de haver variação “dentro”
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de amostras, variação em um dado momento. Estas amostras assim obtidas são
chamadas de “subgrupos racionais” (VIEIRA, 1999).
Os valores referentes as constantes encontram-se no Anexo A.
3.2.2 Gráfico &
Essa carta é utilizada quando o tamanho da amostra n = 1, isto é, a amostra
consiste de uma única unidade individual. Alguns exemplos de aplicação são:
— Processos homogêneos em que não faz sentido amostras com tamanho
maior que uma unidade. Um exemplo é o controle de temperatura de um
banho químico;
— Quando se tem inspeção automatizada 100%;
— Para processos cuja taxa de produção é baixa, não fazendo sentido acumular
resultados ao longo do tempo para a avaliação da estabilidade do processo;
— Quando o tamanho de amostra n > 1 for economicamente inviável.
O procedimento para estimar a variabilidade dos dados baseia-se no cálculo das
amplitudes móveis entre duas observações consecutivas. Desta maneira pode-se
estabelecer um gráfico de controle para a variável de interesse.
Assim sendo, a construção do gráfico de controle para a média X é o seguinte:
= + 2
=
(9)
= − 2
E para construção do gráfico da amplitude móvel é:
= 4 = (10)
=
3
Em que, = 1−1 − −1=2 ,2 = 2,660,4 = 3,267 3 = 0
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3.3 GRÁFICOS DE CONTROLE CUSUM
Montgomery (2004) fala sobre a desvantagem associada à utilização dos
gráficos de controle de Shewhart. Essa desvantagem é associada à insensibilidade
a pequenas variações nos processos, digamos da ordem de 1,5 σ ou inferiores
ignorando ainda toda a informação relacionada à seqüência de pontos registrados,
utilizando unicamente a informação do último ponto plotado. Assim, quando o
interesse é analisar pequenas variações nos processos, alternativas podem ser
utilizadas aos gráficos de Shewhart, os gráficos de controle CUSUM e MMEP.
Incorporando diretamente toda a informação na seqüência dos valores da
amostra, o gráfico CUSUM plota as somas cumulativas dos desvios dos valores daamostra de um valor-alvo (MONTGOMERY, 2004). Supondo que amostras de
tamanho ≥ 1 sejam coletadas, e que seja a média da j-ésima amostra. Então,
se μ0 é o alvo para a média do processo, o gráfico de controle da soma cumulativa é
formado, plotando-se a quantidade versus a amostra . é a soma cumulativa até, e
incluindo, a i-ésima amostra.
= − 0 =1 (11)
Os gráficos de controle (CUSUM) apresentam um diferencial importante que é
a combinação de várias amostras. Além disso, eles são particularmente mais
eficazes com amostras seqüenciais de tamanho n=1, ou seja, são muito indicados
para algumas situações, em que, o monitoramento do processo é feito mediante
observações individuais, explica Alves (2003). Exemplos de tais situações ocorrem:
— Na produção de substâncias químicas;
— Em processos, em que, o subgrupo racional freqüentemente tem tamanho
n=1;
— No controle on-line que usam computadores para monitorar o processo;
— Em processos que utilizam medida automática para cada fração discreta
produzida.
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Montgomery (2004) apresenta o gráfico de controle de Soma Acumulada,
aplicado à média e a variabilidade do processo, mencionando que é possível
projetar procedimentos de CUSUM para outras variáveis estatísticas, tais como a
amplitude e desvio padrão de subgrupos, variáveis binomiais e de Poisson em
modelos de não conformidades e processos contínuos. Neste projeto será focado no
gráfico da soma cumulativa para a média do processo.
Alves (2003) diz que, “um desvio do valor nominal do processo é indicado
com uma tendência crescente ou decrescente dos pontos plotados no gráfico
CUSUM”. Ou seja, quando o processo permanece sob controle no valor-alvo , a
soma cumulativa definida na equação 11 é um passeio aleatório. Sendo assim,
desvia-se para um valor 1. É observada uma tendência crescente quando 1 > 0 euma tendência decrescente quando 1 < (MONTGOMERY, 2004). Ainda, se uma
tendência se desenvolve nos pontos plotados, tanto para cima quanto para baixo,
considera-se esse fato como evidência de que a média do processo mudou, e deve
ser elaborada uma pesquisa para determinar alguma causa atribuível. Para analisar
de maneira visual estas tendências, é preciso estabelecer limites.
Há duas maneiras de representar os gráficos CUSUMS, o CUSUM tabular e o
método da máscara V do CUSUM. Das duas segundo Montgomery (2004), “a tabular
é preferível”
Será apresentado agora, o método do CUSUM tabular ou algoritmo. Será
discutido, também, o procedimento do método da máscara V.
3.3.1 Gráfico de Controle CUSUM Tabular
O método do CUSUM tabular pode ser construído para monitorar a média deum processo, em que, podem ser realizados tanto para observações individuais,
quanto para as médias de subgrupos racionais.Primeiro será visto o caso de
observações individuais.
Seja, a i-ésima observação do processo. Quando o processo está sob
controle, tem uma distribuição normal com média μ0
e desvio padrão σ. Supõem-
se que, ou σ é conhecido, ou uma estimativa está disponível.
O CUSUM tabular trabalha acumulando desvios de μ0 que estão acimado alvo, com uma estatística C+, e acumulando desvios de μ
0que estão abaixo do
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39
alvo, com outra estatística C−. As estatísticas C+ e C− são chamadas CUSUMS
unilaterais superior e inferior, respectivamente(MONTGOMERY, 2004). Estes planos
de decisão são os limites de controle e é representado por H = ±h. Ambas são
calculadas através de algoritmo de soma acumulada conforme as equações 12 e 13.
+ = á 0, − + + −1+ (12) − = á 0, − − + −1+ (13)
Em que, os valores iniciais + e − são arbitrariamente iguais a zero. Se, ao
longo dos cálculos, for encontrado um valor negativo para
+, então é necessário
substituí-lo por zero.
Da mesma forma se, ao longo dos cálculos, for encontrado um valor positivo
para −, é necessário também substituí-lo por zero. é a observação controlada
no tempo i, é a média da amostra e K é um valor de referência (valor de
compensação ou folga) e é aproximadamente a metade do valor que se tem
interesse em detectar rapidamente, determinado valor entre o valor pretendido e
o valor da média fora de controle μ1
(ALVES, 2003).
Assim, se a mudança é expressa em unidades de desvio padrão como
μ1
= μ0
+ ( = μ1− μ0
σ, então K é a metade da magnitude da mudança ou:
=δ
2σ =
μ1− μ
0
2(14)
Em que, δ é o tamanho da mudança que se deseja detectar em unidades de
desvios padrão; σ o desvio padrão; o valor pretendido e 1 o valor da média forade controle. Alves (2003) diz que, “o fator de sensibilidade K está diretamente
relacionado com a magnitude da variação que se deseja detectar com o gráfico
CUSUM”. Quanto menor este fator, menor será a faixa de variação que o gráfico
será capaz de detectar e maior será a sensibilidade do gráfico.
No algoritmo de soma acumulada para cada amostra são obtidos valores dos
desvios
+ e
− que são inseridos numa tabela e acumulados sucessivamente. A
soma acumulada destes desvios é comparada com um intervalo de decisão H. Se+ > H ou se − < H, então o processo é considerado fora de controle. Um valor
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40
razoável para H é cinco vezes o valor do desvio padrão σ, isto é, H = 5σ (ALVES
2003).
Nas situações em que se torna necessário algum ajuste em alguma variável
manipulável para trazer o processo de volta ao valor-alvo , uma estimativa da
nova média do processo pode ser útil:
μ = + +++
, + > − −
−− , − > (15)
Para o gráfico CUSUM Tabular padronizado o algoritmo de soma
acumulada é definido como:
+ = á 0, − + −1+ (16) − = á 0,−− + −1
+ = í 0, + + − (17)
Há duas vantagens em padronizar o CUSUM. Primeiro, muitos gráficos de
CUSUM podem agora ter os mesmo valores de K e h, e as escolhas dessesparâmetros não dependem de escala (isto é, não dependem de σ). Depois, o
CUSUM padronizado conduz, naturalmente, a um CUSUM para controle da
variabilidade (MONTGOMERY, 2004).
No CUSUM tabular pode ser implementada uma tabela com três conjuntos de
colunas. O primeiro conjunto com os valores observados, o segundo com o desvio, a
soma acumulada unilateral
+ e o valor
+. O terceiro com o desvio, a soma
acumulada unilateral − e o valor −.
Tabela 2 – Tabela de implementação do algoritmo de soma acumulada
Fonte: Montgomery (2000)
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Na Tabela 2, + e − indicam o número de períodos em que a soma
unilateral + ou − foi diferente de zero, imediatamente após ter sido zero. A
contagem
+ e
−inicia-se ou recomeça sempre que o valor
+ ou
−assume
valor zero. É importante que o analista do processo compare o valor das somas
acumuladas + e − com o intervalo de decisão H a cada amostra i coletada para
concluir o estado do processo analisado. Se o processo estiver fora de controle o
analista precisa encontrar as causas especiais que levaram o processo a tal estado
e estimar seu valor médio para que possa fazer o ajuste adequado(ALVES 2003).
Embora Montgomery tenha desenvolvido o CUSUM tabular para caso de
observação individual (n=1), o CUSUM estende-se facilmente ao caso de médias de
subgrupos racionais (n>1). Substitui-se por , que é a média amostral ou média
do subgrupo, nas fórmulas 12 – 17 e substitui-se σ por σx = .
3.3.2 Máscara V
Alves (2003, p.39) diz que, “um desvio do valor nominal do processo é
indicado com uma tendência crescente ou decrescente dos pontos plotados no
gráfico CUSUM”.
Portanto, quando a média da estatística é monitorada, desvia-se para um
valor 1. É observada uma tendência crescente quando 1 > 0 e uma tendência
decrescente quando 1 < . Para analisar de maneira visual estas tendências, é
preciso estabelecer limites. Um dos caminhos para estabelecer tais limites é utilizar
a Máscara V sobre o gráfico CUSUM. O procedimento Máscara V é utilizado como
um método alternativo além do Gráfico CUSUM Tabular para avaliar essas
tendências. Este procedimento alternativo, descreve Alves (2003), só se tornou
popular após o artigo de Barnard (1959) que propõe o método Máscara V sobre o
gráfico CUSUM aplicado a sucessivos valores padronizados da estatística CUSUM
1
1
ii
i
j
iiC y yC ,em que, i
Y é a observação padronizada
0
i
i
X Y
MONTGOMERY, 2004).
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42
Figura 11 – Gráfico de uma Máscara V típica
Fonte: Montgomery (2004)
O gráfico típico da Máscara V demonstrado acima consiste em colocar o
ponto O sobre o último valor de e a linha OP paralela ao eixo horizontal. O
procedimento de decisão diz que, se todas as somas cumulativas anteriores
estão dentro do V (representado horizontalmente), o processo está
sob controle. Caso uma das somas cumulativas encontra-se fora da Máscara V, o
processo é considerado fora de controle. Montgomery (2004, p.266) frisa que, “a
Máscara V deveria ser aplicada a cada novo ponto no gráfico CUSUM, levando o V
para trás na direção da origem”. O desempenho da Máscara V é determinado pela
distância-guia d e o ângulo θ mostrado no gráfico acima.
Montgomery (2004, p.267), diz que, o CUSUM tabular e o método da Máscara
V são equivalentes se: .tan. Ak e dk d Ah )tan(.. , em que, “A” é a distância
horizontal no traçado da Máscara V entre pontos sucessivos, em termos da distância
unitária na escala vertical.
Um método para a seleção de d e foi sugerido por Johnson (1961) que
recomendou os seguintes parâmetros para a Máscara V:
A2tan
1 e
1ln
22
d , em que, 2α é a maior probabilidade permitida de um sinal
quando a média do processo está no alvo e β é a probabilidade de não detectar uma
mudança de tamanho δ. Se β é pequeno, então
)ln(2d .
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43
Montgomery (2004, p.267) aconselha a não usar o método da Máscara V,
pois existem alguns problemas associados a esse procedimento.
— A Máscara V é um método bilateral; não sendo muito útil para problemas de
monitoramento de processos unilaterais;
— A característica inicial rápida, muito útil na prática, não pode ser
implementada com a Máscara V;
— Algumas vezes torna-se difícil determinar quão longe o V da Máscara deve se
estender para trás fazendo com que a interpretação do prático seja confusa e
difícil;
— Talvez o maior problema com a Máscara V seja a ambigüidade associada a α
e β.
3.4 GRÁFICO DE CONTROLE MMEP
O gráfico de controle da média móvel exponencialmente ponderada (MMEP),
também conhecido como EWMA (Exponentially Weighted Moving Average),
introduzido por Roberts (1959), é considerado também uma boa alternativa aográfico de controle de Shewhart, quando se está interessado em detectar pequenas
mudanças. Montgomery (2004, p.268) diz que, “o gráfico de controle MMEP é similar
ao gráfico de controle CUSUM quanto à sensitividade em detectar pequenas
mudanças”. Além disso, o gráfico de controle MMEP é considerado mais fácil de
operar e estabelecer do que o método CUSUM.
O gráfico MMEP é definido como: 1)1( iii z x z , em que, 10 é uma
constante e o valor inicial é o alvo do processo, de modo que 00 z .
O gráfico de controle MMEP consiste na plotagem dei
z versus o número da
amostra i (ou tempo). A linha central e os limites de controle para o gráfico de
controle MMEP, construídos sob a suposição de normalidade, são dados por:
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])1(1[)2(
2
0
i L LSC
0 LC (17)
])1(1[)2(
2
0
i L LIC
Para grandes valores de i na equação 8, os limites, superior e inferior de
controle do gráfico tornam-se respectivamente iguais a:
)2(0
L LSC e )2(
0
L LIC respectivamente.
Os parâmetros de planejamento do gráfico MMEP são os valores de L e λ. É
possível escolher valores para esses parâmetros de modo a atingir um desempenho
do gráfico de controle MMEP, para que o mesmo seja próximo ao do método
CUSUM. Valores baixos de λ fazem com que o gráfico detecte mais rapidamente
pequenas mudanças na média do processo. Alguns dos valores de λ,
freqüentemente escolhidos para o planejamento do gráfico são 0,1 e 0,2Montgomery (2004, p.271).
O gráfico MMEP é muito utilizado para observações individuais, mas é sabido
que o método apresenta ótimo desempenho para subgrupos racionais de n > 1. Não
há grandes mudanças de um gráfico MMEP para observações individuais ou para
subgrupos, a única alteração é substituir os parâmetrosi
x para x e para
n
x
.
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45
Fígura 12 – Estrutura do gráfico de controle MMEP
Fonte: Morais (2001)
3.4.1 MMEP como Preditor do Nível do Processo
Montgomery (2004, p.274) descreve que o gráfico de controle MMEP tem
uma interpretação mais ampla, e diz que é possível o gráfico de controle MMEP
fornecer uma previsão de onde estará a média do processo no próximo intervalo de
tempo, ou seja, é uma previsão do valor da média do processo, µ, no período +
1.
Portanto, a estatística MMEP pode ser considerada uma previsão da média
do processo no tempo + 1, em que, o MMEP é plotado um período à frente, ou
seja, é plotado no período + 1 no gráfico de controle. Isso possibilita que o
prático visualize quanta diferença há entre a observação corrente e a estimativa da
média corrente do processo.
3.5 CAPACIDADE DO PROCESSO
Quando se pensa em gráficos de controle logo é associado à relação entre os
limites de controle com a ocorrência de não conformidades, no entanto, o fato de um
processo estar sob controle, ou seja, dentro destes limites, não significa que os
produtos resultantes atendem à especificação de qualidade exigida.
Com este objetivo, o estudo da capacidade trata da relação existente entre oslimites de controle, que são obtidos com base nos dados de processo, com os limites
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46
de especificação, geralmente definidos pelo cliente ou pela área de projetos, que
proporcionam o intervalo em que as medidas das características da qualidade
podem variar. Kotz & Johnson (2002) salientam que tais índices devem ser
empregados posteriormente à checagem de que o processo está sob controle
estatístico, o que reforça o caráter complementar destas técnicas à implantação de
um sistema de garantia da qualidade.
Neste sentido pode-se classificar um processo como:
Processo capaz: os resultados das medições ou limites de controle
encontram-se dentro da especificação do projeto, ou seja, não estão
sendo produzidos produtos não conformes;
Processo não-capaz: os resultados das medições ou limites de controle
encontram-se fora da especificação do projeto. Neste caso podem estar
sendo produzidos produtos não conformes.
Uma das ferramentas mais utilizadas para análise da capacidade de processo
é o histograma, cujo principal objetivo é facilitar a organização e disposição das
freqüências de dados através de uma representação gráfica para que se possam
obter informações sobre o seu comportamento.
A inclusão dos limites de especificação nestes histogramas nos possibilita
analisar a localização e a variação dos dados, fornecendo uma boa idéia sobre a
capacidade do processo. O Anexo B exemplifica a construção e análise desta
ferramenta.
Geralmente, dois índices são utilizados para mensurar a capacidade de umprocesso em consentir às especificações. Estes índices de capacidade,
fundamentados na suposição de normalidade dos dados e de que o processo esteja
sob controle, são comumente conhecidos como Cp e Cpk.
Os índices se baseiam na relação entre os limites de especificação e o desvio
padrão dos dados, que no caso dos gráficos de controle para , R e , S são
estimados por:
= 2 = 4
(18)
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3.5.1 Índice de Capacidade Potencial do Processo ()
Este índice foca na centralização do processo, fornecendo uma medida
indireta da habilidade do potencial do processo em satisfazer a especificação. Seu
cálculo se dá da seguinte forma:
=−
6 (19)
Em que:
LSE = Limite Superior de Especificação;
LIE = Limite Inferior de Especificação;
= Desvio Padrão Amostral Estimado.
Para o processo ser considerado capaz, o índice Cp deve ser igual ou maior do
que um, porém, devido a este valor ser exatamente a especificação sugere-se uma
regra para garantir que este seja suficientemente capaz considerando a sua
centralização:
Cp < 1,00 - A capacidade do processo é inadequada à especificação exigida.
Deve-se diminuir a variabilidade para reduzir o número de não conformes e
garantir que o produto atenda a especificação;
1,00 ≤ Cp ≤ 1,33 - A capacidade está dentro da especificação exigida. Porém,
ainda deve-se diminuir a variabilidade do processo, pois esta pode gerarprodutos não conformes;
Cp > 1,33 - A capacidade é adequada à especificação exigida. Neste caso não
se faz necessária intervenção a menos que se queira reduzir a variabilidade
para aumentar a qualidade dos produtos.
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3.5.2 Índice de Desempenho do Processo ()
O índice Cpk foi crescido para suprir algumas deficiências do Cp,
principalmente com relação a dispersão do processo. O índice Cp também não leva
em consideração o seu nível ou a sua centralização.
A aquisição do índice de capacidade Cpk se dá através do cálculo de dois
índices de especificação unilaterais chamados de Cpl “lower ” e Cpu “upper ” que são
obtidos por:
= −3 = − 3 (20)
Logo, = min { ; }. (21)
Segundo o manual de referência do controle estatístico de processo (2005,
p.22), “a análise mais detalhada da composição do índice indica que ele
quantifica a capabilidade em função da pior metade dos dados do processo”. Com
isso verifica-se que, além da variabilidade, a posição também é relacionada à
especificação, fornecendo uma medida extremamente posicionada sobre o
comportamento do processo frente às suas características de engenharia.
Para o processo ser considerado capaz, o índice Cpk≥1. Entretanto, da
mesma forma que definido para o índice Cp, as mesmas regras podem ser utilizadas
para se garantir uma maior margem de segurança para a operação do processo.
3.5.3 Índices Os índices Pp e o Ppk também podem ser empregados para expressar
capacidade com a vantagem de não precisar de grandes amostras e da suposição
de estabilidade do processo.
A construção destes índices se dá de maneira similar a dos equivalentes Cp e
Cpk, substituindo-se apenas o desvio padrão estimado pelo desvio padrão amostral.
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=−
6 = min −3 ,
−3 Em que, S é o desvio padrão
da amostra.
Os índices apresentam vantagens sobre o Cp e Cpk, pois, o seucálculo leva em conta tanto as causa comuns quanto as especiais de variação, e o
seu uso deve ser encarado como um dos indicativos da capacidade do processo. Lu
e Rudy (2002) comentam que o cálculo destes índices não leva em conta toda a
variação do processo, pois os dados empregados para a sua estimação geralmente
são provenientes somente de um intervalo curto de tempo, indicando assim, que os
valores Pp e Ppk são mais restritos que os valores de Cp e Cpk.
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4 METODOLOGIA
De acordo com Gil (1989), as pesquisas ou trabalhos científicos podem ser
classificados de acordo com seus objetivos em três tipos básicos de estudo voltados
a buscar uma resposta ou solução para um determinado problema. Estas pesquisas
são baseadas em métodos descritivos, exploratórios ou explicativos.
Segundo Yin (1994), o estudo de caso é um procedimento de pesquisa
indicada quando: os investigadores possuem pouco controle sobre o evento
estudado e o foco é sobre um fenômeno contemporâneo dentro de um contexto da
vida real.
O método de trabalho adotado para o desenvolvimento deste projetoenquadra-se no método exploratório, sendo o mesmo, quando se deseja ampliar o
conhecimento sobre o tema inerente ao objeto, aliado a um estudo de caso que se
justifica pelos seguintes motivos:
a) Aplicação direta em casos reais e ideais dos gráficos de controle de
Shewhart, CUSUM e MMEP que serão estudados;
b) Descrever o estudo para demonstrar como os resultados foramalcançados;
c) Estabelecer critérios para seleção eficaz dos gráficos de controle em
processos normais de produção;
d) Verificar a praticidade na utilização dos gráficos de controle a serem
estudados.
A metodologia de pesquisa a ser desenvolvida neste trabalho, constituir-se-ána aplicação de gráficos de controle de Shewhart, CUSUM e MMEP para a análise
estatística de processos industriais, partindo-se da premissa que os processos serão
normais. A verificação da metodologia proposta é efetuada através da aplicação de
um estudo de caso, utilizando-se para tanto o software Minitab, versão 15.1.30.0.
As amostras serão coletadas em duas etapas. Na primeira etapa serão
gerados valores oriundos de modelos probabilísticos, em que, a análise dará uma
condição ideal para o processo. A segunda etapa será realizada a coleta de dados
provenientes de uma indústria metal mecânica local, em que, com dados reais,
serão comparados os diferentes tipos de gráficos de controle.
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51
Os resultados pretendidos deste projeto constituem o objeto de análise para
fazer as comparações entre os gráficos de controle de Shewhart, CUSUM e MMEP.
A partir destes resultados pretende-se verificar o desempenho de cada gráfico de
controle, investigando se existem diferenças significativas entre os três
procedimentos, em detectar pontos fora de controle e averiguar se uma técnica é
mais eficiente que a outra, para a prática do controle de qualidade.
4.1 CRONOGRAMA
A Tabela 3 demonstra o cronograma definido para a segunda fase do projeto
a ser realizado no primeiro semestre do ano de 2010.
Tabela 3 – Cronograma para o primeiro semestre do ano de 2010.
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5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Visto que o estudo dos gráficos de controle possuem grande abrangência e
ao mesmo tempo importância para o controle estatístico, é possível colocar que o
projeto é de grande relevância aos envolvidos direta ou indiretamente ao controle de
qualidade nas indústrias, pois ainda hoje muitos dos métodos de controle utilizados
genericamente nestas empresas são baseados quase que exclusivamente em
análises de médias e índices simples de desempenho, que se constituem em
técnicas relativamente lentas e ineficientes na identificação de variações ou desvios
de processo.
O Instituto Superior Tupy ao relevar este tema, coloca-se entre as instituiçõesque rogam pela qualidade de ensino e abre possibilidades para novos estudos
quanto ao controle estatístico de processo e da qualidade.
Na continuação deste projeto, busca-se a elaboração de simulações dos
gráficos de controle em questão, assim como um estudo de caso real afim de
concluir sobre as vantagens e desvangens de cada gráfico de controle e sua
praticidade no campo industrial.
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53
REFERÊNCIAS
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para a análise estatítica de processos. Dissertação (Mestrado em Engenharia de
Produção) - Curso de Pós-graduação em Engenharia de Produção, Universidade
Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2003.
ALVES, C. da C.; SAMOHYL, R. W. (2006). O monitoramento de processos
industriais via gráficos de controle CUSUM. em: Qualimetria. Disponível em:
<http://www.qualimetria.ufsc.br/artigos.htm [Ultimo acesso: Set. 9, 2009]>.
DAIMLERCHRYSLER. Controle Estatístico de Processo. 2a ed. 2005.
DÁVILA, Vitor Hugo Lachos. CUSUM E MMEP. Unicamp. São Paulo. 2007.
FILHO, Dullio C. de Macedo. Controle Estatístico de Processo. 2008.
FLOTT, Leslie W. Metal Finishing What is SPC?. P. 112-114. 2002.
JURAN, J. M.; GRYNA, F. M. Controle da qualidade. 4. ed. São Paulo: McGraw-Hill
do Brasil , 1993. V. 6. E V.7.
KUME, H. Métodos estatísticos para melhoria da qualidade, Editora Gente,
São.Paulo, 1993.
MONTGOMERY,D.C. The Economic Design of Control Charts: A Review and
Literature Survey. Journal of Quality Technology, v.12, 75-87, 1980.
MONTGOMERY, D. C. Introdução ao Controle Estatístico da Qaulidade. 4ª Ed.
Rio de Janeiro : John Wiley, 2009.
NELSON, Lloyd S. Control charts: rational subgroups and effective applications,
Journal of Quality Technology, New York, v. 20, no. 1, Jan. 1988. Disponível em: <
http://www.qualityamerica.com >. Acesso em: 29 abril. 2009.
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SIQUEIRA, L. G. P. Controle estatístico do processo. São Paulo: Pioneira. 1997.
SCHISSATTI, Márcio Luiz. Uma Metodologia de Implantação de Cartas de
Shewhart para o Controle de Processos. Dissertação (Mestrado em Engenharia
de Produção) - Curso de Pós-graduação em Engenharia de Produção, Universidade
Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 1998.
RAMOS, E. M. L. S. Aperfeiçoamento e Desenvolvimento de Ferramentas do
Controle Estatístico da Qualidade – Utilizando Quartis para Estimar o Desvio
Padrão. Tese de Doutorado pela Universidade Federal de Santa Catarina,
Florianópolis, Abril de 2003.
VIEIRA, Sonia. Estatística para a qualidade Rio de Janeiro: Ed. Campus, 1999.
WERKEMA, Maria Cristina. Ferramentas estatísticas básicas para o
gerenciamento do processo. Belo Horizonte: Fundação Cristiano Ottoni, 1995.
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ANEXOS
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Anexo A
Fatores para o cálculo dos limites de controle ( 3σ ) para os gráficos , R.
Fonte: Montgomery (1980)
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Anexo B
Fonte: Almas (2009)
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1
Anexo D
Fonte: Dávila (2007)
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2
Fonte: Dávila (2007)
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3
Anexo E
Fonte: Dávila (2007)
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4