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Christiane Mzur Lauricella
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Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 exerccios resolvidos
Copyright Editora Cincia Moderna Ltda., 2011.Todos os direitos para a lngua portuguesa reservados pela EDITORA CINCIA MODERNA LTDA.De acordo com a Lei 9.610, de 19/2/1998, nenhuma parte deste livro poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, mecnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, da Editora.
Editor: Paulo Andr P. MarquesSuperviso Editorial: Aline Vieira MarquesCopidesque: Paula Regina PilastriCapa: Cristina Satchko HodgeDiagramao: Tatiana NevesAssistente Editorial: Vanessa Motta
Vrias Marcas Registradas aparecem no decorrer deste livro. Mais do que simplesmente listar esses nomes e informar quem possui seus direitos de explorao, ou ainda imprimir os logotipos das mesmas, o editor declara do dono da Marca Registrada, sem inteno de infringir as regras de sua utilizao. Qualquer semelhana em nomes prprios e acontecimentos ser mera coincidncia.
FICHA CATALOGRFICA
LAURICELLA, Christiane Mzur Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 exerccios resolvidosRio de Janeiro: Editora Cincia Moderna Ltda., 2011
1. Matemtica.I Ttulo
ISBN: 978-85-399-0113-5 CDD 510
Editora Cincia Moderna Ltda.R. Alice Figueiredo, 46 Riachuelo Rio de Janeiro, RJ Brasil CEP: 20.950-150 Tel: (21) 2201-6662 / Fax: (21) [email protected] 08/11
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SumrioSumrioSumrioSumrioSumrio
IntroduoIntroduoIntroduoIntroduoIntroduo ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... VIIVIIVIIVIIVII
Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1
Derivadas de Funes Simples de uma VarivelDerivadas de Funes Simples de uma VarivelDerivadas de Funes Simples de uma VarivelDerivadas de Funes Simples de uma VarivelDerivadas de Funes Simples de uma Varivel ..................................................................................................................................................................................................................................................... 11111
Exerccios Propostos Captulo 1. ....................................................................................... 25
Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 1. ................................................................ 26
Captulo 2Captulo 2Captulo 2Captulo 2Captulo 2
Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelDerivadas de Funes Compostas de uma VarivelDerivadas de Funes Compostas de uma VarivelDerivadas de Funes Compostas de uma VarivelDerivadas de Funes Compostas de uma Varivel .................................................................................................................................................................................................................. 2929292929
Exerccios Propostos Captulo 2. ....................................................................................... 56
Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 2. ................................................................ 57
Captulo 3Captulo 3Captulo 3Captulo 3Captulo 3
Derivadas Parciais de Funes de duas VariveisDerivadas Parciais de Funes de duas VariveisDerivadas Parciais de Funes de duas VariveisDerivadas Parciais de Funes de duas VariveisDerivadas Parciais de Funes de duas Variveis ............................................................................................................................................................................................................................ 5959595959
Exerccios Propostos Captulo 3. ....................................................................................... 73
Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 3. ................................................................ 74
Captulo 4Captulo 4Captulo 4Captulo 4Captulo 4
Integrais Simples - Diretssimas da TIntegrais Simples - Diretssimas da TIntegrais Simples - Diretssimas da TIntegrais Simples - Diretssimas da TIntegrais Simples - Diretssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7777777777
Exerccios Propostos Captulo 4. ....................................................................................... 93
Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 4. ................................................................ 94
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I VI VI VI VI V Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Captulo 5Captulo 5Captulo 5Captulo 5Captulo 5
Integrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 9797979797
Exerccios Propostos Captulo 5. ..................................................................................... 108
Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 5. .............................................................. 109
Captulo 6Captulo 6Captulo 6Captulo 6Captulo 6
Integrais Simples - Mtodo da SubstituioIntegrais Simples - Mtodo da SubstituioIntegrais Simples - Mtodo da SubstituioIntegrais Simples - Mtodo da SubstituioIntegrais Simples - Mtodo da Substituio .......................................................................................................................................................................................................................................................... 111111111111111
Exerccios Propostos Captulo 6. ..................................................................................... 129
Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 6. .............................................................. 130
Captulo 7Captulo 7Captulo 7Captulo 7Captulo 7
Integrais Simples Integrao por PartesIntegrais Simples Integrao por PartesIntegrais Simples Integrao por PartesIntegrais Simples Integrao por PartesIntegrais Simples Integrao por Partes ......................................................................................................................................................................................................................................................................... 131131131131131
Exerccios Propostos Captulo 7. ..................................................................................... 148
Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 7. .............................................................. 149
Captulo 8Captulo 8Captulo 8Captulo 8Captulo 8
Integrais Simples Integrais DefinidasIntegrais Simples Integrais DefinidasIntegrais Simples Integrais DefinidasIntegrais Simples Integrais DefinidasIntegrais Simples Integrais Definidas ............................................................................................................................................................................................................................................................................................. 151151151151151
Exerccios Propostos Captulo 8. ..................................................................................... 159
Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 8. .............................................................. 160
Captulo 9Captulo 9Captulo 9Captulo 9Captulo 9
Integrais Duplas e Regies de IntegraoIntegrais Duplas e Regies de IntegraoIntegrais Duplas e Regies de IntegraoIntegrais Duplas e Regies de IntegraoIntegrais Duplas e Regies de Integrao ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 161161161161161
Exerccios Propostos Captulo 9 ...................................................................................... 196
Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 9 ............................................................... 197
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VVVVVSumrioSumrioSumrioSumrioSumrio
Captulo 10Captulo 10Captulo 10Captulo 10Captulo 10
Integrais Duplas Mudana de VarivelIntegrais Duplas Mudana de VarivelIntegrais Duplas Mudana de VarivelIntegrais Duplas Mudana de VarivelIntegrais Duplas Mudana de Varivel ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ 199199199199199
Exerccios Propostos Captulo 10 .................................................................................... 234
Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 10 ............................................................ 235
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IntroduoIntroduoIntroduoIntroduoIntroduo
Este trabalho no pretende ser mais um livro de Clculo Diferencial e Integral. Suainteno auxiliar os interessados, por meio de exemplos, a aprenderem a resolverderivadas e integrais. Em cada exemplo h uma conversa com o leitor, na qual, emlinguagem simples e direta, descreve-se o passo a passo de todas as etapas envolvi-das na resoluo de derivadas e integrais.
A estrutura da organizao do texto baseada em trs grandes blocos: o dasderivadas, o das integrais simples e o das integrais duplas, conforme mostrado noquadro abaixo.
Inicialmente, so feitos exemplos com resolues detalhadas de derivadas de funessimples de uma varivel, incluindo o uso de propriedades de derivao relativas soma, ao produto e ao quociente de funes bem como ao produto de uma constantepor uma funo. Em seguida, h solues minuciosas de derivadas de funes com-postas. Finalizando o bloco das derivadas, so abordadas vrias situaes envolven-do funes de duas variveis.
As integrais chamadas de diretssimas da tabela, ou imediatas, so as que esto emtabelas bsicas de integrao ou que, para serem resolvidas, dependem de duas pro-priedades algbricas fundamentais das integrais. As integrais denominadas de dire-
DERIVADAS
INTEGRAIS SIMPLES
INTEGRAIS DUPLAS
Derivadas de funes simples de uma varivelDerivadas de funes compostas de uma varivelDerivadas parciais de funes de duas variveisIntegrais diretssimas da tabelaIntegrais diretas da tabelaMtodo da integrao por substituioMtodo da integrao por partesIntegrais definidasIntegrais duplas e regies de integraoMudana de varivel nas integrais duplas
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VIIIVIIIVIIIVIIIVIII Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
tas da tabela so as que, por desenvolvimentos da funo a ser integrada, chegam aum caso previsto em tabelas bsicas de integrao. Os mtodos de integrao porsubstituio e por partes so utilizados em diversos exemplos. O bloco das integraissimples concludo com as integrais definidas.
Finalmente, so realizadas integrais duplas em vrios tipos de domnios de integraoe, tambm, integrais duplas resolvidas por meio de mudanas de variveis.
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Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1
Derivadas de Funes SimplesDerivadas de Funes SimplesDerivadas de Funes SimplesDerivadas de Funes SimplesDerivadas de Funes Simplesde uma Vde uma Vde uma Vde uma Vde uma Varivelarivelarivelarivelarivel
A derivada da funo y = f (x), em relao sua nica varivel independente x, pode serindicada por:
y f x D dydx
df xx
, ,x= = = =( )
( ).
Sendo f (x) e g (x) duas funes da varivel x e k uma constante, temos as seguintespropriedades das derivadas:
D1. f x g x f x g x oud f x g x
dxdf xdx
dg xdx
, ,( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ),( ) = ( ) = .
D2. k.f x k.f x oud k.f x
dxk df x
dx,( ) ( )
( ). ( ),( ) = ( ) = .
D3. f x .g x f x g x f x g x oud f x g x
dxdf x, ,( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )
( ). ( ) ( ),( ) = + ( ) =ddx
g x f x dg xdx
. ( ) ( ). ( )+ .
D4. f xg x
f x g x f x g xg x
oud f x g x, ,( )
( )( ). ( ) ( ). ( )
( )
( ). ( ),
=
( )2(( )
=
( )dxdf xdx
g x f x dg xdx
g x
( ) . ( ) ( ). ( )
( ) 2
Essas propriedades so enunciadas como descrito abaixo.
D1. A derivada da soma (ou subtrao) de duas funes igual soma (ousubtrao) das derivadas das funes. Isso tambm vlido para mais de duasfunes.
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22222 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
D2. A derivada do produto (multiplicao) de uma constante por uma funo igual ao produto da constante pela derivada da funo. Essa constante podeser qualquer nmero real.
D3. A derivada do produto (multiplicao) de duas funes igual soma daderivada da primeira funo multiplicada pela segunda funo com a primeirafuno multiplicada pela derivada da segunda funo.
D4. A derivada do quociente (diviso) de duas funes igual subtraoentre a derivada da funo do numerador multiplicada pela funo do denomi-nador e a funo do numerador multiplicada pela derivada da funo do deno-minador, sendo toda essa subtrao dividida pela funo do denominadorelevada ao quadrado. Inclui-se a condio da funo do denominador ser dife-rente de zero.
Sendo k e n constantes, as derivadas das principais funes simples de uma vari-vel esto mostradas na tabela a seguir. A primeira delas refere-se derivada dafuno constante que zero (tambm lida como a derivada da constante igual azero).
Tabela de derivadas (funes simples)
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33333Captulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma Varivel
Exemplo 1.1. Derive f (x) = x5.
Esse um dos casos mais simples de uso da tabela de derivadas. Temos de derivar, emrelao varivel x, uma funo do tipo base x elevada 5 potncia, lida apenascomo x elevado ao expoente 5 ou x elevado a 5.
Vamos usar a seguinte regra da tabela de derivadas:
x ' dxdx
n.xnn
n( ) = = 1 .
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44444 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
No caso, n vale 5 (n = 5). Ou seja, a derivada de x elevado a 5 5 multiplicado por xelevado a 5 1, resultando em 5 vezes x elevado a 4, conforme segue.
f x x dxdx
x x,,
( ) = ( ) = = =5 5 5 1 45 5Exemplo 1.2. Derive y = x7
Este tambm um caso de uso direto da tabela de derivadas. Temos de derivar, emrelao varivel x, a funo dada por x elevado a 7.
Vamos usar a seguinte regra da tabela de derivadas:
x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1 .No caso, n vale 7 (n = 7). Ou seja, a derivada de x elevado a 7 7 multiplicadopor x elevado a 7 1, resultando em 7 vezes x elevado a 8, conforme segue.
y x dxdx
x xx x
, ,= ( ) = = = = = 7 7 7 1 8 8 87 7 7 1 7
Lembre-se que, subtraindo 1 de 7, temos 8 e no 6! Ou seja, aderivada de x 7 em relao varivel x 7x 8 e no 7x 6.Na transformao de 7x 8 em 78x
no usamos qualquer regra de
derivao: apenas aplicamos a equivalncia xx
xx
aa
= =1 18
8.
Exemplo 1.3. Derive f (x) = x 5/6.
Temos de derivar, em relao varivel x, a funo dada por x elevado frao 5/6.
Usamos a seguinte regra da tabela de derivadas:
x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1 .
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55555Captulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma Varivel
No caso, n vale 56
. Ou seja, a derivada de x elevado a 56
a frao 56
multiplicada por
x elevado subtrao 56
1, resultando em 56
vezes x elevado a 16
, conforme segue.
f x x dxdx
x xx x x
,( ),
= ( ) = = = = = = 5656 5
6 116
16
16 6
56
56
561 5
6
56
Lembre-se que, para subtrair 1 de 5/6, devemos fazer:56
1 5 1 66
5 66
16
=
=
=
..
Na transformao de 56
16x
em 5
6
5616 6x x
= no usamos
qualquer regra de derivao, apenas aplicamos as equivalnci-
as: xx
xx
aa
= =1 116
16
e x x x x xba ba= = =
16 16 6 .
Exemplo 1.4. Derive f x x( ) .= 15
Para podermos usar a tabela na derivao da funo f xx
( ) = 15 , antes devemos
prepar-la, de modo que a base x fique no numerador, sem que haja alterao da
funo original.
Sabemos que:
1 15
5
xx
xxn
n= =
Escrevendo f xx
( ) = 15 como f (x) = x5, podemos utilizar a seguinte regra da tabela de
derivadas:
x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1 .
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66666 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Ou seja,
f xx
x dxdx
x xx x
,,
,( ) =
= ( ) = = ( ) = = =
1 5 5 5 1 555
55 1 6
6 6
Observe que n, indicado na regra de derivadas, 5 e no 5!Lembre-se que, subtraindo 1 de 5, temos 6 e no 4. Ou seja,a derivada de x 5 em relao varivel x 5x 6 e no 5x 4!
Exemplo 1.5. Derive f x x( ) .=
Para podermos usar a tabela na derivao da funo raiz quadrada de x, antes devemosescrev-la como base x elevada a um expoente numrico.
Sabemos que:
x x x x xbaba
= = =1212
Escrevendo a raiz quadrada de x como x elevado ao expoente , podemos usardiretamente a seguinte regra da tabela de derivadas, com n = 1/2:
x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1
Ou seja,
f x x x dxdx
x x x,, ,
( ) = ( ) = ( ) = = = =
12
12 1
2 11 22
112
12
12
2212
12 12
121 1
2
1
2
12
= = = =
x x x x
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77777Captulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma Varivel
De agora em diante, podemos aplicar x x( ) =, 1
2 na deriva-o da funo f x x( ) .=
Exemplo 1.6. Derive f x x( ) .= 23
Este exemplo muito parecido com o exemplo 1.5. Sendo assim, antes de usarmos atabela, vamos escrever a funo raiz cbica de x ao quadrado como base x elevada aoexpoente 2/3.
Vejamos:
x x x xbaba
= =2323
Em seguida, usamos diretamente a seguinte regra da tabela de derivadas:
x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1
Ou seja,
f x x x dxdx
x x x,, ,
( ) = ( ) = ( ) = = = =
23 23
23 2
3 12 332
323
23
= =
13
13 3
2
3
23x x
Exemplo 1.7. Derive f (x) = x 3 + x3.
Temos de derivar, em relao varivel x, a soma de x elevado a 3 com x elevado a 3.
Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D1, que afirmaque a derivada da soma (ou subtrao) de duas funes igual soma (ou subtrao)das derivadas das funes:
f x g x f x g x oud f x g x
dxdf xdx
dg xdx
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ,( ) = ( ) =
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88888 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Ou seja,
f x x x dxdx
dxdx
x x,, , ,
( ) = +( ) = + = ( ) + ( ) 3 3 3 3 3 3
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme segue.
(x -3) = -3x -3-1 = -3x -4, pois x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1 e, no caso, n = -3.(x3) = 3x3-1 = 3x2, pois x dx
dxn.xn
nn( ) = = , 1 e, no caso, n = 3.
Logo,
f (x) = (x 3 + x3) = (x 3) + (x3) = 3x 4 + 3x 2
A derivada j foi finalizada, mas ainda podemos escrever 3x 4 como 34x. Sendo assim,
f (x) = (x 3 + x3) = 3x 4 + 3x 2 = 34x+ 3x 2
Exemplo 1.8. Derive f (x) = 4x3
Temos de derivar, em relao varivel x, a constante 4 multiplicada por x elevado aocubo. Ou seja, trata-se da derivao do produto da constante k = 4 pela funo x3.
Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade D2, que afirma que derivadado produto (multiplicao) de uma constante por uma funo igual ao produto daconstante pela derivada da funo:
k.f x k.f x oud k.f x
dxk df xdx
( ) ( )( ) ( ), ,( ) = ( ) =
Ou seja,
f x d xdx
x x,, ,
( ) ( )= = ( ) = ( )4 4 43 3 3
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99999Captulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma Varivel
Agora, usando a regra
xdxdx
n.xnn
n( ) = = , 1 ,para n = 3, temos que:
f x x x x,, ,
( ) = ( ) = ( ) = ( ) =4 4 4 3 123 3 3 1 2x
Exemplo 1.9. Derive f x x( ) .= +7 5
Antes de derivarmos a funo
f xx x
( ) = + = +7 5 7 5 1 ,
vamos escrev-la como f (x) = 7 + 5x 1. Isso no altera a funo original, pois, se
1x
xaa
= ento
1 11
1
x xx= = .
Agora, comeamos a derivada aplicando as propriedades D1 e D2, dadas, respectiva-mente, por:
f x g x f x g x k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,( ) = ( ) =e .
Ou seja,
f x xx
dxx x,
, , , , ,( ) = +( ) = +( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( )
7 57 5
7 5 7 511
1 1d
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1010101010 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Cada uma das derivadas anteriores pode ser resolvida diretamente pela tabela, conformesegue.
(7) = 0, pois ( ),kdkdx
= = 0 (a derivada da constante zero) e, no caso, k = 7.
x x xx
( ) = = = 1 1 1 2 21 1 1, , pois x dxdx n.xnn
n( ) = = , 1 e, no caso, n = 1.Logo,
f x x xx
, , , ,( ) = +( ) = ( ) + ( ) = ( ) + =
7 5 7 5 0 5 1 51 1 2 2x
Exemplo 1.10. Derive y = 8 + cos x
Temos de derivar a soma de 8 com o cosseno de x.
Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D1 abaixo:
f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,( ) = Ou seja,
f x xd x
dxx, , , ,( ) cos
coscos= +( ) = +( ) = ( ) + ( )8 8 8
Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por:
( ),k dkdx
= = 0 (a derivada da constante zero) e coscos,x d xdx
x( ) = = sen .
Vejamos:
f x x x x x, , , ,( ) cos cos= +( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = 8 8 0 sen sen
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1111111111Captulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma Varivel
Observe que o cosseno de x, indicado por cosx, uma funotrigonomtrica, ou seja, no a multiplicao de alguma coi-sa por x!
Exemplo 1.11. Derive f (x) = 5 tgx + 3 senx.
Temos de derivar, em relao varivel x, a soma do quntuplo da tangente de x com otriplo do seno de x. Ou seja, a soma da tangente de x multiplicada pela constante 5 como seno de x multiplicado pela constante 3.
Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar as propriedades D1 e D2,dadas, respectivamente, por:
f x g x f x g x k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,( ) = ( ) =eOu seja,
f x tgx senx tgx senx tgx senx, , , , , ,( ) ( )= + = ( ) + ( ) = ( ) + ( )5 3 5 3 5 3Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por
( ) xdx
dtgxtgx 2, sec== e xdxdsenxsenx cos)( , ==
Logo,
f x tgx senx tgx senx tgx senx, , , , , ,( ) ( ) sec= + = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) =5 3 5 3 5 3 5 22 3x + cos x
Observe que a tangente de x, indicada por tgx, o seno de x,indicado por senx, o cosseno de x, indicado por cosx, e asecante ao quadrado de x, indicada por sec2x, so funestrigonomtricas, ou seja, no so multiplicaes de algumacoisa por x!
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1212121212 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Exemplo 1.12. Derive y = e xx +17.
Temos de derivar, em relao varivel x, a soma do nmero e elevado a x com xmultiplicado pela constante 1/7.
Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar as propriedades D1 e D2abaixo:
f x g x f x g x k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,( ) = ( ) =eOu seja,
y e x e x e xx x x,,
,,
,( )= + = ( ) +
= +
17
17
17
Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por:
e dedx
e x dxdx
xx
x( ) = = ( ) = =, ,e 1Logo,
y e x e x e x e ex x x x x,,
,,
,( ) .= + = ( ) +
= + = + = +
17
17
17
171 1
7
Observe que o nmero neperiano e um nmero irracional, muitas vezes aproximadopor 2,72.
Exemplo 1.13. Derive t x x x( ) ln arccos .= +3 2 5x
Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D2,
f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,( ) = , expandida para o caso da soma/subtrao de trs fun-es da varivel x: 3
x, 2 1n x e 5 arccos x. Ou seja,
-
1313131313Captulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma Varivel
t x x xx
x x,, ,
,( ) ln arccos ln arccos= + =
( ) + ( )
3 2 5 3 2 5x
,,
Agora, para as trs derivadas acima, vamos aplicar a propriedade (k.f (x)) = k.f (x):
t xx
x xx
x,,
, ,,
,( ) ln arccos ln ar= ( ) + ( ) =
( ) +
3 2 5 3 1 2 5 cccos ,x( )
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente por regras da tabela,conforme segue.
1 1 1 11 1 1 2 2xx x x
x
= ( ) = = =
,,( ) . , pois x
dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1 e, no caso, n = 1.
ln ,xx
( ) = 1
arccos ,xx
( ) =
1
1 2
Finalizando a derivada:
t xx
x xx x
,,
, ,( ) ln arccos== ( ) + ( ) =
3
1 2 5 3 1 2 12 +
=
5 1
1
3 2 5
122 2
.x x x x
Exemplo 1.14. Derive h (x) = 3x + arctgx
Este exemplo trata da derivada da soma de duas funes da varivel x: as funes 3x(exponencial de base 3) e arctgx (arcotangente de x). Inicialmente, vamos aplicar a pro-priedade D1, relativa derivada da soma de funes: f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,( ) = .Ou seja,
h x arctgx arctgxx x,, , ,( ) ( )= +( ) = ( ) +3 3
Cada uma das duas derivadas acima pode ser resolvida diretamente por regras databela, conforme segue.
-
1414141414 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
(3x) = 3x 1n 3, pois a d adx
a axx
x( ) = =, ( ) ln e, no caso, a = 3
arctgxd arctgx
dx x( ) = ( ) =
+
, 11 2
Finalizando a derivada:
h x arctgxx
x x, , ,( ) ( ) ln= ( ) + = ++
3 3 3 11 2
Observe que 3x no a multiplicao de 3 por x. Trata-se dafuno de base 3 elevada ao expoente x.
Exemplo 1.15. Derive h(x) = x2 cos x.
Queremos derivar a multiplicao de duas funes da varivel x: a funo do segun-do grau x2 multiplicada pela funo trigonomtrica cosx. Ento, vamos comear aresoluo aplicando a propriedade D3, referente derivada do produto de duasfunes:
(f (x).g(x)) = f (x).g(x) + f (x).g(x)
Ou seja, a derivada do produto (multiplicao) da funo x elevado ao quadrado (x2)pela funo cosseno de x (cosx) igual soma da derivada de x elevado ao quadrado,multiplicada pelo cosseno de x, com x elevado ao quadrado multiplicado pela derivadade cosseno de x, conforme segue.
h (x) = (x2 cos x) = (x2) cos x + x2 (cos x)
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conformesegue.
(x2) = 2x21 = 2x1 = 2x, pois xdxdx
n.xnn
n( ) = = , 1 e, no caso, n = 2.(cos x) = senx
-
1515151515Captulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma Varivel
Finalizando a derivada:
h(x) = (x2) cos x + x2 (cos x) = 2x cos x + x2 (senx) = 2x cos x x2 senx
J terminamos a derivada, mas, ainda, podemos colocar x em evidncia na subtraoacima. Logo,
h(x) = 2x cos x x2 senx = x (2cos x xsenx)
Exemplo 1.16. Derive h(x) = cos x.senx.
Precisamos derivar a multiplicao de duas funes da varivel x: as funestrigonomtricas cos x e senx. Vamos iniciar a resoluo aplicando a propriedade D3,referente derivada do produto de duas funes: (f (x).g(x)) = f (x).g(x) + f (x).g(x).
Vejamos:
h(x) = (cos x.senx) = (cos x).senx + cos x.(senx)
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conformesegue.
(cos x) = senx(senx) = cos x
Finalizando a derivada:
h(x) = (cos x.senx)= (cos x).senx + cos x.(senx)= senx.senx +cos x.cos x = cos2 x sen2x
Exemplo 1.17. Derive h(x) = x5 ex.
Temos de derivar a multiplicao de duas funes da varivel x: a funo x5 multiplica-da pela funo exponencial de base e (ex). Vamos iniciar a resoluo aplicando a propri-edade D3, referente derivada do produto de duas funes:
(f (x).g(x)) = f (x).g(x) + f (x).g(x)
Vejamos:
h(x) = (x5 ex) = (x5) ex + x5 (ex)
-
1616161616 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conformesegue.
(x5) = 5x5-1 = 5x4, pois xdxdx
n.xnn
n( ) = = , 1 e, no caso, n = 5.(ex) = ex
Finalizando a derivada:
h(x) = (x5 ex) = (x5) ex + x5 (ex) = 5x4 ex + x5 ex
A derivada j foi terminada, mas podemos melhorar a resposta final colocando x4.exem evidncia:
h(x) = 5x4 ex + x5 ex = x4 ex (5 + x)
Exemplo 1.18. Derive y = 3 arccosx + x2 ex.
Inicialmente, temos de derivar a soma de duas funes da varivel x: a funo 3arccos xsomada com a funo x2 ex. Vamos comear aplicando a propriedade D1, referente derivada da soma de duas funes: f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,( ) = Vejamos:
y dydx
x x e x x ex x, ,,
arccos arccos,= = +( ) = ( ) + ( )3 32 2
Como a funo formada pelo produto da constante k = 3 pela funo arcocosseno de x,podemos aplicar a propriedade D2, que trata da derivada do produto de uma constantepor uma funo: (k.f (x)) = k.f (x)
Ou seja,
y dydx
x x e x x e x xx x, ,, ,arccos arccos arccos,= = +( ) = ( ) + ( ) = ( ) +3 3 32 2 22ex( ),
H duas parcelas presentes na derivada acima.
-
1717171717Captulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma Varivel
A primeira parcela, correspondente ao triplo da derivada da funo arcocosseno de x, obtida diretamente da tabela, na qual consta que
arccosarccos,x
d xdx x
( ) = ( ) =
1
1 2.
Logo,
3 3 1
1
3
12 2arccos ,x
x x( ) =
=
A segunda parcela, correspondente ao produto de x elevado ao quadrado pelaexponencial de base e (e elevado ao expoente x), deve ser, inicialmente, resolvida pelouso da propriedade D3 a seguir: (f (x).g(x)) = f (x).g(x) + f (x).g(x).
Vejamos:
( x2 ex) = ( x2 ) ex + x2 (ex)
A derivada de x2, em relao varivel x, ( x2 ) = 2x21 = 2x1 = 2x, pois, de acordo coma tabela,
x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1 .A derivada de ex, em relao varivel x, ex, pois, de acordo com a tabela,
e dedx
exx
x( ) = =, .Ou seja,
( x2 ex) = ( x2 ) ex + x2 (ex) = 2xex + x2 ex
A derivada do produto x2 ex j foi terminada na linha anterior, mas ainda podemoscolocar xex em evidncia na soma 2xex + x2 ex:
( x2 ex) = ( x2 ) ex + x2 (ex) = 2xex + x2 ex = xex (2 + x)
-
1818181818 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Finalizando a derivada de y = 3 arccosx + x2 ex:
y dydx
x x ex
xe xx x, ,,
arccos= = ( ) + ( ) =
+ +( )3 31
222
Exemplo 1.19. Derive h x xx
( ) .=+
2
1
Precisamos derivar a diviso de duas funes da varivel x: a funo x2, no numerador,e a funo x + 1, no denominador. Ento, vamos iniciar a resoluo aplicando a propri-edade D4, referente derivada do quociente de duas funes:
f xg x
f x g x f x g xg x
( )( )
( ). ( ) ( ). ( )( )
, , ,
=
( )2
No caso, a derivada da diviso de f(x) = x2 por g(x) = x + 1 igual subtrao entre aderivada de f (x) = x2 multiplicada por g(x) = x+1 e f (x) = x2 multiplicada pela derivada deg(x) = x + 1, sendo essa subtrao dividida pela funo g(x) = x + 1 elevada ao quadrado.
Vejamos:
h x xx
x x x xx
,, , ,
( )( ) .
( )=
+
=
( ) + ( ) +( )+
2 2 2
21
1 1
1
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela ou pelapropriedade D1, referente derivada da soma de duas funes, conforme segue.
(x2) = 2x2-1 = 2x1 = 2x, pois x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1(x + 1) = (x) + (1) = 1 + 0 = 1
Finalizando a derivada:
h x xx
x x x xx
x x,
, , ,
( )( ) .
( )
( )=
+
=
( ) + ( ) +( )+
=
( ) + 2 2 221
1 1
1
2 1 xxx
x x xx
x xx
2
2
2 2
2
2
2
1
12 2
121
( ) ( )+
=
+
+=
+
+
.
( ) ( ) ( )
-
1919191919Captulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma Varivel
A derivada j foi terminada, mas, ainda, podemos colocar x em evidncia no numeradordo quociente:
h x x xx
x xx
, ( )( ) ( )
=
+
+=
+( )+
2
2 2
21
21
Exemplo 1.20. Derive t xx xsenx
( ) .= 3 6
Vamos derivar a diviso de duas funes da varivel x: a funo x3 6x, no numerador,e a funo senx, no denominador. Comeamos a resoluo aplicando a propriedade D4,referente derivada do quociente de duas funes:
f xg x
f x g x f x g xg x
( )( )
( ). ( ) ( ). ( )( )
, , ,
=
( )2
Vejamos:
t x x xsenx
x x senx x x senx
senx,
, , ,
( ) =
=
( ) ( )( )( )
3 3 3
2
6 6 6
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida pela tabela ou pelas propriedadesD1 (relativa derivada da soma de duas funes) e D2 (referente derivada do produ-to de uma constante por uma funo), conforme segue.
(x3 6x) = (x3) (6x) = (x3) 6 (x) = 3x2 6.1 = 3x2 6
(senx) = cos x
Finalizando a derivada:
t x x xsenx
x x senx x x senx
senx,
, , ,
( ) =
=
( ) ( )( )( ) =
3 3 3
2
6 6 6 33 6 62 3
2
x senx x x xsen x
( ) ( )( )cos
-
2020202020 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Observe que a funo seno ao quadrado de x pode ser escritacomo (senx)2 ou como sen2x. Nesse caso, o seno que est aoquadrado, e no o argumento x.
Exemplo 1.21. Derive t xxex
( ) .=
7
3Queremos derivar a diviso de duas funes da varivel x: a funo x7, no numerador,e a funo ex 3, no denominador. Comeamos a resoluo aplicando a propriedadeD4, referente derivada do quociente de duas funes:
f xg x
f x g x f x g xg x
( )( )
( ). ( ) ( ). ( )( )
, , ,
=
( )2
Vejamos:
t x xe
x e x e
ex
x x
x
,, , ,
( ). .
=
=
( ) ( ) ( )( )
7 7 7
23
3 3
3
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida pela tabela ou pela propriedade D1(relativa derivada da soma de duas funes), conforme segue.
(x7) = 7x7-1 = 7x6
(ex 3) = (ex) (3) = ex 0 = ex
Finalizando a derivada:
t x xe
x e x e
e
x ex
x x
x
x,
, , ,
( ).
=
=
( ) ( ) ( )( ) =
(7 7 72
6
3
3 3
3
7 3)) ( )( ) =
( ) ( )
x e
e
x e x e
e
x
x
x x
x
7
2
6 7
23
7 3
3
-
2121212121Captulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma Varivel
Exemplo 1.22. Derive yxx
=
sec .
Vamos derivar a diviso de duas funes da varivel x: a funo sec x, no numerador,e a funo x, no denominador. Comeamos a resoluo aplicando a propriedade D4,referente derivada do quociente de duas funes:
f xg x
f x g x f x g xg x
( )( )
( ). ( ) ( ). ( )( )
, , ,
=
( )2
Vejamos:
y dydx
xx
x x x xx
,, , ,sec sec . sec .
= =
=
( ) ( ) ( )2
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conformesegue.
sec sec sec,x d xdx
x.tgx( ) = =
x dxdx
,= =1
Finalizando a derivada:
y dydx
xx
x x x xx
x.tgx x,, , ,sec sec sec sec sec
= =
=
( ) ( )( )=
( ) 2
xxx
x x.tgx xx
( )( )=
1
2 2
.sec sec
A derivada j foi terminada, mas ainda podemos colocar a secante de x em evidncia nasubtrao presente no numerador. Vejamos:
y dydx
xx
x x.tgx xx
x xtgxx
,,sec .sec sec sec ( )
= =
=
=
2 2
1
-
2222222222 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Observe que a funo secante de x, indicada por sec x, no serefere ao produto de alguma coisa por x. Sendo assim, no hqualquer sentido em cancelar x do numerador com x do de-nominador no quociente sec x
x.
Exemplo 1.23. Derive 2 cos 3y x =
Para resolvermos a derivada do exemplo 1.23, no precisamos aplicar a propriedade D3,referente derivada a multiplicao de duas funes.
Isso porque cos3
, lido como cosseno de PI sobre 3, uma constante, sen-
do ocos cos 60 0,5.3
= =
Vale lembrar, tambm, que no h qualquer sentido em pensar em cos3
como amultiplicao de cos por 3
.
Voltando derivada de
2 cos3y x =
, ou 2cos
3y x =
,
temos a situao de uma constante, cos3
, multiplicada por uma funo da varivel
x, x2. Pela propriedade D2, a derivada do produto (multiplicao) de uma constante k
por uma funo igual ao produto da constante k pela derivada da funo. No caso, k
cos3
.
Vejamos:
( ),
,, 2 2cos cos3 3 y x x
= =
-
2323232323Captulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma Varivel
Vimos que
(x2) = 2x 2-1 = 2x1 = 2x, pois xdxdx
n.xnn
n( ) = = , .1Logo,
( ) ( ),
,, 2 2cos cos cos 2 2 cos3 3 3 y x x x x
3
= = = =
Exemplo 1.24. Derive yxe
=
3
5
Para resolvermos a derivada do exemplo 1.24, no precisamos aplicar a propriedade D4,referente diviso de duas funes.
Isso porque e5, lido como e elevado a 5, uma constante, visto que e um nmeroirracional, aproximado por 2,72.
Se e5 uma constante, ento 15e tambm uma constante.
Reescrevendo y xe
=
3
5 como y = 15e
x3, temos de derivar uma constante, 15e
, multipli-
cada por uma funo da varivel x, x3. Pela propriedade D2, a derivada do produto
(multiplicao) de uma constante k por uma funo igual ao produto da constante k
pela derivada da funo. No caso, k 15e
.
Vejamos:
y xe e
x,,
,=
= ( )
3
5 531
Vimos que (x3) = 3x 3-1 = 3x2, pois xdxdx
n.xnn
n( ) = = , .1
Logo,
y xe e
xe
x xe
,,
,=
= ( ) = ( ) =
3
5 53
52
2
5
1 1 3 3
-
2424242424 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Exemplo 1.25. Derive y = (3x5 6x3).(5x10 4x3).
O exemplo 1.25 solicita a derivada da multiplicao de duas funes da varivel x: afuno (3x5 6x3) multiplicada pela funo (5x10 4x3). Logo, vamos comear a deriva-da usando a propriedade D3, referente derivada a multiplicao de duas funes:
(f (x).g(x)) = f (x).g(x) + f (x).g(x)
Ou seja,
y = ((3x5 6x3).(5x10 4x3)) = (3x5 6x3).(5x10 4x3) + (3x5 6x3).(5x10 4x3)
Prosseguindo com a derivada de y = (3x5 6x3)(5x10 4x3), devemos derivar, em relao varivel x, as funes (3x5 6x3) e (5x10 4x3). Para deriv-las, vamos usar as propri-edades D1 e D2 (respectivamente f x g x f x g x k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,( ) = ( ) =e )e a regra
x dxdx
n.xnn
n( ) = = , .1
Vejamos:
(3x5 6x3) = (3x5 ) (6x3) = 3(x5 ) 6(x3) = 3.5x4 6.3x2 = 15x4 18x2
(5x10 4x3) = (5x10 ) (4x3) = 5(x10 ) 4(x3) = 5.10x9 4.3x2 = 50x9 12x2
Finalizando a derivada original:
y = (3x5 6x3).(5x10 4x3) + (3x5 6x3).(5x10 4x3)
y = (15x4 18x2).(5x10 4x3) + (3x5 6x3).(50x9 12x2)
A derivada j foi terminada. Para darmos a resposta final, podemos fazer as seguintesdistributivas:
y = 15x4.5x10 +15x4 (4x3) 18x2.5x1018x2 (4x3)+3x5.50x9+3x5 (12x2) 6x3.50x96x3 (12x2)
Agora, utilizamos a regra de multiplicao de potncias de mesma base, escrita comoxa.xb = xa+b e enunciada como mantm-se a base e somam-se os expoentes.
-
2525252525Captulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma Varivel
Logo,
y = 75x14 60x7 90x12 + 72x5 + 150x14 36x7 300x12 + 72x5
y = 225x14 390x12 96x7 + 144x5
Exerccios Propostos Captulo 1.Exerccios Propostos Captulo 1.Exerccios Propostos Captulo 1.Exerccios Propostos Captulo 1.Exerccios Propostos Captulo 1.
Exerccio 1.1. Derive f (x) = x8
Exerccio 1.2. Derive y = x 6
Exerccio 1.3. Derive f (x) = x3/5
Exerccio 1.4. Derive f x x( ) = 17
Exerccio 1.5. Derive f x x( ) = + 2
Exerccio 1.6. Derive f x x( ) = 45
Exerccio 1.7. Derive f x xx( ) = +154
Exerccio 1.8. Derive f (x) = 7x6
Exerccio 1.9. Derive f (x) = 12 + 5x4
Exerccio 1.10. Derive y = 3 + senx
Exerccio 1.11. Derive f (x) = 5 cos x + 3 cot gx
Exerccio 1.12. Derive y x x= +ln25
Exerccio 1.13. Derive t x xe arcsenxx( ) = +6 5 7
Exerccio 1.14. Derive h(x) = 9x + tgx
Exerccio 1.15. Derive h(x) = x3 senx
-
2626262626 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Exerccio 1.16. Derive h(x) = (ex 5) cos x
Exerccio 1.17. Derive h(x) = 2x3 ex
Exerccio 1.18. Derive h xxx
( ) =+
5
2 3
Exerccio 1.19. Derive t xx x
x( )
cos=
2 7
Exerccio 1.20. Derive xexxt
=
4)(
4
Exerccio 1.21. Derive yxx
=
sec
Exerccio 1.22. Derive y = 7 arcsenx + x3 senx
Exerccio 1.23. Derive yx
e=
cos3
Exerccio 1.24. Derive
=
5. senxy
Exerccio 1.25. Derive y = (4x2 7x5).(x9 3x4)
Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 1.Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 1.Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 1.Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 1.Respostas dos Exerccios Propostos Captulo 1.
Exerccio 1.1. f (x) = 8x7
Exerccio 1.2. y x,
=
67
Exerccio 1.3. f x x, ( ) = 3
5 25
Exerccio 1.4. f x x, ( ) = 78
-
2727272727Captulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma VarivelCaptulo 1 - Derivadas de Funes Simples de uma Varivel
Exerccio 1.5. f x x, ( ) = 1
2
Exerccio 1.6. f x x, ( ) = 4
55
Exerccio 1.7. f x xx, ( ) = +5 463
Exerccio 1.8. f (x) = 42x5
Exerccio 1.9. f (x) = 20x3
Exerccio 1.10. y = cos x
Exerccio 1.11. f (x) = 5 senx 3cos sec2 x
Exerccio 1.12. y x,
= +1 2
5
Exerccio 1.13. t x xe
xx, ( ) = +
6 5 7
12 2
Exerccio 1.14. h(x) = 9x 1n 9 + sec2 x
Exerccio 1.15. h(x) = x2 (3senx + x cos x)
Exerccio 1.16. h(x) = ex cos x (ex 5)senx
Exerccio 1.17. h(x) = 2x2 ex (3 + x)
Exerccio 1.18. h xx xx
, ( )( )
=
+( )+
3 5
3
4 2
2 2
Exerccio 1.19. t xx x x x senx
x, ( ) ( ) cos ( )
cos=
+ 2 7 722
-
2828282828 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Exerccio 1.20.( )( )2
43,
444)(
x
xx
eexexxt
+=
Exerccio 1.21. yxtgxx
,
sec=
1
Exerccio 1.22. yx
x senx x x, ( cos )=
+ +7
13
2
2
Exerccio 1.23. 3,
esenxy =
Exerccio 1.24.
=
521, sen
xy
Exerccio 1.25. y = 98x13 + 44x10 + 189x8 72x5
-
Captulo 2Captulo 2Captulo 2Captulo 2Captulo 2
Derivadas de Funes Compostas de umaDerivadas de Funes Compostas de umaDerivadas de Funes Compostas de umaDerivadas de Funes Compostas de umaDerivadas de Funes Compostas de umaVVVVVarivelarivelarivelarivelarivel
Vamos escolher duas funes simples quaisquer de uma nica varivel x, por exemplo,as funes f (x) = cos x e u(x) = x3. Com essas duas funes, podemos criar vriasoutras funes por meio de operaes de soma, subtrao, multiplicao, diviso eproduto de constante por funo. Vejamos alguns exemplos:
h1 (x) = f (x) + u(x) = cos x + x3
h2 (x) = 5 f (x) 2u(x) = 5cos x 2x3
h3 (x) = f (x).u(x) = (cos x).x3 = x3 cos x
h xf xu x
xx
x4 33 0( ) ( )
( )cos ,= =
Se quisssemos derivar as funes acima, usaramos as propriedades D1, D2, D3 e D4e a tabela de derivadas, vistas no captulo 1.
Tambm possvel associarmos as funes f (x) = cos x e u(x) = x3 no apenas pormeio das operaes de soma, subtrao, multiplicao e diviso, ou seja, de mododiferente do que feito acima. Poderamos fazer uma composio entre elas, gerando,por exemplo, a funo composta f (u(x)), lida como f de u de x e escrita como
f (u(x)) = f (x3) = cos(x3) = cos x3.
-
3030303030 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Para derivarmos a funo f (u(x)) = cos x3, precisamos usar a chamada regra doencadeamento, tambm conhecida como regra da cadeia, conforme segue abaixo.
f u x df u xdx
dudx
dfdu
u x f u( ( )) ( ( )) . ( ). ( ), , ,( ) = = =
No caso da funo f (u(x)) = cos x3, temos que:
u(x) = x3 u(x) = 3x2
f (u) = cosu f (u) = senu
(f (u(x))) = (cos x3) = u(x).f (u) = 3x2 ( senu) = 3x2 ( senx3) = 3x2 senx3
H uma maneira mais rpida de fazermos essa derivada, usando a seguinte regra dederivao para a funo composta (cosu) = u(x).senu . Ou seja,
(cos x3) = (x3). senx3 = 3x2 senx3
A tabela das derivadas das funes compostas apresentada a seguir.
Tabela de derivadas (funes compostas)
-
3131313131Captulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma Varivel
Exemplo 2.1. Derive f (x) = (x2 + 1)50.
Temos de derivar uma funo composta dada por u = u (x) = x2 + 1 e f (u) = u50.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (un) = n.u.un-1.
-
3232323232 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Sendo, no caso, n = 50 e u = x2 + 1, a derivada da funo f (x) = (x2 + 1)50 em relao varivel x :
f (x) = ((x2 + 1)50) = 50 (x2 + 1)(x2 + 1)50 1 = 50 (x2 + 1)(x2 + 1)49
Agora, vamos derivar, em relao varivel x, a soma x2 + 1. Aplicando a propriedadeD1 vista no captulo 1, enunciada como a derivada da soma a soma das derivadas,temos que:
f (x) = ((x2 + 1)50) = 50 (x2 + 1)(x2 + 1)49 = 50 ((x2) + (1))(x2 + 1)49
Vimos que a derivada de x2 em relao varivel x (x2) = 2x2-1 = 2x, pois, de acordocom a tabela de derivadas,
x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1 , com n = 2.Tambm vimos que a derivada da constante k = 1 em relao varivel x zero, pois, deacordo com a tabela de derivadas,
k dkdx
( ) = =, 0 .
Logo,
f (x) = ((x2 + 1)50) = 50 (x2 + 1)(x2 + 1)50 1 = 50 ((x2) + (1))(x2 + 1)49 = 50(2x + 0)(x2 + 1)
f (x) = ((x2 + 1)50) = 50(2x)(x2 + 1)49 = 100x (x2 + 1)49
Exemplo 2.2. Derive f (x) = (x3 + 1)50.
Queremos derivar uma funo composta dada por u = u (x) = x3 + 1 e f (u) = u50 .
Da tabela de derivadas de funes compostas, vamos usar a seguinte regra:
(un) = n.u.u n1.
-
3333333333Captulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma Varivel
Sendo, no caso, n = 50 e u = x3 + 1, a derivada de f (x) = (x3 + 1)50 em relao varivel x :
f (x) = ((x3 + 1)50) = 50(x3 + 1)(x2 + 1)50 1 = 50(x3 + 1)(x3 + 1)51
Agora, vamos derivar, em relao varivel x, a soma x3 + 1. Como a derivada da somade duas funes igual soma das derivadas dessas funes, temos que:
f (x) = 50(x3 + 1)(x3 + 1)51 = 50((x3) + (1))(x3 + 1)51
A derivada de x3 em relao varivel x (x3) = 3x31 = 3x2, pois, de acordo com a tabelade derivadas,
x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1 , com n = 3.A derivada da constante k = 1 em relao varivel x zero, pois, de acordo com atabela de derivadas,
k dkdx
( ) = =, 0 .
Logo,
f (x) = 50(x3 + 1)(x3 + 1)51 = 50((x3) + (1))(x3 + 1)51 = 50(3x2 + 0)(x3 + 1)51
f (x) = 150 x2 (x3 + 1)51
Acabamos a derivada. Mas, como
mm
xx
aa
= +( ) =+( )
1 1 1
13 51
3 51 ,
podemos escrever a resposta final assim:
f x x x xx
x
x, ( ) = +( ) =
+( ) =
+( )
150 1 150 1
1
150
12 3 51 2
3 51
2
3 51
-
3434343434 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Exemplo 2.3. Derive f (x) = (x3 x4)5.
Temos de derivar uma funo composta dada por u = u (x) = x3 x4 e f (u) = u5.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (un) = n.u.u n1.
Sendo, no caso, n = 5 e u = x3 x4, a derivada da funo f (x) = (x3 x4)5 :
f (x) = ((x3 x4)5) = 5(x3 x4)(x3 x4)51 = 5(x3 x4)(x3 x4)4
Ainda temos de derivar, em relao varivel x, a diferena (subtrao) x3 x4. Jvimos, no captulo 1, que a derivada da subtrao de duas funes a subtrao dasderivadas dessas funes. Sendo assim, temos que:
f (x) = ((x3 x4)5) = 5(x3 x4)(x3 x4)4 = 5((x3) (x4))(x3 x4)4
De acordo com a tabela, a derivada de x3 em relao varivel x (x3) = 3x31 = 3x2 e aderivada de x4 em relao varivel x (x4) = 4x41 = 4x3, pois
x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1 .Logo,
f (x) = ((x3 x4)5) = 5((x3) (x4))(x3 x4)4 = 5(3x2 4x3)(x3 x4)4
A derivada j foi terminada. Para darmos a resposta final, podemos colocar x2 emevidncia:
f (x) = 5(3x2 4x3)(x3 x4)4 = 5x2 (3 4x)(x3 x4)4
Exemplo 2.4. Derive f x x x( ) .= ( )6 5 34Temos de derivar uma funo composta dada por u = u(x) = x6 x5 e f u u( ) =
34 .
Vamos utilizar a seguinte regra da tabela de derivadas de funes compostas:
(un) = n.u.u n1.
-
3535353535Captulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma Varivel
Como, no caso, n = 34
e u = x6 x5 , a derivada da funo f x x x( ) = ( )6 5 34 :
f x x x x x x x x x x,,
, ,( )= ( ) = ( ) ( ) = ( )
6 534 6 5 6 5
341 6 5 63
434
xx x x x x53 44 6 5 6 5
143
4( ) = ( ) ( ) ,
Sabemos que a derivada da subtrao de duas funes igual subtrao das deriva-das dessas funes e que a derivada de funes do tipo f (x) = xn
x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1 .Logo, a derivada, em relao varivel x, da diferena x6 x5 6x5 5x4, pois
(x6 x5) = (x6) (x5) = 6x61 5x51 = 6x5 5x4.
Sendo assim, prosseguindo com a derivada do exemplo 2.4 temos que:
f x x x x x x x x x x,,
,( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( )
6 534 6 5 6 5
14 5 4 63
4346 5 xx5
14( )
J terminamos as derivadas. Mas podemos melhorar a expresso acima. Vejamos:
f x x x x x x xx x
x,
,
( ) = ( ) = ( ) ( ) =( )6 5 34 5 4 6 5 14 5 4
6
346 5 3
4
6 5
( ) =( )x
x x
x x514
5 4
6 54
34
6 5
Fizemos o seguinte:
mm
x xx x
aa
= ( ) =( )
1 16 5 146 5
14
e
m m x x x x x xba ba= ( ) = ( ) = 6 5 14 6 5 14 6 54 .
-
3636363636 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar x4 em evidncia:
f xx x
x x
x x
x x, ( ) =
( )
=
( )
34
6 5 3 6 5
4
5 4
6 54
4
6 54
Exemplo 2.5. Derive y = 1n(3x3 7x)
Temos de derivar uma funo composta dada por u = u(x) = 3x3 7x e f (u) = 1n u.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que ln,
,
u uu
( ) = .Ou seja,
y x xx xx x
, ,,
ln= ( )( ) = ( )
3 73 7
3 73
3
3
Vimos que a derivada da subtrao de duas funes a subtrao das derivadasdessas funes, a derivada de f (x) = xn
x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1
e a derivada de f (x) = x
x dxdx
( ) = =, 1 .
Por isso, a derivada de 3x3 7x, em relao varivel x, 9x2 7, pois
(3x3 7x) = (3x3) (7x) = 3(x3) 7(x) = 3(3x2) 7(1) = 9x2 7.
Logo,
y x xx xx x
x xx x
x, ,
, , , ,
ln= ( )( ) = ( )
=
( ) ( )
=
( )3 7
3 7
3 7
3 7
3 7
33
3
3
3
3
3 ( )
=
( ) ( )
=
7
3 7
3 3 7 1
3 79 73 73
2
3
2
3
xx x
xx x
xx x
,
-
3737373737Captulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma Varivel
Observe que a funo 1n(3x3 7x), lida como o logaritmoneperiano de 3x3 7x, no a multiplicao de alguma coisapor 3x3 7x!
Exemplo 2.6. Derive y = 1n (cos x).
Precisamos derivar uma funo composta dada por u = u (x) = cos x e f (u) = 1n u, lidacomo o logaritmo neperiano do cosseno de x.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que ln,
,
u uu
( ) = .Ou seja,
y xx, ,
,
ln coscoscos
= ( )( ) = ( )x
Segundo a tabela, a derivada do cosseno de x, em relao varivel x,
cos (cos ),x d xdx
senx( ) = = .
Logo,
y xxx
senxx
, ,,
ln coscoscos cos
= ( )( ) = ( ) =
A derivada j foi acabada. Como, da trigonometria, temos que o quociente entre oseno e o cosseno a tangente, escrevemos:
y x senxx
tgx,,
ln coscos
= ( )( ) = =
-
3838383838 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Exemplo 2.7. Derive y = 1n (x + 1n x).
Vamos derivar uma funo composta dada por u = u(x) = x + 1n x e f (u) = 1n u.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que ln,
,
u uu
( ) = .Ou seja,
y x xx xx x
, ,,
ln lnlnln
= +( )( ) = +( )+
A derivada da soma de duas funes a soma das derivadas dessas funes, a deriva-da de f (x) = x
x dxdx
( ) = =, 1
e a derivada de f (x) = 1n x
lnln,x
d xdx x
( ) = ( ) = 1 .
Logo, a derivada da soma x + 1n x, em relao varivel x,
x x x xx
+( ) = ( ) + ( ) = +ln ln, , , 1 1 .
Logo,
y x xx xx x
xx x
, ,,
ln lnlnln ln
= +( )( ) = +( )+
=
+
+
1 1
A derivada j foi terminada. Para escrevermos a resposta final, podemos fazer a con-ta do numerador da frao:
y x x xx x
xx
x xxx x x
xx x x
, ,ln lnln ln
.ln ln
= +( )( ) =+
+=
+
+=
+
+=
+
+(1 1 1 1 1 1
))
-
3939393939Captulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma Varivel
Exemplo 2.8. Derive f (x) = sen (3x 2)
Temos de derivar uma funo composta dada por u = u(x) = 3x 2 e f (u) = senu.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (senu) = u cos u.
Ou seja,
f (x) = (sen (3x 2)) = (3x 2) cos (3x 2)
Agora, para derivarmos 3x 2 em relao varivel x, usamos as propriedades D1 e D2vistas no captulo 1:
D1. f x g x f x g x d f x g x
dxdf xdx
dg xdx
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ,( ) = ( ) = ou ;
D2. k.f x k.f x oud k.f x
dxk df x
dx( ) ( )
( ). ( ), ,( ) = ( ) = .
Ou seja,
(3x 2) = (3x) (2) = 3(x) (2)
A derivada de x em relao a x 1 e a derivada da constante 2 zero. Logo,
(3x 2) = 3(x) (2) = 3.1 0 = 3
Finalizando a derivada:
f (x) = (3x 2) cos (3x 2) = 3 cos (3x 2)
Observe que a funo trigonomtrica sen (3x 2), lida comoo seno de 3x 2, no a multiplicao de alguma coisapor 3x 2!
-
4040404040 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Exemplo 2.9. Derive f (x) = senx2.
Temos de derivar uma funo composta dada por u = u(x) = x2 e f (u) = senu.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (senu) = u cos u .
Ou seja,
f (x) = (senx2) = (x2) cos x2
Ainda precisamos derivar x2 em relao varivel x. Como
x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1 ,ento (x2) = 2x 2 1 = 2x.
Logo,
f (x) = (senx2) = (x2) cos x2 = 2x cos x2
Exemplo 2.10. Derive f (x) = sen2x.
Podemos escrever a funo f (x) = sen2x como f (x) = (senx)2. Assim, fica claro que temosa funo seno de x elevada ao quadrado, lida tambm como seno ao quadrado de x, eno o seno do argumento x elevado ao quadrado.
Temos de derivar uma funo composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = u2.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (un) = n.u.u n 1.
Sendo, no caso, n = 2 e u = senx, a derivada da funo f (x) = sen2x = (senx)2 :
f (x) = ((senx)2) = 2(senx)(senx)2 1 = 2(senx)(senx)1 = 2(senx) senx
A derivada do seno de x, em relao varivel x,
senx d senxdx
x( ) = =, ( ) cos .
-
4141414141Captulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma Varivel
Logo,
f (x) = ((senx)2) = 2(senx) senx = 2 cos x senx
Exemplo 2.11. Derive f (x) = sen (senx).
Temos de derivar uma funo composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = senu, lidacomo o seno do seno de x. No se trata da multiplicao do seno de x pelo seno de x.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (senu) = u cos u.
Ou seja,
f (x) = (sen (senx)) = (senx)cos (senx)
Para terminarmos, precisamos fazer a derivada do seno de x, em relao varivelx, que
senx d senxdx
x( ) = =, ( ) cos .
Logo,
f (x) = (sen (senx)) = cosx cos(senx)
Exemplo 2.12. Derive f (x) = e x5 7
Temos de derivar uma funo composta dada por u = u(x) = x5 7 e f (u) = eu.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (eu) = ueu.
Logo,
f (x) =(e x5 7) = (x5 7)e x5 7x
Agora, para derivarmos x5 7 em relao varivel x, usamos a propriedade D1 vistano captulo 1 (a derivada da soma a soma das derivadas):
(x5 7) = (x5) (7)
-
4242424242 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
A derivada de x5 em relao varivel x 5x5 1 = 5x4, pois
x dxdx
n.xnn
n( ) = = , 1
e, no caso, n = 5. A derivada da constante 7 zero. Logo,
(x5 7) = (x5) (7) = 5x4 0 = 5x4
Finalizando:
f (x) =(e x5 7) = (x5 7)e x5 7x = 5x4 e x5 7x
Exemplo 2.13. Derive f (x) = e e x
Temos de derivar uma funo composta dada por u = u(x) = e x e f (u) = e u, ou seja, aexponencial da exponencial.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (eu) = ueu.
Logo,
f (x) = (e e x) = (e x )e e x
A derivada de e x em relao varivel x e x.
Logo,
f (x) = (e e x) = (e x )e e x = e x e e x
J terminamos a derivada. Para a resposta final, lembramos que o produto de potnci-as de mesma base a base elevada soma dos expoentes, ou seja,
ma.mb = ma+b e x e e x = e x+e x.
Sendo assim,
f (x) = (e e x) = e x e e x = e x+e x
-
4343434343Captulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma Varivel
Exemplo 2.14. Derive y = sec(x2 + 4x)
Vamos derivar uma funo composta dada por u = u(x) = x2 + 4x e f (u) = secu.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (secu) = usec utgu.
Logo,
y = (sec(x2 + 4x)) = (x2 + 4x) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x).
Agora, para derivarmos x2 + 4x em relao varivel x, usamos as propriedades D1 e D2vistas no captulo 1:
(x2 + 4x) = (x2) + (4x) = (x2) + 4(x)
A derivada de x2 em relao varivel x 2x e a derivada de x em relao varivel x 1.
Logo,
(x2 + 4x) = (x2) + (4x) = (x2) + 4(x) = 2x + 4.1 = 2x + 4
A derivada fica assim:
y = (sec(x2 + 4x)) = (x2 + 4x) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) = (2x + 4) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x)
J terminamos a derivada, mas, ainda, podemos colocar a constante 2 em evidncia:
y = (sec(x2 + 4x)) = (2x + 4) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) = 2(x + 2) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x)
Exemplo 2.15. Derive y = 5senx
Vamos derivar uma funo composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = au, com a = 5.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (au) = uau. 1n a
Logo,
y = (5senx) = (senx) 5senx 1n 5
A derivada de senx em relao varivel x cosx.
-
4444444444 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Logo,
y = (5senx) = (senx) 5senx 1n 5 = (cosx)5senx 1n 5
Exemplo 2.16. Derive y = 7e x
Vamos derivar uma funo composta dada por u = u(x) = ex e f (u) = au, com a = 7.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (au) = uau. 1n a.
Logo,
y = ( 7e x) = (ex)7e x 1n 7
A derivada de ex em relao varivel x ex.
Logo,
y = ( 7e x) = (ex)7e x 1n 7 = ex 7e x 1n 7
Exemplo 2.17. Derive h(x) = x5 esenx
Inicialmente, vamos aplicar a regra da derivada do produto de duas funes (a funox5 multiplicada pela funo esenx), ou seja, a regra D3 vista no captulo 1:
D3. (f (x). g(x)) = f (x). g(x) + f (x). g(x) ou d f x g xdx
df xdx
g x f x dg xdx
( ). ( ) ( ) . ( ) ( ). ( )( )
= + .
No caso, temos que:
h(x) = (x5 esenx) = (x5) esenx + x5 (esenx)
Agora, vamos prosseguir com as derivadas, em relao varivel x, das funesx5 e esenx.
A funo x5 uma funo simples de x, cuja derivada (x5) = 5x51 = 5x4.
J a funo esenx uma funo composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = eu.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (eu) = ueu.
-
4545454545Captulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma Varivel
Logo,
(esenx) = (senx)esenx = cos x esenx
Finalizando a derivada:
h(x) = (x5 esenx) = (x5) esenx + x5 (esenx) = 5x4 esenx + x5 cos x esenx
A derivada j foi terminada, mas ainda possvel simplificarmos a resposta colocandox4 vezes e elevado ao seno de x em evidncia:
h(x) = 5x4 esenx + x5 cos x esenx = x4 esenx (5 + x cos x)
Exemplo 2.18. Derive y = tgx5.1n (3x2 + 8)
Vamos comear este exemplo aplicando a regra da derivada do produto de duas fun-es (a funo tangente de x5 multiplicada pela funo logaritmo neperiano de 3x2 + 8),ou seja, a regra D3 vista no captulo 1:
D3. (f (x). g(x)) = f (x). g(x) + f (x). g(x) ou d f x g xdx
df xdx
g x f x dg xdx
( ). ( ) ( ) . ( ) ( ). ( )( )
= + .
No caso, temos que:
y = (tgx5.1n (3x2 + 8)) = (tgx5).1n (3x2 + 8) + tgx5.(1n (3x2 + 8))
Agora, vamos prosseguir com as derivadas, em relao varivel x, das funes tgx5e 1n (3x2 + 8).
A funo tgx5 uma funo composta dada por u = u(x) = x5 e f (u) = tgu.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (tgu) = usec2 u.
Logo,
(tgx5) = (x5)sec2 x5 = 5x4 sec2 x5
A funo (3x2 + 8) uma funo composta dada por u = u(x) = 3x2 + 8 e f (u) = 1n u.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que ln,
,
u uu
( ) = .
-
4646464646 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Logo,
ln,
, , , ,
3 83 8
3 8
3 8
3 8
3 0
32
2
2
2
2
2
2xxx
xx
xx
+( )( ) = +( )+
=
( ) + ( )+
=
( ) + ( )+88
3 23 8
63 82 2
=
+=
+
. xx
xx
Finalizando a derivada:
y tgx x tgx x x x x,, ,.ln . ln sec ln= ( ) +( ) + +( )( ) = ( ) +(5 2 5 2 4 2 5 23 8 3 8 5 3 8)) +
+tgx x
x5
2
63 8
Exemplo 2.19. Derive yesenx
x x
=
7 8
4 .
Iniciamos a resoluo deste exemplo aplicando a regra da derivada do quociente deduas funes (a funo base e elevada ao expoente x7 8x dividida pela funoseno de x4), ou seja, a regra D4 vista no captulo 1:
D4. f xg x
f x g x f x g xg x
d f x g x( )
( )( ). ( ) ( ). ( )
( )
( ). ( ), , ,
=
( )2 ou(( )
=
( )dxdf xdx
g x f x dg xdx
g x
( ) . ( ) ( ). ( )
( ) 2
No caso, temos que:
y esenx
e senx e senx
senx
x x x x x x
,
,, ,
=
=
( ) ( ) 7 7 784
8 4 8 4
4(( )2
Para concluirmos a derivada, precisamos derivar, em relao varivel x, as funesex78x e senx4.
A funo ex78x uma funo composta dada por u = u(x) = x7 8x e f (u) = eu.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (eu) = ueu.
-
4747474747Captulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma Varivel
Logo,
(ex7 8x) = (x7 8x)ex7 8x = ((x7) (8x))ex7 8x = (7x6 8)ex7 8x
A funo senx4 uma funo composta dada por u = u(x) = x4 e f (u) = senu.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (senu) = ucos u.
Logo,
(senx4) = (x4) cos x4 = 4x 3 cos x4
Finalizando a derivada:
y esenx
e senx e senx
senx
x x x x x x
,
,, ,
=
=
( ) ( ) 7 7 784
8 4 8 4
4(( ) =( )( ) ( )
2
6 8 4 8 3 4
2 4
7 8 47 7
x e senx e x x
sen x
x x x x cos
A derivada j foi terminada, mas ainda possvel simplificarmos a resposta colocandoe elevado a x7 8x em evidncia:
y esenx
x e senx e x xx x x x x x,
, cos=
=
( )( ) 7 7 784
6 8 4 8 37 8 4 44
2 4
8 6 4 3 4
2 4
7
7 8 4( )=
( ) ( ) sen x
e x senx x x
sen x
x x cos
Observe que podemos escrever a funo seno ao quadrado dex elevado a 4 como (senx4)2 ou como sen2x4.
Exemplo 2.20. Derive y x x arctg x x= + + ( )5 3 44 2 3 .Comeamos este exemplo usando a regra da derivada da soma de duas funes (afuno 5 vezes a raiz quadrada de 3x4 + x2 mais a funo arcotangente de x3 4x),ou seja, a regra D1 vista no captulo 1:
D1. f x g x f x g x d f x g x
dxdf xdx
dg xdx
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ,( ) = ( ) = ou .
-
4848484848 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
No caso, temos que:
y x x arctg x x x x arctg x x,, , ,
= + + ( )( ) = +( ) + ( )( )5 3 4 5 3 44 2 3 4 2 3Aplicando a regra da derivada de uma constante multiplicada por uma funo para aparcela que contm a raiz quadrada de 3x4 + x2, ou seja, a regra D2 vista no captulo 1:
D2. k.f x k.f x oud k.f x
dxk df x
dx( ) ( )
( ). ( ), ,( ) = ( ) = .
No caso, temos que:
y x x arctg x x x x arctg x x,, , , ,
= +( ) + ( )( ) = +( ) + ( )( )5 3 4 5 3 44 2 3 4 2 3A funo 3 4 2x x+ uma funo composta dada por u = u(x) = 3 x4 + x2 e f (u) = u .
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que uuu
( ) =, ,2
.
Logo,
33
2 3
3
2 3
3 4 24 2
4 2
4 2
4 2
4 2
3
x xx x
x x
x x
x x
x x+( ) = +( )
+=
( ) +( )+
=
( )+( ), , , ,22 3
12 2
2 3
2 6 1
2 3
6 1
34 2
3
4 2
2
4 2
2
4 2x xx xx x
x x
x x
x x
x x+=
+
+=
+( )+
=
+( )+
A funo arctg(x3 4x) uma funo composta dada por u = u(x) = x3 4x e f (u) = arctgu.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que arctguuu
( ) =+
,,
1 2 .
Logo,
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )232
23
,,3
23
,,3
23
,3,3
4143
414
414
4144
xxx
xxxx
xxxx
xxxxxxarctg
+
=
+
=
+
=
+
=
-
4949494949Captulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma Varivel
Finalizando a derivada:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )232
24
2
23
2
24
2,3
,24,
4143
3165
4143
3165435
xxx
xxxx
xxx
xxxxxxarctgxxy
+
++
+=
+
+
+
+=++=
Exemplo 2.21. Derive .xx eey +=
Temos de derivar, inicialmente, a funo dada pela soma de duas funes de x: afuno xe , lida como raiz quadrada de xe , e a funo xe , lida como e elevado raizquadrada de x.
Vamos, ento, aplicar a propriedade D1, ( ) )()()()( ,,, xgxfxgxf = . No caso,
( ) ( ) ( ),,,, xxxx eeeey +=+=Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funes compostasde x: xe e xe .
A derivada de xe , em relao varivel x, :
( ) ( )x
xx
eee
2
,,
= , pois ( )u
uu2
,,= , sendo, no caso, u = ex.
Da tabela de derivadas de funes simples, temos que a derivada de ex ex.
Ou seja,
( ) ( )x
x
x
xx
ee
eee
22
,,
==
A derivada de xe , em relao varivel x, :
( ) ( ) xx exe ,, = ,pois (eu) = ueu, sendo, no caso, xu = .
-
5050505050 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Da tabela de derivadas de funes simples, temos que a derivada de x x2
1 .
Ou seja,
( ) ( )x
eex
exex
xxx
221,,
===
Finalizando a derivada da funo xx eey += :
( ) ( ) ( )x
ee
eeeeeyx
x
xxxxx
22
,,,, +=+=+=
A derivada j foi terminada. Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar aconstante em evidncia:
( )
+=+=+=x
ee
ex
ee
eeeyx
x
xx
x
xxx
21
22
,,
Exemplo 2.22. Derive .57
3 3
++= xesenxy
Temos de derivar uma funo composta dada por 3
5)( 3 xesenxxuu ++== ef (u) = u7.
Da tabela de derivadas de funes compostas, temos que (un) = n.u.u n1.
Sendo, no caso, n = 7 e 3
5)( 3 xesenxxuu ++== , a derivada da funo
73 35
++= xesenxy :
173
,3
,73, 333 5.575
++
++=
++= xxx esenxesenxesenxy
63
,3
,73, 333 5.575
++
++=
++= xxx esenxesenxesenxy
-
5151515151Captulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma Varivel
Para prosseguirmos, temos de derivar, em relao varivel x, a funo
++3
53 xesenx .
Vamos aplicar, inicialmente, a propriedade D1, ( ) )()()()( ,,, xgxfxgxf = , vistoque a funo a ser derivada formada pela soma de duas funes de x, as funessenx3 e 35 xe+ .
Vejamos:
( ) ,,3,3 33 55
++=
++ xx esenxesenx
Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funes compostas dex, as funes senx3 e 35 xe+ .
A derivada de senx3, em relao varivel x, :
(senx3) = (x3) cos x3 = 3x2 cos x3,
pois (senu) = (u)cos u, sendo, no caso, u = x3.
A derivada de 35 xe+ , em relao varivel x, :
( )3
33
52
55,,
x
xx
e
ee+
+=
+ ,
pois ( )u
uu2
,,= , sendo, no caso, u = 5 + ex
3.
Ainda temos de derivar 5 + ex3 em relao varivel x. Vamos aplicar, novamente, apropriedade D1, ( ) )()()()( ,,, xgxfxgxf = :A derivada da constante 5, em relao varivel x, zero, ou seja, (5) = 0
A derivada da funo ex3, em relao varivel x, (ex3) = (x3)ex3 = 3x2ex3, pois (eu) = (u)eu.
-
5252525252 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Concluindo a derivada de 35 xe+ :
( ) ( ) ( )3
3
3
3
3
3
3
33
52
3
52
30
52
5
52
5522,,,,
x
x
x
x
x
x
x
xx
e
ex
e
ex
e
e
e
ee+
=
+
+=
+
+=
+
+=
+
Finalizando derivada da funo 7
3 35
++= xesenxy :
63
,3
,73, 333 5.575
++
++=
++= xxx esenxesenxesenxy
( ) 63,,3,73, 333 5.575
++
++=
++= xxx esenxesenxesenxy
63
232
,73, 3
3
33
5.52
3cos375
++
++=
++= xx
xx esenx
e
exxxesenxy
A derivada j foi terminada. Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar 3x2 emevidncia:
6332
,73, 3
3
33
552
cos3.75
++
++=
++= xx
xx esenx
e
exxesenxy
6332
,73, 3
3
33
552
cos215
++
++=
++= xx
xx esenx
e
exxesenxy
Exemplo 2.23. Derive y = cossec(x5 7x) + cot g(ex)
Temos de derivar, inicialmente, a funo dada pela soma de duas funes de x: asfunes trigonomtricas cossec(x5 7x) e cot g(ex).
Vamos, ento, aplicar a propriedade D1, relativa derivada da soma de duas funes:f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,( ) = . Ou seja,
-
5353535353Captulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma VarivelCaptulo 2 - Derivadas de Funes Compostas de uma Varivel
y = (cossec(x5 7x) + cot g(ex)) = (cossec(x5 7x)) + (cot g(ex))
Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funes compostas dex, (x5 7x) e cot g(ex).
A derivada de cossec (x5 7x), em relao varivel x, :
(cossec(x5 7x)) = (x5 7x) cossec(x5 7x) cot g(x5 7x), pois
(cossec u) = u cossec u.cot gu.
Visto que
(x5 7x) = (x5) (7x) = (x5) 7(x) = 5x4 7.1 = 5x4 7,
a derivada original fica:
(cossec(x5 7x)) = (x5 7x) cossec(x5 7x) cot g(x5 7x)
(cossec(x5 7x)) = (5x4 7) cossec(x5 7x) cot g(x5 7x)
Podemos escrever (5x4 7) como + ( 5x4 + 7) = (7 5x4). Sendo assim:
(cossec(x5 7x)) = (7 5x4) cossec(x5 7x) cot g(x5 7x)
A derivada de cot g(ex), em relao varivel x, :
(cot g(ex)) = (ex) cossec2(ex), pois
(cot gu) = (u) cossec2(u).
Visto que (ex) = ex, a derivada da cotangente do exemplo 2.23 fica:
(cot g(ex)) = (ex) cossec2(ex) = ex cossec2(ex)
Finalizando derivada da funo y = cossec(x5 7x) + cot g(ex):
y = (cossec(x5 7x) + cot g(ex)) = (cossec(x5 7x)) + (cot g(ex))
y = (7 5x4) cossec(x5 7x) cot g(x5 7x) + ( ex cossec2(ex))
y = (7 5x4) cossec(x5 7x) cot g(x5 7x) ex cossec2(ex)
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5454545454 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exerccios Resolvidos
Exemplo 2.24. Derive y = arccos(senx).
A primeira ob