Comment déterminer une distance Terre-Lune ?

- Thématiques : Evolution des sciences et des techniqueso Mesurer le temps et les distanceso Observer le ciel

- Module de formation : D e la géométrie dans l’espace à la géométrie plane.

Préambule :

Un peu d’Histoire…

Thalès Pythagore Anaxagore Aristarque Eratosthène Hipparque de Nicée-625 -547 -580 -497 -500 -428 -310 -230 -276 -194 -190 -120

Fondateur del’astronomiemathématique

Première cosmologie rationnelle.Premier observatoire céleste.

Système héliocentrique.La Terre tourne sur elle-même et autour du Soleil.

La lune est un caillou éclairé par le soleil.L’éclipse est le passage de l’ombre de la Terre sur la surface de la lune.

Harmonie des sphères.La Terre est une sphère placée au centre de l’univers.

La Terre est une galette qui flotte sur l’océan.

Des défis mathématiques relevés dans l’Antiquité :

Thalès : Comment déterminer des grandeurs inaccessibles ?

Aristarque : Comment déterminer la taille de la lune ?

Eratosthène : Comment déterminer la taille de la Terre ?

Hipparque : Comment déterminer la distance Terre-lune ?

La distance Terre-lune au XVIIIe siècle

En 1751, LALANDE et LACAILLE choisirent deux lieux d’observation éloignés, Berlin et le cap de Bonne Espérance,situés sur le même méridien approximativement. Ils observèrent la lune simultanément et déterminèrent lesdirections de visée ainsi que les angles correspondant par rapport à la verticale.

Séance 1 (effectif complet)objectifs capacités connaissances attitudes

Développer la vision dansl’espace

Reconnaître, nommer dessolides usuels inscrits dansd’autres solides.

Solides usuels :cube, parallélépipède rectangle,pyramide, cylindre droit…

Sens de l’observationOuverture à la communication,au dialogue

• Le professeur présente des volumes en papier (ou autre) à la classe.Ils sont nommés, identifiés. Un tableau comprenant nombre de faces, arêtes… est à compléter en commun.

• Le professeur avec 2 bâtons par exemple, pose le problème de ce que l’on voit, de la représentation des volumes à partir de leurspositions relatives dans l’espace.

• Activité des élèves : représenter un dé de 3 cm d’arêtes sur votre feuille, et le fabriquer.• Trace écrite : une fiche, reprenant les caractéristiques des principaux solides et les positions relatives de 2 plans dans l’espace et de

2 droites, est distribuée.• Exercice sur un volume : identifier des plans, droites…

Séance 2 (effectif réduit)objectifs capacités connaissances attitudes

Extraire des figures planesconnues de ces solides etréactiver les propriétés degéométrie plane.

Représenter avec TIC un solideusuel.

Figure plane usuelle : le carré Rigueur et précision

• Le professeur présente certaines fonctionnalités d’atelier 3D : la définition d’un plan,l’activation d’un plan, les constructions dans un plan, les mesures et les vues.Les élèves doivent réaliser, à partir du cube de base, un dé.

Illustration ci-contre : la face 1 est réalisée à partir des diagonales du carré

• Problème posé en fin de séance : quelle est la hauteur d’une pyramide régulière debase carrée 230 m dont les côtés des triangles valent 230m (Khéops)

Séance 3 (effectif complet)objectifs capacités connaissances attitudes

Développer la vision dansl’espace et extraire des figuresplanes connues de ces solides etréactiver les propriétés degéométrie plane.

Isoler, reconnaître et construireune figure plane extraite d’unsolide à partir d’unereprésentation en perspectivecavalière.

Solide usuel : la pyramideFigures planes usuelles :le carré, le rectangle

L’imagination raisonnée,la créativitéLe gout de chercher et deraisonner

• Le professeur organise le travail de la classe :– Après un temps de concertation, chaque groupe indique sous forme rédigée la piste qu’il va suivre. Quelques unes sont

exposées.– Le travail des groupes commence, une fiche de démarche se remplit en parallèle (actions engagées, difficultés techniques,

résultats de l’action…)– Mise en commun des démarches les plus intéressantes (aboutissant au résultat ou non)

Séance 4 (effectif réduit)objectifs capacités connaissances attitudes

Appliquer quelques théorèmeset propriétés vus au collège

Utiliser théorèmes et formulespour calculer une longueur

Le théorème de PythagoreLe théorème de Thalès

Le gout de chercher et deraisonner

• Le professeur expose le problème de Thalès et la pyramide :La légende raconte que Thalès de Milet (environ 626-547 av J.-C.) avait étéinvité par le roi Amasis, averti de ses grandes connaissances. Il se montra à lahauteur de sa réputation : le roi déclarait ne pas connaître la hauteur desfantastiques pyramides déjà presque bimillénaires. Thalès eut de la chance :à midi il planta sa canne dans le sable verticalement et dit au roi : "l'ombre dema canne est exactement égale à sa hauteur. Il doit en être de même pourvotre pyramide. Faites mesurer son ombre vous aurez sa hauteur !".Thalès détermina-t-il effectivement cette mesure ? Nous n'en avons aucunecertitude. Mais quatre siècles après Thalès, la légende rapporte déjà cesparoles de Thalès : "Le rapport que j'entretiens avec mon ombre est lemême que celui de la pyramide avec la sienne".

• Les élèves utilisent atelier 3D ou geospace en dynamique à partir d’unesituation préparée par le professeur.• Fiche sur les relations métriques dans l’espace : Thalès, Pythagore• Exercices d’application de cette fiche.

Séance 5 (effectif complet)objectifs Capacités connaissances attitudes

Suivre une démarchescientifique

Les mêmes Les mêmes Les mêmes

Problème : comment connaître le diamètre de la Terre, de la lune?Le professeur met les élèves dans la situation des scientifiques grecs et raconte comment ils ont pu approcher la distance Terre-Lune.

Séance 6 (effectif réduit)objectifs capacités connaissances attitudes

Réinvestissement et transfertdes compétences• Le travail se fait à partir de 2 situations :

– la mesure grâce à la parallaxe.– la mesure de la distance Terre - Lune en 1751 par Lalande et Lacaille.

• Les élèves sont en groupe et répondent à un questionnaire :– parallaxe : les élèves manipulent une maquette.– Lalande et Lacaille : choix des villes GOOGLE EARTH, approximation à faire…

• Démarche que l’élève doit entreprendre :– 3 points non alignés de l’espace (Berlin, Le Cap, et un point de la Lune) définissent un plan.– Conditions pour que le centre de la Terre appartienne à ce plan.– Grace aux données de Lalande et Lacaille (repérage des villes et angle de visée), on peut simuler l’expérience sur un

logiciel de géométrie dynamique 2D, ici Geogebra, et déterminer la distance Terre-Lune.