combinadoalunos - cartografica.ufpr.br · o o modelo matemático f(x a, l a) = 0 . 10/09/2016 15 43...

10/09/2016

1

1

Prof. Alvaro Muriel Lima Machado

AJUSTAMENTO II – GA110

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁSETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA

DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA

2

Ajustamento de Observações

Quando as medidas não são feitas diretamente sobre as grandezas procuradas, mas sim sobre outras relacionadas matematicamente...

Método paramétrico � La = F(Xa)Os valores observados ajustados podem ser expressosexplicitamente como uma função dos parâmetros ajustados.

Método dos correlatos � F(La) = 0Os valores observados ajustados devem satisfazer determinadascondições (erro de fechamento = zero).

Método combinado � F(Xa, La) = 0Os valores observados ajustados e os parâmetros ajustados sãoligados por função não explícita (não se consegue separá-los).

3

Ajustamento: Método Combinado

F(Xa, La) = 0 � Modelo mais genérico que os dois anteriores

VLL ba +=

Fazendo-se a linearização do modelo, tem-se:

XXXa += 0

0XaX

FA

∂∂=

bLaL

FB

∂∂= ),( 0 bLXFW =

Resultando:

onde

0),(),( 0 =++= VLXXFLXF baa

)()(),(),( 00

0

ba

Laa

Xabaa LL

L

FXX

X

FLXFLXF

b

−∂∂+−

∂∂+≈

0),( =++≈ WBVAXLXF aa

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4


n � valores observados

u � parâmetros

r � equações

1111 0rrnnruur WVBXA =++

Graus de liberdade = r - u

Equações

ParâmetrosObservações

sendo necessário que n > r - u

Observações > Graus de liberdade

Erros de fechamento

ou r < n+u

5


Equações Normais

mínimoWBVAXKPVV TT =++−= )(2φ

KBPVV

T22 −=∂∂φ

0=− KBPV T

)(2 WBVAXK

++−=∂∂φ

0=++ WBVAX

KAX

T2−=∂∂φ

0=KAT

�

�

�

6


=

+

−

0

0

0

0

0

00

0

0

W

X

K

V

A

AB

BP

T

Tn

r

u

Dimensões

n r u 1 1 1

Equações Normais

Observações:1) Método dos correlatos � A = 0 (Não existem parâmetros)2) Método paramétrico

W = F(X0,Lb)=L0-Lb = LCada equação � uma observação � B = -I� AX+L = V

observaçõesequações

parâmetros

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7


Resolução das Equações Normais

=

+

−

0

0

0

0

0

00

0

0

W

X

K

V

A

AB

BP

T

T

−−=

−

0

0

00

0

01

W

A

AB

BP

X

K

V

T

T

Tempo consumido na inversão de uma matriz é proporcional ao cubo de sua dimensão.

Matriz com dimensões elevadas

8


3) Resolução das Equações Normais

TBBPM 1−=WMAAMAX TT 111 )( −−−−=

)(1 WAXMK +−= −

XXXa += 0

KBPV T1−=

VLL ba +=

(Vetor dos Lagrangianos)

1) Matrizes/vetores conhecidos � Lb, Xo, P

Sequência de Resolução de Ajustamento: Método Combinado

2) Cálculos preliminares de matrizes � W, A, B

Após diversas iterações...

9


Variância da Observação de Peso Unitário (a posteriori)

ur

PVV

S

PVV TT

−==2

0σ̂

Matriz Variância-Covariância dos Parâmetros112

0 )(ˆ −−=∑=∑ AMATXX a

σ

Matriz Variância-Covariância dos Valores Observados Ajustados

])([ˆ 111111111120

−−−−−−−−−− −+=∑ BPMBPBPMAAMAAMBPP TTTTLa

σ

Matriz Variância-Covariância dos Resíduos

aLV P ∑−=∑ −120σ̂

Matriz Variância-Covariância do Erro de Fechamento

MW20σ̂=∑

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10


Pontos x y

1 140,0 0,5 60,0 0,5

2 165,0 1,0 100,0 1,0

3 165,0 0,5 150,0 0,5

4 140,0 1,0 180,0 1,0

2xσ 2

yσDadas as coordenadas observadasde quatro pontos, estimar ascoordenadas do centro e o raio dacircunferência que melhor seajusta aos mesmos.

a) Modelo matemáticoSejam

� coordenadas do centro ajustadas

� raio ajustado

� valores observados ajustados

aa yx ,

)()( , ai

ai yx

ar

11


b) Modelo linearizadoAX + BV + W = 0

c) Vetor Solução Inicial

=

0

00

r

y

x

Xo

=70

120

100

d) Vetor dos valores observados

=

4

4

3

3

2

2

1

1

y

x

y

x

y

x

y

x

Lb

12


e) Matriz dos Pesos P ( ) 1−∑=

bLP

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13


f) Vetor Erro de Fechamento ),( 0XLFW b=2

02

02

0 )()( ryyxxw iii −−+−=

g) Matriz B

bLaL

FB

∂∂=

=B4 equações

8 observações

14


g) Matriz B

15


h) Matriz A

0XaX

FA

∂∂=

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16


i) Cálculo da Matriz M TBBPM 1−=

j) Cálculo do Vetor de Correções X

WMAAMAX TT 111 )( −−−−=

17


k) Cálculo do vetor de parâmetros corrigido XXXa += 0

18


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7

19


20


Para obter o vetor de resíduos tem-se que calcular o vetor dos lagrangianos:

)(1 WAXMK +−= −

KBPV T1−=

21


Vetor das observações ajustadas VLL ba +=

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22


Variância a posteriori 20ˆ 4 3

T TV PV V PVσν

= =−

2 1 10ˆ ( )

a

TX A M Aσ − −∑ =

MVC dos parâmetros

0

0

o

a

x

X y

r

=

23


Ponto x (cm) σ² (cm2) y (cm) σ² (cm2)

1 2,00 0,04 3,20 0,10

2 4,00 0,04 4,00 0,08

3 6,00 0,04 5,00 0,08

Uma reta deve ser ajustada a três pontos . As seguintes observações foram efetuadas.

Modelo matemático � 0=−− baxy

24



=

3

3

2

2

1

1

y

x

y

x

y

x

Lb

Xo: Toma-se, por exemplo, as duas primeiras equações...

=

b

aX0ba

ba

+=+=

00,400,4

00,220,3 QPX =QPX 1−=

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9

25



033

22

11

Xbaxy

baxy

baxy

W

−−−−−−

=

26



TBBPM 1−=

WMAAMAX TT 111 )( −−−−=

XXXa += 0

27


4) Iterações

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28


29



)(1 WAXMK +−= −

KBPV T1−=

30



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11

31


Estimativa da precisão


ur

PVV

S

PVV TT

−==2

0σ̂


])([ˆ 111111111120


σ

32




0 )(ˆ −−=∑=∑ AMATXX a

σ

33


De um triângulo isósceles mediu-se os dois lados e a altura. As observaçõesforam, l1 = 1000,00m; l2 = 1000,10m; l3 = 800,25m. As observações têmprecisão igual e não são correlacionadas. Determinar a estimativa MMQ paraa base x.

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34



Xo: [ ]xX =0 [ ]00,1200=

22 25,80000,10002 −=x

Toma-se, por exemplo, a primeira equação...

02

223

21 =

−− xll

35



0

223

22

223

21

2

2

X

xll

xll

W

−−

−−=

36



TBBPM 1−=

WMAAMAX TT 111 )( −−−−=

XXXa += 0

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13

37


4) Iterações

38


39



)(1 WAXMK +−= −

KBPV T1−=

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14

40



41


Na figura abaixo, as distâncias OA, AB, BC, e CO foram observadas,conforme tabela anexa, com MVC conhecida. Os ângulos mostrados na figurasão assumidos constantes. Estimar as coordenadas de C por MMQ.

Segmentos Medidas (m)

AO = l1 1000,20

AB = l2 500,55

BC = l3 707,75

CO = l4 1118,60

2

1005000

5010000

00200100

00100200

cmbL

=∑

42


=++=

−+=

24

2221

321

)45cos()45cos(

)45sin()45sin(

lYX

llY

lllX

CC

C

Coo

oo

=−+=−−

=+−−

0

0)45cos()45cos(

0)45sin()45sin(

24

2221

321

lYX

llY

lllX

CC

C

C

oo

oo

Modelo matemático

F(Xa, La) = 0 �

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15

43



=

C

C

Y

XX0

)45cos()(

)45sin()(

21

321

o

o

llY

lllX

C

C

+=

−+=

Toma-se, por exemplo, as duas primeiras equações...

44



45



TBBPM 1−=

WMAAMAX TT 111 )( −−−−=

XXXa += 0

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16

46


4) Iterações

47


48



)(1 WAXMK +−= −

KBPV T1−=

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49



50


Com referência ao triângulo abaixo,α1 = 40°00’00”,α2 = 95°00’00”,α3 = 45°00’30”, l1 = 1000,00m e l2 = 1550,00m. As observações nãosão correlacionadas, o desvio padrão de cada ângulo observado é 15”,e o desvio padrão de cada lado observado é 0,10m.Estimarx eh via ajustamento por MMQ. Calcule também a MVC.

51


Quantos graus de liberdade apresentam as nossas observações?

Quantos ângulos definem o formato de um triângulo?

Quantos lados são necessários para se definir a escala?

Segue-se que existem 2 graus de liberdade.

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Modelo matemático

F(Xa, La) = 0 �

53



=

h

xX0

54



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TBBPM 1−=

WMAAMAX TT 111 )( −−−−=

XXXa += 0

4) Iterações

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No FreeMat...

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60



)(1 WAXMK +−= −

KBPV T1−=

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21

61



62




ur

PVV

S

PVV TT

−==2

0σ̂


])([ˆ 111111111120


σ

63




0 )(ˆ −−=∑=∑ AMATXX a

σ

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22

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Dois sistemas de coordenadas retangulares, A e B, estão relacionadosatravés de translação e rotação. Para o caso bidimensional detransformação do sistema A para o B, aplicam-se as seguintesexpressões:

Cinco pontos foram medidos (sem correlação; precisão igual) em cadasistema de coordenadas:

AAB

AAB

yaxaay

yaxaax

234

321

++=−+=

Ponto xA yA xB yB

1 2,020 4,107 8,457 16,740

2 5,132 1,098 12,472 15,292

3 0,080 6,204 5,863 17,865

4 7,483 0,109 15,155 15,367

5 4,206 8,128 8,818 21,333

n = 20 (observações)u = 4 ( parâmetros)r = 10 (equações)

Graus de liberdade = r – u = 6

65


=−−−=+−−=−−−=+−−=−−−=+−−=−−−=+−−=−−−=+−−

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

555

555

444

444

333

333

222

222

111

111

234

321

234

321

234

321

234

321

234

321

AAB

AAB

AAB

AAB

AAB

AAB

AAB

AAB

AAB

AAB

yaxaay

yaxaax

yaxaay

yaxaax

yaxaay

yaxaax

yaxaay

yaxaax

yaxaay

yaxaax

Modelo matemático

F(Xa, La) = 0 �

66



[ ]TABBAAb xyxyxL L21111

=

=

=

2300,12

4042,0

8993,0

3006,8

4

3

2

1

0

a

a

a

a

X

=++=−+=++=−+

292,15132,5098,1

472,12098,1132,5

740,16020,2107,4

457,8107,4020,2

432

321

432

321

aaa

aaa

aaa

aaa

IP =

Resolvendo-se um sistema de equações, usando-se os dois primeiros pontos:

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67



−−

−

=

0932,0

0206,0

0140,0

1689,0

0234,0

0017,0

0000,0

0000,0

0000,0

0000,0

W

−−−−−

−−−−−

−−−−−

−−−−−

−−−−−

=

10

01

10

01

10

01

10

01

10

01

55

55

44

44

33

33

22

22

11

11

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

xy

yx

xy

yx

xy

yx

xy

yx

xy

yx

A

68



−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

=

10

01

10

01

10

01

10

01

10

01

23

32

23

32

23

32

23

32

23

32

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

B

0

0

69



TBBPM 1−=

WMAAMAX TT 111 )( −−−−=

XXXa += 0

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24

70


No FreeMat...

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25

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A equação do plano é usualmente dada porax + by + cz + d = 0.Sabe-se também que três pontos determinam um plano. Logo, três parâmetrossão suficientes para a equação acima.Segue-se que a equação pode ser reescrita comoax + by + cz + 1 = 0.

Dadas as coordenadas tridimensionais de quatro pontos pertencentes a umplano, determinar os parâmetrosa, b e c por MMQ. Use a aproximaçãoa = 1;b = 1, e c = -1.

Ponto X Y Z

1 1,1 -1,0 0,9

2 -2,0 2,0 1,0

3 2,0 -2,0 1,0

4 -1,1 1,0 0,9


74


=+++=+++=+++=+++

01

01

01

01

444

333

222

111

czbyax

czbyax

czbyax

czbyax

Modelo matemático

F(Xa, La) = 0 �

75



−

−

−

−

=

9,0

0,1

1,1

0,1

0,2

0,2

0,1

0,2

0,2

9,0

0,1

1,1

bL

−=

=1

1

1

0

c

b

a

X

IP =

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26

76



77



78




XXXa += 0

Primeira iteração �

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Lb = [1.1;-1.0;0.9;-2.0;2.0;1.0;2.0;-2.0;1.0;-1.1;1.0;0.9];

P = eye(12);

Xo = [1;1;-1];

No FreeMat...

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81


Ajustar a parábolay2 = ax a dois pontos dados (1;2) e (2;3).


=−=−

0

0

222

121

axy

axy

Modelo matemático

F(Xa, La) = 0 �

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=

3

2

2

1

bL

[ ] ]0,4[/ 1210 == xyX

IP =

Xo pode ser calculado a partir de qualquer uma das duas equações. Seja, por exemplo, a primeira equação:

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84




XXXa += 0

Primeira iteração � �

Segunda iteração � �

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Dada a poligonal enquadrada da figura abaixo, os pontos A e D são estaçõeshorizontais de controle com coordenadas X, Y conhecidas. Ospontos B e Esão marcos de azimute para as estações A e D, respectivamente. Ajustar ascoordenadas horizontais das estações B e C, dadas as observações seguintes.

Microsoft Equation 3.0

Ângulo σ Distância (m) σ (m)

2” d1=281,832 0,016

2” d2=271,300 0,016

2” d3=274,100 0,016

"34'531721o=α

"14'221852o=α

"19'262083o=α

Pontos X (m) Y (m)

A 8478,139 2483,826

D 9229,145 2828,963

Direções Azimutes

AB 68°15’20,7”

DE 94°57’13,5”

87



Graus de liberdade = r – u = 3

Observações mínimas � 211 ,, ddαCCBB yxyx ,,,Parâmetros �

Informações redundantes � DEDD Ayx ,,

πα −+= 1ABBC AA

Azimutes

πα −+= 2BCCD AA

πα −+= 3CDDE AA

παπα −+−+= 21 )( ABA

παπαπα −+−+−+= 321 ))(( ABA

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Modelo matemático

−+=−+=−+=

+=+=+=+=+=+=

παπαπα

3

2

1

)cos(*

)(*

)cos(*

)(*

)cos(*

)(*

CDDE

BCCD

ABBC

CDCD

CDCD

BCBC

BCBC

ABAB

ABAB

AA

AA

AAACDyy

AsenCDxx

ABCyy

AsenBCxx

AAByy

AsenABxx

=+−−=+−−=+−−

=−−=−−=−−=−−=−−=−−

0

0

00)cos(*

0)(*

0)cos(*

0)(*

0)cos(*

0)(*

3

2

1

παπαπα

CDDE

BCCD

ABBC

CDCD

CDCD

BCBC

BCBC

ABAB

ABAB

AA

AA

AAACDyy

AsenCDxx

ABCyy

AsenBCxx

AAByy

AsenABxx

�

89


Verificação das observações: Cálculo de DEDD Ayx ,,

90



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31

91



=

CD

BC

C

C

B

B

A

A

y

x

y

x

X0

92



93



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TBBPM 1−=WMAAMAX TT 111 )( −−−−= [ ]=

XXXa += 0 [ ]=

Primeira iteração � [ ] 1410* −=X

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