columnas esbeltas euler parte 1

PROYECTOS DE ACEROPANDEO

ING. WILLIAM LOPEZ

1

RECOPILACION HECHA POR:ING. JOSUE A. ECHENAGUCIA

PANDEOINTRODUCCIÓN En esta guía se va a estudiar el tema de la

pandeo. Un principio de Resistencia de Materiales es que un material debe tener:

a) Resistenciab) Rigidezc) Estabilidad Si tomamos un cilindro de concreto de 15 cm

de diámetro y 30 cm de altura (típica probeta de laboratorio), y lo ensayamos en una prensa, se demuestra fácilmente que tiene RESISTENCIA, pues resiste entre 40.000 y 80.000 kg de Carga Axial antes de fallar, dependiendo de la calidad del concreto; falla por aplastamiento.

2

ING. WILLIAM LOPEZ


PANDEOINTRODUCCIÓN Por otro lado, si hacemos un cilindro del mismo

diámetro pero con una altura de 3.00 metros, mucho antes de que pueda fallar por exceso de compresión se flexara lateralmente y fallara.

A este tipo de falla se le conoce como PANDEO y ocurre súbitamente. Falla por falta de ESTABILIDAD y no por falta de resistencia. Por ser excesiva su ESBELTEZ, carece de la RIGIDEZ necesaria. Una medida de la esbeltez es la relación longitud (Altura/diámetro) o llamada también dimensión lateral:

L/D= 30 cm/ 15 cm = 2 (Cilindro de ensayo) L/D = 300 cm/ 15 cm = 20 (Columna esbelta)

3

ING. WILLIAM LOPEZ


PANDEOINTRODUCCIÓN El fenómeno de PANDEO ocurre solamente

cuando hay COMPRESION. Por el contrario, cuando hay TRACCION la pieza falla por falta de resistencia, no por falta de estabilidad, o sea por pandeo. En el caso de las estructuras de acero la esbeltez “necesaria” para que resulten económicas hace que el pandeo sea sumamente critico. No solamente las columnas de acero, o sea los elementos a compresión, fallan por pandeo, también las vigas pueden fallar por pandeo de sus fibras sometidas a compresión al estar la sección sometida a flexión, como veremos mas adelante.

4

ING. WILLIAM LOPEZ


PANDEOCONCEPTOS El PANDEO puede ser definido así: Proceso

por el cual una Estructura (o parte de ella) cambia de un estado deflectado a otro sin que se produzca NINGUNA MODIFICACION de la carga aplicada. A continuación manejaremos el concepto de EQUILIBRIO, donde para tratar de aclarar, tomaremos ilustraciones representativas con los siguientes casos:

a) Equilibrio Estableb) Equilibrio Inestablec) Equilibrio Neutro

5ING. WILLIAM LOPEZ


PANDEOCONCEPTOSSuponemos en los tres casos una esfera la cual se encuentra inicialmente en equilibrio perfecto para luego dejarle libre sometida a una carga.a) Equilibrio Estable: ejemplo el caso de una viga que se flecta bajo una carga aplicada pero regresa a su posición al retirar la carga

6

ING. WILLIAM LOPEZ

OSCILA

SUPERFICIE CONCAVA


PANDEOCONCEPTOS

b) Equilibrio Inestable: ejemplo el caso de una columna articulada en la base y libre en su parte superior, si es empujada por una carga cualquiera se cae y no se recupera.

7

ING. WILLIAM LOPEZ

CAE

SUPERFICIE CONVEXA


PANDEOCONCEPTOS

c) Equilibrio Neutro: ese considera un equilibrio neutral o NEUTRO, una columna articulada arriba y abajo que es cargada axialmente; y se flexara ligeramente pero sin caer. (Mantiene el equilibrio pero toma una nueva posición).

8

ING. WILLIAM LOPEZ

SUPERFICIE PLANA


PANDEOCOLUMNAS Una COLUMNA puede ser definida como un

elemento sometido a COMPRESION que es tan esbelto que al recibir carga cada vez mayor fallara por PANDEO mucho antes de que falle por aplastamiento.

Las columnas pueden ser clasificadas en tres grupos según su comportamiento:

1) Columnas Largas: Fallan por pandeo o flecha lateral excesiva

2) Columnas Intermedias: Fallan por una combinación de aplastamiento y pandeo

3) Columnas Cortas: Fallan por aplastamiento (exceso de compresión)

9ING. WILLIAM LOPEZ


PANDEOCOLUMNAS

10

ING. WILLIAM LOPEZ

P

P

e ACCIDENTAL

EJE REAL DEBIDO A LA DEFORMACION INICIAL

EXCENTRICIDAD DE P EN ESTA SECCION

EJE NEUTRO

Figura 1. Excentricidad de la carga en las columnas


PANDEOCOLUMNAS Por definición la columna ideal es

aquella que reúne las siguientes características: es homogénea, su sección es constante, inicialmente recta (al empezar a aplicarle carga axial). En la realidad las columnas tienen pequeños defectos de fabricación y existen excentricidades “accidentales” que resultan de una combinación de FLEXION y CARGA AXIAL de magnitud indeterminada tal y como podemos observar en la figura siguiente.

11ING. WILLIAM LOPEZ


PANDEOCOLUMNAS

12

ING. WILLIAM LOPEZ

Figura 2. Flexo-Compresión

P

P2

e ACCIDENTAL

a

EJE NEUTRO

P1

c

M= P*e

fa= P/A

P

a

ff= P*e*(c)/I

ff + fa


PANDEOCOLUMNAS Si la “e” es muy pequeña y la columna es

corta, la deflexión lateral será mínima y el esfuerzo de flexión despreciable; en cambio, en un elemento largo y por lo tanto flexible, un valor no muy alto de P puede causar un esfuerzo grande de flexión acompañado por un pequeño esfuerzo de compresión axial; dicho de otra forma, una columna corta recibe principalmente compresión y una columna larga básicamente esfuerzos de flexión. A medida que la longitud de la columna aumenta disminuye la importancia del esfuerzo de compresión y aumenta la de los esfuerzos de flexión. 13ING. WILLIAM LOPEZ


PANDEOCOLUMNAS - CARGA CRITICA Tomando como ejemplo el caso de una viga

colocada verticalmente con los extremos articulados de manera que pueda flexarse en cualquier sentido, si le aplicamos una carga H, se flexara tal como podemos observar en la figura 3a. Si después le aplicamos gradualmente una fuerza P como en la figura 3b., no habrá ningún cambio de esfuerzo si al mismo tiempo que aumenta P vamos

disminuyendo H para que la deflexión o flecha

δ permanezca igual (el esfuerzo es directamente proporcional a la flecha o deformación).

14

ING. WILLIAM LOPEZ


PANDEOCOLUMNAS - CARGA CRITICA El Momento Flector en el centro del tramo L

será: M=(H/2)*(L/2) + P*δ. Cuando H = 0, Mcr= Pcr* δ, es decir que Pcr es la “carga critica” necesaria para mantener la columna en su posición deflectada sin ningún empuje lateral. Cualquier aumento de P por encima de dicho valor Pcr hará aumentar la flecha, lo que aumentara el momento, lo que a su vez incrementara δ, etc. Hasta que la columna falla por pandeo. La CARGA CRITICA es, pues, la máxima carga axial bajo la cual una columna permanece recta pero en una condición tan inestable que un pequeño empuje lateral la hará flexar como se ve en la figura 3-(c).

15

ING. WILLIAM LOPEZ


PANDEOCOLUMNAS

16

ING. WILLIAM LOPEZ

Figura 3. Viga y Columna con igual Flecha

P

HL

P

L/2

L/2

δ

H/2

H/2

(a)

P

HL

P

L/2

L/2

δ

H/2

H/2

(b)

Pcr

Pcr

δ

(c)


PANDEOCOLUMNAS – FORMULA DE EULER Leonhard Euler fue

un matemático suizo, quien en 1.757 analizo la carga critica para columnas largas, basándose en la columna bi-articulada deformada pero en EQUILIBRIO NEUTRO de la figura 4.

17

ING. WILLIAM LOPEZ

Figura 4: Columna de Euler

y

P

L

P

δ

P

y

P

x

y

M= P*y


PANDEOCOLUMNAS – FORMULA DE EULER Según el análisis de EULER, basado en la 2da

derivada de la elástica: E*Iy” = - M o E*I d2 x/d x2 = - M se llega a la expresión donde P (Carga critica o Carga de Euler) n ( numero de veces que se forma la

sinuosidad) P = n2*E*I*π2/L2

Esta formula es valida para columnas bi-articuladas, es decir libres de rotar arriba y abajo. Para otras condiciones de apoyo varia la carga critica. Todos lo casos están contemplados en la Norma COVENIN pagina C-60.

18

ING. WILLIAM LOPEZ


PANDEOCOLUMNAS – FORMULA DE EULER Resumiremos los casos con que estaremos

trabajando durante el desarrollo de esta guía:

19

ING. WILLIAM LOPEZ

P

L

P

δ

1er.Caso

P

L

P

δ

2do.Caso

P= E*I*∏2/L2

Cuando n= 1; siendo

su formula general

P= n2*E*I*∏2/L2

P= 4*E*I*∏2/L2

Donde K= 0,5; siendo

su formula general

P= E*I*∏2/(0,5L)2

O sea que Le= 0,5L

Mo

Mo


PANDEOCOLUMNAS – FORMULA DE EULER Resumiremos los casos con que estaremos

trabajando durante el desarrollo de esta guía:

20

ING. WILLIAM LOPEZ

P

L

P

δ

4to.Caso

3er.Caso

L

P

P

δ

P= E*I*∏2/4L2

Donde k= 2; siendo

su formula general

P= E*I*∏2/(2L)2

P= 2,05*E*I*∏/L2

Donde K= 0,7; siendo

su formula general

P= E*I*∏2/(0,7L)2

O sea que Le= 0,7L

Mo/L

Mo

M=P*δMo/L


PANDEOCOLUMNAS – FORMULA DE EULER Limitaciones de la Formula de Euler: Es muy importante tomar en cuenta que la

formula de Euler es valida solamente hasta el Limite de Proporcionalidad del acero. También es fundamental estar conscientes de que una columna pandea en la dirección en que es mas débil, por lo cual el valor de “I” que se debe tomar es el mas bajo. La formula demuestra que la CRAGA CRITICA no depende de la resistencia del acero sino de su modulo de elasticidad E y de las dimensiones de la columna. Para que sea valida la formula de Euler, el esfuerzo durante el pandeo no debe sobrepasar el Limite de Proporcionalidad del Acero.

21

ING. WILLIAM LOPEZ


PANDEOCOLUMNAS – FORMULA DE EULER La Relación L/r Limite: Se puede calcular fácilmente para cualquier

material del cual se conozca el limite de proporcionalidad y el E. Por ejemplo, para un acero con Limite de Proporcionalidad L.P = 1.400 Kg/cm2 y E= 2.1x106 kg/cm2.

(L/r)2 = 2.100.000*π2/ 1.400 = 14.804 L/r = 121,7 aproximadamente 120 Esto nos indica que la ecuación de Euler puede

ser usada para calcular Pcr de una columna bi-articulada solo si L/r ≥ 120 pues si L/r < 120 el esfuerzo critico puede presentarse antes de que pueda ocurrir el pandeo en cuyo caso la ecuación “NO” es aplicable.

22

ING. WILLIAM LOPEZ


PANDEOCOLUMNAS – FORMULA DE EULER

23

ING. WILLIAM LOPEZ

Curva de Euler: (P/A) = E*π2/(L/r)2

L.P

120 L/r

f =P/A

Figura 5:Esfuerzo Critico (Vale solo para la línea Solida)


PANDEO

BIBLIOGRAFIA: Norma Venezolana COVENIN 1618-82:

Estructuras de Acero para Edificaciones, Proyectos, fabricación y construcción.

“Specification for the Design, Fabrication and Erection of Structural Steel for Buildings” del American Institute of Steel Construction (AISC).

“Strength of Materials” (Resistencia de Materiales) de Ferdinand L. Singer.

24

ING. WILLIAM LOPEZ


columnas esbeltas euler parte 1

Engineering