colección de guías docentes para la titulación licenciatura en

Colección de Guías Docentes para la titulación

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

Facultad de Matemáticas

Universidad de Sevilla

ÍNDICE INTRODUCCIÓN………………………………………………………..5

CURSO PRIMERO Álgebra Lineal………………………………………………………….......7Elementos de Análisis Matemático………………………………….........13 Informática………………………………………………………………..19 Física General…………………………………………………………......25 Geometría………………………………………………………………....33 Elementos de Geometría Diferencial y Topología………………………..40 Análisis Matemático I………………………………………………….....45 Cálculo Numérico I…………………………………………………….....52 CURSO SEGUNDO Ampliación de Geometría………………………………………………...59 Análisis Matemático II…………………………………………………....65 Cálculo Numérico II……………………………………………………....71 Cálculo de Probabilidades………………………………………………...77 Física Teórica……………………………………………………………..83 Ampliación de la Teoría de Funciones de Varias Variables……………...90 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias……………………………………...96 Introducción a la Topología Algebraica………………………………....103 Computación…………………………………………………………….109 Álgebra Efectiva…………………………………………………………115 TERCER CURSO Estadística Matemática…………………………………………………..120 Geometría Local de Curvas y Superficies……………………………….126 Ampliación de Ecuaciones Diferenciales………………………………..132 Teoría de la Medida……………………………………………………...138 Programación Lineal…………………………………………………….145 Álgebra…………………………………………………………………..151 Variable Compleja y Análisis de Fourier……………………………......157 Ampliación de Cálculo Numérico…………………………………….....163 Inferencia Estadística……………………………………………………170 Superficies Regulares……………………………………………………176

CUARTO CURSO Análisis Funcional……………………………………………………….182 Cálculo Numérico III…………………………………………………….186 Estructuras Algebraicas………………………………………………….192 Variable Compleja……………………………………………………….198 Variedades Diferenciables……………………………………………….204 Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Funcional……………….210 Elementos de Homología Clásica………………………………………..216 Álgebra Conmutativa……………………………………………………220 Análisis Funcional y Optimización………………………………………227 Cálculo en Variedades…………………………………………………...233 Lógica Matemática……………………………………………………....240 Programación No Lineal………………………………………………...246 Teoría Analítica de Números……………………………………………252 QUINTO CURSO Ampliación de Análisis Funcional………………………………………259 Ampliación de Ecuaciones en Derivadas Parciales……………………...264 Ampliación de la Teoría de la Medida…………………………………..271 Ampliación de Variable Compleja………………………………………276 Análisis Numérico de las Ecuaciones Diferenciales…………………….281 Análisis Numérico y Optimización……………………………………...288 (Co)Homología Singular………………………………………………...294 Curvas Algebraicas y Analíticas………………………………………...297 Ecuaciones en Derivadas Parciales de Evolución……………………….302 Espacios Funcionales………………………………………………........309 Geometría Algebraica…………………………………………………....315 Geometría Riemanniana………………………………………………….320 Grupos de Lie…………………………………………………………....326 Métodos Estadísticos Multivariantes…………………………………….331 Modelos Estocásticos en Investigación Operativa………………………337 Modelos Lineales………………………………………………………...342Superficies de Riemann…………………………………………………..348Teoría de Conjuntos……………………………………………………...353 Teoría de Homotopía……………………………………………………..357 Teoría de Modelos………………………………………………………. Ampliación de Probabilidades y Procesos Estocásticos………………… Modelos Determinísticos en Investigación Operativa…………………..

INTRODUCCIÓN

Objetivos formativos

La Licenciatura de Matemáticas proporcionará a los alumnos una formación científica adecuada en los aspectos básicos y aplicados de las Matemáticas. Es una carrera de tipo científico y técnico. Se instruye en la investigación y formulación de sistemas y métodos matemáticos. Todo ello requiere cierta capacidad analítica, de abstracción y de habilidades para el cálculo.

Características académicas

El plan de estudios (5 cursos, 300 créditos) no contiene especialidades, sin embargo, a través de los 30 créditos de libre configuración y un amplio abanico de optativas, permite que cada alumno configure la carrera según sus preferencias. Esta licenciatura es muy vocacional, casi todas las asignaturas son específicamente matemáticas.

De manera muy esquemática, podría decirse que las Matemáticas intentan formalizar abstracciones tanto sobre los procesos de razonamiento, como sobre las leyes que rigen los procesos naturales. Cuando estos trabajos se realizan sobre cuestiones "reales" (estadísticas, sistemas diferenciales, procesos de cómputo, etc.) obtenemos la "Matemática aplicada" y cuando se realizan sobre los propios objetos matemáticos (estructuras algebraicas, funciones, idealizaciones, geométricas, etc.) nos adentramos en la "Matemática pura". Esta distinción no es, desde luego, tajante y ambas orientaciones están íntimamente relacionadas.

Formación básica previa

Es conveniente que el alumno que desee acceder a la Licenciatura de Matemáticas posea una buena base en materias como Matemáticas, Física y Estadística, ya que el pilar base del plan de estudios se centra en el análisis matemático, cálculo numérico, geometría, calculo de probabilidades o física teórica.

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Perspectivas profesionales

Los licenciados en Matemáticas poseen la formación suficiente para dedicarse

al mundo de la enseñanza, la investigación, la gestión, la consultoría y los

recursos humanos, tanto en el ámbito de la empresa privada como en el de la

administración pública.

La formación en Estadística, Matemática Económica, Optimización y Cálculo

Numérico facilitan el acceso a los ámbitos de trabajos en los que se solicite

labores de cálculo, planificación, estudios económicos y análisis estadísticos.

Por ello, los licenciados en Matemáticas poseen formación para trabajar en

diversos tipos de empresas, sobre todo en el sector financiero, como asesores

en puestos de alta responsabilidad.

A nivel nacional, el 33% de los licenciados con posterioridad al año 1998

trabajan en la docencia en Secundaria, el 11% en la docencia universitaria e

investigación y el resto, más del 50% trabajan en empresas dedicadas a un

amplio abanico de campos (informática y telecomunicaciones, bancos y

finanzas, industrias, consultoras) y en administraciones públicas. El tiempo

medio desde la finalización de los estudios hasta encontrar el primer empleo es

de 6 meses.

Las materias obligatorias referidas al campo de la informática unidas a las

orientadas a los métodos numéricos e investigación operativa permiten enfocar

su perspectiva profesional hacia el mundo informático. Así mismo es posible

acceder a los ámbitos de la Astronomía, la Mecánica y la Geodesia.

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TITULACIÓN: LICENCIADO EN MATEMÁTICAS ( Plan 98 ) (1997)

NOMBRE DE ASIGNATURA: Álgebra Lineal

CENTRO: Facultad de Matemáticas

DEPARTAMENTO: Álgebra

DATOS BÁSICOS DE LA ASIGNATURA

Titulación: LICENCIADO EN MATEMÁTICAS ( Plan 98 ) (1997)

Nombre: Álgebra Lineal

Código: 650001

Tipo (Troncal/Oblicatoria/Optativa): TR

Créditos totales (LRU): 7,50 Créditos teóricos (LRU): 4,50 Créditos prácticos (LRU): 3,00

Créditos totales (ECTS): 7,50 Créditos teóricos (ECTS): 0,00 Créditos prácticos (ECTS): 0,00

Horas de trabajo del alumno por crédito ECTS: 26,67

Curso: 1 Cuatrimestre: 1 Ciclo: 1

DATOS BÁSICOS DE LOS PROFESORES

Nombre Departamento Despacho email

JOSE MARIA UCHA ENRIQUEZ Algebra [email protected]

FRANCISCO JAVIER HERRERA GOVANTES Algebra [email protected]

Emilio Briales Morales Álgebra [email protected]

Antonio Rojas León Álgebra [email protected]

Jesús Gago Vargas Álgebra [email protected]

DATOS ESPECÍFICOS DE LA ASIGNATURA

1. DESCRIPTORES

Álgebra Lineal y Multilineal: Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices. Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales. Autovalores y

autovectores. Forma canónica de Jordan. Formas bilineales y multilineales. Espacios vectoriales euclídeos.

Linear and Multilinear Algebra: Systems of linear equations. Matrices. Vector spaces. Linear maps. Eigenvalues and eigenvectors.

Jordan canonical form. Bilinear and multilinear forms. Euclidean vector spaces.

2. SITUACIÓN

2.1 Conocimientos y destrezas previos:

El Plan de Estudios no establece ningún prerrequisito para poder cursar esta asignatura.

2.2 Contexto dentro de la titulación:

Es una asignatura básica de primer cuatrimestre del primer año de la Licenciatura de Matemáticas.

2.3 Recomendaciones:

Colección de Guías Docentes para la titulación LICENCIADO EN MATEMÁTICAS ( Plan 98 ) (1997)para el año 2008

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Sería conveniente que los alumnos dispusieran de los conocimientos que se imparten en el curso cero.

3. COMPETENCIAS

3.1. Competencias transversales/genéricas:

1: Se entrena débilmente.

2: Se entrena de forma moderada.

3: Se entrena de forma intensa.

4: Entrenamiento definitivo de la competencia (no se volverá a entrenar después).

Competencias Valoracion

Referencia 1 2 3 4

Capacidad de análisis y síntesis

Capacidad de organizar y planificar

Conocimientos generales básicos

Solidez en los conocimientos básicos de la profesión

Comunicación oral en la lengua nativa

Comunicación escrita en la lengua nativa

Conocimiento de una segunda lengua

Habilidades elementales en informática

Habilidades para recuperar y analizar información desde

diferentes fuentes

Resolución de problemas

Toma de decisiones

Capacidad de crítica y autocrítica

Trabajo en equipo

Habilidades en las relaciones interpersonales

Habilidades para trabajar en grupo

Habilidades para trabajar en un equipo interdisciplinario

Capacidad para aplicar la teoría a la práctica

Capacidad para un compromiso con la calidad ambiental

Capacidad de aprender

Capacidad de adaptación a nuevas situaciones

Capacidad de generar nuevas ideas

Habilidad para trabajar de forma autónoma

Iniciativa y espíritu emprendedor

Inquietud por la calidad

Inquietud por el éxito

3.2. Competencias específicas:

Competencias Cognitivas (Saber):

- Operar con vectores, bases, subespacios y aplicaciones lineales.

- Resolver sistemas de ecuaciones lineales.

- Clasificar matrices y aplicaciones lineales según diversos criterios. Diagonalización y triangulación

de matrices. Forma Canónica de Jordan. Diagonalización de formas cuadráticas. Signatura.

Competencias procedimentales e instrumentales (saber hacer):

- Creación de modelos matemáticos para situaciones reales.


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- Resolución de modelos utilizando técnicas analíticas, numéricas o estadísticas.

- Visualización e interpretación de soluciones.

- Participación en la implementación de programas informáticos.

- Diseño e implementación de algoritmos de simulación.

- Identificación y localización de errores lógicos.

- Argumentación lógica en la toma de decisiones.

- Aplicación de los conocimientos a la práctica.

- Transferencia de la experiencia matemática a un contexto no matemático.

- Análisis de datos utilizando herramientas estadísticas.

- Diseño de experimentos y estrategias.

- Utilización de herramientas de cálculo.

- Participación en la organización y dirección de proyectos.

Competencias actitudinales (ser):

- Conocimiento de los procesos de aprendizaje de las matemáticas.

- Ejemplificación de la aplicación de las matemáticas a otras disciplinas y problemas reales.

- Capacidad de mostrar la vertiente lúdica de las matemáticas.

- Expresión rigurosa y clara.

- Razonamiento lógico e identificación de errores en los procedimientos.

- Generación de curiosidad e interés por las matemáticas y sus aplicaciones.

- Capacidad de relacionar las matemáticas con otras disciplinas.

- Capacidad de crítica.

- Capacidad de adaptación.

- Capacidad de abstracción.

- Pensamiento cuantitativo.

4. OBJETIVOS

Los objetivos básicos de la asignatura son la resolución de ecuaciones lineales, el estudio de los espacios vectoriales y

euclídeos y la clasificación de endomorfismos diagonalizables y ortogonales.

5. Metodología:

5.a Número de horas de trabajo del alumno

PRIMER SEMESTRE. Actividades y horas:

• Teoría (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 36,00 + 54,00 = 90,00

• Prácticas (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 22,00 + 22,00 = 44,00

• Exámenes (Total de horas): 4,00

• Exposiciones y Seminarios (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 5,00 + 0,00 = 5,00

• Trabajo en grupos reducidos (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 8,00 + 0,00 = 8,00

• Otras actividades (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 0,00 + 49,00 = 49,00

• Trabajo de Investigación (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 0,00 + 0,00 = 0,00

6. TÉCNICAS DOCENTES

Sesiones académicas teóricas: [X] Exposición y debate: [ ] Tutorías especializadas: [X]


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Sesiones académicas prácticas: [X] Visitas y excursiones: [ ] Controles de lecturas obligatorias: [ ]

OTRAS: - Trabajo en grupo reducido.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Se impartirán 3 horas de teoría y 2 de prácticas en las que se expondrán trabajos en grupos y

resolverán problemas de forma individual.

7. BLOQUES TEMÁTICOS

Matrices. Espacios vectoriales. Variedades lineales. Aplicaciones lineales. Endomorfismos. Espacios vectoriales euclídeos.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:

A continuación se lista la bibliografía general de la asignatura

- Rojo García, Jesús. . Algebra lineal /Jesús Rojo García. . (1982.) . ISBN 84-7288-120-2 .

- Burgos, Juan de . Algebra lineal /Juan de Burgos Román. . (1997.) . ISBN 84-481-0134-0 .

- Soto Prieto, Manuel Jesús. . Algebra lineal con MATLAB y MAPLE /Manuel Jesús Soto Prieto, José Luis Vicente Córdoba. .

(1995.) . ISBN 0-13-526815-X .

- Merino González, Luis M. . Algebra lineal con métodos elementales . (1997) . ISBN 8497324811 .

- Aroca Hernández Ros, José M. . Algebra lineal y geometría /José M. Aroca Hernández Ros, Ma Josefa Fernández Bermejo. .

(1988.) . ISBN 84-7762-039-3 .

- Iglesias Cerezal, Manuel . Ejercicios resueltos de álgebra lineal /Manuel Iglesias Cerezal . (2001) . ISBN 847786943x .

- Rojo García, Jesús. . Ejercicios y problemas de álgebra lineal /Jesús Rojo, Isabel Martín. . (1994.) . ISBN 84-481-1889-8 .

- Cameron, Peter Jephson, . Introduction to algebra /Peter J. Cameron. . (2007.) . ISBN 9780198527930 .

- Diego Martín, Braulio de. . Problemas de álgebra lineal /Braulio de Diego Martín, Elías Gordillo Florencio, Gerardo Valeiras

Reina. . 2a ed. . (1986.) . ISBN 84-86379-00-8 .

- Blanco Martín, María Francisca. . Problemas de Algebra Lineal y Geometría /M. Francisca Blanco Martín, M. Encarnación Reyes

Iglesias. . (1998.) . ISBN 84-7762-849-1 .

- Faddéev, D. K. (Dimitrii Konstantinovich) . Problemas de álgebra superior /D. Faddieev, I. Sominski. . 2a ed. . (1975) .

8.2. Específica:

Los libros más adaptados a nuestro temario son:

- Merino, L. y Santos, E. Álgebra Lineal con métodos elementales. Ed. Thomson.

- Rojo, J. Álgebra Lineal. Ed. McGraw-Hill.

Para la resolución de problemas son:

- Iglesias, M. Ejercicios resueltos de Álgebra Lineal. Ed. Universidades de Cádiz y Sevilla.

- Rojo, J. y Martín, I. Ejercicios y Problemas de Álgebra Lineal. Ed. McGraw-Hill.

9. TÉCNICAS DE EVALUACIÓN

- Examen teórico-práctico.

- Trabajos desarrollados durante el curso.

- Controles periódicos de adquisición de conocimientos.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN:

Se tendrá en cuenta, en la calificación del alumno, el trabajo personal del mismo durante el curso: la asistencia y

aprovechamiento de las clases, y la resolución de problemas teóricos y prácticos.


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10. Organización docente semanal H: Horas presenciales

HORAS SEMANALES Teoría PrácticasExposiciones y

Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Trabajo de

InvestigaciónExámenes Temario

Primer Semestre H Total H Total H Total H Total H Total H Total Total -

Nº total de horas 36,00 90,00 22,00 44,00 5,00 5,00 8,00 8,00 0,00 49,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

2ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

4ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

5ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

6ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

7ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

8ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

10ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

11ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6

12ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6

13ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6

14ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 7

15ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 7

16ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0

17ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0

18ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0

19ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0

20ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0

11. TEMARIO DESARROLLADO

Tema 1.- Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales. Transformaciones elementales. Métodos de Gauss y

Gauss-Jordan. Regla de Cramer. Rango de una matriz. Método del orlado. Teorema de Rouché-Fröbenius.

Tema 2.- Espacios vectoriales. Dependencia lineal. Teorema de la base. Coordenadas. Cambio de base.

Tema 3.- Variedades lineales. Suma e intersección de variedades lineales. Fórmula de la dimensión. Ecuaciones paramétricas e

implícitas de una variedad lineal. Espacios producto y cociente.

Tema 4. Aplicaciones lineales. Ecuaciones de una aplicación lineal. Cambio de base. Semejanza de matrices. Imagen y núcleo.

Factorización canónica. Ecuaciones de la imagen y la imagen inversa de una variedad.


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Tema 5. Endomorfismos. Subespacios invariantes. Autovalores y autovectores de un endomorfismo. Multiplicidad algebraica y

geométrica de un autovalor. Endomorfismos diagonalizables. Forma canónica de Jordan.

Tema 6. Espacios vectoriales euclídeos. Formas bilineales y multilineales. Formas bilineales simétricas. Variedades ortogonales.

Clasificación. Teorema de Sylvester. Producto escalar.

12. MECANISMOS DE CONTROL Y SEGUIMIENTO

Dado que el número de alumno se prevé relativamente pequeño se hará un seguimiento individualizado de los alumnos.

13. HORARIO DE CLASES Y FECHAS DE EXAMENES

Los horarios y fechas de exámenes serán los acordados por la Junta de Facultad o Escuela y publicados por la misma


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NOMBRE DE ASIGNATURA: Elementos Análisis Matemático


DEPARTAMENTO: Análisis Matemático



Nombre: Elementos Análisis Matemático

Código: 650007

Tipo (Troncal/Oblicatoria/Optativa): OB







MANUEL ORDOÑEZ CABRERA Análisis Matemático [email protected]

MARIA DEL CARMEN ROMERO MORENO Análisis Matemático [email protected]

RAFAEL VILLA CARO Análisis Matemático [email protected]

ALFONSO MONTES RODRIGUEZ Análisis Matemático [email protected]


1. DESCRIPTORES

Funciones de una variable: diferenciación. Aplicaciones.

Real functions of one variable: differentiation. Applications.

2. SITUACIÓN




Asignatura obligatoria del 1er curso. Contenidos: Introducción al Cálculo infinitesimal.

Asignaturas directamente relacionadas: Análisis Matemático I.


Aunque no estrictamente necesarios, sí es muy conveniente haber realizado los estudios completos de matemáticas a nivel de la enseñanza


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secundaria (bachillerato).

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4







diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo




Habilidad para trabajar en un contexto internacional


Habilidades de investigación





Planificar y dirigir















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4. OBJETIVOS

Introducción a los conceptos fundamentales del Cálculo infinitesimal en una variable: Números reales, funciones elementales y

sucesiones, límites, derivadas.

5. Metodología:








Sesiones académicas teóricas: [X] Exposición y debate: [X] Tutorías especializadas: [ ]


DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: La asignación horaria de la asignatura es de 5 horas semanales, de la cuales en media se dedicarán 3

horas por semana para las académicas teóricas y 2 para las clases prácticas de problemas. Adicionalmente y siguiendo la

evolución del temario, se dedicará una media de dos horas por tema para la exposición de trabajos y ejercicios por parte de los

alumnos.


Números reales, funciones elementales y sucesiones, límites, derivadas.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Demidovich, Boris Paulovich. . 5000 problemas de análisis matemático /B. P. Demidovich. . 3a ed. . (MadridParaninfo,1985.) .

ISBN 84-283-0855-1 .


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- Apostol, T.M. . Análisis matemático . 2a ed. . (1976.) .

- Spiegel, M.R. . Cálculo superior . (1.969) .

- Spivak, Michael. . Calculus /Michael Spivak. . 3rd ed., corrected. . (Cambridge :Cambridge Universit) . ISBN 0-521-86744-4 .

- Apostol, Tom M. . Calculus /Tom M. Apostol. . 2a ed. . (Barcelona [etc.]Reverté,1990.) . ISBN 84-291-5002-1 .

- Bartle, R.G. y Sherbert, D:R: . Introducción al Análisis Matemático de una variable . (1982) .

- White, A. J. . Introducción al análisis real /A.J. White. . (BarcelonaPromoción cultural,19) .

- W. Rudin . Principios de Análisis Matemático .

8.2. Específica:

1. R. Barbolla García y otros, "Introducción al análisis real", Ed. Alhambra.

2. J. Burgos, "Cálculo infinitesimal de una variable", Ed. McGraw-Hill.

3. J.A. Fernández Viña, "Análisis Matemático I", Ed. Tecnos.

4. J.A. Fernández Viñas y E. Sánchez Mañes, "Ejercicios y complementos de Análisis Matémático I", Ed. Tecnos.

5. J. Tomeo, I Uña y J. San Martín, "Problemas resueltos en Cálculo de una variable", Ed. Thomson.




- Participación activa en las sesiones académicas.

- Controles periódicos de adquisición de conocimientos


Se realizarán a lo sumo 3 pruebas voluntarias de carácter teórico/práctico. A lo largo del curso, y con suficiente antelación, se

anunciará la materia correspondiente a estas pruebas. Cada una se valorará sobre 10 puntos. Los alumnos que obtengan al

menos 5 puntos en cada una de éstas aprobarán la asignatura por curso con la calificación media obtenida en ellas. Se podrá

valorar también la presentación de proyectos individuales y colectivos propuestos por el profesor.

Se realizarán dos exámenes finales ordinarios y una convocatoria extraordinaria de Diciembre, de acuerdo con las fechas fijadas

por la Junta de Centro. En cada uno de estos exámenes se exigirá el desarrollo o resolución de cuestiones teóricas y prácticas.

Los exámenes serán escritos, y en la hoja de examen se especificará el valor de cada pregunta, sumando entre todas 10 puntos.

Para superar el examen será necesario obtener al menos 5 puntos.



SeminariosExámenes Temario

Primer Semestre H Total H Total H Total Total -

Nº total de horas 40,00 120,00 25,00 62,50 5,00 5,00 7,00 -

1ªSemana 3,00 9,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 1

2ªSemana 3,00 9,00 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 2

3ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 1,00 1,00 0,00 3

4ªSemana 3,00 9,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 4

5ªSemana 3,00 9,00 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 4


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Nº total de horas 40,00 120,00 25,00 62,50 5,00 5,00 7,00 -

6ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 1,00 1,00 2,00 4/Primer control

7ªSemana 3,00 9,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 5

8ªSemana 3,00 9,00 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 5

9ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 1,00 1,00 0,00 6

10ªSemana 3,00 9,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 6

11ªSemana 3,00 9,00 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 7

12ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 1,00 1,00 0,00 7

13ªSemana 3,00 9,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 7

14ªSemana 3,00 9,00 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 8

15ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 1,00 1,00 2,00 8/Segundo control

16ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,00 -


Tema 1. El número real.

Axiomática de los números reales. Conjuntos inductivos. Consecuencias del axioma del supremo. Valor absoluto. Teorema de

Cantor. Numerabilidad. No numerabilidad de R.

Tema 2. Funciones elementales reales.

Concepto de función real de variable real. Funciones polinómicas y racionales. Función exponencial. Función logarítmica.

Funciones trigonométricas.

Tema 3. Topología de la recta real.

Topología euclídea de R. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Teorema de Heine-Borel.

Tema 4. Sucesiones numéricas.

Definiciones y propiedades generales. Álgebra de límites. Subsucesiones. Sucesiones monótonas. Límites de logaritmos y

potencias. El número e. El criterio de Stolz y sus consecuencias. Límites de oscilación. Sucesiones de Cauchy.

Tema 5. Límites y continuidad de funciones.

Límite de una función. Límites laterales. Teorema Fundamental del Límite. Continuidad. Discontinuidades.

Tema 6. Propiedades de las funciones continuas.

Funciones continuas en conjuntos compactos. Funciones continuas en intervalos cerrados: Teorema de Bolzano. Funciones

monótonas.

Continuidad uniforme: Teorema de Heine.


17

Tema 7. Diferenciación de funciones reales.

Derivada de una función. Álgebra de derivadas. Derivada de funciones compuestas e inversas. Funciones con derivada no nula.

Teoremas de Rolle y del Valor Medio. Regla de L'Hôpital.

Tema 8. Derivadas de orden superior.

Fórmula de Taylor. Expresiones del término complementario. Aplicación al estudio de convexidad, concavidad y extremos

relativos.


La asimilación por parte del alumno de los conceptos presentados se realizará de forma constante en los diferentes ámbitos:

fomentando la actitud crítica en las clases teóricas, promoviendo la participación activa en las clases de problemas e impulsando

el análisis colectivo en las exposiciones realizadas por los propios alumnos.




18


NOMBRE DE ASIGNATURA: Informática


DEPARTAMENTO: Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial



Nombre: Informática

Código: 650002








GONZALO ANTONIO ARANDA CORRALCiencias de la Computacion e Inteligencia

ArtificialE1 65 [email protected]

ANTONIA MARIA CHAVEZ GONZALEZ Ciencias de la Comput. e Int. Artificial E1 46 [email protected]

MARIA CARMEN GRACIANI DIAZ Ciencias de la Comput. e Int. Artificial H1 42 [email protected]

MARIA JOSE HIDALGO DOBLADO Ciencias de la Comput. e Int. Artificial E1 41 [email protected]


1. DESCRIPTORES

Algoritmos. Estructuras de datos. Lenguajes de programación. Aplicaciones a las matemáticas.

Algorithms. Data structures. Programming language. Applications to mathematical problems.

2. SITUACIÓN




Asignatura troncal de primer curso que inicia al alumnos en los fundamentos de la programación


Se puede considerar como afín la asignatura Computación de segundo curso


19

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo




Habilidad para comunicar con expertos en otros campos


Reconocimiento a la diversidad y la multiculturalidad

Compromiso ético







Liderazgo

Comprensión de culturas y costumbres de otros países







- Análisis de problemas.

- Formalización de modelos recursivos para la resolución de problemas.

- Diseño de tipos abstractos de datos.


20

- Abstracción de procedimientos.

- Formalización de modelos imperativos para la resolución de problemas.



























4. OBJETIVOS

1.- Conocer, usar y definir distintos tipos de datos

2.- Elaborar programas recursivos mediante distintos esquemas de recursión.

3.- Elaborar programas que manejen de forma abstracta otros programas.

4.- Diseñar y elaborar programas en estilo imperativo.

5.- Diseñar e implementar algoritmos para resolver problemas matemáticos.

5. Metodología:



21





• Trabajos en grupos reducidos (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 0,00 + 0,00 = 0,00

• Trabajo Personal Autónomo (Total de horas): 0,00


Sesiones académicas teóricas: [X] Exposición y debate: [ ] Tutorías especializadas: [ ]


OTRAS: -Sesiones prácticas en el aula de informática. -Trabajos en grupos reducidos.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se dedicará por término medio dos horas a clases de teoría, una a clases de problemas,

dos a clases prácticas del aula de informática y una a trabajos en grupos reducidos.


Recursión. Abstracción de datos. Abstracción de procedimientos. Vectores. Programación interactiva

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Grillmeyer, Oliver. . Exploring computer science with Scheme /Oliver Grillmeyer. . (1998.) . ISBN 0-387-94895-3 .

- Pearce, Jon. . Programming and meta-programming in Scheme /Jon Pearce. . (1998.) . ISBN 0-387-98320-1 .

- Watson, Mark. . Programming in scheme :learn scheme through artificial intelligence programs /Mark Watson. . (1996.) . ISBN

0-387-94681-0 .

- Watson, Mark. . Programming in scheme :learn scheme through artificial intelligence programs /Mark Watson. . (1996.) . ISBN

0-387-94681-0 .

- Gordon, Michael J. C., . Programming language theory and its implementation :aplicative and imperative paradigms /Michael

J.C. Gordon. . (1988.) . ISBN 0-13-730409-9 .

- Springer, George. . Scheme and the art of programming /George Springer, Daniel P. Friedman. . [7th print.] . (1994.) . ISBN

0-07-060522-X .

- Harvey, Brian. . Simply Scheme:introducing computer science /Brian Harvey, Matthew Wright ; foreword by Harold Abelson. .

2nd ed. . (1999.) . ISBN 0-262-08281-0 .

- Abelson, Harold. . Structure and interpretation of computer programs /Harold Abelson and Gerald Jay Sussman with Julie

Sussman ; foreword by Alan J. Perlis. . 2nd ed. . (1996.) . ISBN 0-07-000484-6 .

- Manis, Vincent S. . The schematics of computation /Vicent S. Manis, James J. Little. . (1995.) . ISBN 0-13-433772-7 (soft cover) .

- Friedman, Daniel P. . The seasoned schemer /Daniel P. Friedman, Matthias Felleisen. . [2nd print.] . (1999.) . ISBN

0-262-56100-X .

8.2. Específica:

1. H. Abelson, G. J. Sussman, J. Sussman, "Structure and Interpretation of Computer Programs". MIT Press, Cambridge,

Massachusetts, 1996 (2nd ed.)

2. G. Springer y D. Friedman, "Scheme and the art of programming". McGraw-Hill, New York, 1994


22






- Examen de prácticas en aula de informática.


La evaluación de la asignatura se realizará de la forma siguiente:

1.- Se asignarán trabajos prácticos que los alumnos realizarán en grupos reducidos (30%)

2.- Se realizarán pruebas parciales en los laboratorios (70%)

3.- Además, habrá una prueba final en el laboratorio que será equivalente al total de las pruebas parciales realizadas en los

laboratorios.


HORAS SEMANALES Teoría PrácticasTrabajos en grupos

reducidos

Trabajo Personal

AutónomoExámenes Temario

Primer Semestre H Total H Total H Total Total Total -

Nº total de horas 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


Tema 1: Introducción. Datos y operadores.

Tema 2: Procedimientos. Recursión. Tipo abstracto de dato.

Tema 3: Listas. Recursión sobre datos. Entornos locales.

Tema 4: Abstracción de datos.

Tema 5: Procedimientos locales.

Tema 6: Abstracción de procedimientos.

Tema 7: Asignaciones.

Tema 8: Vectores.

Tema 9: Ordenación y búsqueda.

Tema 10: Programación interactiva. Manejo de ficheros.


23

Tema 11: Aplicaciones matemáticas.


Ver apartado 9




24

CURSO ACADÉMICO 2008/2009Facultad de Matemáticas

Dep. Física Atómica, Molecular y Nuclear

Física General



Nombre: FISICA GENERAL

Código: 650008 Año del plan de estudio: 1997

Tipo: Obligatoria

Créditos totales (LRU): 6,00 Créditos LRU teóricos: 4,00 Créditos LRU prácticos: 2,00

Créditos totales (ECTS): 6,00 Créditos ECTS teóricos: 0,00 Créditos ECTS prácticos: 0,00


Curso: 1 Cuatrimestre: 1º Ciclo: 1



AZUCENA ALVAREZ CHILLIDA Física Atómica, Molecular y Nuclear [email protected]

JESUS CASADO PASCUAL Física Atómica, Molecular y Nuclear [email protected]


1. Descriptores:

Cinemática. Dinámica. Movimiento oscilatorio. Fluidos.

Cinematic. Dynamics. Oscillations, Fluids.

2. Situación:

2.1. Conocimientos y destrezas previos:


2.2. Contexto dentro de la titulación:

La Física es una ciencia fundamental que tiene repercusión en todas las otras ciencias. Por consiguiente, los estudiantes que piensen

seguir una carrera científica (matemáticas, biología#) deben tener una buena comprensión de sus ideas básicas y de la metodología

con la que se abordan cuestiones fundamentales.

2.3. Recomendaciones:

Al ser una asignatura impartida en el primer curso de la titulación, no hay recomendaciones en cuanto a asignaturas previas

aprobadas, aunque sí es aconsejable tener aprobada esta asignatura antes de cursar la Física Teórica del segundo curso de la

titulación.

Física General (LICENCIADO EN MATEMÁTICAS ( Plan 98 ) (1997)) 1 de 9

25

3. Competencias:






Competencias Valoración

Referencia 1 2 3 4







Habilidades para recuperar y analizar información desde diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo


Compromiso ético












Observaciones sobre las competencias:

Se pretende que el alumno alcance las competencias mencionadas.



- Conocer los conceptos fundamentales de la Física Clásica, sus implicaciones y sus limitaciones.

- Saber utilizar los conceptos y resultados.








26
















4. Objetivos:

Con este curso, se pretende que el alumno conozca los conceptos fundamentales de la Física Clásica, sus implicaciones y sus limitaciones,

así como, que sepa utilizar los conceptos y resultados.

5. Metodología:









6. Técnicas Docentes:


Sesiones académicas prácticas:[X] Visitas y excursiones: [ ] Controles de lecturas obligatorias: [ ]Otras:

- Se podrán proponer trabajos para realizar individual o colectivamente.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN

Durante el primer cuatrimestre:

La teoría se impartirá de forma que al ir introduciendo los conceptos se irán planteando ejemplos o ejercicios que permitan desarrollar la

capacidad de aplicación de dichos conceptos. Al finalizar cada tema y para afianzar las ideas desarrolladas en la teoría, se dedicarán

de dos a cuatro horas a problemas de repaso del tema concluido.

Se entregarán para cada tema boletines con problemas propuestos. Puesto que entendemos que la labor personal del alumno es muy

importante y que es la que en definitiva le permite plantearse dudas que posteriormente debe ir resolviendo, es responsabilidad del

alumno el trabajar en la resolución de los problemas que aparecen en los boletines. En las horas destinadas a problemas se analizarán


27

las soluciones de algunos de ellos y se discutirán las cuestiones planteadas por los alumnos que sean de interés general, dejando las

particulares para las tutorías.

7. Bloques Temáticos:

Cinemática. Movimiento relativo. Dinámica de una partícula y de un sistema de partículas. Trabajo y energía. Movimiento oscilatorio.

Fluidos.

8. Bibliografía

8.1. General:


- González Gallero, Francisco Javier.Ejercicios de física :resueltos y propuestos /Francisco Javier González Gallero, José María Gutiérrez

Cabeza, José Méndez Zapata. (Cádiz :Servicio de Publicacion) ISBN 8477869103

- Tipler, Paul Allen.Física /Paul A. Tipler.3a ed. (Barcelona [etc.]Reverté,1992.) ISBN 84-291-4368-8 (v.2)

- Gartenhaus, Salomon.Física /Salomon Gartenhaus ; traducida al español por Agustín Contín. (México [etc.]Interamericana,19) ISBN

968-25-0276-4

- Burbano de Ercilla, Santiago.Física general /Santiago Burbano de Ercilla, Enrique Burbano García, Carlos Gracia Muñoz.31a ed.

(ZaragozaMira,1993.) ISBN 84-86778-59-X

- Burbano de Ercilla, Santiago.Física general :problemas /Santiago Burbano de Ercilla, Enrique Burbano García.20a ed. (ZaragozaLibrería

General,1986.)

- Sears, Francis Weston,Física universitaria /Francis W. Sears, Mark W. Zemansky, Hush D. Young ; versión en español de Rodolfo

Hernández Vara y Mercedes García García.6a ed. en español. (Argentina [etc.] :Addison-Wesl) ISBN 0-201-64013-9

- Alonso, Marcelo.Física.Marcelo Alonso, Edward J. Finn.Ed. rev. y aum. (Madrid [etc.]Aguilar [etc.],19)

- Hernández Alvaro, Juan.Fundamentos de física :mecánica / Juan Hernández Alvaro, Joaquín Tovar Pescador.2ç ed. rev. (Jaén

:Universidad,2006.) ISBN 8484393011

- González, Félix A.La física en problemas /Félix A. González.Nueva ed. actualizada. (MadridTebar Flores,1995.) ISBN 84-7360-141-6

8.3. Observaciones:

Todos los libros recomendados contemplan práticamente la totalidad del programa. Se aconseja consultar el mayor número posible de

libros para alcanzar una mejor visión conceptual de la asignatura.

9. Técnicas de evaluación:

- Examen final teórico-práctico.


CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y CALIFICACIÓN:

La evaluación y consiguiente calificación del trabajo de los estudiantes durante el primer cuatrimestre, se llevará a cabo mediante tres

controles. Superar estos controles supone aprobar la asignatura. Además existe un curso de apoyo en el segundo cuatrimestre con su

evaluación continua y las tres convocatorias oficiales para aquellos alumnos que no hayan superado las pruebas previas o no se

hayan presentado a las mismas.

El contenido y las fechas de los controles serán determinados por cada profesor. Sus calificaciones se sumarán, siendo 2 la máxima

puntuación a obtener en cada uno de los dos primeros controles y 6 en el tercero. Se aprobará con una calificación global de 5 ó más.

Las fechas del examen final y demás convocatorias que establece el plan de estudios correspondiente, serán las acordadas por el

centro. Estos exámenes serán idénticos para todos los grupos. Se calificarán entre 0 y 10 y se aprobará con una calificación de 5 ó

más.

Los pruebas serán escritas y en ellas se podrá pedir la resolución de cuestiones teóricas de tipo conceptual así como la resolución de


28

problemas en el sentido tradicional donde se ponga de manifiesto la capacidad de aplicación de los conceptos aprendidos.


29

10. Organización docente semanal (Número de horas que a ese tipo de sesión va a dedicar el estudiante cada semana)

H: Horas presenciales

HORAS SEMANALES Teoría Prácticas Otras actividadesTrabajo Personal

Autónomo

Trabajo Personal


Primer Semestre H Total H Total H Total Total Total Total -

Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 8,00 8,00 68,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 5,50 0,00 0,00 Cinemática

2ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 4,00 0,00 0,00 Cinemática

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 4,00 0,00 0,00 Movimiento Relativo

4ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 4,00 0,00 0,00 Movimiento Relativo

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 5,50 0,00 0,00Dinámica de una

partícula

6ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 4,00 0,00 0,00Dinámica de una

partícula

7ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 5,50 0,00 0,00 Trabajo y energía

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 4,00 0,00 0,00 Trabajo y energía

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 5,00 0,00 0,00Dinámica de un

sistema de partículas





12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 4,00 0,00 0,00Movimiento

oscilatorio

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 5,00 0,00 0,00Movimiento

oscilatorio

14ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 5,00 0,00 0,00 Fluidos

15ªSemana 1,00 2,50 3,00 6,00 0,00 0,00 4,50 0,00 2,00 Fluidos

11. Temario desarrollado

TEMA 1 CINEMÁTICA

1.1 Movimiento rectilíneo: velocidad y aceleración. Representación vectorial.

1.2 Movimiento curvilíneo: velocidad y aceleración. Componentes tangencial y

normal. Coordenadas polares.

1.3 Movimiento bajo aceleración constante.

1.4 Movimiento circular. Velocidad y aceleración angular. Relaciones vectoriales.

TEMA 2 MOVIMIENTO RELATIVO


30

2.1 Velocidad y aceleración relativa.

2.2 Movimiento relativo de traslación.

2.3 Movimiento relativo de rotación.

TEMA 3 DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA

3.1 Leyes de Newton. Fuerza y cantidad de movimiento.

3.2 Fuerzas de inercia.

3.3 Fuerzas de fricción: por deslizamiento y en fluidos.

3.4 Momento angular.

3.5 Fuerzas centrales.

TEMA 4 TRABAJO Y ENERGÍA

4.1 Trabajo y potencia.

4.2 Energía cinética. Teorema trabajo-energía cinética. Fuerzas conservativas. Energía potencial

4.3 Conservación de la Energía mecánica de una partícula.

4.4 Movimiento rectilíneo bajo fuerzas conservativas. Análisis de

la curva de energía potencial.

4.5 Movimiento bajo fuerzas centrales conservativas. Análisis de la curva de energía

potencial.

4.6 Fuerzas no conservativas.

TEMA 5 DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS


31

5.1 Conceptos generales. Sistema de referencia centro de masas

5.2 Momento angular y energía cinética de un sistema de partículas.

5.3 Conservación de la energía para un sistema de partículas.

5.4 Sistema de dos partículas aislado bajo interacción conservativa.

5.5 Colisiones.

TEMA 6 MOVIMIENTO OSCILATORIO

6.1 Movimiento armónico simple (MAS). Cinemática y dinámica de un MAS. Energía de un MAS

6.2 Péndulo simple.

6.3 Superposición de dos MAS:

a) Con igual dirección y frecuencia.

b) Con direcciones perpendiculares e igual frecuencia.

6.4 Osciladores acoplados.

6.5 Oscilaciones amortiguadas.

6.6 Oscilaciones forzadas.

TEMA 7 FLUIDOS

7.1 Introducción. Conceptos generales.

7.2 Teorema general de la hidrostática.

7.3 Teorema de Arquímedes. Consecuencias

7.4 Ecuación de continuidad.

12. Mecanismo de control y seguimiento

Los controles periódicos de adquisición de conocimientos, así como el diálogo con los alumnos permiten el seguimiento de este proceso.

13. Horarios de clases y fechas de exámenes


32


NOMBRE DE ASIGNATURA: Geometría





Nombre: Geometría

Código: 650006








MIGUEL ANGEL OLALLA ACOSTA Algebra [email protected]

FRANCISCO JAVIER CALDERON MORENO Algebra [email protected]

JOSE MARIA TORNERO SANCHEZ Algebra [email protected]

MERCEDES HELENA ROSAS CELIS Algebra [email protected]

ANTONIO ROJAS LEON Departamento de Algebra [email protected]


1. DESCRIPTORES

Geometría Afín y Proyectiva.

2. SITUACIÓN




La asignatura se imparte en el segundo cuatrimestre del primer curso de la Licenciatura. En cierta medida, es una continuación de Algebra

Lineal (primer cuatrimestre) y sirve como introducción a Amplición de Geometría (segundo curso, primer cuatrimestre).

Se pretende que el alumno aprenda a representar algebraicamente modelos geométricos, y a utilizar las herramientas algebraicas aprendidas

en Algebra Lineal para reconocer propiedades geométricas, tanto del espacio afín (por ejemplo: paralelismo, el concepto de movimiento,

propiedades de triángulos y circunferencias), como del espacio proyectivo.



33

Se recomienda haber superado la asignatura de Algebra Lineal de primer cuatrimestre.

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético






Liderazgo








1.Competencias cognitivas (saber):

Geometría del plano.

Espacio Afín.

Espacio Proyectivo.


34

Sistemas de referencia, coordenadas.

Variedades lineales afines.

Variedades lineales proyectivas.

Homografías y afinidades.

Espacio afín euclídeo.

Movimientos y semejanzas.

Teorema de Cartan-Dieudonné.

2.Competencias procedimentales e instrumentales (saber hacer):

Resolución de triángulos.

Cálculo de la dimensión de una variedad.

Suma e intersección de variedades.

Cálculo matricial aplicado a los espacios afines y proyectivos.

Clasificación de Afinidades y Homografías.

Ecuaciones de una afinidad o de una homografía.

Cálculo de variedades dobles.

Cálculo de la Perpendicular común a dos variedades.

Clasificación de los movimientos y semejanzas.

Ecuaciones de un movimiento o una semejanza.

Descomposición de un movimiento como producto de simetrías.

3.Competencias actitudinales (ser):

Conocimiento de los procesos de aprendizaje de la geometría.

Ejemplificación de la aplicación de la geometría a otras disciplinas y problemas reales.

Capacidad de mostrar la vertiente lúdica de la geometría.

Expresión rigurosa y clara.

Razonamiento lógico e identificación de errores en los procedimientos.

Generación de curiosidad e interés por la geometría y sus aplicaciones.

Capacidad de relacionar la geometría con otras disciplinas.

Capacidad de crítica.

Capacidad de adaptación.

Capacidad de abstracción.

Pensamiento cuantitativo.

4. OBJETIVOS

El objetivo es desarrollar la teoría y práctica de la Geometría afín y la Geometría proyectiva.

Pretendemos que el alumno:

1) Maneje variedades lineales en el espacio afín (euclídeo) y en el proyectivo, incluyendo intersecciones,

sumas, dimensión, perpendiculares comunes, (en el euclídeo), distancias, paralelismos, dimensiones, clausura proyectiva.

2) Conozca las ecuaciones de aplicaciones afines y homografías, afinidades, movimientos y semejanzas, incluyendo el cálculo de

variedades fijas (dobles), direcciones dobles y en el caso de movimientos (y semejanzas) sus elementos geométricos

característicos en el plano y el espacio. Calcule la descomposición de un movimiento por el Teorema de Cartan-Dieudonné.

3) Conozca las propiedades de diversas figuras geométricas en el plano, especialmente triángulos y circunferencias.

4) Interprete el espacio afín dentro del proyectivo.


35

5. Metodología:

El conocimiento que se exigirá de todos estos conceptos será tanto teórico como práctico. Haremos especial hincapié en el

planteamiento y la resolución de ejercicios, entendiendo que es la mejor manera de demostrar la comprensión de la teoría. Para

ello se repartirá una amplia colección de problemas y se fomentará el trabajo personal del alumno, proponiendole la realización

y exposición de ejercicios. Realizaremos un seguimiento continuo del alumnado mediante la realización y corrección de

controles periódicos.



• Teorí-a (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 40,00 + 60,00 = 100,00




• Tutorí-as Individuales (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 8,00 + 0,00 = 8,00


Sesiones académicas teóricas: [X] Exposición y debate: [X] Tutorías especializadas: [X]


DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartirán 3 horas de teoría y 2 de problemas.


Introducción a la geometría.

El espacio afín y el espacio proyectivo n-dimensional.

Variedades lineales afines y proyectivas.

Sistemas de referencia y coordenadas.

Paralelismo.

Homografías y aplicaciones afines.

Afinidades.

El espacio euclídeo. Distancias.

Problemas métricos lineales.

Movimientos. Clasificación de los movimientos.

Teorema de Cartan-Dieudonné.

Semejanzas.

Geometría euclídea plana.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Pedoe, Dan. . A course of geometry for colleges and universities /D. Pedoe. . (1970.) .

- Aroca Hernández Ros, José M. . Algebra lineal y geometría /José M. Aroca Hernández Ros, Ma Josefa Fernández Bermejo. .

(1988.) . ISBN 84-7762-039-3 .

- Castellet Solanas, Manuel. . Algebra lineal y geometría /Manuel Castellet, Irene Llerena ; con la colaboración de Carles


36

Casacuberta. . (2000.) . ISBN 84-291-5009-9 .

- Abellanas Cebollero, Pedro. . Elementos de matemáticas /Pedro Abellanas. . 13a ed. . (1975.) .

- Rodríguez-Sanjurjo, José M. . Geometría proyectiva /José M. Rodríguez-Sanjurjo, Jesús M. Ruiz. . (1998.) . ISBN 84-7829-016-8

.

- Yaglom, I. M. (Issak Moiseevich), . Geometric transformations /I.M. Yaglom ; translated from the Russian by Allen Shields, A.

Shenitzer. . [2nd print.] . (1983.) . ISBN 0-88385-624-7 .

- Frenkel, Jean. . Géométrie pour l'éláeve-professeur /Jean Frenkel. . 2e. ed. rev. et corr. . (1977.) . ISBN 2-7056-1362-5 .

- Tisseron, Claude. . Géométries affine, projective et euclidienne /Claude Tisseron. . [nouv. tir.] . (1994.) . ISBN 2-7056-1408-7 .

- Mataix Plana, José Luis. . Problemas de geometría analítica :resueltos y explicados /por José Luis Mataix Plana. . 5a ed. .

(1976.) . ISBN 84-237-0218-9 .

8.2. Específica:

Samuel, Pierre, Géométrie proyective''. P.U.F.

8.3. Observaciones:

Enlaces de interés:

http://www.departamento.us.es/da


Examen teórico-práctico.


El conocimiento que se exigirá de todos los conceptos será tanto teórico como práctico.

Haremos especial hincapié en el planteamiento y la resolución de ejercicios, entendiendo que es la mejor manera de demostrar la

comprensión de la teoría. Para ello se repartirá una amplia colección de problemas con sus correspondientes soluciones y se

fomentará el trabajo personal del alumno, proponiéndole la realización y exposición de ejercicios. Realizaremos un seguimiento

continuo del alumnado mediante la realización y corrección de controles periódicos.

En el examen teórico-práctico, se valorara especialmente la capacidad del alumno de aplicar los conocimientos teóricos en la

resolución de problemas prácticos, utilizando las técnicas aprendidas en clase.


HORAS SEMANALES Teorí-a Prácticas Tutorí-as IndividualesExposiciones y


Primer Semestre H Total H Total H Total H Total Total -

Nº total de horas 40,00 100,00 28,00 56,00 8,00 8,00 3,00 3,00 8,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00

Axiomas de Euclides,

Triángulos, Teoremas

de Pitágoras y Thales

2ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Seno y coseno,

Teorema del coseno,

Elementos notables

del triángulo

3ªSemana 1,00 2,50 2,00 4,00 1,00 1,00 3,00 3,00 0,00Elementos notables

del triángulo

4ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Espacios afín y

proyectivo,

Variedades lineales


37

HORAS SEMANALES Teorí-a Prácticas Tutorí-as IndividualesExposiciones y



Nº total de horas 40,00 100,00 28,00 56,00 8,00 8,00 3,00 3,00 8,00 -

5ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00

Variedades lineales,

Operaciones con

variedades

6ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Dimensión, teoremas

de la dimensión,

Sistemas de

referencia

7ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 2,00

Espacio proyectivo

dual, Teoremas de

Pappus y Desargues

8ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Aplicaciones

proyectivas:

Homografías, Puntos

fijos de homografías

9ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00

Hiperplanos fijos de

homografías,

Proyecciones,

secciones,

homologías,

Homologías planas

10ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Afinidades:

Dilataciones, Espacio

euclídeo

11ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00

Versión sintética del

espacio euclídeo,

Distancias:

Perpendicular común,

hiperplano mediador

12ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Movimientos,

Teorema de

Cartán-Dieudonné,

Movimientos y

algunos conjuntos

afines

13ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00Movimientos en el

plano y en el espacio

14ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Semejanzas,

Elementos notables

de un triángulo

15ªSemana 1,00 2,50 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 6,00La circunferencia de

los nueve puntos


38


Tema1:

Introducción a la geometría.

Tema 2:

El espacio afín y el espacio proyectivo n-dimensional. Variedades lineales afines. Sistemas de referencia y coordenadas.

Tema 3:

Homografías y aplicaciones afines. Afinidades.

Tema 4:

El espacio euclídeo. Distancias. Problemas métricos lineales. Movimientos. Clasificación de los movimientos. Teorema de

Cartan-Dieudonné. Semejanzas.

Tema 5:

Geometría euclídea plana


Se propondrán al alumnado ejercicios prácticos y teóricos para controlar puntualmente el seguimiento de la asignatura y la

adquisición de nuevos conocimientos y destrezas.




39


NOMBRE DE ASIGNATURA: Elementos de Geometría Diferencial y Topología


DEPARTAMENTO: Geometría y Topología



Nombre: Elementos de Geometría

Diferencial y Topología

Código: 650005








LUIS MANUEL FERNANDEZ FERNANDEZ Geometría y Topología [email protected]

JOSE ANTONIO VILCHES ALARCON Geometría y Topología [email protected]

ANTONIO RAFAEL QUINTERO TOSCANO Geometría y Topología [email protected]

RAFAEL AYALA GOMEZ Geometría y Topología [email protected]

MARIA TRINIDAD VILLAR LIÑAN Geometría y Topología [email protected]


1. DESCRIPTORES

Elementos de topología.

Propiedades topológicas.

Elementos de geometría diferencial.

La noción de la curva.

2. SITUACIÓN




Fundamental



40

Ninguna

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo








1. Competencias cognitivas (saber):

Conocer y saber utilizar los conceptos de la Topología General.


41

2. Competencias procedimentales e instrumentales (saber hacer):

Creación de modelos matemáticos para situaciones reales.

Resolución de modelos utilizando técnicas analíticas, numéricas o estadísticas.

Visualización e interpretación de soluciones.

Participación en la implementación de programas informáticos.

Diseño e implementación de algoritmos de simulación.

Identificación y localización de errores lógicos.

Argumentación lógica en la toma de decisiones.

Aplicación de los conocimientos a la práctica.

Transferencia de la experiencia matemática a un contexto no matemático.

Análisis de datos utilizando herramientas estadísticas.

Diseño de experimentos y estrategias.

Utilización de herramientas de cálculo.

Participación en la organización y dirección de proyectos.

3. Competencias actitudinales (ser):

Conocimiento de los procesos de aprendizaje de las matemáticas.

Ejemplificación de la aplicación de las matemáticas a otras disciplinas y problemas reales.

Capacidad de mostrar la vertiente lúdica de las matemáticas.



Generación de curiosidad e interés por las matemáticas y sus aplicaciones.

Capacidad de relacionar las matemáticas con otras disciplinas.





4. OBJETIVOS

El objetivo de este programa es introducir las nociones topológicas básicas a partir de los conocimientos previos del alumno que

ya ha cursado la asignatura Elementos de Análisis Matemático, sirviéndose también de algunas de las nociones de la geometría

del plano y del espacio que simultáneamente se estudian en la asignatura Geometría.

5. Metodología:








42



DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartirán tres horas de teoría y una de problemas.


Espacios métricos.

Punto interior, punto adherente y punto de acumulación.

Espacios compactos.

Conexión.

El concepto topológico de curva.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Flory, Georges. . Ejercicios de topología y de análisis :para estudiantes del primer ciclo de universidad /G. Flory ; [versión

española por Vidal Gómez Real ; revisada por Enrique Linés Escardó] . (1982.) . ISBN 84-291-5074-9 .

- Reisel, Robert B. . Elementary theory of metric spaces :a course in constructing mathematical proofs /Robert B. Reisel. . (1982.)

. ISBN 0-387-90706-8 .

- Gemignani, Michael C. . Elementary topology /Michael C. Gemignani. . 2nd. ed. . (1990.) . ISBN 0-486-66522-4 .

- Ayala Gómez, Rafael. . Elementos de la topología general /Rafael Ayala Gómez, Eladio Domínguez Murillo, Antonio Quintero

Toscano. . 2ç imp. . (1997.) . ISBN 84-7829-006-0 .

- Willard, Stephen. . General topology /Stephen Willard. . (1970.) .

- Pogorelov, A. V. (Aleksei Vasil'evich), . Geometría diferencial /A. V. Pogorelov; traducido por Carlos Vega. . (MoscúMir,1984.) .

ISBN 5-88417-032-7 .

- Margalef Roig, Juan. . Introducción a la topología /Juan Margalef Roig, Enrique Outerelo Dominguez. . (1993.) . ISBN

84-7491-452-3 .

- Sutherland, W. A. . Introduction to metric and topological spaces /W.A. Sutherland. . (1975.) . ISBN 0-19-853161-3 .

- Giles, John Robilliard. . Introduction to the analysis of metric spaces /J.R. Giles. . (1987.) . ISBN 0-521-35928-7 .

- Moise, Edwin E. . Introductory problem courses in analysis and topology /Edwin E. Moise. . (1982.) . ISBN 0-387-90701-7 .

- Arnold, B. H. . Intuitive concepts in elementary topology /B. H. Arnold. . (1962.) .

- Bujalance, Emilio. . Problemas de Topología /E. Bujalance, J. Tarres. . (1989.) . ISBN 84-362-2398-5 .

- Fleitas Morales, G. . Problemas de topología general /G. Fleitas Morales, J. Margalef. . 2a ed. . (1980.) . ISBN 84-205-0192-1 .

- Iribarren, Ignacio L. . Topología de espacios métricos /Ignacio L. Iribarren. . (1973.) .

- Hinrichsen, Diederich. . Topología general /Diederich Hinrichsen y José Luís Fernández. . (1977.) .

- Buskes, Gerard. . Topological spaces :from distance to neighborhood /Gerard Buskes, Arnoud van Rooij. . (1997.) . ISBN

0-387-94994-1 .

- Munkres, James R. . Topology :a first course /James R. Munkres. . (1975.) . ISBN 0-13-925495-1 .



Controles periódicos de adquisición de conocimientos.



43

Examen teorico-practico y controles periódicos de adquisición de conocimientos que a lo mas contara como un 20% del total.

Participación en clase mediante resolución de problemas o cuestiones teóricas.


HORAS SEMANALES Teorí-a Prácticas Exámenes Temario

Primer Semestre H Total H Total Total -

Nº total de horas 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


Tema 1:

Espacios métricos. Ejemplos. Subespacios. Entornos métricos. Continuidad y convergencia en espacios métricos.

Tema 2:

Punto interior, punto adherente y punto de acumulación. Interior y clausura. Entornos. Conjuntos abiertos y cerrados:

propiedades. Definición de espacio topológico. Homeomorfismos.

Tema 3:

Espacios compactos. Compacidad en Rⁿ. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Compacidad en espacios métricos.

Compacidad local.

Tema 4:

Espacios conexos y espacios conexos por caminos. Los subespacios conexos de R. Conexión local. Puntos de corte.

Tema 5:

El concepto topológico de curva. Un ejemplo notable: la curva de Peano. Curva simple. Caracterización de las curvas simples.

Curva diferenciable. Tangente a una curva.


Reuniones periódicas de los profesores de la asigantura.




44


NOMBRE DE ASIGNATURA: Análisis Matemático I





Nombre: Análisis Matemático I

Código: 650003








FRANCISCO JOSE FRENICHE IBAÑEZ Análisis Matemático [email protected]

GUILLERMO CURBERA COSTELLO Análisis Matemático [email protected]

Antonio Durán Guardeño Análisis Matemático [email protected]

Alfonso Montes Rodríguez Análisis Matemático [email protected]


1. DESCRIPTORES

Análisis de una variable real: integración. Elementos de variable compleja: series de potencias.

Real analysis in one variable: integration. Elements of complex variables: power series.

2. SITUACIÓN




Es una asignatura troncal, del primer curso de la licenciatura, imprescindible en la formación de los alumnos. Hay tres grupos. El grupo C se

imparte en el primer cuatrimestre, y los grupos A y B en el segundo.


Para cursar esta asignatura se recomienda tener aprobadas las asignaturas de Álgebra Lineal y Elementos de Análisis Matemático. Por otra

parte, un buen conocimiento de ella debería ser requisito para la gran mayoría de asignaturas de la licenciatura.


45

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4








diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo






Compromiso ético






Liderazgo







1.Competencias cognitivas (saber):

Manipular sucesiones y series. Comprender y trabajar intuitiva, geométrica y formalmente con la noción de integral. Calcular

integrales de funciones de una variable. Resolver problemas geométricos y físicos que impliquen el planteamiento de integrales.

Operaciones con

números complejos y representaciones gráficas.

2.Competencias procedimentales e instrumentales (saber hacer):





46





Transferencia de la experiencia matemática a un contexto no matemático. 0 Mucho 0 Bastante 1 Poco


3.Competencias actitudinales (ser):












4. OBJETIVOS

En esta asignatura se persiguen los siguientes objetivos concretos:

1. Saber operar con números complejos y sus funciones elementales.

2. Saber calcular primitivas de algunos tipos de funciones.

3. Comprender el concepto de integral de Riemann, y manejar sus teoremas fundamentales.

4. Concocer algunas aplicaciones geométricas y físicas de la integral definida.

5. Saber cuando una integral impropia es convergente.

6. Saber cuando una serie numérica es convergente.

7. Conocer algunas propiedades fundamentales de las series de potencias.

5. Metodología:

Cada semana se impartirán seis horas de clase. Dependiendo del grupo, alguna de ellas se dedica de vez en cuando a

exposición o a realización de trabajos en grupos reducidos.


SEGUNDO SEMESTRE. Actividades y horas:






• Trabajo en grupo reducido (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 0,00 + 0,00 = 0,00



47




OTRAS: Trabajo en grupo reducido

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartirán seis horas de clase, y dependiendo del grupo, alguna de ellas se dedica

de vez en cuando a exposición o realización de trabajos en grupos reducidos.


Análisis de una variable real: integración.

Elementos de variable compleja.

Series numéricas y de potencias.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Demidovich, Boris Paulovich. . 5000 problemas de análisis matemático /B.P. Demidovich ; traducido del ruso por Emiliano

Aparicio Bernardo ; revisión de traducción por Rafael Portaencasa Baeza. . (MadridParaninfo,1976.) . ISBN 84-283-0855-1 .

- Bressoud, David M., . A radical approach to real analysis /David M. Bressoud. . (1994.) . ISBN 0-88385-701-4 .

- Apostol, Tom M. . Análisis matemático /Tom M. Apostol. . 2a ed. . (Barcelona [etc.]Reverté,1991.) . ISBN 84-291-5004-8 .

- Shilov, George E. . Analyse Mathématique :Fonctions d'une variable /Georges Chilov. . (MoscúMir,1973.) .

- Hairer, Ernst. . Analysis by its history /E. Hairer, G. Wanner. . (1996.) . ISBN 0-387-94551-2 .

- Thomas, George Brinton, . Cálculo :/George B. Thomas, Jr ; revisado por Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. . 11a

ed. . (México [etc.] :Pearson Educaci) . ISBN 970-26-0644-6 (v.2) .

- Stewart, James, . Cálculo de una variable :trascendentes tempranas /James Stewart. . (cop. 2001.) . ISBN 970686069X .

- Spivak, Michael D. . Cálculo infinitesimal /Michael Spivak. . 2a ed. . (1989.) . ISBN 84-291-5136-2 .

- Burgos, Juan de . Cálculo infinitesimal de una variable /Juan de Burgos Román. . (1994.) . ISBN 84-481-1899-5 .

- Cembranos Díaz, Pilar. . Cálculo integral /Pilar Cembranos y José Mendoza ; colección dirigida por José Manuel Gamboa. .

(2003.) . ISBN 8466726152 .

- Coquillat Durán, Fernando. . Cálculo integral :metodología y problemas /Fernando Coquillat. . Nueva ed. amp. . (1997.) . ISBN

84-7360-168-8 .

- Marsden, Jerrold E. . Calculus /Jerrold Marsden, Alan Weinstein. . 2nd. ed. . (1985.) . ISBN 0-387-90975-3 .

- Apostol, Tom M. . Calculus /Tom M. Apostol. . (Barcelona [etc.] :Reverté,2001) . ISBN 8429150013 (O.C.) .

- Priestley, William McGowen, . Calculus :an historical approach /William MacGowen Priestley. . (1979.) . ISBN 0-387-90349-6 .

- SALAS, Saturnino L. . Calculus. Salas, Hille, Etgen. . 4ã ed. . (2005.) . ISBN 84-291-5158-3 (v.2) .

- Diego Martín, Braulio de. . Ejercicios de análisis (Cálculo diferencial e integral) :primer curso de escuelas técnicas superiores y

facultades de ciencias /Braulio de Diego. . 3a ed. . (SevillaDeimos,1983.) . ISBN 84-400-9823-5 .

- Flory, Georges. . Ejercicios de topología y de análisis :para estudiantes del primer ciclo de universidad /G. Flory. . (1981.) .

ISBN 84-291-5073-0 .

- Fernández Viñas, J. M. . Ejercicios y problemas de Análisis Matemático I . (1986) .

- Leithold, Louis. . El cálculo, con geometría analítica /Louis Leithold. . 4. ed. . (1982.1982.) . ISBN 968-6034-21-8 .

- Rubio,B. . Funciones de variable real /Baldomero Rubio. . (Madrid :Baldomero Rubio,2007.) . ISBN 8493491810 .

- Durán Guardeño, Antonio J., . Historia, con personajes, de los conceptos del cálculo /Antonio José Durán. . (1996.) . ISBN

84-206-2861-1 .

- Bartle, Robert Gardner, . Introducción al análisis matemático /Robert G. Bartle. . 6a reimp. . (México [etc.]Limusa-Noriega,19) .


48

ISBN 968-18-0997-1 .

- White, A. J. . Introducción al análisis real /A.J. White. . (1973.) .

- Barbolla y otros . Introducción al análisis real /R. Barbolla García ... [et al.]. . [2a ed.] . (1981.) . ISBN 84-205-0771-7 .

- Liashkó, I.I, y otros . Matemática superior, problemas resueltos: anti-Demidóvich.I.I. Liashkó...[et al.] ; traducido del ruso bajo la

dirección de Viktoria O. Malishenko. . (1999.) . ISBN 5-88417-183-8 (O.c.) .

- Watson, N. A., . Mathematical analysis explained /Neil A. Watson. . (c1993.) . ISBN 9810215916 .

- B. Rubio . Números y convergencia . ISBN 9788493491802 .

- Rudin, Walter, . Principios de análisis matemático /Walter Rudin. . 3a ed. . (1980.) . ISBN 968-6046-82-8 .

- Bombal Gordon, Fernando. . Problemas de análisis matemático /Bombal, Rodríguez, Vera. . [2a ed.] . (1987.) . ISBN

84-7288-102-4 .

- Casasayas, Josefina y Cascante, M. C. . Problemas de análisis matemático de una variable real /Josefina Casasayas, Ma Carmen

Cascante. . (1990.) . ISBN 84-7747-034-0 .

- Tomeo Perucha, Venancio. . Problemas resueltos de cálculo en una variable /Venancio Tomeo Perucha, Isaías Uña Juárez,

Jesús San Martín Moreno. . (2005.) . ISBN 84-9732-289-4 .

- Guzmán, Miguel de, . Problemas, conceptos y métodos del análisis matemático :estrategias del pensamiento matemático

/Miguel de Guzmán, Baldomero Rubio. . (MadridPirámide,1993.) . ISBN 84-368-0554-2 .

- Spiegel, Murray R. . Teoría y problemas de cálculo superior /Murray R. Spiegel. . (1969.) .

- Toeplitz, Otto, . The calculus :a genetic approach /Otto Toeplitz ; translated by Luise Lange. . [Repr.] . (1981.) . ISBN

0226806677 .

8.3. Observaciones:


Página del Departamento:

http://www.departamento.us.es/danamate/

http://personal.us.es/freniche/

http://euler.us.es/~curbera



Trabajos desarrollados durante el curso.



Dependiendo del grupo, además del examen teórico-práctico final, se valoran exposiciones de ejercicios o temas y trabajos en

grupos.



Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de


Segundo Semestre H Total H Total H Total H Total H Total H Total Total -

Nº total de horas



49

Grupo A:

Tema 1: Números complejos.

Tema 2: Cálculo de primitivas.

Tema 3: Integrales definidas.

Tema 4: Integrales impropias.

Tema 5: Aplicaciones de la integral.

Tema 6: Series de números.

Tema 7: Series de potencias.

Tema 8: Sucesiones y series de funciones.

Grupo B:

Capítulo I:

Tema 1: Los números complejos.

Tema 2: Series de números.


Tema 4: Derivabilidad de funciones complejas. Sucesiones y series de funciones.

Capítulo II:

Tema 5: La integral de Riemann.

Tema 6: Métodos para el cálculo de primitivas.


Tema 8: Integrales impropias.

Grupo C:

Capítulo I: Elementos de variable compleja

Tema 1: El número complejo.

Tema 2: Series numéricas.


Tema 4: Sucesiones y series de funciones.

Capítulo II: La integral de Riemann

Tema 5: Introducción.

Tema 6: La integral de Riemann.

Tema 7: Integrales impropias de Riemann.



Grupo A: además de los exámenes finales fijados por la Junta de Facultad, hay tres exámenes voluntarios correspondientes a los

temas 1 y 2, 3, 4 y 5, y 6, 7 y 8 respectivamente.

Grupo B: además de los exámenes finales fijados por la junta de centro, hay dos exámenes parciales correspondientes a los


50

capítulos I y II en los que se puede aprobar la materia correspondiente.

Grupo C: este grupo se imparte en el primer cuatrimestre, además del examen final fijado por la Junta de Facultad, se realizan

dos exámenes voluntarios.




51


NOMBRE DE ASIGNATURA: Cálculo Numérico I


DEPARTAMENTO: Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico



Nombre: Cálculo Numérico I

Código: 650004








MARIA JOSE GARRIDO ATIENZA Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. Módulo 31, Fac. Matemáticas [email protected]

MANUEL LUNA LAYNEZ Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. Módulo 34, Fac. Matemáticas [email protected]

DANIEL FRANCO CORONIL Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. Módulo 33, Fac. Matemáticas [email protected]

JOSE DOMINGO MARTIN GOMEZ Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. Módulo 34, Fac. Matemáticas [email protected]


1. DESCRIPTORES

Resolución de ecuaciones lineales y no lineales. Métodos directos para sistemas lineales.

(Solution of linear and nonlinear equations. Direct methods for solving systems of linear equations.)

2. SITUACIÓN




La asignatura es troncal, y se imparte en el segundo cuatrimestre del primer curso de la Licenciatura. Constituye una asignatura

fundamental para otras de la Licenciatura, siendo de gran relevancia para los futuros egresados.


Se recomienda haber cursado las asignaturas de primer cuatrimestre de primer curso, fundamentalmente Álgebra Lineal y Elementos de

Análisis Matemático. Una continuación natural de la asignatura es Cálculo Numérico II, troncal que se imparte en primer cuatrimestre de

segundo curso.


52

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4









diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo









Liderazgo







Comprender la necesidad de los métodos numéricos para la resolución de problemas científico-técnicos.

Tener criterios para valorar y comparar distintos métodos en función de los problemas a resolver, el coste operativo y la

presencia de errores.

Conocer métodos directos para la resolución de sistemas lineales.

Conocer métodos iterativos para la resolución de ecuaciones no lineales.

Conocer métodos básicos de interpolación e integración numérica.

Usar herramientas informáticas para la resolución de problemas numéricos.



Resolución de modelos utilizando técnicas analíticas y numéricas.

Visualización e interpretación de soluciones..


53

Diseño de algoritmos de simulación.

















4. OBJETIVOS

Iniciar a los alumnos en los problemas que se plantean en el Cálculo y el Análisis Numérico y en las técnicas que se utilizan hoy

día para resolverlos. En concreto, introducirles en el estudio de métodos iterativos para la resolución de ecuaciones no lineales,

métodos directos para la resolución de sistemas lineales, técnicas de interpolación polinomial e integración numérica.

Proporcionar a los alumnos unos rudimentos sobre el uso del paquete informático MATLAB.

5. Metodología:

a) Clases teóricas: Serán de asistencia voluntaria. En su desarrollo se impartirán los conceptos y resultados teóricos de la

asignatura, mostrándose su aplicación mediante ejemplos, utilizandose, en la medida de lo posible, medios informáticos. En el

desarrollo de estas clases, los alumnos podrán plantear las dudas correspondientes que estimen oportunas. Asimismo, el

profesor podrá requerir la participación de los estudiantes.

b) Clases de problemas: Serán de asistencia voluntaria. En su desarrollo se realizarán ejercicios que permitirán afianzar los

conceptos teóricos de la asignatura, así como su aplicación. En su transcurso se repartirán hojas de problemas que convendrá

que el alumno trabaje fuera de las horas de clase, no limitándose al estudio de los problemas que el profesor realice en el aula.

Estas clases tendrán lugar una vez impartidos los correspondientes conceptos teóricos. En algunos casos el profesor podrá

dedicar parte de la hora de clase de teoría a problemas. En el desarrollo de estas clases, los alumnos podrán plantear las dudas

correspondientes que estimen oportunas. Asimismo el profesor podrá requerir la participación de los estudiantes.

c) Clases prácticas: Serán de asistencia obligatoria y se impartirán en el aula de informática. En su transcurso se realizará el

aprendizaje de un software matemático (MATLAB), así como se entrenará su utilización práctica, mediante la resolución de

ejercicios en el ordenador. Durante estas clases, los alumnos podrán plantear las dudas correspondientes que estimen

oportunas. Asimismo el profesor podrá requerir la participación de los estudiantes.

d) Tutorías personalizadas: Al comienzo del curso académico, el profesor publicará el horario de tutorías. En ellas el alumno

podrá plantear

las dudas correspondientes a los contenidos, tanto teóricos como prácticos, de la asignatura que considere necesarias.


54







• Trabajo grupo reducido (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 4,00 + 0,00 = 4,00





OTRAS: Trabajo en grupos reducidos. Prácticas en el aula de informática.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: De media, cada semana dedicaremos dos horas y media a la exposición de la teoría y una hora y

media a la resolución de ejercicios y problemas, a seminarios o a trabajos en grupos reducidos. Al acabar cada bloque temático

dedicaremos dos horas para la realización de un control, con el que pretendemos comprobar el nivel de conocimientos

adquiridos. Aproximadamente, las dos últimas semanas del cuatrimestre se impartirán en el aula de informática y se dedicarán

a iniciar a los alumnos en el uso de MATLAB.


Bloque I:

Métodos iterativos de resolución de ecuaciones no lineales.

Bloque II:

Métodos directos de resolución de sistemas lineales. Integración numérica e interpolación.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Kincaid, David & Cheney, Ward . Análisis numérico /David Kincaid y Ward Cheney ; versión en español de Rafael Martínez

Enríquez y Carlos Torres Alcaraz ; con la colaboración de Hans Luis Fetter Nathanksy. . (1994.) . ISBN 0-201-60130-3 .

- Nakamura, Shoichiro. . Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB /Shoichiro Nakamura ; traducción, Roberto

Escalona García, revisión técnica, Raimundo Hugo Rangel Gutiérrez. . (1997.) . ISBN 968-880-860-1 .

- Quesada Teruel, J. M.; Sánchez Gómez, C.; Jódar Reyes, J. & Martínez Moreno, J. . Análisis y métodos numéricos :Ingeniería

Técnica en Informática de Gestión . (2004) . ISBN 8484392228 .

- Quarteroni, Alfio, & Saleri, Fausto . Cálculo científico con MATLAB y Octave /A. Quarteroni, F. Saleri. . (2006.) . ISBN

8847005035 .

- Théodor, Raymond. . Initiation áa l'analyse numérique :C.N.A.M. /R. Théodor. . 3e éd. rev. et aug. . (1989.) . ISBN 2-903607-72-9

.

- Quintela Estévez, Peregrina. . Introducción a MATLAB y sus aplicaciones :una guía sencilla para aprender MATLAB de forma

natural, progresiva y práctica /Peregrina Quintela Estévez. . (1997.) . ISBN 84-8121-656-9 .


55

- Viaño Rey, Juan M. . Lecciones de métodos numéricos /Juan M. Viaño Rey. . (1997.) . ISBN 84-89641-57-9 .

- Domínguez Baguena, Víctor. . Matlab en cinco lecciones de numérico /Victor Domínguez Baguena, Mç Luisa Rapún Banzo. .

(Pamplona :Universidad Pública) . ISBN 9788497691956 .

- Infante del Río, J. A. & Rey Cabezas, J. M. . Métodos numéricos :teoría, problemas y prácticas con MATLAB /Juan Antonio

Infante del Río, José María Rey Cabezas. . (1999.) . ISBN 84-368-1390-1 .

- Mathews, J. H. & Fink, K. D. . Métodos numéricos con MATLAB /John H. Mathews, Kurtis D. Fink ; traducción Pedro José Paúl

Escolano ; revisión técnica, Antonio Fernández Carrión. . 3a ed., reimp. . (2000.) . ISBN 84-8322-181-0 .

- García Merayo, F. & Nevot Luna, A. . Métodos numéricos en forma de ejercicios resueltos /Félix García Merayo, Antonio Nevot

Luna. . (1997.) . ISBN 84-89708-07-X .

- Aubanell, A.; Benseny, A. & Delshams, A. . Utiles básicos de cálculo numérico / . (1993.) . ISBN 84-335-5156-6 .

8.2. Específica:

Para el bloque I:

A. Aubanell, A. Benseny y A. Delshams, "Útiles básicos de Cálculo Numérico". Labor, Barcelona, 1993.

J. A. Infante & J. M. Rey, "Métodos Numéricos: Teoría, problemas y prácticas con MATLAB".Ediciones Piramide, Madrid, 1999.

D. Kincaid y W. Cheney, "Análisis Numérico". Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1994.

J. M. Quesada, C. Sánchez, J. Jódar & J. Martínez, "Análisis y Métodos Numéricos: Ingeniería Técnica en Informática de

Gestión", Publicaciones Univ. Jaén, Jaén, 2004

J.H. Mathews y K.D. Fink, "Métodos numéricos con MATLAB". Prencite Hall, 2000.

R. Théodor, "Initiation a l'Analyse Numérique". Masson, Paris, 1989.

F. García & A. Nevot, "Métodos Numéricos", Univ. Pontificia de Comillas, Madrid, 1997.

Para el bloque II:

A. Aubanell, A. Benseny y A. Delshams, "Útiles básicos de Cálculo Numérico". Labor, Barcelona, 1993.

J. A. Infante y J. M. Rey, "Métodos Numéricos: Teoría, problemas y prácticas con MATLAB". Ediciones Pirámide, Madrid, 1999.

D. Kincaid y W. Cheney, "Análisis Numérico". Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1994.

R. Théodor, "Initiation a l'Analyse Numérique". Masson, Paris, 1989.

V. Domínguez Báguena y MªLuisa Rapún Bunzo, "Matlab en cinco lecciones de Numérico", Univ. Pública de Navarra, 2007.

F. García & A. Nevot, "Métodos Numéricos", UNiv. Pontificia de Comillas, Madrid, 1997.




Participación activa en las sesiones académicas.



Los alumnos podrán superar la asignatura a través de trabajos desarrollados durante el curso, la participación activa y la

realización de controles periódicos. Asimismo, también tendrán la posibilidad de superarla mediante un examen final.



Seminarios

Trabajo grupo

reducidoOtras actividades Exámenes Temario

Segundo Semestre H Total H Total H Total H Total H Total Total -

Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 28,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1


56


Seminarios

Trabajo grupo



Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 28,00 4,00 -

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 2

4ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

7ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 2 y 3

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

11ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 3 y 4

12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

14ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

15ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -



Definiciones. Métodos constructivos y no constructivos. Ejemplos de problemas del Cálculo Numérico. Convergencia y

estabilidad. Procedimiento general de resolución.

Tema 2: Métodos de resolución de ecuaciones no lineales.

Generalidades. Orden de convergencia. Método de bisección. Métodos de primer orden: aproximaciones sucesivas y variantes.

Métodos de segundo orden: método de Newton y variantes. Otros métodos.

Tema 3: Métodos directos de resolución de sistemas lineales.

Introducción. El método de Gauss. El método de Gauss-Jordan. El método LU. El método de Cholesky.

Tema 4: Introducción a la interpolación y a la integración numérica.

Generalidades. Interpolación de Lagrange. Integración numérica lineal a trozos.

Tema 5: Iniciación al MATLAB.

Operaciones elementales y primeros comandos. Vectores y matrices. Representaciones gráficas. Aplicación a la resolución de

problemas.


Pruebas intermedias al finalizar cada bloque, en las que se evalúan los conocimientos adquiridos. Participación en clase de

problemas y seminarios. Asistencia a tutorías.


57




58


NOMBRE DE ASIGNATURA: Ampliación de Geometría





Nombre: Ampliación de Geometría

Código: 650013








MARIA BELEN GUEMES ALZAGA Algebra [email protected]

MANUEL JESUS SOTO PRIETO Algebra [email protected]


1. DESCRIPTORES

Grupos Geométricos. Cónicas y Cuádricas.

2. SITUACIÓN




El estudio de la Geometría Proyectiva en este momento de la Licenciatura permite utilizar técnicas algebraicas (que suelen ser más

fácilmente adquiridas por el alumno debido a su carácter algorítmico), para llegar a resultados geométricos (que requieren un mayor esfuerzo

de abstracción para "visualizarlos''). Por tanto, constituye una asignatura reveladora para los estudiantes, que aplican conocimientos adquiridos

en cursos anteriores para obtener nuevos resultados.


Conocimientos de Álgebra Lineal en lo que se refiere a espacios vectoriales, variedades, sistemas de ecuaciones lineales, teorema de

Jordan de clasificación de endomorfismos de espacios vectoriales y clasificación de formas bilineales. También sería conveniente haber

cursado Geometría Afín y Euclídea.


59

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo








- Resolver problemas geométricos del espacio proyectivo. Interpretación del espacio afín como sibespacio del proyectivo.

- Conocer los cambios de sistemas de referencia.

- Construcciones geométricas del plano proyectivo y afín. Construcción de cuaternas armónicas y otras razones dobles.


60

- Homografías. Elementos invariantes.

- Clasificar hipercuádricas proyectivas y afines.

- Calcular elementos de cónicas y cuádricas afines.

- Resolver problemas de determinación de cónicas y cuádricas, como aplicación de los haces.



























4. OBJETIVOS

El objetivo básico de la asignatura es el estudio del espacio proyectivo como elemento unificador de los conceptos y métodos

del Álgebra Lineal y Geometrías Afín y Euclídea. Dichos conocimientos han sido explicados en las asignaturas Geometría y

Álgebra Lineal. El estudio de cónicas y cuádricas es el núcleo de la asignatura. Se insiste en el punto de vista "geométrico'',

como complemento, y a veces sustituto, del técnico-algebraico.

5. Metodología:

Cada semana se impartirán 2.5 horas de teoría y una de problemas; estos serán resueltos individualmente, o, en grupo por los

alumnos, a quienes se propondrá la semana anterior una selección de los mismos y se les tutorizará sobre su ejecución,

haciéndose responsable de su resuloción en la pizarra un grupo de ellos. Es resto del teimpo se dedicará a cursos de

programas de Geometría Interactiva en el aula de ordenadores. En el contexto de un seminario cada estudiante expondrá al

profesosr un problema o trabajo teórico propuesto. El estudiante cuenta con la guía previa del profesor para abordar esta tarea.


61










• Actividades Académicas Dirigidas con presencia del profesor (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de

horas): 0,00 + 0,00 = 0,00




OTRAS: - Sesiones prácticas en el aula de informática.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartirán 2.5 horas de teoría y 1 de problemas; estos serán resueltos

individualmente o en grupo por los alumnos,a quienes se propondrá la semana anterior una selección de los mismos,

haciéndose responsable de su resolución en la pizarra un grupo de ellos. El resto del tiempo se dedicará a cursos de programas

de Geometría Interactiva en el aula de ordenadores.


El espacio proyectivo. Homografías. El grupo lineal proyectivo. Razón doble.Hipercuádricas, Haces de Hipercuádricas e

Hipercuádricas Afines. Interpretación proyectiva de propiedades euclídeas.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Semple, J. G. . Algebraic projective geometry /by J.G. Semple and G.T. Kneebone. . (OxfordClarendon Press,1979.) .

- Abellanas Cebollero, Pedro. . Geometría básica /por Pedro Abellanas. . 2a ed. . (1969.) .

- Rodríguez-Sanjurjo, José M. . Geometría proyectiva /José M. Rodríguez-Sanjurjo, Jesús M. Ruiz. . (1998.) . ISBN 84-7829-016-8

.

- Santaló, Luis A. (Luis Antonio), . Geometría proyectiva /Luis A. Santaló. . (1966.) .

- Montesdeoca Delgado, Angel. . Geometría proyectiva:Cónicas y cuádricas /Angel Montesdeoca Delgado. . (D. L. 2001.) . ISBN

84-699-4085-6 .

- Samuel, Pierre, . Géométrie projective /Pierre Samuel. . (1986.) . ISBN 2-13-039367-5 .

- Sidler, Jean-Claude. . Géométrie projective :cours, exercices et probláemes corrigés /Jean Claude Sidler. . 2áe éd. . (2000.) .

ISBN 2100052349 .

- Tisseron, Claude. . Géométries affine, projective et euclidienne /Claude Tisseron. . [nouv. tir.] . (1994.) . ISBN 2-7056-1408-7 .

- Mataix Plana, José Luis. . Problemas de geometría analítica :resueltos y explicados /por José Luis Mataix Plana. . 5a ed. .

(1976.) . ISBN 84-237-0218-9 .


62

- Coxeter, H. S. M. . Projective geometry /[by] H.S.M. Coxeter. . 2d ed. . (1974.) .

- Kadison, Lars. . Projective geometry and modern algebra /Lars Kadison, Matthias T. Kromann. . (1996.) . ISBN 0-8176-3900-4 .

- Richter Gebert, Jèurgen, . The interactive geometry software CinderellaJèurgen Richter-Gebert, Ulrich H. Kortenkamp. . (1999.)

. ISBN 3-540-14719-5 .

8.2. Específica:

1.- Berger, M.: "Geometrie, vols. 1 2 y 4 " ed. Fernand Nathan, Paris, 1978

2.- Berger, M., Pansu, P. Berry, J.P. y Saint-raymond,X.: "Problems in Geometry" Springer-Verlag, New York, 1984

3.- Donnedu, A., "Complements de Geometrie Algebrique, 3" Dunod, Paris,1988.

4.- Fraenkel, J., "Geometrie pour l´éleve-professeur" ed. Hermann, Paris, 1973

8.3. Observaciones:

http://www.cinderella.de







El trabajo dirigido por el profesor, y eventualmente expuesto en clase, ya sean problemas de las relaciones o cuestiones teóricas

de ampliación del programa constituirán el 20 % de la calificación final. El 75 % de ella se obtendrá a través de la realización de

una prueba final de conocimientos, y el 5 % restante por las prácticas en el aula de informática.



Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Actividades

Académicas

Dirigidas con

presencia del

profesor

Trabajo de


Primer Semestre H Total H Total H Total H Total H Total H Total H Total Total -

Nº total de horas 32,00 80,00 24,00 48,00 0,00 0,00 4,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

4ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

6ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

7ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6

11ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 7

12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 7, 8


63


Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Actividades

Académicas

Dirigidas con

presencia del

profesor

Trabajo de


Primer Semestre H Total H Total H Total H Total H Total H Total H Total Total -

Nº total de horas 32,00 80,00 24,00 48,00 0,00 0,00 4,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,00 -

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 8

14ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 9

15ªSemana 0,00 0,00 4,00 8,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 9

16ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,00 -


Tema 1: El espacio proyectivo Pⁿ(k). Sistemas de referencia. Dualidad.

Tema 2: Homografías. Ecuaciones. Ejemplos.

Tema 3: El grupo lineal proyectivo. Homologías. Afinidades.

Tema 4: Razón doble. Homografías entre rectas proyectivas. Cuaternas armónicas.

Tema 5: Hipercuádricas. Clasificación proyectiva.

Tema 6: Polaridad. Tangentes. Estudio geométrico de las cónicas y cuádricas.

Tema 7: Haces de hipercuádricas. Clasificación de los haces de cónicas. Determinación de cónicas.

Tema 8: Hipercuádricas afines. Clasificación y elementos.

Tema 9: Interpretación proyectiva de propiedades euclídeas. Elementos de las cónicas y cuádricas euclídeas.


El trabajo dirigido será controlado semanalmente a través de la entrega de los ejercicios propuestos la semana anterior y la

resolución de los mismos por el grupo de alumnos al que le corresponda. El seguimiento de las prácticas de informática se hará

proponiendo cuestiones que los alumnos deben resolver y remitir por correo electrónico al profesor. Tras la finalización de las

clases se efectuará la prueba escrita de conocimiento.




64


NOMBRE DE ASIGNATURA: Análisis Matemático II





Nombre: Análisis Matemático II

Código: 650009








JOSE CARMONA ALVAREZ Análisis Matemático [email protected]

JOSE ANTONIO FACENDA AGUIRRE Análisis Matemático [email protected]


1. DESCRIPTORES

Análisis de varias variables reales: Diferenciación. Aplicaciones.

Analysis of Several Real Variables. Differentiation. Applications.

2. SITUACIÓN




Es una asignatura Troncal en Segundo Curso de la Licenciatura. Su repercución en otras asignaturas es la que corresponde a una

asignatura Troncal.


Se recomienda tener aprobadas todas las asignaturas de Primer Curso antes de cursar ésta y, en particular las asignaturas: Álgebra Lineal,

Elementos de Análisis Matemático, Análisis Matemático I, y Elementos de Geometría Diferencial y Topología

3. COMPETENCIAS


65







Referencia 1 2 3 4







diferentes fuentes



Trabajo en equipo














El alumno debe conocer no sólo los fundamentos teóricos de los conocimientos a los que tiene acceso, tanto en su estado

actual como en su evolución histórica, sino también instrumentos de aplicación que faciliten una base teórico-práctica para el

desarrollo óptimo de otras competencias y habilidades.












66











4. OBJETIVOS

Se pretende que el alumno adquiera los conocimientos necesarios para calcular límites de funciones de varias variables,

derivadas parciales, diferenciabilidad, derivadas de funciones compuestas, inversas e implícitas, extremos libres y

condicionados.

5. Metodología:










OTRAS: - Seminarios.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: En media se impartirán 2,4 horas de teoría y 1,6 horas de problemas por semana. Además se

realizarán, a lo sumo, tres sesiones de dos horas cada una de trabajos en clase.


Espacio euclídeo R^n, Norma. Diferenciación en varias variables. Extremos libres y condicionados. Funciones inversas e

implícitas.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:



67

- CARMONA J.;FACENDA J.A.;FRENICHE F.J. . "EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL DE VARIAS VARIABLES" . -1ª . (2008)

. ISBN 978-84-472-0981-1 .

- Rey Pastor, Julio, . Análisis matemático /Julio Rey Pastor, Pedro Pi Calleja, César A. Trejo. . (Buenos AiresKapelusz,1959.) .

- Apostol, Tom M. . Análisis matemático /T.M. Apostol. . 2a ed. . (1976.) .

- Castillo, Florencio del. . Análisis matemático.F. del Castillo. . (1980.) . ISBN 8420507067 .

- Marsden, Jerrold E. . Basic multivariable calculus /Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba, Alan Weinstein. . (1993.) . ISBN

3-540-97976-X .

- Spivak, Michael D. . Cálculo en variedades /Michael Spivak. . (1970.) .

- Stewart, James, . Cálculo multivariable /James Stewart. . 4a ed. . (México :International Thomson,) . ISBN 9706861238 .

- Larson, Ron, . Cálculo y geometría analítica /Roland E. Larson, Robert P. Hostetler. . 3a ed. . (1989.) . ISBN 84-7615-240-X .

- Apostol, Tom M. . Calculus /Tom M. Apostol. . 2a ed. . (1973.) . ISBN 84-291-5003-3 O.C.* .

- Flory, Georges. . Ejercicios de topología y de análisis :para estudiantes del primer ciclo de universidad /G. Flory. . (Barcelona

[etc.]Reverté,1981.) . ISBN 84-291-5073-0 .

- Fernández Viña, José Antonio. . Ejercicios y complementos de análisis matemático.José Antonio Fernández Viña, Eva Sánchez

Mañes. . (1986.) . ISBN 84-309-1344-0 .

- Webb, J. R. L. . Functions of several real variables /J.R.L. Webb. . (1991.) . ISBN 0-13-763434-X .

Matemática superior, problemas resueltos: anti-Demidóvich.I.I. Liashkó...[et al.] ; traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O.

Malishenko. . (1999.) . ISBN 5-88417-183-8 (O.c.) .

- Rudin, Walter, . Principios de análisis matemático /Walter Rudin. . 3a ed. . (1980.) . ISBN 968-6046-82-8 .


84-7288-102-4 .

8.2. Específica:

CARMONA J.; FACENDA J.A.; FRENICHE F.J. "EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL DE VARIAS VARIABLES" .Secretariado

de Publicaciones de la Universidad de Sevilla, 2008

CONTIENE LOS RESÚMENES TEÓRICOS DE LA ASIGNATURA Y EJERCICIOS COMPLETAMENTE DESAROLLADOS

8.3. Observaciones:


www.personal.us.es/jocar

www.personal.us.es/facenda






Se realizarán dos pruebas voluntarias de carácter teórico práctico. Cada una se valorará sobre 10 puntos. Los alumnos que

obtengan al menos 5 puntos en cada una de éstas, aprobarán la asignatura por curso con la calificación media obtenida en ellas.

El resto deberá presentarse a examen final de la asignatura, que se valorará sobre 10 puntos.

La calificación en el primer examen final ordinario de este curso académico al que se presente el alumno se obtendrá añadiendo

a la nota obtenida en este examen el 20% de la nota de la prueba anterior en la que haya obtenido al menos 5 puntos. Para

aprobar la asignatura la calificación final deberá ser mayor o igual que 5 puntos.



68




Nº total de horas 32,00 96,00 20,00 50,00 2,00 4,00 6,00 -

1ªSemana 4,00 12,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

2ªSemana 4,00 12,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 -

4ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 -

5ªSemana 3,00 9,00 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 -

6ªSemana 3,00 9,00 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 -

7ªSemana 1,00 3,00 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 -

8ªSemana 2,00 6,00 1,00 2,50 1,00 2,00 0,00 -

9ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 0,00 0,00 1,50 -

10ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 -

11ªSemana 1,00 3,00 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 -

12ªSemana 2,00 6,00 1,00 2,50 1,00 2,00 0,00 -

13ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 -

14ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 -

15ªSemana 0,00 0,00 2,00 5,00 0,00 0,00 1,50 -

16ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,00 -


Tema 1: Espacio euclídeo R^n

Norma: topología asociada a una norma; Sucesiones. Conjuntos acotados y compactos. Límite y continuidad. Aplicaciones

lineales y continuas: Equivalencia de normas en R^n;.

Tema 2: Cálculo diferencial en R^n;.

Diferenciabilidad. Regla de la cadena. Derivadas parciales y direccionales. Matriz Jacobiana. Condición suficiente de

diferenciabilidad. Teorema del valor medio.

Tema 3: Fórmula de Taylor. Extremos.

Derivadas de orden superior: Igualdad de derivadas cruzadas. Teorema de Taylor. Extremos relativos: Extremos libres. Extremos

condicionados. Teorema de los multiplicadores de Lagrange.

Tema 4: Funciones implícitas.


69

Teorema de la función inversa. Teorema de la función implícita. Derivada de la función implícita.


Los que correspondan.




70


NOMBRE DE ASIGNATURA: Cálculo Numérico II





Nombre: Cálculo Numérico II

Código: 650010








JOSE ANTONIO LANGA ROSADO Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. Módulo 34 (3ª planta) [email protected]

JUAN CASADO DIAZ Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. Módulo 33 (3ª planta) [email protected]


1. DESCRIPTORES

Otros métodos para sistemas lineales. Autovalores y autovectores. Resolución de sistemas no lineales.

(Other methods for solving linear systems. Eigenvalues and Eingenvectors. Solution of systems of nonlinear ecuaciones).

2. SITUACIÓN




La asignatura Cálculo Numérico II es troncal de segundo curso, y se imparte en el primer cuatrimestre. Desarrolla algunos de los métodos

numéricos de la asignatura de segundo cuatrimestre de primer curso Calculo Numérico I, por lo que es conveniente haber cursado con

aprovechamiento dicha asignatura. Por otro lado, profundiza en algunos conceptos del análisis numérico, que seguirán siendo importantes en

asignaturas posteriores del plan de estudios.


Tener aprobada la asignatura de Cálculo Numérico I.


71

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4









diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo



Compromiso ético








Competencias cognitivas (saber):

- Conocer lo que es un algoritmo numérico, las técnicas básicas del cálculo numérico para problemas concretos, y su

traducción a algoritmos.

- Tener criterios para valorar y comparar distintos métodos numéricos.













72













4. OBJETIVOS

El objetivo de esta asignatura es iniciar a los alumnos en algunos de los problemas que se plantean en el Cálculo y el Análisis

Numérico y en las técnicas que se utilizan hoy día para resolverlos. Se trata el problema del condicionamiento de los sistemas

lineales (esbozado en Primer Curso), los métodos iterativos de resolución de sistemas lineales y no lineales (que completan los

métodos directos ya conocidos) y el problema de la aproximación numérica de autovalores y autovectores.

5. Metodología:






• Prácticas ordenador (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 8,00 + 0,00 = 8,00





OTRAS: - Sesiones prácticas en el aula de informática.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada tema se desarrollará teóricamente en un primer momento, para complementarlo con clases

prácticas de problemas a continuación. Además, a lo largo del curso, dedicaremos 10 horas de clases prácticas en el aula de

informática.


Condicionamiento de los sistemas lineales. Métodos iterativos de resolución de sistemas lineales. Aproximación numérica de


73

autovalores y autovectores. Métodos de aproximación de raíces de sistemas no lineales.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Burden, Richard L. . Análisis numérico /Richard L. Burden, J. Douglas Faires. . (1985.) . ISBN 968-7270-09-8 .

- Héron, Bernard. . Analyse numérique :exercices et probláemes corrigés /Bernard Héron, Franðcoise Issard-Roche, Colette

Picard. . Nouvelle présentation, 2005. . (Paris :Dunod,2005.) . ISBN 2-10-049154-7 .

- Ciarlet, Philippe G. . Exercices d'analyse numérique matricielle et d'optimisation :avec solutions /P.G. Ciarlet, B. Miara, J.-M.

Thomas. . 2e éd., 2e tir. . (Paris [etc.]Masson,1991.) . ISBN 2-225-81027-3 .

- Ciarlet, Philippe G. . Introduction áa l'analyse numérique matricielle et áa l'optimisation /P. G. Ciarlet. . 4e. tirage. . (Paris

[etc.]Masson,1990.) . ISBN 2-225-68893-1 .

- Infante del Río, Juan Antonio. . Métodos numéricos :teoría, problemas y prácticas con MATLAB /Juan Antonio Infante del Río,

José María Rey Cabezas. . (1999.) . ISBN 84-368-1390-1 .

- Kincaid, David. . Numerical analysis :mathematics of scientific computing /David Kincaid, Ward Cheney. . 3rd ed. . (2002.) .

ISBN 0534389058 .

- Quarteroni, Alfio. . Numerical mathematics /Alfio Quarteroni, Fausto Saleri, Ricardo Sacco. . (2000.) . ISBN 0-387-98959-5 .

- Aubanell, Anton. . Utiles básicos de cálculo numérico /A. Aubanell, A. Benseny, A. Delshams. . (1993.) . ISBN 84-335-5156-6 .






Para aprobar la asignatura existen dos convocatorias, una en el mes febrero y otra en septiembre y es imprescindible haber

superado una prueba relativa a las prácticas con el ordenador. Se harán además dos pruebas parciales eliminatorias, antes del

examen de la primera convocatoria, de la que se hará media para una primera propuesta de calificación del alumno.


HORAS SEMANALES Teoría Prácticas Prácticas ordenadorTrabajo de



Nº total de horas 38,00 85,50 24,00 54,00 8,00 8,00 4,00 4,00 6,00 -

1ªSemana 3,00 6,75 1,00 2,25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 tema 1

2ªSemana 3,00 6,75 1,00 2,25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 tema 1

3ªSemana 2,00 4,50 2,00 4,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 tema 1

4ªSemana 2,00 4,50 2,00 4,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 temas 1 y 2

5ªSemana 3,00 6,75 1,00 2,25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 tema 2

6ªSemana 3,00 6,75 1,00 2,25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 tema 2

7ªSemana 3,00 6,75 1,00 2,25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 tema 3

8ªSemana 2,00 4,50 2,00 4,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 tema 3

9ªSemana 2,00 4,50 2,00 4,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 tema 4


74

HORAS SEMANALES Teoría Prácticas Prácticas ordenadorTrabajo de



Nº total de horas 38,00 85,50 24,00 54,00 8,00 8,00 4,00 4,00 6,00 -

10ªSemana 2,00 4,50 2,00 4,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 tema 4

11ªSemana 3,00 6,75 1,00 2,25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 temas 4 y 5

12ªSemana 3,00 6,75 1,00 2,25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 tema 5

13ªSemana 2,00 4,50 2,00 4,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 tema 5

14ªSemana 2,00 4,50 2,00 4,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 temas 5 y 6

15ªSemana 2,00 4,50 2,00 4,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 tema 6

16ªSemana 1,00 2,25 1,00 2,25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 tema 6

17ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 4,00 4,00 0,00 0,00 0,00 -

18ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 4,00 4,00 0,00 0,00 0,00 -

19ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,00 4,00 2,00 -

20ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,00 -


Tema 1: Elelementos de Álgebra lineal. Normas.

Normas vectoriales y matriciales. Normas subordinadas. Convergencia.

Tema 2: Métodos Iterativos de resolución de sistemas.

Generalidades sobre la convergencia de los métodos iterativos. Métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y relajación. Resultados de

convergencia.

Tema 3: Condicionamiento.

Condicionamiento de sistemas lineales. Precondicionamiento. Condicionamiento de problemas de autovalores.

Tema 4: Métodos de descenso: métodos de gradiente y de gradiente conjugado.

Tema 5: Localización y aproximación de autovalores y autovectores.

Introducción. Localización de autovalores. Método de la potencia: resultados de convergencia. Método de Givens: resultados de

convergencia.

Tema 6: Resolución de sistemas no lineales.

Métodos de primer orden (aproximaciones sucesivas). Métodos de segundo orden (método de Newton y variantes).

Prácticas con ordenador.

Resolución numérica de sistemas lineales, ecuaciones no lineales y problemas de autovalores. Elementos básicos de

programación en MATLAB.


Pruebas parciales de los temas 1, 2 y 3, por un lado, y temas 4, 5 y 6 por el otro. Además, insistencia en que los alumnos pasen

por las tutorías.


75




76


NOMBRE DE ASIGNATURA: Cálculo de Probabilidades


DEPARTAMENTO: Estadística e Investigación Operativa



Nombre: Cálculo de Probabilidades

Código: 650011








JUAN LUIS MORENO REBOLLO Estadística e Investigación Operativa [email protected]

ANTONIO POZO CHIA Estadística e Investigación Operativa [email protected]

JOAQUIN MUÑOZ GARCÍA Estadística e Investigación Operativa Joaquin Muñoz <[email protected]>


1. DESCRIPTORES

Modelos probabilísticos. Variables aleatorias. Convergencia de sucesiones de variables aleatorias.

2. SITUACIÓN




Esta asignatura se imparte en el curso segundo de la titulación y constituye el primer contacto del alumno con el razonamiento no

determinístico.


Esta asignatura es indispensable para el seguimiento de las asignaturas: Estadística Matemática, Inferencia Estadística, Modelos Lineales,

Métodos Estadísticos Multivariantes y Ampliación de Probabilidades y Procesos Estocásticos.

3. COMPETENCIAS



77






Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









Todos los aspectos básicos del Cálculo de Probabilidades.



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4. OBJETIVOS

El objetivo de esta asignatura es la exposición de los aspectos básicos del Cálculo de Probabilidades, tanto por su interés

intrínseco, como por ser la base que permitirá abordar posteriormente la Estadística Matemática.

5. Metodología:












79



OTRAS: - Seminarios. - Trabajo en grupos reducidos.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: En media, la forma en la que se desarrollará el curso será que cada semana se impartirán 2 horas de

teoría y 1 de problemas, Seminario o Trabajo en grupo.


Experimentos aleatorios. Modelo probabilístico general. Modelos de variables aleatorias.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Chung, Kai Lai, . A course in probability theory. . 2d ed. . (1974.) . ISBN 012174650X .

- Rohatgi, Vijay K., . An introduction to probability theory and mathematical statistics /V. K. Rohatgi. . (1976.) . ISBN

0-471-73135-8 .

- Neveu, J. . Bases mathématiques du calcul des probabilités /Par Jacques Neveu ; préface, R. Fortet. . 2émáe ed. rev. et augm. .

(ParisMasson,1970.) .

- Renyi, Alfréd. . Cálculo de probabilidades /A. Rényi ; [versión española, Angel Butrón Ruiz ; revisada por Enrique Linés

Escardó] . (1976.) . ISBN 84-291-5114-1 .

- Krief, Albert. . Cálculo de probabilidades : problemas /Albert Krief, Shemaya Lévy. . (1978.) . ISBN 84-368-0088-5 .

- Quesada Paloma, Vicente. . Curso superior de probabilidades /Vicente Quesada Paloma, Leandro Pardo Llorente. . (1987.) .

ISBN 84-7665-182-1 .

- Ríos García, Sixto. . Ejercicios de estadística /Sixto Rios. . 2a ed. rev. y amp. . (1974.) . ISBN 84-7085-076-8 .

Ejercicios y problemas de cálculo de probabilidades /Javier Montero... [et al.] . (1988.) . ISBN 84-86251-75-3 .

Ejercicios y problemas de cálculo de probabilidades /Javier Montero... [et al.] . (1988.) . ISBN 84-86251-75-3 .

- Feller, William, . Introducción a la teoría de probabilidades y sus aplicaciones /William Feller ; revisión, Octavio S. Rascón

Chávez y Guillermo Vaz Téllez. . 2a ed. . (1973-1978.) .

- Billingsley, Patrick. . Probability and measure /Patrisck Billingsley. . 3rd ed. . (1995.) . ISBN 0-471-00710-2 .

- Grimmett, Geoffrey. . Probability and random processes /Geoffrey Grimmet, David Stirzaker. . 2nd ed., reprint. . (1994.) . ISBN

0-19-853665-8 .

- DeGroot, Morris H. . Probability and statistics /Morris H. DeGroot. . 2nd ed. . (1986.) . ISBN 0-201-11366-X .

- Bauer, Heinz, . Probability theory and elements of measure theory /Heinz Bauer ; English translation by R.B. Burckel ; adapted

from the first English ed. and based on the third German ed. . 2nd English ed. . (1981.) . ISBN 0120828200 .

- Ventzel, Elena Sergeevna. . Problemas de cálculo de probabilidades :con soluciones /E. S. Wentzel y L. A. Owtscharow. . (1978.)

. ISBN 84-283-0934-5 .

- Cuadras Avellana, Carlos María. . Problemas de probabilidades y estadística /C.M. Cuadras. . 4a ed. . (1982-1983.) . ISBN

84-86130-05-0 .

- Hernández, Victor. . Problemas y ejercicios de teoría de la probabilidad /Victor Hernández, Juan J. Romo, Ricardo Vélez. .

(MadridUniversidad Nacional de) . ISBN 84-362-2461-2 .

- Domínguez, Juan Ignacio. . Problemas y fundamentos de la teoría de la probabilidad /Juan Ignacio Domínguez. . (1989.) . ISBN

84-7496-182-3 .

- Ibarrola Muñoz, Pilar. . Teoría de la probabilidad /Pilar Ibarrola, Leandro Pardo, Vicente Quesada. . (1997.) . ISBN 84-7738-516-5

.

- Gmurman, V. E. (Vladimir Efimovich) . Teoría de las probabilidades y estadística matemática /V.E. Gmurman. . (MoscúMir,1974.)


80

.

- Port, Sidney C. . Theoretical probability for applications /Sidney C. Port. . (1994.) . ISBN 0-471-63216-3 .


Durante el periodo de clases, se realizarán dos exámenes. Cada examen constará de dos partes: teoría y práctica, siendo la nota

global la media entre ambas partes, siempre que en cada una de las partes se supere la calificación de tres puntos sobre diez.

Los alumnos que aprueben ambas pruebas tendrán la asignatura aprobada por curso.

Aquellos que no aprueben por curso deberán presentarse a la totalidad de la asignatura en las convocatorias oficiales. Los

exámenes constarán de dos partes: teoría y práctica, siendo la nota global la media entre ambas partes, siempre que en cada una

de las partes se supere la calificación de tres puntos sobre diez


El examen teórico-práctico tendrá una valoración del 50% en cada una de las partes



Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 25,50 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 1 y 2

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

4ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

7ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 6

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 6

11ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 7

12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 7

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 8

14ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 8

15ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 9


Tema1: Introducción a la teoría de la probabilidad.

Tema 2: Experimentos aleatorios. Álgebra y σ-Álgebra. Clases monótonas. Relaciones.


81

Tema 3: Modelo probabilístico general. Axiomática de Kolmogorov.

Tema 4: Probabilidad Condicionada. Independencia.

Tema 5: Funciones medibles. Variables Aleatorias. Función de Distribución asociada a una variable aleatoria.

Tema 6: Características numéricas asociadas a una variable aleatoria. Función generatriz de momentos.

Tema 7: Modelos de variables aleatorias.

Tema 8: Vectores aleatorios. Distribuciones asociadas. Características.

Tema 9: Introducción a la convergencia de sucesiones de variables aleatorias.


Se podrán realizar encuestas y reuniones entre los profesores de la asignatura




82


NOMBRE DE ASIGNATURA: Física Teórica


DEPARTAMENTO: Física Atómica, Molecular y Nuclear



Nombre: Física Teórica

Código: 650015








FRANCISCO MORENO FRANCO Física Atómica, Molecular y Nuclear [email protected]

PABLO MAYNAR BLANCO Física Atómica, Molecular y Nuclear [email protected]

ALVARO DOMINGUEZ ALVAREZ Física Atómica, Molecular y Nuclear [email protected]


1. DESCRIPTORES

Campos. Electrostática. Magnetostática. Ecuaciones de Maxwell. Fundamentos de física moderna.

Fields. Electrostatics. Magnetostatics. Maxwell's equations.

Foundations of modern physics.

2. SITUACIÓN




Esta asignatura se encuentra situada en el segundo curso de la licenciatura, y completa la formación básica en Física que se intenta

proporcionar a los licenciados en Matemáticas de la Universidad de Sevilla, iniciada con la Física General de segundo curso. La situación

dentro de la carrera se considera adecuada, dado que el nivel matemático con el que llega el alumno es correcto para el desarrollo de la

asignatura. Esta formación básica en los conceptos de la Física es fundamental para un matemático, ya que la Física es la rama del saber que

con más claridad ha contribuido al desarrollo de las Matemáticas. De hecho, durante gran parte de la Historia, la Física y las Matemáticas se


83

han desarrollado en paralelo. Esto supone ya una repercusión notable para el bagaje que todo licenciado en Matemáticas debe tener.

Además, este conocimiento de la Física a nivel universitario ayuda a la inserción laboral de los egresados que, en número relevante, se

dedican a la docencia no universitaria, para la que el conocimiento de materias afines es fundamental.


Lógicamente, se recomienda tener aprobada la Física General de primer curso para realizar esta asignatura, que es una continuación natural

de ésta. Al no haber asignaturas posteriores de Física en la carrera, esta asignatura no es un prerequisito imprescindible para cursar el resto de

la licenciatura. Sin embargo, la utilización de diversas técnicas matemáticas para el planteamiento y resolución de problemas físicos hace que

tenga una relación muy estrecha con otras asignaturas posteriores y anteriores de la licenciatura en Matemáticas. Así, para cursarla es

conveniente un conocimiento bueno de álgebra vectorial, así como de los elementos del cálculo diferencial e integral. Además, en esta

asignatura se definen los conceptos básicos de la teoría de campos en Física. Para ello es necesario introducir una serie de conceptos

matemáticos que el estudiante verá de modo más riguroso en las asignaturas posteriores de Análisis Matemático, pero que se ven

enriquecidos con la imagen intuitiva aportada en este curso. Una situación similar se da en el planteamiento y resolución de ecuaciones

diferenciales, que se relacionan con las diversas asignaturas de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico de la licenciatura.

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







84


Liderazgo









Conocer el concepto de campo escalar y vectorial en Física. Saber calcular los campos (gravitatorio, eléctrico y magnético)

generados por distribuciones sencillas, tanto por la aplicación del principio de superposición como por la aplicación de

teoremas integrales, como las leyes de Gauss y de Ampere (relacionados con los teoremas de la divergencia y de Stokes).

Resolver el movimiento de partículas en presencia de los campos anteriores, mediante el uso de la segunda ley de Newton y/o

las leyes de conservación.



























4. OBJETIVOS


85

- Desarrollar la intuición física.

- Manejar los esquemas conceptuales básicos de la física: partícula, onda, campo, sistema de referencia, energía, momento, leyes

de conservación, puntos de vista microscópico y macroscópico, etc.

- Apreciar que el modo de trabajo en física es identificar la esencia de los fenómenos.

- Comprender la estrecha relación existente entre la Física y las Matemáticas.

- Adquirir seguridad en la modelización y resolución de problemas físicos sencillos..

5. Metodología:













OTRAS: - Seminarios. - Trabajos en grupos reducidos.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartirán, en media, 3 horas de teoría y 2 horas de problemas. Estas horas de

problemas no serán necesariamente al final de cada tema, sino cuando se estime conveniente para ilustrar los conceptos

introducidos en la teoría. Las clases de problemas serán participativas, algunos problemas serán realizados por el profesor y

otros por los alumnos, que deberán haberlos preparado previamente, sólos o en grupos reducidos.


Interacción gravitatoria. Interacción electrostática. Conductores y dieléctricos. Campo magnético. Ecuaciones de Maxwell. Ondas.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Alonso, Marcelo. . Física /Marcelo Alonso, Edward J. Finn. . (Argentina [etc.] :Addison-Wesl) . ISBN 0-201-62565-2 .

- Tipler, Paul Allen. . Física /Paul A. Tipler. . 3a ed. . (Barcelona [etc.]Reverté,1996.) . ISBN 84-291-4368-8 (v.2) .

- Burbano de Ercilla, Santiago. . Física general /Santiago Burbano de Ercilla, Enrique Burbano García, Carlos Gracia Muñoz. . 31a


86

ed. . (ZaragozaMira,1993.) . ISBN 84-86778-59-X .

- Burbano de Ercilla, Santiago. . Problemas de física general /Santiago Burbano de Ercilla, Enrique Burbano García, Carlos Gracia

Muñoz. . 26a ed. . (Zaragoza :Mira,1994.) . ISBN 84-88688-61-X .

8.2. Específica:

Para todos los temas del curso (teoría):

- M. Alonso y E. J. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana, Buenos Aires, 1995.

- S. Burbano, E. Burbano y C. Gracia, Física General, Mira Editores, Zaragoza, 1993.

Problemas:

- M. Alonso y E. J. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana, Buenos Aires, 1995.

- S. Burbano, E. Burbano y C. Gracia, Problemas de Física, Mira Editores, Zaragoza, 1994.

El texto 'P. A. Tipler, Física, Reverté, Barcelona, 1996.' es de un nivel algo inferior al de la asignatura, pero puede ser útil como

lectura complementaria.







Se proponen dos mecanismos de evaluación alternativos (excluyentes), a elección del alumno, que tendrá un plazo de diez días

para elegir entre ellos al comienzo del curso:

1) Evaluación continua: El alumno se evaluará en base de modo continuo, en base a las calificaciones obtenidas por los

problemas realizados en la pizarra o por escrito en clase o en seminarios específicos para los alumnos acogidos a este sistema, y

los controles periódicos de adquisición de conocimientos que eventualmente se realicen.

2) Evaluación con examen final: Los alumnos se evaluarán de acuerdo a la nota del examen final, que se realizará en la fecha

establecida por la Junta de Facultad. Esta nota se podrá ver incrementada hasta un punto y medio por el trabajo realizado

durante el curso, en la forma de problemas entregados a propuesta del profesor, que podrá exigir su defensa en la pizarra, así

como los controles periódicos de adquisición de conocimientos que eventualmente se realicen.



Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 38,50 96,25 25,50 56,10 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 28,60 0,00 0,00 6,00 -

1ªSemana 5,00 12,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

2ªSemana 1,00 2,50 3,00 6,60 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1, 2


87


Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 38,50 96,25 25,50 56,10 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 28,60 0,00 0,00 6,00 -

3ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,20 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

4ªSemana 2,00 5,00 3,00 6,60 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

5ªSemana 2,50 6,25 1,00 2,20 0,00 0,00 0,50 0,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Tema 3 (control

1, 2)

6ªSemana 2,50 6,25 2,00 4,40 0,50 0,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

7ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,40 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3, 4

8ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,40 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

9ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,20 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Tema 4, 5

(control 3, 4)

10ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,40 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

11ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,20 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

12ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,40 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5, 6

13ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,40 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 7

14ªSemana 2,50 6,25 1,50 3,30 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Tema 7, 8 (cotrol

5, 6, 7)

15ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,40 0,50 0,50 0,50 0,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 8, 9



Campos escalares y vectoriales. Concepto de gradiente. Aplicaciones.

Tema 2: Interacción gravitatoria.

Ley de gravitación. Leyes de Kepler. Campo y potencial. Teorema de Gauss.

Tema 3: Interacción electrostática.

Ley de Coulomb. Campo y potencial electrostáticos. Dipolo eléctrico.

Tema 4: Conductores y dieléctricos.

Conductores. Vector de polarización. Vector desplazamiento.


88

Tema 5: Campo magnético.

Corriente eléctrica. Ley de Biot-Savart. Ley de Ampere.

Tema 6: Materiales magnéticos.

Vector imanación. Vector H.

Tema 7: Ecuaciones de Maxwell.

Ley de Faraday. Ley de Lenz. Ecuaciones de Maxwell.

Tema 8: Ondas.

Movimiento ondulatorio. Ondas electromagnéticas.

Tema 9: Conceptos básicos de Física moderna.


La asignatura se someterá a los mecanismos de control y seguimiento que establezca el Departamento, la Facultad y el

Rectorado. Asimismo, se facilitará la recogida de sugerencias realizadas por los alumnos que cursen la asignatura




89


NOMBRE DE ASIGNATURA: Ampliación de la Teoría de Funciones de Varias Variables





Nombre: Ampliación de la Teoría de

Funciones de Varias Variables

Código: 650014








JOSE ANTONIO FACENDA AGUIRRE Análisis Matemático [email protected]

JOSE CARMONA ALVAREZ Análisis Matemático [email protected]

MANUEL ORDOÑEZ CABRERA Análisis Matemático [email protected]


1. DESCRIPTORES

Análisis de varias variables reales: Diferenciación. Aplicaciones.

Analysis of Several Real Variables. Differentiation. Applications.

2. SITUACIÓN




Es una asignatura Troncal en Segundo Curso de la Licenciatura. Su repercución en otras asignaturas es la que corresponde a una

asignatura Troncal.


Se recomienda tener aprobadas todas las asignaturas de Primer Curso antes de cursar ésta y, en particular las asignaturas: Álgebra Lineal,

Elementos de Análisis Matemático, Análisis Matemático I, y Elementos de Geometría Diferencial y Topología


90

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4







diferentes fuentes



Trabajo en equipo














El alumno debe conocer no sólo los fundamentos teóricos de los conocimientos a los que tiene acceso, tanto en su estado

actual como en su evolución histórica, sino también instrumentos de aplicación que faciliten una base teórico-práctica para el

desarrollo óptimo de otras competencias y habilidades.











91












4. OBJETIVOS

La asignatura Ampliación de la Teoría de Funciones de Varias Variables está dedicada a estudiar la integral de Lebesgue en el

espacio euclídeo real de dimensión n, su expresión como integrales iteradas mediante el teorema de Fubini, los cambios de

variables en las integrales múltiples, y las integrales de línea y superficie, probándose los teoremas clásicos de Green, Gauss y

Stokes.

5. Metodología:










DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: En media se impartirán 3 horas de teoría y 2 horas de problemas por semana. Además se realizarán

tres sesiones de dos horas cada una de trabajos en clase.


Medida de Lebesgue,

Integral de Lebesgue.

Integrales múltiples.

Integrales curvilineas y de superficie.

Teoremas clásicos.


92

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Apostol, Tom M. . Análisis matemático /Tom M. Apostol. . 2a ed., 15a reimp. . (2001.) . ISBN 8429150048 .

- Genet, Jean, . Analyse moderne :résumé de cours et exercices corrigés /par J. Genet, et G. Pupion. . (1971-) .

- Spiegel, Murray R. . Cálculo superior /Murray R. Spiegel. . (1991.) . ISBN 970-10-0065-X .

- Apostol, Tom M. . Calculus /Tom M. Apostol. . 2ç ed., [9ç reimp.] . (Barcelona [etc.] :Reverté,2001) . ISBN 8429150013 (O.C.) .

- Castro Brzezicki, Antonio de. . Complementos de matemáticas /por A. de Castro Brzezicki. . 2a ed. modificada. . (1972.) .

- Flory, Georges. . Ejercicios de topología y de análisis :para estudiantes del primer ciclo de universidad /G. Flory ; [versión

española por Vidal Gómez Real ; revisada por Enrique Linés Escardó] . (1982.) . ISBN 84-291-5074-9 .

- George, Claude. . Exercices et probláemes d'integration /par Claude George. . (1980.) . ISBN 2-04-011246-4 .

- Facenda Aguirre, José A. . Integración de funciones de varias variables /José Antonio Facenda Aguirre, Francisco José

Freniche Ibañez. . (2002.) . ISBN 843681665X .

Matemática superior, problemas resueltos : anti-Demidóvich.I.I. Liashkó...[et al.] ; traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria

O.Malishenko. . (1999.) . ISBN 5-88417-183-8 (O.c.) .

- Cohn, Donald L., . Measure theory /Donald L. Cohn. . (1980.) . ISBN 3764330031 .


84-7288-102-4 .

8.2. Específica:

Para teoría: J. A. Facenda; F. J. Freniche;Integración de funciones de varias variables;.

Para problemas:

F. Bombal, L. Rodríguez y G. Vera, “Problemas de Análisis Matemático; (3 tomos)

G. Flory;Ejercicios de Topología y Análisis; (tomo 3),

8.3. Observaciones:


www.personal.us.es/facenda;

www.personal.us.es/jocar;

www.personal.us.es/cabrera






Se realizarán dos pruebas voluntarias de carácter teórico práctico. Cada una se valorará sobre 10 puntos. Los alumnos que

obtengan al menos 5 puntos en cada una de éstas, aprobarán la asignatura por curso con la calificación media obtenida en

ellas.El resto deberá presentarse a examen final de la asignatura, que se valorará sobre 10 puntos. La calificación en el primer

examen final ordinario de este curso académico al que se presente el alumno se obtendrá añadiendo a la nota obtenida en este

examen el 20% de la nota de la prueba anterior en la que haya obtenido al menos 5 puntos. Para aprobar la asignatura la

calificación final deberá ser mayor o igual que 5 puntos



93



Segundo Semestre H Total H Total H Total Total -

Nº total de horas 40,00 120,00 27,00 67,50 2,00 2,50 6,00 -

1ªSemana 5,00 15,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

2ªSemana 3,00 9,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 1

3ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 1,00 1,25 0,00 1

4ªSemana 3,00 9,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 2

5ªSemana 2,00 6,00 3,00 7,50 0,00 0,00 0,00 2

6ªSemana 2,00 6,00 1,00 2,50 0,00 0,00 1,50 primer control

7ªSemana 3,00 9,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 3

8ªSemana 3,00 9,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 3

9ªSemana 3,00 9,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 3

10ªSemana 2,00 6,00 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 3

11ªSemana 3,00 9,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 4

12ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 1,00 1,25 0,00 4

13ªSemana 3,00 9,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 4

14ªSemana 3,00 9,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 4

15ªSemana 1,00 3,00 2,00 5,00 0,00 0,00 1,50 Segundo control

16ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,00 -


Tema 1:

Espacios medibles. Medida de Lebesgue. Espacios medibles. Medidas positivas. Medida exterior de Lebesgue en R^n;. Medida de

Lebesgue.

Tema 2:

Integral de Lebesgue. Integral de funciones simples. Funciones medibles. Integral de funciones medibles no negativas. Integral

de funciones con signo arbitrario: Teoremas de convergencia. Integrales dependientes de un parámetro. Relación entre las

integrales de Riemann y Lebesgue.

Tema 3:

Integrales múltiples. Teorema de Fubini. Cambios de variable en una integral múltiple. Aplicaciones.

Tema 4:

Integrales de línea y superficie.Integrales curvilíneas. Independencia del camino. Teorema de Green. Integrales de superficie.

Teoremas de Stokes y de Gauss.


Los que correspondan.


94




95


NOMBRE DE ASIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias





Nombre: Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias

Código: 650012








MANUEL GONZALEZ BURGOS Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. Módulo 31 (3ª Planta) [email protected]

ENRIQUE FERNANDEZ CARA Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. Módulo 31 (3ª Planta) [email protected]


1. DESCRIPTORES

Ecuaciones diferenciales ordinarias. El problemas de Cauchy para sistemas diferenciales ordinarios. Sistemas lineales.

Aplicaciones.

2. SITUACIÓN




La asignatura es obligatoria, y se imparte en el segundo cuatrimestre del segundo año de la Licenciatura.

Constituye una asignatura que desarrolla contenidos troncales, y su importancia para los futuros egresados es alta.


Se recomienda haber cursado previamente todas las asignaturas de primer curso de la Licenciatura, la asignatura ''Cálculo Numérico II'' y,

muy especialmente, la asignatura ''Análisis Matemático II''. Una continuación natural de la asignatura lo constituye la de ''Ampliación de

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias'', optativa que se imparte en el primer cuatrimestre de tercer curso.


96

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo













Liderazgo








Conocer y aplicar los más conocidos métodos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y

segundo orden.

Resolver sistemas diferenciales lineales de primer orden y ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden $n$.

Conocimiento básico de la teoría de existencia unicidad y regularidad para el problema de Cauchy para un SDO de primer orden

y una EDO de orden $n$.


97

Aplicación a las EDP lineales de primer orden.

Traducir algunos problemas reales en términos de EDO.



Resolución de modelos utilizando técnicas analíticas.



















4. OBJETIVOS

Esta asignatura desarrolla los temas básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de la Licenciatura. Está dedicada al

estudio teórico y práctico de ecuaciones en las que la incógnita es una función, que depende de una sola variable real, y que

toma valores reales, escalares o vectoriales.

5. Metodología:












98



OTRAS: Trabajo en grupos reducidos.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana, salvo la última, se impartirán 3 o 2 horas de teoría y 2 de problemas. Las semanas en

las que sólo se imparten dos horas de teoría, se dedica una hora a seminarios y exposiciones o a trabajos en grupos reducidos.

La última semana se concentra todo el trabajo en estos dos últimos aspectos y en 3 horas de problemas, con el fin de dejar a

los estudiantes un margen para la asimilación de los resultados expuestos y el planteamiento de dudas.


Bloque I

El problema de Cauchy para un sistema diferencial de primer orden: El Teorema de Picard, Solución maximal, Dependencia

continua y diferenciable respecto de datos iniciales.

Bloque II

Ecuaciones y sistemas lineales y Problemas de contorno para sistemas lineales.

Bloque III

EDP casilineales de primer orden

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Braun, Martin . Differential equations and their applications :an introduction to applied mathematics /M. Braun. . 2a ed. . (1978.)

.

- Fernández Pérez, Carlos. . Ecuaciones diferenciales /Carlos Fernández Pérez. . (1996.) . ISBN 84-368-0699-9 .

- Simmons, George F. . Ecuaciones diferenciales :con aplicaciones y notas históricas /George F. Simmons ; John S. Robertson. .

2a ed. . (1993.) . ISBN 84-481-0045-X .

- Guzmán, Miguel de, . Ecuaciones diferenciales ordinarias :teoría de estabilidad y control /M. de Guzmán. . (1975.) . ISBN

8420505544 .

- Novo, Sylvia. . Ecuaciones y sistemas diferenciales /Sylvia Novo, Rafael Obaya, Jesús Rojo. . (1995.) . ISBN 84-481-1693-3 .

- Sneddon, Ian Naismith. . Elements of partial differential equations /Ian N. Sneddon. . (1957.) .

- Pontryagin, Lev Semionovich, . Equations différentielles ordinaires /L. Pontriaguine. . (1975.) .

- Rouche, Nicolas. . Equations différentielles ordinaires /N. Rouche, J. Mawhin, col. . (1973.) .

- Martinez Carracedo, Celso. . Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias /Celso Martínez Carracedo, Miguel A. Sanz

Alix. . (1991.) . ISBN 84-291-5043-9 .

- Miller, Richard K. . Introduction to differential equations /Richard K. Miller. . (1987.) . ISBN 0-13-480963-7 .

- Hartman, Philip. . Ordinary differential equations /Philip Hartman. . (1964.) .

- Miller, Richard K. . Ordinary differential equations /Richard K. Miller, Anthony N. Michel. . (1982.) .

- Corduneanu, C. . Principles of differential and integral equations /C. Corduneanu. . (1977.) . ISBN 0-8284-0295-7 .

- Kiseliov, Alexandr I. . Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias /A. Kiseliov, M. Krasnov, G. Makarenko. . 2a ed. .

(1973.) .

- Guzmán, Miguel de, . Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias /M. de Guzman, I. Peral, M. Walias. . (1978.) .

- Coddington, Earl A., . Theory of ordinary differential equations /Earl A. Coddington, Norman Levinson. . (1955.) .

8.2. Específica:


99

Para el Bloque I:

M. Braun ''Differential Equations and Their Applications'', Springer-Verlag, New York, 1978.

C. Corduneanu ''Principles of Differential and Integral Equations'', Chelsea P. Co., The Bronx, New York, 1971.

A. Kiseliov, M. Krasnov & G. Makarenko ''Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias'', Ed. Mir, Moscú, 1973.

C. Martínez Carracedo & M.A. Sanz Alix ''Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias'',

Reverté, 1991.

N. Rouché & J. Mawhin ''Equations Différentielles Ordinaires''. Tomo 1, Ed. Masson, Paris, 1973.

G.F. Simmons ''Ecuaciones diferenciales ordinarias (con aplicaciones y notas históricas)'', MacGraw & Hill, 1993.

Para el Bloque II:

S. Novo, R. Obaya & J. Rojo ''Ecuaciones y sistemas diferenciales'', MacGraw \& Hill, Madrid, 1995.

L. Pontriaguine ''Equations Différentielles Ordinaires'', Ed. Mir, Moscou, 1975.

N. Rouché & J. Mawhin ''Equations Différentielles Ordinaires''. Tomo 1, Ed. Masson, Paris, 1973.

Para el Bloque III:

P. Hartman ''Ordinary differential equations'', John Willey & Sons, Inc., New York, 1964.

I.N. Sneddon ''Elements of Partial Differential Equations'', MacGraw \& Hill Book Co., Inc., New York, 1957

8.3. Observaciones:


http://www.departamento.us.es/edan/

http://www.centro.us.es/fmate/







A lo largo del cuatrimestre se realizarán pruebas intermedias voluntarias de carácter teórico y práctico. Para aprobar la

asignatura, será necesario que los alumnos superen, o bien todas las pruebas intermedias, o bien, un examen teórico-práctico en

una de las convocatorias oficiales. Los alumnos que lo deseen podrán desarrollar en clase, previo acuerdo con el profesor

responsable de la asignatura, alguna cuestión teórica o práctica, que será tenida en cuenta en la evaluación final de la asignatura.



Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 36,00 90,00 30,00 60,00 5,00 5,00 4,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1 y 2

2ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1 y 2

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1 y 2


100


Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 36,00 90,00 30,00 60,00 5,00 5,00 4,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

4ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1 y 2

5ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1 y 3

6ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2 y 3

7ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

8ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

10ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

11ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

12ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4 y 5

13ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5 y 6

14ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6

15ªSemana 0,00 0,00 3,00 6,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4 y 6


Tema 1:

Introducción. Las ecuaciones diferenciales ordinarias y sus motivaciones en Física, Ingeniería, etc. El problema de Cauchy para

un sistema diferencial ordinario de primer orden. Métodos elementales de integración: ecuaciones de variable

separable, ecuaciones lineales de primer orden, ecuaciones homogéneas, ecuaciones de Bernouilli y de Riccati, ecuaciones

exactas, ecuaciones lineales de orden superior, etc.

Tema 2:

Formulación integral del problema de Cauchy. El espacio de Banach $C^0(I;\R^N)$. Propiedades. Aplicaciones contractivas. El

teorema del punto fijo de Banach. El teorema de existencia y unicidad local de Picard. Comentarios y extensiones.

Tema 3:

El lema de Gronwall y sus consecuencias. Unicidad global de solución. Prolongación de soluciones. Existencia y unicidad de

solución maximal. Caracterización de soluciones prolongables y maximales. El fenómeno de ''explosión'' en tiempo finito.

Tema 4:

Ecuaciones y sistemas lineales. El caso homogéneo. La matriz fundamental. El caso no homogéneo. El método de Lagrange de

variación de las constantes. Ecuaciones y sistemas lineales de coeficientes constantes. La exponencial de una matriz;

definición, propiedades y cálculo efectivo. Problemas de contorno para sistemas lineales.

Tema 5:

Resultados de regularidad $C^k$. Dependencia continua y diferenciable respecto de datos iniciales y parámetros.

Tema 6:

Aplicaciones: El método de las características para ecuaciones en derivadas parciales de primer orden lineales y casi-lineales.

Comentarios.


101


Pruebas intermedias, al final de cada bloque, en que se evalúen los conocimientos adquiridos. Participación en las clases de

Problemas y los seminarios. Asistencia a tutorías.




102


NOMBRE DE ASIGNATURA: Introducción a la Topología Algebraica





Nombre: Introducción a la Topología

Algebraica

Código: 650018

Tipo (Troncal/Oblicatoria/Optativa): OP







RAFAEL AYALA GOMEZ Geometría y Topología [email protected]

JOSE ANTONIO VILCHES ALARCON Geometría y Topología [email protected]


1. DESCRIPTORES

Grupo fundamental. Espacios recubridores.

2. SITUACIÓN




Los alumnos ya cuentan con una mínima base Topología General, Álgebra y Geometría y comienzan a ver con esta asignatura la relación

entre dichas áreas de las Matemáticas, lo cual les servirá, por una parte, para tener una visión más global de esta ciencia y, por otro lado, les

será de gran utilidad en estudios posteriores.


Se recomienda que el alumno haya cursado previamente la asignatura troncal "Elementos de Geometría Diferencial y Topología" de primer

curso.

3. COMPETENCIAS


103







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo






Compromiso ético







Liderazgo









Conocer y manejar el doble lenguaje de Álgebra y la Topología.

Asimilar y manejar algunos métodos algebraicos aplicados al problema de la clasificación de espacios topológicos.



104


























4. OBJETIVOS

En la asignatura "Introducción a la Topología Algebraica" se discute sobre la dificultad que presenta el conseguir una

clasificación completa, salvo homeomorfismos, de los espacios topológicos o, al menos, de ciertas familias de espacios

topológicos. Como estudio particular, se da una tal clasificación en el caso de las superficies compactas, mediante

procedimientos geométricos y también mediante ciertos invariantes algebraicos definidos sobre espacios más generales, como

el "Grupo Fundamental", que pongan de manifiesto la utilidad del álgebra a la hora de resolver problemas topológicos. Este

invariante algebraico servirá de gran ayuda para distinguir espacios según el tipo de homotopía.

5. Metodología:










105





DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartirán 3 horas de teoría y 2 de problemas.


Variedades Topológicas.

Clasificación de las superficies compactas.

Teoría de Homotopía.

Presentaciones de grupos.

El Grupo Fundamental.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Maunder, C. R. F. . Algebraic topology /C. R. F. Maunder. . (1972.) .

- Ayala Gómez, Rafael. . Elementos de la topología general /Rafael Ayala Gómez, Eladio Domínguez Murillo, Antonio Quintero

Toscano. . 2ç imp. . (1997.) . ISBN 84-7829-006-0 .

- Margalef Roig, Juan. . Introducción a la topología /Juan Margalef Roig, Enrique Outerelo Dominguez. . (1993.) . ISBN

84-7491-452-3 .

- Massey, William S. . Introducción a la topología algebraica /William S. Massey. . (1972.) .

- Lee, John M., . Introduction to topological manifolds /John M. Lee. . (2000.) . ISBN 0-387-98759-2 .

- Munkres, James R. . Topología /James R. Munkres. . 2ç ed. . (2002.) . ISBN 8420531804 .

- Kosniowski, Czes. . Topología algebraica /Czes Kosniowski. . (1992.) . ISBN 84-291-5098-6 .

- Hinrichsen, Diederich. . Topología general /Diederich Hinrichsen...[et al.] . [2ç ed.] . (2003.) . ISBN 970-32-1064-3 .

- Hocking, John G. . Topología: exposición sistemática de los resultados más importantes en el momento actual /John G.

Hocking, Gail S. Young ; [versión española por Antonio Plans] . (1966.) .

- Munkres, James R. . Topology :a first course /James R. Munkres. . (1975.) . ISBN 0-13-925495-1 .

8.2. Específica:

- Tema 1:

Amrstrong, M.: “Topología Básica", Editorial Reverté, 1987.

Ayala, R.; Domínguez, E. y Quintero, A.: “Elementos de la Topología General", Addison-Wesley Iberoamericana, 1997.

Hinrischen, D. y Fernández, J.: “Topología General" (2ª Ed), Sociedad Matemática Mexicana, 2003.

Hocking, J. y Young, G.: “Topología", Editorial Reverté, 1966.

Margalef, J. y Outerelo, E.: “Introducción a la Topología", Editorial Complutense, 1993.

- Tema 2:

M. Lee, J.: “Introduction to Topological Manifolds”, Springer-Verlag, New York, 2000.

Massey, W.: “Introducción a la Topología Algebraica", Editorial Reverté, 1972.


106

- Tema 3:


Munkres, J.R.: “Topología”, Prentice-Hall, 2001.

Munkres, J.R.: “Topology: a First Course", Prentice-Hall, 1975.

- Tema 4:

Amrstrong, M.: “Topología Básica", Editorial Reverté, 1987.

Kosniowski, C.: “Topología Algebraica", Editorial Reverté, 1986. Texts in Math. Springer-Verlag, 2000.


Munkres, J.R.: “Topología”, Prentice-Hall, 2001.

Munkres, J.R.: “Topology: a First Course", Prentice-Hall, 1975.

8.3. Observaciones:


http://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa_algebraica

http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html

http://mathworld.wolfram.com/FundamentalGroup.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_fundamental





Para aprobar la asignatura será necesario obtener al menos 5 puntos en cualquiera de los exámenes correspondientes a las

convocatorias de junio y septiembre y que han sido fijados por la Junta de Centro de la Facultad de Matemáticas. Durante el

transcurso del cuatrimestre y en horas de clase, se propondrán dos exámenes. Aprobarán la asignatura por curso aquellos

alumnos que obtengan una nota media de, al menos, 5 puntos en estos dos exámenes.



Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 40,00 100,00 25,00 50,00 5,00 5,00 5,00 5,00 0,00 31,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

3ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

4ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

6ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

7ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3


107


Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 40,00 100,00 25,00 50,00 5,00 5,00 5,00 5,00 0,00 31,00 0,00 0,00 4,00 -

8ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

10ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

11ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

12ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

13ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

14ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

15ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5


Tema 1:

Ampliación de Topología General.

Tema 2:

Variedades Topológicas. Caso particular de las superficies. Suma conexa de superficies.

Tema 3:

Breve introducción a los complejos simpliciales. Clasificación de las superficies compactas. Característica de Euler y

orientabilidad.

Tema 4:

Presentaciones de grupos. Teoría de Homotopía. El grupo fundamental de un espacio topológico. Teorema de Seifert-Van

Kampen.


Responsabilidad del Departamento.




108


NOMBRE DE ASIGNATURA: Computación





Nombre: Computación

Código: 650017








ANTONIO JESUS PEREZ JIMENEZ Ciencias de la Comput. e Int. Artificial Despacho 4. Módulo H [email protected]

ANDRES CORDON FRANCO Ciencias de la Comput. e Int. Artificial Despacho 3. Módulo H [email protected]


1. DESCRIPTORES

Especificación, verificación, y análisis de algoritmos.

2. SITUACIÓN




Es una asignatura básica y de fundamentos.

Es aconsejable haber elegido esta asignatura para cursar posteriormente, en el segundo ciclo, la asignatura optativa Lógica Matemática,


Se recomienda tener aprobada la asignatura Informática, del primer curso de la licenciatura

3. COMPETENCIAS





109




Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









Noción formal de algoritmo

Modelo de computación.

Resolución algorítmica.

Problemas resolubles algorítmicamente

Técnicas y herramientas para determinar problemas resolubles y problemas no resolubles algorítmicamente.


110



























4. OBJETIVOS

· Estudiar modelos de computación orientado a programas y orientado a funciones.

· Analizar comparativamente la potencia computacional de distintos modelos de computación.

· Describir soluciones de problemas resolubles en un modelo de computación.

· Presentar las limitaciones de los modelos de computación.

5. Metodología:

Activa. Basada en el trabajo del alumno fundamentalmente.









111






OTRAS: Sesiones prácticas en el aula de informática. Trabajo en grupos reducidos.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se dedicará, por término medio, dos horas a clases de teoría, una a problemas y

ejercicios, y una a trabajos en el aula (resolución de ejercicios en grupo, exposiciones individuales breves y consideraciones

sobre cuestiones teóricas y de historia). Una vez finalizado el segundo tema, que versa sobre Modelos de Computación y

desarrolla el lenguaje GOTO, se dedicará dos horas semanales, durante dos meses, a Prácticas en el Laboratorio de

Informática.


Modelos de computación.

Funciones primitivas recursivas.

Funciones recursivas.

Conjuntos recursivamente enumerables.

Indecidibilidad y recursión.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Smith, Carl H., . A recursive introduction to the theory of computation /Carl H. Smith. . (1994.) . ISBN 0-387-94332-3 .

- Bridges, D. S. (Douglas S.), . Computability :a mathematical sketchbook /Douglas S. Bridges. . (1994.) . ISBN 0-387-94174-6 .

- Cutland, Nigel. . Computability :an introduction to recursive function theory /Nigel Cutland. . (1980.) . ISBN 0-521-29465-7 .

- Jones, Neil D. . Computability and complexity :from a programming perspective /Neil D. Jones. . (1997.) . ISBN 0-262-10064-9 .

- Davis, Martin D. . Computability, complexity, and languages :fundamentals of theoretical computer science /Martin D. Davis, Ron

Sigal, Elaine J. Weyuker. . 2nd ed. . (1994.) . ISBN 0-12-206382-1 .

- Borrego Díaz, Joaquín. . Computación, computabilidad y programación /Joaquín Borrego Díaz, Antonio Pérez Jiménez, Mario de

J. Pérez Jiménez. . (2001) .

- Gallardo López, Domingo. . Introducción a la teoría de la computabilidad /Domingo Gallardo López, Pilar Arques Corrales,

Ignacio Lesta Pelayo. . (1997.) . ISBN 84-7908-376-X .

- Springer, George. . Scheme and the art of programming /George Springer, Daniel P. Friedman. . [7th print.] . (1994.) . ISBN

0-07-060522-X .

- Abelson, Harold. . Structure and interpretation of computer programs /Harold Abelson and Gerald Jay Sussman with Julie

Sussman ; foreword by Alan J. Perlis. . 2nd ed. . (Cambridge, Mass. [etc.]MIT Pre) . ISBN 0-262-51087-1 .

8.2. Específica:

1.- J. Borrego Díaz, A. Perez Jimenez y M. Perez Jimenez, "Computacion, Computabilidad y Programación. Trabajos de Lógica y

Computación", Seccion I. Universidad de Sevilla. Numero 8, 2001

2.-M. Davis y otros, "Computability, Complexity and Languages. Fundamentals of Theoretical Computer Science". Academic

Press, 1994.

3.- D. Gallardo y otros, "Introducción a la Teoría de la Computabilidad". Publicaciones de la Universidad de Alicante, 1997.


112

4.- Song y Yan. Formal Languages and Machines Computation. World Scientific, 1998.

8.3. Observaciones:


www.cs.us.es/cursos/comp






Examen de prácticas en aula de informática.


La evaluación continua de la asignatura se realizará atendiendo a los siguientes criterios:

1.Participación en la resolución de cuestiones y problemas que se propongan en clase (15 %)

2.Pruebas parciales (60%). Se realizarán dos pruebas escritas.

3.Prácticas de laboratorio (25%)

Convocatorias oficiales: 1ª Convocatoria: constará de una Prueba escrita, (80%) y Prácticas de Laboratorio (20%). Las demás

convocatorias consistirán en la realización de una Prueba escrita.



Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 36,00 90,00 30,00 60,00 5,00 5,00 4,00 4,00 0,00 32,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

2ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

3ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

4ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

6ªSemana 2,00 5,00 3,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

7ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

8ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

10ªSemana 1,00 2,50 3,00 6,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

11ªSemana 2,00 5,00 3,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

12ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

13ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6

14ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6

15ªSemana 2,00 5,00 0,00 0,00 2,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6


113


Tema 1:

Preliminares.

Tema 2:

Modelos de computación. El lenguaje GOTO.

Tema 3:

Funciones primitivas recursivas. Codificaciones de sucesiones finitas de números naturales.

Tema 4:

Funciones recursivas. Codificación de programas. Existencia de programas universales. Teorema de la forma normal de Kleene.

Teorema s-n-m.

Tema 5:

Conjuntos recursivamente enumerables.

Tema 6:

Indecidibilidad y recursión: problema de la parada, teorema de Rice y teorema de recursión.










114


NOMBRE DE ASIGNATURA: Álgebra Efectiva





Nombre: Álgebra Efectiva

Código: 650016








JOSE LUIS VICENTE CORDOBA Algebra [email protected]

Mercedes Helena Rosas Álgebra [email protected]


1. DESCRIPTORES

Iniciación a los algoritmos de cálculo simbólico.

Introduction to the algorithms of symbolic computation

2. SITUACIÓN




Se encuentra en segundo curso de la Licenciatura en Matemáticas como materia optativa. Capacita al estudiante para manejar sistemas de

cálculo simbólico como traducción de los conocimientos teóricos. Da al egresado una formación de programación de problemas concretos de

Matemáticas.


No hay recomendación sobre asignaturas previas: la asignatura se basa en los conocimientos adquiridos en Enseñanzas Medias. No se

considera requisito para ninguna asignatura: todo lo más es una herramienta que facilita cálculos. Asignaturas afines son todas las que utilicen

la aritmética clásica.


115

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









Aprendizaje de la aritmética clásica con aplicación a la teoría de cuerpos.




116

























4. OBJETIVOS

Capacitar al alumno para el manejo exhaustivo del Cálculo Simbólico, modelando mediante programas una serie de problemas

concretos de Matemáticas (Aritmética y aplicaciones)

5. Metodología:

Cada semana habrá dos horas de teoría de Matemáticas, una de teoría de sistemas de cálculo simbólico, una de problemas y

una de laboratorio (trabajo personal con ordenador). Se considera el esquema más adecuado a los fines a alcanzar.











117





DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana habrá dos horas de teoría de Matemáticas, una de teoría de sistemas de cálculo

simbólico, una de problemas y una de laboratorio (trabajo personal con ordenador). Se considera el esquema más adecuado a

los fines a alcanzar.


Combinatoria con y sin repetición. Recurrencia. Congruencias, unidades. Criptografía RSA. Polinomios. Cuerpos finitos. Álgebra

matricial y códigos lineales.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Childs, Lindsay. . A concrete introduction to higher algebra /Lindsay Childs. . 2nd ed. . (1995.) . ISBN 0-387-94484-2 .

- Knuth, Donald Ervin, . The art of computer programming /Donald E. Knuth. . (2006.) . ISBN 0321335708 .

8.2. Específica:

1) Geddes, Czapor, Labahn. "Algorithms for computer algebra". Kluwer Academic Pub.

2) Graham, Knuth, Patashink. "Concrete mathematics. A foundation for computer science". Addison-Wesley.

3) Hill, R. "A first course in coding theory". Oxford University Press. 1986.

4) Meavilla Segui, V. "201 problemas resueltos de Matemática discreta". Prensa Universitaria de Zaragoza

5) Munuera Gómez, J; Tena Ayuso, J. "Codificación de la Información". Universidad de Valladolid, Secretariado de Publicaciones

e Intercambio Científico, 1997

6) Soto, M.J., Vicente, J.L. Matemáticas con Maple". Addison-Wesley Iberoamericana.

7) Soto, M.J., Vicente, J.L. "Álgebra lineal con Matlab y Maple". Prentice Hall.

8.3. Observaciones:

Enlaces de interes:

http://www.eccpage.com/








Examen teórico-práctico: 80%

Trabajo, participación y controles, examen de prácticas en aula de informática: 20%


118



Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 40,00 100,00 25,00 50,00 5,00 5,00 5,00 5,00 0,00 31,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

4ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

6ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

7ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

8ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

10ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

11ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

12ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

13ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

14ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

15ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


1. Nociones de combinatoria sin repetición. Ordenaciones.

2. Divisibilidad de enteros. Sistemas de numeración.

3. Fracciones continuas. Reducidas. Cumulantes

4. Recurrencia. Sucesión de Fibonacci. Ecuaciones de recurrencia.

5. Desarrolllos en fracción continua.

6. Congruencias, unidades, funciones aritméticas, criptografía RSA.

7. Repaso de polinomios en una variable sobre un cuerpo. División y divisibilidad.

8. Existencia de polinomios irreducibles sobre los cuerpos primos.

9. Aritmética de los cuerpos finitos.

10. Combinatoria con repetición. Ordenaciones de vectotres enteros.


Evaluación de resultados por parte de los profesores y encuestas de los alumnos.




119


NOMBRE DE ASIGNATURA: Estadística Matemática





Nombre: Estadística Matemática

Código: 650019








JOSE FERNANDO LOPEZ BLAZQUEZ Estadística e Investigación Operativa [email protected]

EMILIO J. CARRIZOSA PRIEGO Estadística e Investigación Operativa [email protected]


1. DESCRIPTORES

Inferencia estadística. Modelos Lineales.

2. SITUACIÓN




Curso tercero.


Aprobar Cálculo de Probabilidades.

3. COMPETENCIAS






120



Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético






Liderazgo









Aspectos básicos de la Estadística Matemática.







121






















4. OBJETIVOS

El objetivo de la asignatura es la exposición de aspectos básicos en Estadística Matemática.

5. Metodología:













DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: En media, la forma en la que se desarrollará el curso será cada semana se impartirán 3 horas de teoría


122

y 1 de problemas.


Variables Aleatorias Multidimensionales. Teoremas Límite. Esperanza Condicionada. Conceptos básicos en Inferencia

Estadística.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Rohatgi, Vijay K., . An introduction to probability theory and mathematical statistics /V. K. Rohatgi. . [reprint.] . (1988.) . ISBN

0-85226-744-4 .

- Rohatgi, Vijay K., . An introduction to probability theory and mathematical statistics /V. K. Rohatgi. . [reprint.] . (1988.) . ISBN

0-85226-744-4 .

- Quesada Paloma, Vicente. . Curso y ejercicios de estadística :aplicación a las ciencias biológicas, médicas y sociales /V.

Quesada Paloma, A. Isidoro Martín, L. A. López Martín. . 2a ed. . (1982.) . ISBN 84-205-0878-9* .

- Peña Sánchez de Rivera, Daniel. . Estadística :modelos y métodos /Daniel Peña Sanchez de Rivera. . [2a ed. rev.] .

(Madrid:Alianza,1995.) . ISBN 84-206-8110-5 .

- Feller, William, . Introducción a la teoría de probabilidades y sus aplicaciones /William Feller ; revisión, Octavio S. Rascón

Chávez y Guillermo Vaz Téllez. . 2a ed. . (1973-1978.) .

- Mood, Alexander MacFarlane. . Introduction to the theory of statistics /Alexander M. Mood, Franklin A. Graybiil, Duane C. Boes.

. 3rd ed. . (1974.) . ISBN 0-07-042864-6 .

- Bickel, Peter J. . Mathematical statistics :basic ideas and selected topics /Peter J. Bickel, Kjell A. Doksum. . (Oakland,

California:Holden Day) . ISBN 0-8162-0784-4 .

- Dudewicz, Edward J. . Modern mathematical statistics /Edward J. Dudewicz, Satya N. Mishra. . (1988.) . ISBN 0-471-81472-5 .

- Cuadras Avellana, Carlos María. . Problemas de probabilidades y estadística /C.M. Cuadras. . 4a ed. . (1982-1983.) . ISBN

84-86130-05-0 .

- Domínguez, Juan Ignacio. . Problemas y fundamentos de la teoría de la probabilidad /Juan Ignacio Domínguez. . (1989.) . ISBN

84-7496-182-3 .

- Fourgeaud, C. . Statistique /C. Fourgeaud. . 2iáeme ed. . (ParisDunod,1972.) .







Obtener 5 puntos sobre diez con al menos tres puntos en cada parte



123


Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 33,50 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

4ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

7ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

11ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

14ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

15ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


Tema1: Variables Aleatorias Multidimensionales.

Tema 2: Características de Variables Aleatorias Multidimensionales.

Tema 3: Esperanza Condicionada. Regresión y Correlación.

Tema 4: Algunas Distribuciones Multidimensionales.

Tema 5: Modos de Convergencia de Sucesiones de Variables Aleatorias.

Tema 6: Teoremas Límite.

Tema 7: Conceptos básicos en Inferencia Estadística. Poblaciones Normales.

Tema 8: Introducción a la Estimación Puntual Paramétrica y por Regiones de Confianza.

Tema 9: Introducción y Conceptos básicos en Contrastes de Hipótesis.


Se podrán realizar encuestas y reuniones entre los profesores de la asignatura.


124




125


NOMBRE DE ASIGNATURA: Geometría Local de Curvas y Superficies





Nombre: Geometría Local de Curvas y

Superficies

Código: 650020








JUAN NUÑEZ VALDES Geometría y Topología [email protected]

JUAN CARLOS BENJUMEA ACEVEDO Geometría y Topología [email protected]

JOSE LUIS CABRERIZO JARAIZ Geometría y Topología [email protected]

MANUEL FERNANDEZ ANDRES Geometría y Topología [email protected]


1. DESCRIPTORES

Curvas parametrizadas; curvatura y torsión; superficies parametrizadas; primera y segunda forma fundamental; geodésicas,

curvaturas principales, curvatura media y de Gauss

Parametrized curves; curvatura and torsión; parametrized surface; first and second fundamental form; geodesic, principal

curvatures, mean and Gauss curvatures

2. SITUACIÓN




Está ubicada en el primer cuatrimestre de tercer curso y es una materia obligatoria que desarrolla un curso de Geometría Diferencial Clásica

(curvas y superficies) que requiere unos conocimientos preliminares que los alumnos han estudiado en los cursos precedentes,


126

fundamentalmente, una asignatura de Topología General en primer curso, así como el Cálculo Diferencial e Integral en una o varias variables

en primero y en segundo curso (en particular los teoremas de la Función Inversa y el da la Función Implícita), y también los teoremas de

Existencia y Unicidad de soluciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.


Por lo dicho anteriormente, se recomienda haber cursado y superado las siguientes asignaturas correspondientes a la licenciatura de

Matemáticas: Elementos de Geometría Diferencial y Topología, Elementos de Análisis Matemático, Análisis Matemático I y II, y Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias.

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo







127




Trabajar con distintas parametrizaciones de curvas y conocer sus elementos característicos.

Utilizar adecuadamente el aparato de Frenet-Serret en las curvas para determinar su comportamiento local.

Conocer la existencia y la construcción de algunas curvas clásicas.

Usar el producto interno de vectores en el plano tangente como herramienta de estudio de los elementos métricos de las

superficies y de las curvas contenidas en ellas.

Parametrizar y construir superficies a partir de propiedades geométricas y de otras curvas.

Identificar propiedades en las superficies considerando curvas notables como geodésicas o líneas paramétricas.

Clasificar puntos sobre una superficie atendiendo al valor de sus curvaturas (media y de Gauss).

Calcular los coeficientes de las Formas Fundamentales y analizar las distintas conclusiones (intrínsecas y extrínsecas) de ellos.
















4. OBJETIVOS

Aprender con los métodos de trabajo de la Geometría Diferencial Clásica de Curvas y Superficies, que se presta especialmente

propicia al ejercicio de la intuición y preparará al alumno para la necesaria abstracción en el segundo ciclo de la licenciatura.

Obtener bajo ciertas hipótesis conclusiones globales sobre estos objetos, manifestando la diferencia entre lo local y lo global,

poniendo siempre de manifiesto el plano o el espacio euclídeo en el que están inmersos.

Asimilar la generalización que suponen los conceptos métricos del plano a la geometrí del espacio, así como de otros elementos

de Geometría Algebraica ya conocidos por los alumnos.

Diferenciar entre las nociones y propiedades de las superficies que son de carácter intrínseco de las que son de tipo extrínseco a

ellas.

5. Metodología:


128

Se explicarán los conceptos en clases teóricas y se ilustrarán con ejemplos, en la que trataremos de que los alumnos visualicen

las figuras a través de programas informáticos de representación gráfica. Se le proporcionarán a los alumnos relaciones de

ejercicios, que permitirán una adecuada asimilación de los conceptos teóricos de la asignatura. La mayoría de estos ejercicios

se resolverán en el transcurso de las clases prácticas parte de ellos por los profesores de la asignatura y otros se les

propondrán a los alumnos, este trabajo será reconocido en la calificación final. Se podrán encargar trabajos específicos a

grupos reducidos que serán útiles para su formación científica, fomentando la participación de la clase sobre la resolución y

exposición. También se tendrá en cuenta en la calificación final.













OTRAS: - Seminarios. - Trabajo en grupos reducidos. - Sesiones prácticas en el aula de informática.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Se conjugarán las clases teóricas por parte del profesor con clases prácticas en las que se fomentará

la participación del alumno en la resolución de problemas, a fin de visualizar las aplicaciones teóricas a casos concretos.


Curvas. Superficies: Geometría Intrínseca; Geometría Extrínseca.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Bloch, Ethan D., . A first course in geometric topology and differential geometry /Ethan D. Bloch. . (1997.) . ISBN 0-8176-3840-7

.

- Costa,A.F; Gamboa,M; Porto,A.M. . Ejercicios de Geometría Diferencial de curvas y superficies . (1998) . ISBN 84-88667-38-8 .

- Millman, Richard S., . Elements of differential geometry /Richard S. Millman, George D. Parker. . (1977.) . ISBN 0-13-264143-7 .

- Henderson, David W. . Experiencing geometry :in Euclidean, spherical, and hyperbolic spaces /David W. Henderson ;

contributor, Daina Taimina. . 2nd ed. . (c2001.) . ISBN 0130309532 .

- Pogorelov, A. V. (Aleksei Vasil'evich), . Geometría diferencial /A. V. Pogorelov; traducido por Carlos Vega. . (MoscúMir,1984.) .

ISBN 5-88417-032-7 .

- Carmo, Manfredo P. do. . Geometría diferencial de curvas y superficies /Manfredo P. do Carmo. . (1990.) . ISBN 84-206-8135-0 .

- Costa, Antonio F. . Notas de geometría diferencial de curvas y superficies /Antonio F. Costa, Manuel Gamboa, Ana M. Porto. .

(MadridSanz y Torres,1997.) . ISBN 84-88667-29-9 .


129

- Abbott, Edwin Abbott, . Planilandia /Edwin A. Abbot. . (1976.) . ISBN 84-250-0208-7 .

- Mishchenko, A. S. . Problems in differential geometry and topology /A.S. Mishchenko, Yn.P. Solovyev and A.T. Fomenko. . lst

ed., rev from the 1981 Russian ed. . (1985.) .

- Lipschutz, Martin M. . Teoría y problemas de geometría diferencial /por Martin M. Lipschutz ; traducción y adaptación Víctor

Ariza Prada. . (1991.) . ISBN 84-7615-075-X .

- Weeks, Jeffrey R., . The shape of space /Jeffrey R. Weeks. . 2nd ed. . (c2002.) . ISBN 0824707095 (alk. paper) .





-Controles periódicos de adquisición de conocimientos.


Se realizarán dos pruebas eliminatorias teórico-prácticas a lo largo del curso. La participación en las actividades propuestas por

los profesores de la asignatura podrá mejorar la calificación total hasta en un 10%. En todo caso, se ofrecerá a los alumnos la

posibilidad de realizar una prueba final.



Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

1ªSemana 6,00 15,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

2ªSemana 4,00 10,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

3ªSemana 4,00 10,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

4ªSemana 4,00 10,00 0,00 0,00 2,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

5ªSemana 2,00 5,00 4,00 8,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

6ªSemana 4,00 10,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

7ªSemana 4,00 10,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

8ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 2,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

9ªSemana 4,00 10,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

10ªSemana 4,00 10,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

11ªSemana 2,00 5,00 4,00 8,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

12ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 2,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

13ªSemana 3,00 7,50 3,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

14ªSemana 2,00 5,00 4,00 8,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

15ªSemana 0,00 0,00 3,00 6,00 2,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -



130

Tema 1: Curvas.

Curva alabeada parametrizada regular. Curvatura. Torsión. Fórmulas de Frenet. Representación canónica. Teorema fundamental.

Caso particular: curvas planas. Contactos de curvas. Contactos de curvas con plano y esfera.

Tema 2: Superficies (Introducción).

Superficie simple. Grafos. Reparametrizaciones. Plano tangente. Superficie de revolución. Superficies regladas. Superficie

regular. Superficies de nivel. Funciones y aplicaciones diferenciables. La diferencial ó aplicación tangente. Teorema de la función

inversa en superficies. Consecuencias.

Tema 3: Superficies (Geometría Intrínseca).

Primera forma fundamental. Longitudes, ángulos y áreas. Curvatura geodésica. Símbolos de Christoffel. Fórmulas de Gauss.

Geodésicas. Propiedades de las geodésicas.

Tema 4: Superficies (Geometría Extrínseca).

La segunda forma fundamental. Endomorfismo de Weingarten. Ecuaciones de Weingarten. Curvaturas principales. Direcciones

principales. Curvatura de Gauss y curvatura media. Aplicación de Gauss. Clasificación de los puntos de una superficie. Líneas de

curvatura. Líneas asintóticas. Superficies mínimas.




131


NOMBRE DE ASIGNATURA: Ampliación de Ecuaciones Diferenciales





Nombre: Ampliación de Ecuaciones

Diferenciales

Código: 650024








JOSE REAL ANGUAS Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. módulo 33 (3ª planta) [email protected]


1. DESCRIPTORES

Problemas de contorno para sistemas diferenciales ordinarios. Estudio cualitativo de sistemas diferenciales ordinarios.

2. SITUACIÓN




La asignatura de Ampliación de Ecuaciones Diferenciales es una optativa que se imparte en tercer curso de la licenciatura, y se pretende

que sirva como complemento de los contenidos troncales de la asignatura de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (troncal de segundo curso).

Puede resultar de ayuda también para el resto de asignaturas de ecuaciones diferenciales de la licenciatura.


Es recomendable haber cursado previamente la asignatura de EDO de segundo curso.

3. COMPETENCIAS




132





Referencia 1 2 3 4







diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo











Liderazgo








Comprender la problemática de la no unicidad de soluciones del problema de Cauchy, así como de las ecuaciones diferenciales

implícitas.

Análisis de los problemas de contorno, con especial énfasis en la construcción de las funciones de Green, y la determinación de

los autovalores y autofunciones asociadas a problemas para ecuaciones de segundo orden.

Estudio cualitativo del comportamiento asintótico de los sistemas diferenciales. Diferenciar entre los distintos tipos de

estabilidad y aplicar varios métodos para el análisis de ésta (primera aproximación, funciones de Liapunov, etc.).

Entender el origen y significado físico de estos conceptos.

Resolución de problemas de Cauchy para ecuaciones en derivadas parciales de primer orden mediante el método de las

características.





133
























4. OBJETIVOS

El objetivo fundamental de esta asignatura optativa es proporcionar una variedad de resultados que sirvan de complemento y

ampliación de los conceptos ya estudiados en la asignatura troncal Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

En ese sentido, se proporcionarán una serie de complementos sobre el problema de Cauchy, poniendo especial énfasis en

cuestiones tales como la no unicidad de solución local del problema de Cauchy, la problemática inherente a las ecuaciones

diferenciales ordinarias implícitas y la resolución del problema de Cauchy mediante el uso de series de potencias.

Otro apartado se dedicará al análisis de los problemas de contorno para sistemas diferenciales ordinarios lineales, realizando un

estudio pormenorizado del problema de Sturm-Liouville para ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Otro bloque importante estará dedicado a proporcionar una introducción al comportamiento asintótico de las soluciones de los

sistemas diferenciales ordinarios. Tras presentar los diferentes conceptos sobre estabilidad, se analizarán los sistemas lineales y

los no lineales en primera aproximación. Se efectuará una introducción a la teoría de Liapunov y se aplicará fundamentalmente a

los sistemas autónomos.

Finalmente, se abordará el problema de Cauchy para una ecuación en derivadas parciales de primer orden utilizando el método

de las características pues resulta ser una aplicación directa de los resultados sobre el problema de Cauchy para sistemas

diferenciales ordinarios.

5. Metodología:


134













OTRAS: - Seminarios. - Atención personalizada al alumno para preparar exposición de problemas.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: En términos generales, se celebrarán sesiones de exposición de contenidos y de realización de

problemas en proporción 3 horas/2 horas semanales (aproximadamente). No obstante, dependiendo del bloque temático, esta

proporción varía. Al finalizar cada bloque se realizará una prueba intermedia de seguimiento (PIS) con el objeto de comprobar la

asimilación de los resultados y los progresos realizados por el alumnos. A la vista de los resultados se aplicarán medidas

tendentes a la mejora del proceso de aprendizaje.


Teorema de Ascoli-Arzela. Teorema de Peano. Complementos sobre problemas de contorno. Estabilidad. El problema de Cauchy

para ecuaciones en derivadas parciales de primer orden.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Robinson, James Cooper, . An introduction to ordinary differential equations /James C. Robinson. . (2004.) . ISBN 0521533910

(pb.) .

- Braun, Martin, . Differential equations and their applications /Martin Braun. . 3rd ed. . (1984.) . ISBN 0-387-90847-1 .

- Guzmán, Miguel de, . Ecuaciones diferenciales ordinarias :teoría de estabilidad y control /M. de Guzmán. . (1975.) . ISBN

8420505544 .

- Sneddon, Ian Naismith. . Elements of partial differential equations /Ian N. Sneddon. . (1957.) .

- Rouche, Nicolas. . Equations différentielles ordinaires /N. Rouche, J. Mawhin, col. . (1973.) .

- Hartman, Philip. . Ordinary differential equations /Philip Hartman. . (1964.) .

- Miller, Richard K. . Ordinary differential equations /Richard K. Miller, Anthony N. Michel. . (1982.) .

- Rao, M. Rama Mohana. . Ordinary differential equations :Theory and applications /M. Rama Mohana Rao. . (1981.) .

- Kiseliov, Alexandr I. . Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias /A. Kiseliov, M. Krasnov, G. Makarenko. . 2a ed. .

(1973.) .

- Guzmán, Miguel de, . Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias /M. de Guzman, I. Peral, M. Walias. . (1978.) .

- Brauer, Fred. . The qualitative theory of ordinary differential equations :an introduction /[by] Fred Brauer and John A. Nohel. .


135

(1969.) .

- Coddington, Earl A., . Theory of ordinary differential equations /Earl A. Coddington, Norman Levinson. . (1955.) .

8.2. Específica:

Los textos de Coddington & Levinson y Hartman pueden ser utilizados para todos los bloques temáticos, sobre todo para

ampliar los contenidos básicos que se expondrán en clase. Para el bloque de estabilidad son muy recomendables los textos de

Rao, Miller & Michel y Rouché & Mawhin. El texto de Sneddon resulta muy adecuado para el capítulo de ecuaciones en

derivadas parciales.







La evaluación de los alumnos se lleva a cabo mediante la combinación de dos procedimientos, uno de los cuales se ofrece con

carácter voluntario a los alumnos.

En cualquier caso, el alumno siempre dispone del examen ordinario que se celebra a la finalización del periodo de clases.

No obstante, si lo desea, puede realizar las pruebas intermedias de seguimiento (PIS) al final de cada bloque temático y puede

participar activamente en las sesiones académicas (mediante la exposición de ejercicios y pequeños trabajos de ampliación).

Como resultado de todo este proceso, se le propone una calificación final que puede eximirle de realizar el examen de la

convocatoria ordinaria, o bien la posibilidad de realizar la recuperación de alguna parte de la asignatura, antes de la celebración

del examen ordinario.

Si, a pesar de realizar las tareas de recuperación, el alumno ha de realizar el examen ordinario, todas calificaciones y

valoraciones previas siempre influirán de forma positiva en la calificación final.



Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 40,00 100,00 25,00 50,00 5,00 5,00 5,00 5,00 0,00 41,50 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

3ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

4ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

6ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

7ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

8ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4


136


Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 40,00 100,00 25,00 50,00 5,00 5,00 5,00 5,00 0,00 41,50 0,00 0,00 4,00 -

10ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

11ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

12ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

13ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

14ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

15ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5


Tema 1.- Compacidad en el espacio C(I): el Teorema de Ascoli-Arzelà. Soluciones aproximadas del problema de Cauchy.

Existencia de solución local del problema de Cauchy para un sistema diferencial ordinario: el Teorema de Peano.

Tema 2.- Otros resultados sobre el problema de Cauchy: ecuaciones diferenciales implícitas y resolución del problema de

Cauchy mediante desarrollos en series de potencias (el método de la mayorante).

Tema 3.- Complementos sobre los problemas de contorno para ecuaciones y sistemas diferenciales lineales. El problema de

Sturm-Liouville. Aplicaciones.

Tema 4.- Introducción a la Teoría de estabilidad para sistemas diferenciales ordinarios. Diversas nociones de estabilidad.

Estabilidad de sistemas lineales y de no lineales en primera aproximación. Teoría de estabilidad de Liapunov. Otros resultados.

Tema 5.- El problema de Cauchy para ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. El método de las características. Otros

métodos.


Realización de pruebas intermedias de seguimiento (PIS) al finalizar cada bloque temático y proponer medidas tendentes a

subsanar las deficiencias detectadas.




137


NOMBRE DE ASIGNATURA: Teoría de la Medida





Nombre: Teoría de la Medida

Código: 650025








JUAN ARIAS DE REYNA MARTINEZ Análisis Matemático Módulo 38 -- 04 [email protected]


1. DESCRIPTORES

Medidas producto. Medidas complejas. Teorema de Radon-Nikodym. Medida imagen.

2. SITUACIÓN




Es optativa de tercer curso.

A pesar de ser optativa las materias que contiene son básicas para la formación de un Matemático. Siendo obligatoria en el plan de estudios de

muchas Universidades.

En particular los conceptos estudiados son claves para la comprensión de la Teoría de Probabilidades (variables aleatorias independientes y

esperanza condicionada), las Ecuaciones Diferenciales

(espacios Lp, regularización de funciones), Geometría (medidad de superficie y de longitud), Análisis (función de distribución, interpolación de

operadores) . Por esto permitirá al alumno que la curse comprender con más facilidad y más profundamente muchas de las asignaturas

obligatorias (y optativas) de la carrera.

Como por ejemplo:

Estadística Matemática troncal de 3 curso.


138

Análisis Funcional troncal de 4 curso.

Análisis Funcional y optimización optativa de 4 curso.

Ampliación de Ecuaciones en Derivadas Parciales optativa de 5 curso.

Ampliación de Probabilidades y Procesos Estocásticos optativa de 5 curso

Ampliación de la Teoría de la Medida optativa de 5 curso.

Espacios Funcionales optativa de 5 curso.

Ampliación de Análisis Funcional optativa de 5 curso.

Ecuaciones en Derivadas Parciales de Evolución optativa de 5 curso.

Ampliación de Variable Compleja optativa de 5 curso.


Es conveniente, no imprescindible, haber cursado Ampliación de la Teoría de Funciones de Varias Variables (asignatura obligatoria de 2

curso).

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo









Liderazgo







139



Medida e integración.

Construcción de medidas.

Medidas exteriores.

Medidas exteriores métricas.

Extensión de medidas

Medidas de Borel-Stieltjes. Medidas de Hausdorff.

Funcion de distribución de una variable aleatoria.

Variables con la misma distribución.

Medida imagen. Medida con densidad.

Medida producto.

Teorema de Fubini.

Variables aleatorias independientes.

Medidas complejas.

Teorema de Radon Nikodym.

Funciones de variación acotada.

Integración por partes. Sumación parcial.

Esperanza condicionada.

Espacios Lp.


Calcular. Comparar. Estimar.

Planteo y solución de problemas.

Traducir las ideas en argumentos lógicos.

Buscar bibliografía.









4. OBJETIVOS


140

Comprender los conceptos de área y volumen. Generalización a otras dimensiones, incluso fraccionarias. Idea de los conjuntos

fractales.

La integración y algunos de los teoremas y métodos asociados: Suma parcial, Teorema de Fubini.

Conocimiento profundo de los conceptos básicos de la Teoría de la Probabilidad.

Espacios Lp.

5. Metodología:

En las horas teóricas se hará una exposición detallada de los contenidos de la asignatura. En cada hora de clase se dedicará un

pequeño espacio a plantear problemas, notas históricas, demostraciones especialmente elegantes, o algún otro tema

relacionado con la asignatura y la actualidad matemática.

Los trabajos son especialmente importantes. El tipo de trabajo que se planteará será análogo a desarrollar un tema al estilo del

libro de Polya y Szego de problemas.

El alumno deberá intentar los problemas y buscará en las tutorías ayuda en caso necesario.

También será un complemento importante el desarrollo de problemas que se asignarán por el profesor a cada alumno o

pequeño grupo de alumnos.













OTRAS: Se distribuyen problemas y trabajos personalizados a los alumnos. Una parte importante del desarrollo de la asignatura

es que los alumnos consulten con el profesor en horas de tutorías individuales los problemas que encuentran en el desarrollo

de estos trabajos.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: En media son 3 o 4 clases teóricas y 1 o 2 prácticas cada semana. En cada clase se dedicará un

pequeño espacio a plantear problemas. Exponer ideas generales. Aplicaciones o Teoremas especialmente interesantes en que

la Teoría de la Medida juegue un papel importante. Muchos de los problemas que se plantean son inéditos, y/o no resueltos para

estimular al alumno al pensamiento independiente. No es lo principal el desarrollar un programa sino el conseguir que el

alumno sienta la belleza de la Matemática.



141

Medidas. El teorema de Radon-Nikodym. Espacios Lp.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Cerdá, Joan . Análisis real . (2000.) . ISBN 84-8338-169-9 .

- Ulyánov, Piotr Lavréntievich. . Análisis real :medida e integración /P.L. Ulyánov, M.T. Dyachenko. . (MadridUniversidad

Autónoma de) . ISBN 84-7829-029-X .

- Rudin, Walter, . Análisis real y complejo /W. Rudin. . 3a ed. . (Madrid [etc.]McGraw-Hill,1987.) . ISBN 84-7615-192-6 .

- Falconer, K. J., . Fractal geometry :Mathematical foundations and applications . (1990.) . ISBN 0-471-92287-0 .

- Guzmán, Miguel de, . Integración :teoría y técnicas /M. de Guzmán, B. Rubio. . (MadridAlhambra,1979.) . ISBN 8420506311 .

- Facenda Aguirre, J. A. Freniche Ibáñez, F. . Integración de funciones de varias variables . (2002.) . ISBN 843681665X .

- Munroe, H. E. . Introduction to measure and integration /by H.E. Munroe. . (Reading, Mass.Addison-Wesley,1) .

- Hawkins, Thomas. . Lebesgue's theory of integration :its origins and development /Thomas Hawkins. . [2nd. ed.] . (New

YorkChelsea,1979.) . ISBN 0-8284-0282-5 .

- Cohn, D. L., . Measure theory . (1980.) . ISBN 3764330031 .

- Halmos, Paul R. . Measure theory /Paul R. Halmos. . (New York [etc.]Springer-Verlag) . ISBN 0-387-90088-8 .

- Folland, Gerald B. . Real analysis :modern techniques and their applications /Gerald B. Folland. . 2nd ed. . (New York [etc.]

:John Wiley an) . ISBN 0-471-31716-0 .

- Dudley, R. M. . Real analysis and probability . (1989.) . ISBN 0-534-10050-3 .

- Hewitt, Edwin J. . Real and abstract analysis :a modern treatment of the theory of functions of a real variable /Edwin Hewitt, Karl

Stromberg. . [3rd print.] . (New York [etc.]Springer-Verlag) . ISBN 0-387-90138-8 .



- Problemas resueltos.


- En algún caso las notas superiores al notable pueden requerir de un examen que hagan más objetiva la puntuación.


La calificación final se reparte en la forma siguiente: 50% Participación en clase y problemas, 50% Trabajos dirigidos.



Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 54,00 129,60 18,00 36,00 3,00 4,00 0,00 39,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,00 -

1ªSemana 5,00 12,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

2ªSemana 4,00 9,60 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3ªSemana 4,00 9,60 1,00 2,00 0,00 1,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

4ªSemana 3,00 7,20 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

5ªSemana 4,00 9,60 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


142


Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 54,00 129,60 18,00 36,00 3,00 4,00 0,00 39,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,00 -

6ªSemana 3,00 7,20 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

7ªSemana 4,00 9,60 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

8ªSemana 4,00 9,60 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

9ªSemana 3,00 7,20 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

10ªSemana 4,00 9,60 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

11ªSemana 4,00 9,60 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

12ªSemana 3,00 7,20 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

13ªSemana 3,00 7,20 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

14ªSemana 3,00 7,20 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

15ªSemana 3,00 7,20 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,00 -


Tema 1: Repaso de integración.

Medidas positivas. Medida de Lebesgue. Aproximación de funciones medibles por simples. Integral de funciones medibles.

Teoremas de convergencia. Cálculo de integrales de una variable. Cálculo de integrales múltiples: integración reiterada y cambio

de variables.

Tema 2: Construcción de medidas.

Medidas exteriores. Teorema de Carathéodory. Medidas exteriores métricas. Medidas de Borel. Teorema de extensión de Hahn.

Medida de Lebesgue y medida de Lebesgue-Stieltjes.

Tema 3: Medidas imágenes.

Funciones medibles. Integral respecto de una medida imagen. Integral respecto de una medida con densidad. Funciones de

distribución.

Tema 4: Medidas producto.

Producto de medidas positivas. Medida de Lebesgue en Rn;. Teorema de Fubini. Variables Aleatorias Independientes

Tema 5: Medidas complejas.

Medidas complejas y signadas. Variación total. Descomposición de Jordan. Descomposición de Hahn. Continuidad absoluta.

Teorema de Radon-Nikodym. Teorema de descomposición de Lebesgue. Concepto de Esperanza Condicionada.

Tema 6: Espacios de Lebesgue.

Funciones convexas. Desigualdades de Hölder y Minkowski. Normas Lp. Completitud. Aproximación por funciones simples.

Regularización de funciones en Rn;. Dualidad.

Tema 7: Medidas de Hausdorff.

Medida y dimensión de Hausdorff. Medidas de curvas y superficies. Medidas geométricas.


143




144


NOMBRE DE ASIGNATURA: Programación Lineal





Nombre: Programación Lineal

Código: 650023








ANTONIO BEATO MORENO Estadística e Investigación Operativa [email protected]

RAFAEL INFANTE MACIAS Estadística e Investigación Operativa [email protected]


1. DESCRIPTORES

Modelos deterministas discretos. Modelos determinísticos lineales. Modelos no lineales.

2. SITUACIÓN




Es una asignatura de tercer curso, con marcado carácter práctico y por tanto de utilidad en aplicaciones reales.


Se recomienda tener conocimientos básicos de Álgebra y Análisis Matemático.

3. COMPETENCIAS






145



Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









Todos los aspectos básicos de la Programación Lineal y Programación Lineal Entera.







146






















4. OBJETIVOS

El objetivo de la asignatura es, en primer lugar que el discente adquiera un conjunto de conocimientos básicos, de forma que

pueda aplicarlos, que es el segundo objetivo.

5. Metodología:














147

OTRAS: - Sesiones prácticas en el aula de informática. - Seminarios. - Trabajos en grupos reducidos.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Con el fin de conseguir los objetivos marcados se impartirán semanalmente tres horas de teoría y dos

horas entre problemas y prácticas de informática.


I.- Programación lineal.

II.- Programación lineal entera.

III.- Problemas con estructura especial.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Nemhauser, George L. . Integer and combinatorial optimization /George L. Nemhauser, Laurence A. Wolsey. . (1988.) . ISBN

047182819X .

- Hillier, Frederick S. . Introducción a la investigación de operaciones /Frederick Hillier, Gerald J. Lieberman. . 4a ed., 2a ed. en

español. . (1991.) . ISBN 968-451-447-6 .

- Eppen, Gary D. . Investigación de operaciones en la ciencia administrativa /G. D. Eppen, F. J. Gould. . 5a ed. . (2000.) . ISBN

970-17-0270-0 .

- Winston, Wayne L. . Investigación de operaciones: aplicaciones y algoritmos / Wayne L. Winston ; revisión técnica Adolfo

Andrés Velasco Reyes. . 4ç ed. . (2004.) . ISBN 970-686-362-1 .

- Ríos Insúa, Sixto. . Investigación operativa : optimización /Sixto Ríos. . (1990.) . ISBN 84-87191-71-1 .

- Infante Macías, Rafael. . Métodos de programación matemática /Rafael Infante Macías. . [2a ed., reimp.] . (1997.) . ISBN

84-362-2404-3 .

- Barbolla, Rosa. . Optimización :cuestiones, ejercicios y aplicaciones a la economía /Rosa Barbolla, Emilio Cerdá, Paloma Sanz.

. (D.L. 2000.) . ISBN 8420529923 .

- Calvete Fernández, Herminia I. . Programación lineal entera y meta :problemas y aplicaciones /Herminia I. Calvete Fernández,

Pedro M. Mateo Collazos. . (1994.) . ISBN 8477334358 .

Programación lineal y aplicaciones :ejercicios resueltos /Sixto Ríos Insua...[et al.] . (1997.) . ISBN 84-7897-284-6 .

- Bazaraa, Mokhtar S. . Programación lineal y flujo en redes /Mokhtar S. Bazaraa, John J. Jarvis ; [versión española, Onesimo

Hernandez Lerma ; revisión, Marcia Gonzalez Osuna. . [3a reimp.] . (1988.) . ISBN 968181326X .






Todos los exámenes relacionados con esta asignatura constarán de una parte teórica y otra práctica. Las dos puntuarán sobre

diez

puntos, para superar el examen será necesario obtener al menos una media de cinco puntos entre la nota de teoría y la de

problemas y

siempre que ambas sean superiores o iguales a tres puntos.

La parte teórica del examen consistirá en responder a preguntas explicadas en las clases teóricas y de cuestiones relacionadas

con la

teoría, la parte práctica, consistirá en resolver problemas relacionados con los contenidos explicados en la asignatura.


148

Para la primera convocatoria de la asignatura y de acuerdo con los Estatutos de la Universidad de Sevilla, los alumnos podrán

superar

la asignatura realizando un examen de las características ya descritas, que se realizará antes del examen final.



Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 40,00 100,00 28,00 56,00 2,00 2,00 5,00 5,00 0,00 38,50 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

4ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

6ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

7ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

8ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

10ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

11ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

12ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

13ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

14ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

15ªSemana 2,00 5,00 5,00 10,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


Parte I: Programación lineal.

Tema 1: Introducción a la investigación operativa: características y problemas que resuelve

Tema 2: Conjuntos convexos y funciones convexas.

Tema 3: Programación Lineal. Modelo matemático.

Tema 4: Resolución geométrica.

Tema 5: El método simplex.

Tema 6: Dualidad. Interpretación económica.

Tema 7: Análisis de sensibilidad y paramétrico.

Tema 8: Especializaciones del método simplex.

Tema 9: Otros algoritmos. Algoritmos de punto interior.

Parte II: Programación lineal entera

Tema 10: El problema de la programación lineal entera.

Tema 11: Métodos de planos de corte.


149

Tema 12: Métodos de enumeración implícita.

Tema 13: Métodos de ramificación y acotación.

Tema 14: Algoritmos heurísticos.

Tema 15: Software específico para la programación lineal.

Parte III: Problemas con estructura especial

Tema 16: El problema del transporte.

Tema 17: El problema de asignación.

Tema 18: Programación Lineal y Teoría de Juegos.


Se podrán efectuar encuestas y reuniones entre los profesores de la asignatura.




150


NOMBRE DE ASIGNATURA: Álgebra





Nombre: Álgebra

Código: 650021








FRANCISCO JAVIER HERRERA GOVANTES Algebra [email protected]

MIGUEL ANGEL OLALLA ACOSTA Algebra [email protected]

Emilio Briales Morales Algebra [email protected]


1. DESCRIPTORES

Números algebraicos.

2. SITUACIÓN




La asignatura se imparte actualmente en el segundo cuatrimestre del tercer curso de la Licenciatura. Las materias que se desarrollan

suponen la primera mirada a lo que se conoce como Álgebra Abstracta, y las primeras estructuras como grupo, anillo y cuerpo. Requiere, por

tanto, una cierta madurez para la comprensión de estos conceptos. El alumno ya ha visto ejemplos como el grupo de los movimientos, anillos

de funciones o aritmética modular. La aplicación de la teoría de grupos a la resolución de ecuaciones algebraicas constituye un magnífico

ejemplo de la interconexión entre dos ramas aparentemente distintas de la Matemática, y ésta debe ser una de las ideas que debe calar en los

alumnos que cursen la asignatura.


Es recomendable tener aprobada la asignatura Álgebra Lineal, de primer curso. No es recomendable que esta asignatura se haga antes que


151

Estructuras Algebraicas.

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









Cálculo del orden de una permutación


152

Operaciones entre permutaciones

Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos

Cálculo de subgrupos de ciertos grupos

Cálculo de cuerpos de descomposición

Cálculo del grupo de Galois de un polinomio

Cálculo de los subcuerpos de una extensión normal

Clasificación de cuerpos finitos

Determinación del carácter resoluble por radicales de una ecuación

Determinación de la posibilidad de construir una figura con regla y compás.



























4. OBJETIVOS

Los objetivos básicos de la asignatura son la introducción a la teoría de grupos y al estudio de las ecuaciones, desembocando en

el teorema fundamental de la teoría de Galois y la clasificación de cuerpos finitos.

5. Metodología:

La usual en Matemáticas: Exposición de la materia teórica en clase magistral y participación del alumno en la resolución de los

problemas propuestos.


153













OTRAS: Sesiones prácticas en el aula de informática. Exposiciones de los alumnos.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se imparten 5 horas, de las que tres se dedican a teoría. Al principio del curso se

expone una lista con las fechas en las que cada alumno tendrá problemas asignados, junto a la fecha en la que le corresponde

exponer. Tienen una semana para su resolución, con el apoyo de tutorías y de consulta de la bibliografía recomendada. En las

dos horas correspondientes a prácticas se realiza la exposición y la realización de nuevos problemas. Algunas aplicaciones de

la teoría de grupos se muestran mediante seminarios y prácticas en ordenador.


Teoría de grupos.

Teoría de Galois.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Herstein, I. N. . Algebra moderna :grupos, anillos, campos, teoría de Galois /I. N. Herstein ; traducción, Federico Velasco Coba ;

revisión técnica, Emilio Lluis Riera. . 2a reimp. . (MéxicoTrillas,1974.) .

- Jacobson, Nathan, . Basic algebra. . (1974-1980.) . ISBN 0716704536 v. 1 .

- Snaith, V. P. . Groups, rings and Galois theory /Victor P. Snaith. . (1998.) . ISBN 981-02-3508-9 .

- Kostrikin, A. I. (Aleksei Ivanovich) . Introducción al álgebra /A.I. Kostrikin. . 2a ed. aum. y rev. . (MoscúMir,1983.) .

- Xambó Descamps, Sebastián. . Introducción al álgebra /Sebastián Xambó, Félix Delgado, Concha Fuertes. . (1993.) . ISBN

84-7491-428-0 .

8.2. Específica:

D.S. Dummit, R.M. Foote. "Abstract Algebra", Wiley, New York, 1999

J.M. Gamboa, J.M. Ruiz. "Anillos y cuerpos conmutativos", UNED, Madrid, 1987

J. Kirtland. "Identification numbers and check digit schemes", The Mathematical Association of America, 2001

W.A. Adkins, S.H. Weintraub."Algebra: an approach via module theory", Springer, 1992.

J.J. Etayo, J.M. Gamboa, E. Bujalance."Teoría de grupos", UNED, Madrid, 1989.


154





El examen teórico práctico tiene un peso sobre el 75% de la nota, y los trabajos entregados, junto a su exposición, un 25%.



Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 40,00 100,00 25,00 50,00 5,00 5,00 5,00 5,00 0,00 41,50 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Grupos y

subgrupos

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Teorema de

lagrange

normalidad

3ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Teorema de

isomorfia

4ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Permutaciones

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00El grupo

alternado

6ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

grupo derivado,

grupos

resolubles

7ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Anillos,

dominios y

cuerpos

8ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Anillo de

polinomios

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Teorema

fundamental del

algebra,

Ecuaciones de

grado 3 y 4

10ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Extensiones de

cuerpos, grado

11ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Problemas

clasicos con

regla y compas

12ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Cuerpo de

descomposición,

Elemento

primitivo


155


Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 40,00 100,00 25,00 50,00 5,00 5,00 5,00 5,00 0,00 41,50 0,00 0,00 4,00 -

13ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Teorema

fundamental de

la teoria de

Galois

14ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Calculo de

galois,

Aplicaciones

15ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Cuerpos finitos


Primera parte: Teoría de grupos.

Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones.

Normalidad. Cocientes. Homomorfismos. Teoremas de isomorfía.

El grupos de las permutaciones. El grupo alternado.

Grupos resolubles. Aplicaciones. Caracteres de grupos. Teorema de Cauchy.

Segunda parte: Teoría de Galois.

Teoría de anillos. Homomorfismos. Ideales. Anillo cociente. Teoremas de isomorfía. Dominios, cuerpos y cuerpo de fracciones.

Característica de un cuerpo.

Anillos de polinomios. Raíces de polinomios. División y factorización. Lema de Gauss.

Teorema Fundamental del Álgebra. Ecuaciones de tercer y cuarto grado.

Extensiones de cuerpos. Grado. Elementos algebraicos. Cuerpo de descomposición. Polinomios separables. Teorema del

elemento primitivo.

Homomorfismos de cuerpos. Extensiones normales. Teorema fundamental de la teoría de Galois.

Cálculo de grupos de Galois. Polinomios de grado 3 y 4. Polinomios ciclotómicos.

Cuerpos finitos: existencia y unicidad. Grupo de automorfismos.

Aplicaciones. Construcciones con regla y compás. Cálculo de raíces por radicales.


La asignación de trabajos semanales facilita al profesor el nivel de compresión que está teniendo el alumnado. Se procura que

los ejercicios entregados se corrijan en una semana, para así completar el proceso evaluador, y el alumno conozca sus puntos

débiles y fuertes. Por experiencias con otros años, se nota la mejoría en la segunda parte del curso respecto a la escritura y

exposición de los ejercicios. De esta forma nos acercamos a un proceso de evaluación continua, y facilita la detección y

corrección de los errores más habituales.Sin embargo, para la buena marcha del proceso es muy recomendable que el número de

alumnos en cada grupo sea del orden de 40, y no sufra las descompesaciones que está teniendo en los últimos años.




156


NOMBRE DE ASIGNATURA: Variable Compleja y Análisis de Fourier





Nombre: Variable Compleja y Análisis de

Fourier

Código: 650022








GENARO LOPEZ ACEDO Análisis Matemático 37-10 [email protected]


1. DESCRIPTORES

Derivación e integración de funciones complejas. Teorema de Cauchy. Residuos. Series de Fourier.Transformadas integrales.

2. SITUACIÓN




Asignatura obligatoria de tercer curso.


Es muy recomendable haber cursado las asignaturas siguientes: Elementos de Análisis Matemático, Análisis Matemático I, Elementos de

Geometría Diferencial y Topología, Análisis Matemático II, Ampliación de la Teoría de Funciones de Varias Variables, Introducción a la

Topología Algebraica.

3. COMPETENCIAS




157





Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético






















158












4. OBJETIVOS

La primera parte del curso busca iniciar al estudiante en el estudio de la funciones analíticas de variable compleja. El énfasis se

sitúa en resaltar la potencia de los métodos y herramientas utilizados: la representación de funciones (integral y en serie de

potencias); la convergencia uniforme en compactos; y la determinación continua del argumento. Las aplicaciones de éstos

métodos a otros problemas del Análisis es una parte destacable de la asignatura. La teoría de las funciones analíticas es una

teoría bien acabada es un ejemplo excelente para los alumnos interesados en matemáticas fundamentales.

En la segunda parte de hace un estudio básico de la series de Fourier, incidiendo en el uso de diversos núcleos para establecer

importantes propiedades. El estudio de transformaciones integrales se centra en la transformada de Fourier en la recta real. Se

puede contemplar como un inicio a la teoría de la aproximación.

5. Metodología:

Se impartiran las clases teorícas sifguiendo el módelo tradicional, clase magistral. las clases prácticas se utizaran para ilustrar

los conocimientos teóricos adquiridos y potencias en el alumno la capacidad de resolución de problemas, en las clases

prácticas se estimulara la participación del alumno mediante la entrega anticipada de los problemas que se resolverán, dando la

posibilidad a los alumnos de exponer en clase.











OTRAS: Trabajo en grupos reducidos. Busqueda de bibliografía.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Se les proporciona un texto por escrito con un resumen de los temas que se tratarán durante el curso


159

y de los problemas que se irán resolviendo. Los resumenes teóricos y las hojas de problema se encuentran a disposición de los

alumnos en la página web del profesor . Durante dos horas semanales se exponen en clase y se contestan preguntas por parte

del alumno. También se dedica una hora semanal a resolver cuestiones de tipo teórico y una hora a la resolución de problemas.

Se recomienda que busquen bibliografía adicional a la recomendada.


Números complejos.

Funciones de variable compleja.

Diferenciación e integración compleja.

Propiedades básicas de las funciones anaíticas.

Residuos.

Series de Fourier.

Transformada de Fourier.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Palka, Bruce P. . An introduction to complex function theory /Bruce P. Palka. . (New York [etc.]Springer-Verlag) . ISBN

354097427X .

- Apostol, Tom M. . Análisis matemático /T.M. Apostol. . 2a ed. . (BarcelonaReverté,1976.) .

- Conway, John B. . Functions of one complex variable I/John B. Conway. . 2nd. ed. [corr. 4th print.] . (New York [etc.]

:Springer-Verl) . ISBN 0-387-90328-3 .

- Saff, Edward B., . Fundamentals of complex analysis for mathematics, science, and engineering /E. B. Saff, A. D. Snider ; with an

appendix by Lloyd N. Trefethen. . 2nd. ed. . (Englewood Cliffs, N.J. :Prenti) . ISBN 0133274616 .

- Buchsman, R. . Integral Transformation, Operational Calculus, and Generalized Functions . Kluwer . (1996) .

- Knopp, Konrad, . Problem book in the theory of functions /Konrad Knopp. . (New YorkDover,1952.) . ISBN 0-486-60159-5 .

- Cañada Villar, Antonio. . Series de Fourier y aplicaciones :un tratado elemental, con notas históricas y ejercicios resueltos

/Antonio Cañada Villar. . (Madrid :Pirámide,2002.) . ISBN 843681620x .

- Markushevich, Alexei Ivánovich. . Teoría de las Funciones Analíticas . 2a ed. . (1978.) .

- Strichartz, Robert S. . The way of analysis /Robert S. Strichartz. . Rev. ed. . (Boston, Mass. :Jones and Bartl) . ISBN

0763714976 .

- Needham, Tristan. . Visual complex analysis /Tristan Needham. . [Reprint.] . (Oxford :Clarendon Press,1997.) . ISBN

0-19-853447-7 .







Como es preceptivo en las asignaturas cuatrimestrales de la Facultad de Matemáticas, se realizarán dos examenes finales. A lo

largo del curso se realizaran tres examenes parciales, el primero versará sobre los contenidos del Tema 1, el segundo sobre los

contenidos del Tema 2 y el último acerca de los Temas 3 y 4.


160

Un alumno que obtenga en todos los parciales una calificación por encima de 3 y la media aritmética de las tres calificaciones

sea igual o superior a 5 quedará aprobado por curso y no necesitara hacer examen final. Los alumnos que no hayan aprobado

por curso tendrán que obtener una calificación igual o superior a 5 en alguno de los examenes finales para aprobar la asignatura.

En la calificación de los examenes finales a los alumnos se les sumara un punto por cada parcial aprobado para alcanzar la

calificación de aprobado.

Se propondran a los alumnos lista de problemas para su resolución y se les solicitara exponerlos. Estas intervenciones podran

ser valoradas positivamente para la calificación de los examenes parciales.



Seminarios

Trabajo en grupo

reducidoExámenes Temario

Segundo Semestre H Total H Total H Total H Total Total -

Nº total de horas 29,00 116,00 19,00 57,00 3,00 3,00 3,00 3,00 6,00 -

1ªSemana 3,00 12,00 1,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

2ªSemana 3,00 12,00 1,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

3ªSemana 3,00 12,00 1,00 3,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 1

4ªSemana 2,00 8,00 1,00 3,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1

5ªSemana 0,00 0,00 2,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,00 1

6ªSemana 3,00 12,00 1,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

7ªSemana 2,00 8,00 1,00 3,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 2

8ªSemana 2,00 8,00 1,00 3,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 2

9ªSemana 3,00 12,00 1,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

10ªSemana 1,00 4,00 1,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,00 2

11ªSemana 2,00 8,00 1,00 3,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 3

12ªSemana 2,00 8,00 1,00 3,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 3

13ªSemana 2,00 8,00 2,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

14ªSemana 1,00 4,00 2,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

15ªSemana 0,00 0,00 2,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,00 4


Tema 1. Derivación: Topología del Plano. Funciones de Variable compleja. Continuidad. Sucesiones y series de números

complejos. Sucesiones y series de funciones de Variable Compleja. Funciones Analíticas. Ejemplos. Derivabilidad compleja.

Ecuaciones de Cauchy Riemann. Interpretación geométrica de la derivada. Funciones racionales. Funciones elementales.

Determinaciones continuas de funciones.

Tema 2. Integración:

Integración compleja. Teorema y Fórmula Integral de Cauchy en forma local.

Forma global del teorema de Cauchy. Teorema de los resiuduos. Cálculo práctico de residuos.

Tema 3. Series de Fourier: La Ecuación del calor. Series trigonométricas de Fourier. Convergencia de las series de Fourier,

Tema 4. Transformadas integrales. Transformada de Fourier. Transformada de Laplace . Aplicación a la resolución de ecuaciones


161

diferenciales.


Examenes parciales y preguntas durante las clases de problemas.




162


NOMBRE DE ASIGNATURA: Ampliación de Cálculo Numérico





Nombre: Ampliación de Cálculo Numérico

Código: 650027








TOMAS CHACON REBOLLO Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. Modulo 33 [email protected]

MARIA MACARENA GOMEZ MARMOL Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. Modulo 33 [email protected]

MARIA BLANCA CLIMENT EZQUERRA Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. Modulo 31 [email protected]


1. DESCRIPTORES

Complementos sobre métodos numéricos. Implementación efectiva.

2. SITUACIÓN


Para una correcta comprensión y aprendizaje de la asignatura, se recomienda tener los conocimientos de todas las

asignaturas troncales de primer y segundo curso de la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad de Sevilla o equivalente.


Asignatura optativa de primer ciclo que se imparte en el segundo cuatrimestre del tercer curso de la carrera.


Se recomienda que el alumno haya cursado previamente las asignaturas troncales de primer y segundo curso de la Licenciatura de

Matemáticas.

2.4 Adaptaciones para estudiantes con necesidades especiales (estudiantes extranjeros, estudiantes con alguna discapacidad, ...):

Las que proporciona la propia Facultad.


163

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo






Compromiso ético







Liderazgo








Modelado matemático de procesos y sistemas de las ciencias aplicadas

(física, química, medicina, ciencia medioambiental, etc.).

Aproximación numérica y resolución efectiva de los modelos anteriores.

Implementación de algoritmos de resolución numérica en un lenguaje de programación estructurada.


164

Análisis de distintos métodos numéricos para un problema concreto.

Análisis del significado y la calidad de los resultados y ajustes correspondientes del procedimiento de resolución.




















4. OBJETIVOS

Esta asignatura pretende dar justificación y aplicación a los métodos numéricos a través del análisis y la

resolución de los modelos matemáticos. Se pretende resolver problemas derivados de la Ciencia y la Técnica,

incidiendo en los siguientes puntos:

Modelado matemático

Análisis de los modelos (estudio matemático de algunas propiedades)

Resolución numérica

Interpretación de resultados

Estos objetivos incluyen el aprendizaje de un lenguaje de programación cientifica de uso común.

5. Metodología:

Las etapas de modelización, elaboración de métodos y análisis de éstos son objeto de clases magistrales, complementadas en

gran medida de medios informáticos, con objeto de ilustrar conceptos, métodos y aplicaciones. La parte práctica requiere el

aprendizaje y utilización de software matemático, para la elaboración de programas que traduzcan los métodos numéricos

relevantes de los estudiados en el curso y que serán convenientemente explotados. Estas clases se impartiran en el aula de

informatica.

La elección de los modelos a estudiar permite desarrollar en los alumnos la capacidad de relacionar las matemáticas con otras

disciplinas.

Los alumnos disponen de tutorías personalizadas, en un horario que se fija mediante un acuerdo entre los alumnos y los

profesores.

Toda la información relativa a la asignatura, apuntes, programas, prácticas, manuales, fechas importantes, etc, está disponible


165

en la plataforma virtual de la Universidad.









OTRAS: Trabajos dirigidos. Estudio de Caso.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartiran 5 horas con la siguiente estructura: Semanas impares: 3 horas teóricas y

2 horas prácticas. Semanas pares: 1 hora teórica y 4 horas prácticas.


BLOQUE 1: Sistemas Dinámicos.

BLOQUE 2: Modelos Multidimensionales.

BLOQUE 3: Leyes de Conservación.

BLOQUE 4: Programación Cientifica con MATLAB.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Burden, Richard L. . Análisis numérico /Richard L. Burden, J. Douglas Faires. . (1985.) . ISBN 968-7270-09-8 .

- Kincaid, David. . Análisis numérico :las matemáticas del cálculo científico /David Kincaid y Ward Cheney . (1994.) . ISBN

0-201-60130-3 .

- Merrien, Jean-Louis. . Analyse numerique avec Matlab :rappels de cours, méthodes, exercices et probláemes avec corrigés

détailles /Jean-Louis Merrien. . (2007.) . ISBN 9782100508631 .

- Sainsaulieu, Lionel. . Calcul scientifique :cours et exercises corrigés /Lionel Sainsaulieu. . 2a ed. . (2000.) . ISBN 2-10-004551-2

.

- Quarteroni, Alfio. . Cálculo científico con MATLAB y Octave /A. Quarteroni, F. Saleri. . (2006.) . ISBN 8847005035 .

- Zill, Dennis G. . Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado /Dennis G. Zill. . 8a ed. . (2007.) . ISBN 9706861211 .

- Bassanezi, Rodney Carlos. . ENSINO-APRENDIZAGEM COM MODELAGEM MATEMATICA . (2002.) . ISBN 85-7244-207-3 .

- Britton, Nicholas F. . Essential mathematical biology /Nicholas F. Britton. . (cop. 2003.) . ISBN 185233536X (alk. paper) .

- Danaila, Ionut. . Introduction au calcul scientifique par la pratique :12 projets résolus avec MATLAB / Ionut Danaila ... [et.al.] .

(2005.) . ISBN 2-10-048709-4 .

- Neuhauser, Claudia. . Matemáticas para ciencias /Claudia Neuhauser. . 2ç ed. . (2004.) . ISBN 8420542539 .

- Fowler, Andrew Cadle. . Mathematical models in the applied sciences /A. C. Fowler. . (1997.) . ISBN 0-521-46703-9 .

Matlab :edición de estudiante :The MathWorks Inc. ; con tutorial de Duane Hanselman y Bruce Littlefield. . (Madrid [etc.] :Prentice

Hall,1) . ISBN 0-13-459793-1 .

- Mathews, John H. . Métodos numéricos con MATLAB /John H. Mathews, Kurtis D. Fink ; traducción, Pedro José Paúl Escolano ;


166

revisión técnica, Antonio Fernández Carrión, Manuel Contreras Márquez. . 3a ed., reimp. . (2004.) . ISBN 8483221810 .

- Romero Romero, Juan Luis. . Modelos y sistemas dinámicos /Juan Luis Romero Romero, Concepción García Vázquez. . (1998.)

. ISBN 84-7786-516-7 .

- Allaire, Grégoire. . Numerical analysis and optimization :an introduction to mathematical modelling and numerical simulation

/Grégoire Allaire ; translated by Alan Craig. . (2007.) . ISBN 9780199205226 .

- Quarteroni, Alfio. . Numerical mathematics /Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri. . 2nd ed. . (c2007 [i.e. 2006]) .

ISBN 9783540346586 .

- Roughgarden, Jonatan. . Primer of ecological theory /Jonatan Roughgarden. . (1998.) . ISBN 0-13-442062-4 .


8.3. Observaciones:

Las referencias bibliográficas que se presentan son de tres tipos: libros sobre modelado matemático, libros sobre análisis

numérico y referencias sobre programación en MATLAB. A medida que se vaya desarrollando cada bloque tematico se les

proporcionará a los alumnos la bibliografía especifica.







Para aprobar la asignatura existen dos convocatorias, una en el mes de junio y otra en el mes de septiembre.

La evaluación del rendimiento del alumno se realizará atendiendo a los siguientes criterios:

² La parte teórica se evaluará mediante examenes escritos.

² La parte práctica se evaluará mediante prácticas propuestas.

² Las partes teórica y práctica deberán aprobarse por separado.

² La nota final será calculada computando ambas partes.

² Las calificaciones de cada parte se guardan hasta la convocatoria de diciembre.

Previamente, para la parte teórica y problemas, se harán tres controles escritos (pruebas intermedias), uno por cada

bloque temático, que son eliminatorios para la primera convocatoria. La compensación de notas de unos controles

con otros queda a juicio de los profesores de la asignatura.

La participación activa en las sesiones academicas de problemas o de prácticas propuestas, suscitando debate

en clase, podrá proporcionar hasta un punto.


HORAS SEMANALES Teoría Prácticas Exámenes Temario

Segundo Semestre H Total H Total Total -

Nº total de horas 30,00 75,00 39,00 117,00 6,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 2,00 6,00 0,00 -

2ªSemana 1,00 2,50 4,00 12,00 0,00 -

3ªSemana 3,00 7,50 1,00 3,00 0,00 -

4ªSemana 1,00 2,50 4,00 12,00 0,00 -

5ªSemana 3,00 7,50 2,00 6,00 0,00 -

6ªSemana 1,00 2,50 4,00 12,00 0,00 -


167



Nº total de horas 30,00 75,00 39,00 117,00 6,00 -

7ªSemana 0,00 0,00 3,00 9,00 2,00 -

8ªSemana 3,00 7,50 2,00 6,00 0,00 -

9ªSemana 1,00 2,50 4,00 12,00 0,00 -

10ªSemana 1,00 2,50 4,00 12,00 0,00 -

11ªSemana 3,00 7,50 2,00 6,00 0,00 -

12ªSemana 1,00 2,50 2,00 6,00 2,00 -

13ªSemana 5,00 12,50 0,00 0,00 0,00 -

14ªSemana 3,00 7,50 2,00 6,00 0,00 -

15ªSemana 1,00 2,50 3,00 9,00 2,00 -


Bloque I:Sistemas dinámicos.

Tema 1: Modelos de poblaciones

Modelo Malthusiano.

Modelo Logístico.

Tema 2: Modelo de la Edad de Hielo

Deducción del modelo.

Estudio de los puntos de equilibrio.

Estabilidad de los puntos de equilibrio.

Análisis de bifurcaciones.

Aproximación Numérica.

Implementación efectiva.

Tema 3: Modelos de epidemias

Modelo SIS.

Modelo SIR.

Bloque II: Modelos Multidimensionales

Tema 4: Modelos Multidimensionales

Modelo del Potencial eléctrico.

Ecuación del Calor.

Bloque III: Leyes de Conservación

Tema 5: Modelos de tráfico y rios.

Deducción de los Modelos.

Método de las características.

Ondas de rarefacción y choques.

Bloque IV: Programación Cientifíca con MATLAB.

Tema 6: Prácticas con ordenador.

Repaso breve del uso de MATLAB.

Introducción a la programación en MATLAB.

Escritura de programas MATLAB para implementar los modelos estudiados en el curso.



168

Habrá tres examenes intermedios que permitirán aprobar la parte teórica de la asignatura con anterioridad a la convocatoria

oficial. Se realizaran trabajos prácticos obligatorios en cada bloque tematico. Se propondrá a los alumnos la resolución y/o

exposición de ejercicios con caracter optativo.




169


NOMBRE DE ASIGNATURA: Inferencia Estadística





Nombre: Inferencia Estadística

Código: 650026








JUAN LUIS MORENO REBOLLO Estadística e Investigación Operativa [email protected]

INMACULADA BARRANCO CHAMORRO Estadística e Investigación Operativa [email protected]


1. DESCRIPTORES

Muestreo aleatorio. Estimación. Contrastes de hipótesis.

2. SITUACIÓN




Asignatura optativa de 3er curso que complementa los contenidos de la asignatura obligatoria de Estadística Matemática. Conjuntamente

con Cálculo de Probabilidades sirve de fundamento para las posteriores asignaturas del área de Estadística e I.O.

Esta asignatura es de gran mportancia para los egresados que se dediquen a la docencia en enseñanzas medias pues en ella se desarrollan

contenidos que se recogen en asignaturas de estos niveles.


Se recomienda tener aprobadas las asignaturas: Cálculo de Probabilidades (2º curso) y Estadística Matemática (3er curso).

Es aconsejable cursarla antes que las asignaturas: Métodos Estadísticos Multivariantes (5º curso) y Modelos Lineales (5º curso)

Asignaturas afines: Programación Lineal (3er curso), Programación No Lineal (4º curso), Ampliación de Probabilidades y Procesos Estocásticos

(5º curso), Métodos Estocásticos en I.O. (5º curso) y Métodos Determinísticos en I.O. (5º curso)


170

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









Conocimiento de los conceptos básicos en los que se sustentan las técnicas inferenciales.

Selección y aplicación de las técnicas de obtención de datos para su tratamiento estadístico.


171

Aplicación de los procedimientos generales de contrastes de hipótesis

Manejo de software estadístico





Interpretación de resultados a partir de modelos estadísticos.





















4. OBJETIVOS

El objetivo de esta asignatura es el estudio de los fundamentos de la Inferencia Estadística: estimación y contrastes de hipótesis.

La asignatura se desarrolla fundamentalmente en el contexto de la estadística paramétrica, y se ilustran algunos de los

problemas que se pueden abordar desde la perspectiva no-paramétrica.

5. Metodología:










172





DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: En la mayoría de las semanas se impartirán 3 horas de teoría y 2 de problemas. A lo largo del curso se

dedicarán algunas horas a la realizáción de prácticas en el aula de informática y a la exposición por parte del alumnado de

trabajos propuestos.


Inferencia paramétrica: Estimación y Contrastes de hipótesis.

Técnicas no paramétricas.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Rohatgi, Vijay K., . An introduction to probability theory and mathematical statistics /V. K. Rohatgi. . (1976.) . ISBN

0-471-73135-8 .

- Visauta Vinacua, Bienvenido. . Análisis estadístico con SPSS 14 :Estadística básica /Bienvenido Visauta Vinacua. . 3a ed. .

(D.L. 2007.) . ISBN 9788448156701 .

- Sheskin, David. . Handbook of parametric and nonparametric statistical procedures by David J. Sheskin. . 3rd ed. . (c2004.) .

ISBN 1584884401 (acid-free paper) .

- Cristóbal Cristóbal, José Antonio. . Inferencia estadística /José Antonio Cristóbal Cristóbal. . [2a ed.] . (1995.) . ISBN

84-7733-438-2 .

- Mood, Alexander MacFarlane. . Introduction to the theory of statistics /Alexander M. Mood, Franklin A. Graybiil, Duane C. Boes.

. 3rd ed. . (1974.) . ISBN 0-07-042864-6 .

- Cristóbal Cristóbal, José Antonio. . Lecciones de Inferencia Estadística /José Antonio Cristóbal Cristóbal. . (2003.) . ISBN

8477336253 .

- Bickel, Peter J. . Mathematical statistics :basic ideas and selected topics /Peter J. Bickel, Kjell A. Doksum. . 2nd ed. . (2001.) .

ISBN 0-13-850363-X .

- Dudewicz, Edward J. . Modern mathematical statistics /Edward J. Dudewicz, Satya N. Mishra. . (1988.) . ISBN 0-471-81472-5 .

- Gibbons, Jean Dickinson, . Nonparametric statistical inference /Jean Dickinson Gibbons. . 3rd ed., rev. and expanded. . (1992.)

. ISBN 0-8247-8661-0 .

- Vélez Ibarrola, Ricardo. . Principios de inferencia estadística /Ricardo Vélez Ibarrola, Alfonso García Pérez. . [3ç reimp.] .

(Madrid :UNED,1999.) . ISBN 84-362-2947-9 .

- Mukhopadhyay, Nitis, . Probability and statistical inference. . (2000.) . ISBN 0-8247-0379-0 .

- Casella, George. . Statistical inference /George Casella, Roger L. Berger. . 2nd ed. . (c2002.) . ISBN 0534243126 .

- Lindgren, Bernard W., . Statistical theory /Bernard W. Lindgren. . 4th ed. . (1993.) .

- Lehmann, Erich Leo, . Testing statistical hypotheses /E.L. Lehmann. . 2nd. ed. . (1986.) . ISBN 0-471-84083-1 .

8.2. Específica:

A rellenar por cada profesor.



173




A lo largo del curso se realizarán dos pruebas parciales eliminatorias previas a la convocatoria de Junio. Los alumnos que no

superen alguna de las pruebas se examinarán de la materia correspondiente en la convocatoria de Junio. Tanto las pruebas

parciales como el examen de la convocatoria de Junio constarán de preguntas teóricas, cuestiones y problemas.



SeminariosOtras actividades

Trabajo de



Nº total de horas 40,00 100,00 30,00 60,00 5,00 5,00 0,00 36,50 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

2ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

3ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

4ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

5ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

6ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

7ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

8ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

10ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

11ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

12ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

13ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 6

14ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 6

15ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 6


1. Introducción a la Inferencia Estadística. Muestreo aleatorio. Estadísticos muestrales. Planteamiento de los principales

problemas de inferencia estadística. Momentos muestrales. Propiedades. Función de distribución empírica. Propiedades. Familia

exponencial de distribuciones.

2. Muestreo en poblaciones normales. Distribuciones asociadas y propiedades. Distribución e independencia de la media y

varianza muestral. Distribuciones exactas relacionadas con el muestreo en poblaciones normales.

3. Estimación puntual paramétrica. Planteamiento del problema. Concepto de estimador. Características asociadas: sesgo,

error cuadrático medio, propiedades asintóticas,... Criterios de comparación de estimadores. Suficiencia. Métodos de estimación:

método de los momentos y método de la máxima verosimilitud. Propiedades.

4. Regiones de confianza. Definición e interpretación. Intervalos de confianza. Métodos de construcción: método de la cantidad

pivotal. Otros métodos de construcción. Precisión de la estimación y tamaño muestral. Criterios de optimalidad.

5. Contrastes de hipótesis paramétricos. Planteamiento del problema. Errores de tipo I y II. Función test. Función potencia:

conceptos asociados. Test uniformemente más potente. Etapas básicas en un contraste de hipótesis. Métodos de construcción:

contraste de la razón de verosimilitudes. Aplicación en poblacionesnormales y proporciones. Relación entre contrastes de


174

hipótesis y regiones de confianza.

6. Contrastes de hipótesis no paramétricos. Introducción. Contrastes de bondad de ajuste. Contrastes de homogeneidad de

poblaciones. Contrastes de independencia de caracteres.


Reuniones de coordinación y planificación entre los profesores de la asignatura




175


NOMBRE DE ASIGNATURA: Superficies Regulares





Nombre: Superficies Regulares

Código: 650028








JOSE LUIS CABRERIZO JARAIZ Geometría y Topología [email protected]

MANUEL FERNANDEZ ANDRES Geometría y Topología [email protected]


1. DESCRIPTORES

Teorema Fundamental de superficies; Orientación; Isometrias; Teorema de Gauss-Bonnet; Rigidez de la esfera; Sistemas

coordenados especiales; Teorema de Minding; Teorema de Hopf-Rinow.

2. SITUACIÓN




Es un complemento a la asignatura "Geometría Local de Curvas y Superficies" pues se trata de desarrollar resultados en superficies desde

el punto de vista global.


El alumno debería haber cursado una Topología General, Análisis en una y varias variables, y la asignatura de Geometría Local de Curvas y

Superficies.

3. COMPETENCIAS



176






Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









Conceptos fundamentales como orientación, isometría, rigidez, completitud.



177

Visualización e interpretación de los resultados.










4. OBJETIVOS

Conocer los conceptos que son globales, como la orientación de una superfice; Distinguir si dos superficies son

geométricamente la misma; Conocer y aplicar el teorema de Gauss-Bonnet; Conocer el sistema geodésico polar y su utilización

para clasificar superficies de curvatura constante; Entender el concepto de rigidez, superfice completa y el teorema de

Hopf-Rinow.

5. Metodología:

Se explican primero los conceptos en clases teóricas y se ilustran con ejemplos, en los que la visualización de las figuras tiene

un especial interés, por lo que la ayuda de programas de representación gráfica y cálculo simbólico puede ser muy conveniente

(Maple, Mathematica, Siluetas,...). Los ejercicios se resolverán en clase y se propondrá a los alumnos su exposición oral o por

escrito, trabajo que será reconocido en la calificación final. Trabajos específicos encargados para su estudio y realización en

grupos reducidos son muy útiles para la formación científica de los alumnos, donde se confrontan los diferentes puntos de

vista, se fomenta la participación sobre la resolución o métodos de trabajo y exposición. Además, se tiene en cuenta en la

calificación final.
















178


DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartirán 3 horas de teoría y 2 de problemas; al finalizar cada tema habrá tantas

horas de prácticas como sean necesarias para que los alumnos asimilen y sepan aplicar la teoría estudiada.


Teorema fundamental de superficies

Orientación de superficies

Isometrías

Teorema de Gauss-Bonnet

Teorema de rigidez de la esfera

Sistema coordenado geodésico polar. Teorema de Minding

Superficies completas. Teorema de Hopf-Rinow

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Klingenberg, Wilhelm. . Curso de geometría diferencial /Wilhelm Klingenberg ; versión española de J. L. Andrés Yebra. . (1978.)

.

- Montiel, Sebastián. . Curvas y superficies /Sebastian Montiel, Antonio Ros. . (1997.) . ISBN 84-8254-095-5 .

- Stoker, J. J. . Differential geometry /J. J. Stoker. . (1989.) . ISBN 0-471-50403-3 .

- O'Neill, Barrett. . Elementary differential geometry /Barrett O'Neill. . 2nd. ed. . (1997.) . ISBN 0-12-526745-2 .

- Millman, Richard S., . Elements of differential geometry /Richard S. Millman, George D. Parker. . (1977.) . ISBN 0-13-264143-7 .

- Carmo, Manfredo P. do. . Geometría diferencial de curvas y superficies /Manfredo P. do Carmo. . [1a ed., 2a reimp.] .

(MadridAlianza,1994.) . ISBN 84-206-8135-0 .







En la calificación final, el alumno podrá aprobar si ha realizado satisfactoriamente los controles periódicos, o bien aprueba el

examen teórico-práctico. La partición activa en sesiones académicas y la realización de trabajos voluntarios pueden suponer el

10% de la calificación final.


HORAS SEMANALES Teoría PrácticasExposiciones

y Seminarios

Exposiciones

y Seminarios

Exposiciones

y Seminarios

Trabajo en

grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de


Segundo Semestre H Total H Total H Total H Total H Total H Total H Total H Total Total -

Nº total de horas 40,00 100,00 25,00 50,00 5,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1


179

HORAS SEMANALES Teoría PrácticasExposiciones

y Seminarios

Exposiciones

y Seminarios

Exposiciones

y Seminarios

Trabajo en

grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de


Segundo Semestre H Total H Total H Total H Total H Total H Total H Total H Total Total -

Nº total de horas 40,00 100,00 25,00 50,00 5,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

3ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

4ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

6ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

7ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

8ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6

10ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 7

11ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 7

12ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 8

13ªSemana 3,00 7,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 9

14ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10

15ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 11


Tema 1.- Teorema Fundamental de superficies: Ecuaciones de Codazzi-Mainardi. Teorema egregio de Gauss. Teorema de Bonnet.

Tema 2.- Superficies orientables: Teorema de caracterización de superficies orientables. Ejemplos. Caracterización de las

superficies compactas orientables.

Tema 3: Isometrías: Función diferenciable en una superficie. Aplicaciones diferenciables entre superficies. Diferencial de una

aplicación. Regla de la cadena. Teorema de la función inversa. Ejemplos. Isometrías. Isometrías locales. Aplicaciones Conformes.

Aplicaciones Isoáreas. Ejemplos: Proyección estereográfica, Mercator y Lambert.

Tema 4: Teorema de Gauss-Bonnet: Derivación covariante en una superficie. Campos paralelos y geodésicas. Teorema de

Gauss-Bonnet: versiones local y global. Aplicaciones.

Tema 5: Teorema de Rigidez de la Esfera: Teorema de rigidez de la esfera. Lema de Hilbert. Teorema de Liebman. Teorema de

Jellet-Liebman.

Tema 6: Teorema de Minding: La aplicación exponencial. Sistemas de coordenadas normal y geodésico polar. Teorema de

Minding. Aplicaciones geométricas del sistema geodésico polar. Entornos convexos.

Tema 7.- Teorema de Hopf-Rinow: Superficies no extendibles. Superficies completas. Teorema de Hopf-Rinow.


Al comenzar cada tema se expondrán los objetivos, y al finalizar el mismo se realizar un resumen de los conceptos estudiados.


180

Al finalizar el curso se elaborará una encuesta a los alumnos, que permita conocer el nivel de asimilación y comprensión de los

conceptos, grado de satisfacción respecto al contenido, ritmo y seguimiento de la asignatura.




181


NOMBRE DE ASIGNATURA: Análisis Funcional





Nombre: Análisis Funcional

Código: 650029








Tomás Domínguez Benavides Análisis Matemático 37 [email protected]

Luis Bernal Gonzalez Análsiis Matemático 37 [email protected]


1. DESCRIPTORES

Análisis Funcional: Espacios de Banach y de Hilbert. Teoremas fundamentales del Análisis Funcional.

2. SITUACIÓN




Se trata de un curso introductorio del Análisis Funcional que permitirá en cursos posteriores profundizar en el estudio de los espacios de

funciones y abordar desde un punto de vista abstracto problemas de Análisis Clásico, Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones Integrales.


Los alumnos deberían haber cursado las asignaturas de Primer Curso, así como Análisis Matemático II, Ampliación de la Teoría de

Funciones de Varias Variablesy Variable Compleja y Análisis de Fourier.


Podrá impartirse en Inglés para los alumnos extranjeros

3. COMPETENCIAS


182







Referencia 1 2 3 4









diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético














No ha lugar


Conocer las principales herramientas, técnicas y aplicaciones en Análisis Funcional.

4. OBJETIVOS

El objetivo fundamental de este curso será el estudio de los espacios normados y las aplicaciones lineales entre estos espacios.


183

5. Metodología:

Al ser una asignatura, cursada normalmente por un número reducido de alumnos, pretendemos optar por una impartición de las

clases en forma interactiva, formulando preguntas frecuentes a los alumnos para comprobar su grado de comprensión






• Tutorí-as Individuales (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 30,00 + 0,00 = 30,00

• Tutorías Colectivas (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 28,50 + 0,00 = 28,50





DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Se impartirán los principales teoremas en clases teóricas. se organizarán para la posteirior discsión

de las posibles aplicaciones de estos teoremas. Se propondrán ejercicios prácticos a los alumnos referentes a estas

aplicaciones. Sus posibles dudas serán consideradas en tutorías personalizadas y de grupo.


Espacios normados. Espacios de Hilbert. Teoremas fundamentales del Análisis Funcional en espacios normados.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Bachman, George, . Análisis funcional /George Bachman y Lawrence Narici. . (1981.) . ISBN 84-309-0866-8 .

- Rudin, Walter, . Análisis funcional /Walter Rudin. . (1979.) . ISBN 84-291-5115-X .

- Brézis, Haèim. . Análisis funcional: teoría y aplicaciones /Haèim Brézis. . (1984.) . ISBN 84-206-8088-5 .

- Taylor, Angus Ellis, . Introduction to functional analysis /Angus E. Taylor, David C. Lay. . 2nd ed. . (1980.) .

- Meise, Reinhold. . Introduction to functional analysis /Reinhold Meise and Dietmar Vogt. . (1997.) . ISBN 0-19-851485-9 .

- Trenogin, V. A. . Problemas y ejercicios de análisis funcional /V.A. Trenoguin, B.M. Pisarievski, T.S. Sóboleva. . (1987.) .

- Horváth, John, . Topological vector spaces and distributions. . (1966.) .


Trabajos personales dirigidos de carácter bibliográfico: 2#5 puntos.

Trabajos personales dirigidos de resolución de ejercicios: 2#5 puntos.

Examen general: 5 puntos.


184


En los trabajos asignados se evaluará la claridad adquirida por el alumno en la compresión de los conceptos y de los resultados.

Los ejercicios deberán presentarse periódicamente, por escrito, y serán evaluados atendiendo al dominio de los resultados

teóricos, a la habilidad en el manejo de los diversos métodos prácticos, a la claridad en la exposición y a la precisión en los

cálculos. El mismo criterio se aplicará al examen general.


HORAS SEMANALES Teorí-a Prácticas Tutorías ColectivasTutorí-as

Individuales

Trabajo Personal


Primer Semestre H Total H Total H Total H Total Total Total -

Nº total de horas 45,00 135,00 22,50 67,50 28,50 28,50 30,00 30,00 95,00 10,00 -

1ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 1,50 1,50 2,00 2,00 5,00 0,00 1

2ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 1,50 1,50 2,00 2,00 5,00 0,00 1

3ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 1,50 1,50 2,00 2,00 5,00 0,00 1

4ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 2,50 2,50 2,00 2,00 10,00 2,00 1

5ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 1,50 1,50 2,00 2,00 5,00 0,00 2

6ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 1,50 1,50 2,00 2,00 5,00 0,00 2

7ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 1,50 1,50 2,00 2,00 5,00 0,00 2

8ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 2,50 2,50 2,00 2,00 10,00 2,00 2

9ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 1,50 1,50 2,00 2,00 5,00 0,00 3

10ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 1,50 1,50 2,00 2,00 5,00 0,00 3

11ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 1,50 1,50 2,00 2,00 5,00 0,00 3

12ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 2,50 2,50 2,00 2,00 10,00 2,00 3

13ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 1,50 1,50 2,00 2,00 5,00 0,00 4

14ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 1,50 1,50 2,00 2,00 5,00 0,00 4

15ªSemana 3,00 9,00 1,50 4,50 4,50 4,50 2,00 2,00 10,00 4,00 4


Tema 1: Producto escalar: Espacios prehilbertianos y hilbertianos. Conjuntos ortonormales. Aproximación en espacios de

Hilbert.

Tema 2: Espacios normados. Operadores lineales entre espacios normados. Espacio dual.

Tema 3: Formas analítica y geométrica del Teorema de Hahn-Banach. Bidual. Reflexividad. Algunos ejemplos de espacios

reflexivos y no reflexivos.

Tema 4: Teorema de Baire . Principio de la acotación uniforme . Teoremas de la aplicación abierta y del grafo cerrado.


En cada clase teórica o práctica se propondrá al alumno ejercicios que deberán entregar resueltos en un plazo apropiado.




185


NOMBRE DE ASIGNATURA: Cálculo Numérico III





Nombre: Cálculo Numérico III

Código: 650030








ELISEO CHACON VERA Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. módulo 33 (3ª planta) [email protected]

TOMAS CHACON REBOLLO Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. módulo 33 (3ª planta) [email protected]

MARIA MACARENA GOMEZ MARMOL Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. módulo 33 (3ª planta) [email protected]

DANIEL FRANCO CORONIL Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. módulo 33 (3ª planta) [email protected]


1. DESCRIPTORES

Métodos de integración. Resolución de ecuaciones diferenciales.

2. SITUACIÓN




Se trata de una asignatura troncal del primer cuatrimestre de cuarto curso, Esta asignatura constituye un punto de encuentro de distintas

áreas matemáticas como el análisis funcional, ecuaciones diferenciales, ecuaciones en derivadas parciales y el algebra lineal.


Se recomienda haber cursado las asignaturas troncales de primer ciclo con contenidos de Cálculo Numérico, Teoría de Funciones Reales y

Álgebra Lineal. Resultaría también interesante haber cursado la asignatura Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de segundo curso y la optativa

Ampliación de Cálculo Numérico de tercer curso.


186

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones

Trabajo en equipo











Liderazgo








Entender y comprender algunos métodos numéricos relativos a la interpolación polinomica, aproximación de funciones,

integración numérica y de problemas diferenciales ordinarios. Estas labores se realizarán tanto desde el punto de vista del

Análisis Numérico (estabilidad, consistencia, convergencia, estimaciones de error) como desde la implementación numérica y el

cálculo científico. Se programarán algunos de los métodos más relevantes de los que aparecen en la asignatura.




187
























4. OBJETIVOS

En la parte teórica, esta asignatura desarrolla los contenidos básicos del Cálculo Numérico en las áreas generales de

Interpolación Polinómica, Aproximación de funciones, Integración Numérica y Resolución Numérica de Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias (tanto problemas de Cauchy como de contorno).

En la parte práctica, esta asignatura pretende el aprendizaje del manejo de algún paquete de software existente en el mercado,

como por ejemplo MATLAB, al objeto de implementar en el ordenador algunos de los métodos numéricos desarrollados durante

el curso.

5. Metodología:

La parte teórica será objeto de clases magistrales, complementadas de medios informáticos, con objeto de ilustrar conceptos,

métodos y aplicaciones. La parte práctica requiere el aprendizaje y utilización de software matemático, para la elaboración de

programas que traduzcan los métodos numéricos relevantes de los estudiados en el curso y que serán convenientemente

explotados. Estas clases se impartiran en el aula de informatica.

Los alumnos disponen de tutorías personalizadas, en un horario que se fija mediante un acuerdo entre los alumnos y los

profesores.

Toda la información relativa a la asignatura, apuntes, programas, prácticas, manuales, fechas importantes, etc, están disponible

en la plataforma virtual.




188







OTRAS: - Sesiones prácticas en el aula de informática. - Seminarios. - Trabajo en grupos reducidos.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartirán en media 4 horas de teoría y 1 de problemas; habrá 2 horas de prácticas

en el aula de infomática cada dos semanas. La experiencia de cursos anteriores nos ha llevado a la conclusión de que es más

efectivo agruparlas en dos horas cada dos semanas en lugar de una hora por semana.


Interpolación polinómica. Aproximación de funciones. Integración numérica. Métodos de un paso para ecuaciones diferenciales

ordinarias. Resolución numérica de problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- D. Kincaid, W. Cheney . Análisis numérico . (1.994) .

Análisis y métodos numéricos :Ingeniería Técnica en Informática de Gestión /José María Quesada Teruel ... [et al.] . ([2004]) . ISBN

8484392228 .

- Merrien, Jean-Louis. . Analyse numerique avec Matlab :rappels de cours, méthodes, exercices et probláemes avec corrigés

détailles /Jean-Louis Merrien. . (2007.) . ISBN 9782100508631 .

- Crouzeix, Michel. . Analyse numérique des équations différentielles /M. Crouzeix, A.L. Mignot. . 2e éd. rev. et augm. . (1989.) .

ISBN 2225815348 .

- Rappaz, Jacques. . Introduction áa l'analyse numérique /Jacques Rappaz, Marco Picasso. . Réimpr. corr. . (cop. 2004.) . ISBN

288074363X .

- Domínguez Baguena, Víctor. . Matlab en cinco lecciones de numérico /Victor Domínguez Baguena, Mç Luisa Rapún Banzo. .

(2007.) . ISBN 9788497691956 .

- J.A. Infante, J.M. Rey . Métodos Numéricos . (1.999) .

- Faires, J. Douglas. . Métodos numéricos /J. Douglas Faires, Richard Burden. . 3a ed. . (2004.) . ISBN 84-9732-280-0 .

- J.H. Mathews, K.D. Fink . Métodos Numéricos con MATLAB . (2.000) .

- A. Quarteroni, F. Saleri, R. Sacco . Numerical Mathematics . (2.000) .

- Cheney, Ward. . Numerical mathematics and computing /Ward Cheney, David Kincaid. . 4th. ed. . (1999.) . ISBN 0-534-35184-0 .

- Quarteroni, Alfio. . Scientific computing with Matlab /Alfio Quarteroni, Fausto Saleri. . 2nd ed. . (cop. 2006.) . ISBN

9783540326120 .


8.2. Específica:

Las referencias básicas son:

- A. Aubanell, A. Benseny, A. Delshams, Utiles básicos de Cálculo Numérico, Labor, Barcelona, 1993.

- J.A. Infante, J.M. Rey, Métodos Numéricos, Ediciones Pirámide, Madrid. 1999.


189

- D. Kincaid, W. Cheney, Análisis Numérico, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1994.

- J.H. Mathews, K.D. Fink, Métodos Numéricos con MATLAB, Prentice-Hall, 2000.

- A. Quarteroni, F. Saleri, R. Sacco, Numerical Mathematics, Springer-Verlag, New York, 2000.

Libros con programación en Matlab son:

- J.H. Mathews, K.D. Fink, Métodos Numéricos con MATLAB, Prentice-Hall, 2000.

- V. Dominguez, M.L. Rapún, Matlab en cinco lecciones de Numérico, Universidad Pública de Navarra, 2007








La nota final se promedia entre la parte teórica y problemas con un 80% y las prácticas en el aula de informática con un 20%.

Ambas partes se tienen que aprobar por separado, guardándose la nota hasta la convocatoria de diciembre.

Previamente, para la parte teórica y problemas, se harán dos controles escritos (pruebas intermedias) que son eliminatorios para

la primera convocatoria. La asistencia con participación activa en las sesiones académicas puede proporcionar hasta un punto.

La participación en las prácticas en el aula de informática es obligatoria.




Nº total de horas 58,00 159,50 28,00 70,00 4,00 -

1ªSemana 4,00 11,00 2,00 5,00 0,00 Tema 1

2ªSemana 4,00 11,00 2,00 5,00 0,00 Tema 1

3ªSemana 4,00 11,00 2,00 5,00 0,00 Tema 1

4ªSemana 4,00 11,00 2,00 5,00 0,00 Tema 1

5ªSemana 4,00 11,00 2,00 5,00 0,00 Tema 1 y 2

6ªSemana 4,00 11,00 2,00 5,00 0,00 Tema 2

7ªSemana 4,00 11,00 0,00 0,00 2,00 Tema 2

8ªSemana 4,00 11,00 2,00 5,00 0,00 Tema 3

9ªSemana 4,00 11,00 2,00 5,00 0,00 Tema 3

10ªSemana 4,00 11,00 2,00 5,00 0,00 Tema 3

11ªSemana 4,00 11,00 2,00 5,00 0,00 Tema 4

12ªSemana 4,00 11,00 2,00 5,00 0,00 Tema 4

13ªSemana 4,00 11,00 2,00 5,00 0,00 Tema 4 y 5

14ªSemana 4,00 11,00 2,00 5,00 0,00 Tema 5

15ªSemana 2,00 5,50 2,00 5,00 2,00 Tema 5


190


Tema 1. Interpolación polinómica.

Interpolación de Lagrange y Hermite. Estudio del error de interpolación. Interpolación polinómica a trozos.

Tema 2. Aproximación de funciones.

Aproximación en espacios prehilbertianos sobre subespacios finito dimensionales. Aplicación a polinomios algebraicos y

polinomios trigonométricos. Aproximación sobre conjuntos discretos (mínimos cuadrados).

Tema 3. Integración numérica.

Fórmulas de tipo interpolatorio. Fórmulas compuestas. Teoría de error. Fórmulas de Gauss.

Tema 4. Métodos de un paso para ecuaciones diferenciales ordinarias.

Método de Euler y variantes. Estudio general de los métodos de un paso: estabilidad, consistencia, convergencia y orden de un

método. Método de Runge-Kutta. Métodos basados en el desarrollo de Taylor.

Tema 5. Resolución numérica de problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias.

Métodos clásicos de diferencias finitas. Método predictor-corrector.


Dos controles parciales (temas 1-2 y temas 3-4-5). Desarrollo de problemas por parte de grupos reducidos de alumnos.

Participación en clase de problemas y seminarios. Asistencia a tutorías. Prácticas y examen de prácticas.




191


NOMBRE DE ASIGNATURA: Estructuras Algebraicas





Nombre: Estructuras Algebraicas

Código: 650033








EMILIO BRIALES MORALES Algebra [email protected]

JUAN GONZALEZ-MENESES LOPEZ Algebra [email protected]


LUIS NARVAEZ MACARRO Algebra [email protected]


1. DESCRIPTORES

Estructuras algebraicas.

2. SITUACIÓN




Asignatura de cuarto curso, segundo ciclo de la licenciatura de matematicas. Se imparte en el primer cuatrimestre.


Tener aprobadas todas las del primer ciclo, fundamentalmente: Álgebra lineal, Geometría y Álgebra.


Material y documentación en inglés, disponible para los alumnos que lo necesiten.

3. COMPETENCIAS


192







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo


















- Conocer la teoría básica de anillos conmutativos, ideales y módulos.

- Conocer y saber calcular la forma canónica de Smith, y aplicarla al Teorema de estructura de módulos finitamente generados

sobre un dominio de ideales principales y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales diofánticas.

- Conocer algunas aplicaciones geométricas del Teorema de los ceros de Hilbert.

- Realizar cálculos explícitos con las técnicas de bases de Groebner en el anillo de polinomios en varias indeterminadas y

conocer algunas de sus aplicaciones.



193























4. OBJETIVOS

Los objetivos básicos de la asignatura ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS son:

1. Conocer la teoría básica de anillos conmutativos, ideales y módulos.

2. Conocer y saber calcular la forma canónica de Smith, y aplicarla al Teorema de estructura de módulos finitamente generados

sobre un dominio de ideales principales y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales diofánticas.

3. Conocer algunas aplicaciones geométricas del Teorema de los ceros de Hilbert.

4. Realizar cálculos explícitos con las técnicas de bases de Groebner en el anillo de polinomios en varias indeterminadas y

conocer algunas de sus aplicaciones.

5. Metodología:

La carga teórica y práctica se distribuirá en 4 horas de teoría semanales y 2 horas de prácticas.

Los alumnos son invitados a ser parte activa de las mismas, participando en el desarrollo, proponiendo ejercicios de aplicación

o resolviendo problemas propuestos.

Se dará especial importancia al trabajo personal de cada alumno, y se fomentará el trabajo en pequeños grupos, proponiendo la

realización y exposición de ejercicios y temas complementarios.

De forma periódica, aproximadamente cada dos semanas, tendrá lugar una sesión de pruebas en horario lectivo, que se deberán

entregar para ser corregidos. El alumno que supere el 75% de estas pruebas se considerará aprobado mediante evaluación

continua.

En caso contrario, o para aquéllos alumnos que deseen subir su nota, se celebrará el examen final en fecha fijada por el centro.

Tanto en las pruebas bisemanales como en el examen final, el contenido será de teoría, problemas y cuestiones teóricas.

El alumno dispone en la página web del departamento (http://www.us.es/da) de material de apoyo, como exámenes anteriores y


194

notas de la asignatura.












DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: De los 9 créditos de la asignatura (6 teóricos y 3 prácticos), cada semana se impartirán 4 horas de

teoría y 2 de ejercicios prácticos. En las clases de ejercicios prácticos también se expondrán y debatirán ejercicios resueltos

por los alumnos. En ocasiones, los alumnos trabajarán en grupos reducidos.


Anillos e ideales.

Módulos sobre un anillo. Aplicaciones lineales y multilineales.

Conjuntos algebraicos afines y lenguage geométrico.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Jacobson, Nathan, . Basic algebra /Nathan Jacobson. . 2nd. ed. . (1985-s.a.) . ISBN 0-7167-1480-9 .

- Eisenbud, David, . Commutative algebra with a view toward algebraic geometry /David Eisenbud. . (1995.) . ISBN 0-387-94269-6

.

- Fulton, William, . Curvas algebraicas :introducción a la geometría algebraica /William Fulton. . (1971.) .

- Cox, David A. . Ideals, varieties, and algorithms :an introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative

Algebra /David Cox, John Little, Donal O'shea. . 2nd ed. . (1996.) . ISBN 0-387-94680-2 .

- Atiyah, Michael Francis, . Introducción al álgebra conmutativa /M.F. Atiyah, I.G. McDonald. . (1989.) .

- Cameron, Peter Jephson, . Introduction to algebra /Peter J. Cameron. . (2007.) . ISBN 9780198527930 .

8.2. Específica:

El libro de P.J. Cameron se usará para el repaso de conceptos previos y para las definiciones básicas.

El libro de M.F. Atiyah e I. MacDonald se usará especialmente para los bloques de anillos e ideales, y de módulos.

El libro de D.A. Cox et al. se usará especialmente para las cuestiones relativas a cálculos efectivos, bases de Gröbner y

conjuntos algebraicos.

Los libros de N. Jacobson y P.J. Cameron se usarán especialmente para las cuestiones relacionadas con los módulos sobre

dominios de ideales principales, y en general para las cuestiones de divisibilidad y factorización.

El libro de W. Fulton se usará para los conjuntos algebraicos, y en general para la introducción del lenguaje geométrico en el


195

Álgebra.

El libro de D. Eisenbud puede considerarse como una referencia general y exhaustiva para la mayor parte de los temas tratados,

y constituye una buena fuente para el trabajo personal del estudiante.




- Pruebas cada 2 semanas de evaluación continua.


Los alumnos son invitados a ser parte activa de las clases, participando en el desarrollo, proponiendo ejercicios de aplicación o

resolviendo problemas propuestos.

Se dará especial importancia al trabajo personal de cada alumno, y se fomentará el trabajo en pequeños grupos, proponiendo la

realización y exposición de ejercicios y temas complementarios.

De forma periódica, aproximadamente cada dos semanas, tendrá lugar una sesión de pruebas en horario lectivo, que se deberán

entregar para ser corregidos. El alumno que supere el 75% de estas pruebas se considerará aprobado mediante evaluación

continua.

En caso contrario, o para aquéllos alumnos que deseen subir su nota, se celebrará el examen final en fecha fijada por el centro.

Tanto en las pruebas bisemanales como en el examen final, el contenido será de teoría, problemas y cuestiones teóricas.

El alumno dispone en la página web del departamento (http://www.us.es/da) material de apoyo, como exámenes anteriores y

notas de la asignatura.



Seminarios

Trabajo en grupos

reducidosExámenes Temario


Nº total de horas 48,00 120,00 15,00 30,00 23,00 23,00 4,00 4,00 4,00 -

1ªSemana 5,00 12,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

2ªSemana 4,00 10,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -

3ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 2,00 2,00 1,00 1,00 0,00 -

4ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 3,00 3,00 0,00 0,00 0,00 -

5ªSemana 4,00 10,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -

6ªSemana 4,00 10,00 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

7ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 -

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 3,00 3,00 0,00 0,00 0,00 -

9ªSemana 4,00 10,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -

10ªSemana 4,00 10,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -

11ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 2,00 2,00 1,00 1,00 0,00 -

12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 3,00 3,00 0,00 0,00 0,00 -

13ªSemana 4,00 10,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -

14ªSemana 4,00 10,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -

15ªSemana 0,00 0,00 1,00 2,00 4,00 4,00 1,00 1,00 0,00 -


196


Tema 0. Preliminares: Conjuntos, aplicaciones, cocientes, semigrupos y grupos.

Tema 1. Anillos e ideales.

Tema 2. Divisibilidad y Factorización.

Tema 3. Anillos de Polinomios, Teorema de la Base. Cálculos efectivos.

Tema 4. Módulos swobre un anillo. Aplicaciones lineales y multilineales.

Tema 5. Teorema de Estructura de los módulos sobre un DIP, y ecuaciones lineales diofánticas.

Tema 6. Conjuntos algebraicos a#nes. Teorema de los ceros. Introducción al lenguage geométrico.

Tema 7. Eliminación. Sistemas de ecuaciones algebraicas.

Ì


Entrevistas individuales con los estudiantes.

Valoración conjunta con los estudiantes de los resultados de las pruebas de la evaluación continua.

Reuniones semanales de todos los profesores de ambos grupos.

Encuesta a los estudiantes.




197


NOMBRE DE ASIGNATURA: Variable Compleja





Nombre: Variable Compleja

Código: 650034








LUIS RODRIGUEZ PIAZZA Análisis Matemático [email protected]

CARLOS PEREZ MORENO Análisis Matemático [email protected]


1. DESCRIPTORES

Variable compleja: representación conforme. Algunas funciones especiales

2. SITUACIÓN




Esta asignatura se imparte como asignatura de carácter troncal en el Curso Cuarto de la Licenciatura de Matemáticas, Plan de Estudios de

1998, durante el primer cuatrimestre, con una docencia de 60 horas de clase, lo que equivale a 6 créditos. Se pretende con ella un

afianzamiento y profundización de los conocimientos básicos en la teoría de funciones de una variable compleja. Ello capacita al egresado,

aparte de adquirir una formación básica en el análisis complejo, para obtener una visión global de muchos aspectos de la teoría de funciones

de una y varias variables reales, y para tener acceso a diversas aplicaciones teórico-prácticas de la materia: hidromecánica, teoría del

potencial, teoría de números, numerosas ecuaciones diferenciales, etc.


Para seguir esta asignatura, se recomienda tener cursadas las siguientes asignaturas: Elementos de Análisis Matemático (1er Curso),

Análisis Matemático I (1er Curso), Análisis Matemático II (Segundo Curso), Ampliación de la Teoría de Funciones de Varias Variables


198

(Segundo Curso) y Variable Compleja y Análisis de Fourier (3er Curso). Es afín a esta última y a la asignatura Ampliación de Variable Compleja

(optativa de Quinto Curso), para la que debería ser requisito previo.


No hay adaptaciones especiales previstas, aunque sí existe la disponibilidad de establecerlas en la medida de lo posible si se diera algún

caso especial.

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo








199



- Propiedades de las funciones analíticas y transformaciones conformes.

- Convergencia y compacidad en el espacio de funciones holomorfas.

- Relación entre funciones holomorfas y armónicas.

- Propiedades de algunas funciones especiales.



























4. OBJETIVOS

La materia a desarrollar es una profundización en las técnicas de variable compleja -materia cuyo objeto es en esencia el estudio

de las funciones analíticas en el campo complejo - y de sus aplicaciones. Conocidas por el alumno, gracias a la asignatura de

tercero, la integración en curvas y el desarrollo en series de potencias, en esta asignatura profundizaremos en la aplicación de

estas herramientas e introduciremos algunas nuevas como la reresentación conforme y el desarrollo en productos infinitos.

Asimismo, se introduce el espacio de las funciones analíticas estudiando la convergencia y compacidad en este espacio, se

estudian las funciones armónicas en cuanto a su relación con la holomorfía, y se presentan, como aplicación de la teoría anterior,

diversas funciones especiales.


200

5. Metodología:

Las clases teóricas tienen por objeto mostrar al alumno los conceptos, los resultados fundamentales y sus demostraciones, las

técnicas básicas, así como algunas aplicaciones.

En las clases prácticas se verán ejemplos de los resultados obtenidos y de sus aplicaciones, procurándose la participación

activa de los alumnos mediante la realización y exposición de problemas asignados.









DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: En cada semana, por término medio, se impartirán 2'5 horas de teoría y 1'5 horas de problemas. Las

clases teóricas tienen por objeto mostrar al alumno los conceptos, los resultados fundamentales y sus demostraciones, las

técnicas básicas, así como algunas aplicaciones, y se realizarán principalmente mediante exposición por el profesor. En las

clases prácticas se verán ejemplos de los resultados obtenidos y de sus aplicaciones, se propondrán ejercicios

teórico-prácticos individualizados o en pequeños grupos para que los alumnos los entreguen o expongan durante las semanas

siguientes. Así los alumnos adquieren una proporción adecuada de conocimientos teóricos que quedan afianzados con la

práctica de los mismos por medio de ejercicios y problemas. La ejecución voluntaria de parte de los mismos ayuda al

estudiante en el autoestudio, y le sirve de motivación al mismo tiempo, ya que cuenta positivamente en la calificación final. Para

la realización de estos problemas los alumnos podrán previamente consultar al profesor en las tutorías.


Representación conforme, teorema de Riemann. Convergencia de funciones analíticas, tereoma de Montel. Factorización. de

funciones analíticas. Funciones especiales.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Burckel, Robert B., . An introduction to classical complex analysis /Robert B. Burckel. . (1979.) . ISBN 0-12-141701-8 .

- Palka, Bruce P. . An introduction to complex function theory /Bruce P. Palka. . (1991.) . ISBN 354097427X .

- Rudin, Walter, . Análisis real y complejo /W. Rudin. . [1a ed., reimp.] . (1985.) . ISBN 84-205-0651-6 .

- Marsden, Jerrold E. . Basic complex analysis /Jerrold E. Marsden, Michael J. Hoffman. . 2nd ed. . (1987.) . ISBN 0716718146 .

- Ahlfors, Lars Valerian, . Complex analysis /Lars V. Amlfors. . 3rd. ed. . (1979.) .

- Gamelin, Theodore W. . Complex analysis /Theodore W. Gamelin. . (2001.) . ISBN 0-387-95069-9 .

- Conway, John B. . Functions of one complex variable /John B. Conway. . 2nd. ed. . (1978.) . ISBN 0387903283 .

- Nevanlinna, Rolf Herman, . Introduction to complex analysis /[by] Rolf Nevanlinna [and] V. Paatero. Translated by T. Kèovari and

G. S. Goodman. . (1969.) .

- Sidorov, Yu. V. . Lectures on the theory of functions of a complex variable /Yu. V. Sidorov, M. V. Fedoryk and M.I. Shabunin ;


201

translated from the Russian by Eugene Yankovsky. . [1st published, rev. from the 1982 ed. Russian] . (1985.) .

- Volkovyski, L. I. . Problemas sobre la teoría de funciones de variable compleja /L.I. Volkovyski, G.L. Lunts, I.G. Amaranovich. .

(1972.) .

- K. Knopp . Problems book in the theory of functions .

- Markushevich, Alexei Ivánovich. . Teoría de las funciones analíticas /A. Markushevich ; traducido del ruso por Emiliano Aparicio

Bernardo. . (1970.) .

- H. Cartan . Teoría elemental de las funciones analíticas de una y varias variables complejas .

- Spiegel, Murray R. . Variable compleja /Murray R. Spiegel. . (1991.) . ISBN 968-422-883-X .

8.2. Específica:

No se recomienda ningún texto específico.






En el examen teórico-práctico, de carácter obligatorio, se valorará positivamente la claridad en los conceptos teóricos, el dominio

de los resultados, la habilidad en la aplicación de los diversos métodos prácticos y la precisión en los cálculos. La resolución

(voluntaria) por parte de los alumnos de cuestiones teóricas o prácticas --sea durante el desarrollo de las sesiones académicas o

fuera de ellas en trabajos propuestos individualizados-- será tenida en cuenta positivamente para la calificación final, con un

máximo de 1'50 puntos. Dicha puntuación será sumable directamente a la calificación final. Si no es así en la primera

convocatoria, la calificación por ejercicios voluntarios se guardará hasta la segunda convocatoria inclusive. Independientemente,

se podrá alcanzar el máximo de 10 puntos en el examen. A la vista de ello, estimamos que la importancia en porcentaje para la

calificación final es de un 80% para el examen teórico-práctico y de un 20% para los trabajos extra- o intra-aula.

Una vez finalizadas las clases y antes de la celabración del examen final de la primera convocatoria, los alumnos podrán

participar en una prueba voluntaria, que tendrá el mismo formato que el examen final, cuya superación les permitirá aprobar la

asignatura. La celebración de esta prueba estará condicionada a las disponibilidades y permiso de la Facultad.




Nº total de horas


Tema 1: Propiedades de las transformciones holomorfas:

Principios del módulo máximo. Lema de Schwarz. Principio del argumento. Teoremas de representación local.

Tema 2: Transformaciones bilineales:

El plano ampliado. Transformciones bilineales: puntos fijos, razón doble, circunferencias generalizadas, simetrías. Otras

transformaciones elementales.

Tema 3: Representación conforme:


202

Regiones simplemente conexas.Teorema del isomorfismo de Riemann. Funciones armónicas: problema de Dirichlet.

Tema 4: El espacio de las funciones analíticas:

Convergencia uniforme en compactos: Teorema de Weierstrass. Compacidad: Teorema de Montel. Demostración del Teorema de

Riemann.

Tema 5: Productos infinitos:

Productos infinitos numéricos. Factorización de funciones enteras:Teorema de Weierstrass.

Tema 6: Funciones especiales:

Función Gamma de Euler-Gauss. Función Zeta de Riemann.

Tema 7: Prolongación analítica:

Conceptos generales. Teorema de monodromía. Principio de reflexión de Schwarz.


Se dedicarán unos minutos del principio de cada clase teórica o práctica a recordar los conceptos y resultados fundamentales

que hagan falta para la clase que se va a realizar. Los ejercicios que continuamente van a ser realizados en la pizarra por los

alumnos indican el estado de madurez en sus conocimientos, lo cual da idea del ritmo a seguir en las clases teórico-prácticas. Se

entregará un guión-resumen a los alumnos, el cual --aparte de poder ser usado en el examen-- les es útil como compendio y

visión global de la asignatura. Además, en caso de algún retraso en la impartición de la teoría, se puede usar como resumen para

impartir una porción de las clases al estilo de seminario, logrando así cubrir el temario en su totalidad.




203


NOMBRE DE ASIGNATURA: Variedades Diferenciables





Nombre: Variedades Diferenciables

Código: 650035








ALFONSO CARRIAZO RUBIO Geometría y Topología [email protected]



1. DESCRIPTORES

Variedades diferenciables. (Differentiable manifolds.)

2. SITUACIÓN




En esta asignatura se generaliza la noción de superficie regular introducida en la asignatura "Geometría Local de Curvas y Superficies", de

tercer curso, introduciendo las principales definiciones de la teoría de Variedades Diferenciables. Dichas definiciones serán imprescindibles

para aquellos alumnos que deseen cursar las asignaturas optativas de Geometría Diferencial de segundo ciclo.


Se supondrán a los alumnos conocimientos de un curso de Topología General, un curso de Álgebra Lineal, un curso de Cálculo Diferencial

de aplicaciones reales de varias variables reales y un curso de Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Por otra parte, esta asignatura

debería ser cursada previamente por aquellos alumnos que deseen cursar a su vez "Cálculo en Variedades", "Geometría Riemanniana" o

"Grupos de Lie", todas ellas optativas de segundo ciclo.



204

Hay aulas adaptadas para alumnos con problemas de movilidad. Para alumnos con otro tipo de discapacidad y para alumnos extranjeros, se

seguirán las directrices marcadas desde la Universidad de Sevilla.

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo



Compromiso ético












- Utilizar los conceptos básicos asociados a la teoría de Variedades Diferenciables.

- Reconocer esta teoría como una generalización de la teoría clásica de curvas y superficies, así como del Análisis Matemático

en espacios euclídeos.

- Construir ejemplos de variedades diferenciables, dotando de dicha estructura a espacios ya conocidos.

- Utilizar el concepto de aplicación diferenciable entre variedades y de vector tangente a una variedad.

- Utilizar los conceptos de campo diferenciable y forma diferencial en una variedad.




205



















4. OBJETIVOS

El objetivo fundamental es familiarizar al alumno con el lenguaje básico y algunos resultados y técnicas fundamentales en la

Teoría de Variedades Diferenciables, teniendo como marco de referencia los ejemplos, previamente conocidos, de los espacios

euclídeos y las curvas y superficies de R³.

5. Metodología:

Con el fin de que la materia sea mejor comprendida por los alumnos, se establecerá una relación sistemática ente los conceptos

estudiados en variedades diferenciables y los correspondientes en superficies regulares. También se referirán frecuentemente

los resultados conocidos anteriormente sobre las variedades diferenciables euclídeas. Es muy importante que los alumnos

participen de modo activo en el desarrollo de la materia, especialmente en su parte práctica.











OTRAS: - Trabajo en grupos reducidos. - Uso de la plataforma Moodle para la publicación de diverso material sobre la


206

asignatura. - Información en página Web.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Las horas de clase se distribuirán en una media de dos de ellas dedicadas a la explicación de los

resultados teóricos y otra dedicada a la resolución de ejercicios y problemas que permitan un más claro entendimiento de

aquéllos, así como de sus aplicaciones. En general, los problemas se resolverán al final de cada tema, si bien los alumnos

dispondrán de los enunciados con la suficiente antelación. Por otra parte, se favorecerá la participación de los alumnos en

exposiciones de carácter teórico, así como su trabajo en grupos reducidos, de manera periódica, y se promoverán las tutorías

como medio para la resolución de dudas sobre la asignatura o problemas propuestos. Finalmente, los alumnos dispondrán de

diverso material sobre la asignatura publicada en la plataforma Moodle (resúmenes teóricos, enunciados de problemas,

exámenes resueltos de años anteriores).


Variedades diferenciables. Aplicaciones diferenciables. Espacio tangente a una variedad en un punto. Diferencial de una

aplicación diferenciable. Campos de vectores diferenciables en una variedad diferenciable. Campos de tensores diferenciables en

una variedad diferenciable.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Aubin, Thierry. . A course in differential geometry /Thierry Aubin. . (2001.) . ISBN 0-8218-2709-X .


.

- Boothby, William M. . An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry /William M. Boothby. . 2nd ed. .

(1986.) . ISBN 012116053X pbk. : alk. paper .

- Gadea, P. M. . Analysis and algebra on differentiable manifolds :a workbook for students and teachers /by P. M. Gadea and J.

Muñoz Masqué. . (c2001.) . ISBN 1402001630 .

- Matsushima, Yozo, . Differentiable manifolds /Translated by E. T. Kobayashi. . (1972.) . ISBN 0824714458 .

- Carmo, Manfredo P. do. . Differential forms and applications /Manfredo P. do Carmo. . (1994.) . ISBN 3-540-57618-5 .

- Warner, F.W.: . Foundations of Differential Manifolds and Lie Groups . (1.971) .

- Kobayashi, S., Nomizu, K. . Foundations on Differential Geometry . (1.973) .

- Madsen, I. H. . From calculus to cohomology :De Rham cohomology and characteristic classes /Ib Madsen and Jorgen

Tornehave. . (1997.) . ISBN 0-521-58956-8 .

- Gamboa, José M. . Iniciación al estudio de las variedades diferenciables /José Manuel Gamboa, Jesús M. Ruiz. . (1999.) . ISBN

84-88667-48-5 .

- Lee, John M., . Introduction to smooth manifolds /John M. Lee. . (c2003.) . ISBN 0387954481 .

- Chern, Shiing-Shen, . Lectures on differential geometry /S.S. Chern, W.H. Chen, K.S. Lam. . 1st. Ed. rpr. 2000. . (2000.) . ISBN

9810241828 (pbk) .

- Nicolaescu, Liviu I. . Lectures on the geometry of manifolds /Liviu I. Nicolaescu. . Repr. . (1999.) . ISBN 981-02-2836-8 .

- Hicks, Noel J. . Notas sobre geometría diferencial /por Noel J. Hicks ; edición revisada y corregida por Fernando Puerta Sales. .

(1974.) .

8.2. Específica:

Dado el carácter general e introductorio de la asignatura, todos los temas pueden seguirse prácticamente a través de las

referencias:

- Aubin, T.: A Course in Differential Geometry. Graduate Studies in Mathematics, 27. AMS (2001).

- Chern, S.S; Chen, W.H.; Lam, K.S.: Lectures on Differential Geometry. World Scientific (2000).

- Gadea, P.M., Muñoz Masqué, J.: Analysis and Algebra on Differentiable Manifolds: A Workbook for Students and Teachers.

Kluwer Academic Publishers (2001).


207

- Gamboa, J.M., Ruiz, J.M.: Iniciación al estudio de las Variedades Diferenciables. Ed. Sanz y Torres (1999).

- Lee, J.M.: Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag (2003).

- Warner, F.W.: Foundations of Differential Manifolds and Lie Groups. Scott Foresman Comp. (1971).

Para el Tema 6, se recomienda también el libro:

- Do Carmo, M.P.: Differential Forms and Applications. Springer-Verlag (1994).

La referencia: "Hicks, N.J.: Notas sobre Geometría Diferencial. Editorial Hispano Europea (1974). " se incluye por su valor

histórico, mientras que la referencia "Kobayashi, S., Nomizu, K.: Foundations on Differential Geometry. Interscience Pub. (1973).

" constituye un magnífico compendio de la teoría, si bien a un nivel más avanzado que el exigido en esta asignatura.

8.3. Observaciones:

Página Web oficial de la asignatura : http://www.departamento.us.es/dgt/pd/vd.html

Departamento de Geometría y Topología: http://www.departamento.us.es/dgt

Plataforma Moodle para la asignatura: http://geotopo.us.es/moodle





La evaluación de la asignatura se efectuará mediante la celebración de un examen final consistente en la resolución de varios

ejercicios teórico-prácticos, calificado sobre 10 puntos, siendo necesaria una nota de 5 puntos para pasar el examen. Además, se

propondrá a los alumnos la realización voluntaria de dos pruebas previas. La primera prueba consistirá en la resolución de un

problema, calificado sobre 3 puntos. La segunda prueba consistirá en la resolución de varias cuestiones teórico-prácticas (4

puntos) y de un problema (3 puntos). Aquellos alumnos que, sumando las dos pruebas, obtengan una calificación igual o

superior a 5 puntos, aprobarán la asignatura antes del examen final. Aquellos alumnos que se presenten al examen final podrán

sumar a la calificación de éste la mitad de la nota obtenida en las cuestiones de la segunda prueba, caso de que las hubieran

hecho. Obsérvese que, según la normativa vigente, la nota final no podrá exceder de 10 puntos. Por lo tanto, en su caso se

sumarían las cantidades correspondientes hasta alcanzar los 10 puntos globales.


HORAS SEMANALES Teoría PrácticasTrabajo en grupos

reducidosOtras actividades Exámenes Temario


Nº total de horas 25,00 62,50 14,00 28,00 6,00 6,00 0,00 20,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 0 y 1

2ªSemana 3,00 7,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

3ªSemana 0,00 0,00 3,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

4ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

5ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

6ªSemana 0,00 0,00 1,00 2,00 2,00 2,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

7ªSemana 3,00 7,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

8ªSemana 3,00 7,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3 y 4

9ªSemana 3,00 7,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4


208




Nº total de horas 25,00 62,50 14,00 28,00 6,00 6,00 0,00 20,00 4,00 -

10ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3 y 4

11ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3 y 4

12ªSemana 3,00 7,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

13ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

14ªSemana 3,00 7,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 6

15ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 Tema 6


Tema 0: Complementos de Topología general.

Tema 1: Variedades diferenciables: Cartas, atlas, estructuras diferenciables. Ejemplos.

Tema 2: Aplicaciones diferenciables entre variedades diferenciables. Funciones diferenciables.

Tema 3: Espacio tangente a una variedad en un punto. Curvas diferenciables en una variedad. Espacio cotangente.

Tema 4: Diferencial de una aplicación diferenciable. La codiferencial o diferencial dual. Inmersiones y sumersiones. Noción de

subvariedad.

Tema 5: Campos de vectores diferenciables en una variedad diferenciable. El producto corchete de campos. El Álgebra de Lie de

los campos diferenciables. Campos f-relacionados.

Tema 6: Campos de tensores diferenciables en una variedad diferenciable. Expresiones locales. Formas diferenciales.


Se realizarán reuniones periódicas entre los profesores de la asignatura para la coordinación de los distintos grupos. Por otra

parte, la realización de controles a los alumnos previos al examen final permitirá el seguimiento del desarrollo por parte de éstos

de las competencias señaladas anteriormente. También se utilizará para dicho seguimiento la información obtenida de los

alumnos a partir de las sesiones de tutoría.




209


NOMBRE DE ASIGNATURA: Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Funcional





Nombre: Ecuaciones en Derivadas

Parciales y Análisis Funcional

Código: 650031








JOSE DOMINGO MARTIN GOMEZ Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. módulo 34 (3ª planta) [email protected]

TOMAS CARABALLO GARRIDO Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. módulo 33 (3ª planta) [email protected]


1. DESCRIPTORES

Teoría clásica de ecuaciones en derivadas parciales. Introducción a la teoría moderna. Complementos de Análisis Funcional.

Teoría espectral de operadores compactos.

Classical theory of partial differential equations. An introduction to the modern theory of partial differential equations.

Complements of functional analysis. Spectral theory of compact operators.

2. SITUACIÓN




Se trata de una asignatura troncal y obligatoria de 4º Curso en la que hay una amplia utilización de los conocimientos adquiridos en otras

asignaturas troncales y obligatorias situadas en el Plan de Estudios con anterioridad a ésta y que el alumno debería conocer. Es una asignatura

absolutamente básica para lo que podríamos denominar genéricamente Matemática Aplicada a las Ciencias basadas en leyes de conservación

e importante para la comprensión del desarrollo de las Matemáticas en los últimos dos siglos. Como en la mayoría de las asignaturas de


210

Segundo Ciclo, los conocimientos que se adquieren en ella tienen utilidad directa sólo para los alumnos que vayan a dedicarse

profesionalmente a la investigación, la docencia universitaria o el modelado y resolución de problemas con origen en la industria, actividad poco

desarrollada actualmente en España, pero cuyo papel en el progreso investigador del país es decisivo. Por otra parte, su valor formativo en la

utilización de diversas herramientas matemáticas para el estudio de problemas ligados a otras Ciencias (Física, Química, Biología, etc.) y a la

Tecnología es innegable.


Para cursarla resulta imprescindible haber superado las asignaturas "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias" (troncal de Primer Ciclo) y

"Análisis Funcional" (troncal de Segundo Ciclo). Es muy recomendable haber estudiado las siguientes asignaturas de Primer Ciclo: "Análisis

Matemático I y II", Ampliación de la Teoría de Funciones de Varias Variables", "Ampliación de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias" y "Variable

Compleja y Análisis de Fourier". Esta asignatura está muy relacionada con la asignatura de cuarto curso #Análisis Funcional y Optimización#, y

tiene en las asignaturas de quinto curso #Ampliación de EDP# y #EDP de Evolución# su continuación natural.

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo



211








Formular problemas para ecuaciones en derivadas parciales, principalmete de segundo orden. Resolver algunos de ellos

ligados a ecuaciones lineales (Poisson, calor y ondas en dimensión espacial 1, etc.). Traducir algunos problemas reales en

términos de ecuaciones en derivadas parciales. Extraer información cualitativa sobre las soluciones.


- Análisis de modelos matemáticos de situaciones reales.

- Resolución de modelos utilizando técnicas analíticas y numéricas.






- Participación en la organización de proyectos.













4. OBJETIVOS

Esta asignatura troncal constituye, por una parte, una continuación de la asignatura troncal de cuarto curso "Análisis Funcional"

y, por otra, una introducción al estudio teórico de las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs). Por lo que respecta al Análisis

Funcional, se pretende cubrir los contenidos necesarios para el posterior estudio teórico de las EDPs que no hayan sido

estudiados previamente por el alumno: Teorema de Lax-Milgram y aplicaciones, teoría elemental de operadores lineales en

espacios de Banach, teoría espectral de operadores compactos,# El énfasis principal se ha puesto en las ecuaciones de Poisson,

del calor y de ondas (representantes canónicas de la EDPs lineales de segundo orden). Se ha intentado aclarar que para cada una

de ellas tiene sentido considerar problemas de naturaleza distinta. En la medida de lo posible, se presentan y demuestran

resultados de existencia, unicidad y dependencia continua respecto de los datos que, en algunos casos, son constructivos.

También en la medida de lo posible, se indica el papel que juegan las EDPs en algunas aplicaciones.


212

5. Metodología:











OTRAS: - Seminarios. - Trabajo en grupos reducidos

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartirán aproximadamente 4 horas de teoría y 2 de problemas. La resolución de los

problemas se producirá en ocasiones de forma altamente interactiva.


El método de separación de variables y la ecuación del calor unidimensional. La ecuación de ondas unidimensional (problemas

de Cauchy y otros). Problemas de Dirichlet para las ecuaciones de Laplace y Poisson. El teorema de Lax-Milgram y la formulación

débil de los problemas elípticos de segundo orden.

Teoría espectral de operadores lineales compactos y aplicaciones en el contexto de las EDPs.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:



- Dautray, Robert . Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les techniques /Robert Dautray,

Jacques-Louis Lions. . (1985.) . ISBN 2-225-80523-7 .

- Weinberger, Hans F. . Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con métodos de variable compleja y de transformaciones

integrales /H.F. Weinberger. . (1970.) .

- Gilbarg, David, . Elliptic partial differential equations of second order /David Gilbarg, Neil S. Trudinger. . 2nd ed. . (1983.) .

- Hochstadt, Harry. . Integral equations /Harry Hochstadt. . (1973.) . ISBN 0-471-50404-1 .

- Kreyszig, Erwin. . Introductory functional analysis with applications /Erwin Kreyszig. . (1978.) .

- F. John . Partial differential Equations . (1.982) .

- J. Jost . Partial Differential Equations . (2.007) .

- Barbu, Viorel. . Partial differential equations and boundary value problems /by Viorel Barbu. . (1998.) . ISBN 0-7923-5056-1 .

- Tyn, Myint U. . Partial differential equations for scientists and engineers / Tyn Myint-U with Lokenath Debnath. . 3rd ed. .

(c2007.) . ISBN 9780817643935 .

- Peral, Ireneo. . Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales /Ireneo Peral Alonso. . (1995.) . ISBN 0-201-65357-5 .


- Cañada Villar, Antonio. . Series y transformada de Fourier y aplicaciones /Antonio Cañada Villar. . (1994.) . ISBN 84-338-1847-3


213

.

8.2. Específica:

Apuntes de Clases disponible en la red.







Para aprobar la asignatura será necesarios superar un examen final escrito de carácter teórico-práctico, o bien los exámenes

parciales escrito teórico-práctico. Para la nota final se tendrá en cuenta, a parte de las notas de los exámenes, los trabajos

realizados así como la participación en clase.



reducidos

Trabajo de



Nº total de horas 48,00 144,00 30,00 75,00 13,00 13,00 0,00 0,00 8,00 -

1ªSemana 4,00 12,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1 y 2

2ªSemana 4,00 12,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

3ªSemana 4,00 12,00 2,00 5,00 2,00 2,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

4ªSemana 4,00 12,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

5ªSemana 4,00 12,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

6ªSemana 4,00 12,00 2,00 5,00 4,00 4,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

7ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3 y 4

8ªSemana 4,00 12,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

9ªSemana 4,00 12,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4 y 5

10ªSemana 4,00 12,00 2,00 5,00 2,00 2,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

11ªSemana 4,00 12,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5 y 6

12ªSemana 4,00 12,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 6

13ªSemana 2,00 6,00 2,00 5,00 5,00 5,00 0,00 0,00 0,00 Tema 6

14ªSemana 0,00 0,00 4,00 10,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 6


Tema 1. Las ecuaciones del calor y de ondas unidimensionales

1. Definiciones y motivación.

2. Las ecuaciones de Laplace, del calor y de ondas.

3. Problemas de valores iniciales, de contorno y mixtos.

4. Descripción del método de separación de variables.


214

5. Algunos resultados de convergencia para desarrollos de series de Fourier.

6. Aplicación del método de separación de variables a la ecuación del calor unidimensional.

7. Solución clásica de los problemas de Cauchy y Cauchy-Dirichlet para la ecuación de ondas unidimensional homogénea.

8. El principio de Duhamel.

Tema 2. El problema de Dirichlet para las ecuaciones de Laplace y de Poisson

1. Identidades de Green

2. Principio del máximo débil. Consecuencias.

3. Solución fundamental.

4. La fórmula de representación de Green: función de Green.

5. Solución del problema de Dirichlet-Laplace en una bola. La fórmula integral de Poisson.

6. El problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson: potencial newtoniano.

Tema 3. Formulación variacional del problema de Dirichlet-Laplace

1. Operadores lineales continuos en espacios de Hilbert. Operadores adjuntos.

2. Teorema de la proyección y de Lax-Milgram.

3. Repaso de los espacios de Lebesgue Lp.

4. Los espacios de Sobolev H1, H10, H-1.

5. Solución débil del problema de Dirichlet-Laplace.

Tema 4. Teoría espectral de operadores compactos

1. Relaciones de ortogonalidad entre rango y núcleo de un operador y su adjunto.

2. Compacidad y operadores compactos.

3. Teorema de alternativa de Fredholm.

4. Espectro de un operador compacto.

5. Teorema de Hilbert-Schmitd.

6. Aplicaciones del teorema de Hilbert-Schmitd al espectro del Laplaciano.


Reuniones semanales de los profesores, comprobaciones periódicas del nivel de comprensión de la asignatura dentro y fuera de

clase, consultas con colegas de otras Universidades que tengan a su cargo materias análogas.




215


NOMBRE DE ASIGNATURA: Elementos de Homología Clásica





Nombre: Elementos de Homología Clásica

Código: 650032








MANUEL ENRIQUE CARDENAS ESCUDERO Geometría y Topología [email protected]

ANTONIO RAFAEL QUINTERO TOSCANO Geometría y Topología [email protected]


1. DESCRIPTORES

Homología simplicial. Aplicaciones.

Simplicial homology. Applications.

2. SITUACIÓN




La asignatura está dedicada a presentar los rudimentos de la homología simplicial por ser la faceta más inmediata de la teoría de

homología. Ello da a todos los alumnos de la licenciatura la oportunidad de conocer la topología algebraica y algunas de su primeras

aplicaciones.


Es importante que el alumno haya cursado la asignatura "Elementos de Geometría Diferencial y Topología" de primer año. Una de las

asignaturas de años anteriores que ayudarían al alumno es "Estructuras Algebraicas".

3. COMPETENCIAS


216







Referencia 1 2 3 4








Trabajo en equipo







Topología.










4. OBJETIVOS

En esta asignatura se discutirá el problema de la clasificación en Topología, y la idea de asociar “invariantes" algebraicos

a un espacio, tales como grupos y anillos, para hacer más viable dicho problema.

5. Metodología:





217








DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartirán 2 horas de teoría y 2 de problemas de media a lo largo del cuatrimestre.


Complejos simpliciales.

Homología simplicial.

Invariancia homotopica de la homología simplicial.

Homología y orientación.

Cohomología simplicial.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.2. Específica:

1- Agoston, M. K., "Algebraic Topology : A first course". Marcel Dekker Inc., New York, 1976.

2- Ayala, R. ; Domínguez, E ; Quintero, A., “Elementos de la Teoría de Homología Clásica". Secretariado de Publicaciones

Universidad de Sevilla, 2002.

8.3. Observaciones:

Enlaces de interes :

http://www.personal.us.es/mcard/teaching.html

http://personal.us.es/mcard/EHCpage/EHC.html





Se efectuará mediante la realización de un examen final que consistirá en la resolución de ejercicios teórico-prácticos.

Asimismo el alumno tendrá la posibilidad de aprobar la asignatura previamente a la realización de la prueba final mediante la

superación de una prueba similar a las anteriores cuya fecha de realización se comunicará con antelación.


218


HORAS SEMANALES Teoría Prácticas Trabajo de Investigación Exámenes Temario

Segundo Semestre H Total H Total H Total Total -

Nº total de horas 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


Tema 1: Complejos simpliciales.

Complejos simpliciales. Subdivisiones. Poliedros. Aplicaciones simpliciales. Aproximación simplicial. Complejo simplicial

abstracto.

Tema 2: Homología simplicial.

Introducción al Algebra Homológica. Complejos de cadenas de R-módulos. Homología. Homología simplicial orientada.

Propiedades. Homología simplicial ordenada, su relación con la homología simplicial orientada.

Tema 3: Invariancia homotópica de la homología simplicial.

El operador subdivisión. Invariancia homotópica de la homología simplicial. La característica de Euler-Poincaré.

Tema 4: Aplicaciones de la homología.

Grado de una aplicación continua entre esferas. Teorema del punto fijo de Brouwer y Lefschetz y teorema de Borsuk-Ulam.

Tema 5: Homología y orientación.

Cálculo de la homología en dimensión máxima de una variedad triangulable. Grado de una aplicación entre variedades.

Tema 6: Cohomología simplicial.

Cohomología simplicial. Cup producto y anillo de cohomología simplicial.


Se realizan reuniones periódicas de profesores para una coordinación de la asignatura.




219


NOMBRE DE ASIGNATURA: Álgebra Conmutativa





Nombre: Álgebra Conmutativa

Código: 650036








JUAN GONZALEZ-MENESES LOPEZ Algebra [email protected]



1. DESCRIPTORES

Anillos. Ideales. Módulos. Localización. Anillos noetherianos. Dimensión de Krull. Dependencia entera. Anillos locales regulares.

2. SITUACIÓN




La asignatura se imparte en el segundo cuatrimestre del cuarto curso de la Licenciatura de Matemáticas. En ella se desarrolla la teoría

básica de los anillos conmutativos y sus módulos, con especial interés en los anillos noetherianos y en la teoría de la dimensión. Naturalmente

se usan y desarrollan los conocimientos algebraicos y geométricos adquiridos por el alumno en los cursos anteriores. Además se insiste en la

componente computacional de la materia tratada, usando cuando sea posible programas de cálculo simbólico, especialmente en el estudio de

los anillos de polinomios y de sus cocientes. Esta asignatura prepara el camino para otras asignaturas de la Licenciatura cuyo contenido sea

esencialmente de Álgebra y Geometría y a una posible especialización en un tercer ciclo. Lo estudiado aquí puede también servir de base a

cursos especializados en Codificación y Criptografía.


Se recomienda haber cursado previamente la asignatura Estructuras Algebraicas.

3. COMPETENCIAS








220

Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo


















Operar con anillos, ideales y módulos y sus morfismos respectivos.

Estudio de los sistemas de ecuaciones polinomiales.

Saber aplicar el diccionario álgebra-geometría usando el Nullstellensatz de Hilbert.

Conocer y saber aplicar lema de normalización de Noether.

Calcular la dimensión de anillos cocientes de anillos de polinomios.

Saber usar sistemas de cálculo simbólico para resolver problemas algebraicos que modelizan situaciones reales.








221










4. OBJETIVOS

Los objetivos de la asignatura son:

(a) Conocer y saber utilizar los conceptos y los resultados básicos relacionados con los módulos sobre anillos conmutativos,

con especial énfasis en el caso de los anillos de polinomios con coeficientes en un cuerpo.

(b) Conocer y saber utilizar la relación entre los ideales de polinomios y las variedades algebraicas afines.

(c) Aprender a razonar sobre las cadenas de ideales primos.

(d) Resolver problemas algebraicos usando algoritmos adecuados de Cálculo Simbólico y su implementación en programas

ejecutables en un ordenador.

5. Metodología:

De las 4 horas horas de clase semanales, 2 se dedicar\án a la

exposición del contenido teórico por parte del profesor, 1 a

la exposición por parte de los estudiantes de las cuestiones

propuestas y 1 a la realización de prácticas.

Se fomentará y valorará el manejo de la bibliografía.












222


DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartirán cuatro horas de clase de las cuales 2 horas, aproximadamente,

corresponderán a teoría y el resto a clases de problemas y a clases de prácticas y a la exposición de temas por parte de los

estudiantes.


Anillos, ideales, módulos, álgebras.

Localización de anillos y módulos. Condiciones de cadena.

Cadenas de ideales primos. Anillos artinianos. Teorema de los ideales principales de Krull.

Dependencia entera. Lema de normalización de Noether.

Sucesiones regulares. Anillos locales regulares.

Teorema de las sicigias de Hilbert.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Greuel, G.-M. . A singular introduction to communtative algebra /Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister. . (2002.) . ISBN

3540428976 .

- Matsumura, Hideyuki, . Commutative algebra /Hideyuki Matsumura. . 2nd ed. . (1980.) .

- Zariski, Oscar, . Commutative algebra /Oscar Zariski. . 2nd ed. . (1979.) .


.

- Vasconcelos, Wolmer V. . Computational methods in commutative algebra and algebraic geometry /Wolmer V. Vasconcelos ;

with chapters by David Eisenbud... [et al.] . (1997.) . ISBN 3-540-60520-7 .

Computations in algebraic geometry with Macaulay 2 /David Eisenbud ... [et al.] . (c2002.) . ISBN 3540422307 (alk. paper) .

- Fulton, William, . Curvas algebraicas :introducción a la geometría algebraica /William Fulton. . (1971.) .

- Cox, David A. . Ideals, varieties, and algorithms :an introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative

Algebra /David Cox, John Little, Donal O'shea. . 2nd ed. . (1996.) . ISBN 0-387-94680-2 .

- Atiyah, Michael Francis, . Introducción al álgebra conmutativa /M.F. Atiyah, I.G. McDonald. . (1980.) . ISBN 84-291-5008-0 .

- Kunz, Ernst, . Introduction to commutative algebra and algebraic geometry /Ernst Kunz ; translated by Michael Ackerman ; with

a preface by David Mumford. . (1985.) . ISBN 3764330651 .

- Reid, Miles. . Undergraduate commutative algebra /Miles Reid. . Repr. . (1997.) . ISBN 0-521-45889-7 .

- Cox, David A. . Using algebraic geometry /David Cox, John Little, Donal O'Shea. . (1998.) . ISBN 0-387-98487-9 .







Se realizarán controles periódicos, tres o cuatro en total, y un examen de ejercicios y cuestiones teóricas. Este último examen no

será necesario si se han superado todos los controles periódicos, o en caso contrario, si se han compensado con la noa obtenida

en las exposiciones. Además podrán evaluarán los conocimientos adquiridos en prácticas con ordenador.


223



Seminarios

Trabajo en grupo



Nº total de horas 36,00 90,00 17,00 34,00 9,00 9,00 13,00 13,00 9,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00Anillos, ideales,

módulos y álgebras





4ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00

Localización de

anillos y módulos,

Condiciones de

cadena

5ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00

Localización de

anillos y módulos,

Condiciones de

cadena

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00

Cadenas de ideales

primos, Anillos

artinianos, Teorema

de los ideales

principales de Krull

7ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

Cadenas de ideales

primos, Anillos

artinianos, Teorema

de los ideales

principales de Krull

8ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00

Dependencia entera,

Lema de

normalización de

Noether

9ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00

Dependencia entera,

Lema de

normalización de

Noether

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00

Dependencia entera,

Lema de

normalización de

Noether

11ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00

Sucesiones

regulares, Anillos

locales regulares

12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00Sucesiones

regulares, Anillos


224


Seminarios

Trabajo en grupo



Nº total de horas 36,00 90,00 17,00 34,00 9,00 9,00 13,00 13,00 9,00 -

locales regulares

13ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 2,00

Sucesiones

regulares, Anillos

locales regulares

14ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00Teorema de las

sicigias de Hilbert

15ªSemana 1,00 2,50 1,00 2,00 2,00 2,00 1,00 1,00 2,00Teorema de las

sicigias de Hilbert


Tema 1.- Repaso de anillos e ideales. Espectro primo de un anillo. Teorema de la base de Hilbert.

Tema 2.- Módulos sobre un anillo. El lema de Nakayama. Complejos y sucesiones exactas.

Límites inductivos, Hom y producto tensorial. Anillos y módulos graduados.

Tema 3.- Anillos de fracciones. Localización.

Tema 4.- Condiciones de cadena. Finitud de los primos minimales en los anillos noetherianos.

Tema 5.- Cadenas de ideales primos. Dimensión de Krull. Anillos artinianos.

Tema 6.- Teorema de los ideales principales de Krull.

Consecuencias.

Tema 7.- Dependencia entera. Teoremas del ascenso y del descenso.

Tema 8.- Lema de normalización de Noether. Consecuencias.

Tema 9.- Sucesiones regulares. Complejos de Koszul.

Tema 10.- Anillos locales regulares.

Tema 11.- Teorema de las sicigias de Hilbert.


Los controles periódicos sirven para detectar posibles deficiencias en la docencia. Además se utilizarán los trabajos en grupos

para la puesta en común de estrategias en el aprendizaje. Los primeros minutos de las clases y el correo electrónico se utilizarán

para la comunicación alumno-profesor.



225



226


NOMBRE DE ASIGNATURA: Análisis Funcional y Optimización





Nombre: Análisis Funcional y Optimización

Código: 650037








MANUEL DELGADO DELGADO Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. [email protected]


1. DESCRIPTORES

Problemas de norma mínima. Optimización diferenciable. Aplicaciones y casos particulares.

2. SITUACIÓN




Es una asignatura optativa de cuarto curso que se imparte en el segundo cuatimestre. Profundiza en las herramientas básicas de las

matemáticas (en particular, del Análisis Funcional) y formula y resuelve problemas aplicados (sobre todo de la optimización infinitodimensional:

Cálculo de Variaciones)


Se recomienda tener aprobada las siguientes asignaturas (Troncales/obligatorias): Elementos de Análisis Matemático, Análisis Matemático I,

Análisis Matemático II, Ampliación de la Teoría de Funciones de Varias Variables, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Análisis Funcional.

También es recomendable tener aprobada la asignatura optativa: Ampliación de Ecuaciones Diferenciales. Los conocimientos adquiridos

resultan básicos para su continuación en la asignatura: Análisis Numérico y Optimización. La asignatura Programación no Lineal está

estrechamente relacionada.


227

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo








Conocer y manejar conceptos de Análisis Funcional (v.g. espacios reflexivos, convergencias débiles, compacidad en espacios

normados, semicontinuidad, etc). Conocer y saber aplicar teoremas de existencias de óptimo en espacios normados, principios

de dualidad de norma mínima. Conocer los espacios de Sobolev de dimensión 1. Calcular derivadas de funcionales definidos en


228

espacios normados mediante la regla de la cadena, el teorema de la función implícita, etc. Saber relacionar la derivación con la

convexidad. Conocer y saber utilizar las condiciones necesarias de optimización sin restricciones. Conocer y saber aplicar los

teoremas de multiplicadores para problemas de optimización con restricciones. Resolver problemas del Cáculo de Variaciones.



























4. OBJETIVOS

El objetivo de la asignatura es extender los resultados conocidos por el alumno, con relación a la minimización de funciones

definidas en R^n, al caso de funcionales definidos en espacios de dimensión infinita. Los problemas principales que abordamos

son la existencia de mínimo global y la obtención de condiciones necesarias que debe verificar un mínimo local, tanto en el caso

de problemas sin restricciones como en el caso de problemas con restricciones (teoremas de los multiplicadores). Como

principal aplicación de los resultados obtenidos se realizará una introducción al Cálculo de Variaciones, resolviendo algunos de

los problemas clásicos.

5. Metodología:

Además de la clase magistral, hay una importante participación de los alumnos de forma individual y por grupos. Hay una serie

de cuestiones que quedan pendientes en la explicación del profesor que son resueltas individualmente por los alumnos y

entregadas por escrito al profesor. Y hay unos problemas en cada tema que son resueltos por grupos de dos o tres alumnos,

bajo la supervisión del profesor, que también son entregados al mismo; una vez corregidos, se ponen a disposición de todos


229

los alumnos del grupo.














DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartirán aproximadamente 2,5 horas de teoría y 1,5 de problemas. Conforme se

vaya desarrollando los conceptos teórico se irán aplicando a casos prácticos y ejercicios y a que los alumnos expongan sus

trabajos y dudas..


I. Elementos de Análisis Funcional.

II. Minimización de funcionales.

III. Optimización diferenciable.

IV. Cálculo de Variaciones.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Brézis, H. . Análisis funcional: teoría y aplicaciones . (1984.) . ISBN 84-206-8088-5 .

- Trenoguine, V. A. . Analyse fonctionnelle . (1985.) .

- Oden, J. T. & Demkowicz, L.F. . Applied functional analysis . (1996.) . ISBN 0-8493-2551-X .

- Gelfand, I. M. & Fomin, S.V. . Calculus of variations . Rev. english ed. / translated and edited by Richar . (1963.) .

- Jost, J. & Li-Jost, X. . Calculus of variations . (1998.) . ISBN 0521642035 .

- Kolmogorov, A. N. & Fomin, S.V. . Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional . 2a ed. . (1975.) .

- Liusternik, L.A. & Sobolev, V.J. . Elements of functional analysis . [2nd print.] . (1965.) .

- Kreyszig, E. . Introductory functional analysis with applications . (1978.) .

- Zeidler, E. . Nonlinear functional analysis and its applications III: Variational Methods and optimization . (1985.) . ISBN

3-540-90915-X .

- Alekseev, V. M. & Tikhomirov, V.M. & Fomin, S.V. . Optimal control . (1987.) . ISBN 0-306-10996-4 .

- Céa, J. . Optimisation: théorie et algorithmes . (1971.) .

- Luenberger, D. G, . Optimization by vector space methods . (1969.) .


230

- Trenoguin, V. A. & Pisarievski, B.M. & Soboleva, T.S. . Problemas y ejercicios de análisis funcional . (1987.) .

- Lebedev, L. P. & Cloud, M.J. . The calculus of variations and functional analysis :with optimal control and applications in

mechanics . (2003.) . ISBN 9812385819 .

- Ioffe, A.D. & Tikhomirov, V.M. . Theory of extremal problems . (1979.) . ISBN 0-444-85167-4 .

8.2. Específica:

Apuntes del curso elaborados por J. Casado Díaz, J.D. Martín Gómez y M. Delgado Delgado







Para aprobar la asignatura será necesarios superar un examen final escrito de carácter teórico-práctico. o bien los exámenes

parciales escritos teórico-prácticos. Para la nota final se tendrá en cuenta, además de las notas de los exámenes, los trabajos

realizados así como la participación en clase.



Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 28,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

3ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

4ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

7ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2 y 3

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

11ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

12ªSemana 1,00 2,50 1,00 2,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3 y 4

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

14ªSemana 1,00 2,50 1,00 2,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

15ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,00 4


Tema1: Elementos de Análisis Funcional.


231

Recordatorio de espacios normados: Ejemplos. Aplicaciones lineales y continuas. Espacios duales Algunos teoremas

importantes. Espacios reflexivos: Ejemplos. Convergencia débil y *-débil. Subconjuntos débilmente cerrados. Teoremas de

compacidad débil.

Tema 2: Minimización de funcionales.

Funciones semicontinuas inferiormente.Teoremas de existencia: (Teorema de Weierstrass). Espacios de Sobolev

unidimensionales. Problemas de norma mínima: Ejemplos.

Tema 3: Optimización diferenciable.

Derivadas Gâteaux y Fréchet. Regla de la cadena. Derivación y convexidad. Teorema de la función implícita y de la función

inversa. Condición necesaria de mínimo local de extremo no condicionado. Problemas con restricciones: Teorema de

multiplicadores de Lagrange. Teorema de Kuhn-Tücker.

Tema 4: Elementos del Cálculo de Variaciones.

Derivabilidad de algunas aplicaciones. El problema más elemental del Cálculo de Variaciones. Otros tipos de problemas del

Cálculo de Variaciones.


Pruebas parciales en que se evaluan los conocimientos adquiridos. Participación en las clases de problemas y seminarios.

Asistencia a horas de tutorías.




232


NOMBRE DE ASIGNATURA: Cálculo en Variedades





Nombre: Cálculo en Variedades

Código: 650038








LUIS MANUEL FERNÁNDEZ FERNÁNDEZ Geometría y Topología [email protected]


VERÓNICA MARTÍN MOLINA Geometría y Topología [email protected]


1. DESCRIPTORES

Cálculo en Variedades (B.O.E.)

2. SITUACIÓN




Esta asignatura supone la continuación natural de la troncal de primer cuatrimestre "Variedades Diferenciables", completándose de este

modo la información general que el alumno debe conocer sobre esta teoría. Posteriormente, podrá completar su formación en Geometría

Diferencial cursando las correspondientes optativas de quinto curso.


Se supondrán a los alumnos conocimientos de un curso de Topología General, un curso de Álgebra Lineal, un curso de Cálculo Diferencial

de aplicaciones reales de varias variables reales y un curso de Geometría Diferencial Local de Curvas y Superficies, siendo indispensable

haber cursado la asignatura troncal "Variedades Diferenciables". Por otra parte, se recomienda que aquellos alumnos que deseen cursar las

optativas de quinto curso "Geometría Riemanniana" o "Grupos de Lie" cursen previamente esta asignatura, si bien las definiciones básicas ya


233

se les facilitaron en "Variedades Diferenciables".


Hay aulas adaptadas para los alumnos con problemas de movilidad. Para alumnos con otros tipos de discapacidad y para alumnos

extranjeros se seguirán las directrices de la Universidad de Sevilla.

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo



Compromiso ético












Utilizar los conceptos básicos asociados a la teoría de Variedades Diferenciales.

Manejar las herramientas del Cálculo en variedades diferenciables.

Utilizar el concepto de campo diferenciable y de su generación a partir de grupos uniparamétricos de transformaciones.

Utilizar el concepto de forma diferencial y los principales operadores sobre formas.

Utilizar los conceptos duales de distribución diferenciable e ideal diferencial.


234







Diseño de estrategias para resolución de problemas.













4. OBJETIVOS

Se pretende que el alumno desarrolle los conocimientos y técnicas básicos adquiridos en la Teoría de Variedades Diferenciables

por medio de la asignatura troncal del mismo nombre. En particular, deberá manejar con destreza los Campos y las Formas en

las Variedades Diferenciables, elementos que constituyen las herramientas básicas para el desarrollo del cálculo en dichos

espacios. Se mostrarán algunos teoremas fundamentales, con importante aplicaciones a la Teoría de Subvariedades.

5. Metodología:

La asignatura se impartirá en quince semanas, a razón de cuatro horas de clase semanales, que se distribuirán en una media de

dos de ellas dedicadas a la explicación de los resultados teóricos y otras dos dedicadas a la resolución de ejercicios y

problemas que permitan un mejor entendimiento de aquéllos, así como de sus aplicaciones. Es muy importante que los

alumnos participen de modo activo en el desarrollo de la materia, especialmente de su parte práctica y que hagan sugerencias

para mejorar la marcha del curso, por lo que se tratará de fomentar esta participación, mediante la discusión en clase de los

conceptos a tratar.






• Exposiciones de problemas (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 5,00 + 0,00 = 5,00




235




OTRAS: Trabajo en grupos reducidos. Uso de la plataforma Moodle para la publicación de diverso material sobre la asignatura.

Información en página Web.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Las horas de clase se distribuirán entre las dedicadas a la explicación de los resultados teóricos y las

de resolución de ejercicios y problemas. En general, los problemas se resolverán al final de cada tema, si bien los alumnos


exposiciones de carácter teórico, así como su trabajo en grupos reducidos, de manera periódica, y se promoverán las tutorías

como medio para la resolución de dudas sobre la asignatura o problemas propuestos. Finalmente, los alumnos dispondrán de

diverso material sobre la asignatura publicado en la plataforma Moodle (resúmenes teóricos, enunciados de problemas y

exámenes resueltos de años anteriores).


La topología de una variedad.

Teoría de Subvariedades.

Curvas integrales de un campo vectorial diferenciable.

Distribuciones: Teorema de Frobenius.

Operadores sobre formas.

Ideales diferenciales.

Orientación de variedades.

Integración de formas: Teorema de Stokes.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Aubin, Thierry. . A course in differential geometry /Thierry Aubin. . (2001.) . ISBN 0-8218-2709-X .


.



- Gadea, P. M. . Analysis and algebra on differentiable manifolds :a workbook for students and teachers /by P. M. Gadea and J.

Muñoz Masqué. . (2001.) . ISBN 1402001630 .

- Matsushima, Yozo, . Differentiable manifolds /Translated by E. T. Kobayashi. . (1972.) . ISBN 0824714458 .

- Carmo, Manfredo P. do. . Differential forms and applications /Manfredo P. do Carmo. . (1994.) . ISBN 3-540-57618-5 .

- Madsen, I. H. . From calculus to cohomology :De Rham cohomology and characteristic classes /Ib Madsen and Jorgen

Tornehave. . (1997.) . ISBN 0-521-58956-8 .

- Gamboa, José M. . Iniciación al estudio de las variedades diferenciables /José Manuel Gamboa, Jesús M. Ruiz. . (1999.) . ISBN

84-88667-48-5 .

- Lee, John M., . Introduction to smooth manifolds /John M. Lee. . (2003.) . ISBN 0387954481 .

- Chern, Shiing-Shen, . Lectures on differential geometry /S.S. Chern, W.H. Chen, K.S. Lam. . 1st. Ed. rpr. 2000. . (2000.) . ISBN

9810241828 (pbk) .

- Nicolaescu, Liviu I. . Lectures on the geometry of manifolds /Liviu I. Nicolaescu. . Repr. . (1999.) . ISBN 981-02-2836-8 .

- Hicks, Noel J. . Notas sobre geometría diferencial /por Noel J. Hicks ; edición revisada y corregida por Fernando Puerta Sales. .


236

(1974.) .

8.2. Específica:

Dado el carácter general de la asignatura, todos los temas pueden seguirse prácticamente a través de la siguiente bibliografía:

Aubin, T.: A Course in Differential Geometry. Graduate Studies in Mathematics, 27. AMS (2001).

Bloch, E.D.: A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. Birkhäuser (1997).

Boothby, W.M.: An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. (2ª Ed.) Academic Press (1986).

Chern, S.S; Chen, W.H.; Lam, K.S.: Lectures on Differential Geometry. World Scientific (2000).

Gadea, P.M., Muñoz Masqué, J.: Analysis and Algebra on Differentiable Manifolds: A Workbook for Students and Teachers.

Kluwer Academic Publishers (2001).

Gamboa, J.M., Ruiz, J.M.: Iniciación al estudio de las Variedades Diferenciables. Ed. Sanz y Torres (1999).

Lee, J.M.: Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag (2003).

Madsen, I., Tornehave, J.: From Calculus to Cohomology. Cambridge Univ. Press (1997).

Matsushima, Y.: Differentiable Manifolds. Marcel Decker (1972).

Nicolaescu, L.I.: Lectures on the Geometry of Manifolds. World Scientific (1996).

Warner, F.W.: Foundations of Differential Manifolds and Lie Groups. Scott Foresman Comp. (1971).

Para los Temas 5, 6 y 7 se recomienda también:

Do Carmo, M.P.: Differential Forms and Applications. Springer-Verlag (1994).

La referencia “Hicks, N.J.: Notas sobre Geometría Diferencial. Editorial Hispano Europea (1974)” se incluye por su

valor histórico, mientras que “Kobayashi, S., Nomizu, K.: Foundations on Differential Geometry. Interscience Pub.

(1973)” constituye un magnífico compendio de la teoría, si bien a un nivel más avanzado que el exigido en esta

asignatura.

8.3. Observaciones:

Página Web oficial de la asignatura : http://www.departamento.us.es/dgt/pd/cv.html

Departamento de Geometría y Topología: http://www.departamento.us.es/dgt

Plataforma Moodle para la asignatura: http://geotopo.us.es/moodle









237


propondrá a los alumnos la realización voluntaria de dos pruebas parciales previas, consistentes cada una en la resolución de

varias cuestiones teórico-prácticas (2 puntos) y un problema (3 puntos). Aquellos alumnos que, sumando las dos pruebas,

obtengan una calificación igual o superior a 5 puntos, aprobarán la asignatura antes del examen final. Aquellos alumnos que se

presenten al examen final podrán sumar a la calificación de éste la mitad de la nota obtenida en las cuestiones de las pruebas

previas, caso de que las hubieran hecho. Por otra parte, se propondrá a los alumnos la resolución voluntaria de un problema, que

deberá ser expusto en clase y cuya calificación (hasta un máximo de 0.5 puntos) se sumará a las de las pruebas parciales o a la

del examen final. Dado que, según la normativa vigente, la nota final no podrá exceder de 10 puntos, las cantidades señaladas

anteriormente se sumarían hasta alcanzar los 10 puntos globales.


HORAS SEMANALES Teoría PrácticasExposiciones de

problemas

Trabajo en grupo



Nº total de horas 33,00 82,50 19,00 38,00 5,00 5,00 3,00 3,00 28,00 28,00 4,00 -

1ªSemana 4,00 10,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1 y 2

2ªSemana 1,00 2,50 3,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

3ªSemana 3,00 7,50 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

4ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

5ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 3

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

7ªSemana 3,00 7,50 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4 y 5

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 5

9ªSemana 4,00 10,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

11ªSemana 3,00 7,50 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5 y 6

12ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6

13ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6 y 7

14ªSemana 1,00 2,50 3,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 7

15ªSemana 0,00 0,00 3,00 6,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00Problemas de

repaso


Tema 1:

La topología de una variedad. Particiones diferenciables de la unidad.

Tema 2:

Teorema de la Función Inversa en Variedades. Equivalencia de subvariedades. Factorización de aplicaciones. Lema de

Factorización. Teorema de la Función Implícita en Variedades.

Tema 3:

Curvas integrales de un campo vectorial diferenciable. Existencia y unicidad. Grupos uniparamétricos de transformaciones.

Campos completos. Grupos uniparamétricos de trasformaciones locales. Sistemas de grupos uniparamétricos de


238

transformaciones locales. Interpretación geométrica del producto corchete de campos.

Tema 4:

Distribuciones. Subvariedades integrales de una distribución. Teorema de Frobenius (versión campos).

Tema 5:

Operadores sobre formas. Derivaciones y anti-derivaciones. La diferenciación exterior. Teoremas de existencia y unicidad.

Producto interior y derivada de Lie. Relaciones entre la diferencial exterior, el producto interior y la derivada de Lie. Álgebra de

cohomología de una variedad diferenciable. Formas cerradas y exactas. Lema de Poincaré.

Tema 6:

Ideales diferenciales. Distribuciones e ideales diferenciales. Teorema de Frobenius (versión formas).

Tema 7:

Orientación de variedades. Formas de volumen. Integración de formas. Teorema de Stokes.


Se realizarán reuniones periódicas entre los profesores de la asignatura para la coordinación de la misma. Por otra parte, la

realización de controles a los alumnos previos al examen final permitirá el seguimiento del desarrollo por parte de éstos de las

competencias señaladas anteriormente. También se utilizará para dicho seguimiento la información obtenida de los alumnos a

partir de las sesiones de tutoría.




239


NOMBRE DE ASIGNATURA: Lógica Matemática





Nombre: Lógica Matemática

Código: 650039








ALEJANDRO FERNANDEZ MARGARIT Ciencias de la Comput. e Int. Artificial [email protected]


1. DESCRIPTORES

Computabilidad. Lógica de primer orden: completitud y compacidad. Teoremas de incompletitud.

Computability. First Order Logic: Completeness and Compacity. Incompleteness Theorems.

2. SITUACIÓN




Asignatura optativa de segundo ciclo. Formación básica en fundamentos de las Matemáticas


Esta asignatura no requiere conocimiento específico de ninguna materia. Sin embargo, se presupone una cierta madurez matemática. Para

ello es suficiente haber cursado una parte significativa del primer ciclo. La asignatura de Computación (optativa de primer ciclo) complementa

una parte de los conocimientos que se desarrollan en esta asignatura.

3. COMPETENCIAS




240





Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









Comprender y usar los resultados centrales de la Lógica Matemática: Teoremas de Completitud, Compacidad, Indecidibilidad e

Incompletitud.



241


























4. OBJETIVOS

El curso está dedicado a desarrollar la metodología básica de la Lógica Matemática y probar algunos de sus resultados

fundamentales.

5. Metodología:

La asignatura se desarrolla mediante clases teóricas y clase prácticas en las que se fomenta la participación activa de los

alumnos.










242


DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Las clases de teoría y problemas se desarrollarán de forma conjunta pasando de un tipo de clase a

otro según se desarrolla la materia.


Introducción a la Teoría de Modelos.

Teoría de la Recursión.

Los Teoremas de Incompletitud.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Bridge, Jane. . Beginning model theory :the completeness theorem and some consequences /Jane Bridge. . [Reprint.] . (1978.)

.

- Odifreddi, Piergiorgio, . Classical recursion theory : the theory of functions and set of natural numbers /Piergiorgio Odifreddi ;

editors J. Barwise... [et al.] . (1989.) . ISBN 0-444-87295-7 .

- Cutland, Nigel. . Computability :an introduction to recursive function theory /Nigel Cutland. . (1980.) . ISBN 0-521-29465-7 .

Handbook of mathematical logic /edited by Jon Barwise ; with the cooperation of H.J. Keisler... [et al.] . [8nd print.] . (1993.) . ISBN

0-444-86388-5 .

- Shoenfield, Joseph R. . Mathematical logic /by Joseph R. Shoenfield. . (1967.) . ISBN 1568811357 .

- Chang, Chen-Chung. . Model theory /C. C. Chang and H. J. Keisler. . 3rd ed. . (1990.) . ISBN 0-444-88054-2 .

- Hodges, Wilfrid. . Model theory /Wilfrid Hodges. . (1993.) . ISBN 0-521-30442-3 .

- Boolos, George. . The unprovability of consistency :an essay in modal logic /George Boolos. . (1979.) . ISBN 0521218799 .

8.2. Específica:

W. Hodges, "Model Theory". Cambridge University Press, 1993.

P. Odifreddi, "Classical Recursion Theory". North Holland, 1989.

J. R. Shoenfield, "Mathematical Logic". Addison Wesley, 1967.

8.3. Observaciones:

Los materiales del curso (apuntes y relaciones de ejercicios) se encuentran disponibles en http://www.cs.us.es/~afernandez/





A lo largo del curso se propone a los alumnos unos trabajos que consisten en ejercicios sobre la materia desarrollada. Si la

calificación obtenida en estos trabajos es al menos de cinco puntos (sobre diez) se considera que el alumno a superado la

asignatura. En caso contrario, se debe realizar un examen final. Por otra parte, la resolución de ejercicios (tarea que se puede

hacer en grupos) sirve para complementar la calificación final.



243

HORAS SEMANALES Teoría PrácticasTrabajo Personal


Segundo Semestre H Total H Total Total Total -

Nº total de horas 30,00 60,00 30,00 60,00 20,00 10,00 -

1ªSemana 3,00 6,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1

2ªSemana 2,00 4,00 2,00 4,00 0,00 0,00 1

3ªSemana 3,00 6,00 1,00 2,00 0,00 0,00 2

4ªSemana 2,00 4,00 2,00 4,00 0,00 0,00 2

5ªSemana 2,00 4,00 2,00 4,00 0,00 0,00 3

6ªSemana 2,00 4,00 2,00 4,00 0,00 0,00 3

7ªSemana 1,00 2,00 3,00 6,00 10,00 0,00 3

8ªSemana 2,00 4,00 2,00 4,00 0,00 0,00 4

9ªSemana 1,00 2,00 3,00 6,00 0,00 0,00 4

10ªSemana 2,00 4,00 2,00 4,00 0,00 0,00 5

11ªSemana 3,00 6,00 1,00 2,00 0,00 0,00 6

12ªSemana 2,00 4,00 2,00 4,00 0,00 0,00 6

13ªSemana 1,00 2,00 3,00 6,00 0,00 0,00 6

14ªSemana 2,00 4,00 2,00 4,00 0,00 0,00 7

15ªSemana 2,00 4,00 2,00 4,00 10,00 0,00 7

16ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10,00 -


Parte A: Introducción a la Teoría de Modelos

Tema 1: Lenguajes de Primer Orden.

Tema 2: Teorías de Primer Orden.

Tema 3: Los Teoremas de Completitud y Compacidad.

Parte B: Teoría de la Recursión.

Tema 4: Funciones Recursivas.

Tema 5: Conjuntos Recursivamente Enumerables.

Parte C: Los Teoremas de Incompletitud.

Tema 6: La Aritmética de Peano.

Tema 7: Los Teoremas de Incompletitud de Gödel.


244


A lo largo del curso se propone a los alumnos unos trabajos que consisten en ejercicios sobre la materia desarrollada. Si la

calificación obtenida en estos trabajos es al menos de cinco puntos (sobre diez) se considera que el alumno a superado la

asignatura. En caso contrario, se debe realizar un examen final. Por otra parte, la resolución de ejercicios (tarea que se puede

hacer en grupos) sirve para complementar la calificación final.




245


NOMBRE DE ASIGNATURA: Programación no Lineal





Nombre: Programación no Lineal

Código: 650040








JUSTO PUERTO ALBANDOZ Estadística e Investigación Operativa [email protected]


1. DESCRIPTORES

Optimización no lineal continua. Optimización discreta.

2. SITUACIÓN




Se trata de una asignatura optativa que se imparte en el octavo semestre. Su contenido está oritentado a dotar al lumno de herramientas

para la resolución de problemas de máximizar o minimizar funciones de una o varias variables con o sin restricciones.


Se recomienda a los estudiantes haber cursado la asignatura de Programación Lineal, así como asignaturas de álgebra lineal y análisis real

de varias variables. Asimismo, esta asignatura ayudará en gran medida a la mejor comprensión de las asignaturas de modelos de investigación

operativa que se suelen impartir en los semestres noveno y décimo.

3. COMPETENCIAS




246





Referencia 1 2 3 4









diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









Principales técnicas de optimización con y sin restricciones.





247
























4. OBJETIVOS

El objetivo de este curso es dotar al estudiante de herramientas teóricas e informáticas para la resolución de problemas de

optimización.

5. Metodología:













248



DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartirán 2 horas de teoría, 1 de problemas y 1 hora de prácticas en el aula de

infomática.


Optimización sin restricciones.

Programación con restricciones convexas.

Teoría Lagrangiana.

Optimizacion Global y en grafos.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Tuy, Hoang. . Convex analysis and global optimization /by Hoang Tuy. . (1998.) . ISBN 0-7923-4818-4 .

- Hiriart Urruty, Jean-Baptiste, . Convex analysis and minimization algorithms /Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal. .

(1993.) . ISBN 3-540-56852-2 .

- Rao, Singiresu S. . Engineering optimization :theory and practice /S. S. Rao. . 3rd ed. . (1996.) . ISBN 0-471-55034-5 .

- Pallaschke, Diethard. . Foundations of mathematical optimization :convex analysis without linearity /by Diethard Pallaschke and

Stefan Rolewicz. . (1997.) . ISBN 0-7923-4424-3 .

- Ore, Oystein, . Graphs and their uses /Oystein Ore ; revised and update edition prepared by Robin J. Wilson. . [2nd print.] .

(1990.) . ISBN 0-88385-635-2 .

History of Mathematical Programming :a collection of personal reminiscences /edited by Jan Karel Lenstra, Alexander H. G.

Rinnooy Kan, Alexander Schrijver. . (1991.) . ISBN 0-444-88818-7 .

- Ye, Yinyu. . Interior point algorithms :theory and analysis /Yinyu Ye. . (1997.) . ISBN 0-471-17420-3 .

- Jansen, Benjamin. . Interior point techniques in optimization :complementarity, sensitivity and algorithms /by Benjamin Jansen.

. (1997.) . ISBN 0-7923-4430-8 .

- Horst, Reiner. . Introduction to global optimization /Reiner Horst, Panos M. Pardalos, Nguyen V. Thoai. . (1995.) . ISBN

0-7923-3557-0 .

- Winston, Wayne L. . Introduction to mathematical programming :applications and algorithms /Wayne L. Winston. . 2nd ed. .

(1995.) . ISBN 0-534-23046-6 .

- Luenberger, David G., . Linear and nonlinear programming /David G. Luenberger. . 2nd ed. [repr. with corrections] . (1989.) .

ISBN 0-201-15794-2 .

- Schittkowski, Klaus. . More test examples for nonlinear programming codes /Klaus Schittkowski. . (1987.) .

- Shor, Naum Zuselevich. . Nondifferentiable optimization and polynomial problems /by Naum Z. Shor. . (1998.) . ISBN

0-7923-4997-0 .

- Bertsekas, Dimitri P. . Nonlinear programming /Dimitri P. Bertsekas. . (1995.) . ISBN 1-886529-14-0 .

- Bazaraa, Mokhtar S. . Nonlinear programming :theory and algorithms /Mokhtar S. Bazaraa, Hanif D. Sherali, C.M. Shetty. . 2nd

ed. . (1993.) . ISBN 0-471-59973-5 .

- Bazaraa, Mokhtar S. . Nonlinear programming :theory and algorithms /Mokhtar S. Bazaraa, Hanif D. Sherali, C.M. Shetty. . 2nd

ed. . (1993.) . ISBN 0-471-59973-5 .

- Nocedal, Jorge. . Numerical optimization /Jorge Nocedal, Stephen J. Wright. . (1999.) . ISBN 0-387-98793-2 .

- Barbolla García, Rosa. . Optimización matemática : teoría, ejemplos y contraejemplos /Rosa Barbolla, Emilio Cerdá, Paloma

Sanz. . (1991.) . ISBN 84-239-6237-7 .

- Minoux, Michel. . Programmation mathématique :théorie et algorithmes /Michel Minoux. . (1983.) . ISBN 2-04-015542-2 .


249

8.2. Específica:

A rellenar por cada profesor.


Examen teórico-práctico

Trabajos desarrollados durante el curso




Se valora 50% el examen teórico-práctico y un 50% el resto.



Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 22,00 55,00 30,00 60,00 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 33,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

2ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3ªSemana 1,00 2,50 2,00 4,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

4ªSemana 1,00 2,50 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

5ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

6ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

7ªSemana 1,00 2,50 2,00 4,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

8ªSemana 1,00 2,50 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

10ªSemana 2,00 5,00 3,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

11ªSemana 1,00 2,50 2,00 4,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

12ªSemana 1,00 2,50 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

14ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

15ªSemana 0,00 0,00 1,00 2,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -



Tema 2: Optimización sin restricciones.

Condiciones de optimalidad. Métodos de gradiente. Método de Newton. Métodos de direcciones conjugadas y quasi-Newton.

Tema 3: Programación con restricciones convexas.

Condiciones de optimalidad. Métodos de direcciones factibles. Métodos de gradiente proyectado. Otros métodos en


250

programación convexa.

Tema 4: Teoría Lagrangiana.

Condiciones de optimalidad. Métodos de barrera. Métodos de punto interior.

Tema 5: Optimización Global.

Condiciones de optimalidad en optimización global. Minimización cóncava. Problemas d-c.

Tema 6: Optimización en grafos.

Elementos de Teoría de Grafos. Problemas clásicos de localización en grafos. Algoritmos eficientes.


Se podrán efectuar encuestas y reuniones entre los profesores de la asignatura y asignaturas afines.




251


NOMBRE DE ASIGNATURA: Teoría Analítica de Números





Nombre: Teoría Analítica de Números

Código: 650041








JUAN ARIAS DE REYNA MARTINEZ Análisis Matemático Módulo 38 -- 04 [email protected]


1. DESCRIPTORES

Teoría analítica de números.

2. SITUACIÓN




La asignatura es optativa del cuarto curso de la licenciatura. Esta asignatura es un buen complemento para los alumnos que piensen

matricularse en la asignaturas optativas Ampliación de Variable Compleja, Geometría Algebraica y Superficies de Riemann de quinto curso.


Es conveniente, haber cursado: Variable Compleja y Análisis de Fourier, obligatoria de tercer curso y Variable Compleja Troncal de cuarto

curso. Puede ser útil haber cursado Algebra efectiva de segundo curso, principalmente porque es donde se ven algunos de los conceptos

elementales sobre la divisibilidad de números naturales.

3. COMPETENCIAS




252





Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo








Liderazgo








Funciones aritmeticas. Función de Euler y de Moebius.

Teoremas de Chebyshev. Teoremas de Mertens.

Teorema de los números primos.

Funcion Gamma. Función Zeta de Riemann.

Hipótesis de Riemann.

Aproximación diofántica.

Distribución de los números primos.

Funciones modulares


Generar conjeturas.

Convertir conjeturas en Teoremas.


253


Diseño de Programas Informaticos.

















4. OBJETIVOS

Esta asignatura servirá para aplicar los teoremas del Análisis Matemático a algunos problemas interesantes, lo que permitirá

apreciar mejor el valor de las teorías (que en algunos casos fueron desarrollados precisamente con este fin). El objetivo de la

asignatura, más que dar un temario amplio, será dar las primeras nociones sobre estos temas que permitan al alumno apreciar la

utilidad y belleza de los mismos.

5. Metodología:

En las clases teóricas se desarrollará el temario. En cada clase se dedicará un pequeño espacio al planteo de problemas, notas

históricas, demostraciones especialmente elegantes y otras cuestiones relacionadas con la asignatura y la actualidad.

Tendrá especial importancia la realización de trabajos en grupo. Generalmente se tratará de observar unos datos, tratar de

conjeturar teoremas sobre esos datos. Buscar bibliografía y/0 tratar de demostrar las conjeturas obtenidas.

También jugará un papel la resolución de problemas asignados por el profesor a cada alumno o a pequeños grupos.







254









DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartira en media un hora de problemas y 3 de prácticas. Los alumnos usarán el

programa que deseen para realizar las prácticas, al principio del curso si algún grupo de alumnos lo desea se dará una o dos

clases sobre el manejo de alguno de los programas usuales Maple, Mathematica o Matlab que deseen usar. Al acabar cada tema

se les hace una exposición especial introductoria del tema. La asignatura reposa en gran medida en los trabajos asignados a

los alumnos. Durante todo el curso se atiende a los alumnos en el despacho sobre su desarrollo y las posibles estrategias a

seguir. Generalmente se trata de que obtengan por inducción un resultado, traten de probarlo, busquen referencias en la

bibliografía y traten de demostrar sus conjeturas. Finalmente se exige un trabajo de exposición escrita.


Funciones Aritméticas.

Distribución de los números primos: Métodos elementales.

Función Zeta de Riemann.

Aproximación Diofántica.

Funciones Modulares.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Serre, Jean Pierre. . A course in arithmetic . [corr. 4th print.] . (1973.) . ISBN 0-387-90040-3 .

- Rose, H. E. . A course in number theory . (1988.) . ISBN 0-19-853261-X .

- Hardy, G.H. Wright E, M., . An introduction to the theory of numbers . 5th. ed. . (1979.) . ISBN 0-19-853170-2 .

- Baker, Alan, . Breve introducción a la teoría de números . (1986.) . ISBN 84-206-2472-1 .

- Nathanson, Melvyn B. (Melvyn Bernard), . Elementary methods in number theory . (2000.) . ISBN 0-387-98912-9 .

- LeVeque, William Judson. . Fundamentals of number theory . (1996.) . ISBN 0486689069 .

- Karatsuba, Anatolii Alekseevich. . Fundamentos de la teoría analítica de los números . (1979.) .

- Apostol, Tom M. . Introducción a la teoría analítica de números . (1980.) . ISBN 84-291-5006-4 .

- Tenenbaum, Gerald. . Introduction to analytic and probabilistic number theory /GéraldTenenbaum. . (1995.) . ISBN

0-521-41261-7 .

- Cilleruelo, J. , Cordoba, A., . La teoría de los números . (1992.) . ISBN 84-397-1817-1* .

- Apostol, Tom M. . Modular functions and Dirichlet series in number theory . (1976.) . ISBN 038790185X .

- Davenport, Harold, . Multiplicative number theory . 3rd ed. /revised by Hugh L. Montgomery. . (2000.) . ISBN 0387950974 .

- Weil, André, . Number theory : an approach through history : from Hammurapi to leggendre . (1987.) . ISBN 0-8176-3141-0 .

- Redmond, Don. . Number theory :an introduction . (1996.) . ISBN 0-8247-9696-9 .

- Edwards, Harold M. . Riemann's zeta functions . (1974.) . ISBN 0-12-232750-0 .


255

- Narkiewicz, W. . The development of prime number theory :from Euclid to Hardy and Littlewood . (2000.) . ISBN 3-540-66289-8 .

- Ingham, A. E. . The distribution of prime numbers . [reprint.] . (1995.) . ISBN 0-521-39789-8 .

- Jameson, G. J. O. . The prime number theorem . (2003.) . ISBN 0521891108 (pb.) .

- Tenenbaum, G., Mendes France, M., . The Prime Numbers and their distribution . (2000.) . ISBN 0-8218-1647-0 .

8.2. Específica:

1. Apostol, T.M., Modular functions and Dirichlet series in Number Theory;. Springer, 1976.

2. Edwards, H.M., ;Riemann's Zeta Function;. Academic Press, New York, 1974.

3. Ingham, A.E., ;The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press, 1990.

4. Jameson, G.J.O.,;The Prime Number Theorem;. Cambridge University Press, 2003.

5. Kac, M., Statistical Independence in Probability Analysis and Number Theory;. The Mathematical Association of America,

1959.

6. Karatsuba, A. A.,;Fundamentos de la Teoría Analítica de los Números;. Mir, Moscú, 1979.

7. LeVeque, W. J.,;Fundamentals of Number Theory;. Dover, New York, 1996.

8. Narkiewicz, W., ;The Development of Prime Number Theory;. Springer, 2000.

9. Nathanson, M. B., ;Elementary methods in Number Theory;. Springer, New York, 2000.

10. Ram Murty, M., ;Problems in Analytic Number Theory;. Springer, New York, 2001.

11. Rose, H.E., ;A Course in Number Theory;. Oxford University Press, New York, 1988.

12. Serre, J.P., ;A Course in Arithmetic;. Springer Verlag, 1977.

13. Tenenbaum, G., ;Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory;. Cambridge University Press, 1995.

14. Tenenbaum, G. & Mendès France, M., ;The Prime Numbers and Their Distribution;. American Mathematical Society, 2000.

15. Weil, A., ;Number Theory: An aproach through History. From Hammurapi to Legendre;. Birkhäuser, Boston, 1984.






El porcentaje aproximado en la calificación final es: 40% Examen, 40% Trabajos, 20% Participación y Problemas propuestos.



256


Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 57,00 91,20 15,00 24,00 3,00 3,00 0,00 30,00 0,00 0,00 0,00 12,00 0,00 -

1ªSemana 4,00 6,40 1,00 1,60 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

2ªSemana 4,00 6,40 1,00 1,60 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3ªSemana 4,00 6,40 1,00 1,60 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

4ªSemana 4,00 6,40 1,00 1,60 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

5ªSemana 3,00 4,80 1,00 1,60 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

6ªSemana 4,00 6,40 1,00 1,60 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

7ªSemana 4,00 6,40 1,00 1,60 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

8ªSemana 3,00 4,80 1,00 1,60 1,00 1,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

9ªSemana 4,00 6,40 1,00 1,60 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 2,00 0,00 -

10ªSemana 4,00 6,40 1,00 1,60 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 2,00 0,00 -

11ªSemana 4,00 6,40 1,00 1,60 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 2,00 0,00 -

12ªSemana 4,00 6,40 1,00 1,60 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 2,00 0,00 -

13ªSemana 4,00 6,40 1,00 1,60 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 2,00 0,00 -

14ªSemana 4,00 6,40 1,00 1,60 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 2,00 0,00 -

15ªSemana 3,00 4,80 1,00 1,60 1,00 1,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


Tema 1: Funciones Aritméticas.

Las funciones d(n) y sigma(n). Las funciones phi(n) de Euler y µ(n) de Möbius. Series de Dirichlet. Crecimiento de funciones

multiplicativas. Sumación parcial. Método de exclusión inclusión. Algunas otras funciones aritméticas.

Tema 2: Distribución de los números primos: Métodos elementales.

Funciones de Chebyshev. Teoremas de Chebyshev. Teoremas de Mertens. Equivalentes al teorema de los números primos.

Método de la criba. El número de divisores primos de un entero.

Tema 3: Función zeta de Riemann.

Función Gamma;. Función zeta de Riemann. El producto infinito de la función zeta. Teoremas sobre los ceros. Relación entre la

suma de los coeficientes de una serie de Dirichlet y la función dada por esta serie. Aplicación del método de integración compleja

al teorema de los números primos. La hipótesis de Riemann. Conjeturas sobre la distribución de los primos.

Tema 4: Números racionales e irracionales. Números transcendentes.

Fracciones continuas. Números algebraicos y teorema de Liouville. Irracionalidad y transcendencia de algunos números

especiales.

Tema 5: Funciones modulares.

Grupo modular. Funciones modulares. Espacio de las formas modulares. Desarrollos en serie. Aplicaciones.



257



258


NOMBRE DE ASIGNATURA: Ampliación de Análisis Funcional





Nombre: Ampliación de Análisis Funcional

Código: 650047








GUILLERMO CURBERA COSTELLO Análisis Matemático [email protected]


1. DESCRIPTORES

Distribuciones. Teoría de operadores.

2. SITUACIÓN




Asignatura optativa de quinto curso.


Es muy recomendable haber cursado las asignaturas siguientes: Análisis Funcional y Variable compleja y Análisis de Fourier.

3. COMPETENCIAS







259


Referencia 1 2 3 4









diferentes fuentes



Trabajo en equipo
























4. OBJETIVOS

Los objetivos es que el alumno adquiera conocimientos en la Teoría de Distribuciones y en la Teoría de Operadores Lineales y las

Álgebras de Banach. La Teoría de Distribuciones, la cual es una herramienta fundamental para resolver diversos problemas de

diferente índole en Análisis y Ecuaciones Diferenciales. Una carencia de conocimientos en la teoría de distribuciones es una

laguna que todo analista debe llenar. La transformada de Fourier se estudiará como un ejemplo de de operador lineal resulta una

herramienta fundamental para el estudio de las distribuciones.


260

5. Metodología:

Exposición de la teoría, trabajo de los estudiantes en resultados concretos que se expoenen en clase y en la resolución de

problemas.













TEMA 1: DISTRIBUCIONES

Introducción. Espacio de las funciones test. Distribuciones.

Cálculo con distribuciones. Convolución. Transformada de Fourier

de una función integrable. Funciones de la clase de Schwartz. El

teorema de Plancherel. Transformada de Fourier de una función de

L2. El teorema de Malgrange--Ehrenpreis.

TEMA 2: OPERADORES LINEALES

Operadores lineales entre espacios de Banach. Álgebras de Banach.

Teoría espectral.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Conway, John B. . A course in functional analysis /John B. Conway. . 2nd ed., 3rd. corr. print. . (1990.) . ISBN 0-387-97245-5 .

- Rudin, Walter, . Análisis funcional /Walter Rudin. . Reimp. . (2002.) . ISBN 84-291-5115-X .

- Rudin, Walter, . Análisis real y complejo /W. Rudin. . 3a ed. . (1987.) . ISBN 84-7615-192-6 .

- Schwartz, Laurent. . Théorie des distributions /Laurent Schwartz. . [Nouv.tir.rev.et corr.] . (1973.) . ISBN 2-7056-5551-4 .


- Tráeves, Franðcois, . Topological vector spaces, distributions and kernels /Franðcois Tráeves. . [4th print.] . (1973.) . ISBN

0-12-699450-1 .


261


Problemas resueltos y expuesto en clase

Trabajos desarrollados durante el curso

Participiación activa en las clases

Examen teórico-práctico


Resolución de problemas en clase: 3 puntos

Desarrollo y exposición de un trabajo: 4 puntos

Exámen final: 3 puntos




Trabajo de



Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 4,00 4,00 0,00 33,50 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

4ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

7ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

11ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

14ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6

15ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6


Tema 1: DISTRIBUCIONES

Introduccón. Espacio de las funciones test. Distribuciones.

Cálculo con distribuciones. Convolución. Transformada de Fourier

de una función integrable. Funciones de la clase de Schwartz. El

teorema de Plancherel. Transformada de Fourier de una función de

L2. El teorema de Malgrange--Ehrenpreis.

Tema 2: OPERADORES LINEALES


262

Operadores lineales entre espacios de Banach. Álgebras de Banach.

Teoría espectral.




263


NOMBRE DE ASIGNATURA: Ampliación de Ecuaciones en Derivadas Parciales





Nombre: Ampliación de Ecuaciones en

Derivadas Parciales

Código: 650048








ANTONIO SUAREZ FERNANDEZ Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. MÓDULO 34 (3ª PLANTA) [email protected]


1. DESCRIPTORES

Complementos a la teoría clásica de ecuaciones en derivadas parciales. Ecuaciones en derivadas parciales de tipo elíptico.

2. SITUACIÓN




Se trata de una asignatura Optativa de Segundo Ciclo correspondiente al Quinto Curso de la Licenciatura en Matemáticas. Se imparte

durante el Primer Cuatrimestre.


Se recomienda haber cursado las asignaturas troncales y obligatorias de primer ciclo siguientes: Análisis Matemático I y II, Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias, Elementos de Análisis Matemático, Ampliación de la Teoría de Funciones de Varias Variables y Variable Compleja y

Análisis de Fourier. La asignatura optativa de primer ciclo Ampliación de Ecuaciones Diferenciales es también recomendable para el alumno, y

resulta imprescindible haber cursado la asignatura troncal de segundo ciclo Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Funcional.

Las asignaturas optativas de segundo ciclo Ecuaciones en Derivadas Parciales de Evolución y Análisis Numérico de las Ecuaciones


264

Diferenciales constituyen continuaciones naturales de esta asignatura.

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









1. Conocer la clasificación de las EDP. Conocer el Método de Perron para el estudio del problema de exixtencia y unicidad de


265

solución clásica del problema de Dirichlet-Laplace.

2. Conocer la teoría de distribuciones, los espacios de Sobolev y las principales propiedades de éstos (teoremas de densidad y

prolongación, teoremas de inyección continua y compacta, teorema de trazas, espacios duales, etc).

3. Conocer el concepto de solución débil de problemas de contorno para ecuaciones elípticas de segundo y cuarto orden con

condiciones de contorno de tipo Dirichlet, Neumann, mixto y Fourier. Conocer resultados de existencia y unicidad de solución

débil para este tipo de problemas de contorno. Problemas de valores propios. Regularidad.

























4. OBJETIVOS

Esta asignatura optativa constituye una continuación de la asignatura troncal de cuarto curso Ecuaciones en Derivadas Parciales

y Análisis Funcional. En ella se lleva a cabo un estudio teórico de las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) lineales de tipo

elíptico de segundo y cuarto orden. Se amplian los conocimientos de la teoría clásica introducidos en la asignatura antes citada y

se hace un estudio más profundo de la teoría variacional para problemas elípticos (existencia y unicidad de solución débil,

regularidad, problemas de valores propios, ...).

5. Metodología:





266











DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: De media, cada semana dedicaremos dos horas y media de teoría y una hora y media bien a

problemas, a exposiciones de los propios alumnos o a trabajos en grupos reducidos.


Bloque I. Complementos a la teoría clásica de EDP.

Bloque II. Complementos sobre espacios de Sobolev.

Bolque III. Complementos sobre EDP elípticas.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Renardy, Michael. . An introduction to partial differential equations /Michael Renardy, Robert C. Rogers. . (1993.) . ISBN

0-387-97952-2 .



Jacques-Louis Lions. . (1985.) . ISBN 2-225-80523-7 .

- Mijailov, V. P. . Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales /V.P. Mijailov. . (1978.) .

- Gilbarg, David, . Elliptic partial differential equations of second order /David Gilbarg, Neil S. Trudinger. . Reprint of the 1998

edition. . (c2001.) . ISBN 3540411607 .

- Kufner, Alois. . Function Spaces /by Alois Kufner, Oldrich John and Svatopluk Fucík. . (1977.) .

- Casas Rentería, Eduardo. . Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales /Eduardo Casas Rentería. . (1992.) . ISBN

84-87412-75-0 .

- Necas, Jindrich. . Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques /Jindrich Necas ; [traduction franðcaise revisée

par J.Dhombres, M.Maillé et P.Robba] . (1967.) .

- Friedman, Avner. . Partial differential equations /Avner Friedman. . [Reprint. corr.] . (1983.) .

- John, Fritz, . Partial differential equations /John Fritz. . 4th ed. . (1982.) . ISBN 0-387-90609-6 .

- McOwen, Robert C. . Partial differential equations :methods and applications /Robert C. McOwen. . (1996.) . ISBN 0-13-121880-8

.


- Adams, Robert A. . Sobolev spaces /Robert A. Adams. . (1975.) . ISBN 0-12-044150-0 .


267

- Kesavan, S. . Topics in functional analysis and applications /S. Kesavan. . (1989.) . ISBN 0-470-21050-8 .

- Rektorys, Karel. . Variational methods in mathematics, science and engineering /Karel Rektorys ; [translated from the Czech by

Michael Basch] . (1977.) . ISBN 90-277-0488-0 .

8.2. Específica:

Bloque I:

- E.Casas Rentería, "Introducción a las Ecuaciones en Derivadas Parciales". Universidad de Cantabria, 1992.

- D. Gilbarg y N.S. Trudinger, "Elliptic partial differential equations of second order". Springer-Verlag, 1983.

- F. John, "Partial differential equations". Springer-Verlag, 1982.

- I. Peral Alonso, "Primer Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales". Addison Wesley/Universidad Autónoma de Madrid,

1995.

Bloque II:

- R. A. Adams, "Sobolev Spaces". Academic Press, New York, 1975.

- H.Brezis, "Análisis Funcional". Alianza Universidad Textos, Madrid, 1984.

- R. Dautray y J.L. Lions, "Analyse Mathématique et Calcul Numérique pour les Sciences et les Technique". Masson, 1985.

- A. Friedman, "Partial Differential Equations". Ed. Krieger Publ., New York, 1976.

- S. Kesavan, "Topics in Functional Analysis and Applications". John Wiley and Sons., Chichester, 1989.

- A. Kufner et al., "Function Spaces". Noordhoff International Publishing, Leyden, 1977.

- M. Renardy y R. C. Rogers, "An Introduction to Partial Differential Equations". Springer-Verlag, New York, 1993.

Bloque III.

- R. A. Adams, "Sobolev Spaces". Academic Press, New York, 1975.

- H.Brezis, "Análisis Funcional". Alianza Universidad Textos, Madrid, 1984.

- R. Dautray y J.L. Lions, "Analyse Mathématique et Calcul Numérique pour les Sciences et les Technique". Masson, 1985.

- S. Kesavan, "Topics in Functional Analysis and Applications". John Wiley and Sons., Chichester, 1989.

- R. McOwen, "Partial Differential Equations, Methods and Applications". Prentice Hall, New Jersey, 1996.

- V. P. Mijailov, "Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales". Ed. Mir, Moscú, 1978.

- J. Necas, "Les Méthodes Directes en Théorie des Equations Elliptiques". Masson, París, 1967.

- K. Rektorys, "Variational Methods in Mathematics". Science and Engineering, Reidel Publ., Dordrecht, 1977.

- M. Renardy y R. C. Rogers, "An Introduction to Partial Differential Equations". Springer-Verlag, New York, 1993.


- Dos pruebas intermedias de seguimiento.



- Examen final teórico-práctico.


La calificación final estará determinada por las notas obtenidas en las pruebas intermedias de seguimiento, así como el trabajo y

la participación del alumno durante el curso. Cuando esta calificación sea inferior a cinco, el alumno deberá realizar el examen

final teórico-práctico.



268


Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 28,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 1 y 2

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 1 y 2

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 3 y 4

4ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 3 y 4

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 4 y 5

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

7ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 5 y 6

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 6 y 7

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 7

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 8 y 9

11ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 9

12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 10 y 11

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 10 y 11

14ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 12 y 13

15ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 13


PARTE I: COMPLEMENTOS A LA TEORÍA CLÁSICA DE EDP.

Tema 1: Clasificación de las EDP. Características.

Tema 2: Principios del máximo. Resolución del problema de Dirichlet-Laplace: Método de Perron.

PARTE II: COMPLEMENTOS SOBRE ESPACIOS DE SOBOLEV.

Tema 3: Introducción a la teoría de las distribuciones.

Tema 4: Espacios de Sobolev. Primeras propiedades.

Tema 5: Teoremas de densidad y de prolongación.

Tema 6: Teoremas de inyección continua y compacta. Normas equivalentes.

Tema 7: Aplicación traza. Caracterización de $H^k_0(\Omega)$

Tema 8: El espacio $H^{-k}$.

PARTE III: COMPLEMENTOS SOBRE EDP ELÍPTICAS.


269

Tema 9: Formulación débil de problemas de contorno para ecuaciones lineales elípticas de 2º y 4º orden.

Tema 10: Existencia y unicidad de solución débil: Condiciones de contorno de tipo Dirichlet, Neumann, mixto y Fourier.

Tema 11: Principio del máximo. Unicidad de solución del problema de Dirichlet.

Tema 12: Regularidad de las soluciones débiles.

Tema 13: Problemas de valores propios. Descomposición espectral.


Participación en las clases de teoría y problemas. Participación en las exposiciones y en los seminarios. Asistencia a tutorías.




270


NOMBRE DE ASIGNATURA: Ampliación de la Teoría de la Medida





Nombre: Ampliación de la Teoría de la

Medida

Código: 650049








CARLOS PÉREZ MORENO Análisis Matemático [email protected]


1. DESCRIPTORES

Medidas de Radon. Diferenciación. Transformadas de Fourier.

2. SITUACIÓN


El plan de estudios vigente no establece prerrequisito alguno para cursar esta asignatura.


Asignatura optativa de segundo ciclo.


La recomendación más importante es haber cursado la asignatura Ampliación de la Teoría de Funciones de Varias Variables, obligatoria de

segundo curso.

Tendrán una mejor visión del curso aquellos alumnos que hayan cursado las siguientes asignaturas:

Teoría de la Medida de tercer curso, Análisis Funcional de cuarto curso y Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Funcional de cuarto

curso.


Puede atenderse a estudiantes extranjeros en lenga inglesa.


271

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes



Trabajo en equipo












4. OBJETIVOS

El objetivo principal del curso es el de usar nociones básicas de la teoría de la medida para estudiar algunas herramientas

centrales del análisis matemático.

Una de estas herramientas es la Transformada de Fourier por sus aplicaciones a las matemáticas puras como a las aplicadas

constituyendo uno de los ejes centrales del curso. Se hará especial énfasis en la aplicación a algunos operadores diferenciales

básicos de la física matemática: el de Laplace, de Schrödinger y del calor. Previamente se hará un repaso amplio de la teoría

clásica de las series de Fourier que motiva la introducción del concepto de transformada de Fourier.

Otra herramienta importante que se va a estudiar es el operador maximal de Hardy--Littlewood, que además de ser el operador

clave en la convergencia y en la teoría de diferenciación, es el operador que de alguna forma controla muchos otros operadores

que aparecen en Análisis. Este operador nos permite por ejemplo entender la convergencia al dato inicial de las soluciones al

problema de Dirichlet. Es de especial importancia la continuidad de estos operadores en los espacios de Lebesgue Lp y para ello

se probarán algunos resultados básicos de la teoría de la interpolación: como el teorema de interpolación de Marcinkiewicz.

Seguiremos con los espacios de Sobolev, íntimamente ligados a la regularidad de las soluciones de Ecuaciones de la Física

Matemática y nos permite hablar de funciones que tengan ``media derivada''. Probaremos algunos teoremas importantes como el


272

de Hardy-Littlewood-Sobolev. Como colofón del curso, se aplicarán los temas principales del curso a un tema de gran interés:

convergencia puntual de las soluciones de la ecuación de Schrödinger con respecto al dato inicial.

5. Metodología:

Se utilizará como referencia básica el libro ``Introduction to Fourier Analysis and Wavelets", Ed. Brooks/Cole, 2002, de M. A.

Pinsky (hay una introducción al castellano de la editorial

International. Thomson Editores (2003)). También se usará para buena parte del curso el libro ``Análisis Real", Ed. Univ. de

Barcelona, segunda Ed., de J. Cerdà. Con ello se pretende que el alumnado tenga referencias concretas para que las clases

teóricas puedan ser un complemento. Se procurará seguir las demostraciones y los ejemplos de estos libros. Se entregará

material fotocopiado con ejemplos o resultados que sean distintos a los que vengan en estas referencias.






• Actividades Académicas Dirigidas con presencia del profesor (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de

horas): 0,00 + 0,00 = 0,00





1. Algunas nociones básicas de la Teoría de la Medida.

2. Técnicas de Espacios Lp

3. Series de Fourier.

4. La transformada de fourier.

5. El problema de la convergencia: el operador maximal de Hardy-Littlewood.

6. Espacios de Sobolev.

7. La ecuación de Schrödinger

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Cerdá, Joan. . Análisis real /Joan Cerdá. . [2ª ed.] . (2000.) . ISBN 84-8338-169-9 .

- Pinsky, Mark A., . Introduction to Fourier analysis and wavelets /Mark A. Pinsky. . (2002.) . ISBN 0534376606 .

- Wheeden, Richard L. . Measure and integral :an introduction to real analysis /Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund. . (1977.) .

ISBN 0-8247-6499-4 .

8.2. Específica:

G.B. Folland: Real Analysis (modern techniques and their aplications), 2nd edition, Wiley Inter-Science, 1999.


273

W. Rudin: Análisis real y complejo, Alhambra, 1985.

E.M. Stein, y R. Shakarchi: Fourier analysis. Princeton University Press, 2003


La evaluación final se basará en las notas obtenidas en:

1) el examen final;

2) en los dos o tres exámenes tipo ``test'', que se realizarán durante la hora de clase en dias acordados previamente;

3) en la entrega de cierta cantidad de ejercicios resueltos que se propondrán a lo largo del curso y

4) en un trabajo que en principio no será obligatorio para subir nota que pueda demostrar cierta madurez matemática que quizás

no reflejen los exámenes.


El 50% de la nota del curso corresponderá a los test, ejercicios y trabajos desarrollados durante el curso y el otro 50%

corresponderá al examen final.


HORAS SEMANALES Teorí-a Prácticas

Actividades Académicas

Dirigidas con presencia

del profesor

Exámenes Temario


Nº total de horas 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


Tema 1: Algunas nociones básicas de Teoría de la Medida. La medida de Lebesgue. Medidas asociada a un funcional: La medida

de Radón.

Tema 2: ´Técnicas de espacios Lp. Desigualdades de Holder, Minkowski y Jensen. Propiedades de los espacios Lp. Convolución

y aproximaciones de la identidad.

Tema 3: Series de Fourier. Coeficientes y series de Fourier. Criterios de convergencia puntual. Convergencia en norma. Métodos

de sumabilidad.

Tema 4: La transformada de Fourier. Transformada de Fourier de una función de L1. Ejemplos y propiedades. La clase de

Schwartz de funciones. Teorema de Plancherel. Transformada de Fourier de una función de L2. Distribuciones temperadas y su

transformada de Fourier. Fórmula de sumación de Poisson. Aplicaciones: cálculo de la solución fundamental de los operadores

de Laplace, de Schrödinger, del calor y de ondas.

Tema 5: El problema de la convergencia: el operador maximal de Hardy--Littlewood. Teorema de diferenciación de Lebesgue y el

operador maximal de Hardy--Littlewood. Aplicaciones al problema de Dirichlet en el semiespacio superior y a la ecuación del

calor, núcleos de Poisson y de Gauss. El teorema de interpolación de Marcinkiewicz.

Tema 6: Espacios de Sobolev. Espacios de Sobolev. Teorema de inmersión de Sobolev.


274

Tema 7: La ecuaci\'on de Schrödinger. La ecuación de Schrödinger: convergencia puntual al dato inicial.


Se pretende que el alumno siga la asignatura con regularidad y para ello se propondrán dos o tres exámenes de tipo ``test''

distintos del examen final, con material muy básico que servirá de ayuda para la nota definitiva del curso. De igual forma, la

resolución y entrega de forma regular de ejercicios hará que los alumnos mantengan el deseado nivel de seguimiento.




275


NOMBRE DE ASIGNATURA: Ampliación de Variable Compleja





Nombre: Ampliación de Variable Compleja

Código: 650051








LUIS BERNAL GONZALEZ Análisis Matemático [email protected]


1. DESCRIPTORES

Espacios de funciones analíticas. Funciones especiales.

2. SITUACIÓN




Asignatura optativa de quinto curso.


Es conveniente haber cursado Variable Compleja y Análisis Funcional.

3. COMPETENCIAS







276


Referencia 1 2 3 4








Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Liderazgo








Asimiliación de las distintas convergencias en espacios de funciones analíticas, de la estructura de las funciones en estos

espacios y conocimiento de clases de funciones especiales.
















277




4. OBJETIVOS

El curso pretende dos objetivos. Por una parte, introducir al estudiante en el estudio de los diversos espacios de funciones

analíticas, y en especial del comportamiento en la frontera de dichas funciones cuando el dominio es el disco unidad. Por otra

parte, se presenta una introducción a algunas familias de funciones especiales (subarmónicas, elípticas, de Bessel, etc.), y

alguna de sus múltiples aplicaciones.

5. Metodología:

Se pretende que esta asignatura tenga una orientación formativa, más que informativa. De ello se deriva una fuerte implicación

del alumnado en el desarrollo de la misma. En particular, los estudiantes participarán en las clases teóricas y prácticas con la

resolución de problemas y cuestiones y con la complementación de la materia del curso manejando bibliografía adecuada. El

curso presenta un área donde interaccionan tres importantes campos del Análisis: la Variable Compleja, el Análisis Funcional y

la Teoría de Integración, donde la combinación de problemas clásicos con herramientas y conceptos modernos resulta muy

fructífera. En el curso se incide especialmente en las ideas y las técnicas que permiten abordar los problemas.

El profesor efectuará en cada tema una exposición general, que será completada con trabajo del alumnado, dirigido por el

primero.














DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Las diversas técnicas especificadas se desarrollarán uniformemente a lo largo del semestre, con

control continuo del trabajo del alumnado dentro del aula, y controles periódicos del trabajo asignado fuera de ella. Ello facilita

una motivación mayor del estudiante y una puesta al día permanente en los conocimientos que se imparten.


Compacidad y normalidad.

Funciones subarmónicas.


278

Espacios Bp de Bergman.

Espacios Hp de Hardy.

Funciones de Bessel.

Funciones elípticas.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Whittaker, E. T. (Edmund Taylor), . A course in modern analysis :an introduction to the general theory of infinite processes and

of analytic functions : with an account of the principal trancendental functions . 4th ed., repr. . (1996 (print. 2006)) . ISBN

9780521588072 .

- Watson, G. N. . A treatise on the theory of Bessel functions /by G. N. Watson. . [2nd ed., reprint] . (1996.) . ISBN 0-521-48391-3 .

- Rudin, Walter, . Análisis real y complejo /W. Rudin. . 3a ed. . (1987.) . ISBN 84-7615-192-6 .

- Hoffman, Kenneth. . Banach spaces of analytic functions /Kenneth Hoffman. . (2007.) . ISBN 0486458741 (pbk.) .

- Rey Pastor, Julio, . Funciones de Bessel: teoría matemática y aplicaciones a la ciencia y a la técnica /por J. Rey Pastor y A. de

Castro Brzezicki. . (1958.) .

- Koosis, Paul. . Introduction to Hp spaces, with an appendix on Wolff's proof of the corona theorem /Paul Koosis ; with two

appendices by V.P. Havin. . 2nd ed. corr. and augm. . (1998.) . ISBN 0-521-45521-9 .

- Markushevich, Alexei Ivánovich. . Teoría de las funciones analíticas /A. Markushevich. . 2a ed. . (1978.) .

- Duren, Peter L., . Theory of Hp spaces /Peter L. Duren. . (2000.) . ISBN 0486411842 .

- Zygmund, Antoni, . Trigonometric series /A. Zygmund ; with a foreword by Robert Fefferman. . 3rd ed. . (2002.) . ISBN

0521890535 .

8.2. Específica:

Para el Tema 1 y el Tema 2, los libros de Markushevich y Rudin. Para los Temas 3, 4 y 5, los libros de Rudin, de Duren, de

Koosis, de Hofffman, de Zigmund y de Whittaker-Watson. Para los Temas 6 y 8, el libro de Markushevich.

Para el Tema 7, los libros de Rey Pastor-Castro y de Watson.






La evaluacion se basará en la resolución de problemas a lo largo del curso, el desarrollo y exposición de un resultado teórico, y

la realización de una prueba al final del curso.



Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 28,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


279


Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 28,00 0,00 0,00 4,00 -

4ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

7ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

11ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

14ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

15ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


Tema 1: Espacios de funciones holomorfas. Compacidad y normalidad. Criterios de Montel y de Marty.

Tema 2: Funciones subarmónicas. Criterio del sub-valor medio. Aplicaciones.

Tema 3: Espacios de Bergman. Comparación de convergencias. Teorema de Farrell-Markushevich. Espacios de Bergman en el

disco unidad.

Tema 4: Funciones analíticas y acotadas en el disco. Productos de Blaschke. La clase de Nevanlinna.

Tema 5: Espacios de Hardy. Factorización. Valores frontera.

Tema 6: Las funciones Gamma de Euler-Gauss y Zeta de Riemann: Recapitulación.

Tema 7: Las funciones de Bessel. Orígenes físicos. Función generatriz. La ecuación diferencial de Bessel.

Tema 8: Funciones elípticas. La función P de Weierstrass. Funciones elípticas de Jacobi.


Para ayudar a seguir la asignatura, se podría recurrir a tutorías a través del correo electrónico del profesor y, en su caso, al uso

de su página web, aparte de las clases y tutorías presenciales.




280


NOMBRE DE ASIGNATURA: Análisis Numérico de las Ecuaciones Diferenciales





Nombre: Análisis Numérico de las

Ecuaciones Diferenciales

Código: 650052








FRANCISCO MANUEL GUILLEN GONZALEZ Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. módulo 31( 3ª planta) [email protected]


1. DESCRIPTORES

Aproximación numérica de ecuaciones diferenciales de tipo elípticas y parabólicas, mediante diferencias finitas y elementos

finitos. Finite Difference and Finite Element Methods for Elliptic and Parabolic Equations

2. SITUACIÓN




Se trata de una asignatura Optativa de Segundo Ciclo de la Licenciatura de Matemáticas que se imparte en el primer cuatrimestre de quinto

curso, que complementa por un lado a la asignatura troncal de 4º Curso "Cálculo Numérico III" (dedicada en parte al análisis numérico de

problemas de Cauchy y de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias), y por otro lado estudia desde el punto de vista del Análisis

Numérico algunos problemas de ecuaciones en derivadas parciales que son desarrollados teoricamente en la asignatura troncal de 4º Curso

"Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Funcional" y otras asignaturas optativas de la licenciatura de Matemáticas.


Para cursar esta asignatura, se recomienda haber cursado las asignaturas troncales de cuarto curso "Cálculo Numérico III" y "Ecuaciones

en Derivadas Parciales y Análisis Funcional".


281


Las que proporciona la propia Facultad.

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo










282

Conocer en profundidad los métodos de diferenciasd finitas y elementos finitos para la resolución de ecuaciones en derivadas

parciales.

Implemetación en el ordenador de dichos métodos. Análisis de resultados. Comprobación numérica de algunos de los

resultados teóricos.



- Resolución de modelos utilizando técnicas numéricas.






















4. OBJETIVOS

El objetivo de esta asignatura optativa de 5º curso de la licenciatura en Matemáticas, es la descripción, análisis numérico e

implementación práctica de métodos numéricos avanzados (diferencias finitas y elementos finitos) para ecuaciones en derivadas

parciales de tipo elíptico y parabólico.

5. Metodología:

a) Clases teóricas : Serán de asistencia voluntaria. En su desarrollo se impartirán los conceptos y resultados teóricos de la

asignatura, mostrándose su aplicación mediante ejemplos.

b) Clases de problemas : Serán de asistencia voluntaria. Se realizarán ejercicios que permitirán afianzar los conceptos teóricos

de la asignatura, así como su aplicación.

c) Clases de prácticas en aula de informática: Serán de asistencia obligatoria. En su desarrollo el profesor propondrá diferentes

proyectos (planteamiento de un problema diferencial relacionado con los temas estudiados en las clases teóricas, ideas sobre

su estudio analítico, estudio numérico, resolución numérica con un programa de ordenador e interpretación de resultados), que

los alumnos deben de realizar con la ayuda guiada del profesor.


283

d) Tutorías personalizadas: Al comienzo del curso académico, el profesor publicará el horario de tutorías. En ellas el alumno

podrá plantear las dudas que considere necesarias, correspondientes a los contenidos, tanto teóricos como de problemas y de

prácticas en el aula de informática.











OTRAS: - Sesiones prácticas en el aula de informática, haciendo programas con ayuda de un Software tipo MATLAB o tipo

FREEFEM++. - Trabajo en grupos reducidos.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Las clases teóricas y de problemas serán repartidas aproximadamente en una proporción 3/1. Para la

teoría se utilizará fundamentalmente clases magistrales, la parte correspondiente a los problemas consistirá en la propuesta por

parte del profesor de diversos tipos de problemas que deberán ser resueltos por los alumnos, utilizando la bibliografía

propuesta y bajo la guia del profesor. En las clases prácticas en aula de informática, de forma interactiva se enseñara la

utilización de los programas a nivel usuario y de programación genérica en el caso de MATLAB y de programación especifica

de Elementos Finitos en el caso de FREEFEM++. Las tutorías especializadas se llevarán a cabo en las horas previamente fijadas

para ello. Su ritmo estará fijado por cada alumno que a ellas asista. Se realizará un ezámen de 2 horas al final de cada uno de

los 3 bloques temáticos


Aproximación de problemas de contorno para problemas diferenciales elípticos mediante diferencias finitas.

Aproximación variacional de problemas de contorno elípticos: El método de los elementos finitos.

Resolución numérica de problemas parabólicos: Semidiscretización en tiempo por Diferencias Finitas y en espacio por

Elementos Finitos.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Nakamura, Shoichiro. . Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB /Shoichiro Nakamura ; traducción, Roberto

Escalona García, revisión técnica, Raimundo Hugo Rangel Gutiérrez. . (1997.) . ISBN 968-880-860-1 .

- Brézis, H. . Analyse fonctionnelle :théorie et applications /Haèim Brezi ; ouvrage publié sous la direction de P. G. Ciarlet et J. L.

Lions. . Nouvelle. présentation. . (c2005.) . ISBN 2100493361 .


ISBN 2225815348 .



284

ISBN 2225815348 .

- Moreno González, Carlos. . Cálculo numérico II :métodos numéricos de resolución de ecuaciones en derivadas parciales /Carlos

Moreno González. . 1 ed., 1 reimp. . (2000.) . ISBN 8436240545 .

- Ern, Alexandre. . Eléments finis :théorie, applications, mise en oeuvre /Alexandre Ern, Jean-Luc Guermond. . (2002.) . ISBN

3540426159 .

- Lucquin, Brigitte. . Equations aux derivées partielles et leurs approximations /Brigitte Lucquin. . (op.2004.) . ISBN

2-7298-1866-9 .

- LeVeque, Randall J., . Finite difference methods for ordinary and partial differential equations :steady-state and time-dependent

problems /Randall J. LeVeque. . (c2007.) . ISBN 9780898716290 (alk. paper) .

- Raviart, Pierre-Arnaud, . Introduction áa l'analyse numérique des équations aux dérivées partielles /P.A. Raviart, J.M. Thomas. .

3e tir. . (1992.) . ISBN 2-225-75670-8 .

- Danaila, Ionut. . Introduction au calcul scientifique par la pratique :12 projets résolus avec MATLAB / Ionut Danaila ... [et.al.] .

(2005.) . ISBN 2-10-048709-4 .

- Lucquin, Brigitte. . Introduction to scientific computing /Brigitte Lucquin and Olivier Pironneau. . (c1998.) . ISBN 0471979341

(PPC) .

- Mathews, John H. . Métodos numéricos con MATLAB /John H. Mathews, Kurtis D. Fink ; traducción, Pedro José Paúl Escolano ;

revisión técnica, Antonio Fernández Carrión, Manuel Contreras Márquez. . 3a ed., reimp. . (2004.) . ISBN 8483221810 .

- Quarteroni, Alfio. . Numerical approximation of partial differential equations /Alfio Quarteroni, Alberto Valli. . (cop. 1994.) .

ISBN 3540571116 .

- Quarteroni, Alfio. . Numerical mathematics /Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri. . 2nd ed. . (c2007 [i.e. 2006]) .

ISBN 9783540346586 .

- Cheney, Ward. . Numerical mathematics and computing /Ward Cheney, David Kincaid. . 4th. ed. . (1999.) . ISBN 0-534-35184-0 .

- Larsson, Stig. . Partial differential equations with numerical methods /Stig Larsson, Vidar Thomée. . (c2003.) . ISBN

3540017720 (alk. paper) .

- Euvrard, Daniel. . Résolution numérique des équations aux dérivées partielles de la physique, de la mécanique et des sciences

de l'ingénieur :différences finies, éléments finis, probláemes en domaine no borné . 3e ed. ref. et comp. . (1994.) . ISBN

2225845093 .

- Mitchell, A. R. . The finite difference method in partial differential equations /A. R. Mitchell, D. F. Griffiths. . (1985.) . ISBN

0-471-27641-3 .

- Ciarlet, Philippe G. . The finite element method for elliptic problems /Philippe G. Ciarlet. . 2 nd. reprint. . (1987.) . ISBN

0-444-86016-9 .

- Brenner, Susanne C. . The mathematical theory of finite element methods /Susanne C. Brenner, L. Ridgway Scott. . 2nd ed. .

(2002.) . ISBN 0387954511 .

8.2. Específica:

- S. Brenner y R. Scoot, "The Mathematical Theory of Finite Element Methods". Springer, 2002.

- A. Ern, J.L. Guermond,."Eléments finis: Théorie, applications, mise en oeuvre". Springer, New York , 2002..

- B. Lucquin,."Equations aux dérivées partielles et leurs approximations". Ellipses, 2004.

- B. Lucquin y O. Pironneau, "Introduction au calcul scientifique". Masson, 1996.

- C. Moreno González, "Cálculo Numérico II". UNED, Madrid, 2000

- A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, "Numerical Mathematics". Springer-Verlag, 2000.


- Exámenes teórico-prácticos.




La evaluación de la parte teórica constará de 3 exámenes teórico-prácticos y partición activa en las sesiones académicas,


285

computando un 65% de la nota final.

La evaluación de la parte de prácticas en el aula de informática, consta de los trabajos desarrollados durante el curso y partición

activa en las sesiones académicas, computando un 35% de la nota final.

Para aprobar la asignatura es necesario aprobar ambas partes por separado.





Nº total de horas 28,00 70,00 23,00 57,50 6,00 9,00 0,00 17,50 6,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema1

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema1

3ªSemana 2,00 5,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema1

4ªSemana 0,00 0,00 1,00 2,50 2,00 3,00 0,00 0,00 0,00 Tema1

5ªSemana 2,00 5,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,00 Tema1/Tema2

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema2

7ªSemana 2,00 5,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema2

8ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema2

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema2

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,00 Tema2/Tema3

11ªSemana 1,00 2,50 0,00 0,00 2,00 3,00 0,00 0,00 0,00 Tema3

12ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema3

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema3

14ªSemana 0,00 0,00 4,00 10,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema3

15ªSemana 0,00 0,00 1,00 2,50 2,00 3,00 0,00 0,00 2,00 Tema3


Tema 1 : Aproximación de problemas de contorno elípticos por diferencias finitas.

Introducción a la ecuaciones en derivadas parciales. Clasificación y tipo de condiciones de contorno. Algunos resultados sobre

soluciones clásicas de problemas de contorno de tipo elíptico. Existencia, unicidad, principio del máximo.

Deducción de esquemas de tipo diferencias finitas en una y dos dimensiones. Existencia y unicidad de solución para el problema

discreto. Principio del m\'aximo discreto. Acotación $L^\infty$ de la solución discreta.

Análisis de convergencia (estabilidad, orden y consistencia).

Tema 2 : Aproximación variacional de los problemas de contorno elípticos: El método de los elementos finitos.

Aproximación interna de problemas elípticos. Lema de Céa. Aplicación a problemas elípticos de segundo (y cuarto) orden.

Aproximación interna de H¹(Omega): Elementos finitos de Lagrange.

Resultados de aproximación en los espacios de Sobolev: Teoría de la interpolación. El teorema de Bramble-Hilbert. Estimaciones

del error de interpolación en los elementos finitos.

Estimaciones de error en espacios de Sobolev. Argumento de dualidad.

Tema 3 : Resolución numérica de problemas parabólicos.

Semiaproximación en tiempo de problemas parabólicos por diferencias finitas. Estabilidad. Estimaciones de error.

Aproximación total: esquemas en elementos finitos para la variable espacial. Análisis de la estabilidad. Estimaciones de error.

Aplicación a ecuaciones de difusión del calor, de difusión reacción y de difusión convección.


286


El seguimiento se hace a través de los exámenes y los trabajos en grupos reducidos al final de cada tema, así como las prácticas

de laboratorio, que se desarrollan al menos una por cada tema.




287


NOMBRE DE ASIGNATURA: Análisis Numérico y Optimización





Nombre: Análisis Numérico y Optimización

Código: 650053








MARIA ANGELES RODRIGUEZ BELLIDO Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. Módulo 31 (3ª Planta) [email protected]

MANUEL GONZALEZ BURGOS Ecuaciones Diferenciales y Análisis Num. módulo 31 (3ª planta) [email protected]


1. DESCRIPTORES

Control óptimo y aplicaciones. Aproximación numérica de problemas de optimización.

2. SITUACIÓN




Es una asignatura optativa de quinto curso de la Licenciatura. Está orientada a los alumnos cuyo interés sean los problemas de optimización

y las ecuaciones diferenciales.


Aunque no es requisito previo, es muy beneficioso para el alumno haber cursado las siguientes asiganturas: "Análisis funcional y

optimización" (optativa de cuarto curso) porque presenta los resultados teóricos sobre los que se basa esta asignatura. "Ecuaciones en

derivadas parciales y análisis funcional" (troncal de cuarto curso) que proporciona la información necesaria para el tratamiento de las

ecuaciones en derivadas parciales. "Ampliación de cálculo numérico" (optativa de tercer curso) ya que muestra el modo de implementar en el

ordenador modelos a través de un lenguaje programación. "Análisis numérico de las ecuaciones diferenciales" (optativa de quinto curso) que

proporciona herramientas de Análisis Numérico adecuadas a los problemas que se encuentran en esta asignatura.


288

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo










Liderazgo








El objetivo es que el alumno conozca las principales técnicas del análisis numérico para resolver de manera práctica problemas

de optimización. Para ello, aprenderá a hacer un estudio previo teórico del problema para posteriormente resolverlo

numéricamente. También estudiará problemas sencillos de control óptimo.





289
















4. OBJETIVOS

El objetivo de la asignatura es presentar métodos teóricos y numéricos para resolver problemas de mínimos (optimización) de

funcionales definidos sobre espacios finito o infinito dimensionales.

5. Metodología:

Las cuatro horas semanales de clases se imparten entre el aula y el laboratorio de informática en una proporción 2/1,

atendiendo al número de créditos.

Para comenzar, en las clases de teoría se hace un repaso de conocimientos previos de análisis funcional necesarios a lo largo

del curso, mientras que en las de laboratorio, recordamos el manejo del sistema operativo Linux y del lenguaje de

programación Fortran.

Los conocimientos teóricos se explican combinando clases magistrales, exposiciones de los alumnos y trabajos de aplicación.

Los prácticos, se obtendrán mediante la elaboración de programas informáticos por parte del alumno.

Asimismo, se contemplan tutorías personalizadas. En ellas, el alumno podrá plantear las dudas correspondientes a los

contenidos de la asignatura que considere necesario.

Los conocimientos adquiridos se aplican en un trabajo final, o varios, si el alumno quiere obtener mejor calificación.












290




DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Se intenta hacer una diversificación en la enseñanza atendiendo a los distintos niveles de formación

que traen los alumnos. Aquellos que han cursado las asignaturas mencionadas en el apartado "Recomendaciones" están

capacitados para entrar antes en el campo práctico de la asignatura que los otros. Por otro lado, al ser una asignatura del último

curso de la Licenciatura, no todos los alumnos tienen las mismas perspectivas. Mientras unos pretenden acabar sin más, otros

están interesados en conocimientos más profundos sobre la materia. Por estas razones se plantean trabajos a distintos niveles

y en distinto número.


Conocimientos teóricos sobre problemas de optimización.

Métodos numéricos aplicables a problemas de optimización.

Conocimientos básicos sobre un sistema operativo (Linux) y sobre un lenguaje de programación.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Polak, E. (Elijah), . Computational methods in optimization :a unified approach /E. Polak. . 2nd print. . (1972.) .

- Craven, Bruce Desmond. . Control and optimization /B.D. Craven. . (1995.) . ISBN 0-412-55890-4 .

- Lions, Jacques Louis. . Contrôle optimal de systémes gouvernés par des équations aux dérivées partielles /J. L. Lions. . (1968.)

.

- Ekeland, Ivar, . Convex analysis and variational problems /Ivar Ekeland, Roger Témam. . (1999.) . ISBN 0-89871-450-8 .

- Ciarlet, Philippe G. . Exercices d'analyse numérique matricielle et d'optimisation :avec solutions /P.G. Ciarlet, B. Miara, J.-M.

Thomas. . 2e éd. . (1987.) . ISBN 2225810273 .

- Girault, Vivette, . Finite element approximation of the Navier-Stokes equations /Vivette Girault, Pierre-Arnaud Raviart. . (1979.) .

ISBN 3-540-09557-8 .

- Márquez Díez Canedo, Javier. . Fundamentos de teoría de optimización /Javier Márquez Díez-Canedo. . (1987.) . ISBN

968-18-1991-8 .

- Ciarlet, Philippe G. . Introducción á análise numérica matricial e á optimización /P.G. Ciarlet. . (1999.) . ISBN 84-8121-748-4 .

- Luenberger, David G., . Introduction to linear and nonlinear programming /David G. Luenberger. . (1973.) .

- Barnett, Stephen. . Introduction to mathematical control theory /Stephen Barnett. . (1975.) . ISBN 0-19-859619-7 .

- Gumowski, Igor. . L'optimisation :la théorie et ses probláemes /I. Gumowski, C. Mira. . (1970.) .

- Nocedal, Jorge. . Numerical optimization /Jorge Nocedal, Stephen J. Wright. . 2nd ed. . (c2006.) . ISBN 0387303030 (hd.bd.) .

- Cea, Jean, . Optimisation :théorie et algorithmes /Jean Cea. . (1971.) .

- Fletcher, R. (Roger) . Practical methods of optimization /R. Fletcher. . (1980-1981.) . ISBN 0-471-27828-9 .

8.2. Específica:

Tema 1:

Céa, Ciarlet, Márquez Diez-Canedo.

Tema 2:

Ciarlet, Fletcher, Polak

Tema 3 :


291

Ciarlet, Girault-Raviart, Ekeland-Temam.

Tema 4:

Barnett,Lions, Luenberger, Polak.



Trabajos de prácticas.


Se hará una prueba por cada tema: tipo examen, exposición en clase o presentación de ejercicios y al menos, un trabajo final

teórico-práctico. La nota final se obtiene de una media ponderada de todo ello, en función de la dificultad de cada prueba.



Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 28,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

4ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

7ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

11ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

14ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

15ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4


Programa de teoría.

Tema 1: Resumen de resultados previos.

Derivabilidad Gâteaux y Fréchet. Regla de la cadena. Teorema de la función implícita. Fórmula de Taylor. Derivación y

convexidad. Minimización de funcionales: Extremos de un funcional. Extremos condicionados. Extremos de funciones reales y

convexidad.


292

Tema 2: Problemas sin restricciones

Métodos de tipo gradiente. Métodos de tipo gradiente conjugado. Aplicaciones.

Tema 3: Problemas con restricciones.

Algoritmo del gradiente con proyección. Algoritmo de penalización. Métodos de dualidad. Puntos de silla. Problema dual. Método

de Uzawa. Aplicaciones.

Tema 4: Control de sistemas lineales gobernados por ecuaciones diferenciales ordinarias sencillas.

Planteamiento de un problema de control. Control de sistemas gobernados por ecuaciones diferenciales ordinarias. Control de

sistemas gobernados por ecuaciones en derivadas parciales elípticas.

Programa de Prácticas.

Se realizan programas en lenguaje Fortran y con sistema operativo Linux, que implementarán algoritmos explicados en las clases

de teoría. Se contemplan aplicaciones a la resolución de problemas en derivadas parciales semilineales y a problemas de control.

Para abordarlos se explicarán métodos de discretización adecuados (diferencias finitas, elementos finitos P1-Lagrange).


Realización de problemas en clase por parte de los alumnos. Trabajo de los alumnos en el aula de informática.




293


NOMBRE DE ASIGNATURA: (Co) Homología Singular





Nombre: (Co) Homología Singular

Código: 650046






rafael ayala gómez geometría y topología [email protected]


1. DESCRIPTORES

homologia singular, cohomologia simplicial , cup producto, anillo de cohomologia, CW-complejos , homologia celular, variedades

topologicas, dualidad

2. SITUACIÓN


Esta asignatura es una prolongación natural de "Elementos de Homología Clásica", asignatura troncal de 4º curso. Se supone , por tanto ,

que los alumnos que la escojan tienen un nivel sufuciente de manejo de las técnicas y resultados desarrollados en ella, ya que serán

profusamente utilizados a lo largo del curso.


Asignatura optativa de 5º curso (cuatrimestre 1º)


Para seguir esta asignatura, es imprescindible haber cursado las siguientes: Elementos de homologia clásica" (4º curso), Variedades

Diferenciables (4º curso) . Es altamente recomendable haber cursado Estructuras Algebraicas (4º curso)

3. COMPETENCIAS






294



Referencia 1 2 3 4









diferentes fuentes








4. OBJETIVOS

Obtener una formación básica en Topología Algebraica.

5. Metodología:

En las clases de teoría se expondrán las nociones y resultados principales de cada tema, quedando como tarea de los alumnos

la completación de las demostraciones y ejemplos. Se resolverán algunos ejercicios y se asignarán otros a cada alumno para

que en el plazo fijado los resuelva en la pizarra










Tema 1. Complejo de cadenas singulares y módulos de homología singular asociados a un espacio toplológicos. Invariancia

homotópica y propiedades.


295

Tema 2. CW-complejos. Módulos de homología celular e isomorfismo con la homología singular. Algunos cálculos.

Tema 3. Ampliación de álgebra homológica. Módulos de cohomología singular asociados a un espacio topológico. Producto

"cup" y "cap". Anillo de cohomología.

Tema 4. Variedades topológicas: orientación y teorema de dualidad. Consecuencias.

Tema 5. Producto exterior en (co)homología y fórmula de Künneth. Teorema de coeficientes universales.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Hilton, Peter John. . A course in homological algebra /P. J. Hilton, U. Stammbach. . (New York [etc.]Springer-Verlag) . ISBN

3-540-90033-0 .

- Spanier, E. . Algebraic Topology . Springer Verlag, 1982 .

- Hatcher, Allen. . Algebraic topology /Allen Hatcher. . (Cambridge [etc.]Cambridge Univ) . ISBN 0521795400 .

- Maunder, C. R. F. . Algebraic topology /C. R. F. Maunder. . (New YorkDover,1996.) . ISBN 0-486-69131-4 .

- Greenberg, M.; Harper, J. . Algebraic Topology: a first course . Addison Wesley, 1981 .

- Rotman, J. . An introduction to Algebraic Topology . Springer Verlag GTM 119, 1988 .

- Fritsch, R.; Piccinini, R. . Cellular structures in Topology . Cambridge Univ. Press, 1990 .

- Munkres, J. . Elements of Algebraic Topology . Addison Wesley, 1984 .

- Dol, A. . Lectures on Algebraic Topology . Springer Verlag, 1972 .

- Massey, W. . Singular Homology Theory . Springer Verlag, 1980 .

- Bredon, G. . Topology and Geometry . Springer, GTM 139, 1993 .



La calificación final de la asignatura se obtendrá sumando el 20% de la puntuación alcanzada en las actividades realizadas en

clase y el 80% de la nota obtenida en el examen final, que consistirá en resolver algunos problemas.

No obstante a lo largo del curso se realizarán, aproximadamente, cada tres semanas, exámenes de problemas. Como en el caso

del examen final la nota media alcanzada en ellos aportará el 80% de la calificación final. Para que la puntuación media alcanzada

en dichos exámenes de problemas sea tenida en cuenta, será requisito indispensable (y no se admitirá ninguna excepción) haber

asistido, al menos, al 85% de las clases.




Nº total de horas 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -




296


NOMBRE DE ASIGNATURA: Curvas Algebraicas y Analíticas





Nombre: Curvas Algebraicas y Analíticas

Código: 650054








JOSE LUIS VICENTE CORDOBA Algebra [email protected]


1. DESCRIPTORES

Teoría local. Geometría birracional. Singularidades.

Local Theory. Birational Geometry. Singularities

2. SITUACIÓN




Materia optativa de quinto curso de Licenciatura en Matemáticas. Capacita a los egresados para el razonamiento geométrico dentro del

marco de la teoría clásica de curvas algebraicas en el plano proyectivo complejo (finales del siglo XIX y primera mitad del XX).


Asignaturas aprobadas: cualquiera que contenga la Geometría Proyectiva lineal (Ampliación de Geometría en segundo curso dentro del plan

vigente) Puede ser (aunque no necesariamente) requisito previo a cualquier asignatura de Geometría Algebraica por suministrar los ejemplos

más naturales de teorías más generales. Son asignaturas afines cualesquiera de Geometría Algebraica y Teoría de funciones de varias

variables complejas.


297

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético






Liderazgo









Se trata del estudio clásico de la teoría de curvas algebraicas en el plano proyectivo, haciéndolo efectivo mediante

procedimientos de cálculo diseñados teóricamente e implementables en sistemas de cálculo simbólico.


298



























4. OBJETIVOS

El objetivo principal de la asignatura es recuperar la teoría clásica de curvas proyectivas, utilizando los recursos del álgebra

conmutativa.

5. Metodología:











299




OTRAS: - Trabajo en grupos reducidos.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: En media se dan cuatro horas de sesiones teórico-prácticas y se dan semanalmente dos hojas de

ejercicios para resolver en grupo, aunque con datos individualizados.


Curvas planas. Haces de cónicas y de cúbicas. Resolución de singularidades de curvas planas por transformaciones

cremonianas. Geometría birracional. Teorema de Riemann-Roch.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Clemens . A scrapbook on complex-curve theory . (1.980) .

- Walker . Algebraic curves . (1.962) .

- Semple-Roth . Algebraic Geometry . (1.949) .

- Löffler . Ebene algebraische Kurven . (1.920) .

- Jäger . Ein Softwarepaket for die algebraische, pojektive Geometrie in Maple . (1.992) .

- Brieskorn, Egbert. . Plane algebraic curves /Egbert Brieskorn, Horst Knèorrer ; translated from the German by John Stillwell. .

(1986.) . ISBN 3764317698 .




o bien

Examen final


- Trabajos desarrollado durante el curso: 60%

- Participación en las sesiones académicas: 40%

o bien

Esxamen final 100%



Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 28,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


300


Seminarios

Trabajo en

grupos

reducidos

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 28,00 0,00 0,00 4,00 -

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

4ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

7ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

11ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

14ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

15ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


Tema 1: Curvas planas. Componentes. Intersección de curva y recta. Puntos singulares.

Tema 2: Intersección de dos curvas planas. Teorema de Bézout y sus consecuencias. Teorema AF+BG de Nöether. Clase. Anillos

de intersección.

Tema 3: Haces de cónicas. Clasificación. Teorema de Albert. Redes homaloidicas. Transformaciones cremonianas.

Tema 4: Haces de cúbicas. Puntos de inflexión. Ley de grupo.

Tema 5: Resolución de singularidades de curvas planas por transformaciones cremonianas. Teorema de Puiseux. Explosiones.

Resolución sumergida.


Revisión de los resultados por el profesor y encuestas a los alumnos.




301


NOMBRE DE ASIGNATURA: Ecuaciones en Derivadas Parciales de Evolución





Nombre: Ecuaciones en Derivadas

Parciales de Evolución

Código: 650055








José Real Anguas Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico módulo 33 (3ª planta) [email protected]


1. DESCRIPTORES

Ecuaciones en derivadas parciales de evolución. Aplicaciones.

2. SITUACIÓN




La asignatura es optativa y se imparte en el segundo cuatrimestre del quinto año de la Licenciatura en Matemáticas. Consta de 6 créditos.

Como asignatura optativa de último año es importante sobre todo para los egresados que en su vida profesional vayan a tener que tratar con

ecuaciones en derivadas parciales.

Para los demás también tiene un importante contenido formativo complementario.


Se recomienda haber cursado las asignaturas troncales y obligatorias de primer y segundo ciclo siguientes: Análisis Matemático I y II,

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Elementos de Análisis Matemático, Ampliación de la Teoría de Funciones de Varias Variables, Variable

Compleja y Análisis de Fourier y Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Funcional. La asignatura optativa de segundo ciclo Ampliación

de Ecuaciones en Derivadas Parciales es muy recomendable para el alumno. La asignatura optativa de segundo ciclo Análisis Numérico de las


302

Ecuaciones Diferenciales constituye un complemento natural de esta asignatura.

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









Teoría clásica del Problema de Cauchy para la ecuación del calor y de ondas en varias dimensiones espaciales.


303

Método variacional para estudiar la existencia y unicidad de soluciones débiles de los problemas de contorno para las

ecuaciones en derivadas parciales de evolución. Introducción a la teoría de semigrupos para el estudio de estos problemas.




















4. OBJETIVOS

En esta asignatura se lleva a cabo un estudio teórico de las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) lineales de tipo parabólico

e hiperbólico de segundo orden. Se amplían los conocimientos de la teoría clásica introducidos en la asignatura troncal

Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Funcional, mediante el estudio del problema de Cauchy para las ecuaciones del

calor y de ondas en varias dimensiones espaciales. Por otra parte, se introducen la teoría variacional y la teoría de semigrupos

para el estudio de la existencia y unicidad de solución débil de problemas de contorno para las ecuaciones en derivadas

parciales de evolución.

5. Metodología:










304




DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Cada semana se impartirán 3 o 2 horas de teoría y 1 de problemas.Las semanas que se impartan dos

horas de teoría se impartirá una hora adicional de seminario y exposiciones.Las últimas semanas se ampliará a 2 horas las

clases de problemas.La última semana no se dará clase de teoría con el fin de dejar a los estudiantes un margen para la

asimilación de los resultados expuestos y el plantemiento de dudas.


1: Complementos a la teoría clásica de EDP de evolución.

2: Problemas de contorno: método variacional.

3: Introducción a la Teoría de semigrupos.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Bitsadze, A. V. . A collection of problems on the equations of mathematical physics /A.V. Bitsadze, D.F. Kalinichenko. . [2nd

print.] . (1983.) .

- Renardy, Michael. . An introduction to partial differential equations /Michael Renardy, Robert C. Rogers. . (1993.) . ISBN

0-387-97952-2 .

- Brézis, Haïm. . Análisis funcional: teoría y aplicaciones /Haèim Brézis. . (1984.) . ISBN 84-206-8088-5 .


Jacques-Louis Lions. . (1985.) . ISBN 2-225-80513-X .

- Mijailov, V. P. . Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales /V.P. Mijailov. . (1978.) .

- Tanabe . Equations of Evolution, Monographs and Studies in Mathematics, 6. Pitman, Boston, Mass.-London . (1979) .

- Kufner, Alois. . Function Spaces . (1977.) .

- Casas Rentería, Eduardo. . Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales /Eduardo Casas Rentería. . (1992.) . ISBN

84-87412-75-0 .

- Friedman, Avner. . Partial differential equations /Avner Friedman. . (1976.) . ISBN 088275405X .

- John, Fritz, . Partial differential equations /John Fritz. . 4th ed. . (1982.) . ISBN 0-387-90609-6 .

- Evans, Lawrence C. . Partial differential equations /Lawrence C. Evans. . (1998.) . ISBN 0-8218-0772-2 .

- McOwen, Robert C. . Partial differential equations :methods and applications /Robert C. McOwen. . (1996.) . ISBN 0-13-121880-8

.


- Vladimirov . Recueil de problèmes d'équations de physique mathématique /Sous la direction de V. Vladimirov. . (1976.) .

- Pazy, A. . Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations /A. Pazy. . (1983.) .

- Adams, Robert A. . Sobolev spaces /Robert A. Adams. . (1975.) . ISBN 0-12-044150-0 .

- Kesavan, S. . Topics in functional analysis and applications /S. Kesavan. . (1989.) . ISBN 0-470-21050-8 .

- Rektorys, Karel. . Variational methods in mathematics, science and engineering /Karel Rektorys ; [translated from the Czech by

Michael Basch] . (1977.) . ISBN 90-277-0488-0 .

8.2. Específica:

La parte I puede seguirse en:

L. C. Evans, "Partial differential equations", Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, 1998 (Capítulo 2),

I. Peral Alonso, "Primer Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales", Addison Wesley/Universidad Autónoma de Madrid, 1995


305

(Capítulos 4 y 6)

F. John, "Partial Differential Equations", Fourth Edition. Springer-Verlag. New York, 1982 (Capítulos 5 y 7).

Véase también E. Casas Rentería, "Introducción a las Ecuaciones en Derivadas Parciales", Universidad de Cantabria, Santander,

1992, que trata el problema de Cauchy de un modo más avanzado, usando la transformada de Fourier (ver S. Kesavan, "Topics

in Functional Analysis and Applications", John Wiley and Sons. Chichester, 1989).

La parte II puede seguirse en:

el tomo 3 de R. Dautray y J.L. Lions, "Analyse Mathématique et Calcul Numérique pour les Sciences et les Techniques", Ed.

Masson, París, 1985

y en las referencias:

E. Casas Rentería, "Introducción a las Ecuaciones en Derivadas Parciales", Universidad de Cantabria, Santander, 1992

L. C. Evans, "Partial differential equations", Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, 1998

R. McOwen, "Partial Differential Equations, Methods and Applications", Prentice Hall, New Jersey, 1996

K. Rektorys, "Variational Methods in Mathematics", Science and Engineering, Reidel Publ., Dordrecht, 1977

M. Renardy y R. C. Rogers, "An Introduction to Partial Differential Equations", Springer-Verlag, New York, 1993.

La parte III puede seguirse en:

H. Brezis, "Análisis Funcional", Alianza Universidad Textos, Madrid, 1984 (Capítulos 7 y 10),

S. Kesavan, "Topics in Functional Analysis and Applications", John Wiley and Sons. Chichester, 1989 (capítulo 4).

El primero se centra en la teoría de semigrupos en espacios de Hilbert. El segundo, más general, nos introduce en el estudio de

la teoría de semigrupos en espacios de Banach.

Para un estudio más profundo y detallado de la teoría de semigrupos se puede utilizar las siguientes referencias:

A. Pazy, "Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations", Applied Mathematical Sciences 44,

Springer-Verlag, New York, 1983.

H. Tanabe, "Equations of Evolution", Ed. Pitman. Londres, 1979.

8.3. Observaciones:


http://www.departamento.us.es/edan/, http://www.centro.us.es/fmate/



306






A lo largo del cuatrimestre se realizarán pruebas intermedias voluntarias de carácter teórico y práctico. Para aprobar la

asignatura, será necesario que los alumnos superen, o bien todas las pruebas intermedias, o bien, un examen teórico-práctico en

una de las convocatorias oficiales. Los alumnos que lo deseen podrán desarrollar en clase, previo acuerdo con el profesor

responsable de la asignatura, alguna cuestión teórica o práctica, que será tenida en cuenta en la evaluación final de la asignatura.




Trabajo de



Nº total de horas 32,00 80,00 22,00 44,00 6,00 6,00 0,00 26,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema1

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

4ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 2 y 3

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

7ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 4 y 5

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

11ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 6 y 7

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 6 y 7

14ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 6 y 7

15ªSemana 0,00 0,00 4,00 8,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Temas 6 y 7


PARTE I: COMPLEMENTOS A LA TEORÍA CLÁSICA DE EDP DE EVOLUCIÓN.

Tema 1. El Problema de Cauchy para la ecuación del calor. Solución fundamental. El principio del máximo. El problema no

homogéneo. Soluciones no negativas.

Tema 2. El Problema de Cauchy para la ecuación de ondas. Método de las medias esféricas. Método de descenso de Hadamard.

La ecuación no homogénea. Energía y unicidad. Dependencia de la ecuación de ondas de la dimensión del espacio.

PARTE II: SOLUCIONES DÉBILES DE EDP DE EVOLUCIÓN. MÉTODO VARIACIONAL.


307

Tema 3. Distribuciones vectoriales. El espacio W(a; b; V; V' ). Fórmula de integración por partes.

Tema 4. Problemas parabólicos: Problemas abstractos. Métodos de Galerkin y de Fourier. Existencia y unicidad de solución débil.

Ejemplos de aplicación: Problemas de Dirichlet y de Neumann. Principio del máximo.

Tema 5: Problemas hiperbólicos: Problemas abstractos. Métodos de Galerkin y de Fourier. Existencia y unicidad de solución

débil. Ejemplos de aplicación: Problemas de Dirichlet y de Neumann.

PARTE III: INTRODUCIÓN A LA TEORÍA DE SEMIGRUPOS. EL TEOREMA DE HILLE-YOSIDA.

Tema 6. El Teorema de Hille-Yosida: Operadores maximales monótonos. Existencia, unicidad y regularidad de soluciones del

problema de evolución. Caso autoadjunto. La ecuación no homogénea.

Tema 7. Aplicaciones. Ecuación del calor: existencia, unicidad y regularidad de soluciones. Principio del máximo. Ecuación de

ondas


Pruebas intermedias al final de cada bloque en que se evalúen los conocimientos adquiridos. Participación en las clases de

problemas y las exposiciones y seminarios. Asistencia a tutorías.




308


NOMBRE DE ASIGNATURA: Espacios Funcionales





Nombre: Espacios Funcionales

Código: 650056








LUIS RODRIGUEZ PIAZZA Análisis Matemático [email protected]


1. DESCRIPTORES

Espacios localmente convexos. Topologías débiles. Espacios de funciones.

2. SITUACIÓN


El Plan de Estudios no establece ningún prerrequisito para poder cursar esta asignatura; pero a la hora de realizar esta asignatura se

entenderá que el alumno ha cursado ya (no necesariamente aprobado) las asignaturas troncales de la Licenciatura. Especialmente las

relacionadas con el Análisis Matemático y el Análisis Funcional.


Esta asignatura se imparte con carácter optativo en el Quinto Curso de la Licenciatura de Matemáticas (Plan de Estudios de 1998), durante

el primer cuatrimestre, con una docencia de 60 horas de clase, lo que equivale a 6 créditos.

En Cuarto Curso el alumno tiene dos asignaturas troncales en las que se comienza el estudio del Análisis Funcional: la asignatura del primer

cuatrimestre "Análisis Funcional", y la del segundo cuatrimestre "Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Funcional". En nuestra

asignatura se profundiza en el desarrollo del Análisis Funcional y de algunas de sus aplicaciones al Análisis Matemático. Este estudio es

interesante para el desarrollo de otras asignaturas optativas de Quinto Curso, entre las que podemos citar "Ampliación de Análisis Funcional" y

"Ampliación de Variable Compleja".


309


Se recomienda haber cursado la asignatura de Análisis Funcional de cuarto curso; así como las otras asignaturas obligatorias de la

Licenciatura, especialmente las de Análisis Matemático y Ecuaciones Diferenciales.


No hay adaptaciones especiales previstas, aunque sí existe la disponibilidad de establecerlas en la medida de lo posible si se diera algún

caso especial.

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo







310




Conocimiento de modelos abstractos. Se introducen y estudian algunos espacios funcionales y sus topologías: los espacios

localmente convexos, las topologías

débiles, y se intentar aplicar estos conceptos a resolver problemas del Análisis Matemático.



























4. OBJETIVOS

El curso está planificado como una continuación de la asignatura Análisis Funcional cuyo objetivo fundamental era el estudio de

los espacios normados y las aplicaciones lineales entre estos espacios.

Se introducen los espacios vectoriales topológicos, especialmente los metrizables (F-espacios), y los localmente convexos. Se

estudian las topologías débiles y la dualidad.

Todo esto se hará viendo muchos ejemplos de espacios funcionales concretos, estudiando sus propiedades, y aplicando en

éstos los conceptos generales introducidos, para probar algunos resultados

del Análisis Matemático.


311

5. Metodología:

Las clases teóricas tienen por objeto mostrar al alumno los conceptos, los resultados fundamentales y sus demostraciones, las

técnicas básicas, así como algunas aplicaciones.

En las clases prácticas se verán ejemplos de los resultados obtenidos y de sus aplicaciones, procurándose la participación

activa de los alumnos mediante la realización y exposición de problemas asignados.









DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Se impartirá en media 2,5 horas de teoría por cada 1,5 horas de problemas. Las clases teóricas tienen

por objeto mostrar al alumno los conceptos, los resultados fundamentales y sus demostraciones, las técnicas básicas, así

como algunas aplicaciones. En las clases prácticas se verán ejemplos de los resultados obtenidos y de sus aplicaciones,

procurándose la participación activa de los alumnos mediante la realización y exposición de problemas asignados. Para la

realización de estos problemas los alumnos podrán consultar al profesor en las tutorías.


Espacios de Banach Clásicos.

Espacios localmente convexos.

Topologías débiles y dualiad.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Conway, John B. . A course in functional analysis /John B. Conway. . 2nd ed., 3rd. corr. print. . (1990.) . ISBN 0-387-97245-5 .

- Bachman, George, . Análisis funcional /George Bachman y Lawrence Narici. . (1981.) . ISBN 84-309-0866-8 .


- Rudin, Walter, . Análisis real y complejo /W. Rudin. . [1a ed., reimp.] . (1985.) . ISBN 84-205-0651-6 .

Banach spaces and their geometry /Bernard Beauzamy. .

- P. Wojtaszczyk . Banach spaces for analysts . (1991) . ISBN 0-521-35618-0 .

- Rudin, Walter, . Functional analysis /Walter Rudin. . 2nd ed. . (1991.) . ISBN 0-07-054236-8 .

- Beauzamy, Bernard, . Introduction to Banach spaces and their geometry /Bernard Beauzamy. . 2nd. ed. rev. . (1985.) . ISBN

0-444-87879-3 .


- Banach, Stefan, . Théorie des opérations linéaires /Stefan Banach. . (1932.) .


- Tráeves, Franðcois, . Topological vector spaces, distributions and kernels /Franðcois Tráeves. . [4th print.] . (1973.) . ISBN


312

0-12-699450-1 .






En el examen teórico-práctico se valorará positivamente la claridad en los conceptos teóricos, el dominio de los resultados, la

habilidad en la aplicación de los diversos métodos prácticos.

La resolución por parte de los alumnos de problemas para las clases prácticas será tenida en cuenta positivamente para la

calificación final, con un máximo de 3 puntos. Dicha puntuación será sumable directamente a la nota del examen final para poder

aprobar la asignatura. Independientemente, se podrá alcanzar el máximo de 10 puntos en el examen. A la vista de ello, estimamos

que la importancia en porcentaje para la calificación final es de un 60% para el examen teórico-práctico y de un 40% para la

participación del alumno en clase.

Los alumnos podrán aprobar la asignatura sin necesidad de ir a examen final si, aparte de participar activamente en clase

realizando en la pizarra los problemas asignados, entregan, por escrito, un trabajo correcto sobre un tema que se les indique. La

realización de este trabajo es completamente voluntaria.




Nº total de horas 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


Tema 1: Espacios de Banach.

Teoremas fundamentales del Análisis Funcional en espacios de Banach y espacios normados. Espacios de Banach clásicos y

sus duales. Redes en espacios topológicos.

Tema 2: Espacios vectoriales topológicos.

Definición y generalidades. Distancias invariantes: F-espacios. Teoremas del grafo cerrado y la aplicación abierta.

Tema 3: Espacios localmente convexo.

Familias de seminormas. Ejemplos. Espacios localmente convexos. Metrizabilidad: espacios de Fréchet. Espacio dual: Teorema

de Hahn-Banach. Conjuntos acotados. Cojuntos convexos compactos: Teorema de Krein-Milman.

Tema 4: Topologías débiles y dualidad.

Topologías débiles. Conjuntos polares: teorema de Alaoglu. Dualidad en espacios de Banach. Trasposición de operadores:

teorema de Schauder.



313

Los ejercicios que continuamente van a ser realizados por los alumnos indicarán el estado de madurez en sus conocimientos, lo

cual da idea del ritmo a seguir en las clases teórico-prácticas. Se entregará un guión-resumen a los alumnos, el cual --aparte de

poder ser usado en el examen-- les es útil como compendio y visión global de la asignatura. Además, en caso de algún retraso en

la impartición de la teoría, se puede usar como resumen para impartir una porción de las clases al estilo de seminario, logrando

así cubrir el temario en su totalidad.




314


NOMBRE DE ASIGNATURA: Geometría Algebraica





Nombre: Geometría Algebraica

Código: 650057








LUIS NARVAEZ MACARRO Algebra Facultad de Matemáticas, EC 11.01 [email protected]

MIGUEL ANGEL OLALLA ACOSTA Algebra Facultad de Matemáticas, EC 11-03 [email protected]


1. DESCRIPTORES

Conjuntos y variedades algebraicas

2. SITUACIÓN


Nociones y resultados básicos de Álgebra: anillos, ideales, polinomios, cuerpos, módulos.


Es una optativa concebida para impartirse preferentemente en el quinto y último curso de la Licenciatura de Matemáticas


Es muy recomendable haber cursado las asignaturas de Álgebra (obligatoria de tercer curso) y Estructuras Algebraicas (troncal de cuarto

curso)


En caso de que hubiera estudiantes extranjeros se podría impartir total o parcialmente en inglés o francés, pero siempre contando con el

acuerdo del resto de los estudiantes.

Independientemente de lo anterior, la presencia de estudiantes extranjeros es siempre considerada como un potencial elemento enriquecedor,

por lo que se arbitrarían medidas destinadas a su efectiva inserción.


315

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones

Trabajo en equipo











Liderazgo







-) Capacidad para conectar los puntos de vista algebraico y geométrico.

-) Capacidad para conectar los puntos de vista teórico/básico con problemas prácticos/reales.

-) Capacidad para generalizar e interpretar resultados y métodos clásicos conocidos previamente por el estudiante, con vistas a

abarcar campos nuevos para él.

4. OBJETIVOS

(a) Conocer y saber manejar las variedades algebraicas afines y la correspondencia puntos vs. ideales maximales.

(b) Comprender la noción de "singularidad" y su expresión algebraica a través de los anillos locales.

(c) Conocer los procedimientos de cálculo de los invariantes de las variedades o de las singularidades a través de sus anillos de


316

coordenadas o de sus anillos locales.

(d) Comprender la utilidad de la estructura de variedad algebraica a la hora de describir comportamientos genéricos y

comportamientos especiales.

5. Metodología:

De las 4 horas horas de clase semanales, 2 se dedicarán a la exposición del contenido teórico por parte del profesor, 1 a la

exposiciónn por parte de los estudiantes de las cuestiones propuestas y 1 a la realización de ejercicios y prácticas.

Se fomentará y valorará el trabajo personal y el manejo de la bibliografía.

Se organizarán sesiones paralelas a cargo de profesores externos que ofrezcan una visión actual de algunos de las cuestiones

candentes relacionadas con el temario de la asignatura.











-) Geometría Algebraica afín.

-) Geometría Algebraica proyectiva.

-) Puntos singulares y puntos regulares.

-) Variedades algebraicas abstractas.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Hartshorne, Robin. . Algebraic geometry /Robin Hartshorne. . (2006.) . ISBN 0-387-90244-9 .

- Mumford, David. . Algebraic geometry I :complex projective varieties /David Mumford. . Corr. 2nd print. . (1976.) . ISBN

0387076034 .

- Shafarevich, I. R. . Basic algebraic geometry /I.R. Shafarevich. . 2nd ed. . (1994.) . ISBN 3-540-57554-5 .


.

- Dieudonné, Jean Alexandre, . Cours de géométrie algébrique. . (1974.) .

- FULTON, W. . Curvas algebraicas . (1.971) .

- Cox, David. . Ideals, varieties, and algorithms :an introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra

/David Cox, John Little, Donal O'Shea . 3a ed. . (2007.) . ISBN 9780387356501 .

- Atiyah, Michael Francis, . Introducción al álgebra conmutativa /M.F. Atiyah, I.G. McDonald. . (1980.) . ISBN 84-291-5008-0 .


317

- KUNZ, E. . Introduction to commutative algebra and algebraic geometry . (1.985) .

8.3. Observaciones:

Para los contenidos iniciales acerca de los conjuntod algebraicos afines y proyectivos, los libros de R. Hartshorne, W. Fulton e

I.R. Shafarevich.

Para los aspectos computacionales, el libro de D. Cox et al.

Para las nociones y los desarollos puramente algebraicos , los libros de M.F. Atiyah e I. MacDonald, de E. Kunz, y de D.

Eisenbud.

Para las nociones de variedad algebraica abstracta, los libros de R. Hartshorne y de J. Dieudonné.


De las 4 horas horas de clase semanales, 2 se dedicarán a la exposición del contenido teórico por parte del profesor, 1 a la

exposición por parte de los estudiantes de las cuestiones propuestas y 1 a la realización de ejercicios y prácticas. Las

intervenciones de los estudiantes serán un elemento clave en la evaluación continua.

Se fomentará y valorará el trabajo personal y el manejo de la bibliografía.


1) Habrá una evaluación continua basada en la resolución, redacción y/o exposición de temas, cuestiones, ejercicios y temas

complementarios a lo largo del curso.

2) Habrá pruebas cortas escritas de teoría y de ejercicios a lo largo del curso.

3) Aquellos estudiantes que no superen la evaluación a través de 1) y 2), o que habiéndola superado deseen mejorar la

calficación obtenida, habrán de realizar un examen final consistente en ejercicios prácticos y en cuestiones teóricas. Dicho

examen se realizará en febrero de 2009.


HORAS SEMANALES Teorí-a PrácticasExposiciones y



Nº total de horas 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

1ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00La categoría de las

variedades algebraicas

2ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Variedades proyectivas,

Eliminación,

Grassmannianas

3ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Variedades proyectivas,

Eliminación,

Grassmannianas

4ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Estudio de las fibras de

un morfismo

5ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Estudio de las fibras de

un morfismo

6ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Grado de una variedad

proyectiva:

interpretación

geométrica y cálculo

algebraico


318

HORAS SEMANALES Teorí-a PrácticasExposiciones y



Nº total de horas 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

7ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Grado de una variedad

proyectiva:

interpretación

geométrica y cálculo

algebraico


Tema 1.- Variedades algebraicas afines. Anillo de coordenadas. Dimensión. El haz de las funciones regulares sobre una variedad

afín.

Tema 2.- Morfismos de variedades algebraicas afines. La categoría de las variedades afines.

Tema 3.- Puntos regulares y puntos singulares. Explosiones. Anillos locales regulares.

Tema 4.- Funciones de Hilbert-Samuel. Multiplicidad.

Tema 5.- Conjuntos algebraicos proyectivos. Eliminación.

Tema 6.- Prevariedades algebraicas. Separación. Variedades algebraicas.

Tema 7.- Los espacios proyectivos como variedades algebraicas. Variedades proyectivas. Morfismos propios.

Tema 8.- Morfismos finitos. Dimensión de las fibras de un morfismo.

Tema 9.- Variedades normales. Normalización. Cardinal de las fibras de un morfismo.

Tema 10.- Grasmmannianas. Grado geométrico de una variedad proyectiva. Cálculo algebraico del grado.

Temas complementarios.- (C-1) Cálculos efectivos. (C-2) La categoría de los esquemas. (C-3) Conjuntos analíticos complejos.

(C-4) Resolución de curvas planas. (C-5) Valoraciones.


Entrevistas individuales con los estudiantes.

Valoración conjunta con los estudiantes de los resultados de las pruebas de la evaluación continua.

Reuniones semanales de los profesores.

Encuesta a los estudiantes.




319


NOMBRE DE ASIGNATURA: Geometría Riemanniana





Nombre: Geometría Riemanniana

Código: 650058











1. DESCRIPTORES

Geometría Riemanniana. Teoría de subvariedades.

2. SITUACIÓN




Es una continuación natural de las asignaturas de "Geometría Local de Curvas y Superficies", "Variedades Diferenciables" y "Cálculo en

variedades".


El alumno debería haber cursado un curso de Topología General, un curso de Álgebra Lineal, Análisis en una y varias variables, y las

asignaturas "Geometría Diferencial de Curvas y Superficies" y "Variedades Diferenciables". Es muy recomendable haber cursado también la

asignatura "Cálculo en variedades".


Hay aulas adaptadas para los alumnos con problemas de movilidad. Para alumnos con otros tipos de discapacidad y para alumnos

extranjeros se seguirán las directrices de la Universidad de Sevilla.


320

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo




Compromiso ético












- Utilizar los conceptos básicos asociados a la Geometría Riemanniana.

- Utilizar el concepto de conexión afín y los que de éste se derivan: paralelismo, geodésicas, tensores de torsión y curvatura.

- Utilizar los conceptos de métrica Riemanniana, conexión de Levi-Civita y curvatura seccional. Conocer y manejar las

propiedades de simetría del tensor de curvatura.

- Utilizar el concepto de subvariedad de una variedad Riemanniana, manejando las ecuaciones fundamentales de Gauss,

Codazzi y Ricci, así como la segunda forma fundamental.

- Utilizar los conceptos de geodésica, campo geodésico y aplicación exponencial.

- Utilizar el concepto de distancia en una variedad Riemanniana.

- Conocer y manejar los modelos para los espacios de curvatura constante.



321








- Diseño de estrategias para la resolución de problemas.













4. OBJETIVOS

El objetivo fundamental es familiarizar al alumno con el lenguaje básico y algunos resultados y técnicas fundamentales en la

Teoría de las variedades Riemannianas. Para ello, las dos herramientas fundamentales serán la conexión y la curvatura, nociones

con las que el alumno ya se ha encontrado en las asignaturas de tercer curso. Con el fin de que sean mejor comprendidas, se

establecerá una relación sistemática entre los conceptos estudiados en variedades Riemannianas y los correspondientes en

superficies regulares.

5. Metodología:

La asignatura es optativa, se imparte en el primer cuatrimestre y consta de 6 créditos, repartidos en cuatro horas de clase

semanales, que se distribuirán en una media de tres de ellas dedicadas a la explicación de los resultados teóricos y otra

dedicada a la resolución de ejercicios y problemas que permitan un más claro entendimiento de aquéllos, así como de sus

aplicaciones. Es muy importante que los alumnos participen de modo activo en el desarrollo de la materia, especialmente en su

parte práctica.








• Exposiciones en clase (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 6,00 + 0,00 = 6,00


322




OTRAS: Trabajo en grupos reducidos. Uso de la plataforma Moodle para la publicación de diverso material sobre la asignatura.

Información en página Web.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Las horas de clase se distribuirán entre las dedicadas a la explicación de los resultados teóricos y las

de resolución de ejercicios y problemas. En general, los problemas se resolverán al final de cada tema, si bien los alumnos


exposiciones de carácter teórico o práctico, así como su trabajo en grupos reducidos, de manera periódica, y se promoverán

las tutorías como medio para la resolución de dudas sobre la asignatura o problemas propuestos. Finalmente, los alumnos

dispondrán de diverso material sobre la asignatura publicado en la plataforma Moodle (resúmenes teóricos y enunciados de

problemas).


Conexiones afines. Variedades Riemannianas. Curvatura de Riemann. Subvariedades de una variedad Riemanniana. Geodésicas.

Distancia en una variedad Riemanniana. Espacios de curvatura constante.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:



.

- Berger, Marcel, . A panoramic view of Riemannian geometry /Marcel Berger. . (cop. 2003.) . ISBN 3540653171 .

- W. M. Boothby . An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry . (1.986) .

- Henderson, David W. . Experiencing geometry :in Euclidean, spherical, and hyperbolic spaces /David W. Henderson ;

contributor, Daina Taimina. . 2nd ed. . (2001.) . ISBN 0130309532 .

- Currás Bosch, Carlos. . Geometria diferencial :varietats diferenciables i varietats de Riemann /Carlos Currás Bosch. . (2003.) .

ISBN 8483383772 .

- M.P. do Carmo . Riemannian Geometry . (1.992) .

- S. Gallot, D. Hulin, J. Jafontaine . Riemannian Geometry . (2.004) .

- P. Petersen . Riemannian Geometry . (1.998) .

- Sakai, Takashi. . Riemannian geometry /Takashi Sakai. . (1996.) . ISBN 0-8218-0284-4 .

- Klingenberg, Wilhelm. . Riemannian geometry /Wilhelm Klingenberg. . 2nd rev. ed. . (1995.) . ISBN 3110145936 .

- Chavel, Isaac. . Riemannian geometry :a modern introduction /Isaac Chavel. . 2nd ed. . (2006.) . ISBN 0521619548 (pbk. : alk.

paper) .

- Berger, Marcel, . Riemannian geometry during the second half of the twentieth century /Marcel Berger. . (cop. 2000.) . ISBN

0821820524 .

- J. M. Lee . Riemannian Manifolds . (1.997) .

8.2. Específica:

Dado el carácter general de la materia, todos los libros cubren la totalidad de la misma, a excepción del libro de Berger,

"Riemannian geometry during the second half of the Twentieth century", que es de tipo histórico y el libro de Henderson, que

plantea un enfoque experimental sobre los modelos de la Geometría Riemanniana.


323









propondrá a los alumnos la realización voluntaria de dos pruebas parciales previas, consistentes cada una en la resolución de

varias cuestiones teórico-prácticas (2 puntos) y un problema (3 puntos). Aquellos alumnos que, sumando las dos pruebas,

obtengan una calificación igual o superior a 5 puntos, aprobarán la asignatura antes del examen final. Aquellos alumnos que se

presenten al examen final podrán sumar a la calificación de éste la mitad de la nota obtenida en las cuestiones de las pruebas

previas, caso de que las hubieran hecho. Por otra parte, se propondrá a los alumnos la resolución voluntaria de un problema, que

deberá ser expusto en clase y cuya calificación (hasta un máximo de 0.5 puntos) se sumará a las de las pruebas parciales o a la

del examen final. Dado que, según la normativa vigente, la nota final no podrá exceder de 10 puntos, las cantidades señaladas

anteriormente se sumarían hasta alcanzar los 10 puntos globales.



reducidosOtras actividades

Exposiciones en

claseExámenes Temario

Primer Semestre H Total H Total H Total H Total H Total Total -

Nº total de horas 35,00 87,50 17,00 34,00 2,00 2,00 27,00 27,00 6,00 6,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 1

2ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 Tema 1

3ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

4ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 2

5ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 Tema 2

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 3

7ªSemana 4,00 10,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 4

9ªSemana 1,00 2,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 Tema 4

10ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 5

11ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 Tema 5

12ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 6

13ªSemana 1,00 2,50 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 Tema 6

14ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tema 7

15ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 Tema 7


Tema 1: Conexiones afines. Símbolos de Chistoffel. Derivada covariante de un campo a lo largo de una curva. Geodésicas y

transporte parallo. Tensor de Torsión y Tensor de Curvatura.


324

Tema 2: Variedades Riemannianas. Conexión de Levi-Civita.

Tema 3: Tensor de curvatura de Riemann. Curvatura seccional. Ejemplos. Teorema de Schur.

Tema 4: Subvariedades de una variedad Riemanniana: inmesiones isométricas. Segunda Forma Fundamental. Ecuaciones

fundamentales: Gauss, Codazzi y Ricci. Superficies en R^3.

Tema 5: Geodésicas. Campo geodésico. Las geodésicas de los espacios modelos.

Tema 6: Aplicación exponencial. Entornos convexos. Lema de Gauss. Distancia en una variedad Riemanniana. Variedades

completas. Teorema de Hopf-Rinow.

Tema 7: Espacios de curvatura constante. Modelos de los espacios de curvatura constante.


Se realizarán reuniones periódicas entre los profesores de la asignatura para la coordinación de la misma. Por otra parte, la

realización de controles a los alumnos previos al examen final permitirá el seguimiento del desarrollo por parte de éstos de las

competencias señaladas anteriormente. También se utilizará para dicho seguimiento la información obtenida de los alumnos a

partir de las sesiones de tutoría.




325


NOMBRE DE ASIGNATURA: Grupos de Lie





Nombre: Grupos de Lie

Código: 650059








JUAN NUÑEZ VALDES Geometría y Topología módulo 36 [email protected]

CARMEN MARQUEZ GARCIA Geometría y Topología modulo 35 [email protected]


1. DESCRIPTORES

Grupos de Lie. Espacios Homogéneos.

Lie Groups.Homogeneus Spaces.

2. SITUACIÓN




Es una aplicación natural de las asignaturas de Geometría de Variedades.


El alumno debería haber cursado una Topología General, Análisis en una y varias variables y las asignaturas de Geometría Diferencial

Clásica y de Variedades.

3. COMPETENCIAS




326





Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo









Liderazgo








Entender los conceptos definidos para su posterior utilización en las demostraciones o resolución de problemas; desarrollar el

contenido de la asignatura aplicándolo a un grupo de Lie concreto, distinto para cada alumno, con defensa pública de sus

resultados.









327

















4. OBJETIVOS

Conocer los conceptos fundamentales de la Teoría de Grupos y Álgebras de Lie.

5. Metodología:

Se impartirán 4 horas semanales, de contenido tanto teórico como práctico.

En la parte teórica, se introducirán nuevos conceptos y resultados, que se ilustrarán mediante ejemplos concretos que faciliten

su comprensión.

Para la parte práctica, se le proporcionarán al alumno relaciones de ejercicios, que permitan una adecuada asimilación de los

conceptos teóricos de la asignatura. La mayoría de estos ejercicios se resolverán en el transcurso de las clases prácticas.









• Preparación de examenes (Horas presenciales + Horas no presenciales = Total de horas): 0,00 + 0,00 = 27,00






328

OTRAS: Sesiones prácticas en el aula de informática. Trabajo en grupos reducidos e individuales.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Se impartirán 4 horas semanales, de contenido tanto teórico como práctico. En la parte teórica, se

introducirán nuevos conceptos y resultados, que se ilustrarán mediante ejemplos concretos que faciliten su comprensión. Para

la parte práctica, se le proporcionarán al alumno relaciones de ejercicios, que permitan una adecuada asimilación de los

conceptos teóricos de la asignatura. La mayoría de estos ejercicios se resolverán en el transcurso de las clases prácticas.


Preliminares.

Grupos de Lie.

Álgebras de Lie.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:




- Warner, Frank W. . Foundations of differentiable manifolds and Lie groups /Frank W. Warner. . (1971.) .

- Chow, Yutze. . General theory of Lie algebras /Yutze Chow. . (1978.) . ISBN 0677038909 .

- Sagle, Arthur A. . Introduction to Lie groups and Lie algebras /Arthur A. Sagle, Ralph E. Walde. . (1973.) . ISBN 0-12-614550-4 .

- Tauvel, Patrice. . Lie algebras and algebraic groups /Patrice Tauvel, Rupert W.T. Yu. . (2005.) . ISBN 3540241701 (hd.bd.) .

- Bourbaki, Nicolas. . Lie groups and lie algebras /Nicolas Bourbaki. . (cop. 2005.) . ISBN 3540434054 .

- Gilmore, Robert, . Lie groups, Lie algebras, and some of their applications /Robert Gilmore. . (1974.) . ISBN 0-471-30179-5 .

- Varadarajan, V. S. . Lie groups, Lie algebras, and their representations /V.S. Varadarajan. . (1998.) . ISBN 7515803118 .

8.2. Específica:

POSTNIKOV, M.: Groupes et algebras de Lie, MIR (Moscou) (1985).


Examenes práctico-teóricos a lo largo del periodo de docencia de la asignatura y exámenes finales.


Se efectuará un examen final que consistirá en la resolución de ejercicios teórico-prácticos. No obstante, se facilitará a los

alumnos la realización de dos evaluaciones parciales no obligatorias, que les permitan aprobar la asignatura sin necesidad del

mismo. Por otra parte, podrá proponerse a los alumnos la realización de un trabajo práctico voluntario que repercutiría en la

calificación final.



Seminarios

Exposiciones y

Seminarios

Trabajo en

grupo reducido

Preparación de

examenes

Trabajo de


Segundo Semestre H Total H Total H Total H Total H Total H Total H Total Total -

Nº total de horas 36,00 90,00 18,00 27,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 27,00 0,00 0,00 6,00 -

1ªSemana 4,00 10,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 capítulo I

2ªSemana 4,00 10,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 capítulo I


329


Seminarios

Exposiciones y

Seminarios

Trabajo en

grupo reducido

Preparación de

examenes

Trabajo de



Nº total de horas 36,00 90,00 18,00 27,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 27,00 0,00 0,00 6,00 -

3ªSemana 4,00 10,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 capítulo II







10ªSemana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 18,00 0,00 0,00 4,00 capítulos I y II

11ªSemana 4,00 10,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 capítulo III






CAPITULO I: Preliminares. Variedades diferenciables. Aplicaciones diferenciables entre variedades diferenciables. Variedad

Producto.

CAPITULO II: Grupos de Lie. Grupos de Lie. Primeras propiedades. Álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie. Subgrupos

uniparamétricos. La aplicación exponencial. Homomorfismos de grupos de Lie. La representación adjunta.

CAPITULO III: Álgebras de Lie. Primeras definiciones. Morfismos entre álgebras de Lie. Subálgebras e ideales de un álgebra de

Lie. El espacio cociente. Tipos de álgebras de Lie. Estudio particular de álgebras de Lie semisimples, simples, resolubles,

nilpotentes y filiformes.


Al comenzar cada tema se expondrán los objetivos, y al finalizar el mismo se realizará un resumen de los conceptos estudiados,

comentando algunos resultados de sus proyectos por parte de algunos alumnos que hayan escogido la opción "minitesina". A lo

largo del curso el profesor dirigirá los trabajos de los alumnos que hayan escogido esa opción, y, al finalizar, cada alumno

efectuará una defensa pública de la misma. En la opción examen, cada alumno que la haya escogido realizará la prueba

correspondiente. Finalmente, se elaborará una encuesta a los alumnos, que permita conocer el nivel de asimilación y

comprensión de los conceptos, grado de satisfacción respecto al contenido, ritmo y seguimiento de la asignatura.




330


NOMBRE DE ASIGNATURA: Métodos Estadísticos Multivariantes





Nombre: Métodos Estadísticos

Multivariantes

Código: 650060








EMILIO J. CARRIZOSA PRIEGO Estadística e Investigación Operativa [email protected]

RAFAEL PINO MEJIAS Estadística e Investigación Operativa [email protected]


1. DESCRIPTORES

Reducción de la dimensionalidad. Discriminación y clasificación estadística.

2. SITUACIÓN




La asignatura, de carácter optativo, se imparte en el 2º Cuatrimestre, y está asignada al 5º Curso de la Licenciatura, con 6 créditos. Es

impartida por el Departamento de Estadística e Investigación Operativa.

Se configura como una asignatura con carácter aplicado, con carácter finalista dentro de la línea de contenidos de la Inferencia Estadística, en

la que se presentan diversas técnicas estadísticas multivariantes a partir de problemas y experiencias reales.


Esta asignatura se apoya en los contenidos desarrollados en las asignaturas troncales: Cálculo de Probabilidades (1º Cuat. 2º Curso. 6

créditos) y Estadística Matemática (1º Cuat. 3º Curso. 6 créditos) . Además, dado que esta asignatura utiliza conceptos y procedimientos

clásicos de la inferencia estadística, es conveniente que el alumno haya cursado las asignaturas optativas Inferencia Estadística (2º Cuat. 3º


331

Curso) y Modelos Lineales (1º Cuat. 5º curso).

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









Conocer con rigor las técnicas estadísticas multivariantes, hipótesis necesarias para su utilización y la aplicación de las mismas


332

a situaciones reales.

Saber planificar y modelizar experiencias aleatorias reales en las que intervengan un conjunto de variables respuestas y/o

explicativas.

Conocer aplicaciones informáticas de análisis estadísticos y visualización gráfica de conjuntos de datos multivariantes.

Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.



























4. OBJETIVOS

El objetivo de la asignatura es presentar métodos y técnicas estadísticas multivariantes con objeto de que los alumnos aprendan

a modelizar fenómenos aleatorios descritos a través de vectores aleatorios.

Para alcanzar el objetivo general se plantearán los siguientes objetivos concretos:

- Técnicas de clasificación y discriminación estadísticas, con objeto de descubrir patrones de comportamiento en poblaciones a

través de un conjunto de datos observados.

- Técnicas de reducción de la dimensionalidad, con objeto de facilitar la descripción y estudios posteriores sobre las

poblaciones multivariantes.

- Introducción y presentación de otras técnicas multivariantes de gran utilidad práctica.


333

5. Metodología:












OTRAS: Sesiones prácticas en el aula de informática. Trabajo en grupos reducidos

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: EN MEDIA, la forma en la que se desarrollará el curso será: Cada semana se impartirán 2 horas de

teoría y 2 de problemas y/o clases prácticas en aula de informática. La utilización de las técnicas estadísticas multivariantes en

campos tan diversos como la medicina, agricultura, biología, economía, sociología, psicología, medio ambiente..., hace

necesario que, además de que los alumnos adquieran los conceptos teóricos, dominen la aplicación de las mismas a problemas

reales. Para ello, se facilitará al alumno el manejo de software estadístico adecuado y se le introducirá en el uso de un lenguaje

apropiado para comunicarse con especialistas en otros campos. Ello da lugar a que el desarrollo semanal sea el especificado

anteriormente.


Herramientas informáticas para el Análisis Estadístico Multivariante.

Técnicas de reducción de la dimensión.

Análisis de conglomerados.

BLOQUE 4. Análisis discriminante.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Peña, Daniel. . Análisis de datos multivariantes /Daniel Peña. . (2002.) . ISBN 84-481-3610-1 .

Classification and regression trees /Leo Breiman ... [et al.]. . (Belmont, Calif.Wadsworth Inter) . ISBN 0534980538 hard : .

- Maindonald, John. . Data analysis and graphics using R:an example-based approach /John Maindonald and John Braun. .

(Cambridge:Cambridge University) . ISBN 0-521-81336-0 .

- Shawe-Taylor, John. . Kernel methods for pattern analysis /John Shawe-Taylor, Nello Cristianini. . (Cambridge, UK ;Cambridge

Unive) . ISBN 0521813972 (hbk.) .

- Ripley, Brian D., . Pattern recognition and neural networks /Brian D. Ripley. . (CambridgeCambridge University) . ISBN

0-521-46086-7 .

- Krzanowski, W. J. . Principles of Multivariate Analysis :a user's perspective /W. S. Krzanowski. . (OxfordClarendon Press,2000.)

. ISBN 0-19-850708-9 .


334

- Hastie, Trevor. . The elements of statistical learning :data mining, inference, and prediction /Trevor Hastie, Robert Tibshirani,

Jerome Friedman. . (New York :Springer-Verlag,c200) . ISBN 0387952845 .





El alumno deberá realizar los siguientes trabajos para superar la asignatura:

- Trabajos teóricos sobre los contenidos que se expliquen, poniendo de manifiesto en aquellos temas que se consideren

oportuno, las aplicaciones y problemas que pueden abordarse desde la teoría desarrollada.

- Resolver problemas prácticos aplicando el software que crean conveniente y desarrollando un doble informe: uno para un

especialista en Estadística y otro para un especialista en la materia en la que se esté desarrollando el trabajo.

Aquellos alumnos que no superen o no sigan el procedimiento descrito anteriormente, podrán realizar un examen

teórico-práctico.


HORAS SEMANALES Teoría PrácticasTrabajo en grupo

reducidoOtras actividades

Trabajo de



Nº total de horas 26,00 65,00 26,00 52,00 4,00 4,00 0,00 35,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

4ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

5ªSemana 1,00 2,50 3,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

6ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

7ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

8ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

10ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

11ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6

12ªSemana 1,00 2,50 3,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6

13ªSemana 1,00 2,50 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 7

14ªSemana 1,00 2,50 3,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 8


BLOQUE 1. Herramientas informáticas para el Análisis Estadístico Multivariante.

1. El paquete SPSS.

2. Introducción al lenguaje R.


335

BLOQUE 2. Técnicas de reducción de la dimensión.

1. Análisis de Componentes Principales.

2. Análisis Factorial.

3. Escalado multidimensional.

4. Análisis de correspondencias.

BLOQUE 3. Análisis de conglomerados.

1. Distancias y disimilaridades.

2. Métodos jerárquicos. Dendrogramas.

3. Métodos no jerárquicos.

BLOQUE 4. Análisis discriminante.

1. Modelos básicos: Regla de Fisher. Clasificadores bayesianos.

2. Error de una regla de clasificación y su estimación.

3. Análisis Discriminante y Regresión No Lineal: Regresión Logística, Árboles de Clasificación y Regresión, Redes de Neuronas

Artificiales.

4. Métodos geométricos: Vecino más cercano y Máquinas de Vector de Apoyo.


Se podrán realizar encuestas y reuniones entre los profesores de la asignatura




336


NOMBRE DE ASIGNATURA: Modelos Estocásticos en Investigación Operativa





Nombre: Modelos Estocásticos en

Investigación Operativa

Código: 650062








RAFAEL INFANTE MACIAS Estadística e Investigación Operativa [email protected]


1. DESCRIPTORES

Procesos de renovación y Markovianos. Algoritmos en Teoría de Colas. Simulación.

2. SITUACIÓN




Esta asignatura se imparte en el quinto curso de la titulación, con marcado carácter práctico y por tanto de utilidad en aplicaciones reales.


Las asignaturas que son recomendables tener aprobadas son Programación Lineal, Programación no Lineal, Ampliación de Probabilidades y

Procesos Estocásticos y Modelos Determinísticos en Investigación Operativa.

3. COMPETENCIAS





337




Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









Principales modelos estocásticos estudiados por la Investigación Operativa.





338
























4. OBJETIVOS

El objetivo de este curso es la ampliación del estudio de los problemas de optimización, así como la presentación de los modelos

estocásticos básicos que estudia la Investigación Operativa.

5. Metodología:














339



DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: En media, se dedicarán 2 horas semanales a clases de teoría y dos horas semanalesa modelos,

problemas, prácticas en el aula de informática, seminarios y exposiciones.


Programación Dinámica.

Procesos de Decisión Markovianos.

Programación Estocástica.

Teoría de la Búsqueda.

Teoría de Colas e Inventario. Modelos.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Sniedovich, Moshe. . Dynamic programming /Moshe Sniedovich. . (New York [etc.]Marcel Dekker,1) . ISBN 0-8247-8245-3 .

- Gross, Donald. . Fundamentals of queueing theory /Donald Gross, Carl M. Harris. . 3rd ed. . (1998.) . ISBN 0-471-17083-6 .

Handbook of operations research /Edited by Joseph J. Moder and Salah E. Elmaghraby. . (1978.) .

- Hillier, Frederick S. . Introducción a la investigación de operaciones /Frederick Hillier, Gerald J. Lieberman. . 5a ed., 3a ed. en

español. . (1991.) . ISBN 968-422-993-3 .

- Birge, John R. . Introduction to stochastic programming /John R. Birge, Franðcois Louveaux. . (1997.) . ISBN 0-387-98217-5 .

- Waters, C. D. J. . Inventory control and management /C. D. J. Waters. . (1992.) . ISBN 0-471-93081-4 .

- Kovalenko, Igor N. . Mathematical theory of reliability of time dependent systems with practical applications /Igor N. Kovalenko,

Nickolaj Yu. Kuznetsov, Philip A. Pegg. . (1997.) . ISBN 0-471-95060-2 .

- Tijms, Henk C. . Stochastic modelling and analysis :a computational approach /Henk C. Tijms. . (1986.) . ISBN 0-471-90911-4 .

- Heyman, Daniel P. . Stochastic models in operations research /Daniel P. Heyman, Matthew J. Sobel. . (1982-1984.) . ISBN

0-07-028631-0v.1* .

- Infante Macías, Rafael. . Teoría de la decisión /Rafael Infante Macías. . 2a ed., 2a reimpr. . (1997.) . ISBN 84-362-0810-2 .

- Stone, Lawrence D. . Theory of optimal search /Lawrence D. Stone. . (1975.) .

- Larson, Richard C. . Urban operations research /Richard C. Larson and Amadeo R. Odoni. . (1981.) .







Se valorará un 50 % el examen teórico-práctico y un 50 % el resto.



340


Seminarios

Exposiciones y

Seminarios

Trabajo en

grupo reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 4,00 4,00 0,00 0,00 4,00 4,00 0,00 28,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

4ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

7ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

11ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

14ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

15ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -


Tema 1: Programación Dinámica.

Tema 2: Procesos de Decisión Markovianos.

Tema 3: Programación Estocástica.

Tema 4: Teoría de la Búsqueda.

Tema 5: Teoría de Colas e Inventario.

Tema 6: Modelos.

Tema 7: Aplicaciones.






341


NOMBRE DE ASIGNATURA: Modelos Lineales





Nombre: Modelos Lineales

Código: 650063








JOAQUIN A. GARCIA DE LAS HERAS Estadística e Investigación Operativa [email protected]

JUAN MANUEL MUÑOZ PICHARDO Estadística e Investigación Operativa [email protected]


1. DESCRIPTORES

Modelo lineal general multivariante. Modelos de regresión y de diseño de experimentos.

2. SITUACIÓN




La asignatura corresponde a quinto curso de la Licenciatura, y su contenido es eminentemente práctico y con numerosas aplicaciones a

campos como la Agricultura, la Medicina, la Economía, el Medio Ambiente, etc.


Las asignaturas que son recomendables tener aprobadas son Cálculo de Probabilidades, Estadística Matemática e Inferencia Estadística.

3. COMPETENCIAS





342




Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









Texto a rellenar por el profesor: ver libro blanco como ayuda.





343
























4. OBJETIVOS

El objetivo que se pretende alcanzar con esta asignatura es que el alumno aprenda a modelar fenómenos aleatorios mediante los

modelos lineales o linealizables. Estos modelos han tenido un gran desarrollo dentro de la Estadística, especialmente por el

volumen de aplicaciones que tienen en campos tan diversos como la Agricultura, Química, Medicina, Medio Ambiente, Psicología,

Biología, Economía, etc.

5. Metodología:

Cada semana se impartirán 2 horas de teoría y 2 de prácticas en aula de informática.

Cada tema será introducido con la presentación y análisis de un caso práctico.

En las horas prácticas se analizarán problemas y datos reales, en el aula de informática, a través del software adecuado.









344






OTRAS: Sesiones prácticas en el aula de informática Trabajo en grupos reducidos.

DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: La forma en la que se desarrollará el curso será: Cada semana se impartirán 2 horas de teoría y 2 de

problemas y/o clases prácticas en aula de informática. La utilización de las técnicas estadísticas multivariantes en campos tan

diversos como la medicina, agricultura, biología, economía, sociología, psicología, medio ambiente..., hace necesario que,

además de que los alumnos adquieran los conceptos teóricos, dominen la aplicación de las mismas a problemas reales. Para

ello, se facilitará al alumno el manejo de software estadístico adecuado y se le introducirá en el uso de un lenguaje apropiado

para comunicarse con especialistas en otros campos. Ello da lugar a que el desarrollo semanal sea el especificado

anteriormente.


Distribución normal multivariante.

Distribuciones Chi-cuadrado y F de Snedecor no centradas.

Modelo Lineal General Multivariante.

Regresión y Correlación.

Modelos de Diseño de Experimentos

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Kshirsagar, Anant M. . A course in linear models /Anant M. Kshirsagar. . (1983.) . ISBN 0-8247-1585-3 .

- Christensen, Ronald, . Advanced linear modeling :multivariate, time series, and spatial data; nonparametric regression and

response surface maximization /Ronald Christensen. . Second Edition. . (c2001.) . ISBN 0387952969 (alk. paper) .

- Anderson, T. W. (Theodore Wilbur), . An introduction to multivariate statistical analysis /T. W. Anderson. . 2nd ed. . (1984?) .

- Christensen, Ronald. . Linear models for multivariate, time series, and spatial data /Ronald Christensen. . (1991.) . ISBN

0-387-97413-X .

- Seber, G. A. F. . Linear regression analysis /G.A.F. Seber. . (1977.) . ISBN 0-471-01967-4 .

- Hochberg, Yosef. . Multiple comparison procedures /Yosef Hochberg, Ajit C. Tamhane. . (1987.) . ISBN 0-471-82222-1 .

- Kshirsagar, Anant M. . Multivariate analysis /Anant M. Kshirsagar. . (1972.) .

- Seber, G. A. F. . Multivariate observations /G. A. F. Seber. . (1984.) . ISBN 0-471-88104-X .

- Fahrmeir, Ludwig. . Multivariate statistical modelling based on generalized linear models /Ludwig Fahrmeir, Gerhard Tutz. .

(1994.) . ISBN 0-387-94233-5 .

- Chatterjee, Samprit, . Sensitivity analysis in linear regression /Samprit Chatterjee, Ali S. Hadi. . (1988.) . ISBN 0-471-82216-7 .

- Miller, Rupert G. . Simultaneous statistical inference /Rupert G. Miller. . 2nd ed. . (1981.) . ISBN 0-387-90548-0 .

SPSS 9.0 : manual de usuario. . (1999.) . ISBN 1-56827-844-6 .

- Johnson, Norman Lloyd. . Statistics and experimental design in engineering and the physical sciences /Norman L. Johnson,

Fred C. Leone. . 2nd ed. . (1977.) .

- Graybill, Franklin A. . Theory and applications of the linear model /Franklin A. Graybill. . (1976.) . ISBN 0-87872-108-8 .


345

8.3. Observaciones:


http://www.us,es/destadio/ Departamento de Estadística e I.O.

http://www.r-project.org

http://personal.us.es/juanm




Durante el periodo de clases, se realizarán diferentes pruebas para cada tema o conjunto de temas. Estas pruebas consistirán en

exámenes y/o trabajos prácticos. Cada prueba será evaluada sobre un máximo de diez puntos. Los alumnos que reúnan las

siguientes condiciones tendrán la asignatura aprobada sin necesidad de realizar el examen correspondiente a la primera

convocatoria oficial:

1. Tener como máximo una prueba suspensa. En sus caso, la calificación de ésta debe ser al menos de 3 puntos.

2. Obtener una calificación media, entre todas las pruebas, de al menos cinco puntos.

Los alumnos que no aprueben, según los criterios anteriores, podrán presentarse al examen de la convocatoria oficial que

publique Ordenación Académica o al resto de convocatorias oficiales del curso. Cada examen constará de dos partes: teoría y

prácticas, siendo la nota global la media entre ambas partes, siempre que en cada una de las partes se supere la calificación de

tres puntos sobre diez.



Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas


Tema 1: Distribución normal multivariante. Estimación Puntual.

Tema 2: Distribuciones Chi-cuadrado y F de Snedecor no centradas.

Tema 3: Distribución e Independencia de formas cuadráticas.

Tema 4: Modelo Lineal General Multivariante.

Tema 5: Análisis de Regresión y Correlación.

Tema 6: Análisis de la Varianza y Modelos de Diseño de Experimentos.

Tema 7: Inferencia estadística simultánea.

Tema 8: Otros modelos lineales


346






347


NOMBRE DE ASIGNATURA: Superficies de Riemann





Nombre: Superficies de Riemann

Código: 650064






Manuel Jesús Gago Vargas ÁlgebraNúmero 2, puente 11, Facultad de

Matemá[email protected]


1. DESCRIPTORES

Curvas proyectivas y superficies de Riemann. Teorema de Riemann-Roch.

2. SITUACIÓN


Se precisa un dominio de las nociones básicas de Topología (conexión, compacidad), teoría de grupos y de Galois, y Análisis Complejo.


Se trata de una asignatura de último año en donde confluyen muy diversos métodos y conocimientos adquiridos a lo largo de la

Licenciatura, desde el Álgebra (anillos, extensiones de cuerpos, Teoría de Galois) hasta el Análisis (funciones de una variable compleja,

Análisis funcional), pasando por la Geometría Diferencial (formas diferenciales) y la Topología Algebraica (grupo fundamental, espacios

recubridores), sin olvidar la unificación que supone los dominios de Dedekind con respecto a la Teoría de Números. Por esta razón, la

asignatura de Superficies de Riemann puede tener un valor especial a la hora de que los futuros licenciados tengan una visión global de las

Matemáticas.


Es fundamental haber cursado una asignatura de Análisis Complejo y de Álgebra Abstracta (cuerpos y teoría de Galois). Es recomendable

haber seguido el curso de Estructuras Algebraicas y de Topología Algebraica.

3. COMPETENCIAS



348






Referencia 1 2 3 4










diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo











Liderazgo







Dentro del proceso de evaluación, los alumnos tienen la posibilidad de realizar un trabajo que deben presentar por escrito y

ser expuesto en clase. Esto les obliga a consultar fuentes en otros idiomas, comprender las ideas allí expuestas, expresarlas

con rigor y exponerlas de forma resumida, pero coherente. El objetivo fundamental es mejorar y evaluar las capacidades de

comunicación.


Cálculo de los puntos de ramificación de un morfismo.

Cálculo del género de una curva.

Equivalencia de categorías entre superficies de Riemann y curvas.

Cálculo de divisores de 1-formas.

Aplicaciones del teorema de Riemann-Roch.


349

4. OBJETIVOS

Desde un punto de vista estrictamente matemático, el objetivo concreto de la asignatura es demostrar que la teoría de las

superficies de Riemann compactas y conexas es equivalente a la de las extensiones de C finitamente generadas de grado de

trascendencia 1. Se trata, en definitiva, de establecer un nexo entre las estructuras complejas y las algebraicas, que se manifiesta

también en el teorema de Riemann-Roch.

5. Metodología:

Cada semana habrá 2 horas de sesiones académicas de teoría, 1 hora de sesiones académicas de problemas y 1 hora de

exposiciones por parte de los estudiantes de los temas y problemas propuestos.










Tema 1. Superficies de Riemann.

Definiciones básicas. Estructura compleja. Ejemplos de superficies de Riemann: toros complejos, curvas proyectivas.

Orientación y género.

Tema 2. Morfismos.

Teoremas de variable compleja. Funciones meromorfas. Desarrollo de Laurent. Orden de una función meromorfa. Propiedades

locales de los morfismos. Índice de ramificación. Puntos de ramificación de curvas.

Tema 3. Propiedades globales de los morfismos.

Espacios recubridores topológicos. Recubrimiento étale. Recubrimientos ramificados. Grado. Triangulación. Número de Euler

de una superficie de Riemann. Fórmula de Hurwitz.

Tema 4. Ejemplos de superficies de Riemann.

Pegado de superficies de Riemann. Superficies de Riemann hiperelípticas. Morfismos entre toros complejos. Acciones de

grupos sobre superficies de Riemann.

Tema 5. Prolongación de recubrimientos.

Espacio recubridor universal. Prolongación. Teoría de Galois de los recubrimientos. Extensiones algebraicas de $M(X)$. Curva

definida por una superficie de Riemann. Equivalencia de categorías.

Tema 6. Formas diferenciales y divisores.

Formas diferenciales holomorfas y meromorfas. Divisores, divisores principales y canónicos. Grado de divisores. Teorema de


350

los residuos.

Tema 7. Teorema de Riemann-Roch.

Enunciado para curvas. Enunciado para superficies de Riemann. Aplicaciones.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Douady, R. . Algáebre et théories galoisiennes /R. et A. Douady. . (ParísCedic,1977-1979.) .

- Miranda, Rick, . Algebraic curves and Riemann surfaces /Rick Miranda. . (Providence, R.I. :American Mat) . ISBN 0-8218-0268-2

.

- Lorenzini, Dino. . An invitation to arithmetic geometry /Dino Lorenzini. . (Providence, R.I.:American Math) . ISBN 0-8218-0267-4

.

- Jost, Jèurgen, . Compact Riemann surfaces :an introduction to contemporary mathematics /Jèurgen Jost. . 2nd ed. . (Berlin

[etc.] :Springer-Verlag) . ISBN 3-540-43299-X .

- Kirwan, Frances Clare, . Complex algebraic curves /Frances Kirwan. . 1st ed., repr. . (Cambridge [etc.] :Cambridge Un) . ISBN

0521423538 .

- Jones, Gareth A. . Complex functions :an algebraic and geometric viewpoint /Gareth A. Jones and David Singerman. . [Reprint.]

. (Cambridge [etc.]Cambridge Univ) . ISBN 0-521-31366-X .

- Muñoz Díaz, Jesús. . Curso de teoría de funciones 1 /Jesús Muñoz Díaz. . (MadridTecnos,1978.) . ISBN 8430907823 .

- Forster, Otto, . Lectures on Riemann surfaces /Otto Forster ; translated by Bruce Gilligan. . (New York :Springer-Verlag,1981) .

ISBN 0387906177 .

- Reyssat, Eric. . Quelques aspects des surfaces de Riemann /Eric Reyssat. . (Boston [etc.]Birkhèauser,1989.) . ISBN

0-8176-3441-X .

- Farkas, Hershel M. . Riemann surfaces /H. M. Farkas, I. Kras. . 2nd ed. . (New York :Springer-Verlag,1992) . ISBN 0387977031 .

- Ana Núñez Jiménez, Félix Delgado de la Mata . Teoría de Galois de revestimientos y de superficies de Riemann . 1985 .

(Universidad de Valladolid) .

8.2. Específica:

Tema 1. Farkas, Forster, Kirwan, {\underline Miranda}.

Tema 2. Farkas, Forster, {\underline Miranda}, Reyssat.

Tema 3. Farkas, Forster, {\underline Miranda}, Reyssat.

Tema 4. Jones, {\underline Miranda}, Reyssat.

Tema 5. Douady, {\underline Forster}, Reyssat.

Tema 6. {\underline Kirwan}, Miranda, Reyssat.

Tema 7. {\underline Kirwan}, Miranda, Reyssat.


Trabajo personal sobre ejercicios propuestos.

Escritura y exposición de un tema a desarrollar.

Examen escrito.


Existen dos formas de aprobar la asignatura. La primera es a través del examen final, tras la finalización de las clases. La

segunda es a través de la exposición de problemas cada semana (trabajo personal), y un trabajo a a desarrollar sobre un tema

(trabajo complementario). El peso de las pruebas es el siguiente:

* Trabajo personal: 40 \%.

* Trabajo complementario: 30 \%.


351

* Examen: 30 \%.

El trabajo complementario puede ser realizado en equipo de hasta 2 personas, y el producto final requerido es un documento con

el desarrollo del trabajo, y la exposición oral del mismo. Se indicarán las fechas límite de entrega y exposición.

La nota final será el máximo entre la nota del examen y la acumulada con los trabajos y el examen.




Nº total de horas


Tema 1. Superficies de Riemann. Definiciones básicas.

Estructura compleja. Ejemplos de superficies de Riemann: toros complejos, curvas proyectivas. Orientación y género.

Tema 2. Morfismos.

Teoremas de variable compleja. Funciones meromorfas. Desarrollo de Laurent. Orden de una función meromorfa. Propiedades

locales de los morfismos. Índice de ramificación. Puntos de ramificación de curvas.

Tema 3. Propiedades globales de los morfismos.

Espacios recubridores topológicos. Recubrimiento étale. Recubrimientos ramificados. Grado. Triangulación. Número de Euler

de una superficie de Riemann. Fórmula de Hurwitz.

Tema 4. Ejemplos de superficies de Riemann.

Pegado de superficies de Riemann. Superficies de Riemann hiperelípticas. Morfismos entre toros complejos. Acciones de

grupos sobre superficies de Riemann.

Tema 5. Prolongación de recubrimientos.

Espacio recubridor universal. Prolongación. Teoría de Galois de los recubrimientos. Extensiones algebraicas de $M(X)$. Curva

definida por una superficie de Riemann. Equivalencia de categorías.

Tema 6. Formas diferenciales y divisores. Formas diferenciales holomorfas y meromorfas. Divisores, divisores principales y

canónicos. Grado de divisores. Teorema de los residuos.

Tema 7. Teorema de Riemann-Roch.

Enunciado para curvas. Enunciado para superficies de Riemann. Aplicaciones.




352


NOMBRE DE ASIGNATURA: Teoría de Conjuntos





Nombre: Teoría de Conjuntos

Código: 650065

Tipo (Troncal/Oblicatoria/Optativa): LC







ALEJANDRO FERNANDEZ MARGARIT Ciencias de la Comput. e Int. Artificial [email protected]


1. DESCRIPTORES

Conjuntos y clases propias. Cardinal de un conjunto. Axioma de elección.

2. SITUACIÓN


La asignatura está dirigida a estudiantes del segundo ciclo de la Licenciatura en Matemáticas.

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4





353







diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo








1. Determinar si una clase es o no propia.

2. Calcular el cardinal de conjuntos básicos en Matemáticas.

3. Conocer el axioma de elección y discernir cuando se usa en una demostración.

4. Dominar el uso de procesos elementales de construcción en Matemáticas: definiciones por recursión y pruebas por

inducción.

4. OBJETIVOS

En Matemáticas se estudian propiedades de determinados objetos; por ejemplo, grupos, espacios topológicos, fuciones

continuas,

sitemas de ecuaciones diferenciales.

Estos objetos son de índole muy diversa. La Teoría de Conjuntos trata sobre ellos de manera uniforme: todos son conjuntos. Se

trata pues de obtener unas propiedades básicas sobre conjuntos a partir de las cuales podamos estudiar, con las técnicas

específicas convenientes (que dan lugar a las distintas disciplinas de las Matemáticas), las propiedades de estos objetos.

El problema fundamental de la Teoría de Conjuntos es describir de manera coherente el concepto de número de elementos de un


354

conjunto; es decir, su cardinal. En el curso se estudian propiedades generales la la aritmética cardinal, planteando uno de los

problemas que ha resultado más determinante en el desarrollo de la teoría: la hipótesis de continuo. En este contexto se calculan

los cardinales de determinados conjuntos de números reales: abiertos, cerrados, de Borel y análiticos.

Un axioma básico en Teoría de Conjuntos es el axioma de elección. Se prestará especial atención a que se obtenga una buena

asimilización de este principio y una maestría suficiente para su uso en Matemáticas.

Los principios de inducción y recursión son técnicas cuyo uso sobrepasa la aplicación que de ellas se hace en Matemáticas

sobre

los números naturales. Se presentarán las condiciones generales en los que pueden ser usadas.

5. Metodología:

El curso se desarrolla a través de clases teóricas y prácticas.










Tema 1. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel.

Tema 2. Buenos órdenes. Ordinales.

Tema 3. Cardinales.

Tema 4. El Axioma de Regularidad.

Tema 5. El Axioma de Elección.

Tema 6. Espacios Polacos.

Tema 7. Conjuntos de Borel y Analíticos.

Tema 8. Medida y Categoricidad.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:


- Lévy, Azriel. . Basic set theory /Azriel Levy. . (Berlin [etc.]Springer-Verlag,1) . ISBN 3-540-08417-7 .

- Kechris, Alexander S., . Classical descriptive set theory /Alexander S. Kechris. . 1995 . (New York [etc.]Springer-Verlag) . ISBN

0-387-94374-9 .

- Devlin, Keith J. . Fundamentals of contemporary set theory /Keith J. Devlin. . 1979 . (New York [etc.]Springer-Verlag) . ISBN

0-387-90441-7 .

- Hrbacek, Karel, . Introduction to set theory /Karel Hrbacek, Thomas Jech. . 2nd ed., rev. and expanded. . (New YorkMarcel

Dekker,1984.) . ISBN 0824770749 .


355


Para superar la asignatura será necesario obtener una calificación de al menos 5 puntos en una de las siguientes pruebas:

# Resolución de ejercicios: Se entregará una relación de ejercicios dividida en distintas partes que deberán ser resueltos a lo larg

del curso en unas fechas que se fijarán al comienzo. Cada alumno recibirá una calificación en cada una de las partes de l

relación de ejercicios y una global a todas ellas.

# Examen final: Consistirá en una prueba escrita compuesta de teoría y ejercicios.

Otras actividades: Cada uno de los temas se presentará con una relación de ejercicios. La resolución de estos ejercicios pued

abordarse de forma individual o en grupo. Cada alumno (o grupo) puede entregar el trabajo realizado. Estos trabajos servirá

para complementar la calificación obtenida en las pruebas anteriores.





Nº total de horas


Tema 1. La Teoría de Conjuntos de Zermelo Fraenkel.

Tema 2. Buenos órdenes. Ordinales.

Tema 3. Cardinales.

Tema 4. El Axioma de Regularidad.

Tema 5. El Axioma de Elección.

Tema 6. Espacios Polacos.

Tema 7. Conjuntos de Borel y Analíticos.

Tema 8. Medida y Categoricidad.




356


NOMBRE DE ASIGNATURA: Teoría de Homotopía





Nombre: Teoría de Homotopía

Código: 650066








FRANCISCO JESUS FERNANDEZ

LASHERASGeometría y Topología [email protected]


1. DESCRIPTORES

Grupos de homotopía de orden superior.

Homotopy groups of higher order.

2. SITUACIÓN




Los alumnos/as ya poseen sufucientes conocimientos de Algebra y Topología, así como Geometría Diferencial, y se encuentran en

disposición de emprender un estudio más completo sobre Teoría de Homotopía, como uno de los últimos cursos de la carrera.


Se recomienda que el alumno/a haya cursado previamente las asignaturas "Elementos de Homología Clásica" y "Variedades Diferenciables".

3. COMPETENCIAS







Referencia 1 2 3 4





357







diferentes fuentes


Toma de decisiones


Trabajo en equipo







Compromiso ético







Liderazgo









Ampliar y mejorar el doble lenguaje del Álgebra y la Topología.

Conocer y manejar nuevos métodos algebraicos aplicados al problema de la clasificación de espacios salvo tipo de homotopía.









358







.

4. OBJETIVOS

En esta asignatura presentamos un estudio más profundo de los CW-complejos desde un punto de vista homotópico, y

estudiamos dos conceptos fundamentales en Teoría de Homotopía : los grupos de homotopía de un espacio, y el concepto de

(co)fibración.

5. Metodología:













DESARROLLO Y JUSTIFICACIÓN: Se impartirán cuatro horas semanales en bloques de dos horas, alternando teoria y práctica. A lo

largo del curso se propondrán diversas cuestiones para detectar el nivel de comprensión de los contenidos expuestos.


Generalidades de homotopía.

Propiedades homotópicas de los CW-complejos.

Grupos de homotopía absoluta y relativa.

Espacios de Eilenberg-MacLane.

8. BIBLIOGRAFÍA

8.1. General:



359

- May, J. Peter. . A concise course in algebraic topology /J. P. May. . (1999.) . ISBN 0-226-51183-9 .

- Hatcher, Allen. . Algebraic topology /Allen Hatcher. . (2002.) . ISBN 0521795400 .

- Maunder, C. R. F. . Algebraic topology /C. R. F. Maunder. . (1972.) .

- Spanier, Edwin H. . Algebraic topology /Edwin H. Spanier. . (1966.) .

- Switzer, Robert M., . Algebraic topology-homotopy and homology /Robert M. Switzer. . (1975.) .

- Hilton, Peter John. . An introduction to homotopy theory /P.H. Hilton. . [3rd print.] . (1966.) .

- Fritsch, Rudolf, . Cellular structures in topology /Rudolf Fritsch, Renzo A. Piccinini. . (1990.) . ISBN 0-521-32784-9 .

- Hu, Sze-Tsen, . Homotopy theory /Sze-tsen Hu. . [4th print.] . (1959.) .

- Gray, Brayton. . Homotopy theory : an introduction to algebraic topology /Brayton Gray. . (1975.) . ISBN 0122960505 .

- Ross Geoghegan . Topological Methods in Group Theory . (2008) .

8.2. Específica:

8.2. Específica:

- Tema 1 :

Hatcher, A.: Algebraic Topology, Cambridge Univ. Press, 2001.

Hilton, P.J.: An introduction to homotopy theory;, Cambridge Univ. Press, 1953.

Maunder, C.: Algebraic Topology, Van Nostrand, 1972.

May, J.P.: A Concise Course in Algebraic Topology, Chicago Lectures in Math., 1999.

Switzer, R.M.: Algebraic Topology, Springer, 1975.

- Tema 2 :

Fritsch, R., Piccinini, R.A.: Cellular structures in Toplogy, Cambridge studies in advanced math. 19. Cambridge Univ. Press

1990.


Hilton, P.J.: An introduction to homotopy theory, Cambridge Univ. Press, 1953.

Switzer, R.M.: Algebraic Topology, Springer, 1975

- Tema 3 :




Hu, S-T.: Homotopy Theory, Academic Press, 1959

- Tema 4 :




Hu, S-T.: Homotopy Theory, Academic Press, 1959

Gray, B.: Homotopy Theory : An Introduction to Algebraic Topology, Academic Press, 1975

Maunder, C.: Algebraic Topology, Van Nostrand, 1972

- Tema 5 :

Maunder, C.: Algebraic Topology, Van Nostrand, 1972

May, J.P.: A Concise Course in Algebraic Topology, Chicago Lectures in Math., 1999.

Spanier, E.H.: Algebraic Topology, McGraw-Hill, 1966, Springer-Verlag, 1982

Hatcher, A.: Algebraic Topology, Cambridge Univ. Press, 2001



360




Se realizarán dos convocatorias de examen, junio y septiembre. En ambos casos, los exámenes serán teórico-prácticos. Por otra

parte, se contemplará la opción de que el alumno pueda aprobar la asignatura antes del examen final de acuerdo con los

siguientes criterios : asistencia y participación en clase, y demostración de un trabajo continuado basado en la resolución de las

diversas cuestiones propuestas en clase a lo largo de cada uno de los temas.



Seminarios

Trabajo en grupo

reducido

Otras

actividades

Trabajo de



Nº total de horas 32,00 80,00 20,00 40,00 4,00 4,00 4,00 4,00 0,00 28,00 0,00 0,00 4,00 -

1ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

2ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1

3ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

4ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2

5ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

6ªSemana 3,00 7,50 1,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

7ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

8ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

9ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3

10ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

11ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

12ªSemana 2,00 5,00 1,00 2,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

13ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4

14ªSemana 2,00 5,00 2,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5

15ªSemana 0,00 0,00 2,00 4,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5


competencias que van a trabajar en cada tema):

Tema 1:

Generalidades de homotopía. Los problemas de extensión y elevación de homotopías. Fibraciones y cofibraciones.

Tema 2:

Propiedades homotópicas de los CW-complejos. Teorema de aproximación celular.

Tema 3:

Grupos de homotopía absoluta (y relativa) asociados a un espacio topológico. El caso de los CW-complejos.

Tema 4:

Propiedades fundamentales de los grupos de homotopía. Teorema de suspensión de Freudenthal. Cálculo de \pi_n(S^n).

Teoremas de Whitehead y Hurewicz.

Tema 5:

Espacios de Eilenberg-MacLane: propiedades y relación entre homotopía y cohomología.


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Responsabilidad del Departamento.




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colección de guías docentes para la titulación licenciatura en

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