UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERA

TRABAJO COLABORATIVO 1 METODOS NUMERICOS

CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ

TutorJOSE ADEL BARRERA

BOGOTA MARZO 2015

IntroduccinEste trabajo pretende presentar de manera muy breve los contenidos del curso de Mtodo Numricos de la UNAD y lograr ser una herramienta de referencia rpida para el desarrollo del curso.Al momento de aplicar las Matemticas a situaciones del mundo real nos encontramos a menudo con problemas que no pueden ser resueltos analticamente o de manera exacta y cuya solucin debe ser abordada con ayuda de algn procedimiento numrico. Los mtodos numricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemticos para los cuales se dificulta la utilizacin de mtodos analticos tradicionales y, ocasionalmente, son la nica opcin posible de solucin. Son tcnicas mediante las cuales un modelo matemtico es resuelto usando solamente operaciones aritmticas, tediosos clculos aritmticos. Son tcnicas sistemticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de inters; la repeticin consistente de la tcnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez ms al valor buscado. Es por ende que por medio del presente trabajo se pretende aplicar las temticas del curso correspondientes a la Unidad 1 y acercarnos un poco ms a los mtodos propuestos para solucionar problemas.

Objetivos Presentar de manera clara el resultado de las operaciones de reconocimiento y apreciacin de los contenidos del curso de Mtodos Numricos. Identificar y presentar claramente las unidades organizativas del curso y sus contenidos. Estudiar y comprender muy bien los conceptos de cada captulo de la unidad. Evaluar e implementar los procesos de aplicacin de los diversos casos de errores y races de ecuaciones. Desarrollar competencias comunicativas con sus compaeros de grupo al realizar un procedimiento matemtico. Desarrollar la competencia argumentativa al exponer la resolucin de un problema utilizando los conceptos del mdulo.

Mapa Conceptual

Cuadro Comparativo

Error absoluto es igual a la imprecisin que acompaa a la medida. Nos da idea de la sensibilidad del aparato o de lo cuidadosas que han sido las medidas por lo poco dispersas que resultaron. Ea=imprecisin=incertidumbre

El error absoluto nos indica el grado de aproximacin y da un indicio de la calidad de la medida. El conocimiento de la calidad se complementa con el error relativo.

Error Relativo se puede definir como el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero Esto es, Y tambin se define el error relativo porcentual, como sigue: Es decir, De hecho el error que ms usamos es este ltimo, ya que nos da una idea en tanto por ciento del error que se est cometiendo.

Ejemplo.Al medir la longitud de una varilla para construccin se obtiene el resultado aproximado de 19,999 cm. mientras que al medir la longitud de un clavo, se obtiene el resultado de 9 cm. Suponiendo que los valores verdaderos de la varilla y el clavo son de 20,000 cm. y 10 cm. respectivamente, calcular el error absoluto en ambos casos.Solucin. Tenemos los siguientes resultados:Para el caso de la varilla, el error absoluto se calcula como: Para el caso del clavo, el error absoluto se calcula como: En ambos casos, el error absoluto es igual, pero obviamente tiene mayor trascendencia el error en el caso del clavo que en el caso de la varilla, es decir, necesitamos comparar el error absoluto contra el valor verdadero.Por ejemplo, en el caso de la varilla el error relativo porcentual es: Mientras que en el caso del clavo, el error relativo porcentual es: Podemos observar, que el error relativo porcentual refleja mejor la gravedad o no gravedad del error que se est cometiendo. Es claro, que en el caso de la varilla no es trascendente ya que representa solamente un 0.005% con respecto al valor verdadero, mientras que en el caso del clavo, el error si es representativo ya que es del 10% del valor verdadero.

Ejemplo: Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20s; 3.15s1. Valor que se considera exacto3,01+3,11+3,20+3,15 = 12,47 = 3,1175 = 3,12 s 4 4 2. Errores absolutos y relativo de cada medida:

Medidas Errores AbsolutosErrores Relativos

3,01 s3,01 - 3,12 = -0,11s-0,11 /-0.036 = (-3.6%)

3,11 s3,11 - 3,12 = -0.01s-0.01 /-0.003 = (-0.3%)

3,20 s3,20 - 3,12 = +0.08s+0.08 /+0.026=(+2.6%)

3.15 s3.15 - 3,12 = +0,03s+0,03 /+0.010=(+1.0%)

Error por redondeo: Es aquel que resulta de representar aproximadamente una cantidad exacta aumentando o disminuyendo artificialmente el valor de una magnitud

Ejemplo: Redondear a 6 cifras significativas y obtener en cada caso el error por redondeo.75.6647491 --- 75.6647E=[75.6647491 - 756647] = 0.0000491

75.6647591 --- 75.6648E=[75.6647591 - 756648] = 0.0000409

75.6647491 --- 75.6648E=[75.6647891 - 756648] = 0.0000109

Error de truncamiento: Son aquellos que resultana al usar una aproximacion en lugar de un procedimiento matematicoEjemplo: Redondear a 6 cifras significativas y obtener en cada caso el Error de truncamiento

75.6647491 --- 75.6647E=[75.6647491 - 756647] = 0.0000491

75.6647591 --- 75.6647E=[75.6647591 75.6647] = 0.0000591

75.6647891 --- 75.6647E=[75.6647891 - 756648] = 0.0000891

Races de EcuacionesRAICESDESCRIPCINEJEMPLO

BISECCIONEste es uno de los mtodos ms sencillos y de fcil intuicin para resolver ecuaciones en una variable, tambin conocido como Mtodo de Intervalo Medio.[1] Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda funcin continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sera un valor intermedio entre f(j) y f(e), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solucin de la ecuacin f(x)=0.El mtodo consiste en lo siguiente: Debe existir seguridad sobre la continuidad de la funcin f(x) en el intervalo [a,b] A continuacin se verifica que Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evala f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raz buscada En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b) Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] [m, b] segn se haya determinado en cul de estos intervalos ocurre un cambio de signo Con este nuevo intervalo se contina sucesivamente encerrando la solucin en un intervalo cada vez ms pequeo, hasta alcanzar la precisin deseadaEn la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito.El mtodo de biseccin es menos eficiente que el mtodo de Newton, pero es mucho ms seguro para garantizar la convergencia. Si f es una funcin continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este mtodo converge a la raz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:

Ecuacin f(x) = (667.38/x) * (1-exp(- 0.146843 x)) 40

Solucin

Primera Iteracin: = 12; = 16 = (13+16) / 2 = 14f(12) f(14) = (6.067)(1.569) = 9.517 > 0 No hay cambio de signo entre el lmite inferior y el punto medio. En consecuencia la raz debe estar localizada entre 14 y 16.

Segunda Iteracin = 14; = 16 = (14+16) / 2 = 15f(14) f(15)= (1.569) (-0.425) = -0.666 < 0

Tercera Iteracin

= 14; = 15 = (14+15) / 2 = 14.5

Diagrama:

REGLA FALSAComo en el mtodo de biseccin, se parte de un intervalo inicial [a0,b0] con f(a0) y f(b0) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raz (vase Teorema de Bolzano). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo ms pequeo [ak, bk] que sigue incluyendo una raz de la funcin f.A partir de un intervalo [ak, bk] se calcula un punto interior ck:

Dicho punto es la interseccin de la recta que pasa por (a,f(ak)) y (b,f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el mtodo de la secante).Se evala entonces f(ck). Si es suficientemente pequeo, ck es la raz buscada. Si no, el prximo intervalo [ak+1, bk+1] ser: [ak, ck] si f(ak) y f(ck) tienen signos opuestos; [ck, bk] en caso contrario.

Usar el mtodo de la regla falsa para aproximar la raz de , comenzando en el intervalo y hasta que .SolucinEste es el mismo ejemplo 1 del mtodo de la biseccin. As pues, ya sabemos que es contnua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el mtodo de la regla falsa.Calculamos la primera aproximacin:

Puesto que solamente tenemos una aproximacin, debemos seguir con el proceso.As pues, evaluamos

Y hacemos nuestra tabla de signos:

De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo .Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximacin:

En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.Evaluamos , y hacemos la tabla de signos:

De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo , con el cual, podemos calcular la nueva aproximacin:

Y el error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, concluimos que la aproximacin buscada es:

NEWTON RAPHSONEl mtodo de Newton-Raphson es un mtodo abierto, en el sentido de que no est garantizada su convergencia global. La nica manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raz buscada. As, se ha de comenzar la iteracin con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercana del punto inicial a la raz depende mucho de la naturaleza de la propia funcin; si sta presenta mltiples puntos de inflexin o pendientes grandes en el entorno de la raz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor puesto cercano a la raz. Una vez que se ha hecho esto, el mtodo linealiza la funcin por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta ser, segn el mtodo, una mejor aproximacin de la raz que el valor anterior. Se realizarn sucesivas iteraciones hasta que el mtodo haya convergido lo suficiente.Sea f: [a, b] -> R funcin derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada nmero natural n

Donde f' denota la derivada de f.Ntese que el mtodo descrito es de aplicacin exclusiva para funciones de una sola variable con forma analtica o implcita conocible. Existen variantes del mtodo aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las races de la tendencia, as como algoritmos que extienden el mtodo de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.

F(x) = + Se sita un punto inicial = 1Se obtiene la siguiente x mediante la formula = Para seguir procesando se calcula la derivada de f(x) +

Iteracin 1

Y ahora ya el solo necesario remplazar en la formula =

= = 1 - = 1 + 0.714285

Iteracin 2

Se determina

Ahora se prueba el valor para ver si esta x ya cumple nuestro objetivo.f(1.585701369) = 1.58570136 + 2(1.58570136 + 7(1585701369) 20 f (1.585701369) = 0.1159722009

Dado que |0.1159722009| > 0.001, se contina iterando para mejorar la solucin.

Iteracin 3

Se determina

15.85701369

15.85701369 - 15.85701369 0.005552588153

Ahora se prueba el valor para ver si esta x ya cumple nuestro objetivo.f(1.580148781) = 1.58014878 + 2(1.580148781 + 7(1.580148781) 20 f(1.580148781) = 0.0002081627837Dado que |0.00020816278379|< 0.001 , se ha encontrado una raz satisfactoria en x= 1.580148781

Diagrama:

PUNTO FIJO En clculo numrico, el mtodo de regula falsa (regla falsa) o falsa posicin es un mtodo iterativo de resolucin numrica de ecuaciones no lineales. El mtodo combina el mtodo de biseccin y el mtodo de la secante. Este mtodo sirve para encontrar la raz o solucin real de una ecuacin. Al decir que encuentra su resultado hay que tomar en cuenta que no todas las ecuaciones tienen un solo resultado, y que no todas tienen resultado, por lo que hay que tener una idea de la forma de la curva de la ecuacin antes de aplicar el mtodo para que sea efectivo.

f(x) = x2 - 2x - 3 = 0, tiene dos ceros. x = 3 y x = -1 Supngase que se reordena para lograr la forma equivalente:

Si se comienza con x0 = 4 y se itera con la iteracin de punto fijo (1), los valores sucesivos de x son:parece que los valores convergen a x = 3. Otro reordenamiento de f(x) = 0 es :

Si nuevamente se comienza con x0 = 4, los valores sucesivos de x son:

parece que ahora x converge al otro cero de f, x = -1.Considrese un tercer reordenamiento

Comenzando de nuevo con x0 = 4 se obtiene:x0 = 4x1 = 6.5x2 = 19.625x3 = 191.070

Diagrama:

Conclusiones Se ha logrado la identificacin de los actores participantes del proceso de aprendizaje correspondiente al curso de Mtodos Numricos. Se ha logrado satisfactoriamente identificar las unidades organizativas correspondientes al detalle del programa del curso, sus unidades y elementos organizativos. Se ha podido afianzar el uso de herramientas informticas de organizacin de ideas y de colaboracin de grupo por medio de los ejercicios de participacin grupal y redaccin de informes escritos. Realizar ejercicios y practicar con problemas planteados, permite aplicar los conocimientos adquiridos en el desarrollo del tema de la Unidad 1, tales como: error relativo, error absoluto, formula cuadrtica, y mtodo de biseccin.

BibliografaMdulo del Curso Mtodos numricos. Recuperado el 2 de Marzo de 2015, del Aula virtual: 100401 Curso Mtodos numricos de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia: http://campus.unadvirtual.org/campus/

Canales, T. (2002, 14 de Mayo). Formato APAQuinta Edicin. Extrado el 13 de Marzo de 2015 desde :http://www.mistareas.com.ve/las-normas-apa.php.

Gua Trabajo Colaborativo 1 (2015). - Extrado el 1 de Marzo de 2015 desde el foro suministrado por el tutor. Mtodos Numricos. Recuperado el 13 de Marzo de 2015 desde: http://dcb.fi-c.unam.mx/users/.../1.2%20Aproximacion%20numerica.pps