co to są badania operacyjne - urząd miasta Łodzi

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 1_PL) [1]

Co to są badania operacyjne ?

Termin "badanie operacji" (Operations' Research) powstał

podczas II wojny światowej i przetrwał do dzisiaj. W terminologii

angielskiej najczęściej używa się terminu "Badania Operacyjne"

(Operational Research). W terminologii amerykańskiej - "Nauka o

Zarządzaniu" (Management Science). Jedną z możliwych definicji

badań operacyjnych przytoczymy za Harvey'em Wagner'em:

Badania operacyjne - to naukowa metoda rozwiązywania

problemów z zakresu podejmowania decyzji kierowniczych.

Obszar wiedzy wykorzystywany w badaniach operacyjnych to

spora część zakropkowanego obszaru na poniższym rysunku.

Pole zastosowań badań operacyjnych obejmuje sporządzanie

matematycznych, ekonomicznych i statystycznych opisów (modeli)

procesów decyzyjnych charakteryzujących się dużą złożonością

(i często niepewnością). Takie opisy (modele) umożliwiają

precyzyjne analizowanie złożonych procesów decyzyjnych

i ułatwiają podejmowanie najlepszej decyzji.


Podstawowym narzędziem badań operacyjnych jest model.

Rzeczywistość można modelować trojako:

1. ikonicznie (obrazowo) - tj. przedstawiać przedmioty lub

zdarzenia w zmienionej skali (np. mapa, model samochodu, itp.)

2. analogowo - tj. przedstawiać właściwości badanego zjawiska za

pomocą własności innych zjawisk (np. dochodzenie do ceny

równowagi na rynku danego dobra można przedstawić jako ruch

poziomu cieczy w układzie naczyń połączonych, w którym

mechanizmem wyrównującym cenę jest grawitacja),

3. symbolicznie (matematycznie) - tj. opisywać rzeczywistość za

pomocą wzorów matematycznych (równań).

W badaniach operacyjnych rzeczywistość modelowana jest

symbolicznie.

Model (tutaj) jest to równanie (lub układ równań) za pomocą

którego odzwierciedlamy procesy decyzyjne i społeczno-gospodarcze

zachodzące w życiu gospodarczym.

Procesy decyzyjne dzielimy na 4 podstawowe klasy. Podział jest

ściśle związany z ilością i jakością informacji jaką dysponuje

decydent w procesie podejmowania decyzji. Mówimy o

podejmowaniu decyzji w warunkach:

1. pewności. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej decyzji

odpowiada jeden tylko wynik z prawdopodobieństwem równym

jedności (mówimy, że proces jest zdeterminowany).

2. niepewności. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej decyzji

odpowiada więcej niż jeden wynik (mówimy, że proces jest

procesem stochastycznym). Nie znamy jednak

prawdopodobieństwa z jakim dany wynik może wystąpić.

3. ryzyka. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej decyzji odpowiada

więcej niż jeden wynik, ale znamy prawdopodobieństwo z jakim

dany wynik może wystąpić.

4. częściowej informacji. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej

decyzji odpowiada więcej niż jeden wynik Nie znamy co prawda

prawdopodobieństwa z jakim dany wynik może wystąpić, ale

możemy próbować je oszacować dzięki znajomości niektórych

charakterystyk nieznanego rozkładu prawdopodobieństwa, np.

wartość oczekiwana, wariancja, mediana, dominanta, itp.


Podejmowanie decyzji w warunkach pewności. Podejmowanie decyzji jest podstawowym elementem każdej

działalności gospodarczej.

Na ogół przy danych warunkach istnieje wiele decyzji

dopuszczalnych, tj. ogólnie mówiąc decyzji które mogą być

zrealizowane pomimo szeregu ograniczeń narzuconych decydentowi

przez otoczenie jak i przez niego samego.

Zrozumiałe jest wtedy poszukiwanie decyzji optymalnej.

Jeśli mówimy o decyzji optymalnej to zakładamy, że określone

zostało pewne kryterium rozstrzygające, która z decyzji

dopuszczalnych jest tą decyzją najlepszą, tj. optymalną.

Tak więc na zbiorze decyzji dopuszczalnych musi być określona

pewna funkcja, nazywana funkcją kryterialną (funkcją celu), dla

której należy znaleźć wartość największą (najmniejszą) w zbiorze

decyzji dopuszczalnych.

Narzędziem skutecznie wspomagającym proces wyboru decyzji

optymalnej są metody programowania matematycznego (PM).

Przedmiotem PM jest budowa modeli matematycznych (zadań

PM) dla określonych sytuacji decyzyjnych, znajdowanie metod

rozwiązywania tych modeli (zadań), rozwiązywanie ich, a w końcu

weryfikacja otrzymanych rozwiązań i ich wykorzystanie.

Ogólny problem PM można sformułować następująco:

Znajdź wartość największą (najmniejszą) funkcji celu

(1) nxxxf ,...,, 21 lub krócej xf

przy warunku

(2) XxxxT

n ,...,, 21 lub krócej Xx

gdzie:

X - zbiór decyzji dopuszczalnych (rozwiązań dopuszczalnych)

Tnxxx ,...,, 21x - decyzja (rozwiązanie)

jx - zmienna decyzyjna (j=1,2,...,n)


Zapis wprowadzony w (2), tj. Xx oznacza, że x jest decyzją

dopuszczalną (rozwiązaniem dopuszczalnym).

Jeżeli przez o

x oznaczymy decyzję optymalną to możemy

krótko zdefiniować ją jako tą z decyzji dopuszczalnych, która daje

nam największą (najmniejszą) wartość funkcji celu xf , tj.

(3) xxxx ffX oo max(min):

Decyzja optymalna musi być decyzją dopuszczalną.

Jeżeli istnieje choć jedna decyzja dopuszczalna, tj. jeżeli zbiór

decyzji dopuszczalnych X jest niepusty (X) wówczas zadanie PM

jest zadaniem niesprzecznym i może posiadać skończone

rozwiązanie optymalne lub nie posiadać skończonego rozwiązania

optymalnego.

Jeżeli natomiast nie istnieje ani jedna decyzja dopuszczalna, tj.

jeżeli zbiór decyzji dopuszczalnych X jest pusty (X) wówczas

zadanie PM jest zadaniem sprzecznym i nie posiada rozwiązania.

Komentarz do zapisu „min” lub „max” w zadaniach PM


Etapy wykorzystania metod PM w procesie podejmowania decyzji

I. budowa modelu PM (zadania PM),

II. rozwiązanie zadania PM,

III. weryfikacja modelu i uzyskanego rozwiązania oraz

IV. opracowanie systemu kontroli.

W etapie I powinniśmy na początek ściśle sformułować:

co jest celem działania,

o czym mamy decydować,

jakie są warunki w jakich działamy,

jakie środki wchodzą w grę oraz

kryterium umożliwiające ocenę decyzji.

Budujemy zadanie PM wg następującej kolejności:

1. stworzenie listy zmiennych decyzyjnych,

2. sformułowanie funkcji celu (1)

3. sformułowanie równań lub nierówności określających zbiór

decyzji dopuszczalnych X.

W etapie II rozwiązujemy zbudowane zadanie PM w celu

określenia decyzji optymalnej o

x .

Etap III jest jednym z najważniejszych etapów w poszukiwaniu

decyzji optymalnej metodami programowania matematycznego.

Chodzi tu o konfrontację uzyskanego rozwiązania z rzeczywistością

gospodarczą w takim zakresie jak to jest tylko możliwe.

Etap IV (opracowanie systemu kontroli) jest dynamiczną wersją

etapu III (weryfikacji). Chodzi tutaj o to, że warunki w których

podejmowana jest określona decyzja nie są statyczne i ulegają

ciągłym zmianom. Może okazać się, że rozwiązanie uznane

za optymalne "wczoraj" - "dziś" już nim nie jest.


Liniowe modele decyzyjne

[zadania programowania liniowego (PL)]

Jeżeli w modelu PM (1)-(2):

1. funkcja celu (1) jest funkcją liniową oraz

2. równia i nierówności generujące zbiór decyzji dopuszczalnych

X są formami liniowymi,

to model PM nazywany jest modelem programowania liniowego

(zadaniem PL).

Przykład

Mały zakład wytwarza dwa produkty A i B, których ceny zbytu

wynoszą odpowiednio 3 $/szt. i 4 $/szt.

Należy opracować dzienny plan produkcji zakładu tak, aby

wartość produkcji liczona w cenach zbytu była możliwie największa.

Produkcja jest limitowana głównie przez dwa czynniki:

dostępny czas pracy maszyn i surowiec podstawowy.

Dzienny limit czasu pracy maszyn wynosi 500 minut.

Umowy z producentem surowca podstawowego wskazują, że

każdego dnia zakład będzie miał do dyspozycji 350 kg tego surowca

(bezpieczny poziom).

Zakład jest zainteresowany takim programem dziennej

produkcji, przy którym osiągał będzie zysk minimum 600 $.

Sztuka wyrobu A wymaga 1 minuty czasu pracy maszyn,

natomiast sztuka wyrobu B – 2 minut.

Na wyprodukowanie sztuki wyrobu A zużywa się 1 kg surowca

specjalnego. Również sztuka wyrobu B wymaga 1 kg tego surowca.

Jednostkowy zysk ze sztuki wyrobu A wynosi 2 $/szt., a ze sztuki

wyrobu B – 1 $/szt.


1. lista zmiennych decyzyjnych

x1 - dzienna produkcja wyrobu A [szt.]

x2 - dzienna produkcja wyrobu B [szt.]

2. funkcja celu (wartość produkcji w cenach zbytu)

w(x1, x

2) = w(x) = 3 x

1 + 4 x

2 max [$]

3. ograniczenia określające zbiór planów dopuszczalnych

(maszyny) x1 + 2 x

2 500 [minuta]

(surowiec) x1 + x

2 350 [kg]

(min. zysk) 2 x1 + x

2 600 [$]

(warunki x1 0 [szt.]

brzegowe) x2 0 [szt.]

Ilustracja zbioru decyzji dopuszczalnych X

Decyzja optymalna

1150, 100 250 2121 oooo xxwxx


Rozwiązywanie zadań PL

Zadania PL rozwiązujemy:

1. metodą graficzną (2 zmienne decyzyjne)

2. metodą simpleks (klasyczną, zrewidowaną, zmodyfikowaną,

dualną).

Metoda graficzna


Klasyczna metoda simpleks

w(x1,x2) = w(x) = 3 x1 + 4 x2 max

(maszyny) x1 + 2 x2 500

(surowiec) x1 + x2 350

(min. zysk) 2 x1 + x2 600

(warunki brzegowe) x1 0, x2 0

Postać kanoniczna po dołączeniu 4 nowych zmiennych

(3 swobodne i jedna sztuczna) jest następująca:

w’ = 3 x1 +4 x2 +0s1 +0s2 +0s3 Mt3 max

x1 +2 x2 + s1 = 500

x1 + x2 + s2 = 350

2 x1 + x2 s3 +t3 = 600

x10, x20, s10, s20, s30, t30

Interpretacja zmiennych swobodnych

s1 - niewykorzystany fundusz czasu pracy maszyn (limit 500 min)

(ang. slack (luz)),

s2 - niewykorzystany zasób surowca (limit 350 kg)

(ang. slack (luz)),

s3 - przekroczenie minimalnej kwoty zysku (żądanie 600 $)

(ang. surplus (nadwyżka)).


Znajdowanie rozwiązania optymalnego zadania PL

klasyczną metodą simpleks

c j

3 4 0 0 0 M

wart.

zm.

baz.

ilor.

wyj.

ciB

baza

zm.

baz.

P1

x1

P2

x2

P3

s1

P4

s2

P5

s3

P6

t3 x iB

x

y

i

ik

B

0 P3 s1 1 2 1 0 0 0 500 500

0 P4 s2 1 1 0 1 0 0 350 350

M P6 t3 2 1 0 0 1 1 600 300

jj zc

3+2M 4+M 0 0 -M 0 600

M

x

0 P3 s1 0 3/2 1 0 1/2 1/2 200 133 1/3

0 P4 s2 0 1/2 0 1 1/2 1/2 50 100

3 P1 x1 1 1/2 0 0 1/2 1/2 300 600

jj zc

0 +5/2 0 0 +3/2 -M-3/2 900 x

0 P3 s1 0 0 1 3 1 1 50

4 P2 x2 0 1 0 2 1 1 100

3 P1 x1 1 0 0 1 1 1 250

jj zc

0 0 0 -5 -1 -M+1 1150 x

Optymalny program dziennej produkcji jest następujący:

1. 250 sztuk wyrobu A oraz 100 sztuk wyrobu B.

2. Maksymalna wartość produkcji w cenach zbytu wynosi 1150 $.

3. Limit czasu pracy maszyn (500 min.) nie będzie wykorzystany

w ilości 50 minut.

4. Dzienny zasób surowca (350 kg) będzie wykorzystany w całości.

5. Minimalny poziom zysku (600 $) nie będzie przekroczony.


Model programowania liniowego

(liniowy model decyzyjny) Przykład 2

Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje

specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa

na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów

paliwa Y. Paliwa te mogą być wytwarzane niezależnie w dwóch

procesach: P1 i P2.

W ciągu 1 godziny trwania procesu P1 zużywa się 1 baryłkę

ropy A oraz 3 baryłki ropy B i otrzymuje 100 galonów paliwa X

oraz 30 galonów paliwa Y.

W ciągu 1 godziny trwania procesu P2 zużywa się 4 baryłki

ropy A oraz 2 baryłki ropy B i otrzymuje 50 galonów paliwa X oraz

40 galonów paliwa Y.

Zasób ropy A wynosi 320 baryłek, a ropy B 240 baryłek.

Zysk z godziny produkcji według procesu P1 wynosi 200 $, a

koszty 300 $.

Zysk z godziny produkcji według procesu P2 wynosi 500 $, a

koszty 600 $.

Szef produkcji poszukuje takiej kombinacji procesów P1 i P2

(tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile P2), aby

a. osiągnąć maksymalny zysk

b. osiągnąć minimalny koszt


MODEL DECYZYJNY (a) - przykład 2

1. lista zmiennych decyzyjnych

P1 - intensywność procesu P1 [godz.]

P2 - intensywność procesu P2 [godz.]

2. funkcja celu (zysk z uruchomienia procesów P1 i P2)

Z(P1,P2) = 200P1 + 500P2 max [$]


(paliwo X) 100P1 + 50P2 4000 [galon]

(paliwo Y) 30P1 + 40P2 2400 [galon]

(ropa A) 1P1 + 4P2 320 [baryłka]

(ropa B) 3P1 + 2P2 240 [baryłka]

(warunki P1 0 [godz.]

brzegowe) P2 0 [godz.]

MODEL DECYZYJNY (b) - przykład 2

ZMIENIA SIĘ TYLKO FUNKCJA CELU

1. lista zmiennych decyzyjnych - bez zmian

2. funkcja celu (koszty uruchomienia procesów P1 i P2)

K(P1,P2) = 300P1 + 600P2 min [$]


- pozostają bez zmian

co to są badania operacyjne - urząd miasta Łodzi

Documents