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250 EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDASPedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ

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250 EJERCIOS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDASPedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ

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SERIE CORONEL 03

(C) Serie Coronel, 2017(C) 2017. Pedro Pablo CoRonEl PéREz / Pablo Josué CoRonEl lóPEz

DEPóSITo lEGAl: If07620153703627ISBn: 978-980-12-8561-8DIAGRAmACIón InTERnA: Editorial Infinito, 2017 (Prof. Pedro P. Coronel P.)DISEño DE PoRTADA: Elkin J. Calle CortésEDIToR lITERARIo: magister / lcdo. Pedro Alberto Coronel lópezASESoRA mEToDolóGICA: magister /lcda. Yuraima Coronel PérezImPRESIón: Editorial Infinito, San Cristóbal [junio, 2017]TIRAJE: 500 ejemplares.TIPo DE SoPoRTE: Papel Bond base 20 gr/cm2

las observaciones, sugerencias y correspondencia se ruega hacerlas llegar a los siguientes correos electrónicos: [email protected] / [email protected]

Impreso en la República Bolivariana de VenezuelaPrinted in the Bolivarian Republic of Venezuela

las publicaciones de la SERIE CORONEL gozan de protección de los derechos de propiedad intelectual en virtud del Proto-colo a la Convención Universal Sobre Derechos de Autor. Sin previa autorización por escrito por parte del editor, quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas por las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía, el tratamiento informático y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. Reservados todos los derechos.

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“Una ecuación no tiene para mí ningún significado a menos queexprese un pensamiento de Dios”.

SrinivaSa ramanujan (1887-1920) / matemático autodidacta indio

A Srinivasa Ramanujan, matemático autodidacta indio

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Comentario de los autores

Fundamento Teórico para la integración indefinida

Bibliografía

Encontrar la integral y verificar el resultado mediante la derivación

El cálculo integral y problemas como crecimiento poblacional, entre otros

Encontrar la integral aplicando la técnica de sustitución (cambio de variable)

Encontrar la integral aplicando la técnica de integración por partes

Encontrar la integral aplicando la técnica de integración de funcionestrigonométricas

Encontrar la integral aplicando la técnica de sustitución trigonométricas

Encontrar la integral aplicando la técnica de funciones racionales

Encontrar la integral de funciones racionales de seno y coseno

Encontrar la integral de funciones cuadráticas

Encontrar la integral de funciones irracionales

Estrategias para iniciar la resolución de integrales indefinidas

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C O N T E N I D O

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250 EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS Con APlICACIonESPedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ

¡Bienvenidos a la primera edición de 250 EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALOES IN-DEFINIDAS! la Editorial Infinito se enorgullece en presentar a la comunidad estudiantil y profesoral el libro antes mencionado. El propósito de este libro es presentar a quienes inician estudios universitarios, unas series de ejercicios sobre integrales indefinidas, muy represent-ativas y resueltas en forma detallada. Evidentemente, será de gran utilidad para estudiantes de carrera vinculadas a la ingeniería, las ciencias, la tecnología o cualquier especialidad donde el cálculo matemático sea un requisito indispensable dentro del pensum de estudio. El número de ejercicios incluidos permite que el libro pueda ser utilizado también como texto tanto por el alumno como por el profesor en el desarrollo de este importante tema de cálculo. los autores se han esmerado en la explicación de los procedimientos utilizados en la resolución de cada uno de los problemas. los ejercicios han sido seleccionados con el objeto de ampliar los conocimientos adquiridos en clase, así como también para que el estudiante adquiera práctica en la resolución de problemas y así prevenirle ante las dificultades con que normalmente se tropieza el principiante. Se espera que disfruten de la primera edición de 250 Ejercicios Resueltos de Integrales indefinidas. Como siempre, serán bienvenidos los comentarios y sugerencias para continuar mejorando la obra.

Pedro Pablo Coronel Pérez Autor Pablo Josué Coronel López Autor

COMENTARIO DE LOS AUTORES

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250 EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS Con APlICACIonESPedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ

FUNDAMENTO TEÓRICOPARA LA

INTEGRACIÓN INDEFINIDA

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250 EJERCIOS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDASPedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 ejercicios resueltos de integrales indefinidas

Pedro Pablo Coronel Pérez / Pablo Josué Coronel López

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Anti derivadas o primitivas

En el fundamento teórico para la derivación se hizo referencia únicamente al problema básico siguiente: Dada una función f encontrar su derivada f´. En el presente fundamento teórico de este libro, se verá que un problema igualmente importante es:

𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑢𝑢𝑢𝑢𝐷𝐷 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑢𝑢 𝑓𝑓, 𝑒𝑒𝑢𝑢𝑓𝑓𝑒𝑒𝑢𝑢𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑢𝑢𝐷𝐷 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑢𝑢 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑐𝑐𝐷𝐷 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒𝑓𝑓𝑑𝑑𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑠𝑠𝑒𝑒𝐷𝐷 𝑙𝑙𝐷𝐷 𝑓𝑓 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷.

Esto es, para una función dada f, se desea encontrar otra función F para la cual F´(x) = f(x) para todo x en cierto intervalo.

Definición

Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de una función f si F´(x)= f(x) en algún intervalo.

Ejemplo

Una antiderivada o primitiva de f(x) = 2x es 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2, puesto que F´(x)= 2x.

Siempre hay más de una antiderivada de una función. En el caso del ejemplo anterior, 𝐹𝐹1(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 1 𝑐𝑐 𝐹𝐹2(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 10 son también antiderivadas de f(x) = 2x, puesto que 𝐹𝐹1´(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹2´(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥). En efecto, si F es una antiderivada de una función f entonces G(x) = F(x)+C también lo es, para cualquier constante C. Esto es una consecuencia del hacho de que:

𝐺𝐺´(𝑥𝑥) = 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑥𝑥 (𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶) = 𝐹𝐹´(𝑥𝑥) + 0 = 𝐹𝐹´(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Entonces, 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 representa la familia de antiderivadas del cual cada miembro tiene una derivada igual a 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Siendo 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 la antiderivada más general de 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

250 ejercicios resueltos de integrales indefinidas Pedro Pablo Coronel Pérez / Pablo Josué Coronel López

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Notación de la integral indefinida

Por conveniencia introduzcamos una notación para una antiderivada o primitiva de una función. Si 𝐹𝐹´(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), la antiderivada más general de f se representará mediante: ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 Al símbolo ∫ se le llama símbolo de la integral, y a la notación ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 se le llama integral indefinida de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) con respecto a 𝑥𝑥. La función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) se denomina integrando. El proceso de encontrar una antiderivada o primitiva recibe el nombre de antidiferenciación o intrgración. Al número C se le conoce como constante de integración. Así como el símbolo 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 ( ) denota diferenciación con respecto a 𝑥𝑥, el símbolo ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 denota integración con respecto a 𝑥𝑥.

La integral indefinida de una potencia Al diferenciar la potencia 𝑥𝑥𝑛𝑛, el exponente n se pone como factor y se disminuye en 1 el valor del exponente original. Para hallar una antiderivada o primitiva de 𝑥𝑥𝑛𝑛, la opuesta de la regla de diferenciación sería: aumentar el exponente en 1 y dividir entre el nuevo exponente n+1. La regla análoga, para la integral indefinida, según la regla de diferenciación de una potencia, es como sigue:

Si n es un número racional, entonces para n ≠ -1

∫ 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑛𝑛+1

𝑛𝑛+1 + 𝑐𝑐

Ejemplo 2

Evaluar ∫ 𝑥𝑥6 𝑑𝑑𝑥𝑥

Con n = 6, y aplicando la integral indefinida de una potencia se tiene

∫ 𝑥𝑥6 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑6+1

6+1 + 𝑐𝑐 = 𝑑𝑑7

7 + 𝑐𝑐

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La siguiente propiedad de las integrales indefinidas es una consecuencia inmediata del hecho de que la derivada de una suma es la suma de las derivadas.

Teorema

𝐹𝐹´(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 𝐺𝐺´(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥), 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

∫[𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥)]𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ± ∫ 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 =

𝐹𝐹(𝑥𝑥) ± 𝐺𝐺(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶

Observe que no hay razón para usar dos constantes de integración, puesto que

∫[𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥)]𝑑𝑑𝑥𝑥 = (𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶1) ± (𝐺𝐺(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶2)

= 𝐹𝐹(𝑥𝑥) ± 𝐺𝐺(𝑥𝑥) + (𝐶𝐶1 ± 𝐶𝐶2)

= 𝐹𝐹(𝑥𝑥) ± 𝐺𝐺(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 en donde se ha reemplazado 𝐶𝐶1 ± 𝐶𝐶2 por la constante única 𝐶𝐶.

Resolución de una ecuación diferencial

Una ecuación diferencial en 𝑥𝑥 y 𝑦𝑦 es una ecuación que incluye a 𝑥𝑥 y 𝑦𝑦 a las derivadas de

𝑦𝑦. Por ejemplo, 𝑦𝑦´ = 3𝑥𝑥 y 𝑦𝑦´ = 𝑥𝑥2 + 1 son ejemplos de ecuaciones diferenciales.

Encontrar la solución general de la ecuación diferencial 𝑦𝑦´ = 3. Solución: Inicialmente, consiste en determinar una función cuya derivada sea 3. Una función

de esta característica es:

𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 3𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑒𝑒𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑑𝑑𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑒𝑒 3

Ahora bien, la solución general es:

𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑆𝑆𝑢𝑢𝑒𝑒𝑎𝑎ó𝑒𝑒 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑢𝑢𝑆𝑆.

Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

Es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente


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𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

La operación para encontrar todas las soluciones de esta ecuación se denomina antiderivación o integración indefinida. La solución general se denota mediante: 𝑑𝑑 = ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶.

Condiciones iniciales y soluciones particulares.

Sea la siguiente ecuación diferencial

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3𝑥𝑥2 − 1

Al reescribir se tiene:

𝑑𝑑𝑑𝑑 = (3𝑥𝑥2 − 1)𝑑𝑑𝑥𝑥

Donde la solución general es:

𝑑𝑑 = ∫(3𝑥𝑥2 − 1)𝑑𝑑𝑥𝑥

𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 Solución general.

Para determinar una solución particular considérese que la curva pasa por el punto (2,4). Esta información recibe el nombre de condición inicial. Utilizando esta condición en la solución general, es posible determinar: 𝐹𝐹(2) = 8 − 2 + 𝐶𝐶 = 4, lo que significa que 𝐶𝐶 = −2. Por tanto, se tiene:

𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥 − 2 Solución particular.

En la siguiente tabla se presenta un resumen de reglas básicas de integración. Tanto para fórmulas de derivación como de integración.

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Integración por sustitución (cambio de variable)

Con un cambio de variables formal se puede reescribir por completo la integral en términos de 𝑢𝑢 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑢𝑢 (o cualquier otra variable conveniente). La técnica del cambio de variable utiliza la notación de Leibniz para la diferencial. Esto es, si 𝑢𝑢 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥), entonces 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑔𝑔´(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥.

Teorema

Sea g una función cuyo recorrido o rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es derivable en su dominio y F es una antiderivada o primitiva de f en I, entonces:

∫ 𝑓𝑓(𝑔𝑔(𝑥𝑥))𝑔𝑔´(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐹𝐹(𝑔𝑔(𝑥𝑥)) + 𝐶𝐶

Si 𝑢𝑢 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥), 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑔𝑔´(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑦𝑦

∫ 𝑓𝑓(𝑢𝑢) 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝐹𝐹(𝑢𝑢) + 𝐶𝐶

Estrategias para realizar un cambio de variable

1. Elegir una sustitución 𝑢𝑢 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥). Usualmente, es mejor elegir la parte interna de una función compuesta, tal como una cantidad elevada a una potencia.

2. Calcular 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑔𝑔´(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥. 3. Reescribir la integral en términos de la variable 𝑢𝑢. 4. Encontrar la integral resultante en términos de 𝑢𝑢. 5. Reemplazar 𝑢𝑢 por 𝑔𝑔(𝑥𝑥) para obtener una antiderivada o primitiva en términos de 𝑥𝑥. 6. Verificar la respuesta por derivación.

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Integración por partes

En esta área de estudio se analizará una técnica importante de integración llamada integración por partes. Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de funciones y es particularmente útil para integrandos que contengan productos de funciones algebraicas y trascendentes. Por ejemplo, la integración por partes funciona bien con integrales como

∫ 𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥, ∫ 𝑥𝑥2𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑦𝑦 ∫ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑠𝑠𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

Para deducir la fórmula que corresponde a la integración por partes se debe tener en cuenta lo siguiente: Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente. La regla que corresponde a la regla del producto para derivación se llama regla para integración por partes.

Se sabe que la derivada de un producto entre dos funciones es

𝑑𝑑(𝑢𝑢𝑢𝑢) = 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢 + 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢

Donde u y v son funciones derivables de x.

Al integrar ambos lados de la ecuación se tiene:

∫ 𝑑𝑑(𝑢𝑢𝑢𝑢) = ∫ 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢 + ∫ 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢

𝑢𝑢𝑢𝑢 = ∫ 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢 + ∫ 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢

Despejando ∫ 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢

Esta fórmula expresa la integral original (integral que se quiere resolver) en términos de otra integral.

Una de las situaciones que los lectores se preguntan es ¿Cómo me aprendo la fórmula? Pues bien existen una serie de expresiones que nos permiten recordar la fórmula, una de ellas nuestra favorita es: Un Día Vi Un Valiente soldado Vestido De Uniforme. La idea es quedarse con la primera letra (mayúscula) para ir reconstruyendo la fórmula.

∫ 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑢𝑢𝑢𝑢 − ∫ 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢


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Otra situación que a menudo se les presentan a los lectores es la selección tanto de u como

dv. Ya que dependiendo de la selección de u y dv puede ser más fácil la evaluación de la

segunda integral que la original. Los matemáticos han definido reglas que nos permiten

tener una guía para la selección de u y de dv. Una de ellas es la regla de ALPES.

¿En qué consiste esta regla? Primero descubramos qué significado tienen cada una de las

letras de esta palabra

A: funciones Arco (arco seno, arco coseno, arco tangente)

L: Logaritmos

P: Potencias (de exponente numérico)

E: Exponenciales

S: Seno y coseno

Bien, ¿cómo usamos todo esto? Muy sencillo:

Convendrá utilizar el método de integración por partes cuando tengamos enfrente una

integral de una función arco solamente, un logaritmo solamente o un producto de dos

funciones que pertenezcan a dos de esos cinco tipos.

En el primer caso, sólo una función arco, llamaremos a esa función arco y al resto (

en este caso); en el segundo caso, sólo un logaritmo, llamaremos al logaritmo y al

resto (también ); y en el tercer caso, el más interesante, el del producto, llamaremos a

la función cuyo tipo aparezca primero en ALPES y al resto (que ahora será la otra función

por ). Por ejemplo, la integral

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es un producto de , que pertenece a P, y , que entra en L. Como en ALPES la L aparece antes que la P, la asignación será

Existe otra regla como la ILATE que también funciona. En este libro se utilizará la regla de ALPES.

Hay casos en los que no sirve de nada, ya que la función a integrar no tiene primitiva elemental, y en otros casos hay que tener cuidado, mucho cuidado, al aplicar el método.

Integrales Trigonométricas

Integrales que contienen potencias de seno y coseno

En esta sección se estudiarán las técnicas para evaluar integrales de los tipos

∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑦𝑦 ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

Donde m o n es cualquier entero positivo. Para encontrar la antiderivada o primitiva para estas expresiones, intentar romperlas en combinaciones de integrales a las que puede aplicarse la regla de las potencias. Para separar ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 en formas a las que se puede aplicar la regla de las potencias, usar las identidades siguientes

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑥𝑥 = 1 𝐼𝐼𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝐼𝐼𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 𝑝𝑝𝐼𝐼𝑡𝑡𝑡𝑡𝑝𝑝ó𝑟𝑟𝐼𝐼𝑐𝑐𝑡𝑡

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 = 1 − cos 2𝑥𝑥2 𝐼𝐼𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝐼𝐼𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑 á𝑠𝑠𝑝𝑝𝑛𝑛𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑠𝑠𝑑𝑑𝐼𝐼𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑥𝑥 = 1 + cos 2𝑥𝑥2 𝐼𝐼𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝐼𝐼𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑 á𝑠𝑠𝑝𝑝𝑛𝑛𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑠𝑠𝑑𝑑𝐼𝐼𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑥𝑥

A continuación, se presentan un conjunto de estrategias que permiten evaluar integrales que contienen senos y cosenos.

1. Si la potencia del seno es impar y positiva, conservar un factor seno y pasar los factores restantes a cosenos. Luego, se opera y se integra.

2. Si la potencia del coseno es impar y positiva, conservar un factor coseno y pasar los factores restantes a senos. Luego, se opera y se integra.

3. Si las potencias de ambos son pares y no negativas, usar repetidamente las identidades


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𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 = 1−cos 2𝑥𝑥2 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑥𝑥 = 1+cos 2𝑥𝑥

2 Para convertir el integrando a potencias impares del coseno. Luego se procede como en la estrategia 2.

Integrales que contienen potencias de secante y tangente A continuación, se presentan un conjunto de estrategias que permiten evaluar integrales de la forma:

∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

1. Si la potencia de la secante es par y positiva, conservar un factor secante cuadrado y pasar los factores restantes a tangentes. Luego, se opera y se integra.

2. Si la potencia de la secante es impar y positiva, conservar un factor secante tangente y convertir los factores restantes a secantes. Luego, se opera y se integra.

3. Si no hay factores secantes y la potencia de la tangente es par y positiva, convertir un factor tangente cuadrado a secante cuadrado.

4. Si la integral es de la forma ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 donde m es impar y positiva, usar la integración por partes.

5. Si ninguna de las primeras cuatros guías aplica, intentar de convertir el integrando en senos y cosenos.

Integración por sustitución trigonométrica

Las integrales que contienen radicales de la forma

√𝑡𝑡2 − 𝑢𝑢2 ,√𝑡𝑡2 + 𝑢𝑢2 y √𝑢𝑢2 − 𝑏𝑏2

es posible que se puedan evaluar por medio de una sustitución trigonométrica. El objetivo de la sustitución trigonométrica es eliminar al radical del integrando. Para lograr lo anterior se requiere de las identidades pitagóricas.

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃, 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2𝜃𝜃 = 1 + 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠2𝜃𝜃 𝑦𝑦 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2𝜃𝜃 − 1

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Sustituciones trigonométricas (a>0)

Caso 1 Integrales que contienen √𝒂𝒂𝟐𝟐 − 𝒖𝒖𝟐𝟐

Se hace 𝑢𝑢 = 𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 , − 𝜋𝜋2 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝜋𝜋

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Se sustituye, 𝑢𝑢 = 𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 en el radical

√𝑎𝑎2 − 𝑢𝑢2 = √𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃

= √𝑎𝑎2(1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃)

= √𝑎𝑎2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃

= 𝑎𝑎 cos 𝜃𝜃

Por tanto se tiene: √𝑎𝑎2 − 𝑢𝑢2 = 𝑎𝑎 cos 𝜃𝜃

De lo anterior se puede inferir, que si en una integral interviene un término algebraico √𝑎𝑎2 − 𝑢𝑢2 ésta se transforma en una integral trigonométrica. Después de la integración puede eliminarse la variable 𝜃𝜃 empleando un triángulo rectángulo. Como 𝑢𝑢 = 𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 y despejando 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 = 𝑢𝑢

𝑎𝑎 se obtiene el triángulo rectángulo. De ahí la importancia de la construcción del triángulo ya que nos permite retornar a la variable original.

Caso 2 Integrales que contienen √𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒖𝒖𝟐𝟐

Se hace 𝑢𝑢 = 𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠 𝜃𝜃 , − 𝜋𝜋2 < 𝜃𝜃 < 𝜋𝜋

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u a

√𝑎𝑎2 − 𝑢𝑢2

𝜃𝜃 𝜃𝜃


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Se sustituye 𝑢𝑢 = 𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 𝜃𝜃 en el radical: √𝑎𝑎2 + 𝑢𝑢2 = √𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎2𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡2𝜃𝜃

= √𝑎𝑎2(1 + 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡2𝜃𝜃)

= √𝑎𝑎2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = a sec 𝜃𝜃

Por tanto se tiene: √𝑎𝑎2 + 𝑢𝑢2 = 𝑎𝑎 sec 𝜃𝜃

De lo anterior se puede inferir, que si en una integral interviene un término algebraico √𝑎𝑎2 + 𝑢𝑢2 ésta se transforma en una integral trigonométrica. Después de la integración puede eliminarse la variable 𝜃𝜃 empleando un triángulo rectángulo. Como 𝑢𝑢 = 𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 𝜃𝜃 y despejando 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑢𝑢


Caso 3 Integrales que contienen √𝒖𝒖𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝟐𝟐

Se hace 𝑢𝑢 = 𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 , 0 ≤ 𝜃𝜃 < 𝜋𝜋2 , ó 𝜋𝜋 ≤ 𝜃𝜃 < 3𝜋𝜋

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Se sustituye 𝑢𝑢 = 𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 en el radical

√𝒖𝒖𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝟐𝟐 = √𝑎𝑎2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 𝑎𝑎2

= √𝑎𝑎2(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 1)

= √𝑎𝑎2𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡2𝜃𝜃

= a tan 𝜃𝜃

u

a

√𝑎𝑎2 + 𝑢𝑢2

𝜃𝜃 𝜃𝜃

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Por tanto se tiene √𝒖𝒖𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝑎𝑎 tan 𝜃𝜃

De lo anterior se puede inferir, que si en una integral interviene un término algebraico √𝒖𝒖𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝟐𝟐 ésta se transforma en una integral trigonométrica. Después de la integración puede eliminarse la variable 𝜃𝜃 empleando un triángulo rectángulo. Como 𝑢𝑢 = 𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜃𝜃 y despejando 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜃𝜃 = 𝑢𝑢


Integración de funciones racionales

Para integrar ciertas funciones racionales tales como 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥), en donde el grado de P(x) es

menor que el grado de Q(x) se aplica el método conocido el de fracciones parciales. Que consiste en descomponer dicha función racional en fracciones componentes más simples, y luego evaluar la integral término a término. En esta sección se estudiarán cuatro casos de descomposición en fracciones parciales. Denominadores que contienen factores lineales Caso I Factores lineales no repetidos Se establece, sin demostración, el siguiente resultado algebraico. Si

𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑥𝑥)

(𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1)(𝑎𝑎2𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2). . . (𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑛𝑛)

en donde todos los factores 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑖𝑖, i= 1, 2, . . ., n son distintos y el grado de P(x) es menor que n, entonces existen constantes reales únicas 𝐶𝐶1 ,𝐶𝐶2, . . . , 𝐶𝐶𝑛𝑛 tales que

𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶1

𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1+ 𝐶𝐶2

𝑎𝑎2𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2+ . . . + 𝐶𝐶𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑛𝑛

a

u √𝒖𝒖𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝟐𝟐

𝜃𝜃


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Caso II Factores lineales repetidos

𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑥𝑥)

(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏)𝑛𝑛

En donde 𝑛𝑛 > 1 y el grado de P(x) es menor que n, entonces se pueden encontrar constantes reales únicas 𝐶𝐶1, 𝐶𝐶2, . . . , 𝐶𝐶𝑁𝑁 tales que

𝑃𝑃(𝑥𝑥)(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏)𝑛𝑛 = 𝐶𝐶1

𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 + 𝐶𝐶2(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏)2 + . . . + 𝐶𝐶𝑛𝑛

(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏)𝑛𝑛

Denominadores que contienen factores cuadráticos irreducibles Caso III Factores cuadráticos no repetidos

Supóngase que el denominador de la función racional 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥), se puede expresar como un

producto de factores cuadráticos irreducibles distintos 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

𝑆𝑆 = 1, 2, . . . , 𝑛𝑛. Si el grado de P(x) es menor que 2n, es posible encontrar constantes reales únicas 𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2,. . . , 𝐴𝐴𝑛𝑛, 𝐵𝐵1, 𝐵𝐵2, . . . , 𝐵𝐵𝑛𝑛 tales que

= 𝑃𝑃(𝑥𝑥)(𝑎𝑎1𝑥𝑥2+𝑏𝑏1𝑥𝑥+𝑐𝑐1)(𝑎𝑎2𝑥𝑥2+𝑏𝑏2𝑥𝑥+𝑐𝑐2). . .(𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥2+𝑏𝑏𝑛𝑛𝑋𝑋+𝐶𝐶𝑛𝑛)

= 𝐴𝐴1𝑥𝑥+𝐵𝐵1𝑎𝑎1𝑥𝑥2+𝑏𝑏1𝑥𝑥+𝑐𝑐1

+ 𝐴𝐴2𝑥𝑥+𝐵𝐵2𝑎𝑎2𝑥𝑥2+𝑏𝑏2𝑥𝑥+𝑐𝑐2

+ . . . + 𝐴𝐴𝑛𝑛+𝐵𝐵𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥2+𝑏𝑏𝑛𝑛𝑋𝑋+𝐶𝐶𝑛𝑛

Caso IV Factores cuadráticos repetidos

Se considera ahora el caso en el que el integrando es 𝑃𝑃(𝑥𝑥)

(𝑎𝑎𝑥𝑥2+𝑏𝑏𝑥𝑥+𝑐𝑐)𝑛𝑛 , en donde 𝑎𝑎𝑥𝑥2 +𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 es irreducible y 𝑛𝑛 > 1. Si el grado de P(x) es menor que 2n, se pueden encontrar constantes reales únicas 𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2, . . . , 𝐴𝐴𝑛𝑛, 𝐵𝐵1, 𝐵𝐵2, . . . , 𝐵𝐵𝑛𝑛 tales que

𝑃𝑃(𝑥𝑥)(𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐)𝑛𝑛 = 𝐴𝐴1𝑥𝑥 + 𝐵𝐵1

𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 + 𝐴𝐴2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵2(𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐)2 + . . . + 𝐴𝐴𝑛𝑛 + 𝐵𝐵𝑛𝑛

(𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐)𝑛𝑛

Integración de funciones racionales de seno y coseno

Las integrales de expresiones racionales en las que intervengan sen x y cos x se pueden reducir a integrales de cocientes de polinomios por medio de la sustitución

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𝑢𝑢 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥2 , si 𝑥𝑥

2 representa el ángulo mostrado en la figura

Entonces, 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 𝑥𝑥2 = 𝑢𝑢

√1+𝑢𝑢2 𝑦𝑦 cos 𝑥𝑥

2 = 1√1+𝑢𝑢2

De las identidades trigonométricas para ángulos dobles se tiene,

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 2𝑥𝑥 = 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 2 𝑥𝑥2 = 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 𝑥𝑥

2 cos 𝑥𝑥2 = 2 𝑢𝑢√1+𝑢𝑢2 1

√1+𝑢𝑢2

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡 𝑥𝑥 = 2𝑢𝑢1 + 𝑢𝑢2

cos 2𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑥𝑥 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡2𝑥𝑥

cos 2 𝑥𝑥2 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2 𝑥𝑥

2 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡2 𝑥𝑥2 = ( 1

√1+𝑢𝑢2)2

− ( 𝑢𝑢√1+𝑢𝑢2)

2

= 11+𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢

1+𝑢𝑢2

cos 𝑥𝑥 = 1 − 𝑢𝑢2

1 + 𝑢𝑢2

Como 𝑢𝑢 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥2 → 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐2 𝑥𝑥

2 𝑑𝑑𝑥𝑥2

𝑑𝑑𝑢𝑢 = (1 + 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2 𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥

2 = (1 + 𝑢𝑢2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2

𝑑𝑑𝑥𝑥 = 21 + 𝑢𝑢2 𝑑𝑑𝑢𝑢

𝑥𝑥2

√1 + 𝑢𝑢2 𝑢𝑢

1


25

BIBLIOGRAFÍA

Larson R, Hostetler R. Y Edwards B. (1995). Cálculo. Volumen 1. México. McGraw-Hill. Zill G, Dennis (1985). Cálculo con Geometría Analítica. México, Grupo Editorial Iberoamérica Wisniewski Piotr M. y Banegas G. Ana L. (2004). Introducción a las matemáticas universitarias. México. McGraw-Hill. Pita R, Claudio. (1998). Cálculo de una variable. México, Prentice- Hall Hispanoamericana.

28


29


42


36



36

a) ¿En cuántos segundos llegará la bolsa al suelo? b) ¿A qué velocidad hará contacto con el suelo?

Considerar que t = 0 representa el tiempo inicial. Las condiciones indicadas en el ejercicio pueden escribirse de la siguiente manera

𝑠𝑠(0) = 64 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑠𝑠´(𝑡𝑡) = 16 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑠𝑠´´(𝑡𝑡) = −32𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠/𝑠𝑠2

a) Para calcular en cuantos segundos llegará la bolsa al suelo se requiere de la función posición 𝑠𝑠(𝑡𝑡).

𝑠𝑠´(𝑡𝑡) = ∫ 𝑠𝑠´´(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = ∫ −32 𝑑𝑑𝑡𝑡 = −32 + 𝐶𝐶1

Como la velocidad es 16 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 , se obtiene: 𝑠𝑠´(0) = 16 = −32(0) + 𝐶𝐶1, esto implica que

𝐶𝐶1 = 16. Entonces se tiene

𝑠𝑠´(𝑡𝑡) = −32𝑡𝑡 + 16

En función de 𝑠𝑠´(𝑡𝑡) se obtiene 𝑠𝑠(𝑡𝑡)

𝑠𝑠(𝑡𝑡) = ∫ 𝑠𝑠´(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = ∫(−32𝑡𝑡 + 16)𝑑𝑑𝑡𝑡 = −32 ∫ 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 16 ∫ 𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑠𝑠(𝑡𝑡) = − 322 𝑡𝑡2 + 16𝑡𝑡 + 𝐶𝐶2 → 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = −16𝑡𝑡2 + 16𝑡𝑡 + 𝐶𝐶2

Tomando la altura correspondiente se tiene

𝑠𝑠(0) = −16(0)2 + 16(0) + 𝐶𝐶2 = 64 . Por tanto, 𝐶𝐶2 = 64

En consecuencia se obtiene: 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = −16𝑡𝑡2 + 16𝑡𝑡 + 64

Igualando a cero la ecuación anterior y despejando t

b) Como: 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑠𝑠´(𝑡𝑡) = −32𝑡𝑡 + 16. 𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑡𝑡 = 2,562 𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑡𝑡𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝

Un globo aerostático, que asciende verticalmente con una velocidad de 16 pies por segundo, deja caer una bolsa de arena en el instante en el que está a 64 pies sobre el suelo.

013

𝑡𝑡 = 2,562 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑑𝑑𝑜𝑜𝑠𝑠. 𝑇𝑇𝑝𝑝𝑝𝑝𝑇𝑇𝑝𝑝𝑜𝑜 𝑞𝑞𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑡𝑡𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑛𝑛 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝𝑙𝑙𝑜𝑜

𝑣𝑣(𝑡𝑡) = −65,984 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠/𝑠𝑠


42

Sea 𝑢𝑢 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 + 1 , 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑. Como se puede observar el factor 𝑒𝑒𝑥𝑥 en el diferencial de (du), no corresponde con el factor que está en el numerador del integrando 𝑒𝑒2𝑥𝑥. Lo cual se hace necesario aplicar el siguiente artificio: El factor 𝑒𝑒2𝑥𝑥 se descompone como el producto de dos potencias: 𝑒𝑒2𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑥𝑥

Por tanto, al reescribir la integral se tiene

∫ 𝑒𝑒2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑√𝑒𝑒𝑥𝑥 + 1

= ∫ 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑√𝑒𝑒𝑥𝑥 + 1

Sea 𝑢𝑢 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 + 1 , 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑. Como el integrando contiene todavía un factor 𝑒𝑒𝑥𝑥, se

despeja en términos de 𝑢𝑢, es decir: 𝑢𝑢 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 + 1 → 𝑒𝑒𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 − 1.

Ahora se procede a realizar las sustituciones correspondientes

∫ 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑√𝑒𝑒𝑥𝑥 + 1

= ∫ (𝑢𝑢 − 1) 𝑑𝑑𝑢𝑢√𝑢𝑢 = ∫ 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢

√𝑢𝑢 − ∫ 𝑑𝑑𝑢𝑢√𝑢𝑢


= ∫ 𝑢𝑢12𝑑𝑑𝑢𝑢 − ∫ 𝑢𝑢−1

2 𝑑𝑑𝑢𝑢


= 𝑢𝑢32

3/2 + 𝑐𝑐1 − 𝑢𝑢12

1/2 + 𝑐𝑐2 = 23 𝑢𝑢

32 − 2𝑢𝑢

12 + 𝐶𝐶


= 23 √(𝑒𝑒𝑥𝑥 + 1)3 − 2√𝑒𝑒𝑥𝑥 + 1 + 𝐶𝐶


021


= 23 √(𝑒𝑒𝑥𝑥 + 1)3 − 2√𝑒𝑒𝑥𝑥 + 1 + 𝐶𝐶

30


31


98


55



55

Llamaremos (𝑢𝑢) a la función potencia (𝑝𝑝) 𝑥𝑥2 ya que aparece primero en ALPES que la función (𝑆𝑆) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) Y el resto del integrando igual a 𝑑𝑑𝑑𝑑.

𝑢𝑢 = 𝑥𝑥2 , 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 , ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 → 𝑑𝑑 = − cos 𝑥𝑥

Por tanto, la integración por partes produce

∫ 𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝑥𝑥2 cos 𝑥𝑥 − ∫ − cos 𝑥𝑥(2𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

∫ 𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝑥𝑥2 cos 𝑥𝑥 + ∫ cos 𝑥𝑥(2𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬ò𝒏𝒏 𝟏𝟏

La integración por partes logró simplificar parcialmente la integral original. Eso quiere decir, que se requiere de evaluar la integral que aparece en el resultado (∫ 2𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥). Ahora de acuerdo a ALPES (𝑢𝑢) es igual a(2𝑥𝑥)), y el resto del integrando es igual a 𝑑𝑑𝑑𝑑.

𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥, , 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 , ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 → 𝑑𝑑 = sen 𝑥𝑥

Por tanto, la integración por partes produce

∫ 2𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 − 2 ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬ò𝒏𝒏 𝟐𝟐

Sustituyendo el resultado de la ecuación 2 en la ecuación 1 se obtiene

∫ 𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 034

∫ 𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝑥𝑥2 cos 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝐶𝐶


98

Para resolver la integral se requiere de la siguiente identidad trigonométrica

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 = 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥 − 1. Si se multiplica por menos (-) la identidad se convierte en 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥 = 1 − 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥.

Sustituyendo en la integral se obtiene

∫ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 1 − 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥

cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

∫ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 1

cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 2 ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

Como 1

cos 𝑥𝑥 = sec 𝑥𝑥 y cancelando términos semejantes se tiene

∫ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ sec 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 2 ∫ cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

Como las dos integrales son inmediatas se obtiene

∫ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑠𝑠|sec 𝑥𝑥 + tan 𝑥𝑥| − 2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶

Entonces el resultado es

∫ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 077

∫ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑠𝑠|sec 𝑥𝑥 + tan 𝑥𝑥| − 2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶

32


33


125


102



102

Si la integral es de la forma ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 donde m es impar y positiva, usar integración por partes. Se reescribe la integral descomponiendo el secante cubo en secante cuadrado por secante.

∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑢𝑢 = sec 𝜋𝜋𝑥𝑥 → 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝜋𝜋 sec 𝜋𝜋𝑥𝑥 tan 𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 → ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 → 𝑑𝑑 = 1𝜋𝜋 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜋𝜋𝑥𝑥

∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1𝜋𝜋 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋𝑥𝑥 tan 𝜋𝜋𝑥𝑥 − ∫ sec 𝜋𝜋𝑥𝑥 tan 𝜋𝜋𝑥𝑥 tan 𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1𝜋𝜋 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋𝑥𝑥 tan 𝜋𝜋𝑥𝑥 − ∫ sec 𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1𝜋𝜋 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋𝑥𝑥 tan 𝜋𝜋𝑥𝑥 − ∫ sec 𝜋𝜋𝑥𝑥 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜋𝜋𝑥𝑥 − 1) 𝑑𝑑𝑥𝑥

∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1𝜋𝜋 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋𝑥𝑥 tan 𝜋𝜋𝑥𝑥 − ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1𝜋𝜋 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋𝑥𝑥 tan 𝜋𝜋𝑥𝑥 + ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

2 ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1𝜋𝜋 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋𝑥𝑥 tan 𝜋𝜋𝑥𝑥 + 1

𝜋𝜋 𝑙𝑙𝑡𝑡|sec 𝜋𝜋𝑥𝑥 + tan 𝜋𝜋𝑥𝑥| + 𝐶𝐶

∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 083

∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝜋𝜋𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 12𝜋𝜋 [𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋𝑥𝑥 tan 𝜋𝜋𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑡𝑡|sec 𝜋𝜋𝑥𝑥 + tan 𝜋𝜋𝑥𝑥|] + 𝐶𝐶


125

Se separa la integral en dos integrales de la siguiente forma

∫ 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥

𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 + ∫ 1𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬ò𝒏𝒏 𝟏𝟏

Se multiplica y se divide la primera integral por cuatro y se resuelve, se factoriza el denominador de la segunda integral y se resuelve.

Resolución de la primera integral.

∫ 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

4 ∫ 4𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥

Dónde: 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 → 𝑑𝑑𝑢𝑢 = (4𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥

14 ∫ 4𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

4 ∫ 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 = 1

4 𝑙𝑙𝑙𝑙[𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1] + 𝐶𝐶

Resolución de la segunda integral

∫ 1𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥

Se factoriza el denominador y se reescribe la integral.

𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 = (𝑥𝑥2)2 + 2𝑥𝑥2 + 1 = (𝑥𝑥2 + 1)2

∫ 1𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 1

(𝑥𝑥2 + 1)2 𝑑𝑑𝑥𝑥

∫ 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 107

14 ∫ 4𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥

𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 12 𝑙𝑙𝑙𝑙[(𝑥𝑥2 + 1)] + 𝐶𝐶 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬ò𝒏𝒏 𝟐𝟐

34


35


35


126



126

Dónde: 𝑎𝑎 = 1 , 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡 , 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡

La forma es: √𝑎𝑎2 + 𝑢𝑢2 = 𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡. Luego se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación y se obtiene.

𝑎𝑎2 + 𝑢𝑢2 = 𝑎𝑎2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑡𝑡 → 𝑥𝑥2 + 12 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑡𝑡

∫ 1(𝑥𝑥2 + 12)2 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4𝑡𝑡 = ∫ 1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 = ∫ 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡

Para resolver la integral resultante se toma como referencia la integral número 99, por

tanto se tiene: ∫ 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 = 12

(𝑡𝑡 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡) + 𝐶𝐶

∫ 1(𝑥𝑥2 + 1)2 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

2 (𝑡𝑡 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡) + 𝐶𝐶 = 12 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑥𝑥 + 𝑥𝑥

√𝑥𝑥2 + 11

√𝑥𝑥2 + 1) + 𝐶𝐶

∫ 1(𝑥𝑥2 + 1)2 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

2 (𝑡𝑡 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡) + 𝐶𝐶 = 12 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑥𝑥 + 𝑥𝑥

𝑥𝑥2 + 1) + 𝐶𝐶

Se sustituya la ecuación 2 y la ecuación 3 en la ecuación 1

∫ 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥

𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 + ∫ 1𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥

∫ 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

2 𝑙𝑙𝑡𝑡[(𝑥𝑥2 + 1)] + 12 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑥𝑥 + 𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 1) + 𝐶𝐶

x

1

√𝑥𝑥2 + 1 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡 → 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑥𝑥1

𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑥𝑥 𝑡𝑡

∫ 1(𝑥𝑥2 + 1)2 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

2 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑥𝑥 + 𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 1) + 𝐶𝐶 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬ò𝒏𝒏𝒏𝒏

∫ 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

2 [𝑙𝑙𝑡𝑡(𝑥𝑥2 + 1) + (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑥𝑥 + 𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 1)] + 𝐶𝐶

3736


165


164



165

𝑨𝑨 = 𝟏𝟏 , 𝑩𝑩 = 𝟏𝟏 , 𝑪𝑪 = −𝟏𝟏 𝒚𝒚 𝑫𝑫 = −𝟑𝟑

En consecuencia, se tiene

∫ 4𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 1)(𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵

(𝑥𝑥2 + 1) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + ∫ 𝐶𝐶𝑥𝑥 + 𝐷𝐷(𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3) 𝑑𝑑𝑥𝑥

∫ 4𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 1)(𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑥𝑥 + 1

𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 − ∫ 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑬𝑬𝑬𝑬. 𝟏𝟏

Se resuelven las integrales por separado

∫ 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥

Para trabajar con u y du es necesario separar la integral en dos integrales

∫ 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥2 + 1 + ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

Para la integral ∫ 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥2+1: 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥2 + 1 , 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥. Y la siguiente integral su

resultado es una tangente inversa.

∫ 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

2 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥2 + 1| + arctan 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶1

∫ 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3 𝑑𝑑𝑥𝑥

Se completa el cuadrado y se separa la integral en dos integrales

∫ 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

2 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥2 + 1| + arctan 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶1 𝑬𝑬𝑬𝑬. 𝟐𝟐


165

𝑨𝑨 = 𝟏𝟏 , 𝑩𝑩 = 𝟏𝟏 , 𝑪𝑪 = −𝟏𝟏 𝒚𝒚 𝑫𝑫 = −𝟑𝟑

En consecuencia, se tiene

∫ 4𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 1)(𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵

(𝑥𝑥2 + 1) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + ∫ 𝐶𝐶𝑥𝑥 + 𝐷𝐷(𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3) 𝑑𝑑𝑥𝑥

∫ 4𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 1)(𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑥𝑥 + 1

𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 − ∫ 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑬𝑬𝑬𝑬. 𝟏𝟏

Se resuelven las integrales por separado

∫ 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥

Para trabajar con u y du es necesario separar la integral en dos integrales

∫ 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥2 + 1 + ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

Para la integral ∫ 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥2+1: 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥2 + 1 , 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥. Y la siguiente integral su

resultado es una tangente inversa.

∫ 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

2 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥2 + 1| + arctan 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶1

∫ 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3 𝑑𝑑𝑥𝑥

Se completa el cuadrado y se separa la integral en dos integrales

∫ 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

2 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥2 + 1| + arctan 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶1 𝑬𝑬𝑬𝑬. 𝟐𝟐

3938


202


166



166

𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3 = 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1 + 3 − 1 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3 = (𝑥𝑥 + 1)2 + 2

∫ 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑥𝑥 + 1 + 2

(𝑥𝑥 + 1)2 + 2 = ∫ 𝑥𝑥 + 1(𝑥𝑥 + 1)2 + 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥 + 1)2 + (√2)2 𝑑𝑑𝑥𝑥

Para la primera integral ∫ 𝑥𝑥+1(𝑥𝑥+1)2+2 𝑑𝑑𝑥𝑥: 𝑢𝑢 = (𝑥𝑥 + 1)2 + 2 , 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2(𝑥𝑥 + 1)𝑑𝑑𝑥𝑥. Y la segunda

integral ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑥𝑥+1)2+(√2)2 𝑑𝑑𝑥𝑥: su resultado es una tangente inversa.

∫ 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

2 𝑙𝑙𝑙𝑙|(𝑥𝑥 + 1)2 + 2| + 1√2

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 1√2

+ 𝐶𝐶2

Sustituyendo la ecuación 2 y la ecuación 3 en la ecuación 1 y tomando en cuenta que 𝐶𝐶 =𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2 se obtiene

∫ 4𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 1)(𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑥𝑥 + 1

𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 − ∫ 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3 𝑑𝑑𝑥𝑥

∫ 4𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 1)(𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 12 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥2 + 1| + arctan 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶1 − 1

2 𝑙𝑙𝑙𝑙|(𝑥𝑥 + 1)2 + 2| − 2√2


+ 𝐶𝐶2

∫ 4𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 1)(𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

2 𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝑥𝑥2 + 1𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3) + arctan 𝑥𝑥 − √2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 1

√2+ 𝐶𝐶

∫ 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

2 𝑙𝑙𝑙𝑙|(𝑥𝑥 + 1)2 + 2| + 2√2


+ 𝐶𝐶2 𝑬𝑬𝑬𝑬. 𝟑𝟑

∫ 4𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 1)(𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

2 𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝑥𝑥2 + 1𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3) + arctan 𝑥𝑥 − √2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 1

√2+ 𝐶𝐶


202

Se factoriza el denominador 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥 + 5 cos 𝑥𝑥 + 6 = (cos 𝑥𝑥 + 3)(cos 𝑥𝑥 + 2)

∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥 + 5 cos 𝑥𝑥 + 6 = ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥

(cos 𝑥𝑥 + 3)(cos 𝑥𝑥 + 2)

Para resolver la integral se aplica el método de integración de fracciones parciales

∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥(cos 𝑥𝑥 + 3)(cos 𝑥𝑥 + 2) = ∫ 𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑥𝑥

cos 𝑥𝑥 + 3 + ∫ 𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑥𝑥cos 𝑥𝑥 + 2

1 = 𝐴𝐴(cos 𝑥𝑥 + 2) + 𝐵𝐵(cos 𝑥𝑥 + 3) 1 = 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 + 2𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 + 3𝐵𝐵 1 = (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) cos 𝑥𝑥 + (2𝐴𝐴 + 3𝐵𝐵)

𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = 0 Se multiplica por -2 la primera ecuación 2𝐴𝐴 + 3𝐵𝐵 = 1

↓

−2𝐴𝐴 − 2𝐵𝐵 = 0 → 𝑩𝑩 = 𝟏𝟏 𝑨𝑨 = −𝟏𝟏 2𝐴𝐴 + 3𝐵𝐵 = 1

∫𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥 + 5 cos 𝑥𝑥 + 6 163

41


40 204


203



203

∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑(cos 𝑑𝑑 + 3)(cos 𝑑𝑑 + 2) = ∫ 𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑

cos 𝑑𝑑 + 3 + ∫ 𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑑𝑑cos 𝑑𝑑 + 2

∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑑𝑑 + 5 cos 𝑑𝑑 + 6 = − ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑

cos 𝑑𝑑 + 3 + ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑cos 𝑑𝑑 + 2 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬ò𝒏𝒏 𝟏𝟏

Se resuelve la integral ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑cos 𝑑𝑑+3

∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑cos 𝑑𝑑 + 3 = ∫

2𝑑𝑑𝑑𝑑1 + 𝑑𝑑2

1 − 𝑑𝑑2

1 + 𝑑𝑑2 + 3= ∫


1 − 𝑑𝑑2 + 3 + 3𝑑𝑑2

1 + 𝑑𝑑2

= 2 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑2𝑑𝑑2 + 4

= 2 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑(√2 𝑑𝑑)2 + 22

= − arctan (√2 𝑑𝑑2 ) + 𝐶𝐶1

∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑cos 𝑑𝑑 + 3 = −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 [1

2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑑𝑑2) √2] + 𝐶𝐶1


204

Se resuelve la segunda integral de la ecuación 1

∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑cos 𝑑𝑑 + 2 = ∫


1 − 𝑑𝑑2

1 + 𝑑𝑑2 + 2= ∫


1 − 𝑑𝑑2 + 2 + 2𝑑𝑑2

1 + 𝑑𝑑2

= 2 ∫ 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑2 + 3

= 2 ∫ 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑2 + (√3)2

= 2√3

arctan ( 𝑑𝑑√3

) + 𝐶𝐶2

∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑cos 𝑑𝑑 + 2 = 2

3 √3 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 [13 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑑𝑑

2) √3] + 𝐶𝐶2

Se sustituyen los resultados de las integrales de la ecuación 1

∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑑𝑑 + 5 cos 𝑑𝑑 + 6 = −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 [1

2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑑𝑑2) √2] + 2

3 √3 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 [13 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑑𝑑

2) √3] + 𝐶𝐶

42


43


220


219



219

Se reescribe la integral

∫ 6𝑥𝑥 − 14𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 6 ∫ 𝑥𝑥

4𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10 𝑑𝑑𝑥𝑥 − ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥4𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10

Se resuelve la primera integral

6 ∫ 𝑥𝑥4𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10 𝑑𝑑𝑥𝑥 , 𝑢𝑢 = 4𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10 , 𝑑𝑑𝑢𝑢 = (8𝑥𝑥 + 4)𝑑𝑑𝑥𝑥

Se multiplica y se divide la integral por 8 y se suma y se resta 4

6 ∫ 𝑥𝑥4𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 6

8 ∫(8𝑥𝑥 + 4 − 4)𝑑𝑑𝑥𝑥4𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10

= 34 ∫

(8𝑥𝑥 + 4)𝑑𝑑𝑥𝑥4𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10 − 3 ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥

4𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10

Se sustituye este resultado en la ecuación 1

∫ 6𝑥𝑥 − 14𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3

4 ∫(8𝑥𝑥 + 4)𝑑𝑑𝑥𝑥

4𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10 − 3 ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥4𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10 − ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥

4𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10 Ecuación 2

∫ 6𝑥𝑥 − 14𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3

4 ∫(8𝑥𝑥 + 4)𝑑𝑑𝑥𝑥

4𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10 − 4 ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥4𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10

∫6𝑥𝑥 − 1

4𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 10 𝑑𝑑𝑥𝑥 181

Ecuación 1


220

Se resuelve la segunda integral de la ecuación 2

4 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑑𝑑2 + 4𝑑𝑑 + 10

Se completa cuadrados

4𝑑𝑑2 + 4𝑑𝑑 + 10 = 4 [𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑 + 104 ] = 4 [𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑 + 1

4 + 104 − 1

4]

= 4 [(𝑑𝑑 + 12)

2+ 9

4] = 4 [(𝑑𝑑 + 12)

2+ (3

2)2

]

4 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑑𝑑2 + 4𝑑𝑑 + 10 = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑

(𝑑𝑑 + 12)

2+ (3

2)2

Se sustituye este resultado en la ecuación 2

∫ 6𝑑𝑑 − 14𝑑𝑑2 + 4𝑑𝑑 + 10 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3

4 ∫(8𝑑𝑑 + 4)𝑑𝑑𝑑𝑑

4𝑑𝑑2 + 4𝑑𝑑 + 10 − ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑

(𝑑𝑑 + 12)

2+ (3

2)2

∫ 6𝑑𝑑 − 14𝑑𝑑2 + 4𝑑𝑑 + 10 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3

4 𝑙𝑙𝑙𝑙(4𝑑𝑑2 + 4𝑑𝑑 + 10) − 23 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙−1 (

𝑑𝑑 + 12

32

) + 𝐶𝐶

∫ 6𝑑𝑑 − 14𝑑𝑑2 + 4𝑑𝑑 + 10 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3

4 𝑙𝑙𝑙𝑙(4𝑑𝑑2 + 4𝑑𝑑 + 10) − 23 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙−1 (2𝑑𝑑 + 1

3 ) + 𝐶𝐶

∫ 6𝑑𝑑 − 14𝑑𝑑2 + 4𝑑𝑑 + 10 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3

4 𝑙𝑙𝑙𝑙(2(2𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑 + 5)) − 23 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙−1 (2𝑑𝑑 + 1

3 ) + 𝐶𝐶

∫ 6𝑑𝑑 − 14𝑑𝑑2 + 4𝑑𝑑 + 10 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3

4 𝑙𝑙𝑙𝑙(2𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑 + 5) − 23 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙−1 (2𝑑𝑑 + 1

3 ) + 𝐶𝐶

∫ 6𝑑𝑑 − 14𝑑𝑑2 + 4𝑑𝑑 + 10 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3

4 𝑙𝑙𝑙𝑙(2𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑 + 5) − 23 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙−1 (2

3 𝑑𝑑 + 13) + 𝐶𝐶

4544


312


311



311

El lector debe tener siempre presente, la importancia de extraer la información necesaria que proporciona la integral para su resolución. En nuestro caso, la integral presenta un radical en el denominador, su cantidad subradical es una función de segundo grado. Al completar cuadrados se puede transformar el radical a la forma √𝑎𝑎2 − 𝑢𝑢2. Y aplicar la técnica de sustitución trigonométrica. Se completa cuadrados para transformar el radical a la forma √𝑎𝑎2 − 𝑢𝑢2. 21 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 = −(𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 21) = −(𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 4) − 21 − 4 21 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 = −[(𝑥𝑥 − 2)2 − 25] = 25 − (𝑥𝑥 − 2)2 = 52 − (𝑥𝑥 − 2)2

∫ 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥√21 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 = ∫ 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥

√52 − (𝑥𝑥 − 2)2

𝑎𝑎 = 5, 𝑥𝑥 − 2 = 5𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠, 𝑥𝑥 = 5𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 2, 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠, √52 − (𝑥𝑥 − 2)2 = 5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠

∫ 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥√52−(𝑥𝑥−2)2 = ∫ (5𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠+2)25𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠

5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠

= ∫ (5𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠+2)25𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠

= ∫(5𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 2)2

= ∫(25𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑠𝑠 + 20𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 4) 𝑑𝑑𝑠𝑠

= 25 ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠 + 20 ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠 + 4 ∫ 𝑑𝑑𝑠𝑠

= 252 ∫(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑠𝑠 + 20 ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠 + 4 ∫ 𝑑𝑑𝑠𝑠

= 252 ∫ 𝑑𝑑𝑠𝑠 − 25

2 ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠 + 20 ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠 + 4 ∫ 𝑑𝑑𝑠𝑠

∫ 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥√21 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2

250


312

= 252 𝜃𝜃 − 25

4 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 20𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 + 4𝜃𝜃 + 𝐶𝐶

= 332 𝜃𝜃 − 25

2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 − 20𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 + 𝐶𝐶

∫ 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥√52−(𝑥𝑥−2)2 = 33

2𝜃𝜃 − 25

2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 − 20𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 + 𝐶𝐶

∫ 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥√21 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 = 33

2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 − 25 − 25

2 (𝑥𝑥 − 2)

5 √25 − (𝑥𝑥 − 2)2

5 − 20 √25 − (𝑥𝑥 − 2)2

5 + 𝐶𝐶

∫ 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥√21 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 = 33

2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 − 25 − 1

2 (𝑥𝑥 − 2)√21 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 − 4√21 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 + 𝐶𝐶

∫ 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥√21 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 = 33

2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 − 25 − √21 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 [1

2 (𝑥𝑥 − 2) + 4] + 𝐶𝐶

∫ 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥√21 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 = 33

2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 − 25 − √21 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 (𝑥𝑥 + 6

2 ) + 𝐶𝐶

𝜃𝜃

√52 − (𝑥𝑥 − 2)2

5 x-2 𝑥𝑥 − 2 = 5𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 → 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 =𝑥𝑥−2

5

𝜃𝜃 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 − 25

∫ 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥√21 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 = 33

2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 − 25 − √21 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 (𝑥𝑥 + 6

2 ) + 𝐶𝐶

Recuerda: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = (1−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃)2 Recuerda: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

46


47


(C) Serie Coronel [no. 02], 2017 la presente edición, que consta de 500 ejemplares,

se imprimió en San Cristóbal, Venezuela.

Impreso en la República Bolivariana de Venezuela[PRInTED In ThE BolIVARIAn REPUBlIC oF VEnEzUElA]

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