CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

EN VARIAS VARIABLES TEMA 4

INTEGRALES IMPROPIAS

En el curso pasado de Cálculo Diferencial e Integral de una Variable (CDI1V) estudiamosel concepto de integral definida

∫ baf . La interpretación geométrica de esto era el área bajo

la curva de la función f sobre el intervalo cerrado [a, b]. Para esto debía ocurrir que lafunción f fuese integrable sobre [a, b]. Por ejemplo, f tenía que ser al menos una funciónacotada. En el mejor de los casos, f era continua en [a, b], aunque también podíamos tra-bajar con funciones acotadas permitiendo cierto tipo de discontinuidades: las evitables ylas de salto.

En este parte del curso toca estudiar los casos que no fueron cubiertos por la integraldefinida. Veremos cómo es el comportamiento de

∫ baf cuando b → +∞ o a → −∞ (¡o

ambos!). También estudiaremos lo que ocurre cuando tenemos f no acotada sobre unintervalo acotado [a, b], (a, b], [a, b) o (a, b). Finalmente, estudiaremos casos combinadosde las situaciones anteriores, como por ejemplo, expresiones de la forma

∫ +∞−∞ f con f no

acotada. El tipo de integrales que acabamos de mencionar se conocen como integralesimpropias. Parte de sus aplicaciones tienen que ver con la definición de funciones muyimportantes en áreas como el análisis matemático y en la probabilidad y estadística, comopor ejemplo algunas funciones de distribución acumulada de probabilidad.

Organizaremos estos apuntes de la siguiente forma. Primero estudiaremos las llamadasintegrales impropias de primera especie, que están dadas por expresiones de la forma

∫ +∞a

f

o∫ b−∞ f . Luego pasaremos al caso

∫ baf con f no acotada en [a, b], conocido com integrales

impropias de segunda especie. Finalmente, estudiaremos las integrales impropias mixtas,que son combinaciones de los dos casos anteriores.

1

4.1 Integrales impropias de primera especie

Sea f : [a,+∞) → R una función integrable sobre [a, b] para todo b ≥ a. Definimos unanueva función F : [a,+∞)→ R dada por

F (b) :=

∫ ba

f(x)dx

Sabemos por el 1er Teorema Fundamental del Cálculo que F es continua en [a,+∞) yderivable en (a,+∞). Tiene sentido entonces considerar el límite cuando b tiende a in-finito para la función F .

Definición 4.1.1. Llamaremos a la función F (b) :=∫ baf(x)dx como la integral impropia de f

de primera especie. Si existe limb→+∞ F (b) y es finito, diremos que F converge, y denotaremosel valor al cual converge por

∫ +∞a

f(x)dx, es decir,

limb→+∞

F (b) = limb→+∞

∫ ba

f(x)dx =

∫ +∞a

f(x)dx

En caso contrario, es decir si limb→+∞ F (b) es ±∞ o no existe, diremos que F diverge.

Observación 4.1.2.

1. Muchas veces, por simplicidad, nos referiremos a∫ +∞a

f(x)dx como la integral impropia deprimera especie de f , en lugar de hacer referencia a la función F . De esta manera, diremosque

∫ +∞a

f(x)dx converge o diverge.

2. La definición anterior es muy parecida a la de series numéricas. Para series∑∞

n=1 an, estu-diamos el límite cuando n → +∞ de los valores sn = a1 + · · · + an, mientras que paraintegrales impropias de primera especie, estudiamos el límite cuando b → +∞ de los va-

2

lores∫ baf(x)dx. No es de extrañar que muchos de los criterios de convergencia de integrales

impropias que veremos más adelante sean muy parecidos a los vistos para series. De hecho,informalmente la integral definida podemos verla como el análogo infinitésimo de las sumasfinitas.

SERIE INTEGRAL IMPROPIA

función

a : N→ R

función integrable

f : [a,+∞)→ R

se estudia el límite de

sn = a1 + · · ·+ an

cuando n→∞

se estudia el límite de∫ baf(x)dx

cuando b→∞

converge a∑∞n=1 an = limn→∞ sn

converge a∫ +∞a

f(x)dx = limb→∞∫ baf(x)dx

Analogía: series vs. integrales impropias

3. A pesar de que la analogía mencionada en el punto anterior llega a ser útil, se debe tenercuidado con algunas diferencias que pueden haber entre series e integrales impropias. Porejemplo, sabemos que si una serie

∑+∞n=1 an converge, entonces limn→+∞ an = 0. Sin em-

bargo, si la integral impropia de primera especie∫ +∞a

f(x)dx converge, en general no escierto que limx→+∞ f(x) = 0. Por ejemplo, consideremos la función

f(x) =

{0 si x 6∈ Z,1 si x ∈ Z.

Podemos ver que∫ +∞0

f(x)dx converge (a cero), pero limx→+∞ f(x) no existe.

Ejemplo 4.1.3.

1. Estudiemos el comportamiento de∫ b0sen(x)dx cuando b→ +∞. Sabemos que

∫sen(x)dx =

− cos(x). Luego, ∫ b0

sen(x)dx = − cos(x)|b0 = 1− cos(b).

Por lo tanto,∫ +∞0

sen(x)dx diverge ya que limb→+∞(1− cos(b)) no existe.

3

2. Veamos para cuáles valores de s la integral impropia∫ +∞1

1/xs dx converge.

Siempre ayuda en el estudio de integrales impropias de primera especie analizar primero laintegral definida

∫ ba1/xsdx. Sabemos que 1/xs tiene primitiva:∫

1

xsdx =

{ 1(1−s)xs−1 si s 6= 1log(x) si s = 1

Luego, ∫ b1

1

xsdx =

1(1−s)xs−1∣∣∣b1

si s 6= 1log(x)|b1 si s = 1

=

{b1−s−11−s si s 6= 1

log(b) si s = 1

Para el caso s = 1 es claro que∫ +∞1

1/xsdx diverge. Ahora, si 1 − s > 0 (es decir,s < 1) tenemos que limb→+∞ b1−s = +∞, y si 1 − s < 0 (es decir, s > 1) tenemos quelimn→+∞ b

1−s = 0. Por lo tanto,∫ +∞1

1/xsdx diverge si s ≤ 1, y converge si s > 1. En esteúltimo caso, se tiene ∫ +∞

1

1

xsdx =

1

s− 1.

Para el caso s = 1, tenemos la que se conoce como integral armónica∫ +∞1

1/xdx, la cualpor lo anterior sabemos que diverge.

Definición 4.1.4 (más integrales impropias de primera especie). De manera análoga se puedendefinir integrales impropias de la forma

∫ b−∞ f(x)dx y

∫ +∞−∞ f(x)dx.

1. Supongamos que tenemos una función f : (−∞, b] → R la cual es integrable en [a, b] paratodo a ≤ b. Se define la función continua F (a) :=

∫ baf(x)dx para todo a ≤ b. Diremos que

F converge si lima→−∞ F (a) existe y es finito. En caso contrario, diremos que F diverge.Al límite anterior también lo llamaremos integral impropia de f de primera especie, y lodenotaremos por ∫ b

−∞f(x)dx = lim

a→−∞

∫ ba

f(x)dx.

2. Sea f : R→ R una función integrable en [a, b] para todo a, b ∈ R con a ≤ b. Si existe c ∈ Rtal que

∫ c−∞ f(x)dx y

∫ +∞c

f(x)dx convergen, entonces se define la integral impropia def de primera especie

∫ +∞−∞ f(x)dx como:∫ +∞−∞

f(x)dx =

∫ +∞c

f(x)dx+

∫ c−∞

f(x)dx.

En este caso, diremos que la integral impropia∫ +∞−∞ f(x)dx converge.

4

De la última definición surge la pregunta natural de si∫ +∞−∞ f(x)dx, en caso de converger,

depende de la elección de c. La respuesta es que no. Lo demostramos a continuación.

Proposición 4.1.5. Sean c, d ∈ R y f : R → R una función tal que∫ +∞c

f(x)dx,∫ +∞d

f(x)dx,∫ c−∞ f(x)dx y

∫ d−∞ f(x)dx convergen. Entonces,∫ +∞

c

f(x)dx+

∫ c−∞

f(x)dx =

∫ +∞d

f(x)dx+

∫ d−∞

f(x)dx.

Demostración: Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que d > c. Tenemos en-tonces lo siguientes cálculos, que podemos hacer ya que los límites involucrados existeny sos finitos:∫ +∞

c

f(x)dx+

∫ c−∞

f(x)dx = limb→+∞

∫ bc

f(x)dx+

∫ c−∞

f(x)dx

= limb→+∞

(∫ bd

f(x)dx+

∫ dc

f(x)dx

)+

∫ c−∞

f(x)dx

= limb→+∞

(∫ bd

f(x)dx

)+

∫ dc

f(x)dx+

∫ c−∞

f(x)dx

=

∫ +∞d

f(x)dx+

∫ dc

f(x)dx+ lima→−∞

∫ ca

f(x)dx

=

∫ +∞d

f(x)dx+ lima→−∞

(∫ dc

f(x)dx+

∫ ca

f(x)dx

)=

∫ +∞d

f(x)dx+ lima→−∞

(∫ da

f(x)dx

)=

∫ +∞d

f(x)dx+

∫ d−∞

f(x)dx.

Teniendo en cuenta la definición y proposición anterior, diremos que∫ +∞−∞ f(x)dx diverge

si existe al menos un c ∈ R tal que∫ +∞c

f(x)dx diverge o∫ c−∞ f(x)dx diverge.

Ejemplo 4.1.6. Analicemos la convergencia o divergencia de la integral impropia∫ +∞−∞

ea|x|.

Por supuesto, podemos pensar que se trata de una integral cuya convergencia puede depender delparámetro a. Sabiendo que |x| = x si x ≥ 0, y |x| = −x si x < 0, trabajemos según los casosa < 0, a = 0 y a > 0.

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1. a = 0: En este caso tenemos∫ +∞−∞ e

a|x|dx =∫ +∞−∞ 1dx. Notamos que∫ +∞

0

1dx = limb→+∞

∫ b0

1dx = limb→+∞

b = +∞,

por lo que∫ +∞−∞ e

a|x|dx diverge para a = 0.

2. a < 0: Estudiemos∫ +∞0

ea|x|dx y∫ 0−∞ e

a|x|dx:∫ +∞0

ea|x|dx =

∫ +∞0

eaxdx = limb→+∞

∫ b0

eaxdx = limb→+∞

eax

a

∣∣∣∣b0

= limb→+∞

(eab

a− 1a

)= −1

a,∫ 0

−∞ea|x|dx =

∫ 0−∞

e−axdx = limb→−∞

∫ 0b

e−axdx = limb→−∞

−e−ax

a

∣∣∣∣0b

= limb→−∞

(e−ab

a− 1a

)= −1

a

En este caso, tenemos que∫ +∞−∞ e

a|x|dx converge, y∫ +∞−∞

ea|x|dx =

∫ +∞0

ea|x|dx+

∫ 0−∞

ea|x|dx = −2a.

3. a > 0: Este caso es análogo al anterior. Se puede ver que∫ +∞−∞ e

a|x|dx = 2a.

Por lo tanto, tenemos que∫ +∞−∞ e

a|x|dx converge para a 6= 0.

A continuación probaremos algunos criterios de convergencia para integrales impropiasde primera especie, que pueden ayudar a simplificar algunos cálculos o a garantizar laconvergencia o divergencia en el caso de trabajar con funciones f(x) cuya familia de prim-itivas

∫f(x)dx es difícil de calcular.

Los resultados que probaremos a continuación serán enunciados para integrales del tipo∫ +∞a

f(x)dx, pero también serán válidos para integrales del tipo∫ b−∞ f(x)dx y

∫ +∞−∞ f(x)dx.

Proposición 4.1.7 (álgebra de integrales impropias de primera especie). Sean∫ +∞a

f(x)dx

y∫ +∞a

g(x)dx dos integrales impropias convergentes, y sea λ ∈ R. Entonces, las siguientes afir-maciones se cumplen:

1. Aditividad: La integral∫ +∞a

(f(x) + g(x))dx converge, y además∫ +∞a

(f(x) + g(x))dx =

∫ +∞a

f(x)dx+

∫ +∞a

g(x)dx.

6

2. Homogeneidad: La integral∫ +∞a

λf(x)dx converge, y además∫ +∞a

λf(x)dx = λ

∫ +∞a

f(x)dx.

Demostración: Solo probaremos la aditividad1. Tenemos que los siguientes límites exis-ten:

limb→+∞

∫ ba

f(x)dx y limb→+∞

∫ ba

g(x)dx.

Luego, por la propiedad aditiva de los límites, tenemos que limb→+∞(∫ b

af(x)dx+

∫ bag(x)dx

)existe y que

limb→+∞

(∫ ba

f(x)dx+

∫ ba

g(x)dx

)= lim

b→+∞

∫ ba

f(x)dx+ limb→+∞

∫ ba

g(x)dx.

Es decir, ∫ +∞a

(f(x) + g(x))dx =

∫ +∞a

f(x)dx+

∫ +∞a

g(x)dx,

y por lo tanto∫ +∞a

(f(x) + g(x))dx converge.

Podemos notar lo siguiente.

Observación 4.1.8.

1. Aplicando la proposición anterior, si∫ +∞a

f(x)dx converge y∫ +∞a

g(x)dx diverge, entonces∫ +∞a

(f(x) + g(x))dx diverge.

2. Si∫ +∞a

f(x)dx y∫ +∞a

g(x)dx divergen, no podemos decir nada de la suma (puede resultarconvergente o divergente).

Por ejemplo, sabemos que∫ +∞1

1/xdx diverge, y además∫ +∞1

2/xdx =∫ +∞1

(1/x+ 1/x)dxtambién diverge.

Por otro lado,∫ +∞1

1/xdx y∫ +∞1−1/xdx divergen, pero

∫ +∞1

0dx =∫ +∞1

(1/x − 1/x)dxconverge.

A continuación enunciaremos un par de criterios de comparación. Sus demostraciones lasdejaremos como ejercicio.2

1Ejercicio: Probar la homogeneidad2Ver ejercicios 1 y 2 del Práctico 4.

7

Teorema 4.1.9. Sea f : [a,+∞) → R una función no negativa, e integrable en [a, b] para todob ≥ a. Consideremos nuevamente la función F (b) :=

∫ baf(x)dx, para b ∈ [a,+∞). Entonces, las

siguientes afirmaciones se cumplen:

1. La función F : [a,+∞)→ R es monótona creciente.

2.∫ +∞a

f(x)dx converge si, y solo si, F : [a,+∞) → R está acotada superiormente (es decir,existe M ∈ R tal que F (b) ≤M para todo b ∈ [a,+∞)).

Teorema 4.1.10 (criterio de comparación). Sean f, g : [a,+∞)→ R funciones que cumplen lassiguientes condiciones:

• 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ≥ a. En este caso, diremos que g domina a f sobre [a,+∞).

• f y g son integrables en [a, b] para todo b ≥ a.

Entonces, las siguientes afirmaciones se cumplen.

1. Si∫ +∞a

g(x)dx converge, entonces∫ +∞a

f(x)dx converge. En este caso, se tiene∫ +∞a

f(x)dx ≤∫ +∞a

g(x)dx.

2. Si∫ +∞a

f(x)dx diverge, entonces∫ +∞a

g(x)dx diverge.

Para demostrar que una integral impropia∫ +∞a

f(x)dx converge por el criterio de com-paración, se necesita hallar una función g que domine a f , y de la cual sepamos que∫ +∞a

g(x)dx converge. Hay ocasiones en donde no tenemos la función dominante sobretodo el intervalo de integración [a,+∞), sino sobre un subintervalo [c,+∞) para algúnc > a. En estos casos también es posible concluir que la integral

∫ +∞a

f(x)dx converge,haciendo una separación de la forma∫ +∞

a

f(x)dx =

∫ ca

f(x)dx+

∫ +∞c

f(x)dx,

donde∫ +∞c

f(x)dx será convergente por el criterio de comparación. Probemos esta propiedady hagamos un ejemplo al respecto.

Proposición 4.1.11 (separación). Sea f : [a,+∞) → R una función tal que f es integrable en[a, b] para todo b ≥ a. Entonces, se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. Si∫ +∞a

f(x)dx converge, entonces∫ +∞c

f(x)dx converge para todo c ≥ a.

8

2. Si existe c ≥ a tal que∫ +∞c

f(x)dx converge, entonces∫ +∞a

f(x)dx converge.

En ambas afirmaciones, se tiene la igualdad∫ +∞a

f(x)dx =

∫ ca

f(x)dx+

∫ +∞c

f(x)dx.

Demostración:

1. Supongamos primero que∫ +∞a

f(x)dx converge y tomemos cualquier c ≥ a. Probe-mos que el límite limb→+∞

∫ bcf(x)dx existe y es finito. Como b → +∞ y a ≤ b,

podemos separar la integral∫ baf(x)dx como∫ b

a

f(x)dx =

∫ bc

f(x)dx+

∫ ca

f(x)dx.

Luego, como limb→+∞∫ baf(x)dx existe y es finito, tenemos

limb→+∞

∫ bc

f(x)dx = limb→+∞

(∫ ba

f(x)dx−∫ ca

f(x)dx

)= lim

b→+∞

∫ ba

f(x)dx−∫ ca

f(x)dx

=

∫ +∞a

f(x)dx−∫ ca

f(x)dx.

Por lo tanto,∫ +∞c

f(x)dx converge y∫ +∞c

f(x)dx =

∫ +∞a

f(x)dx−∫ ca

f(x)dx.

2. La prueba es análoga a la parte 1.

Ejemplo 4.1.12. Veamos que la integral∫ +∞0

e−x2dx converge.

Primero separamos el intervalo de integración [0,+∞) como [0, 1] ∪ [1,+∞), ya que para x ≥ 1tenemos la desigualdad x2 ≥ x. Luego, para todo x ≥ 1, se tiene:

x2 ≥ x =⇒ −x2 ≤ −x =⇒ e−x2 ≤ e−x.

Ahora, veamos que la integral∫ +∞1

e−xdx converge:

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∫ +∞1

e−xdx = limb→+∞

∫ b1

e−xdx = limb→+∞

−e−x∣∣b1= lim

b→+∞(e−1 − e−b) = 1

e.

Como∫ +∞1

e−xdx converge, por el criterio de comparación tenemos que∫ +∞1

e−x2dx converge.

Ahora, por la propiedad de separación, tenemos que∫ +∞0

e−x2dx converge y que∫ +∞

0

e−x2

dx =

∫ +∞1

e−x2

dx+

∫ 10

e−x2

dx.

Tenga en cuenta que∫ 10e−x

2dx es un número real, ya que la función e−x2 es integrable en [0, 1]

(por ser continua).

Gráficamente,∫ +∞0

e−x2dx representa la mitad de la llamada campana de Gauss.

Observación 4.1.13. Podemos enunciar algo similar a la Proposición 4.1.11 para integrales quedivergen. Específicamente, podemos notar que para cualquier c ≥ a,

∫ +∞c

f(x)dx diverge si, y solosi,∫ +∞a

f(x)dx diverge.

De la Proposición 4.1.11 y la observación anterior, tenemos que∫ +∞a

f(x)dx converge(resp., diverge) si, y solo si,

∫ +∞c

f(x)dx converge (resp., diverge). En este caso, decimosque las integrales

∫ +∞a

f(x)dx y∫ +∞a

f(x)dx son de la misma clase.

Definición 4.1.14. Dadas dos funciones f, g : [a,+∞) → R y c ≥ a, las integrales impropias deprimera especie

∫ +∞a

f(x)dx y∫ +∞c

g(x)dx son de la misma clase si ambas convergen o ambasdivergen.

Ejemplo 4.1.15. Las integrales∫ +∞0

e−x2dx y

∫ +∞1

e−xdx del Ejemplo 4.1.12 son de la mismaclase.

La definición anterior da pie al siguiente criterio de convergencia.

10

Teorema 4.1.16 (criterio de comparación por paso al límite o criterio de equivalentes). Seanf, g : [a,+∞)→ R funciones que cumplen las siguientes condiciones:

• f(x) ≥ 0 y g(x) > 0 para todo x ≥ a. Es decir, f es no negativa y g positiva en [a,+∞).

• f y g son integrables en [a, b] para todo b ≥ a.

Considere el límiteL = lim

x→+∞

f(x)

g(x).

Entonces, las siguientes afirmaciones se cumplen:

1. Para el caso L > 0, se tiene que∫ +∞a

f(x)dx y∫ +∞a

g(x)dx son de la misma clase, es decir,o ambas convergen o ambas divergen.

Si L > 0, diremos que las funciones f y g son equivalentes, y lo denotaremos por f ∼ g.

2. Para el caso L = 0+:

•∫ +∞a

g(x)dx converge =⇒∫ +∞a

f(x)dx converge.

•∫ +∞a

f(x)dx diverge =⇒∫ +∞a

g(x)dx diverge.

3. Para el caso L = +∞:

•∫ +∞a

g(x)dx diverge =⇒∫ +∞a

f(x)dx diverge.

•∫ +∞a

f(x)dx converge =⇒∫ +∞a

g(x)dx converge.

Demostración:

1. Caso L > 0: Notamos de la definición de L que para todo ε > 0, existe x0 ≥ a tal que

x ≥ x0 =⇒ L− ε <f(x)

g(x)< L+ ε.

Como g(x) > 0, tenemos que

x ≥ x0 =⇒ (L− ε)g(x) < f(x) < (L+ ε)g(x).

En particular, para ε = L/2 > 0, tenemos que existe x0 ≥ a tal que:

11

x ≥ x0 =⇒L

2g(x) < f(x) <

3L

2g(x).

Supongamos ahora que∫ +∞a

f(x)dx converge. Luego, por la propiedad de sepa-ración, tenemos que

∫ +∞x0

f(x)dx converge. Usando la desigualdad

0 <L

2g(x) < f(x)

para x ≥ x0, tenemos por el criterio de comparación que∫ +∞x0

L2g(x)dx converge.

Luego, aplicando nuevamente la propiedad de separación, tenemos que∫ +∞a

L2g(x)dx

converge. Finalmente, por la propiedad de homogeneidad, tenemos que∫ +∞a

g(x)dxconverge.

De manera similar, se puede probar que si∫ +∞a

g(x)dx converge entonces∫ +∞a

f(x)dxconverge, usando la desigualdad

f(x) <3L

2g(x)

para x ≥ x0.

2. Caso L = 0+: Por la definición de L tenemos que para todo ε > 0, existe x0 ∈ R talque

x ≥ x0 =⇒ −ε <f(x)

g(x)< ε.

Como g(x) > 0, tenemos

x ≥ x0 =⇒ −εg(x) < f(x) < εg(x).

En particular, para ε = 1, existe x0 ∈ R tal que

x ≥ x0 =⇒ f(x) < g(x).

Si∫ +∞a

g(x)dx converge, tenemos por la propiedad de separación que∫ +∞x0

g(x)dxconverge. Luego, por la desigualdad anterior y el criterio de comparación, tenemosque

∫ +∞x0

f(x)dx converge. Aplicando nuevamente la propiedad de separación, ten-emos que

∫ +∞a

f(x)dx converge. El caso en el cual∫ +∞a

f(x)dx diverge es análogo.

3. Caso L = +∞: Notamos aquí que para K = 1, existe x0 ∈ R tal que

x ≥ x0 =⇒f(x)

g(x)> 1,

12

o equivalentemente, ya que g(x) > 0,

x ≥ x0 =⇒ f(x) > g(x).

El resto de la demostración se sigue como en la parte anterior.

Ejemplo 4.1.17. Veamos que la integral∫ +∞1

e−xxsdx converge para todo s ∈ R.

Comparemos f(x) = e−xxs con la función g(x) = 1/x2, con x ≥ 1. Tenemos que

f(x)

g(x)=e−xxs

1/x2=xs+2

ex.

Hagamos un análisis por casos según los valores de s:

• s = −2: Tenemosf(x)

g(x)=

1

ex.

Luego,

L = limx→+∞

f(x)

g(x)= lim

x→+∞

1

ex= 0+.

• s < −2: Luego, s+ 2 < 0, y tenemos

f(x)

g(x)=

1

x−(s+2)ex

donde x−(s+2)ex → +∞ si x→ +∞. Por lo que L = 0+.

• s > −2: Luego, s+ 2 > 0, y por órdenes, sabemos que L = 0+ también en este caso.

Por la parte 2. del criterio de comparación por paso al límite, se tiene que∫ +∞1

e−xxsdx convergeya que

∫ +∞1

1/x2dx converge (ver la parte 2. del Ejemplo 4.1.3).

Terminaremos esta sección de integrales impropias de primera especie con un par de rela-ciones con el tema de series. La primera, es el concepto de convergencia absoluta quetambién tiene su análogo para integrales impropias. La segunda, es un criterio de con-vergencia para cierto tipo de series, cuya idea es asociarles una integral impropia quesepamos que converge, e implicar a partir de aquí la convergencia de la serie.

Definición 4.1.18. Sea f : [a,+∞) → R una función integrable en [a, b] para todo b ≥ a.Diremos que

∫ +∞a

f(x)dx es absolutamente convergente (o que converge absolutamente) si∫ +∞a|f(x)|dx converge.

13

Tal como ocurría con series, tendremos que toda integral impropia absolutamente conver-gente es convergente.

Teorema 4.1.19. Sea f : [a,+∞) → R una función integrable en [a, b] para todo b ≥ a, tal que∫ +∞a

f(x)dx es absolutamente convergente. Entonces,∫ +∞a

f(x)dx converge.

Demostración: Empecemos considerando la desigualdad

−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|, para todo x ≥ a.

Luego,0 ≤ |f(x)|+ f(x) ≤ 2|f(x)|, para todo x ≥ a.

Tenemos dos funciones no negativas |f |+f y 2|f | en [a,+∞), y sabemos que∫ +∞a|f(x)|dx

converge por ser∫ +∞a

f(x)dx absolutamente convergente. Entonces,∫ +∞a

2|f(x)|dx con-verge por la propiedad de homogeneidad. Por lo tanto,

∫ +∞a

(|f(x)| + f(x))dx convergepor el criterio de comparación.

Finalmente, comof(x) = (|f(x)|+ f(x))− |f(x)|

y tanto∫ +∞a

(|f(x)| + f(x))dx como∫ +∞a|f(x)|dx convergen, se tiene por la propiedad de

aditividad que∫ +∞a

f(x)dx converge.

El recíproco del teorema anterior no es cierto en general. De la misma manera que ocurríacon series, pueden haber integrales impropias que convergen pero no convergen absolu-tamente.

Definición 4.1.20. Sea f : [a,+∞) → R una función integrable en [a, b] para todo b ≥ a. Dire-mos que

∫ +∞a

f(x)dx es condicionalmente convergente (o que converge condicionalmente) si∫ +∞a

f(x)dx converge pero∫ +∞a|f(x)|dx diverge.

Ejemplo 4.1.21.

1. Estudiemos la convergencia de la integral∫ +∞0

sen(x)

ex2dx.

Como el integrando cambia de signo, estudiemos la convergencia de∫ +∞0

∣∣∣ sen(x)ex2

∣∣∣ dx. Como|sen(x)| ≤ 1, tenemos que ∣∣∣∣sen(x)ex2

∣∣∣∣ ≤ 1e2 , para todo x ≥ 0.14

Como∫ +∞0

1

ex2dx converge por el Ejemplo 4.1.12, tenemos por el criterio de comparación

que∫ +∞0

∣∣∣ sen(x)ex2

∣∣∣ dx converge. Es decir, ∫ +∞0 sen(x)ex2 dx es absolutamente convergente, y por elteorema anterior, tenemos que

∫ +∞0

sen(x)

ex2dx converge.

2. La integral de Fresnel∫ +∞0

sen(x2)dx, la cual es usada en óptica, es un ejemplo de integralcondicionalmente convergente. La prueba de esto la dejamos como ejercicio.

Pasemos ahora a enunciar y demostrar el criterio de convergencia serie-integral.

Teorema 4.1.22 (criterio serie-integral). Sea f : [a,+∞) → R una función positiva y decre-ciente, e integrable en [a, b] para todo b ≥ a. Sea n0 el primer entero no negativo mayor o igual quea. Para cada n ≥ n0, sean

sn =n∑

k=n0

f(k) y tn =∫ nn0

f(x)dx.

Entonces, o ambas sucesiones {sn} y {tn} convergen o ambas divergen. En otras palabras, la se-rie∑+∞

n=n0f(n) converge (resp., diverge) si, y solo si, la integral impropia

∫ +∞n0

f(x)dx converge(resp., diverge).

Demostración: Antes de suponer la convergencia de la serie para probar la de la integral,o viceversa, necesitamos establecer algunas desigualdades auxiliares para este propósito.La idea a continuación es pensar a la serie

∑+∞n=n0

f(n) como la integral impropia de unafunción escalonada, luego comparar esta función con f , y finalmente aplicar el criterio decomparación.

Sea n ≥ n0, y consideremos el intervalo [n0, n]. Sean g, h : [n0, n]→ R las funciones escalon-adas definidas como siguen:

g(x) = f(k + 1), para todo k ≤ x ≤ k + 1 y n0 ≤ k < n,h(x) = f(k), para todo k ≤ x ≤ k + 1 y n0 ≤ k < n.

Podemos notar que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x ∈ [n0, n], debido a que f es monótonadecreciente. Luego,

sn − f(n0) =n∑

k=n0+1

f(k) =

∫ nn0

g(x)dx ≤∫ nn0

f(x)dx ≤∫ nn0

h(x)dx =n−1∑k=n0

f(k) = sn−1. (i)

Supongamos que la serie∑+∞

n=n0f(n) converge. Tenemos entonces que limn→+∞ sn existe y

es finito. Es decir, limn→+∞∫ nn0h(x)dx ∈ R. Por la finitud del límite anterior, es equivalente

tomar n → +∞ o tomar b → +∞. Luego, limb→+∞∫ bn0h(x)dx ∈ R, es decir,

∫ +∞n0

h(x)dx

15

converge. Notemos además que del lado derecho de la desigualdad (i) se puede deducirque f(x) ≤ h(x) para todo x ≥ n0. Por lo tanto, por el criterio de comparación, tenemosque

∫ +∞n0

f(x)dx converge.

Situación para el caso n0 = 1.(Imagen tomada de Calculus Vol. 1 - T. Apostol).

Ahora supongamos que la integral impropia∫ +∞n0

f(x)dx converge. Tenemos entonces quelimb→+∞

∫ bn0f(x)dx existe y es finito. En particular, limn→+∞

∫ nn0f(x)dx ∈ R. Esto implica

que la sucesión {sn−f(n0)}, la cual es monótona creciente, está acotada superiormente, locual a su vez implica que limn→+∞ sn−f(n0) existe y es finito. Por lo tanto, limn→+∞ sn ∈ R,es decir, la serie

∑+∞n=n0

f(n) converge.

Ejemplo 4.1.23. Estudiemos la convergencia de la serie∑+∞

n=21

n log(n).

Normalmente, el criterio serie-integral es útil cuando el resto de los criterios de convergencia fallano resultan difíciles de aplicar. Tal es la situación para la serie dada. Entonces, veamos si puedeusarse el criterio recién demostrado.

La función f dada el en enunciado del Teorema 4.1.22 está determinada por la definición del términogeneral de la serie a estudiar, en este caso:

an =1

n log(n), con n ≥ 2.

Entonces, como función f debemos elegir f : [2,+∞)→ R dada por:

f(x) =1

x log(x).

16

Tal función debe ser positiva, decreciente e integrable en [2,+∞) para poder aplicar el criterio. Esclaro que f es positiva en [2,+∞). Por otro lado, supongamos que 2 ≤ x ≤ x′. Luego, 1/x ≥ 1/x′y log(x) ≤ log(x′) (ya que la función logaritmo es creciente). Entonces, 1/x ≥ 1/x′ > 0 y1/ log(x) ≥ 1/ log(x′) > 0, de donde 1/x log(x) ≥ 1/x′ log(x′), es decir, f(x) ≥ f(x′) para todo2 ≤ x ≤ x′. Tenemos así que f es monótona decreciente en [2,+∞).

Por el criterio serie-integral, la convergencia o divergencia de∫ +∞2

1x log(x)

dx implicará la mismacondición para la serie

∑+∞n=2

1n log(n)

. Estudiemos entonces la convergencia de la integral∫ +∞2

1

x log(x)dx.

Afortunadamente, en este caso estamos ante un integrando cuya primitiva es fácil de calcularmediante un cambio de variables:∫

f(x)dx =

∫1

x log(x)dx =

∫1

udu (haciendo u = log(x))

= log(u)

= log(log(x)).

Ignoramos colocar la contante de integración porque pasaremos a una integral definida. Efectiva-mente, ∫ b

2

f(x)dx = log(log(x))|b2 = log(log(b))− log(log(2)),∫ +∞2

1

x log(x)dx = lim

b→+∞[log(log(b))− log(log(2))] = +∞.

Tenemos entonces que∫ +∞2

1x log(x)

dx diverge, y por lo tanto,∑+∞

n=21

n log(n)diverge.

4.2 Integrales impropias de segunda especie

En esta sección estudiaremos la segunda situación mencionada en la introducción, es de-cir, integrales de la forma

∫ baf(x)dx donde permitimos que f no sea acotada.

Definición 4.2.1. Sea f : (a, b] → R una función integrable en [c, b] para todo a < c ≤ b. A lafunción

F (c) =

∫ bc

f(x)dx, con c ∈ (a, b],

la llamaremos integral impropia de f de segunda especie. Diremos que F converge si el límitelimc→a+

∫ bcf(x)dx existe y es finito. En caso contrario, diremos que F diverge.

17

Para esta integral impropia usaremos la notación∫ ba+f(x)dx,

y también nos referiremos a este símbolo como la integral impropia de f de segunda especie. Encaso de convergencia, tenemos ∫ b

a+f(x)dx = lim

c→a+

∫ bc

f(x)dx.

Observación 4.2.2. Análogamente, tenemos el caso de funciones f : [a, b) → R integrables en[a, c] para todo a ≤ c < b. En este caso, a la función F (c) =

∫ caf(x)dx, con c ∈ [a, b), también

se le conoce como integral impropia de f de segunda especie, y diremos que converge si el límitelimc→b−

∫ caf(x)dx existe y es finito. En caso contrario, diremos que diverge. Usaremos la notación∫ b−

a

f(x)dx.

Ejemplo 4.2.3. Analicemos nuevamente la función 1/xs con s ∈ R. Veamos para cuáles valoresde s, la integral impropia

∫ 10+

1/xsdx converge.

Analicemos primero el caso s < 0. Luego. −s > 0 y así 1/xs = x−s es continua en [0, 1], y por lotanto integrable. En este caso,∫ 1

0+

1

xsdx =

∫ 10

1

xsdx =

x1−s

1− s

∣∣∣∣10

=1

1− s.

Para el caso s = 0, ocurre también que∫ 10+

1

xsdx =

∫ 10

1

xsdx =

∫ 10

1dx = 1.

18

Finalmente, analicemos lo que ocurre si s > 0. Recuerde que∫1

xsdx =

{log(x) si s = 1,x1−s

1−s si s 6= 1.

Luego, ∫ 1c

1

xsdx =

{− log(c) si s = 1,1−c1−s1−s si s 6= 1.

Finalmente,

∫ 10+

1

xsdx = lim

c→0+

∫ 1c

1

xsdx =

{limc→0+ − log(c) si s = 1,limc→0+

1−c1−s1−s si s 6= 1.

=

+∞ si s = 1,1

1−s si 0 < s < 1,+∞ si s > 1.

Por lo tanto,∫ 10+

1xsdx converge si s < 1, y diverge si s ≥ 1.

Observación 4.2.4. Notamos que∫ 10+

1xsdx se comporta de manera totalmente diferente a la inte-

gral∫ +∞1

1xsdx del Ejemplo 4.1.3. Esto es una buena razón para convencernos de que las integrales

impropias de primera y segunda especie deben estudiarse por separado. No se puede decir alegre-mente que “la integral impropia de f(x) = 1/xs converge o diverge”. Todo depende del dominiode integración: para [1,+∞) tenemos una integral impropia de primera especie, y para (0, 1] unaintegral impropia de segunda especie. La convergencia sobre uno de estos dominios nada tiene quever con la convergencia sobre el otro.

Ciertamente veremos más adelante analogías entre las integrales impropias de primera y segundaespecie, cuando para estas últimas probemos los correspondientes criterios de convergencia. Porejemplo, veremos una versión del criterio de comparación por paso al límite para integrales de se-gunda especie, pero a pesar del parecido con el enunciado del Teorema 4.2.10, debemos tener cuidadocon las hipótesis a verificar para ambas familias de integrales impropias.

Además de los casos mencionados en la definición, podemos tener integrales impropiasde la forma ∫ b−

a+f(x)dx.

Para estos casos, la situación es que f no se comporta bien cerca de a y b. Aquí, diremosque

∫ b−a+f(x)dx converge si existe c ∈ (a, b) tal que

∫ b−af(x)dx y

∫ ca+f(x)dx convergen. En

este caso, tenemos que ∫ b−a+

f(x)dx =

∫ b−c

f(x)dx+

∫ ca+f(x)dx.

Esta convergencia no depende de la elección de c, como veremos a continuación.

19

La prueba de la siguiente proposición se deja como ejercicio.

Proposición 4.2.5. Sea f : (a, b] → R una función integrable en [c, b] para todo c ∈ (a, b]. Si∫ ba+f(x)dx converge, entonces

∫ da+f(x)dx converge para todo d ∈ (a, b]. En este caso, se tiene:∫ b

a+f(x)dx =

∫ bd

f(x)dx+

∫ da+f(x)dx.

Proposición 4.2.6 (separación). Sea f : (a, b) → R una función integrable en [c, d] para todoa < c ≤ d < b. Si

∫ b−a+f(x)dx converge, entonces∫ b−

a+f(x)dx =

∫ b−d

f(x)dx+

∫ da+f(x)dx,

para todo d ∈ (a, b).

Demostración: Sabemos que existe al menos un c ∈ (a, b) tal que∫ b−a+

f(x)dx =

∫ b−c

f(x)dx+

∫ ca+f(x)dx,

donde∫ b−cf(x)dx y

∫ ca+f(x)dx son convergentes. Sea d ∈ (a, b) y, sin pérdida de generali-

dad, supongamos que d ≤ c. Por la proposición anterior y su análogo, tenemos que:∫ ca+f(x)dx =

∫ cd

f(x)dx+

∫ da+f(x)dx y

∫ b−d

f(x)dx =

∫ b−c

f(x)dx+

∫ cd

f(x)dx.

Luego, ∫ b−a+

f(x)dx =

∫ b−c

f(x)dx+

∫ ca+f(x)dx

=

∫ b−c

f(x)dx+

(∫ cd

f(x)dx+

∫ da+f(x)dx

)=

(∫ b−c

f(x)dx+

∫ cd

f(x)dx

)+

∫ da+f(x)dx

=

∫ b−d

f(x)dx+

∫ da+f(x)dx.

20

Del resultado anterior, tenemos que∫ b−a+f(x)dx diverge si existe c ∈ (a, b) tal que o

∫ b−cf(x)dx

diverge o∫ ca+f(x)dx diverge.

Mencionamos otro escenario donde pueden aparecer integrales impropias de segundaespecie. Si tenemos una función f : [a, b] → R que no está acotada alrededor de un puntoc ∈ (a, b), y tal que f es integrable en [a, d] y en [e, b] para todo a ≤ d < c y c < e ≤ b.Entonces, decimos que la integral de f sobre [a, b] viene dada por∫ b

a

f(x)dx =

∫ bc+f(x)dx+

∫ c−a

f(x)dx

La integral∫ baf(x)dx converge si ambos sumandos

∫ bc+f(x)dx y

∫ c−af(x)dx convergen; y

diverge si al menos uno de esos sumandos diverge.

Antes de dar más ejemplos de convergencia de integrales impropias de segunda especie,probaremos para este tipo de integrales sus correspondientes propiedades y criterios deconvergencia. Estos resultados serán enunciados para integrales de la forma

∫ ba+f(x)dx,

pero tienen sus análogos también válidos para integrales de la forma∫ b−af(x)dx.

Proposición 4.2.7 (álgebra de integrales impropias de segunda especie). Sean∫ ba+f(x)dx y∫ b

a+g(x)dx dos integrales impropias convergentes, y sea λ ∈ R. Entonces:

1. Aditividad: La integral∫ ba+(f(x) + g(x))dx converge, y además∫ b

a+(f(x) + g(x))dx =

∫ ba+f(x)dx+

∫ ba+g(x)dx.

2. Homogeneidad: La integral∫ ba+λf(x)dx converge, y además∫ b

a+λf(x)dx = λ

∫ ba+f(x)dx.

Demostración: Análoga a la prueba de la Proposición 4.1.7.

Teorema 4.2.8. Sea f : (a, b] → R una función no negativa, e integrable en [c, b] para todoc ∈ (a, b]. Consideremos nuevamente la función F (c) :=

∫ bcf(x)dx, para c ∈ (a, b]. Entonces, las

siguientes afirmaciones se cumplen:

1. La función F : (a, b]→ R es monótona decreciente.

2.∫ ba+f(x)dx converge si, y solo si, F : (a, b]→ R está acotada superiormente.

21

Demostración: La parte 1. se sigue de las propiedades básicas de la integral definida vis-tas en el curso de CDI1V.

Para la parte 2., supongamos primero que∫ ba+f(x)dx converge, digamos que a L ∈ R). Es

decir, L = limc→a+ F (c)dx. Luego, para ε = 1, existe δ > 0 tal que

a < c < a+ δ =⇒ L− 1 <∫ bc

f(x)dx < L+ 1.

Es decir, F (c) < L+ 1 para todo c ∈ (a, a+ δ). Ahora, si a+ δ ≤ d ≤ b (tomando δ lo sufi-cientemente pequeño para que a+δ ≤ b), tenemos que c ≤ d. Luego, como F es monótonadecreciente, nos queda que F (c) ≥ F (d), de donde F (d) < L + 1 para todo d ∈ [a + δ, b].Por lo tanto, se tiene que F (c) < L+ 1 para todo c ∈ (a, b], es decir, F es acotada en (a, b].

Ahora supongamos que F es acotada en (a, b]. Luego, el conjunto {F (c) : c ∈ (a, b]} esno vacío y está acotado superiormente. Sea I = sup{F (c) : c ∈ (a, b]}. Veamos que I =limc→a+ F (c). Sea ε > 0, y consideremos el valor I − ε < I . Por definición de supremo,sabemos que I−ε no puede ser cota superior de {F (c) : c ∈ (a, b]}. Luego, existe c0 ∈ (a, b]tal que I − ε < F (c0). Sea δ := c0 − a y supongamos que a < c < a + δ = c0. ComoF es monótona decreciente y c < c0, se tiene que F (c0) ≤ F (c). Entonces, tenemos queI − ε < F (c0) ≤ F (c) para todo c ∈ (a, a+ δ). Por otro lado, es claro que F (c) < I + ε. Porlo tanto, I − ε < F (c) < I + ε para todo c ∈ (a, a+ δ), es decir, I = limc→a+ F (c).

Teorema 4.2.9 (criterio de comparación). Sean f, g : (a, b] → R funciones que cumplen lassiguientes condiciones:

• 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ (a, b].

• f y g son integrables en [c, b] para todo c ∈ (a, b].

Entonces, las siguientes afirmaciones se cumplen:

1. Si∫ ba+g(x)dx converge, entonces

∫ ba+f(x)dx converge. En este caso, se tiene∫ b

a+f(x)dx ≤

∫ ba+g(x)dx.

2. Si∫ ba+f(x)dx diverge, entonces

∫ ba+g(x)dx diverge.

Demostración: Solo probaremos la parte 1., ya que 2. es su contrarrecíproco.

22

Supongamos que∫ ba+g(x)dx converge. Consideremos la función G(c) =

∫ bcg(x)dx. Por el

teorema anterior, tenemos que G es acotada sobre (a, b]. Por otro lado, 0 ≤ f(x) ≤ g(x)para todo x ∈ (a, b] implica que F (c) ≤ G(c) para todo c ∈ (a, b]. Entonces, F también esacotada. Aplicando el teorema anterior de nuevo, tenemos que

∫ ba+f(x)dx converge.

Teorema 4.2.10 (criterio de comparación por paso al límite o criterio de equivalentes). Seanf, g : (a, b]→ R funciones que cumplen las siguientes condiciones:

• f(x) ≥ 0 y g(x) > 0 para todo x ∈ (a, b].

• f y g son integrables en [c, b] para todo c ∈ (a, b].

Considere el límiteL = lim

x→a+

f(x)

g(x).

Entonces, las siguientes afirmaciones se cumplen:

1. Para el caso L > 0, se tiene que∫ ba+f(x)dx y

∫ ba+g(x)dx son de la misma clase, es decir, o

ambas convergen o ambas divergen.

2. Para el caso L = 0+:

•∫ ba+g(x)dx converge =⇒

∫ ba+f(x)dx converge.

•∫ ba+f(x)dx diverge =⇒

∫ ba+g(x)dx diverge.

3. Para el caso L = +∞:

•∫ ba+g(x)dx diverge =⇒

∫ ba+f(x)dx diverge.

•∫ ba+f(x)dx converge =⇒

∫ ba+g(x)dx converge.

Demostración: Solo probaremos la parte 1. Las partes 2. y 3., por otro lado, se siguen conlas ideas de la prueba correspondiente a integrales impropias de primera especie, y conargumentos similares a los mostrados a continuación.

Analicemos entonces el caso L > 0. Notamos que para ε = L/2, podemos tomar δ > 0,con a+ δ ≤ b, tal que

a < x < a+ δ =⇒ L2<f(x)

g(x)<

3L

2.

23

Supongamos que∫ ba+g(x)dx converge. Como g(x) > 0, tenemos que

x ∈ (a, a+ δ) =⇒ f(x) < 3L2g(x).

Para cualquier d ∈ (a, a+ δ), tenemos entonces que 0 ≤ f(x) < 3L2g(x) para todo x ∈ (a, d].

Como∫ ba+

3L2g(x)dx converge por homogeneidad, tenemos por la Proposición 4.2.5 que∫ d

a+3L2g(x)dx converge. Entonces, por el criterio de comparación, tenemos que

∫ da+f(x)dx

converge. Finalmente, como∫ bdf(x)dx es una integral definida, tenemos nuevamente por

la Proposición 4.2.5 que∫ ba+f(x)dx converge.

De manera análoga, se tiene también que si∫ ba+f(x)dx converge, entonces

∫ ba+g(x)dx con-

verge.

También podemos hablar de convergencia absoluta para integrales impropias de segundaespecie. Esta convergencia se define de manera análoga a la Definición 4.1.18.

Teorema 4.2.11. Sea f : (a, b] → R una función integrable en [c, b] para todo c ∈ (a, b], tal que∫ ba+f(x)dx es absolutamente convergente. Entonces,

∫ ba+f(x)dx converge.

Demostración: Análoga a la del Teorema 4.1.19.

Ejemplo 4.2.12. Estudiemos la convergencia de la integral impropia∫ 1−0+

log(x)1−x dx.

Primero, notamos que la función integrando f(x) = log(x)1−x es negativa en el dominio de integración

(0, 1). Estudiemos entonces la convergencia absoluta de∫ 1−0+

log(x)1−x dx, es decir, la convergencia de∫ 1−

0+

∣∣∣ log(x)1−x ∣∣∣ dx = ∫ 1−0+ − log(x)1−x dx.Tenemos dos puntos problemáticos, el x = 0 y el x = 1, entonces, separamos la integral de lasiguiente forma: ∫ 1−

0+

− log(x)1− x

dx =

∫ 1/20+

− log(x)1− x

dx+

∫ 1−1/2

− log(x)1− x

dx.

Ahora estudiemos la convergencia de cada sumando.

• Para∫ 1/20+

− log(x)1−x dx, comparamos con la función g(x) =

1√x

en (0, 1/2]:

24

limx→0+

f(x)

g(x)= lim

x→0+

−√x log(x)

1− x= lim

x→0+

1

1− x· limx→0+

− log(x)1/√x

= 1 · limx→0+

− log(x)1/√x

= limx→0+

− log(x)1/√x

= limx→0+

− 1x

− 1x· 12√x

= limx→0+

2√x = 0+.

Luego, como∫ 1/20+

g(x)dx converge y el límite anterior da 0+, se tiene que∫ 1/20+

− log(x)1−x dx con-

verge.

• Para∫ 1−1/2

log(x)1−x dx, comparamos con la función h(x) =

1√1−x en [−1/2, 1):

limx→1−

f(x)

h(x)= lim

x→1−

−√1− x log(x)1− x

= limx→1−

− log(x)√1− x

= limx→1−

− 1x

− 12√1−x

= limx→1−

2√1− xx

= 0+.

Luego, como∫ 1−1/2

h(x)dx converge y el límite anterior da 0+, se tiene que∫ 1−1/2− log(x)1−x dx con-

verge.

Lo anterior implica que∫ 1−0+

∣∣∣ log(x)1−x ∣∣∣ dx converge. Como ∫ 1−0+ log(x)1−x dx converge absolutamente, ten-emos que

∫ 1−0+

log(x)1−x dx converge.

4.3 Integrales impropias mixtas

Finalizamos estas notas estudiando la última familia de integrales impropias, llamadasintegrales impropias mixtas, que son una combinación de las dos familias anteriores.

Definición 4.3.1. Sea f : (a,+∞) → R una función integrable en todo subintervalo [b, c] ⊆(a,+∞). A la expresión ∫ +∞

a+f(x)dx

se le conoce como integral impropia mixta, y diremos que ella converge si existe b ∈ (a,+∞)tal que

∫ ba+f(x)dx y

∫ +∞b

f(x)dx convergen. Es este caso,∫ +∞a+

f(x)dx converge a∫ +∞a+

f(x)dx =

∫ ba+f(x)dx+

∫ +∞b

f(x)dx.

En caso contrario, diremos que∫ +∞a+

f(x)dx diverge. La convergencia de∫ +∞a+

f(x)dx no dependedel punto b que satisface la condición anterior, como veremos en breve.

25

Análogamente, tenemos integrales impropias mixtas de la forma∫ a−−∞

f(x)dx

para funciones f : (−∞, a) → R integrables en todo subintervalo [b, c] ⊆ (−∞, a), y converge siexiste b ∈ (−∞, a) tal que

∫ b−∞ f(x)dx y

∫ a−b

f(x)dx convergen. En tal caso tenemos∫ a−−∞

f(x)dx =

∫ b−∞

f(x)dx+

∫ a−b

f(x)dx.

En caso contrario, se dice que∫ b−−∞ f(x)dx diverge.

El siguiente resultado lo probaremos para integrales impropias mixtas de la forma∫ +∞a+

f(x)dx,pero su análogo es válido para

∫ a−−∞ f(x)dx.

Proposición 4.3.2. Sea f : (a,+∞) → R una función integrable en todo subintervalo [b, c] ⊆(a,+∞). Entonces,

∫ +∞a+

f(x)dx converge si, y solo si, para todo c ∈ (a,+∞) las integrales∫ ca+f(x)dx y

∫ +∞c

f(x)dx convergen. Más aún, tenemos que∫ +∞a+

f(x)dx =

∫ ca+f(x)dx+

∫ +∞c

f(x)dx.

Demostración: La implicación (⇐=) es clara. Ahora, supongamos que∫ +∞a+

f(x)dx. Sabe-mos entonces que existe b ∈ (a,+∞) tal que

∫ ba+f(x)dx y

∫ +∞b

f(x)dx convergen, y que∫ +∞a+

f(x)dx =

∫ ba+f(x)dx+

∫ +∞b

f(x)dx.

Sea c ∈ (a,+∞). Sin pérdida de generalidad, supongamos que c ≤ b. Por propiedades deseparación para integrales impropias de primera y segunda especie que son convergentes,tenemos

∫ ca+f(x)dx y

∫ +∞c

f(x)dx convergen, y además:∫ +∞a+

f(x)dx =

∫ ba+f(x)dx+

∫ +∞b

f(x)dx

=

∫ ca+f(x)dx+

∫ bc

f(x)dx+

∫ +∞b

f(x)dx

=

∫ ca+f(x)dx+

∫ +∞c

f(x)dx.

26

Ejemplo 4.3.3. Estudiemos la convergencia de la integral∫ +∞0+

e−√

x√xdx.

Separamos de la siguiente manera:∫ +∞0+

e−√x

√xdx =

∫ 10+

e−√x

√xdx+

∫ +∞1

e−√x

√xdx.

Ahora estudiemos la convergencia de cada sumando:

• Para la integral∫ 10+

e−√x

√xdx, comparamos con g(x) = 1√

xen (0, 1]. Tenemos que

limx→0+

f(x)

g(x)= lim

x→0+

e−√x

√x

1√x

= limx→0+

e−√x = 1.

Luego, f(x) ∼ g(x), y sabemos que∫ 10+

1√xdx converge, por lo que

∫ 10+

e−√x

√xdx converge.

• Para la integral∫ +∞1

e−√x

√xdx, comparamos con h(x) = 1

x3/2en [1,+∞). Tenemos que

limx→+∞

f(x)

h(x)= lim

x→+∞

e−√x

√x

1x3/2

= limx→+∞

x3/2e−√x

x1/2= lim

x→+∞

x

e√x.

Hacemos el cambio de variables y =√x en el límite anterior.

limx→+∞

f(x)

h(x)= lim

x→+∞

x

e√x= lim

y→+∞

y2

ey= lim

y→+∞

2y

ey= lim

y→+∞

2

ey= 0+.

Entonces, como limx→+∞f(x)h(x)

= 0+ y∫ +∞1

h(x)dx converge, se tiene que∫ +∞1

e−√x

√xdx con-

verge.

Por lo tanto, tenemos que∫ +∞0+

e−√

x√xdx converge.

27

INTEGRAL IMPROPIA ¿CONVERGE O DIVERGE?∫ +∞1

1xs dx converge si s > 1 diverge si s ≤ 1

∫ 10+

1xs dx converge si s < 1 diverge si s ≥ 1

Integrales armónicas

CRITERIO CONCLUSIÓN

comparación

0 ≤ f(x) ≤ g(x) en [a,+∞)

∫ +∞a

g(x)dx converge =⇒∫ +∞a

f(x)dx converge∫ +∞a

f(x)dx diverge =⇒∫ +∞a

g(x)dx

0 ≤ f(x) ≤ g(x) en (a, b]

∫ ba+

g(x)dx converge =⇒∫ ba+

f(x)dx converge∫ ba+

f(x)dx diverge =⇒∫ ba+

g(x)dx

paso al límite o equivalentes

f(x), g(x) ≥ 0 en [a,+∞)

L = limx→+∞f(x)g(x)

L ∈ R y L > 0:∫ +∞a

f(x)dx converge⇐⇒∫ +∞a

g(x)dx converge

L = 0+:∫ +∞a

g(x)dx converge =⇒∫ +∞a

f(x)dx converge

L = +∞:∫ +∞a

g(x)dx diverge =⇒∫ +∞a

f(x)dx diverge

f(x), g(x) ≥ 0 en (a, b]

L = limx→a+f(x)g(x)

L ∈ R y L > 0:∫ ba+

f(x)dx converge⇐⇒∫ ba+

g(x)dx converge

L = 0+:∫ ba+

g(x)dx converge =⇒∫ ba+

f(x)dx converge

L = +∞:∫ ba+

g(x)dx diverge =⇒∫ ba+

f(x)dx diverge

convergencia absolutaimplica convergencia

∫ +∞a|f(x)|dx converge =⇒

∫ +∞a

f(x)dx converge∫ ba+|f(x)|dx converge =⇒

∫ ba+

f(x)dx converge

serie-integral

f : [n0,+∞)→ R decreciente y ≥ 0

∫ +∞n0

f(x)dx converge =⇒∑+∞

n=n0f(n) converge

Resumen de los criterios de convergencia

28

Escrito en LATEX por Marco A. Pérez.

Material consultado:• Calculus Vol. 1, de Tom Apostol.• Notas de Juan Piccini.

Última actualización: 5 de Abril de 2020.

29

Integrales ImpropiasIntegrales impropias de primera especieIntegrales impropias de segunda especieIntegrales impropias mixtas