cÁlculo diferencial 3 ciclo Área de ciencias
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APLICACIONES DE LA DERIVADA:
CRITERIO DE PRIMERA Y SEGUNDA
DERIVADA
CÁLCULO DIFERENCIAL
3° Ciclo
ÁREA DE CIENCIAS
Logro de la Sesión
Al término de la sesión el estudiante analiza, interpreta y aplica
el criterio de la primera y segunda derivada para obtener los
valores máximos y mínimos de funciones y la solución de
problemas afines a la ingeniería .
INTRODUCCIÓN
El análisis del comportamiento gráfico de las funciones es una parte
básica de las matemáticas y tiene aplicaciones en muchas áreas de
estudio.
En esta sección analizaremos la gran utilidad de la diferenciación en el
análisis de una función, de manera que se pueda determinar su forma
verdadera y el comportamiento de su gráfica.
Estudiaremos los siguientes conceptos en forma simultánea: Función
Creciente, Función Decreciente, Máximo y/o Mínimo Relativo,
Concavidad hacia arriba, Concavidad hacia abajo, y punto de inflexión
en la función.
MONOTONÍA DE LAS FUNCIONES
FUNCIÓN CRECIENTE : Intuitivamente una función es
creciente si a medida que aumenta la variable x, también
aumenta la variable y
DEFINICIÓN :
Sea una función definida en el intervalo I, para
Donde ,se dice que la función es
creciente en el intervalo I
xf IxyIx 21
2121
. xfxfSixx
MONOTONÍA DE LAS FUNCIONES
FUNCIÓN DECRECIENTE : Intuitivamente una función es
decreciente si a medida que aumenta la variable x, disminuye
la variable y
DEFINICIÓN :
Sea una función definida en el intervalo I, para
Donde ,se dice que la función es
creciente en el intervalo I
xf IxyIx 21
2121
. xfxfSixx
CRITERIO PARA LAS FUNCIONES
CRECIENTES Y DECRECIENTES
Sea una función que es continua en el intervalo cerrado
y derivable en el intervalo
1. Si para todo ,entonces es
creciente en
2. Si para todo ,entonces es
decreciente en
3. Si para todo ,entonces es
constante en
xf
ba ,
0' xf bax , xf
ba ,
0' xf bax , xf
0' xf bax , xf
ba ,
VALORES EXTREMOS DE UNA
FUNCIÓNTEOREMA:
Si es una función continua definida en el intervalo cerrado
existe (por lo menos) un punto ,tal que ,en el cual
Toma el mayor valor ,y existe (por lo menos) un punto
,talque en el cual toma el menor valor
xf ba ,
bax ,11
x xf
bax ,2
bxa 2 xf
x
y
a0 1x
2x b
)(2
xf
)(1
xf
)( xfy
EXTREMOS DE FUNCIONES
EXTREMOS ABSOLUTOS:
Un número es un máximo absoluto de una función
Si
Un número es un máximo absoluto de una función
Si
1
cf xf
fDomxcfxf ,)()(1
1
cf xf
fDomxcfxf ,)()(1
EXTREMOS RELATIVOS:
Un número es un máximo relativo de una función
Si en algún intervalo abierto que contenga a
Un número es un máximo absoluto de una función
Si en algún intervalo abierto que contenga a
1
cf xf
xcfxf ,)()(1 1
c
1
cf xf
xcfxf ,)()(1
1c
PUNTOS CRÍTICOS
DEFINICIÓN:
Un número del dominio de se llama punto crítico de
Si no existe
Los extremos relaticos solo ocurren en los puntos críticos de la función
c f
)´(0)´( cfócf
f
CRITERIO DE LA PRIMERA
DERIVADA
Sea una función continua sobre y diferenciable sobre
Excepto talvez en el punto crítico
i) Si cambia de positiva a negativa en ,entonces es
un máximo relativo
ii) Si cambia de negativa a positiva en ,entonces es
un mínimo relativo.
iii) Si tiene el mismo sigo a cada lado de ,entonces no
es un extremo relativo
f ba ; ba ;
c
xf ´ c cf
xf ´ c cf
xf ´ c cf
CRITERIO DE LA SEGUNDA
DERIVADA
Analizando el comportamiento de la función se tiene que ;si :
o no existe, entonces es un valor máximo o un
valor mínimo relativo
i) Si es un máximo relativo de
en
i) Si es un mínimo relativo de
en
)( xfy
0´1
xf
)(0)´´(0´111
xfxfxf
1
xf
f
)(0)´´(0´111
xfxfxf f
1x
1x
CRITERIO DE CONCAVIDAD
Sea derivable en el intervalo que contiene a talque existe
,entonces :
i) Si entonces la gráfica de es cóncava hacia arriba en
ii) Si entonces la gráfica de es cóncava hacia abajo en
f ba ; c
)´´( cf
0)´´( cf
0)´´( cf f
cx
f
cx
-+
