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CÁLCULO A UMA VARIÁVEL
cristianeguedes.pro.br/cefet
Profª Cristiane Guedes 1
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Ementa do Curso
Profª Cristiane Guedes
2
Funções Reais
Limites
Continuidade
Derivada – Taxas Relacionadas - Funções Crescentes e
Decrescentes – Máximos e Mínimos – Construção de
Gráficos – Convexidade -
Integrais – Integrais Definidas – Técnicas de
Integração – Áreas e Volumes.
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Bibliografia
Profª Cristiane Guedes
3
STEWART, James. Cálculo. Vol 1.
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte.
LEITHOLD. O Cálculo.
MUNEM, FOULIS. Cálculo.
FLEMING, GONÇALVES. Cálculo A.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol 1.
SIMMONS, George. Cálculo Com Geometria Analitica 1
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Função real de uma variável real
Profª Cristiane Guedes
4
1.1) O conjunto dos números reais
Existe uma correspondência biunívoca entre
os pontos da reta e o conjunto .
Reta numérica : - origem
- unidade de medida
- sentido de leitura
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Intervalos Reais
a b
}/{),( bxaxba
Intervalo aberto
a b
}/{],( bxaxba Intervalo semi aberto
a b }/{],[ bxaxba
b }/{],( bxxb
),( Profª Cristiane Guedes 5
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f(x) = c, c R
O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas.
1) Função Constante
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6
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2) Função do 1º grau (Função Afim)
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7
Toda função polinomial da forma f(x) = ax + b,
com a ≠ 0 , é dita função do 1° grau.
Casos Especiais
Função linear: b = 0, Ex: f(x) = 3x
Representa grandezas diretamente proporcionais.
Função Identidade b = 0 e a = 1, ou seja, f(x) = x
Reta bissetriz do 1º e 3º quadrantes.
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a - Coeficiente angular;
declividade da reta; taxa
de variação da função;
está relacionado ao
ângulo de medida α
(determinado pelo gráfico
da função) e a horizontal
(o eixo x).
b - Coeficiente linear;
ordenada do ponto
em que o gráfico
da função corta o
eixo y.
a > 0
a < 0
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P2
a = tg
P1P
Cálculo do coeficiente angular (inclinação da reta):
P1 P2
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).().( 0000
0
0 xxmyyxxmyyxx
yym rrr
Onde mr é o coeficiente angular da reta r e (x0 , y0)
são as coordenadas de um ponto dado,
pertencente à reta r.
).( 00 xxmyy r
baxy
b – coeficiente linear (onde a reta intercepta o eixo y) Profª Cristiane Guedes 10
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Raiz ou zero de uma função → é o valor de x que
anula a função. É a abscissa do ponto onde a reta
intercepta o eixo x.
Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular.
-5 5
-5
5
x
y
-5 5
-5
5
x
ya > 0 a < 0
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Estudo do sinal – Inequação do 1º grau:
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-b/a
+ + + + + + +
- - - - - - - - -
f(x) = a x +b
-b/a
+ + + + + + + +
- - - - - - - - -
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3) Gráfico de uma função definida
por mais de uma sentença
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15
1, 1( )
2, 1
x se xf x
se x
X Y
1 2
2 3
( ) 1, 1f x x se x
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4) Função do 2º grau
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16
Chama-se FUNÇÃO QUADRÁTICA qualquer função de R em R
dada por uma lei da forma:
com a, b e c números reais e
Domínio
Conjunto Imagem é o conjunto formado por todos as ordenadas y,
que representam imagens das abscissas x, por meio da função.
cbxaxxf 2
D f( ) = R
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a
acbbxcbxaxxf
2
400)(
22
Zeros da função → Resolver a equação do 2º
grau:
Soma das raízes -
Produto das raízes -
a
bS
a
cP
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∆ > 0 ∆ < 0 ∆ = 0
a > 0
a < 0
∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes
∆ < 0 → não tem raiz real
∆ = 0 → duas raízes reais e iguais
a → concavidade da parábola
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TERMO INDEPENDENTE - c
c
y
x
y = ax2 + bx + c
Exemplo :
4
y
x
y = x2 - 2x + 4
Ponto em que a parábola toca no eixo y
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Vértice da parábola:
a
bxV
2
ayV
4
Se a > 0 → ponto máximo
Se a < 0 → ponto mínimo
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Estudo do sinal da função:
∆ > 0 ∆ < 0 ∆ = 0
a > 0
a < 0
X1 X2
+ +
+ + X1=X2
+ +
+
X1 X2
+ - -
- - - -
- X1=X2
-
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Função Exponencial
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22
10,)( acomaxf x
nmnm
nmnm
nmnm
aa
aaa
aaa
.)(
:
.
Propriedades da potenciação:
n mnm
mm
aa
aa
/
/1
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Gráfico da Função Exponencial
Características:
• Está todo acima do eixo x Im(f) = (0, ∞ )
• Corta o eixo y no ponto de ordenada 1 (0, 1)
xaxf )(
Função Descrescente Função Crescente
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Profª Cristiane Guedes 24
x
y
y = ax
a > 1
y = ax
0 < a 1
Ex:
y = 2 x
Ex:
y = (1/2 )x
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Função Logarítmica
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xab logLogaritmando Logaritmo
Base do logaritmo
Condição de Existência:
0a 01 b
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Profª Cristiane Guedes 26
abxa x
b log
Consequências da definição:
01log b
1log bb
nbn
b log
caca bb loglog
abab
log
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Profª Cristiane Guedes 27
Propriedades Operatórias:
00,logloglog beababa ccc
00,logloglog
beaba
b
accc
0,loglog aana b
n
b
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Profª Cristiane Guedes 28
Mudança de Base
b
aa
c
cb
log
loglog
bab
aa cc
c
cb loglog
log
loglog
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Profª Cristiane Guedes 29
Função Logarítmica:
RRf
*: xxf blog
*
RDomínio
Rf Im
Imagem R
*
RfD
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Profª Cristiane Guedes 30
Representação Gráfica
xxf 2log
1 x
y
1
2
1
2
1
0
Base > 1
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Profª Cristiane Guedes 31
xxg2
1log
1
2
x
y
1
1
0
Representação Gráfica
0 < Base < 1
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Profª Cristiane Guedes 32
x
y
1
y = loga x
a > 1
y = loga x
0 < a 1
y = log2 x
y = log1/2 x
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Profª Cristiane Guedes 33
x
y = loga x
y = ax
y = x
f(x) = ax
f -1(x) = loga x
a > 1
Crescente
Função Inversa:
Os gráficos são simétricos em relação à
bissetriz do 1º e 3º quadrantes
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Profª Cristiane Guedes 34
x
y
y = loga x
y = ax
y = x
1
f(x) = ax
f -1(x) = loga x
0 < a 1
Decrescente