classc odigos enotita3 23.9.17 cecontent.schools.ac.cy/dimotiki/mathimatika/... ·...

ΟΔΗΓΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΤΑΞΗΣ

1

ΕΝΟΤΗΤΑ 3

ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ

ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΑΡΙΘΜΟΙ

Διερεύνηση αριθμών

Αρ1.7

Αναπαριστούν εναδικά κλάσματα ( !!, !!, !!, !!, !!) ενός συνόλου ή μιας επιφάνειας,

χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες και εφαρμογίδια.

Αρ2.7

Ανακαλύπτουν, διατυπώνουν και εφαρμόζουν τα κριτήρια διαιρετότητας του 2, 5 και

του 10.

Αρ2.8

Αναγνωρίζουν και ορίζουν τους άρτιους και τους περιττούς αριθμούς.

Αρ2.9

Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο,

αφαιρέτης, αφαιρετέος, προσθετέος, διαιρέτης, διαιρετέος, υπόλοιπο, παράγοντας.

Υπολογισμοί και εκτίμηση

Αρ2.11

Αναπαριστούν καταστάσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, τέλειας και

ατελούς διαίρεσης, χρησιμοποιώντας υλικό όπως κύβους Dienes, εικόνες, εφαρμογίδια

και σύμβολα.

Αρ2.12

Κατανοούν την προπαίδεια του πολλαπλασιασμού και τη διαίρεση ως αντίστροφη

πράξη του πολλαπλασιασμού.

Αρ2.14

Χρησιμοποιούν σε πράξεις και προβλήματα:



2

(α) το ένα ως ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού

(β) το μηδέν ως το απορροφητικό στοιχείο του πολλαπλασιασμού

(γ) την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού

(δ) την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

(ε) την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και την

αφαίρεση.

ΑΛΓΕΒΡΑ

Διερεύνηση σχέσεων και μοτίβων

Αλ2.1

Αναγνωρίζουν, περιγράφουν και επεκτείνουν μοτίβα.

Αλ2.2

Κατασκευάζουν μοτίβα χρησιμοποιώντας διαφορετικά μέσα αναπαράστασης.

Αλ2.3

Χρησιμοποιούν λεκτικές και αλγεβρικές εκφράσεις, για να αναπαραστήσουν

αθροιστικές και πολλαπλασιαστικές σχέσεις.

Διερεύνηση εξισώσεων

Αλ2.6

Κατασκευάζουν εξισώσεις για την επίλυση προβλημάτων και επιλύουν απλές εξισώσεις

στις οποίες η μεταβλητή αναπαρίσταται με διαφορετικούς τρόπους (π.χ. τετράγωνο,

κενό).

Αλ2.7

Χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετική, προσεταιριστική,

επιμεριστική), για να απλοποιήσουν νοερούς υπολογισμούς και να ελέγχουν τα

αποτελέσματά τους.



3

ΜΕΤΡΗΣΗ

Εκτίμηση και μέτρηση

Μ3.7

Επιλύουν προβλήματα που περιέχουν σχέσεις μεταξύ των χαρτονομισμάτων και

νομισμάτων.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ – ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Διερεύνηση εννοιών στατιστικής

ΣΠ2.1

Καταγράφουν, οργανώνουν και παρουσιάζουν δεδομένα σε πίνακες και γραφικές

παραστάσεις (ραβδόγραμμα, εικονόγραμμα).

ΣΠ2.2

Αναπαριστούν τα ίδια δεδομένα με περισσότερους από έναν τρόπο (ραβδόγραμμα,

εικονόγραμμα, πίνακα).

ΣΠ2.4

Απαντούν και θέτουν ερωτήματα σχετικά με ένα σύνολο δεδομένων.

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ

Μαθήματα 1 και 2 (σελίδες 8-‐11): Μοτίβα πολλαπλασιασμού 2, 5 και 10

Μάθημα 3 (σελίδες 12-‐14): Λύση προβλήματος με χρήση παρενθέσεων

Μάθημα 4 (σελίδες 15-‐17): Νομισματικό σύστημα

Μαθήματα 5 και 6 (σελίδες 18-‐22): Μοτίβο πολλαπλασιασμού 4

Μάθημα 7 (σελίδες 23-‐25): Εμβαδόν – Μοτίβα πολλαπλασιασμού 2 και 4

Μαθήματα 8 και 9 (σελίδες 26-‐30): Μοτίβο πολλαπλασιασμού 3

Μαθήματα 10 και 11 (σελίδες 31-‐34): Εναδικά κλάσματα – Το κλάσμα ως μέρος

επιφάνειας

Μαθήματα 12 και 13 (σελίδες 35-‐37): Εναδικά κλάσματα – Το κλάσμα ως μέρος

αριθμού

Μαθήματα 14, 15 και 16 (σελίδες 38-‐42): Μοτίβα πολλαπλασιασμού 2, 3, 4, 5, 6 και 10



4

Μαθήματα 17 και 18 (σελίδες 43-‐46): Τέλεια και ατελής διαίρεση

Μάθημα 19, 20 και 21 (σελίδα 47-‐52): Μοτίβο πολλαπλασιασμού 9

Μαθήματα 22 και 23 (σελίδες 53-‐56): Μοτίβα

ΣΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΟΧΗΣ Μαθήματα 1 και 2 (σελίδες 8-‐11)

Διερεύνηση (σελ. 8)

Τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι το πράσινο λαμπάκι ανάβει στα

πολλαπλάσια του 2, ενώ το μπλε λαμπάκι ανάβει στα πολλαπλάσια του 5. Τα δύο

λαμπάκια ανάβουν μαζί στα πολλαπλάσια του 10.

Μάθημα 3 (σελίδες 12-‐14)


Στόχος της διερεύνησης είναι να γίνει εισαγωγή στη χρήση παρενθέσεων για την

επίλυση προβλημάτων με περισσότερες από μία πράξεις.

Μαθήματα 4 (σελίδες 15-‐17)


Οι ορθές απαντήσεις στο ερώτημα (α) είναι περισσότερες από μία και καθορίζονται

από το είδος των χαρτονομισμάτων που δίνει η αυτόματη ταμειακή μηχανή και το

ανώτατο όριο ανάληψης. Στο ερώτημα (β) τα παιδιά αναμένεται να αξιολογήσουν τον

ισχυρισμό λαμβάνοντας υπόψη το είδος των χαρτονομισμάτων που δίνει η αυτόματη

ταμειακή μηχανή. Τα παιδιά αναμένεται να επισημάνουν ότι είναι δυνατή η ανάληψη

του ποσού των €310. Ένας ενδεικτικός τρόπος είναι με την ανάληψη 5

χαρτονομισμάτων των €50 και 3 χαρτονομισμάτων των €20 Στο ερώτημα (γ) οι ορθές

απαντήσεις είναι περισσότερες από μία και σχετίζονται με τον αριθμό και το είδος των

χαρτονομισμάτων που θα επιλεγεί για ανάληψη. Για παράδειγμα, η ανάληψη του

ποσού των €380 μπορεί να γίνει με 6 χαρτονομίσματα των €50 και 4 χαρτονομίσματα

των €20.



5

Μαθήματα 5 και 6 (σελίδες 18-‐22)


Στο ερώτημα (α) η ορθή απάντηση είναι ότι ο Νικόλας και η Ιωάννα ενοικίασαν τα

θαλάσσια ποδήλατα για 4 ώρες.

Στο ερώτημα (β), η πιο συμφέρουσα προσφορά είναι από την εταιρεία

«Αφροδίτη». Συγκεκριμένα, η ενοικίαση ποδηλάτου για 8 ώρες στοιχίζει €32 (4 × 8) από

την εταιρεία «Άδωνης» και €24 (10 + 7 × 2) από την εταιρεία «Αφροδίτη».

Δραστηριότητα 4 (σελ. 20)

Τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι

αντίστροφες πράξεις.

Μάθημα 7 (σελίδες 23-‐25)


Τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι η τριγωνική μονάδα κάλυψης επιφάνειας

είναι το !! της τετραγωνικής, ενώ η ορθογώνια μονάδα κάλυψης επιφάνειας είναι

διπλάσια της τετραγωνικής.


Εξερεύνηση (σελ. 30)

Τα παιδιά αναμένεται να επισημάνουν ότι τα πολλαπλάσια του 5 έχουν στη θέση των

μονάδων τα ψηφία 0 ή 5, ενώ τα πολλαπλάσια του 2 έχουν στη θέση των μονάδων τα

ψηφία 0, 2, 4, 6, 8. Στα διψήφια πολλαπλάσια του 3, αν προστεθεί το ψηφίο των

μονάδων με το ψηφίο των δεκάδων το άθροισμα είναι 3, 6, 9.


Εξερεύνηση (σελ. 31)

Τα παιδιά αναμένεται να επισημάνουν ότι η Ελένη και ο Αντώνης δεν έφαγαν την ίδια

ποσότητα πίτσας και να αντιληφθούν τη σημασία καθορισμού της ακεραίας μονάδας



6

στα κλάσματα. Στη συγκεκριμένη περίπτωση από η ακέραια μονάδα για την Ελένη ήταν

μια μεγάλη πίτσα και για τον Αντώνη μια μικρή πίτσα, η Ελένη έφαγε μεγαλύτερη

ποσότητα πίτσας.


Τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν στο ερώτημα (α) ότι ο Θεόδωρος θα χρειαστεί

ακόμη 4 πλακάκια, άρα συνολικά 6 πλάκάκια για να καλύψει το σχήμα. Στο ερώτημα

(β) η ορθή απάντηση είναι ότι το ένα πλακάκι καλύπτει το !! του σχήματος.



Στόχος της διερεύνησης είναι τα παιδιά να αντιληφθούν την έννοια του κλάσματος ως

μέρος συνόλου. Στη συγκεκριμένη με περίπτωση, το σύνολο αποτελούν οι 15 ψηφίδες.

Τα παιδιά αναμένεται να χρωματίσουν 5 από τις ψηφίδες του δαπέδου κόκκινες.

Μαθήματα 14, 15 και 16 (σελίδες 38-‐42)


Στόχος της διερεύνησης είναι να αναδυθούν ελεύθερα οι στρατηγικές που

χρησιμοποιούν τα παιδιά για τον υπολογισμό του γινομένου. Για παράδειγμα:

(α) 3 × 8 = 24, άρα 6 × 8 = 48

(β) 5 × 8 = 40, άρα 6 × 8 = (5 × 8) + (1 × 8) = 40 + 8 = 48.


Τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι τα μοτίβα πολλαπλασιασμού του 10, του 4

και του 6 προκύπτουν από τον διπλασιασμό του γινομένου του 5, 2 και 3, αντίστοιχα.



7

Μαθήματα 17 και 18 (σελίδα 43-‐46)


Αναμένεται ότι τα παιδιά δεν θα συμφωνήσουν ούτε με το Μιχάλη ούτε με την Άννα

αφού και στις δύο περιπτώσεις ένα παιδί μένει εκτός ομάδων Στη διερεύνηση αυτή

αναμένεται να προκύψει διαισθητικά η έννοια του υπόλοιπου στη διαίρεση.

Μαθήματα 19, 20 και 21 (σελίδες 47-‐52)

Διερεύνηση 1 (σελ. 47)

Τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι για τον υπολογισμό γινομένων του 9, μπορεί

να αξιοποιηθεί ο υπολογισμός γινομένων του 10. Για παράδειγμα, για να υπολογίσω το

γινόμενο 9 × 4 αξιοποιώ το εύκολο γινόμενο 10 × 4 = 40 και αφαιρώ 4.

Διερεύνηση 2 (σελ. 48 )

Τα παιδιά αναμένεται να ανακαλύψουν ότι στα διψήφια πολλαπλάσια του 9 μέχρι το

90, το άθροισμα των ψηφίων είναι 9.


Εξερεύνηση (σελ. 53 )

Στο ερώτημα (δ) το 7ο σχήμα θα αποτελείται από 13 κουκίδες και το 10ο σχήμα από 19

κουκίδες (Ο γενικός όρος του μοτίβου είναι (ν-‐1) × 2 + 1.)

Στο ερώτημα (στ) αναμένεται ότι θα παιδιά θα απαντήσουν ότι δεν είναι δυνατόν ένα

σχήμα του μοτίβου να αποτελείται από 40 κουκίδες, γιατί ο αριθμός των κουκίδων

είναι πάντα περιττός αριθμός και ο αριθμός 40 είναι άρτιος αριθμός.


Η ορθή απάντηση στο ερώτημα (α) είναι η Γ επιλογή. Η ορθή απάντηση στο ερώτημα

(β) είναι η Β επιλογή.



8

Δραστηριότητα 3 (β) (σελ. 56)

Αναμένεται ότι τα παιδιά θα παρατηρήσουν ότι κάθε φορά προστίθενται 4 τετράγωνα.

Άρα για το Σχήμα 9 χρειάζονται 40 τετράγωνα.

Δραστηριότητα 3 (γ) (σελ. 56)

Τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι ο Γιάννης δεν μπορεί να κατασκευάσει ένα

σχήμα που ανήκει στο πιο πάνω μοτίβο, χρησιμοποιώντας 42 τετράγωνα, γιατί το

Σχήμα 9 αποτελείται από 40 τετράγωνα και άρα το αμέσως επόμενο Σχήμα θα

αποτελείται από 44 τετράγωνα.

Δραστηριότητες Εμπλουτισμού


Αν διαγραφεί ο αριθμός 3 τότε το άθροισμα των υπόλοιπων αριθμών είναι 25.

Δραστηριότητα 5(σελ. 59)

Οι τέσσερις κάρτες μπορεί να είναι οι κάρτες με τους αριθμούς 2, 5, 10 και 20.


Στο ερώτημα (α) η ορθή επιλογή είναι το 2,4,8,16,32.

Στο ερώτημα (β) η ορθή επιλογή είναι ο αριθμός 128.


Υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές απαντήσεις. Για παράδειγμα, μπορεί να

προστεθεί ο αριθμός 1 στην τομή των δύο κύκλων και ο αριθμός 0 στον κύκλο που

βρίσκεται στα δεξιά.


Το ορθογώνιο αποτελείται συνολικά από 54 τετράγωνα (9 Χ 6). Συνεπώς, αφού

υπάρχουν 14 τετράγωνα, χρειάζονται ακόμη 40 για να καλυφθεί το ορθογώνιο.



9


Η ορθή απάντηση στο ερώτημα (α) είναι ότι ο κάθε λαμπτήρας στοιχίζει €11 και στο

ερώτημα (β) ότι ο Τάσος έχει €50.


Στο 6ο βράδυ τα δύο φυτά θα έχουν το ίδιο ύψος. Το ύψος είναι 63 cm.


Στο ερώτημα (α) η ορθή απάντηση είναι ότι τα μπισκότα που δεν έχουν καθόλου

διακόσμηση είναι 13 (το 1ο, το 5ο, το 7ο, το 11ο, το 13ο, το 17ο, το 19ο, το 23ο, το 25ο, το

29ο, το 31ο, το 35ο και το 37ο). Στο ερώτημα (β) η ορθή απάντηση είναι ότι τα μπισκότα

που έχουν και τα τρία είδη διακόσμησης είναι 3 (το 12ο , το 24ο και το 36ο) .



10

Γίνεται εισήγηση όπως χρησιμοποιούνται σε διάφορες περιπτώσεις εφαρμογίδια, όπως

τα πιο κάτω:

1. Εφαρμογίδια για τον πολλαπλασιασμό

1.1 Ιστοσελίδα http://www.bbc.co.uk/skillswise/game/ma13tabl-‐game-‐tables-‐grid-‐find

Από την αρχική σελίδα επιλέγουμε ένα μοτίβο πολλαπλασιασμού. Τα παιδιά καλούνται

να τοποθετήσουν τον ζητούμενο αριθμό στην κατάλληλη θέση του συγκεκριμένου

μοτίβου πολλαπλασιασμού στον πίνακα ως γινόμενο δύο παραγόντων (π.χ. στο μοτίβο

πολλαπλασιασμού του 6, 30 = 6 × 5).

1.2 Ιστοσελίδα http://www.harcourtschool.com/activity/mult/mult.html

Τα παιδιά καλούνται να τοποθετήσουν τον αριθμό που δίνεται στην κατάλληλη θέση

του πίνακα ως γινόμενο δύο παραγόντων (π.χ. 15 = 3 × 5).

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ



11

1.3 Ιστοσελίδα

http://www.smarttutor.com/wp-‐content/uploads/games/sleeboz_game3%20-‐

%20Stampede.swf

Τα παιδιά καλούνται να εντοπίσουν τα πολλαπλάσια συγκεκριμένου αριθμού, αφού

γίνουν οι κατάλληλες ρυθμίσεις (“options”) στην αρχική σελίδα.

1.4 Ιστοσελίδα http://www.mathsframe.co.uk/resources/Finding_Multiples.aspx#

Από την αρχική ιστοσελίδα επιλέγουμε με ποιους αριθμούς θα εργαστούμε. Τα παιδιά

καλούνται να τοποθετήσουν στην κατάλληλη θέση τους αριθμούς που παρουσιάζονται

(π.χ. «Είναι πολλαπλάσια του 3» ή «Δεν είναι πολλαπλάσια του 3»).



12


http://www.teacherled.com/resources/vennmultiples/vennmultipleload.swf

Τα παιδιά καλούνται να τοποθετήσουν στο διάγραμμα τους αριθμούς που

εμφανίζονται στο κάτω μέρος της οθόνης με κριτήριο κατά πόσο είναι πολλαπλάσια

συγκεκριμένων αριθμών. Ο εκπαιδευτικός έχει τη δυνατότητα να καθορίσει τα δύο

σύνολα του διαγράμματος χρησιμοποιώντας τα βέλη στα σημεία “multiple set 1” και

“multiple set 2”.

2. Εφαρμογίδια για τη διαίρεση


http://www.explorelearning.com/index.cfm?method=cResource.dspDetail&ResourceID

=1002

Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για αναπαράσταση τέλειας ή ατελούς διαίρεσης.

Ο χρήστης ρυθμίζει τον διαιρετέο (“aliens”) και τον διαιρέτη (“bus size”).



13


https://www.tes.com/teaching-‐

resource/interactive/20171230/sQD4/iboardarchive/inverserelationships-‐mult/launch.swf

Τα παιδιά καλούνται να σχηματίσουν 4 διαφορετικές μαθηματικές προτάσεις με τα

σύμβολα που δίνονται. Στόχος είναι να αντιληφθούν ότι ο πολλαπλασιασμός και η

διαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις.

3. Εφαρμογίδια για εξάσκηση στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση


http://www.sheppardsoftware.com/mathgames/numberballoons/NumberBalloons_tim

es_level1.htm

Τα παιδιά καλούνται να τρυπήσουν τα μπαλόνια με τη σειρά αρχίζοντας από αυτό που

δίνει το μικρότερο γινόμενο.



14


http://www.sheppardsoftware.com/mathgames/matching/DivisionX.htm

Τα παιδιά καλούνται να αντιστοιχίσουν τις κάρτες που ταιριάζουν.


http://www.amblesideprimary.com/ambleweb/mentalmaths/tabletrees.html

Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για εξάσκηση σε πράξεις πολλαπλασιασμού και

διαίρεσης.



15

3.4 Ιστοσελίδα http://www.multiplication.com Στην ιστοσελίδα παρουσιάζονται εφαρμογίδια που έχουν στόχο την εξάσκηση στον

πολλαπλασιασμό. Παρουσιάζονται διάφορες δραστηριότητες (π.χ. υπολογισμός

γινομένου, εύρεση παραγόντων, δραστηριότητες για 2 ή περισσότερους χρήστες), οι

οποίες έχουν διαφορετικό βαθμό δυσκολίας.



16

4. Εφαρμογίδια για εναδικά κλάσματα ως μέρος συνόλου


https://www.tes.com/teaching-‐

resource/interactive/20171230/sQD4/iboardarchive/shadingblocks/launch.swf

Τα παιδιά καλούνται να χρωματίσουν ένα μέρος του σχήματος, το οποίο είναι

χωρισμένο σε τετραγωνικές μονάδες. Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα εξάσκησης

σε διαφορετικά επίπεδα δυσκολίας (με εναδικά ή μη εναδικά κλάσματα).

Ρύθμιση επιπέδου

δυσκολίας

classc odigos enotita3 23.9.17 cecontent.schools.ac.cy/dimotiki/mathimatika/... ·...

Documents