clase9 simplex revisado

8/18/2019 Clase9 Simplex Revisado

1/5


2/5

9-7

9.4.2 Descomponiendo el sistema en variables básicasXB y No básicas XNB, se obtiene un sistema de mvariables y m ecuaciones, así:

0

N XNB+ B xB = b

De donde:B xB = b

Y premultiplicando por B-1, se tiene:

B-1 B xB = B-1 b

xB = B-1 b 9-8

9.4.3 Valor de la F.O.

Sea cB el vector de coeficientes de costos delas V.B (inicialmente pueden ser ceros).

Z = cB XB

Z = cB B-1 b

xB = B-1 bComo

9-9

Pasar de la solución inicial a otra solución esequivalente a premultiplicar, ambos lados de

la ecuación matricial, por

1 cB B-1

0 B-1

9.5 CÁLCULO DE UNA NUEVA SOLUCIÓN

Entonces:

Cómo queda el sistema? 9-10

Premultiplicando por la citada matriz, loscoeficientes del lado izquierdo quedan así:

1

0 B-1 =

1 -c 0

0 A I

1 cB B-1

0 B-1A B-1

(cB B-1A - c )cB B-1

9.5.1 Coeficientes del lado izquierdo

9-11

9.5.2 Coeficientes del lado derecho:

Premultiplicando por la matriz anterior, el ladoderecho de la ecuación matricial será:

cB B-1 b

B-1 b

1 cB B-1

0 B-1

0

b=

Lado derechooriginal 9-12

El sistema de ecuaciones después de cualquieriteración puede escribirse de la forma:

Zx

xs

=1cB B-1A - c cB B-1

0 B-1A B-1

cB B-1b

B-1b

9.5.3 El sistema de ecuaciones


3/5

9-13

El tablero simplex revisado, después decualquier iteración, tiene la siguiente forma:

1

0 B-1A B-1

cB B-1b

B-1b

cB B-1A - c cBB-1

9.6 EL TABLERO SIMPLEX REVISADO

Sólo es necesario obtener B-1 para calcular todala tabla a partir de los parámetros iniciales.

OJO: Al pasar de un tablero a otro,

Cambia la Base B y por lo tanto su inversa B-1 9-14

9.7 EJEMPLO PROTOTIPO:La Wyndor Glass Co.

c = 3 5 A = 103

02

2

x = x1x2

xs =x3x4x5

A I =1

0

3

0

2

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

b = 412

18

9-15

9.7.0 Iteración 0. Solución inicial?

xB =x3x4x5

B =1

0

0

0

1

0

0

0

1

= B-1

x3 x4 x5

Variables básicas? B-1 = ?

Toda solución se puede escribir como XB = B-1b

9-16

x3x4x5

=100

010

001

41218

=412

18

Z = c B B-1 b

cB = 0 0 0

0 0 0= 412

18

= 0

Solución inicial: XB = B-1b

Valor de la FO. ?

Z = CBXB = CBB-1b

9-17

9.7.1 Iteración 1: Entra X2 sale X4

xB =x3x2x5

B-1 =1

0

0

0

1/2

-1

0

0

1

¿Recuerda comocalcular la

inversa de B?

B =1

0

0

0

2

2

0

0

1

x3 x2 x5

Nueva solución?XB = B-1b Variables básicas? B-1? B?

9-18

x3x2x5

=10

0

01/2

-1

00

1

412

18=

46

6

Z = cB B-1 b

cB = 0 5 0

0 5 0= 46

6

= 30

Nueva solución: XB = B-1b

Valor de la FO?

Z = CBXB = CBB-1b


4/5

9-19

9.7.2 Iteración 2 : Entra X1 sale X5. Nueva solución?

xB =x3x2x1

B-1 =1

0

0

1/3

1/2

-1/3

-1/3

0

1/3

B =1

0

0

0

2

2

1

0

3

x3 x2 x1

XB = B-1b

Variable básicas? B-1? B?

9-20

x3x

2x1

=2

62

Z = cB B-1 b

cB = 0 5 3

0 5 3= 26

2

= 36

=412

18

1

00

1/3

1/2-1/3

-1/3

01/3

XB = B-1b

9-21

9.7.3 Ejemplo: La Wyndor Glass Co.Solución óptima

Empleando la matriz inversa B-1 en el tablero óptimo

B-1 =1

0

0

1/3

1/2

-1/3

-1/3

0

1/3

B-1A =1

0

0

1/3

1/2

-1/3

-1/3

0

1/3

1

0

3

0

2

2

0

0

1

0

1

0

=

B =1

0

0

0

2

2

1

0

3

x3 x2 x1

9-22

cB B-1 = 1

0

0

1/3

1/2

-1/3

-1/3

0

1/3

0 5 3 0 3/2 1=

cB B-1 A - c = 00

1

0

1

0

=0 5 3 3 5- 0 0

9-23

El Sistema de Ecuaciones

1

0

0

1/3

1/2

-1/3

-1/3

0

1/3

0

0

1

0

1

0

0 0 0

=0

0

0

1 3/2 1Z

x1x2

x3

x4x5

2

6

2

36

Zx

xs

=1cB B-1A - c cB B-1

0 B-1A B-1

cB B-1b

B-1b9-24

10.2 EL TABLERO SIMPLEX REVISADO

1 cB B-1

0 B-1=

1 -c 0

0 A I

0

b

1 cB B-1A - c cB B-1

0 B-1A B-1

cB B-1 b

B-1 b

Matriz que premultiplica al pasar de una

solución a otra.

Solución inicial

NuevaSolución

Matriz que pre-multiplica


5/5

9-25

1

0

0

0

1/2

-1

0

0

1

0

0

0

0

1 5/2 0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

3

0

2

2

0

0

0

4

12

18

0 0 0-3 -51 0

Matriz que premultiplica Solución inicial

Ejemplo Prototipo: La Wyndor Glass Co.

9-26

SEGUNDO TABLERO

La nueva matriz que premultiplica es:

Ya que

cB B-1 = 1

0

0

1/3

1/2

-1/3

-1/3

0

1/3

0 5 3 0 3/2 1=

1 cB B-1

0 B-11

0

0

1/3

1/2

-1/3

-1/3

0

1/3

00

0

0

1 3/2 1=

9-27

Para xB =x3x2x1

La base óptima es:

B =1

00

0

22

1

03

B-1 =1

00

1/3

1/2-1/3

-1/3

01/3

cB = 0 5 3

TERCER TABLERO.

En la solución óptima, tablero final, se tiene:

9-28

La solución óptima es:

1

0

0

1/3

1/2

-1/3

-1/3

0

1/3

0

0

1

0

1

0

0 0 0

0

0

0

1 3/2 12

6

2

36

Tabla óptima

9-29

Definición: z = cB B-1 A

Para el ejemplo, de la solución inicial, se tiene:

z 0 3/2 1= 10

3

0

2

2

3 5=

CB B-1 A - c = 3 5 3 5 0 0=-

CÁLCULO DE LOS EVALUADORES: Z j – C j

Renglón (0)

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