clase3 programacion lineal optimizacion
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Paul Bosch
Modelamientode costos �jos
Un problemade localizaci�ondeinstalaciones
Programaci�onde Trabajos
Modelos de Programaci�on Lineal
Clase 3
PAUL BOSCH
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
CHILE
2012
Paul Bosch
Modelamientode costos �jos
Un problemade localizaci�ondeinstalaciones
Programaci�onde Trabajos
Modelamiento de costos �jos
Representemos con el ��ndice j = 1; 2; : : : ; n un conjunto de
actividades y supongamos que el costo asociado a cada
actividad tiene un costo �jo dj y se incurre en �el cuando la
actividad j se realiza a cualquier nivel positivo xj , y no
depende del nivel de la actividad.
Costo de Actividad j =
�0 , si xj = 0
dj + cjxj , si xj > 0
Paul Bosch
Modelamientode costos �jos
Un problemade localizaci�ondeinstalaciones
Programaci�onde Trabajos
Modelamiento de costos �jos
Representemos con el ��ndice j = 1; 2; : : : ; n un conjunto de
actividades y supongamos que el costo asociado a cada
actividad tiene un costo �jo dj y se incurre en �el cuando la
actividad j se realiza a cualquier nivel positivo xj , y no
depende del nivel de la actividad.
Costo de Actividad j =
�0 , si xj = 0
dj + cjxj , si xj > 0
Paul Bosch
Modelamientode costos �jos
Un problemade localizaci�ondeinstalaciones
Programaci�onde Trabajos
Modelamiento de costos �jos
Ejemplo
Por ejemplo, si xj es la cantidad de madera que se transporta
desde el bosque a un aserradero, entonces dj representa el
costo de construir el camino desde el bosque al aserradero. El
costo cj es el costo variable de transportar la madera hasta el
aserradero, una vez que el camino ha sido construido. Este
costo si depende del nivel de la actividad.
El problema de encontrar una soluci�on que minimice el costo
total se denomina el Problema Lineal de Costo Fijo. La
funci�on objetivo en este caso es:
min z =
nXj=1
dj +
nXj=1
cjxj
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Modelamientode costos �jos
Un problemade localizaci�ondeinstalaciones
Programaci�onde Trabajos
Modelamiento de costos �jos
Ejemplo
Por ejemplo, si xj es la cantidad de madera que se transporta
desde el bosque a un aserradero, entonces dj representa el
costo de construir el camino desde el bosque al aserradero. El
costo cj es el costo variable de transportar la madera hasta el
aserradero, una vez que el camino ha sido construido. Este
costo si depende del nivel de la actividad.
El problema de encontrar una soluci�on que minimice el costo
total se denomina el Problema Lineal de Costo Fijo. La
funci�on objetivo en este caso es:
min z =
nXj=1
dj +
nXj=1
cjxj
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Modelamientode costos �jos
Un problemade localizaci�ondeinstalaciones
Programaci�onde Trabajos
Modelamiento de costos �jos
Debido a la estructura de la funci�on objetivo, no es posible
resolver el problema con algoritmos como el Simplex. Estos
problemas se pueden formular como problemas enteros mixtos.
Para este caso, se de�ne la variable:
yj =
�0 , si xj = 0
1 , si xj > 0
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Un problemade localizaci�ondeinstalaciones
Programaci�onde Trabajos
Modelamiento de costos �jos
Las siguientes restricciones incorporan al modelo la relaci�on
entre ambas variables:
xj � Myj ; 8j = 1; 2; : : : ; n
xj � 0 ; 8j = 1; 2; : : : ; n
yj 2 f0; 1g ; 8j = 1; 2; : : : ; n
donde M es un n�umero positivo su�cientemente grande.
Claramente, de la primera restricci�on se tiene que cuando
yj = 0, la variable xj = 0. Por otro lado, cuando xj es positiva,
la variable yj debe ser igual a 1.
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Un problemade localizaci�ondeinstalaciones
Programaci�onde Trabajos
Modelamiento de costos �jos
De esta forma, la nueva funci�on objetivo es:
min z =
nXj=1
djyj +
nXj=1
cjxj
Costos con esta estructura surgen en situaciones que incluyen,
entre otras:
Construcci�on de caminos
Sistemas de distribuci�on de aguas, petr�oleo o gas a trav�es
de una red de ca~ner��as, oleoductos o gasoductos que se
deben construir
Localizaci�on de instalaciones
Paul Bosch
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Un problemade localizaci�ondeinstalaciones
Programaci�onde Trabajos
Modelamiento de costos �jos
De esta forma, la nueva funci�on objetivo es:
min z =
nXj=1
djyj +
nXj=1
cjxj
Costos con esta estructura surgen en situaciones que incluyen,
entre otras:
Construcci�on de caminos
Sistemas de distribuci�on de aguas, petr�oleo o gas a trav�es
de una red de ca~ner��as, oleoductos o gasoductos que se
deben construir
Localizaci�on de instalaciones
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Un problemade localizaci�ondeinstalaciones
Programaci�onde Trabajos
Un problema de localizaci�on de instalaciones
Una empresa debe instalar bodegas para atender los
requerimientos de despachos de productos hacia sus clientes.
Se analizan un conjunto N = f1; : : : ; ng de localizaciones
posibles para instalar B bodegas . Si se instala y opera una
bodega en el local j 2 N cuya capacidad de almacenamiento
es uj , se incurre en un costo �jo fj .
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Programaci�onde Trabajos
Un problema de localizaci�on de instalaciones
Una empresa debe instalar bodegas para atender los
requerimientos de despachos de productos hacia sus clientes.
Se analizan un conjunto N = f1; : : : ; ng de localizaciones
posibles para instalar B bodegas . Si se instala y opera una
bodega en el local j 2 N cuya capacidad de almacenamiento
es uj , se incurre en un costo �jo fj .
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Programaci�onde Trabajos
Un problema de localizaci�on de instalaciones
Por otro lado, se conoce para cada uno de los clientes
i 2 M = f1; : : : ;mg que demandan di unidades de producto,
cu�al es el costo unitario cij de transportar desde una bodega
�ubicada en el lugar j hasta el cliente i .
Se desea determinar d�onde conviene instalar las bodegas, de
manera de minimizar los costos totales que incluyen, los costos
�jos por bodega instalada m�as los costos de transporte de
productos a los clientes.
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Un problemade localizaci�ondeinstalaciones
Programaci�onde Trabajos
Un problema de localizaci�on de instalaciones
Por otro lado, se conoce para cada uno de los clientes
i 2 M = f1; : : : ;mg que demandan di unidades de producto,
cu�al es el costo unitario cij de transportar desde una bodega
�ubicada en el lugar j hasta el cliente i .
Se desea determinar d�onde conviene instalar las bodegas, de
manera de minimizar los costos totales que incluyen, los costos
�jos por bodega instalada m�as los costos de transporte de
productos a los clientes.
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Un problemade localizaci�ondeinstalaciones
Programaci�onde Trabajos
Un problema de localizaci�on de instalaciones.
Variables de decisi�on
Se desea decidir d�onde instalar las bodegas y c�omo efectuar el
despacho del producto a cada cliente.
Para esto se de�nen las siguientes variables:
xj =
�1 si se localiza una bodega en la �ubicaci�on j
0 en caso contrario
yijcantidad de producto a ser transportado desde la
bodega j al cliente i
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Un problema de localizaci�on de instalaciones.
Variables de decisi�on
Se desea decidir d�onde instalar las bodegas y c�omo efectuar el
despacho del producto a cada cliente.
Para esto se de�nen las siguientes variables:
xj =
�1 si se localiza una bodega en la �ubicaci�on j
0 en caso contrario
yijcantidad de producto a ser transportado desde la
bodega j al cliente i
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Un problema de localizaci�on de instalaciones.
Restricciones
Satisfacci�on de la demanda:
A cada cliente debe enviarse la cantidad de productos que
demanda:
nXj=1
yij = di , para todo i = 1; 2; : : : ;m
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Un problema de localizaci�on de instalaciones.
Restricciones
Capacidad de las Bodegas:
La cantidad total de producto enviado a los clientes, desde
cada bodega no puede exceder la capacidad de esta:
mXi=1
yij � ujxj , para todo j = 1; 2; : : : ; n
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Restricciones
Notemos que si xj = 0, es decir, en la ubicaci�on j-�esima no se
instala ninguna bodega, entonces dado que las variables yij son
no negativas por representar cantidad de producto (esto lo
veremos inmediatamente) entonces cada una de ellas es cero,
es decir
y1j = y2j = � � � = ymj = 0
Esto debe ser as�� ya que si no existe una bodega en la localidad
j , no se puede enviar productos desde ella.
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Restricciones
N�umero de Bodegas:
Se pueden instalar a lo sumo B bodegas (B � n):
nXj=1
xj � B
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Restricciones
Naturaleza de las variables:
yij � 0 , para todo i = 1; 2; : : : ;m y j = 1; 2; : : : ; n
xj 2 f0; 1g , para todo j = 1; 2; : : : ; n
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Un problema de localizaci�on de instalaciones.
Funci�on Objetivo
Se desea minimizar el costo total, es decir, el costo de
instalaci�on de las bodegas m�as el costo de despacho de los
productos
min z =
nXj=1
fjxj +
nXj=1
mXi=1
cijyij
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Programaci�onde Trabajos
Programaci�on de Trabajos
Consideremos un taller que necesita efectuar n trabajos en m
m�aquinas. Cada trabajo debe ser procesado por cada una de
las m m�aquinas y el orden de las m�aquinas para cada trabajo
est�a preestablecido. Cada m�aquina puede procesar un trabajo a
la vez, y cada trabajo debe ser completamente procesado,
antes de procesar otro en la misma m�aquina. se desea
determinar una secuencia para procesar todos los trabajos de
manera que la suma de los tiempos totales de procesamiento
de todos los trabajos sea m��nima.
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Programaci�onde Trabajos
Programaci�on de Trabajos
Asumamos, para simpli�car el problema, que el orden de
procesamiento es igual para todos los trabajos, es decir, cada
trabajo debe ser procesado primero por la m�aquina 1, a
continuaci�on por la m�aquina 2, ..., etc.
Denotemos por k = 1; 2; : : : ;m el ��ndice asociado a las
m�aquinas y j = 1; 2; : : : ; n el ��ndice asociado a los trabajo:
skj representa el tiempo de trabajo de la m�aquina k
cuando realiza el trabajo j
De�namos la variable de decisi�on:
tkj instante en que la m�aquina k inicia el procesamiento
del trabajo j
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Programaci�on de Trabajos
Asumamos, para simpli�car el problema, que el orden de
procesamiento es igual para todos los trabajos, es decir, cada
trabajo debe ser procesado primero por la m�aquina 1, a
continuaci�on por la m�aquina 2, ..., etc.
Denotemos por k = 1; 2; : : : ;m el ��ndice asociado a las
m�aquinas y j = 1; 2; : : : ; n el ��ndice asociado a los trabajo:
skj representa el tiempo de trabajo de la m�aquina k
cuando realiza el trabajo j
De�namos la variable de decisi�on:
tkj instante en que la m�aquina k inicia el procesamiento
del trabajo j
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Programaci�on de Trabajos
Asumamos, para simpli�car el problema, que el orden de
procesamiento es igual para todos los trabajos, es decir, cada
trabajo debe ser procesado primero por la m�aquina 1, a
continuaci�on por la m�aquina 2, ..., etc.
Denotemos por k = 1; 2; : : : ;m el ��ndice asociado a las
m�aquinas y j = 1; 2; : : : ; n el ��ndice asociado a los trabajo:
skj representa el tiempo de trabajo de la m�aquina k
cuando realiza el trabajo j
De�namos la variable de decisi�on:
tkj instante en que la m�aquina k inicia el procesamiento
del trabajo j
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Restricci�on de orden de trabajo
El procesamiento en la m�aquina (k + 1) del trabajo j no puede
comenzar antes que se complete el proceso en la m�aquina k :
tk+1;j � tkj + skj ; k = 1; 2; : : : ;m � 1 ; j = 1; 2; : : : ; n
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Restricci�on de procesos
Cada m�aquina puede procesar un trabajo a la vez; si el trabajo
p es realizado en la m�aquina k antes que el trabajo q, entonces
se tiene que:
tkq � tkp + skp
pero si el trabajo q es realizado en la m�aquina k antes que el
trabajo p, entonces se tiene que:
tkp � tkq + skq
Esto es, una de estas dos restricciones debe cumplirse para el
par de trabajos p y q en la m�aquina k .
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Restricci�on de procesos
Cada m�aquina puede procesar un trabajo a la vez; si el trabajo
p es realizado en la m�aquina k antes que el trabajo q, entonces
se tiene que:
tkq � tkp + skp
pero si el trabajo q es realizado en la m�aquina k antes que el
trabajo p, entonces se tiene que:
tkp � tkq + skq
Esto es, una de estas dos restricciones debe cumplirse para el
par de trabajos p y q en la m�aquina k .
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Programaci�onde Trabajos
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Restricci�on de procesos
Para representar esta relaci�on disyuntiva entre estas dos
restricciones se de�ne la siguiente variable binaria:
xkpq =
8<:
1 si el trabajo p es procesado en la m�aquina k
antes que el trabajo q
0 en caso contrario
y se consideran las siguientes restricciones:
Mxkpq + tkp � tkq � skq
M (1� xkpq) + tkq � tkp � skp
para todo k = 1; 2; : : : ;m ; p; q = 1; 2; : : : ; n, y donde M es un
n�umero su�cientemente grande.
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Restricci�on de procesos
Para representar esta relaci�on disyuntiva entre estas dos
restricciones se de�ne la siguiente variable binaria:
xkpq =
8<:
1 si el trabajo p es procesado en la m�aquina k
antes que el trabajo q
0 en caso contrario
y se consideran las siguientes restricciones:
Mxkpq + tkp � tkq � skq
M (1� xkpq) + tkq � tkp � skp
para todo k = 1; 2; : : : ;m ; p; q = 1; 2; : : : ; n, y donde M es un
n�umero su�cientemente grande.
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Programaci�onde Trabajos
Programaci�on de Trabajos
Restricci�on Naturaleza de las variables
Tenemos dos tipos de variables, una continua y la otra binaria:
tkj � 0 ; k = 1; 2; : : : ;m ; j = 1; 2; : : : ; n
xkpq 2 f0; 1g ; k = 1; 2; : : : ;m ; p; q = 1; 2; : : : ; n
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Programaci�onde Trabajos
Programaci�on de Trabajos
Funcin Objetivo
Se desea minimizar la suma de los tiempos totales de
procesamiento de todos los trabajos:
min z =
nXj=1
tmj
Notemos que tmj representa el instante de tiempo en que se
comienza a realizar el trabajo j por la �ultima m�aquina m.
Este problema, en la pr�actica, es mucho m�as complejo cuando
consideramos los tiempos de preparaci�on de las m�aquinas,
relaciones m�as so�sticadas producto del proceso de fabricaci�on,
fechas de entrega de los trabajos, etc.
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Programaci�onde Trabajos
Programaci�on de Trabajos
Funcin Objetivo
Se desea minimizar la suma de los tiempos totales de
procesamiento de todos los trabajos:
min z =
nXj=1
tmj
Notemos que tmj representa el instante de tiempo en que se
comienza a realizar el trabajo j por la �ultima m�aquina m.
Este problema, en la pr�actica, es mucho m�as complejo cuando
consideramos los tiempos de preparaci�on de las m�aquinas,
relaciones m�as so�sticadas producto del proceso de fabricaci�on,
fechas de entrega de los trabajos, etc.