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Sistemas de segundo orden

Teora de Control I

Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden auna ecuacin diferencial lineal de segundo orden

)()()()()()( 2122

0212

2

0 trbdttdrb

dttrdbtca

dttdc

adt

tcda ++=++

Sin prdida de generalidad se analizar un caso muy comn donde:

.0,,,1 102210 ====== bbKbapaa

Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:

)( pssK+

)(sR )(sC)(sE K

p

dondees una const.que representauna ganancia.

es una const. realrepresenta al polodel sistema.

-

+

Su funcin de transferencia de lazo cerrado es:

KpssK

sRsC

++= 2)(

)(

Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos

Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

+

++

=

KppsKpps

KsRsC

4242)()(

22

1. Reales diferentes si: Kp >4

2Kp =

4

2

Kp )(sC

La transformada inversa de Laplace de la ecuacin anterior es


Fig. Curvas de respuesta al escaln unitario.

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

sa1>

ca1=

0=2.0=4.0=

7.0=8.0=

Figura. Respuesta al escaln de diferentes sistemas de segundo orden.


Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden

22

2

2)(

nn

n

sssC

++=

)10( )0()( 2 = ttetc tn n

Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de )(tc

para


0 2 4 6 8 10 12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sa1>ca1=

0=2.0=4.0=

7.0=

Figura. Respuesta al impulso de diferentes sistemas de segundo orden.

Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111Definicin de los parmetros de la respuesta transitoriaLas caractersticas de desempeo de un sistema de control se comparanbasndose en el tiempo de la repuesta transitoria. La caractersticatransitoria de los sistemas dinmicos se presenta por la incapacidad deresponder de manera instantnea a las entradas o perturbaciones. Larespuesta transitoria es comn clasificarla con base a los siguientesparmetros.

1. Tiempo de retardo 2. Tiempo de crecimiento3. Tiempo pico4. Sobreimpulso mximo 5. Tiempo de establecimiento

rtdt

pt

pMst


2. Tiempo de crecimiento, . Es el tiempo requerido para que la respuestaaumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del10 al 90% para sistemas crticamente amortiguados o sobreamortiguados.

rt

El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuacinde respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escaln.

1)1

(cos1)(2

=

+= rdrdt tsentetc rn

01

cos 2 =

+ rdrd tsent

1. Tiempo de retardo, Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del valor final por primera vez.

dt

Tambin lo podemos encontrar como tiempo de levantamiento.


0tan1

1costancos1

cos 22 =

+=

+ rdrdrdrdrd ttttt

o bien

pi

d

dr

d

dr

t

t

1

1

tan,

tan1

=

=

=

drd t =

=

21tan

el tiempo de crecimiento es


3.- Tiempo pico, . Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance elprimer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuacinde respuesta c(t) e igualndola a cero, con lo que se obtiene

pt

01

)(2

=

pntnpd etsen

dppd

pd

tt

sosobreimpulprimereleligesesonecuacinestasatisfacenquevaloreslostsen

pi

pi

pipipi

==

=

.,,3,2,,0,0L


1)( = pp tcM

+=

dd

dd sene

dn

pi

pipi

2

)(

1cos

( ) ( )pipi ddn ee ==

( )pi 21= eM p

4. Sobreimpulso mximo, Es el valor pico mximo de la curva derespuesta medido desde la unidad o valor deseado. El sobreimpulsomximo se obtiene de la respuesta evaluada en el tiempo pico.

pM

Tambin se puede encontrar como sobre elongacin.

pi

=

21100.. eOP

En porcentaje:

5. Tiempo de establecimiento, . Es el tiempo mnimo donde la curva derespuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido,generalmente es del 2% o del 5%, el rango ms comn es el del 2%. Parasistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del2% despus de 4 constantes de tiempo:

444 ===

n

s Tt

Tambin se puede encontrar como tiempo de asentamiento.


st


Ejemplo: Definir los parmetros de respuesta transitoria del sistema

)34(375+ss

)(sR )(sC

Desarrollo:

La funcin de transferencia de lazo cerrado es

37534375

)()(

2 ++=

sssRsC

Se utiliza la siguiente igualdad

22

2

2 237534375

nn

n

ssss

++=

++

-

+


se obtiene

3752 =n

342 =n

sradn /36.19375 ==

877876.03752

34==

17=

A partir de aqu se obtienen los parmetros de respuesta transitoria

segundostd

r 2849.0=

=

pi

86=d

.499.0tan 1 radd ==

segundostd

p 33876.0== pi

( ) %315.000315.0 === pi deM p

segundosts 23529.04

==

Nota: Analizar porque prs ttt


Ejemplo: De los siguientes parmetros de respuesta transitoria obtenerla funcin de transferencia.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

c(t)

127

0

142

0.75

Desarrollo: de la grfica

1181.0127

127142=

=pM segst 75.0=Estos dosParmetrosSon suficientes

129.54


De st

3333.544 ===s

s tt

De y conociendo pM

( ) 84335.7ln

=

==

pdp M

eM d pipi

Entonces

3333.5=84335.7=d

48486.922 =+= dn 56229.0===

nn

96256.89666.1096256.89

2)( 222

2

++=

++=

sssssG

nn

n


La aceleracin y la velocidad que puede alcanzar un vehculo de carrerasestn afectadas por el motor, la carrocera y las llantas. El control de lavelocidad del automvil est representado por el modelo que se muestraen la figura adjunta.a) Calclese el error en estado estacionario del automvil correspondiente

a una orden de escaln en la velocidad de magnitud A.b) Calclese la sobre elongacin de la velocidad correspondiente a una

orden de escaln.

Motor y llantas100

( + 2)( + 5)

+

-

R(s)Orden de Velocidad

Y(s)Velocidad

Respuestas:a) ess = A/11b) P.O.=33%


Un sistema de control con realimentacin negativa unitaria tiene comoplanta la funcin de transferencia.

=

( + 2)

a) Determnese el porcentaje de sobre elongacin y el tiempo deasentamiento (utilizando un criterio de asentamiento del 2%) debido auna entrada de escaln unitario.

b) Para qu intervalo de K el tiempo de asentamiento esmenor que1 segundo?

Respuestas:a) . .= 4,3%, =

b) K > 32


Clasifique los siguientes sistemas con respecto a su comportamiento:sobreamortiguado, crticamente amortiguado o subamortiguado.

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