clase sistemas de ecuaciones lineales
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uba facultad de ingeniera
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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anlisis numrico i
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Muchos problemas que resuelve la ingenierase expresan matemticamente mediantesistemas de ecuaciones lineales.
Ejemplos:Circuitos elctricos;Sistemas estructurales estticos;Sistemas dinmicos;Problemas de transmisin del calor; .
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En forma genrica, un sistema de ecuacioneslineales puede expresarse as:
O, en forma abreviada:nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxabxaxaxaxa
=++++
=++++
=++++
K
MMMMMM
K
K
332211
22323222121
11313212111
BAx =
-
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Matricialmente, la solucin es:
Por lo tanto, para que el sistema tengasolucin, se debe cumplir que:La matriz A sea cuadradaLa matriz A sea No Singular, es decir,
Sin embargo, no siempre es fcil obtener AA-1. Busquemos formas alternativas.
BAx 1=
0)det( A
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Supongamos un sistema sencillo de resolver:
Se trata de un sistema triangular, pues lamatriz AA es triangular superior.
=
nnnn
nn
n
n
b
b
x
x
u
u
u
uuu
uuu
M
M
M
M
M
M
M
M
LLL
OOM
MOOOM
MOM
LLL 11
1
33
23222
12111
00
00
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La solucin la obtenemos haciendo:
ii
n
ijjiji
i
nn
nnnnnnn
n
nn
nnnn
n
nn
nn
u
xubx
u
xuxubx
u
xubx
u
bx
+=
=
=
=
=
1
22
211222
11
111
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Otro sistema sencillo de resolver es:
En este caso la matriz AA es triangular inferior.
=
nnnnnnn b
b
x
x
lll
llll
l
M
M
M
M
M
M
M
M
LLL
OOM
MOOOM
MOM
LLL 11
11
3323
2212
11
0
0000
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La solucin pasa por hacer:
ii
i
jjjii
i l
xlbx
lxlxlb
x
lxlb
x
lb
x
=
=
=
=
=
1
1
33
22311333
22
11222
11
11
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Ambos sistemas podemos resolverlos sininvertir la matriz A.
El primer caso se conoce como SustitucinInversa.
El segundo, como Sustitucin Directa. Por lo tanto, una forma conveniente para
resolver un Sistema de Ecuaciones Linealesgeneral, sera convertirlo en un sistematriangular para no tener que invertir la matrizAA.
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Mtodo de Eliminacin de Gauss (EG) Consiste en transformar una matriz AA cualquiera
en una nueva matriz UU, es decir, en una matrizTriangularTriangular SuperiorSuperior:
nn
nn
n
nnn
n
u
u
uuu
aa
aa
UA
00
0
1
11211
1
111
L
OOM
MOO
L
L
MOM
L
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El nuevo sistema ser entonces
=
nnnn
nn
n
b
b
x
x
u
u
u
uuu
*
1*
1
1
22
12111
00
0M
M
M
M
L
OOM
MO
L
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Para obtener esta matriz UU debemos operarde la siguiente manera:Fijar la primera fila de AA, ampliada con el vector B;Transformar las filas 2 a n, de manera de que los
coeficientes aj1 se anulen, es decir, pivotar cona11;
Fijar la siguiente fila y repetir el paso anterior,pero con las filas 3 a n, pivotando con aii;
Repetir el paso anterior hasta obtener una matriztriangular superior.
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En definitiva, tenemos:Para los coeficientes a2i y b2:
Para cualquier coeficiente aji y bj:
1122*
21122*
2211
1212 ; bmbbamaau
a
am iiii ====
kkjjjikkjijijijkk
kjkj bmbbamaau
a
am ; ** ====
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Qu hacemos si un a*ii resulta nulo?
*
*
3
*
2
1
**
1*
2
*
3*
33*
32
*
2*
23
11211
0
00
nnnnnn
n
n
n
b
bbb
aaa
aaa
aa
aaa
M
L
MOOMM
L
L
LL0000
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Intercambiamos filas, por ejemplo, la 3 enlugar de la 2 y viceversa:
*
*
2
*
3
1
**
1*
2
*
2*
23
*
3*
33*
32
11211
0
00
nnnnnn
n
n
n
b
bbb
aaa
aa
aaa
aaa
M
L
MOOMM
L
L
LL
0000
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Qu hacemos si tambin son nulos varioscoeficientes de la diagonal principal?
*
*
3
*
2
1
**
1*
2
*
3*
23
*
2*
32
11211
0
00
nnnnnn
n
n
n
b
bbb
aaa
aa
aa
aaa
M
L
MOOMM
L
L
LL
00000000
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Podemos intercambiar las columnas:
Pero esto requiere modificar el vector xx.
*
*
3
*
2
1
**
1*
3
*
3*
23
*
2*
32
13111
0
00
nnnnnn
n
n
n
b
bbb
aaa
aa
aa
aaa
M
L
MOOMM
L
L
LL
00000000
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El primer caso, el intercambio de filas, seconoce como Eliminacin de Gauss conPivoteo Parcial (EGPP).
Cuando adems del intercambio de filas esnecesario el intercambio de columnas,entonces se lo conoce como Eliminacin deGauss con Pivoteo Total (EGPT).
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Veamos la cantidad de operaciones querequiere Eliminacin de Gauss simple:Transformacin de la matriz AA ampliada:
Aplicacin de sustitucin inversa:
El mtodo completo:
( ) ( )( )[ ] nnnknknknnk 6
723
2122
31
1+=++
=
( )[ ] 211
121 nknn
k=++
=
32322
3
67
23
32
67
232
nCnnnnnnn +=++
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Aplicar Eliminacin de Gauss tiene estasventajas:El resultado final debera ser exacto, salvo por
el error de redondeo;La cantidad de operaciones a realizar es finita.
Pero tambin tiene desventajas:Aplicar el pivoteo parcial o el pivoteo total lo
vuelven lento;Si se tienen varios vectores BB, debera hacerse la
transformacin de AA para cada vector BB.
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Si los vectores BB son independientes,entonces podemos transformar todos losvectores BB en una sola operacin:
>>=
AAA
( ) 1=A
( ) A
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Por lo visto, si una matriz est malcondicionada, es decir:
el resultado puede no ser una buenaaproximacin.
Necesitamos encontrar un mtodo quereduzca la distancia entre el resultadoexacto y nuestra aproximacin inicial.
( ) 1>>>A
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Hemos visto que:
Como conocemos AA y RR, podemos obtener y con esto mejorar nuestra aproximacin delvector xx mediante la siguiente expresin:
xx +=
( ) RAxxAxAxAxABR
==== 321
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Si esta nueva aproximacin no es losuficientemente buena, podramos repetir elprocedimiento. Si lo sistematizamosobtenemos:
Por lo tanto, si repetimos el procesotendremos:
>< ++=+= 211223 xxx
>< +=n
i
i
1
1xx
=
>< +=n
i
i
1
1xx
Tolerancia
>
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Este mtodo, cuyo algoritmo se escribe comose vio:
se conoce como Mtodo del RefinamientoIterativo. Es muy usado para resolversistemas mal condicionados pero que nosean muy mal condicionados. Es unalgoritmo destinado a mejorar los mtodosdirectos de resolucin de SEL.
=
>< +=+=n
i
in
i
i
11
1 xxx
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Los mtodos vistos sirven para resolvercualquier sistema de ecuaciones lineales.Tienen la ventaja de que el nmero deoperaciones es finito.
En general son muy tiles cuando la matriz decoeficientes est formada mayoritariamentepor componentes no nulos.
0 :extremo Caso jia
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Pero no siempre los SEL estn formadas poreste tipo de matrices, denominadasdensas.
Suele ser muy comn que los sistemas estnformados por matrices AA con mayora decoeficientes nulos, llamadas matrices ralas.
En estos casos, como la mayora de loscoeficientes son nulos, transformar la matrizpuede ser un problema.
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La transformacin de esas matrices por algnmtodo numrico puede significar cambiaruna componente nula por una nueva no nula,con el consiguiente error.
Es por eso que se han desarrollado mtodosque se utilizan casi con exclusividad pararesolver Sistemas de Ecuaciones LinealesRalos.
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Veamos, entonces, otra forma de obtener lasolucin de nuestro sistema
Si sumamos PPxx en ambos miembrostenemos:
Si despejamos xx tenemos:
0 == xABBxA
BxAxPxP +=
( ) BPxAPPPBPxAPxPPx 111111 +=+=
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Finalmente podemos escribir
Podemos obtener un mtodo iterativo paraobtener nuestro vector xx, pues:
Que se puede escribir en forma genricacomo:
BPCAPITCxTx
;
11
1
>++< += ii
( ) BPxAPIx 11 +=
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Analicemos ahora como obtener la matriz TT yel vector CC. Escribamos AA de la siguienteforma:
donde.LL: matriz estrictamente triangular inferior;DD: matriz diagonal, y;UU: matriz estrictamente triangular superior
)( ULDAUDLA =++=
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Si definimos PP=DD, tenemos
Que puede expresarse como
( )
( )BDC
ULDT
UDDDLDIUDLDIAPIT
I
;
1
1
111
11
=
+=
=
++==
321
( )[ ]>+< += ii xULBDx 11
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Este mtodo se conoce como MtodoMtodo dedeJacobiJacobi.
La expresin tradicional de este mtodo es:
puesjj
n
jk
ikki
j
k
ikkij
ij
a
xaxabx
+=
>+++++++++++++++++++++n
ijj
jiii aa1
20con 0
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Partamos otra vez de nuestro sistema, peropropongamos lo siguiente:
Y reemplacemos en nuestra expresin yaconocida:
Es decir:
IP
1=
( ) ( ) RxBIxAIIBPxAPIx 111 +=+=+=
>+< += iii Rxx 1
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Tenemos otra expresin para obtener enforma iterativa nuestra solucin. Pero ahoradepende de un coeficiente . Cmohacemos para obtenerlo?
Puesto que afecta al vector RR, analicemos elcaso de RR.
Es decir:( )>++< +== iiii RxABxABR 11
>++< < ii RR
2
2
2
2
2
21
>+<
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Encontrar un RR que sea menor al RR noes todo el trabajo. Deberamos encontrar almenor de todos los RR posibles. Enconsecuencia, nos interesa aquel cuya normaeucldea sea la menor.
Para ello vamos a proponer lo siguiente:
0d
dd
d2
2
2
21
=
=
>+++++< == iii RxABx F>+< += iii Rxx 1
( ) ( ) ( ) 0Fd
dF
dFd 11111
====>++++++< iTiiiTi RRxABRx
( ) ( ) 0 == >< iTiiTiiTii RRARRRRAR
>+++< iTi dd
01 =>+< iTi dAd
>+< += iiii dxx 1
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Si aplicamos lo ya visto pero con estamodificacin, tenemos:
Si desarrollamos nos queda:
de donde obtenemos el coeficiente :
( ) ( ) 0F1
11=
+== >+++< iTiiTiiTii ddAdRddAR
>< +=1
0
i
j
jji
ii dud
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Algo podemos plantear para obtener elcoeficiente ij:
>++++< jTijTi RdeAd
jijTi
jTki
kki
jTijTi
<
para 0
1
0
Ru
RdRuRd
>+++++++++++++++++++++++