8/19/2019 Clase 6 Relaciones y Funciones

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10   Chapter 2. Relaciones y funciones

2.9   Problemas

Problema 2.1   Defina:

a) Par ordenado

b) Terna ordenada

c) Tupla ordanada

d ) Producto cartesiano entre 2 conjuntos

e) Producto cartesiano entre 3 conjuntos

 f ) Producto cartesiano entre n  conjuntos

Problema 2.2   Dados los conjuntos A = {1,2}, B = {a,b,c} y C  = { x, y, z} halla:

a)   A× Bb)   B× Ac)   ( A× B)×C 

d )   B× (C × A)e)   A× B×C 

Problema 2.3   Demuestre formalmente que:

a)   A× ( B∪C ) = ( A× B)∪ ( A×C )

b)   A× ( B∩C ) = ( A× B)∩ ( A×C )c)   A× ( B−C ) = ( A× B)− ( A×C )d )   A× ( B C ) = ( A× B) ( A×C )e)   ( A∪ B)×C  = ( A×C )∪ ( B×C ) f )   ( A∩ B)×C  = ( A×C )∩ ( B×C )g)   ( A− B)×C  = ( A×C )− ( B×C )h)   ( A  B)×C  = ( A×C ) ( B×C )

Problema 2.4  Dados los conjuntos  A,  B  y C  tales que:   N ( A) = 3,  N ( B) =  7,  N (C ) =  12  y N (C ∪ B) = 15, determina N 

P( A× ( B−C ))

.

Problema 2.5  Si se conoce que  N ( A) = 3 y N ( B) = 5, ¿cuántas relaciones de  A  en  B  existen?

Problema 2.6  Si se conoce que  A = { / 0,{ / 0}}, ¿cuántas relaciones de A  en  P( A) existen?

Problema 2.7  Dados los conjutnos  A = {−3,−1,1,3,5,7} y B = {−1,0,1,2,3,4}, determina

el dominio y el rango de las siguientes relaciones:

a)   r 1 =

( x, y) ∈ A× B/ y =   x+12

b)   r 2 = {( x, y) ∈ A× B/ y = x}c)   r 3 =

( x, y) ∈ A× B/ y = ( x+ 2)2

d )   r 4 = {( x, y) ∈ A× B/ y≥ x}e)   r 5 = {( x, y) ∈ B× A/ y = 2 x−3} f )   r 6 = {( x, y) ∈ B× A/ y = | x+ 1|}g)   r 7 = {( x, y) ∈ A× A/ y = 2 x−1}h)   r 8 = {( x, y) ∈ B× B/ y = | x|}

Problema 2.8   Dados los conjutnos A = {−1,1,0,1,2,3} y B  = {0,1,2,3,4,5,6,7,9}, indica

cuáles de las siguientes relaciones son funciones.

a)   r 1 =

( x, y) ∈ A× B/ y = x2

b)   r 2 =

( x, y) ∈ A× B/ y = ( x+ 1)2

c)   r 3 = {( x, y) ∈ A× B/ y = | x|}

d )   r 4 = {( x, y) ∈ A× B/ y = | x+ 1|}e)   r 5 = {( x, y) ∈ A× B/ y = 8}

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2.9 Problemas 11

 f )   r 6 = {( x, y) ∈ A× B/ x = −1}g)   r 7 = {( x, y) ∈ A× B/ y = x+ 4}h)   r 8 = {( x, y) ∈ A× B/ y > x+ 4}

Problema 2.9  Dados los conjutnos  A = {−3,−2,−1,0,1,2}  y  B = {2,4,6,8,10,12}, y lasrelaciones de   r 1   y   r 2   de  A   y  B   definidas según el diagrama de Venn y el plano cartesiano

mostrados a continuación

Indique cuáles de las siguientes relaciones con funciones de  A  en  B:

a)   r 1∪ r 2b)   r 1∩ r 2c)   r 1− r 2d )   r 2− r 1e)   r 1 r 2

Problema 2.10  Indica si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.

Problema 2.11  Construye, de ser posible, una función inyectiva de  A  en  B  en la cual N ( A) >

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12   Chapter 2. Relaciones y funciones

 N ( B) .

Problema 2.12  Construye, de ser posible, una función inyectiva de  A  en  B  en la cual N ( A) < N ( B) .

Problema 2.13   Construye, de ser posible, una función sobreyectiva de  A   en  B   en la cual

 N ( A) > N ( B) .

Problema 2.14   Construye, de ser posible, una función sobreyectiva de  A   en  B   en la cual

 N ( A) < N ( B) .

Problema 2.15  Construye, de ser posible, una función biyectiva de  A  en  B  en la cual N ( A) ≥ N ( B) .

Problema 2.16  Construye, de ser posible, una función biyectiva de  A  en  B  en la cual N ( A) < N ( B).

Problema 2.17   Sea   f  una función de  A  en  B, determine el valor de verdad de las siguientes

proposiciones:

a) Si N ( A) ≤ N ( B) entonces   f  es inyectiva.

b) Si   f  es inyectiva entonces N ( A) ≤ N ( B).

c) Si N ( A) ≥ N ( B) entonces   f  es sobreyectiva.

d ) Si   f  es sobreyectiva entonces N ( A) ≥ N ( B) .

e) Si N ( A) = N ( B) entonces   f  es inversible.

 f ) Si   f  es inversible entonces N ( A) = N ( B) .

Problema 2.18  Dados los conjuntos A = {a,b,c,d }, B = {1,2,3,4}, C  = {1,2,3,4,5} y D ={ x, y, z,w} y las funciones   f   :C → D y g : A → B tales que   f  = {(1,w),(2, x),(3, y),(4, y),(5, y)},

g(a) = 2, g(b) = 4,  g(c) = 1 y g(d ) = 3, determina de ser posible:

a)   f og

b)   go f 

Problema 2.19  Dados los conjuntos  A = {−1,0,1,2,3}, B = {0,1,2,3,4}, C  = {0,1,4,6,16}y las funciones   f   y g tales que:   f ( x) = | x−1| y g( x) = x2, determina de ser posible:

a)   f og

b)   go f 

Problema 2.20  Dados los conjuntos  A  = {−1,0,1,2,3}  y  B  = {a,b,c,d ,e}, y las funciones

 f   : B  → A  y  g :  B  → A   tales que   f (a) = 2,   f (b) =  1,   f (c) = 3,   f (d ) = 0,   f (e) = −1,  g =

{(a,0),(b,2),(c,1),(d ,−1),(e,3)} Determine de ser posible (go f −1

)−1:

Problema 2.21  Dados los conjuntos  A  = {−1,0,1,2,3}  y  B  = {a,b,c,d ,e}, y las funciones

 f   : B  → A  y  g :  B  → A   tales que   f (a) = 2,   f (b) =  1,   f (c) = 3,   f (d ) = 0,   f (e) = −1,  g ={(a,0),(b,2),(c,1),(d ,−1),(e,3)} Determine de ser posible (go f −1)−1:

Problema 2.22  Construye una función   f   de A en B que no sea inyectiva en la cual N ( A) < N ( B)

Problema 2.23  Construye una función g  de  A en  B  que no sea sobreyectiva en la cual  N ( A) > N ( B)

Problema 2.24   Construye de ser posible dos funciones   f   y g  bajo las siguientes condiciones:

a)   f  es una función de A  en  Bb)   g es una función de C  en  A

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2.9 Problemas 13

c)   go f   existe

d )   g no es inyectiva

e)   go f  es inyectiva

Problema 2.25  Dados los conjuntos A = {−1,0,1,2,3}, B = {−1,1,3,5,7}, C  = {a,b,c,d ,e}y D = {1,2,3,4,5} y las funciones   f   : A → B, g : B →C  y  h : D →C  tales que:   f ( x) = 5−2 x,

g = {(−1,b),(1,c),(3,a),(5,e),(7,d )} y h  se define como se muestra en el siguiente diagrama.

Halle, de ser posible, h−1ogof