clase 3+4-hidraulica teorica

18-08-2015

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Prof. Carlos Ardissoni F.

HIDRÁULICA TEÓRICA- CIV 421

FACULTAD DE INGENIERIA

Escuela de Ingeniería Civil

Escuela de Ingeniería Civil, Universidad de Valparaíso

Segundo semestre 2015

1.- ANALISIS DIMENSIONAL

FACULTAD DE INGENIERIA

Escuela de Ingeniería Civil

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OBJETIVOS

1. Comprender el concepto de dimensiones, unidades, y homogeneidad dimensional

2. Comprender los beneficios del análisis dimensional

3. Aprender a utilizar el método de repetición de variables (Teorema П de Buckingham)

4. Comprender el concepto de semejanza y como aplicarlo a la modelación experimental

DIMENSIONES Y UNIDADES

Repaso

• Dimensión: Medida de una cantidad física, por ejemplo, longitud, tiempo y masa

• Unidad: Asignación de un número a la dimensión, por ejemplo, (m), (s), (kg)

• 7 Dimensiones primarias: 1. Masa m (kg) 2. Longitud L (m) 3. Tiempo t (s) 4. Temperatura T (K) 5. Corriente I (A) 6. Cantidad de luz C (cd) 7. Cantidad de materia N (mol)

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Repaso, continuación

• Todas las dimensiones no-primarias pueden formarse a

partir de una combinación de las 7 dimensiones primarias.

• Ejemplos:

{Velocidad} = {Longitud/Tiempo} = {L/t}

{Fuerza} = {Masa Longitud/Tiempo2} = {mL/t2}


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HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

Ley de Homogeneidad Dimensional: cada término que se agrega en una ecuación debe tener la misma dimensión.

Ejemplo: Ecuación de Bernoulli

{p} = {fuerza/área}={masa x longitud/tiempo x 1/longitud2} = {m/(t2L)}

{1/2V2} = {masa/longitud3 x (longitud/tiempo)2} = {m/(t2L)}

{gz} = {masa/longitud3 x longitud/tiempo2 x longitud} ={m/(t2L)}

HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

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ADIMENSIONALIZACIÓN DE ECUACIONES

Dada la ley de homogeneidad dimensional, si dividimos cada término de la ecuación por un conjunto de variables y/o constantes que tienen las mismas dimensiones, la ecuación pasa a ser adimensional.

En el proceso de adimensionalización de una ecuación,

aparecen frecuentemente parámetros adimensionales, por ejemplo, el número de Reynolds y el número de Froude.


Para adimensionalizar, por ejemplo, la ecuación de Bernoulli, el primer paso es expresar cada dimensión de la ecuación en términos de las dimensiones primarias. {p} = {m/(t2L)} {} = {m/L3} {V} = {L/t} {g} = {L/t2} {z} = {L}

En segundo lugar, es necesario seleccionar los Parámetros de Escalamiento. Para este ejemplo, seleccionamos L, U0 y 0

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Por inspección, se adimensionalizan todas las variables con los parámetros de escalamiento previamente definidos

Al reemplazar p, , V, g, z en la ecuación dimensional


Se divide por 0 U02 y se establece el valor de * = 1 (flujo

incompresible)

Dado que g* = 1/Fr2, se tiene

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Notar que la convención usualmente define muchos de los parámetros adimensionales, por ejemplo, 1/20U0

2 es usado típicamente para adimensionalizar la presión.

Esto resulta en una forma ligeramente distinta de la ecuación adimensional.

ADIMENSIONALIZACIÓN DE ECUACIONES-EJEMPLO

» Un objeto cae por la acción de la gravedad a través del vacío (no hay arrastre del aire). La ubicación inicial del objeto es z0 y su velocidad inicial, en la dirección de z, es w0

» Ecuación de movimiento:

» Dos dimensiones variables : z y t.

» Dimensión constante : g

» Dos dimensiones constantes z0 and w0.

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» El resultado dimensional es una expresión para la elevación z en cualquier tiempo t.

» La constante 1/2 y el exponente 2 se denominan constantes puras.

» Variables adimensionales se definen como las cantidades que cambian o varían en el problema, pero que no tienen dimensiones.

» El término parámetros se usa para el conjunto combinado de variables dimensionales, variables adimensionales, y para las constantes dimensionales en el problema.

» Para adimensionalizar la ecuación, se necesita seleccionar los parámetros de escalamiento (Usualmente elegidos desde las constantes dimensionales), basadas en las dimensiones primarias contenidas en la ecuación original.


» En el caso del objeto que cae, solo hay dos dimensiones primarias, longitud y tiempo, y por lo tanto estamos limitados para seleccionar solo dos parámetros de escalamiento.

» Tenemos algunas opciones en la selección del parámetro de escalamiento debido a que tenemos tres constantes dimensionales g, z0, y w0 . Seleccionamos z0 and w0 . Ustedes están invitados a repetir el análisis con otras combinaciones.

» Se adimensionalizan las variables dimensionales z y t.

» El primer paso es hacer un listado de las dimensiones primarias de todos los parámetros.


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» El segundo paso es usar nuestros dos parámetros de escalamiento para adimensionalizar z y t (por inspección) en las variables adimensionales z* y t*.

» Utilizando estas dos variables adimensionales en nuestra ecuación, obtenemos la ecuación adimensional deseada.


• El conjunto de constantes dimensionales en la ecuación es el cuadrado de un conocido parámetro adimensional llamado número de Froude,

• El número de Froude corresponde a la razón entre la fuerza inercial y la fuerza gravitacional. Algunas veces el número de Froude (Fr) se define como el cuadrado del parámetro.


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• La ecuación de movimiento se puede reescribir como:

• Esta ecuacíon puede resolverse de manera simple integrándola dos veces. El resultado es:

• Si se vuelve a dimensionalizar la ecuación, se obtiene la misma ecuación original.



» Cuál es entonces la ventaja de adimensionalizar las ecuaciones?

» Existen dos ventajas claves con la adimensionalización de ecuaciones.

˃ En primer lugar, aumenta nuestra percepción sobre la relación entre los

parámetros claves, por ejemplo, que duplicar w0 tiene el mismo efecto que disminuir z0 por un factor de 4.

˃ En segundo lugar, reduce el número de parámetros en el problema. Por ejemplo, el problema original contiene una z, una t; y tres constantes dimensionales adicionales g, w0, and z0. El problema adimensional contiene una z*; una t* ; y solo un parámetro adimensional, Fr.

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» Un objeto cae por la acción de la gravedad a través del vacío (no hay arrastre del aire). La ubicación inicial del objeto es z0 y su velocidad inicial, en la dirección de z, es w0


ADIMENSIONALIZACIÓN DE ECUACIONES-EJERCICIO

» La constante gravitacional en la superficie de la luna es aproximadamente 1/6 a la de la superficie en la tierra. Un astronauta en la luna lanza una pelota con una velocidad inicial de 21.0 m/s con un ángulo de 5° respecto al horizonte y a 2.0 m sobre la superficie de la luna. (a) Utilizando los datos adimensionales del ejemplo anterior predecir el tiempo que demora la pelota en caer al suelo. (b) Calcular en forma exacta y comparar con el resultado de la parte (a).

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» Solución: (a) El número de Froude se calcula en base al valor gluna y a la componente vertical de la velocidad inicial,

» Del gráfico, podemos encontrar que t* = 2.75, Volviendo a las variables dimensionales originales, se obtiene

» (b) Tiempo exacto que la pelota demora en caer al suelo:

ADIMENSIONALIZACIÓN DE ECUACIONES-EJERCICIO

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD

» La adimensionalidad de una ecuación es útil solo si la ecuación se conoce!

» En muchos flujos del mundo real, las ecuaciones no se conocen, o son muy díficiles de resolver. ˃ La Experimentación es el único método para obtener información

confiable.

˃ En la mayoría de los experimentos, se utilizan modelos escalados geométricamente (tiempo y dinero).

˃ Las condiciones y resultados experimentales deben ser escalados apropiadamente, para que los resultados sean significativos para el prototipo..

˃ Análisis Dimensional

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» Los principales propósitos del análisis dimensional son:

˃ Generar los párametros adimensionales que ayuden en el diseño de experimentos (físicos y/o numéricos) y en la presentación de resultados.

˃ Para obtener las leyes de escalamiento, para que el desempeño del prototipo se pueda predecir a partir del desempeño del modelo.

˃ Para predecir tendencias en la relación entre parámetros.


» Similitud Geométrica- el modelo debe tener la misma forma que el prototipo. Cada dimensión debe ser escalada por el mismo factor.

» Similitud Cinemática- la velocidad en cualquier punto del modelo debe ser proporcional a la del prototipo.

» Similitud Dinámica- todas las fuerzas en el modelo se escalan por un factor constante a las fuerzas correspondientes en el flujo del prototipo.

» Similitud Completa se alcanza solo si se cumplen las 3 condiciones. Esto no es siempre posible, por ejemplo, los modelos hidráulicos de ríos.


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» Se asegura la similitud completa si todos los grupos independientes son los mismos entre el modelo y el prototipo.

» Que es ? ˃ La letra griega mayuscula denota un parámetro adimensional,

por ejemplo, el número de Reynolds (Re), el número de Froude (Fr), el coeficiente de arrastre (CD ), etc.

• Considere un experimento con un auto

• Fuerza de arrastre F = f(V, , L)

• A través del análisis dimensional, podemos reducir

el problema a:


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» Se desea predecir el arrastre aerodinámico en un auto nuevo a una velocidad de 50 mi/h a una temperatura de 25°C. Los ingenieros automotrices construyen un modelo a escala 1:5 del auto para ser ensayado en un túnel de viento. Es pleno invierno y el túnel esta ubicado en un edificio sin calefacción, la temperatura es de solo 5°C . Determinar a que velocidad debiera correr el viento en el túnel para alcanzar similitud entre el modelo y el prototipo.

Discusión La velocidad es bastante alta (alrededor de 100 m/s), y el túnel

de viento puede que no funcione adecuadamente a esa velocidad. Además,

a esta velocidad se pone en duda la incompresibilidad del flujo.

Solución

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» Este ejemplo es continuación del ejemplo anterior. Supongamos que los ingenieros corren el viento en el túnel a una velocidad de 221 mi/h con la finalidad de alcanzar la similitud entre el modelo y el prototipo. La fuerza de arrastre aerodinámica sobre el modelo del auto se mide con una balanza de arrastre. En este instrumento se registra una fuerza de arrastre de 21.2 lbf. Predecir la fuerza de arrastre aerodinámica en el prototipo (a 50 mi/h y 25°C).

Solución

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» En los ejemplos A y B se utiliza un túnel de agua en vez de un túnel de viento para ensayar el modelo a escala 1:5. Utilizando las propiedades del agua a una temperatura de 20°C, la velocidad en el túnel de agua requerida para alcanzar la similitud se puede calcular de la siguiente manera:

» Para el mismo tamaño del modelo, La velocidad en el túnel de agua es mucho menor que la velocidad requerida en el túnel de viento.

TEOREMA П DE BUCKINGHAM

» Los parámetros adimensionales pueden generarse por diversos métodos.

» Se utilizará el Método de Repetición

» Consiste en seis pasos 1. Realizar un listado de los parámetros en el problema y contar el

número total “n” del ellas.

2. Realizar un listado de las dimensiones primarias para cada uno de los “n” parámetros.

3. Establecer la reducción “j” como el número de dimensiones primarias. Calcular “k”, el número esperado de 's, k = n - j.

4. Elegir los párametros repetidos j.

5. Construir las k 's, y manipular como sea necesario.

6. Escribir la relación funcional final y revisar el algebra.

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TEOREMA П DE BUCKINGHAM-EJEMPLO

Bola cayendo en el vacío

» Paso 1: Hacer un listado de los parámetros relevantes

z=f(t,w0,z0,g) n=5

» Paso 2: Hacer un listado de las dimensiones primarias de cada parámetro

» Paso 3: Como un primer tanteo, la reducción j se establece en 2 que es el número de las dimensiones primarias (L y t). Número de 's esperados es k=n-j=5-2=3

» Paso 4: Elegir las variables repetidas w0 y z0


» Paso 5: Combinar los parámetros repetidos en productos con cada uno de los parámetros restantes, uno a la vez, para crear los ’s.

» 1 = zw0a1z0

b1 ˃ a1 y b1 son exponentes constantes que deben determinarse.

˃ Se utilizan las dimensiones primarias identificadas en el Paso 2 y se resuelven para a1 y b1.

˃ Ecuación del tiempo:

˃ Ecuación de longitud:

˃ Esto resulta en

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» Paso 5: continuación ˃ Repetir el proceso para 2 combinando los parámetros repetidos con t

˃ 2 = tw0a2z0

b2



˃ Esto resulta en


» Paso 5: continuación ˃ Repetir el proceso para 3 combinando los parámetros repetidos con g

˃ 3 = gw0a3z0

b3



˃ Esto resulta en

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» Paso 6: ˃ Revisar que los 's sean adimensionales.

˃ Escribir la relación funcional entre 's

˃ o, en términos de las variables adimensionales

» Conclusión general: El método de repetición de variables predice apropiadamente la relación funcional entre los grupos adimensionales.

» Sin embargo, el método no puede predecir la forma matemáticamente exacta de la ecuación.

TEOREMA П DE BUCKINGHAM

1. Nunca elegir la variable dependiente. De otra manera puede aparecer en todas las 's.

2. Los párametros repetitivos que se eligen no deben por si solos formar un grupo adimensional. Si no, será imposible generar el resto de las 's.

3. La elección de los parámetros repetitivos debe representar todas las dimensiones primarias.

4. Nunca elegir parámetros que sean adimensionales.

5. Nunca elegir dos parámetros con la misma dimension o con dimensiones que difieran solo por el exponente.

6. Elegir variables dimensionales por sobre constantes dimensionales, de tal forma que solo una contenga la variable dimensional.

7. Elegir parámetros comunes, dado que pueden aparecer en cada una de las 's.

8. Elegir parámetros simples por sobre los parámetros complejos.

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» Considere la relación entre el radio de una burbuja de jabón y la presión al interior de ella. La presión dentro de la burbuja debe ser mayor que la presión atmosférica, y la capa de la burbuja se encuentra tensionada (se asemeja a la “piel” de un globo”). Uno también sabe que la propiedad de la tensión superficial es importante en el presente problema.

» Utilizando el análisis dimensional, establezca una relación entre la diferencia de presión, el radio de la burbuja, y la tensión superficial ss de la capa de jabón.

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Solución:

Solución:

( Weber Number)

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» Considere el flujo mostrado en la figura; V es la velocidad promedio a través de la sección transversal de la tubería. El flujo es completamente desarrollado, lo que significa que el perfil de velocidades se mantiene uniforme a lo largo de la tubería. Debido a las fuerzas friccionales entre el fluido y los bordes de la tubería existe un

esfuerzo de corte tw en la pared interior de la tubería. El esfuerzo de corte es constante también a lo largo de la tubería. Se asume una rugosidad constante promedio, , a lo largo de la pared interna de la tubería. En efecto el único parámetro que no es constante a lo largo de la tubería es la presión, que debe disminuir linealmente a lo largo de la tubería con la finalidad de “empujar” el fluído a lo largo de la tubería y de esta manera vencer las fuerzas de fricción. Desarrolle una relación adimensional entre el esfuerzo de corte tw y los otros parámetros en el problema.

Solution

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Solution

EXPERIMENTACION Y SIMILITUD INCOMPLETA

» Una de las más útiles aplicaciones del análisis dimensional es en el diseño de experimentos físicos y/o numéricos, y en la presentación de los resultados.

» Configuración de un experimento y de la correlación de los datos.

• Considere un problema con 5 parámetros: uno dependiente y 4 independientes.

• La matriz de experimentación con 5 puntos de datos para cada parámetro independiente requeriría 54=625 experimentos!!

• Si podemos reducir el problema a 2 's, el número de parámetros independientes se reduce de 4 a 1, que resulta en 51=5 experimentos vs. 625!!

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» Discusión de un problema de dos- Una vez concluido los experimentos, se procede a graficar (1) como función del parámetro adimensional independiente (2). Luego se puede determinar la relación funcional entre ambos parámetros mediante un análisis de regresión de los datos.

» Si hay más de dos- en el problema, es necesario establecer una matriz de experimentación que determine la relación entre los ´s.


» No siempre es posible igualar todos los números adimensionales ’s de un modelo con los números adimensionales correspondientes del prototipo. Esta situación se llama similitud incompleta.

» Afortunadamente, en algunos casos de similitud incompleta, todavía es posible extrapolar los ensayos del modelo, con la finalidad de obtener predicciones razonables para la escala completa (prototipo).

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EXPERIMENTACION Y SIMILITUD INCOMPLETA-EJEMPLO

» El problema de medir la fuerza de arrastre en el modelo del camión en un túnel de viento. Supongamos un modelo del camión a escala 1:16. El modelo del camión es 0,991 [m] de largo y que debe ser ensayado en un túnel de viento cuya maxima velocidad es de 70 [m/s].

El aire en el túnel de viento esta a la misma temperatura y presión que el aire que fluye a través del prototipo, Queremos simular el flujo de Vp = 60 mi/h (26.8 m/s) sobre el prototipo.


» Lo primero que hacemos es igualar los números de Reynolds.,

» La velocidad requerida en el túnel de viento, Vm, para el ensayo

del modelo es:

Esta velocidad es mas de seis veces mayor que la máxima

velocidad que puede alcanzar la velocidad del túnel de viento.

Además el flujo sería supersónico (alrededor de 346 m/s). Mientras

que el número de Mach del prototipo (0.080) no coincide con el

número de Mach del modelo (1.28). Claramente no es posible de

igualar el número de Reynolds del modelo con el del prototipo en

estas instalaciones.

Que hacemos?

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» Hay distintas opciones para resolver la similitud incompleta: ˃ Usar un túnel más grande. Sin embargo, esto es mucho más caro. Que tan

grande puede ser un modelo?? Una regla de oro útil es que el ratio entre el area frontal del modelo y la sección tranversal del túnel de ensayo sea menor que 7,5%.

˃ Usar un fluido distinto para los ensayos del modelos. Los túneles de agua pueden permitir alcanzar números de Reynolds mas grandes que los túneles de viento del mismo tamaño, pero son mucho mas caros de construir y operar.

˃ Presurizar el túnel de viento y/o ajustar la temperatura del aire para aumentar la máxima capacidad del número de Reynolds.

˃ Correr el túnel de viento a distintas velocidades cercana a la máxima velocidad, y luego extrapolar nuestros resultados al número de Reynolds del prototipo.

» Un modelo a escala 1:16 de un camíon es ensayado en un túnel de viento. El

modelo del camión es 0.991 m de largo, 0.257 m alto y 0.159 m de ancho. La

fuerza de arrastre aerodinámica se mide en función de la velocidad del túnel

de viento, y cuyos resultados se indican en la Tabla 7-7 . Graficar el

coeficiente de arrastre CD en función de Re, donde el área utilizada para

calcular CD es el área frontal del modelo del camión, y la escala de largo

utilizada para el calculo de Re es el ancho del camión W. Hemos alcanzado la

similitud dinámica?? Hemos alcanzado la independencia del número de

Reynolds en el túnel de ensayo?? Estimar la fuerza de arrastre aerodinámica

en el camion prototipo que viaja en una autopista a 26.8 m/s. Asumir que

tanto el aire del túnel de viento, como el aire que fluye sobre el prototipo

estan a 25°C y a presión atmosférica.

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» Solución:

Calcular CD y Re para el último punto de la Tabla 7–7

Repetir el cálculo para todos los

puntos de la Tabla 7–7, y graficar

CD v/s Re.

Se ha alcanzado la similitud dinámica?

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» Solución:

» El número de Reynolds del prototipo es mas de seis veces mas grande que el del modelo. Debido a que no podemos igualar el número adimensional independiente , podemos señalar que no se ha alcanzado la similitud dinámica.

» Hemos alcanzado la independencia del número de Reynolds? De la figura observamos que si se ha alcanzado la independencia del número de Reynolds—para Re mayores que 5 105, CD se ha estabilizado en un valor de aproximadamente 0.76 (a dos cifras significativas).

» Debido a que hemos alcanzado la independencia del número de Reynolds, podemos extrapolar el resultado al prototipo, asumiendo que CD permanece constante a medida que Re se aumenta hasta alcanzar el valor de Re del prototipo.

» Fuerza de arrastre estimada para el prototipo:


» Los flujos con superficie libre presentan un desafío único para alcanzar una similitud dinámica completa.

» En aplicaciones hidráulicas, la profundidad es muy pequeña en comparación a las dimensiones horizontales. Si utilizamos la similitud geométrica, la profundidad del modelo será tan pequeña que pueden aparecer problemas de otro tipo como:

˃ Efectos de la tensión superficial (Número de Weber) serán importantes.

˃ La recolección de información se hace complicada.

» Por lo tanto, se utilizan modelos distorsionados, que requieren correcciones/correlaciones empíricas para extrapolar los datos del modelo al prototipo.

Wanapum Dam on Columbia River

Physical Model at

Iowa Institute of Hydraulic Research

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» Para la hidrodinámica de buques, la similitud de Fr se mantiene, mientras que se permite que Re sea diferente.

» Porque? Observemos que pasa con la similitud completa:

» Para ajustar tanto Re y Fr, la viscosidad en el experimento del modelo es una función de la escala del modelo!. Esto es impracticable.

DDG-51 Destroyer

1/20th scale model


clase 3+4-hidraulica teorica

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