Clase 2: Teorıa Macrodinamica

Carlos Rojas Quiroz

Universidad Nacional de Ingenierıa

23 de agosto

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Cuestiones tecnicas

Solucion numericaEstado EstacionarioCalibracionDynareFunciones Impulso-Respuesta linealizadasLog-linealizacionFunciones Impulso-Respuesta loglinealizadas

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I La clase pasada establecimos que el eje de nuestro estudio esel ciclo economico. Presentamos tambien algunas pautasimportantes sobre como medir el ciclo y que indicadoresconsiderar (co-movimientos).

I “Solucionamos” un modelo (muy) simple RBC siguiendo elapartado establecido en el capıtulo 23 del libro de De Gregorio.

I Conclusiones:1. Aun modelos simples son difıciles de resolver de forma analıtica

(lapiz y papel). Para su solucion se debe establecer algunossupuestos bastante criticables, necesitamos otras tecnicas paraestudiar el ciclo economico con un modelo de equilibrio general.

2. En el modelo considerado la clase anterior el mecanismo depropagacion del choque de productividad es la sustitucionintertemporal del trabajo:

⇑ Zt →⇑Wt →⇑ Lt →⇑ Yt →⇑Wt →⇑ Lt ...

No hemos entrado en detalles mas tecnicos

Antes de empezar

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Cuestiones tecnicasConsumidores, Hogares, Familias:

I Consideramos que la utilidad es aditiva separable en eltiempo, por lo que podemos identificar la utilidad delconsumidor Vt y la utilidad instantanea Ut .

Vt = Et

∞∑t=0

βtU(Ct , 1− Lt)

I Los consumidores viven de forma infinita. ¿Supuesto ilogico?No pensemos en consumidores, sino en familias. Las familiastoman decisiones pensando que viviran infinitamente: herenciao dinastıa. Optimizan de igual forma a lo largo del tiempo.Problema variacional (programacion dinamica).

I Consumidores con vida finita: modelos de generacionestraslapadas1 (mas difıciles de construir y resolver en terminoscomputacionales). Utiles para pensar en problemaspensionarios (¿AFPs?).

1Capıtulo 2 del libro de Romer. Vea la pagina web.

Cuestiones tecnicasI Sabemos que UC > 0,UCC < 0 y lo mismo con el ocio

UO > 0,UOO < 0. Concavidad de la funcion de utilidadimplica que consumidores o familias llegan a saciarse.

I Et es el operador de esperanza matematica sobre las variablesfuturas en t, condicionada a la estructura de informaciondisponible en ese momento.

I βt es el factor de descuento intertemporal, tal que β ∈ (0, 1).Luego, se puede definir β como:

β =1

1 + ρ

I ρ > 0 es la tasa de descuento subjetiva intertemporal. Mide lavaloracion del consumidor de su utilidad futura respecto a suutilidad actual. A mayor ρ menor valoracion del individuo desu utilidad futura respecto de la actual (consumidor“impaciente”). A menor ρ, el individuo descuenta menos elfuturo, lo que indica una mayor valoracion de la utilidadfutura respecto de la actual (“paciente”).

Cuestiones tecnicas

I Los consumidores maximizan la suma ponderada de susutilidades sujetas a la restriccion presupuestaria.

I La RP nos indica tanto los usos como los recursos disponibles:

(1 + rt)At + WtLt︸ ︷︷ ︸Recursos disponibles

= Ct + At+1 + Tt︸ ︷︷ ︸Usos disponibles

I Hemos supuesto implıcitamente que los consumidores sonlos propietarios de los factores productivos de la economıa.

I Solo hay un activo en toda la economıa. Implıcitamente existeun sector competitivo que tansforma ahorro en capital sincoste alguno. Ello implica: At = Kt .

I Dado el precio de los factores productivos (Wt y rt), losconsumidores deciden que cantidad de factores productivosvan a alquilar a las empresas.

Cuestiones tecnicasSupondremos una funcion de utilidad instantanea logarıtmica:

Ut = θLog(Ct) + (1− θ)Log(1− Lt)

Donde θ es la proporcion de consumo sobre la renta total. Elproblema a maximizar es entonces:

max{Ct ,Lt ,Kt+1}∞t=0

Vt = Et

∞∑t=0

βtU(Ct , 1− Lt)

Sujeto a la ecuacion:

Ct + Kt+1 + Tt = WtLt︸ ︷︷ ︸Renta salarial

+ (1 + rt)Kt︸ ︷︷ ︸Renta de capital

Y a la evolucion del capital:

Kt+1 = (1− δ)Kt + It

Cuestiones tecnicasFirmas, Empresas, Productores:

I Tambien viven infinitamente. No toman decisiones pensandoque van a quebrar o van a dejar de existir.

I Las empresas maximizan beneficios, sujetas a la restricciontecnologica. Entorno competitivo: beneficios de las empresasvan a ser cero.

Πt = Yt − rkt Kt −WtLt = 0

I Empresarios eligen Kt y Lt , dados rkt y Wt , tal que se cumplaesta restriccion. Tener en cuenta que rkt = rt + δ o costo totaldel capital.

I Funcion de produccion estrictamente creciente, estrictamenteconcava y dos veces diferenciable. Por lo general se asume conrendimientos constantes a escala:

Yt = ZtLαt K

1−αt

Cuestiones tecnicas

I La funcion de produccion cumple con YL,YK > 0 yYLL,YKK < 0. Tambien se cumplen con las condiciones deInada:

lımK→0

YK =∞ lımK→∞

YK = 0

lımL→0

YL =∞ lımL→∞

YL = 0

Es decir, para producir hacen falta ambos factores.I Pensemos un momento en Zt , o Productividad Total de

Factores, ¿Que es?

1. Una variable no observable calculada como residuo de Solow.2. Nivel de conocimientos general sobre las artes productivas que

dispone una economıa.3. Productividad agregada de la economıa en el uso de todos sus

factores productivos (tecnologıa, la estructura organizativa, elcapital humano, factores institucionales).

Cuestiones tecnicas

Figura 1: PTF e IPX para Peru (ρPTF ,IPX = 0,95)

Cuestiones tecnicas

El problema de la empresa se resumen en:

max{Kt ,Lt}∞t=0

Πt = Yt − rkt Kt −WtLt = 0

Sujeto a Yt = ZtLαt K

1−αt . Recordemos que α es la participacion

del factor trabajo en la produccion del bien. Observe que elproblema es estatico, las empresas alquilan trabajo y capitalperiodo a periodo.

Cuestiones tecnicas

Equilibrio general:

I Resultado obtenido a partir de la interaccion de los distintosagentes de la economıa.

I Equilibrio general competitivo: suponemos competenciaperfecta.

Definicion de equilibrio

Un equilibrio competitivo es una secuencia de consumo, ocio einversion (Ct ,Ot , It) por parte de los consumidores, y una secuenciade capital y de horas de trabajo (Kt , Lt) utilizadas por parte de lasempresas, tal que dada una secuencia de precios (rt ,Wt):

1. El problema de optimizacion de los consumidores se satisface.

2. Se cumplen las condiciones de primer orden para las empresas.

3. La restriccion de factibilidad de la economıa se cumple.

Cuestiones tecnicas

La solucion del modelo es optimo de Pareto garantizando que elbienestar social es el maximo.

Teoremas del Bienestar

Si no existen distorsiones tales como impuestos (distorsionadores)o externalidades:

I Primer Teorema del Bienestar: Todo equilibrio competitivo esun optimo de Pareto.

I Segundo Teorema del Bienestar: Para cada optimo de Paretoexiste un sistema de precios que lo hace un EquilibrioCompetitivo.

Modelo puede resolverse de dos formas:

1. Problema Descentralizado o Competitivo.

2. Problema del Planificador Central o Dictador Benevolente.

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Solucion numerica

La clase anterior “solucionamos” un modelo RBC imponiendodeterminados supuestos. El objetivo era volver lineal el sistemade ecuaciones. Ahora nos proponemos a solucionar el modelomediante simulacion numerica. Para ello utilizaremos el Dynare.Pero antes debemos determinar el estado estacionario del modelo ycalibrar los parametros estructurales.

El modelo

Con las formas funcionales impuestas para la utilidad instantanea yla funcion de produccion, tenemos:

I Condicion intratemporal (oferta de trabajo):

θ

Ct=

1− θ(1− Lt) Wt

(1)

I Condicion intertemporal del consumo:

1

Ct=

β

Ct+1(rt+1 + 1) (2)

I Demanda de trabajo:

Wt = αYt

Lt(3)

El modelo

I Demanda de capital:

rt + δ = (1− α)Yt

Kt(4)

I Demanda agregada:

Yt = Ct + It + Gt (5)

I Oferta agregada:Yt = Zt Lt

α Kt1−α (6)

I Evolucion del capital:

Kt+1 = It + (1− δ) Kt (7)

El modelo

Anadimos los dos procesos estocasticos para las variables exogenas:

I Productividad:

ln(Zt) = (1− ρZ )ln(Zss) + ρZ ln(Zt−1) + εZt (8)

I Gasto Publico:

ln(Gt) = (1− ρG )ln(Gss) + ρG ln(Gt−1) + εGt (9)

Donde εZt ∼ N(0, σ2Z ) y εGt ∼ N(0, σ2

G ). Observe que procesos sondistintos a lo considerado la clase pasada. Se debe al estadoestacionario de Gt , como veremos mas adelante.

Estado Estacionario

θ

C=

1− θ(1− L)W

(10)

1

β− 1 = r (11)

W = αY

L(12)

r = (1− α)Y

K− δ (13)

Y = C + I + G (14)

Y = ZLαK 1−α (15)

I = δK (16)

Estado Estacionario

De la ecuacion 11 y 13, se llega a:

1

β− 1 + δ = (1− α)

Y

K(17)

Que lleva a:

K =(1− α)βY

1− β + βδ(18)

Estado Estacionario

Usando la ecuacion 16

I =(1− α)δβY

1− β + βδ(19)

De 14 despejamos:

C =

[1− (1− α)βδ

1− β + βδ− G

Y

]Y (20)

Ademas, despejando para L en la ecuacion 10 y utilizando lasecuaciones 12 y 20, se llega a:

L =1

1 +

[1− (1−α)βδ

1−β+βδ− G

Y

]αZ

(1−θθ

) (21)

Estado Estacionario

Finalmente, combinamos la ecuacion 15 con la ecuacion 18 y 21 yse llega a:

Y = Z1α

1

1 +

[1− (1−α)βδ

1−β+βδ− G

Y

]αZ

(1−θθ

)[ (1− α)β

1− β + βδ

]( 1−αα )

(22)

En cuanto a los procesos exogenos, asumimos:

Z = 1 y G =G

Y× Y (23)

Calibracion

Consiste en imponer valores a los parametros estructurales o“profundos” del modelo de acuerdo a ratios observados en la dataeconomica, revision de modelos similares o para obtenerco-movimientos similares a los observados. En nuestro caso:

Parametros Descripcion

β = 0,99 Factor de descuentoθ = 0,36 Importancia del consumo sobre renta totalα = 0,67 Importancia del factor trabajo en la FPδ = 0,023 Depreciacion del capital fısicoGY = 0,155 Gasto Publico/PBIρZ = 0,95 Persistencia del choque de productividadρG = 0,75 Persistencia del choque de gasto publicoσZ = 0,01 Desviacion estandar, productividadσG = 0,01 Desviacion estandar, gasto publico

Calibracion

I En el caso de la calibracion de β, consideramos un ρ (tasa dedescuento subjetiva intertemporal asociada al promedio de latasa de interes de mercado) de 4 % anual. En frecuenciatrimestral: (1 + 4 %)0,25 ≈ 1 %. Luego β = 1

1+ρ = 11,01 ≈ 0,99.

I Para θ se asume un valor similar a lo utilizado en otrostrabajos (notas de clase de Fernandez-Villaverde de UPenn).

I La depreciacion es aproximadamente de 10 % anual.

I El ratio GY es obtenido de las cuentas nacionales.

I Para el caso de los procesos exogenos, dado que son AR(1),debemos tener en cuenta las siguientes definiciones:

EZt = 0 EZ 2t =

σ2Z

1− ρ2Z

EZtZt−1 =ρZσ

2Z

1− ρ2Z

Lo mismo para Gt . En nuestro caso asumismos valores delparametro de persistencia bastante estandar.

Dynare

Introduciendo el modelo en Dynare

Primer bloque: definir variables endogenas, variables exogenas yparametros del modelo.

v a r l a b c w r y kap i n n v z g ;p r e d e t e r m i n e d v a r i a b l e s kap ;v a r e x o e z e g ;p a r a m e t e r s a l p h a d e l t a b e t t a t h e t a r h o z r h o gz s s l a b s s r s s k a p s s w ss y s s c s s i n v s s g s s C Y

I Y G Y ;

I En la medida de lo posible debemos evitar nombrar lasvariables y parametros como funciones del Matlab oexpresiones matematicas (ejemplo son funciones beta oinversa, o nombres como i o pi).

I Si hay una variable predeterminada, podemos decirle alDynare que la considere como tal, ası no tendremos que“laggearla” manualmente.

Introduciendo el modelo en Dynarea l p h a = 1−0.33;d e l t a = 0 . 0 2 3 ;b e t t a = 0 . 9 9 ;t h e t a = 1 / 2 . 7 5 ;r h o z = 0 . 9 5 ;r h o g = 0 . 7 5 ;z s s = 1 ;G Y = 0 . 1 5 5 ;l a b s s = 1/((1− t h e t a ) /( a l p h a ∗ t h e t a ∗ z s s ) ∗((1− b e t t a+

a l p h a ∗ b e t t a ∗ d e l t a ) /(1− b e t t a+b e t t a ∗ d e l t a )−G Y ) +1) ;y s s = z s s ∗(((1− a l p h a ) ∗ b e t t a /(1− b e t t a+b e t t a ∗ d e l t a ) )

ˆ((1− a l p h a ) / a l p h a ) ) ∗ l a b s s ;w ss = a l p h a ∗ y s s / l a b s s ;k a p s s = (1− a l p h a ) ∗ b e t t a /(1− b e t t a+b e t t a ∗ d e l t a ) ∗ y s s ;i n v s s = d e l t a ∗ k a p s s ;r s s = (1− a l p h a ) ∗ y s s / k a p s s−d e l t a ;c s s = ((1− b e t t a+a l p h a ∗ b e t t a ∗ d e l t a ) /(1− b e t t a+b e t t a ∗

d e l t a )−G Y ) ∗ y s s ;g s s = G Y∗ y s s ;C Y = c s s / y s s ;I Y = i n v s s / y s s ;

Introduciendo el modelo en Dynare

Segundo bloque: el modelo.

model ;t h e t a / c =(1− t h e t a ) /((1− l a b ) ∗w) ;1/ c =b e t t a ∗1/ c (+1)∗(1+ r (+1) ) ;w =a l p h a ∗y / l a b ;r+d e l t a =(1−a l p h a ) ∗y / kap ;y =c+i n n v+g ;kap (+1) =(1−d e l t a ) ∗kap+i n n v ;y =z∗kapˆ(1− a l p h a ) ∗ l a b ˆ a l p h a ;l og ( z ) =(1− r h o z ) ∗ l og ( z s s ) + r h o z ∗ l og ( z (−1) ) + e z ;l og ( g ) =(1− r h o g ) ∗ l og ( g s s ) + r h o g ∗ l og ( g(−1) ) + e g ;end ;

Introduciendo el modelo en Dynare

Tercer bloque: el estado estacionario.

s t e a d y s t a t e m o d e l ;l a b =l a b s s ;c =c s s ;w =w ss ;r =r s s ;y =y s s ;kap =k a p s s ;i n n v=i n v s s ;z =z s s ;g =g s s ;end ;

Podrıamos haber implementado el calculo del estado estacionariodirectamente en este bloque. Esta vez obtamos por hacerlo en elsegundo bloque y “llamar” a esos resultados.

Introduciendo el modelo en Dynare

Cuarto bloque: definicion de varianzas y otros comandos.

s h o c k s ;

v a r e z ; s t d e r r 0 . 0 1 ;v a r e g ; s t d e r r 0 . 0 1 ;end ;

r e s i d ;s t e a d y ;check ;

Introduciendo el modelo en Dynare

I resid: muestra los residuos de las ecuaciones estaticas, dadoslos valores de estado estacionario. Deberıan ser cero.

I steady: muestra el estado estacionario de cada una de lasvariables del modelo. Sirve para comprobacion.

I check: muestra los valores propios del sistema. Para cumplircon las condiciones de Blanchard-Kahn (existencia, unicidad yestabilidad del equilibrio) se necesitan tantos valores propiosmayores a uno en su modulo como variables forward lookingdel modelo. En nuestro caso hay dos: rt+1 y ct+1.

Introduciendo el modelo en Dynare

Quinto bloque: comando de simulacion estocastica

s t o c h s i m u l ( o r d e r = 1) ;

Donde se da inicio al proceso de simulacion ordenandole al Dynareque linealice las ecuaciones correspondientes. Para grabar elmodelo, debemos tener en cuenta la extension que “leera” elDynare (.mod), y colocarla manualmente. Debemos ir a “save as”o “Guardar como” y una vez ahı tipear:

RBC01 . mod

Introduciendo el modelo en Dynare

Una vez escrito el codigo del modelo, debemos escribir en elCommand Window lo siguiente:

addpath C :\ d y n a r e \4 . 4 . 3\ matlabcd ‘G:\UNI\T e o r i a Macrodinamica \MODs’

I La primera lınea “llama” al Dynare.

I Con la segunda damos la direccion de la carpeta donde seencuentra nuestro archivo .mod.

I OJO: Tener cuidado con nombres de carpetas que estanseparados. Si lo estan (como en este caso), se necesitaencerrar la direccion entre apostrofes. Sino, no hay necesidadde ello.

Luego, para que el modelo “corra” escribimos:

d y n a r e RBC01 . mod

Funciones Impulso-Respuesta linealizadas

Figura 2: IRF, choque de productividad

Funciones Impulso-Respuesta linealizadas

Figura 3: IRF, choque de gasto publico

Log-linealizacion

I Hasta ahora, sistema de ecuaciones no lineal.

I Log-linealizacion es metodo comun para llevar un sistema nolineal a uno lineal.

I ¿Por que es ello necesario? Facilidad en el computo paramodelos mas grandes, pues evitas el calculo del EstadoEstacionario. OJO: El Dynare linealiza el modelo (nolog-linealiza) y luego aplica el metodo de Blanchard-Kahn.

I Variables se interpretan como desviaciones respecto a suEstado Estacionario (interpretacion economica: ciclos).

Expansion de Taylor alrededor de x0

φ(x) = [φ(x0)

0!+φ′(x0)

1!(x − x0) +

φ′′(x0)

2!(x − x0)2 + ...

...+φ(n)(x0)

n!(x − x0)n]

Linealizacion

Log-linealizacion (metodo de Uhlig)

I Sea la variable de interes xt = lnxt − lnxss .

I Despejando xt = xssext .

I Dado ello, se aplica una expansion de Taylor de primer ordena la expresion e xt :

e xt |xt=0≈ e xt=0 + e xt=0(xt − 0)

e xt |xt=0≈ 1 + xt

e xt ≈ 1 + xt

I Luego, xt = xss(1 + xt). Despejando, xt ≈ xt−xssxss

.

Modelo log-linealizado

I Condicion intratemporal (oferta de trabajo):

L

1− LLt + Ct = Wt (24)

I Condicion intertemporal del consumo:

Ct = Ct+1 − (1− β)rt+1 (25)

I Demanda de trabajo:

Wt = Yt − Lt (26)

I Demanda de capital:

r rt = (1− α)Y

K(Yt − Kt) (27)

Modelo log-linealizado

I Demanda agregada:

Yt =C

YCt +

I

YIt +

G

YGt (28)

I Oferta agregada:

Yt = Zt + αLt + (1− α)Kt (29)

I Evolucion del capital:

Kt+1 =I

KIt + (1− δ)Kt (30)

I Procesos exogenos:

Zt = ρZ Zt−1 + εZt (31)

Gt = ρG Gt−1 + εGt (32)

Modelo log-linealizado en Dynare

Si queremos resolver un modelo log-lineal en Dynare tenemos dosposibilidades:

I Escribir el modelo no lineal con componentes exponenciales(para que el Dynare linealice, como en Uhlig).

I Log-linealizar el modelo manualmente e incorporarlo ya deforma lineal al computador.

En el caso del primero, el beneficio que obtenemos es que podemosdecirle al Dynare que aplique una expansion de Taylor de primer,segundo y hasta tercer orden. Esto es util en el caso decomparaciones (rankings) de bienestar. Considerando ello,modificamos solo el bloque 2 y el bloque 3:

Modelo log-linealizado en Dynare (1era forma)

model ;t h e t a / exp ( c ) =(1− t h e t a ) /((1−exp ( l a b ) ) ∗exp (w) ) ;1/ exp ( c ) =b e t t a ∗1/ exp ( c (+1) ) ∗(1+ exp ( r (+1) ) ) ;exp (w) =a l p h a ∗exp ( y ) / exp ( l a b ) ;exp ( r )+d e l t a =(1−a l p h a ) ∗exp ( y ) / exp ( kap ) ;exp ( y ) =exp ( c )+exp ( i n n v )+exp ( g ) ;exp ( kap (+1) ) =(1−d e l t a ) ∗exp ( kap )+exp ( i n n v ) ;exp ( y ) =exp ( z ) ∗exp ( kap ) ˆ(1− a l p h a ) ∗exp ( l a b ) ˆ a l p h a ;z =(1− r h o z ) ∗ l o g ( z s s ) + r h o z ∗ z (−1) + e z ;g =(1− r h o g ) ∗ l o g ( g s s ) + r h o g ∗g(−1) + e g ;end ;s t e a d y s t a t e m o d e l ;l a b =l o g ( l a b s s ) ;c =l o g ( c s s ) ;w =l o g ( w ss ) ;r =l o g ( r s s ) ;y =l o g ( y s s ) ;kap =l o g ( k a p s s ) ;i n n v=l o g ( i n v s s ) ;z =l o g ( z s s ) ;g =l o g ( g s s ) ;end ;

Modelo log-linealizado en Dynare (2da forma)

Necesitamos modificar el bloque 2 y eliminar el bloque 3.

model ( l i n e a r ) ;w = ( l a b s s /(1− l a b s s ) ) ∗ l a b + c ;c = c (+1) − (1− b e t t a ) ∗ r (+1) ;w = y − l a b ;r s s ∗ r = (1− a l p h a ) ∗ y s s / k a p s s ∗( y−kap ) ;y = C Y∗c + I Y ∗ i n n v + G Y∗g ;y = z + a l p h a ∗ l a b + (1− a l p h a ) ∗kap ;kap (+1) = d e l t a ∗ i n n v + (1− d e l t a ) ∗kap ;z = r h o z ∗ z (−1) + e z ;g = r h o g ∗g(−1) + e g ;end ;

I Note que despues de escribir model se anade (linear). Estole indica al Dynare que el modelo ya es lineal.

I Las nuevas IRFs son similares en dinamica pero distintas enmagnitud: IRFloglinealizada = IRFlinealizada

EE .

Funciones Impulso-Respuesta loglinealizadas

Figura 4: IRF, choque de productividad

Funciones Impulso-Respuesta loglinealizadas

Figura 5: IRF, choque de gasto publico