23.3 Una esfera metlica pequea, con una carga neta de q1=-2.8 C, se mantiene en una posicin fija por medio de soportes aislantes. Se proyecta hacia q1 una segunda esfera metlica pequea, con una carga neta de q2=-7.8 C y una masa de 1.5 g. Cuando las dos esferas estn a 0.8 m una de la otra, q2 se traslada hacia q1 con una rapidez de 22 m/s. Suponga que las dos esferas se puedan tratar como cargas puntuales. a) Cul es la rapidez de q2cuando las esferas estn a 0.4 m una de la otra? b) Cunto es lo ms que q2se acerca a q1?

q2

v=22 m/s

q1

0.8 m

q2

v=22 m/s

q1

0.8 m

Jm

CCCm

x

qqU

JsmkgmvK

Jm

CCCm

x

qqU

KUKU

366

229

2

21

0

2

3232

1

366

229

1

21

0

1

2211

104.4914.0

)108.7)(108.2()/109.8(

4

1

10363)/22)(105.1(2

1

2

1

107.2458.0

)108.7)(108.2()/109.8(

4

1

=

==

===

=

==

+=+

JJJUKUK 3332112 106.116104.49110608 ==+=

JJJUKUK 3332112 106.116104.49110608 ==+=

a)s

m

kg

JvJmv 48.12

105.1

)106.116(2106.116

2

13

332 ===

b)

mJ

CCCmx

x

qqJKUU

323.0608.0

)108.7)(107.2)(/109.8(

4

1608.0

66229

21

0

112

=

=

==+=

23.5 Se mantiene fija en el origen una carga puntual Q=+4.6 C. Se coloca sobre el eje de las x, a 0.25 m del origen, una segunda carga puntual q=+1.2 C con una masa de 2.8 10-4 kg. a) Cul es la energa potencial elctrica U del par de cargas? (Tome U como 0 cuando la separacin entre las cargas es infinita). b) Se deja libre la segunda carga puntual, inicialmente en reposo. i) Cul es su rapidez cuando su distancia al origen es de 0.5 m? ii) 5 m? iii) 50 m?

Q q

0.25 m

a) Jm

CCCm

d

qQU 3

66229

0

107.19825.0

)102.1)(106.4)(/109.8(

4

1

===

b) i)

s

mvJmv

mvm

qQJKUU

6.260993.02

1

2

1

5.04

1198.0

2

2

0

221

==

+=+=

b) ii)

s

mv

mvm

qQJKUU

6.36

2

1

54

1198.0 2

0

221

=

+=+=

b) iii)

s

mv

mvm

qQJKUU

5.37

2

1

504

1198.0 2

0

221

=

+=+=

POTENCIAL ELCTRICO

Un POTENCIAL es energa potencial por unidad de carga. Se define el potencial V en cualquier punto de un campo elctrico como la energa potencial U por unidad de carga asociada con una carga de prueba q0 en ese punto:

== VoltC

J

q

UV 1

1

1

0

POTENCIAL ELCTRICO

(escalar)

baababba VVVV

q

U

q

U

q

U

q

W==

=

= )(

0000

La diferencia Va-Vb se llama potencial de a con respecto a b Vab.

El potencial Vab de a con respecto a b es igual al trabajo realizado por la fuerza elctrica cuando una UNIDAD de carga se desplaza de a a b.

r

q

qr

qq

q

UV

00

0

00 4

11

4

1

=== Potencial debido a una carga elctrica puntual

===i i

i

i i

i

r

q

r

q

q

q

q

UV

00

0

00 4

1

4

1

Potencial debido a conjunto de cargas puntuales

Cuando se tiene una distribucin continua de carga a lo largo de una lnea, en una superficie o en todo un volumen, la suma se transforma en una integral:

= rdq

V04

1

Potencial debido a una distribucin continua de carga

A veces es ms fcil calcular V a partir de E, y no de la distribucin de carga:

===

==

b

a

b

a

baba

b

a

b

a

ba

dlEldEVVq

W

ldEqldFW

)cos(0

0

rr

rrrr

Diferencia de potencial como una integral de E

+E

V disminuye

V aumenta

-E

V aumenta

V disminuye

El potencial disminuye en la direccin del campo elctrico y aumenta en la direccin opuesta al campo elctrico.

FUERZA ELCTRICA Y POTENCIAL ELCTRICO

Un protn (q=1.6 10-19 C) se desplaza en lnea recta del punto a al punto b de un acelerador lineal, una distancia total d=0.5 m. El campo elctrico es uniforme a lo largo de esta lnea y su magnitud es E=1.5 107 N/C en la direccin desde a a b. Halle a) la fuerza sobre el protn; b) el trabajo que el campo realiza sobre l; c) la diferencia de potencial Va-Vb.

CCqEF 12719 104.2)/105.1)(106.1( ===

a) La fuerza tiene la misma direccin que el campo elctrico, su magnitud es:

b) La fuerza es constante y tiene la misma direccin que el desplazamiento:

JmFdW ba1212 102.1)5.0)(104.2( ===

c) El potencial es trabajo por unidad de carga:

VC

J

q

WVV baba

6

19

12

105.7106.1

102.1===

POTENCIAL DEBIDO A DOS CARGAS PUNTUALES

Un dipolo elctrico consta de dos cargas puntuales q1=+12 nC y q2=-12 nC, separadas por una distancia de 10 cm. Calcule los potenciales en los puntos a,b y c sumando los potenciales debidos a una u otra carga.

+ -10 cm

c

ab4 cm 4 cm6 cm

13 cm13 cm=i i

i

r

qV

04

1

En el punto a los potenciales debidos a las dos cargas son:

Vm

C

C

m

r

qV

Vm

C

C

m

r

qV

270004.0

1012)109.8(

4

1

180006.0

1012)109.8(

4

1

9

2

29

2

2

0

2

9

2

29

1

1

0

1

=

==

===

VVVVVVa 9002700180021 ==+=

+ -10 cm

c

ab4 cm 4 cm6 cm

13 cm13 cm

En el punto b los potenciales debidos a las dos cargas son:

Vm

C

C

m

r

qV

Vm

C

C

m

r

qV

77014.0

1012)109.8(

4

1

270004.0

1012)109.8(

4

1

9

2

29

2

2

0

2

9

2

29

1

1

0

1

=

==

===

VVVVVVb 1930770270021 ==+=

En el punto c los potenciales debidos a las dos cargas son:

Vm

C

C

m

r

qV

Vm

C

C

m

r

qV

83013.0

1012)109.8(

4

1

83013.0

1012)109.8(

4

1

9

2

29

2

2

0

2

9

2

29

1

1

0

1

=

==

===

VVVVVVc 083083021 ==+=

CLCULOS DE POTENCIAL ELCTRICO

Una esfera conductora de radio R tiene una carga total q. Halle el potencial en todas partes, tanto afuera como adentro de la esfera.

R

++

+++

+

++ +

+Afuera de la esfera el campo elctrico es el mismo de una carga puntual q:

Por lo tanto, el potencial en un punto afuera (r > R)de la esfera a distancia r de su centro es el mismo que el potencial elctrico de una carga puntual:

q

2

04

1

r

qE

=

r

qV

04

1

=

El potencial en la superficie de la esfera (r=R) es: R

qV

04

1

=

El potencial adentro de la esfera (r < R) es:R

qV

04

1

=

R

++

+++

+

++ +

+q

a

b

==b

a

ba ldEVV 0rr

E=0 en el conductor

ba VV =

PLACAS PARALELAS CON CARGA OPUESTA

+ + + + + +

------

E d

a

bq0

yHalle el potencial a cualquier altura y entre las dos placas.

EdyyEVV

Eyq

Eyq

q

yUyV

baba ==

===

)(

)()(

0

0

0

d

V

d

VVE abba =

=

][

][

][

][

m

V

C

E ==

LNEA DE CARGA INFINITA O CILINDRO CONDUCTOR CON CARGA

+ ++ +

r

r

R

rrE

1

2)(

0

=

[ ] ====b

a

b

a a

babba

r

rrr

r

drdrEVV ln

2lnln

22 000

r

Si se supone que b est en el infinito y se fija Vb=0, se halla que Va es infinito:

=

=a

ar

V ln2 0

En ese caso sta no es una manera til de definir V, la dificultad es que la distribucin de carga es infinita.

Para evitar esta dificultad (podemos definir V como 0 en el punto que deseamos) fijemos Vb=0 a una distancia r0. Entonces el potencial V=Va en el punto a a una distancia r est dado por:

r

rV 0

0

ln2

0

=

Por ejemplo, si en el cilindro tomamos r0=R (el potencial es 0 en la superficie del cilindro), el valor del potencial es:

RrV

Rrr

RV

=

>=

0

ln2 0r

R