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Clase 14: Magnetostatica
Susana J. Landau & Andres Goya
11 de junio de 2020Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 1 / 21
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Esquema de la clase
Ley de Biot-Savart: Campo magnetico de una espira circular y unaespira cuadrada. Expresion del campo en el lımite de grandesdistancias
Fuerza de Lorentz: Fuerza entre un hilo y una cinta.
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Ley de Biot-Savart
El campo magnetico generado por una corriente I se puede expresar de lasiguiente manera:
~B(~r) =µ04π
∫I ~dl′ × (~r − ~r′)|~r − ~r′|3
(1)
donde
~r es el punto campo (donde queremos calcular el campo magnetico).~r′ es el punto fuente (donde esta la corriente fuente del campomagnetico).
µ0 = 4π10−7 NA2 es la permeabilidad del vacıo.
Las unidades del campo magnetico son los Tesla = NAm .
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 3 / 21
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Ley de Biot-Savart
Cuando la fuente del campo magnetico es una distribucion de corriente envolumen ~j, el campo magnetico se puede expresar de la siguiente manera:
~B(~r) =µ04π
∫V
~j dV ′ × (~r − ~r′)|~r − ~r′|3
(2)
mientras que si la fuente del campo magnetico es una distribucion decorriente en superficie ~g:
~B(~r) =µ04π
∫V
~g dS′ × (~r − ~r′)|~r − ~r′|3
(3)
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 4 / 21
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Problema 6
Calcular el campo magnetico sobre el eje de una espira circular de area A y
corriente I. El radio de la espira es a =√
Aπ
Vamosa usar la Ley de Biot-Savart:
~B(~r) =µ04π
∫I ~dl′ × (~r − ~r′)|~r − ~r′|3
~r = (0, 0, z) = zz~r′ = (a cosφ, a senφ, 0) = ar~dl′ = a dφ φ
Por lo tanto:
~dl′ × (~r − ~r′) = a dφ φ× (zz − ar)= a z dφ r + a2 dφ z
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 5 / 21
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Problema 6
~B(0, 0, z) =µ04π
∫ 2π
0
I(a z dφ r + a2 dφ z)
(a2 + z2)3/2
Recordemos que r = (cosφ, sinφ, 0) y que∫ 2π0 cosφdφ =
∫ 2π0 sinφdφ = 0 , entonces obtenemos el campo de una
espira circular sobre el eje z:
~B(0, 0, z) =µ04π
∫ 2π
0
Ia2 dφ z
(a2 + z2)3/2=
µ0Ia2
2(a2 + z2)3/2z
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 6 / 21
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Problema 6
Veamos ahora cual es la expresion a la cual podemos aproximar el campomagnetico para distancias grandes, es decir z >> a. Podemos escribir
~B(0, 0, z) =µ0Ia
2
2(a2 + z2)3/2z =
µ0Ia2
2z3(1 + a2
z2)3/2
z
LLamando x = az , vamos a hacer un desarrollo de Taylor de la funcion
f(x) = (1 + x2)−3/2 alrededor de x0 = 0 y con x− x0 = ε = az .
f(x) = (1 + x2)−3/2 f(0) = 1
f ′(x) = −3x(1 + x2)−5/2 f ′(0) = 0
f ′′(x) = 15x(1 + x2)−7/2 − 3(1 + x2)−5/2 f ′′(0) = −3
Por lo tanto: (1 + x2)−3/2 ' 1− 3ε2:
1
(1 + a2
z2)3/2' 1− 3
a2
z2
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 7 / 21
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Problema 6
~B(0, 0, z) =µ0Ia
2
2(a2 + z2)3/2z ' µ0Ia
2
2z3(1− 3
a2
z2)z
' µ0IA
2πz3(1− 3
a2
z2)z
donde recordemos que A es el area de la espira.
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Problema 6
Calcular el campo magnetico sobre el eje de una espira cuadrada de ladoD y corriente I.
Vamos a aplicarla ley de Biot-Savart a cada uno de loslados de la espira cuadrada, recorriendolaen sentido antihorario. Empecemospor el lado 1, donde tenemos:
~r = (0, 0, z)
~r′ = (D2 , y′, 0)
~dl′ = dy′y
~B1(0, 0, z) =µ04π
∫ D/2
−D/2
Idy′y × (−D2 ,−y
′, z)[(D2
)2+ y′2 + z2
]3/2Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 9 / 21
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Problema 6
~B1(0, 0, z) =µ04π
∫ D/2
−D/2
Idy′y × (−D2 ,−y
′, z)[(D2
)2+ y′2 + z2
]3/2Haciendo el producto vectorial obtenemos
~B1(0, 0, z) =µ04π
∫ D/2
−D/2
ID2 dy′z[(
D2
)2+ y′2 + z2
]3/2+µ04π
∫ D/2
−D/2
Izdy′x[(D2
)2+ y′2 + z2
]3/2︸ ︷︷ ︸
A
=µ0DI
8π
y′ z[z2 +
(D2
)2]√(D2
)2+ y′2 + z2
|D/2−D/2 +A
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 10 / 21
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Problema 6
~B1(0, 0, z) =µ0I
8π
D2 z[z2 +
(D2
)2]√D2
2 + z2+A
Vamos a aplicar laley de Biot-Savart al lado 2, donde tenemos:
~r = (0, 0, z) = zz
~r′ = (x′, D2 , 0)
~dl′ = dx′x
~B2(0, 0, z) =µ04π
∫ −D/2D/2
Idx′x× (−x′,−D2 , z)[
x′2 +(D2
)2+ z2
]3/2
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 11 / 21
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Problema 6
~B2(0, 0, z) =µ04π
∫ −D/2D/2
Idx′x× (−x′,−D2 , z)[
x′2 +(D2
)2+ z2
]3/2Haciendo el producto vectorial obtenemos:
~B2(0, 0, z) =µ04π
∫ −D/2D/2
I(−D2 )dx
′z[x′2 +
(D2
)2+ z2
]3/2+µ04π
∫ −D/2D/2
I(−z)dx′y[x′2 +
(D2
)2+ z2
]3/2︸ ︷︷ ︸
B
=µ0DI
8π
(−x) z[z2 +
(D2
)2]√(x′2 + D
2
)2+ z2
|−D/2D/2 +B
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 12 / 21
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Problema 6
~B2(0, 0, z) =µ0I
8π
D2 z[z2 +
(D2
)2]√D2
2 + z2+B
Vamos a aplicar laley de Biot-Savart al lado 3, donde tenemos:
~r = (0, 0, z) = zz
~r′ = (−D2 , y
′, 0)
~dl′ = dy′y
~B3(0, 0, z) =µ04π
∫ −D/2D/2
Idy′y × (D2 ,−y′, z)[(
D2
)2+ y′2 + z2
]3/2
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 13 / 21
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Problema 6
~B3(0, 0, z) =µ04π
∫ −D/2D/2
Idy′y × (D2 ,−y′, z)[(
D2
)2+ y′2 + z2
]3/2Resolviendo el producto vectorial obtenemos:
~B3(0, 0, z) =µ04π
∫ −D/2D/2
I(−D2 )dy
′z[(D2
)2+ y′2 + z2
]3/2+µ04π
∫ −D/2D/2
Izdy′x[(D2
)2+ y′2 + z2
]3/2︸ ︷︷ ︸
C
=µ0DI
8π
−y′z[z2 +
(D2
)2]√(D2
)2+ y′2 + z2
|−D/2D/2 + C
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 14 / 21
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Problema 6
~B3(0, 0, z) =µ0I
8π
D2z[z2 +
(D2
)2]√D2
2 + z2+ C
Vamos a aplicar laley de Biot-Savart al lado 4, donde tenemos:
~r = (0, 0, z) = zz
~r′ = (x′,−D2 , 0)
~dl′ = dx′x
~B4(0, 0, z) =µ04π
∫ D/2
−D/2
Idx′x× (−x′, D2 , z)[x′2 +
(D2
)2+ z2
]3/2
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 15 / 21
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Problema 6
~B4(0, 0, z) =µ04π
∫ D/2
−D/2
Idx′x× (−x′, D2 , z)[x′2 +
(D2
)2+ z2
]3/2Haciendo el producto vectorial obtenemos:
~B4(0, 0, z) =µ04π
∫ D/2
−D/2
ID2 dx′z[
x′2 +(D2
)2+ z2
]3/2+µ04π
∫ D/2
−D/2
I(−z)dx′y[x′2 +
(D2
)2+ z2
]3/2︸ ︷︷ ︸
D
=µ0DI
8π
x z[z2 +
(D2
)2]√(x′2 + D
2
)2+ z2
|D/2−D/2 +D
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 16 / 21
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Problema 6
~B4(0, 0, z) =µ0I
8π
D2z[z2 +
(D2
)2]√D2
2 + z2+D
Se puede ver que A+C = 0 y B +D = 0 y el campo magnetico total dela espira cuadrada es:
~BT (0, 0, z) =µ0I
2π
D2z[z2 +
(D2
)2]√D2
2 + z2
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 17 / 21
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Problema 6
Veamos ahora la expresion del campo magnetico para distancias grandes,es decir z >> D. Podemos escribir:
~BT (0, 0, z) =µ0I
2π
D2z[z2 +
(D2
)2]√D2
2 + z2
=µ0ID
2
2πz31
(1 + D2
4z2)√
1 + D2
2z2
a orden 0 podemos considerar Dz = 0 y obtenemos:
~BT (0, 0, z) 'µ0ID
2
2πz3z =
µ0IA
2πz3z
donde A es el area de la espira. Y podemos ver que a orden 0 coincide laexpresion para la espira cuadrada y para la espira circular.
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 18 / 21
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Problema 6
Veamos ahora la expresion del campo magnetico para distancias grandes,es decir z >> D. Podemos escribir:
~BT (0, 0, z) =µ0I
2π
D2z[z2 +
(D2
)2]√D2
2 + z2
=µ0ID
2
2πz31
(1 + D2
4z2)√
1 + D2
2z2
a orden 0 podemos considerar Dz = 0 y obtenemos:
~BT (0, 0, z) 'µ0ID
2
2πz3z =
µ0IA
2πz3z
donde A es el area de la espira. Y podemos ver que a orden 0 coincide laexpresion para la espira cuadrada y para la espira circular.
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 18 / 21
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Fuerza de Lorentz
La fuerza sobre una partıcula cargada con carga q en presencia de campoelectrico ~E y campo magnetico magnetico ~B se puede escribir:
~F = q( ~E + ~v × ~B) (4)
En particular, si tenemos un cable por el cual circulo corriente I enpresencia de campo magnetico externo la expresion anterior se reduce a:
~F =
∫I ~dl × ~Bext (5)
A su vez, la fuerza sobre una distribucion de corriente en superficie ~g, enpresencia de un campo magnetico externo se puede escribir :
~F =
∫~gdS × ~Bext (6)
mientras que si tenemos una distibucion de corriente en volumen ~j :
~F =
∫~jdV × ~Bext (7)
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 19 / 21
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Problema 5
Calcular la fuerza por unidad de longitud entre una cinta infinita de anchob por la que circula una densidad superficial de corriente ~g uniforme, y uncable infinito coplanar y paralelo por el que circula una corriente I de igualsentido que ~g.
~F =
∫~gdS × ~Bhilo
Vamosa tomar el resultado del campo del hilo:
~B =µ0I
2πrφ =
µ0I
2π(x2 + y2)(−y, x)
y evaluamos el campo del hilo en el planoy-z porque tenemos que calcular el campo
del hilo en la posicion de la cinta, es decir x = 0
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 20 / 21
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Problema 5
Obtenemos la expresion de campo del hilo en x = 0:
~B = −µ0I2πy
x
Se pidela fuerza por unidad de longitud,por lo tanto, en vez de integraren la superficie dS = dydz,vamos a integrar solamente en dy
~F =
∫ d+b
dgzdy × (−µ0I
2πy)x
= −µ0Ig2π
∫ d+b
d
1
yy
= −µ0Ig2π
ln(d+ b
b)y
Fısica 3 (Practicas) Clase 14 11 de junio de 2020 21 / 21