clasa a iv-aclasa a vii-a problema nr. 1 dacă √ √ √ √ iar √ √ √ √ stabiliţi dacă...
TRANSCRIPT
![Page 1: CLASA a IV-aCLASA a VII-a PROBLEMA nr. 1 Dacă √ √ √ √ iar √ √ √ √ stabiliţi dacă este adevărată apartenenţa „ √ ”. *** PROBLEMA nr. 2 Determinaţi numerele](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040320/5e485f5a6af07306bd1108fe/html5/thumbnails/1.jpg)
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL,, TURDA
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA-FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ
„MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XIII-a, 10– 11 MAI 2013
NOTĂ: Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. Timpul de lucru efectiv este de 2 ore .
CLASA a IV-a
PROBLEMA nr. 1 Să se efectueze: { [ ( ) ]} *** PROBLEMA nr. 2 Suma a trei numere naturale, aflate in ordine crescătoare, este 200. Primele două numere sunt numere impare consecutive, iar al treilea număr este cu 7 mai mare decât triplul numărului al doilea. Aflaţi numerele. Eugenia MIRON PROBLEMA nr. 3 Determinaţi numerele naturale ştiind că: , , Vasile ȘERDEAN, Liana JURCĂ PROBLEMA nr. 4 Într-o pungă sunt 36 de bomboane. Alin îşi serveşte prietenii astfel: primul ia o bomboană, al doilea două bomboane, şi aşa mai departe. Apoi serveşte invers: ultimul ia o bomboană, penultimul ia două bomboane, şi aşa mai departe. Lui Alin îi rămân şase bomboane. Câţi prieteni are Alin? ***
![Page 2: CLASA a IV-aCLASA a VII-a PROBLEMA nr. 1 Dacă √ √ √ √ iar √ √ √ √ stabiliţi dacă este adevărată apartenenţa „ √ ”. *** PROBLEMA nr. 2 Determinaţi numerele](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040320/5e485f5a6af07306bd1108fe/html5/thumbnails/2.jpg)
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL,, TURDA
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA-FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ
„MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XIII-a, 10– 11 MAI 2013
NOTĂ: Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. Timpul de lucru efectiv este de 2 ore .
CLASA a V-a
PROBLEMA nr. 1 Găsiţi toate numerele naturale de două cifre cu proprietatea că diferenţa dintre număr şi răsturnatul său să fie pătrat perfect.
Monica FODOR, Monica DAN PROBLEMA nr. 2
Să se arate că nu există un număr natural nenul n astfel încât :
Gheorghe LOBONȚ, Annamaria POP PROBLEMA nr. 3
Fie mulţimea { }, unde sunt numere natural. Cu elementele mulţimii A
alcătuim toate sumele posibile de câte două numere distincte. Este posibil ca sumele obţinute să fie numere naturale consecutive?
Mariana URSU, Ancuța NECHITA PROBLEMA nr. 4
Considerăm numerele naturale nenule astfel încât . Determinaţi
restul împărţirii sumei la 11 şi restul împărţirii sumei la 7.
Vasile ȘERDEAN, Simona POP
![Page 3: CLASA a IV-aCLASA a VII-a PROBLEMA nr. 1 Dacă √ √ √ √ iar √ √ √ √ stabiliţi dacă este adevărată apartenenţa „ √ ”. *** PROBLEMA nr. 2 Determinaţi numerele](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040320/5e485f5a6af07306bd1108fe/html5/thumbnails/3.jpg)
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL,, TURDA
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA-FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ
„MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XIII-a, 10– 11 MAI 2013
NOTĂ: Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. Timpul de lucru efectiv este de 2 ore .
CLASA a VI-a
PROBLEMA nr. 1 Să se determine numerele naturale şi care verifică relaţia: , unde [ ] este cel mai mic multiplu comun iar ( ) este cel mai mare divizor comun al numerelor şi . Gheorghe LOBONȚ PROBLEMA nr. 2 Rezolvaţi pe mulţimea numerelor naturale ecuaţia:
Monica FODOR, Ioan GROZA
PROBLEMA nr. 3 Ştiind că n este număr natural nenul
a) Arătaţi că numărul
este natural;
b) Să se determine n ştiind că
Vasile ȘERDEAN, Camelia MAGDAȘ
PROBLEMA nr. 4 Fie triunghiul şi [ bisectoarea unghiului [ ]. Prin punctul construim o paralelă la care intersectează pe în punctul . Pe prelungirea laturii [ ] se ia punctul astfel încât [ ] [ ] şi punctul să fie situat între şi .
a) Să se arate că este isoscel; b) Să se arate că ;
c) Să se calculeze valoarea raportului
.
Ioan GROZA
![Page 4: CLASA a IV-aCLASA a VII-a PROBLEMA nr. 1 Dacă √ √ √ √ iar √ √ √ √ stabiliţi dacă este adevărată apartenenţa „ √ ”. *** PROBLEMA nr. 2 Determinaţi numerele](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040320/5e485f5a6af07306bd1108fe/html5/thumbnails/4.jpg)
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL,, TURDA
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA-FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ
„MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XIII-a, 10– 11 MAI 2013
NOTĂ: Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
CLASA a VII-a
PROBLEMA nr. 1
Dacă √ √ √ √ iar √ √ √ √
stabiliţi dacă este adevărată apartenenţa „
√ ”.
*** PROBLEMA nr. 2 Determinaţi numerele naturale prime pentru care avem
Vasile ȘERDEAN, Monica FODOR PROBLEMA nr. 3 În dreptunghiul , bisectoarea unghiului intersectează diagonala în şi latura în . Dacă paralela prin la intersectează diagonala în , demonstraţi că . Mariana URSU PROBLEMA nr. 4 Fie triunghiul dreptunghic în şi înălţime, astfel încât ( ). Dacă şi sunt mijloacele laturilor [ ], respectiv [ ], iar şi sunt simetricele punctului faţă de punctele , respectiv , demonstraţi că :
a) ; b) Punctele şi sunt coliniare ;
c)
.
Ioan GROZA
![Page 5: CLASA a IV-aCLASA a VII-a PROBLEMA nr. 1 Dacă √ √ √ √ iar √ √ √ √ stabiliţi dacă este adevărată apartenenţa „ √ ”. *** PROBLEMA nr. 2 Determinaţi numerele](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040320/5e485f5a6af07306bd1108fe/html5/thumbnails/5.jpg)
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL,, TURDA
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA-FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ
„MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XIII-a, 10– 11 MAI 2013
NOTĂ: Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
CLASA a VIII-a
PROBLEMA nr. 1
Să se arate că nu există astfel încât: √
Gheorghe LOBONȚ PROBLEMA nr. 2 Să se rezolve sistemul :
{
√
√
√
√
Vasile ȘERDEAN, Cristian POP PROBLEMA nr. 3 Să se arate că în paralelipipedul dreptunghic în care aria totală este egală cu dublul volumului, are loc inegalitatea:
√ √ √ , unde reprezintă volumul paralelipipedului, iar sunt cele trei dimensiuni ale paralelipipedului. Vasile ȘERDEAN , Monica FODOR PROBLEMA nr. 4
Fie cubul cu muchia de lungime ( ) iar mijloc al
segmentului [ ].
a) Determinaţi măsura unghiului format de planul ( ) şi planul
( );
b) Demonstraţi că ( ) unde { };
c) Calculaţi distanţa de la punctul la planul ( ).
Ioan GROZA, Mirela RAȚIU
![Page 6: CLASA a IV-aCLASA a VII-a PROBLEMA nr. 1 Dacă √ √ √ √ iar √ √ √ √ stabiliţi dacă este adevărată apartenenţa „ √ ”. *** PROBLEMA nr. 2 Determinaţi numerele](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040320/5e485f5a6af07306bd1108fe/html5/thumbnails/6.jpg)
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL,, TURDA
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA-FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ
„MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XIII-a, 10– 11 MAI 2013
NOTĂ: Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
CLASA a IX-a
PROBLEMA nr. 1 Dacă şi , determinaţi maximul expresiei:
( )
Dorin ANDRICA PROBLEMA nr. 2 Pe cercul se consideră punctele în această ordine. Notăm razele cercurilor înscrise în triunghiurile şi cu razele cercurilor tangente perechilor de laturi şi , şi , şi , respectiv şi şi tangente interior cercului . Să se demonstreze:
Daniel VĂCĂREȚU PROBLEMA nr. 3 Se consideră numerele întregi nenule şi astfel încât | | şi | | . Să se arate:
| √ √ |
.
Gheorghe LOBONȚ PROBLEMA nr. 4 Fie şi două coarde perpendiculare ale unui cerc de centru O. Dacă este punctul de intersecţie dintre şi , atunci are loc inegalitatea: . Dorin ANDRICA
![Page 7: CLASA a IV-aCLASA a VII-a PROBLEMA nr. 1 Dacă √ √ √ √ iar √ √ √ √ stabiliţi dacă este adevărată apartenenţa „ √ ”. *** PROBLEMA nr. 2 Determinaţi numerele](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040320/5e485f5a6af07306bd1108fe/html5/thumbnails/7.jpg)
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL,, TURDA
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA-FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ
„MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XIII-a, 10– 11 MAI 2013
NOTĂ: Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
CLASA a X-a
PROBLEMA nr. 1 Să se calculeze :
∑ [ ] ,
unde prin [ ] s-a notat partea întreagă a numărului real . Gheorghe LOBONȚ PROBLEMA nr. 2 Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale nenule ecuaţia
(
) (
) .
Traian TĂMÂIAN PROBLEMA nr. 3 Fie un poligon regulat înscris într-un cerc de centru O şi rază . Să se arate că pentru orice punct din planul poligonului are loc inegalitatea:
( )
. Dorin ANDRICA PROBLEMA nr. 4
Pentru un număr natural , notăm cu numărul funcţiilor liniare
( ) unde { } care au rădăcini întregi. Să se
determine .
Dorin ANDRICA
![Page 8: CLASA a IV-aCLASA a VII-a PROBLEMA nr. 1 Dacă √ √ √ √ iar √ √ √ √ stabiliţi dacă este adevărată apartenenţa „ √ ”. *** PROBLEMA nr. 2 Determinaţi numerele](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040320/5e485f5a6af07306bd1108fe/html5/thumbnails/8.jpg)
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL,, TURDA
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA-FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ
„MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XIII-a, 10– 11 MAI 2013
NOTĂ: Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
CLASA a XI-a
PROBLEMA nr. 1 Fie funcţiile definite prin:
( ) {
( )
a) Să se determine mulţimea de derivabiliatate a funcţiei .
b) Să se calculeze ( )
( ).
Dorel I.DUCA PROBLEMA nr. 2 Să se determine funcţiile [ ) ştiind că este derivabilă şi ( ) . Mihai PITICARI PROBLEMA nr. 3 Fie ( ), , astfel încât: . Dacă demonstraţi că matricea este inversabilă. Traian TĂMÂIAN PROBLEMA nr. 4 Pentru un număr natural notăm cu numărul funcţiilor ,
( ) , unde { }, care au rădăcini întregi. Să se
calculeze:
.
Dorin ANDRICA, Mihai PITICARI
![Page 9: CLASA a IV-aCLASA a VII-a PROBLEMA nr. 1 Dacă √ √ √ √ iar √ √ √ √ stabiliţi dacă este adevărată apartenenţa „ √ ”. *** PROBLEMA nr. 2 Determinaţi numerele](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040320/5e485f5a6af07306bd1108fe/html5/thumbnails/9.jpg)
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ
COLEGIUL NAŢIONAL ,,MIHAI VITEAZUL,, TURDA
SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA-FILIALA CLUJ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ
„MARIAN ŢARINĂ”
Ediţia a XIII-a, 10– 11 MAI 2013
NOTĂ: Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
CLASA a XII-a PROBLEMA nr. 1
Să se calculeze ∫
*** PROBLEMA nr. 2 Fie un interval din şi o funcţie continua pe .
a) Arătaţi că dacă este convexă pe , atunci există două funcţii continue şi [ ] astfel încât să avem ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) (*) oricare ar fi şi [ ].
b) Arătaţi că dacă funcţiile continue şi [ ] satisfac relaţia (*), atunci pentru orice cu ( ) ( ) avem
( ) ( )∫ ( ) ( ( ) ( ))∫ ( )
( )
( )
Dorel I.DUCA PROBLEMA nr. 3 Fie ( ) un grup finit comutativ. Spunem că un element din are proprietatea ( ) dacă există un subgrup al lui astfel încât produsul elementelor din este egal cu . Să se arate că mulţimea elementelor lui cu proprietatea ( ) este subgrup al lui . Antonia CIOCAN PROBLEMA nr. 4 Fie [ ] un polinom cu rădăcini reale distincte. Demonstraţi că pentru orice număr real polinomul ( ) ( ) ( ) are cel puţin rădăcini reale distincte. Dorin ANDRICA