circuito rc modelado
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Universidad Nacional del Comahue
Facultad de Ingenierıa -Departamento de Electrotecnia - Senales y Sistemas - ano 2006
Laboratorio de Modelado de Sistemas
I. OBJETIVOS
El objetivo del laboratorio es comparar la respuesta temporal teorica del modelo deun sistema RC sencillo con la respuesta real del circuito propuesto.
II. C IRCUITO ELECTRICO
Se propone el siguiente circuito para el analisis
La llave S1 se cierra ent = 0 y la llave S2 se cierra ent = t0.
III. M ODELO MATEMATICO
El modelo parat < t0 puede hallarse planteando las siguientes ecuaciones:
vC1 =iC1
C=
ve − vC1
RC= − vC1
RC+
ve
RC
vC1 = − 1
RCvC1 +
1
RCve (1)
En t = t0 se cierraS2 y el modelo matematico se halla como sigue.
vC1 =iC1
C=
i1 − i2C
=ve − vC1
RC− vC1 − vC2
RC=
ve
RC− vC1
RC− vC1
RC+
vC2
RC
vC1 =ve
RC− 2
vC1
RC+
vC2
RC
por otro lado
vC2 =iC2
C=
vC1 − vC2
RC
vC2 =vC1
RC− vC2
RC
Tomando como estados las tensiones en los capacitores, el modelo puede escribirsematricialmente vC1
vC2
=
− 2RC
1RC
1RC
− 1RC
vC1
vC2
+
1RC
0
ve (2)
Senales y Sistemas - 2006
IV. RESOLUCION TEMPORAL DEL MODELO
IV-A. Solucion utilizando la matriz de transicion
IV-A.1. t < t0: el modelo esta descripto por la ecuacion 1 y para encontrar lasolucion se debe resolver la ecuacion diferencial 3.
x(t) = eA t x0 +∫ t
0eA(t−τ) B u(t) dτ (3)
donde el estadox(t) = vC1, la matriz A es el escalar− 1RC
y la matriz B = 1RC
.Entonces
vC1 = e−t/RC v0 +∫ t
0e−(t−τ)/RC 1
RCve dτ
tomando condiciones inicialesv0 = 0 (considera el capacitor inicialmente descargado)
vC1 =∫ t
0e−(t−τ)/RC 1
RCve dτ
vC1 = ve
(1− e−
1RC
t)
(4)
IV-A.2. t > t0: el modelo esta descripto por la ecuacion 2. Nuevamente se planteala resolucion de la siguiente ecuacion diferencial 3.
En este caso existen condiciones iniciales para el estadovC1 dado por el valor detension del mismo al cerrar la llaveS2. Para el capacitorC2 se considera carga inicialnula.
Para resolver, se realiza una transformacion lineal del sistema, donde la matrizde transformacion esta formada por lo autovectores de la matriz A, ubicados comocolumnas.
T =
−12
+ 12
√5 −1
2− 1
2
√5
1 1
y
T−1 =
15
√5 1
10
(√5 + 1
)√5
−15
√5 1
10
(√5− 1
)√5
Con esta matriz se puede transformar la matriz A de la siguiente manera
Λ = T−1AT =
12
√5−3RC
0
0 −12
3+√
5RC)
donde los elementos diagonales son los autovalores de la matriz A, es decir
Λ =
λ1 0
0 λ2
La ecuacion de estado se transforma como sigue
x∗(t) = T−1ATx∗(t) + T−1Bu(t)
x∗(t) = Λx∗(t) + T−1Bu(t)
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Senales y Sistemas - 2006
y es necesario resolver nuevamente la integral dada por la ecuacion 3, en la cualreemplazando las matrices del modelo transformado queda
x∗(t) = eΛ t x∗0 +∫ t
0eΛ(t−τ) T−1B u(t) dτ (5)
dondex∗0 = T−1x0.
Entonces v∗C1
v∗C2
=
eλ1 0
0 eλ2
x∗0 +∫ t
0
eλ1(t−τ) 0
0 eλ2(t−τ)
T−1B u(t) dτ (6)
Para resolver el sistema numericamente se consideraR = 10kΩ, C = 470µF , ve =
10V y t0 = 5s.
Reemplazando los valores en la ecuacion 4 y en 6 luego de operar se llega parat < 5
vC1(t) = 10(1− e−0,213t)
en t = 5s (instante en que se cierraS2)
vC1(5) = 6, 32V
parat > 5 y reemplazando los valores de las constantes la solucion del modelo queda
vC1(t)
vC2(t)
=
9, 62 + 1, 92e−0,55(t−5) − 5, 226e−0,0813(t−5)
9, 6− 1, 11e−0,55(t−5) − 8, 49e−0,0813(t−5)
Se presenta a continuacion la resolucion del modelo utilizando la transformada de
Laplace.
IV-B. Solucion con la transformada de Laplace
IV-B.1. t < t0: el sistema transformado queda
s vC1(s) − vC1(0) = − 1
RCvC1(s) +
1
RCve(s)
Entonces
(s +1
RC)vC1(s) =
1
RCve(s) ⇒ vC1(s) =
1RC
s + 1RC
ve(s)
De esta manera y asumiendo una entrada escalon parave
vC1(t) = L−1 1
RC
s(s + 1RC
)
= k
(1− e−t/RC
)dondek es la altura del escalon. Entonces, reemplazando los valores constantes
vC1(t) = 10(1− e−0,213t
)3
Senales y Sistemas - 2006
IV-B.2. t > t0: el modelo transformado queda
s vC(s) − vC(t0) = A vC(s) + B ve(s)
Luego, despues de manipulaciones algebraicas y asumiendot0 = 5 queda vC1
vC2
=k
s3 + 3 s2
RC+ s
(RC)2
1RC
(s + 1RC
)1
(RC)2
+1
s2 + 3 sRC
+ 1(RC)2
0,65k(s + 1RC
)0,685k(RC)2
Realizando la antitransformada se encuentra la solucion del modelo en el tiempo y
para que sea valido en el modelo global se desplaza el eje del tiempo ent0 = 5. Lasolucion se da para las constantes adoptadas en la seccion anterior. vC1(t)
vC2(t)
=
10− 5, 45e−0,081t + 1, 76e0,55(t−5)
10− 8, 79e−0,081t − 1, 21e−0,557(t−5)
En el siguiente grafico se representa la evolucion de los estados en funcion del tiempo.
V. EXPERIENCIA PRACTICA
Se presenta en la clase del 30 de Marzo del 2006 el desarrollo practico con el circuitoelectrico propuesto, observando con un osciloscopio la evolucion de los estados.
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