circuito

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIAFACULTAD DE INGENIERIADEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTASSECCION DE FISICAELECTRICIDAD Y MAGNETISMOLUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO

U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Corriente y resistencia


Circuitos de corriente continua


Unidad VI6.1 Introduccin 6.2 Objetivo general 6.3 Objetivos especficos 6.4 Fuerza electromotriz 6.5 Circuito elctrico 6.6 Circuito serie 6.7 Circuito paralelo 6.8 Circuito mixto 6.9 Conversin triangulo delta 6.10 Reglas de Kirchhoff 6.11 Circuitos RC 6.12 Auto-evaluacin 6.13 Solucionarlo


6.1 IntroduccinPodemos comprender el flujo de la corriente en los circuitos aplicando tan solo dos principios fsicos sencillos, el de la conservacin de la carga y el de la conservacin de la energa. En este capitulo aprenderemos a aplicar estos principios en forma sistemtica al anlisis de circuitos.El flujo de energa. hacia y desde los elementos del circuito nos conducen al concepto de corrientes y voltajes variables a travs del tiempo, circuitos RC. Hemos estudiado como se mueven las cargas bajo la influencia de una diferencia de potencial, y como los resistores y los capacitores pueden influir sobre el flujo de la corriente y el movimiento de la carga. Cuando se conectan entre si resistores, capacitores y acumuladores u otras fuentes de energa elctrica, mediante cables conductores, forman circuitos elctricos.


6.2 Objetivo generalAnalizar circuitos elctricos sencillos usando la ley de ohm y las leyes de Kirchhoff, para luego establecer la variacin de la carga, la diferencia de potencial y la corriente en otro tipo de circuitos como el circuito RC.


6.3 Objetivos especficosIntroducir al estudiante en el clculo de la resistencia equivalente en circuitos serie, paralelo, en enunciar las leyes de Kirchhoff y del uso de las mismas para analizar diferentes circuitos de corriente continua.Proporcionar al estudiante el soporte terico y prctico que lo familiarice con el proceso de convertir la energa de una fuente elctrica (fem) a un dispositivo donde se aproveche.


6.4 Fuerza electromotrizHay una gran variedad de fuentes de energa elctrica. Un acumulador o una batera convierte la energa qumica a una fem; una celda solar convierte la energa de la luz solar en una fem; un termo polar produce una fem como resultado de una diferencia de temperaturas; una gran planta elctrica comercial puede quemar carbn, gas o combustible nuclear para impulsar un generador que produce una fem o puede emplear la energa cintica del agua corriente con el mismo objeto. Llamaremos batera para representar cualquier fuente de fem (e). Las fuentes de energa elctrica que hacen que las cargas se muevan en los circuitos, se han llamado fuentes de fuerza electromotriz fem (e). En realidad son fuentes de energa, no de fuerza. Una batera es un dispositivo que gasta energa para bombear o impulsar cargas, exactamente igual como una bomba de agua gasta energa para bombear agua hacia un tanque elevado con mayor energa potencial gravitacional.


Supongamos que se necesita un trabajo dW para mover una carga dq de la terminal negativa hacia la terminal positiva. La fem de la batera se define como el elemento de trabajo dW en la unidad de carga dq; e = dW / dq, por tanto la unidad de la fem es, julio / coulomb = Voltio. La palabra voltaje se utiliza para dar la diferencia de potencial en los terminales de una batera es equivalente al voltaje del circuito abierto.


6.5 Circuito elctrico De unos alambres idealizados sin resistencia y una resistencia de carga R Cuando todas las corrientes elctricas, campos, potenciales, etctera, de un circuito son constantes a travs del tiempo, hablamos del comportamiento de corriente directa cdUn circuito elctrico consta de una batera o fem (e) de cd que tiene una resistencia interna r un borne positivo (+) y un borne negativo (-). Cuando por una batera pasa una corriente (I), esta depende del valor de la fem (e), y de la resistencias R y r


Debido a que se define a la corriente como teniendo direccin opuesta a la de los electrones, ayuda a imaginar que hay cargas positivas que se mueven hacia la terminal negativa (-), o a la terminal que tenga menor potencial. La batera tiene una diferencia de potencial V entre sus terminales.Hay paso de corriente, cuando los portadores de carga negativa (electrones) salen de la terminal negativa (-) y son atrados a la terminal positiva (+). En el interior de una batera, un proceso qumico regresa las cargas negativas a la terminal positiva.


Al pasar la batera del terminal negativo al terminal positivo, el potencial aumenta un valor e. Cuando cruzamos la resistencia ohmica r y R, el potencial disminuye una cantidad Ir e IR. La cada de potencial implica una disminucin de la energa de las cargas. Esta energa se convierte en energa trmica en el resistor. El cambio neto del potencial, al pasar por todo el circuito, es ceroSupongamos que la diferencia de potencial en las terminales de la batera es e por tanto pasara un flujo de corriente por el circuito. Para calcular esa corriente podemos hacer uso del hecho que el potencial elctrico esta relacionado con una fuerza conservativa. Por tanto, el trabajo neto W efectuado por esa fuerza, al mandar carga por un circuito cerrado es cero. Si hacemos un viaje redondo que comience en el punto a y sigamos la corriente alrededor del circuito. e Ir IR = 0, I = e / (r + R) como, V = IR \ e Ir V = 0, V = e Ir si la resistencia interna r es cero, entonces, I = e / R, y, e = V


no hay cambio de potencial en un alambre ideal conductor.Un circuito de una espira consiste en un trayecto cerrado de la corriente, y lo representaremos de manera lineal. Definimos el potencial cero arbitrariamente, en el punto a, no hay cambio de potencial en un alambre ideal conductor Al pasar la corriente por la resistencia interna r se pierde un potencial elctrico de -IrLa fem de la batera se defini como el elemento de energa dW en la unidad de carga dq, igual a e, entonces, al atravesar la corriente la fem del terminal negativo al terminal positivo se gana un potencial elctrico de e. VAl recorrer la corriente la resistencia de carga R se pierde un potencial elctrico de -IRComo no hay cambio de potencial en un alambre ideal conductor al llegar la corriente al punto a el potencial es cero nuevamente.e- Ir - IR = 0


Ejemplo 6.1Tenemos un circuito elctrico que consta de un interruptor, una batera de 30 voltios con resistencia interna r, una resistencia R de 1000 W, cables de conexin, un ampermetro A colocado en serie con la resistencia R y un voltmetro V.El voltaje en la resistencia R es: V = IR = 20-3 A*1000 W V = 20 voltios El voltaje en la resistencia r es: Vr = Ir = 20-3 A *500 W Vr =10 voltios SV = 0 \ e Vr V = 30 V 20 V 10 V = 0Cuando cerramos el interruptor el ampermetro que mide la intensidad de la corriente elctrica marca 20 mA (20 mili-amperios = 20-3A). Calcule la resistencia interna r y la diferencia de potencial en la resistencia R y r?e Ir IR = 0, entonces, r = (e IR)/I r = 500 W


Ejemplo 6.2Se tiene el circuito de la figura si e1 = 10 V, e2 = 20 V, r = 100 W, R = 500 W cul es la corriente que atraviesa el circuito?. e2 - e1 I(r + R) = 0, entonces, I = e2 - e1 / (r + R) I = 16.67mA = 16.67-3 A . En el sentido antihorario.


6.6 Circuito serieSe observa experimentalmente que a medida que aumenta la resistencia la diferencia de potencial aumenta de una manera proporcional y la suma de los voltajes individuales es igual al voltaje de entrada (e ). e = V1 + V2 + V3 + V4 La corriente que circula por cada resistencia es la misma independiente de su valor. Colocamos un voltmetro en paralelo con la resistencia para medir la diferencia de potencial (V).Se tiene un sistema de cuatro resistencias colocadas en serie con una batera (e). Se coloca un ampermetro para medir la intensidad de la corriente que circula por el circuito.


En un circuito cerrado la suma de los potenciales es cero. SV = 0 \ Se V1 V2 ...... Vi .... Vn = 0 Se = V1 + V2 + ........ + Vi + ....... + Vn Como V = I * R, Entonces,IRe = IR1 + IR2 + IR3 +....+ IRi + ..... + IRnIRe = I(R1 + R2 + R3 +....+ Ri + ..... + Rn) Re = (R1 + R2 + R3 +....+ Ri + ..... + Rn)Re = SRiConclusionesEn un circuito en serie la corriente es idntica en cada resistencia, es decir, la corriente I es constante.


Ejemplo 6.3En la figura e = 20 V, R1= 100 W , R2 = 150 W , R3 = 200 W , R4 = 250 W.cul la intensidad de corriente y la diferencia de potencial en cada resistencia?Re = SRi = 700 W; I = e / Re = 28.57 mA = 28.57-3 A SV = 0 \ e V1 V2 V3 Vn = 0, entonces, 20 V 2.86 V 4.29 V 5.71-7.14 V = 0


6.7 Circuito paraleloEl extremo izquierdo de cada resistencia esta al mismo potencial elctrico y el extremo derecho es tambin una superficie equipotencial, por tanto cada resistencia tiene idntica diferencia de potencial. V1 = V2 = V3 = eColocamos un ampermetro (A) en serie, en cada seccin del circuito y as medimos la respectiva intensidad (I) de corriente elctrica.Cuando se cierra el interruptor comienza a fluir corriente elctrica (I) a travs del circuito. Se tiene un sistema de tres resistencias en paralelo y una fem e (batera), un interruptor y cables de conexin.


It = I1 + I2 + I3 Como: e = V1 = V2 = V3, e I = V / Re/Re = V1/R1 + V2/R2 + V3/R3 1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 It = I1 + I4I4 = I2 + I3


Para un circuito de resistencias en paralelo el reciproco de la resistencia equivalente es igual a la suma de los recprocos de cada uno de ellas 1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 +.....+1/Ri +...... + 1/Rn1/Re = S 1/RiConclusionesPara un sistema de resistencias en paralelo el voltaje en cada resistencia es el mismo independientemente del valor de esta. V1 = V2 = ................. = VI = .............. = VnLa corriente total es igual a la suma de las corrientes individuales que circula por cada una de las resistencias. I = I1 + I2 + I3 + ...... + Ii + .... + In = SI


Ejemplo 6.4En la figura e = 10 V, R1= 200 W, R2 = 300 W, R3 = 600 W, cul es la resistencia equivalente? cul la intensidad de corriente en cada resistencia?La e y las resistencias estn en paralelo, por tanto, estos cuatro elementos se encuentran al mismo potencial.La resistencia equivalente es: 1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 1/Re = 1/ (0.01 W), entonces, Re = 100 WIt = e/R = 10V/100 W. It = 100 mA = 100-3 A. S I = 0. 100 m A 50 m A 33.33 mA 16.67 mA = 0I1 = V1/R1 = 50 mAI2 = V2/R2 = 33.33 mAI3 = V3/R3 = 16.67 mA


6.8 Circuito mixtoSe ira reduciendo el circuito hasta encontrar la resistencia equivalente, y con esta la corriente total. Luego nos devolvemos y vamos hallando las corrientes y los voltajes en cada resistencia.En el siguiente circuito si la e = 30 V y R = 100 W. Encuentre la resistencia equivalente, la corriente y la diferencia de potencial en cada resistencia?.


1/R10 = 1/(18R) + 1/(9R) + /(3R) 1/R10 = 1/(2R) R10 = 2R 1/R11 = 1/(4R) + 1/(4R) 1/R11 = 2/(4R) R11 = 2R 2R2R


RR13 = 6R6RR12 = R/2 + 2R + R/2R12 = 3R3RR13 = 2R + 4R


R1/R14 = 1/(3R) + 1/(6R) 1/R14 = 3/(6R) R14 = 2R 2R


R = 2R + R3R


300 WAhora, nos regresamos encontrando el voltaje y la corriente en cada resistencia.Si R = 100 W, entonces, Re = 300 WSi e = 30V, entonces, It = V/R = 0.1 Amperio30 V


100 W10 V300W20 V20 V600WEn un nudo la S I = 0 0.1A 0.033A 0.066A = 0I = 20 V/600 W = 0.0333 AI = 20 V/300 W = 0.066 A30 V


V = 0.0333A*200W = 6.66V V= 0.0333A* 4000W = 13.32V400 W200 WLa SV = 0. \ 3.33 V + 13.32 V + 3.33 V - 13.32 V - 6.66 V = 050 W200 W50 WV = 0.0666 A * 50 W = 3.33 V V = 0.0666 A * 200 W = 13.32 VLa SV = 0. \ 30V - 6.66 V - 13.32 V 10 V = 030V10 V100 W


0.1A0.0167A0.0333A0.0167A0.0444A0.066A0.066A0.0074A0.0148A30V


6.9 Conversin triangulo deltaSe puede realizar una conversin de triangulo a delta colocando resistencias adicionales.El valor de una resistencia adicional es igual al producto de las resistencias adyacentes dividido la suma de las resistencias que conforman el triangulo.Se tiene un sistema de resistencias en forma de triangulo, estas no se encuentran ni en serie ni en paralelo.Ra = R1 * R2 / (R1 + R2 + R3) Rb = R1 * R3 / (R1 + R2 + R3) Rc = R2 * R3 / (R1 + R2 + R3)


Ejemplo 6.5En el circuito de la figura, si R es 50W y la fem (e) es 18.5 voltios Encuentre la resistencia equivalente, el voltaje y la corriente en cada resistencia?R2R4R6R2R4Re


6R*4R / (6R+4R+2R) = 2R4R*2R / (6R+4R+2R) = 2R/36R*2R / (6R+4R+2R) = RR2R4R6R2R4ReHacemos la conversin triangulo delta.2R/32RR


R2R4Re2R/32RR


ReR8R/36R2R/3 + 2R = 8R/32R + 4R = 6R


ReR1/R = 1/(8R/3) + 1/(6R) 1/R = 3/(8R) + 1/(6R) 1/R = 13/(24R)24R/13


ReR + 24R/13 = 37R/13 37R/13


e1/R = 1/(37R/13) + 1/R 1/R = 13/(37R) + 1/R 1/R = 50/37R37R/50


It = 18.5V / 37W = 0.500A18.5VSi R es 50W, entonces la resistencia equivalente del circuito es: Re = 37*50W/ 50 = 37WSi la fem (e) es de 18.5 voltios 37W


SI = 0 \ It I1- I2 = 0 0.500A 0.370A 0.130A = 0 142.31W18.5V50 W18.5VI2 = V / R = 18.5V/ 142.31W = 0.130A18.5V0.500AI1 = V / R = 18.5V / 50W = 0.370A


50 W18.5V18.5V0.500ASV = 0 \ 6.5V +12.0V - 18.5V = 0 V = I * R = 0.130*50W = 6.50VV = I * R = 0.130A*92.31W = 12.0V50W92.31W 0.130A6.5V12.0V


SI = 0 \ I2 I3 I4 = 0 0.130A 0.090A 0.040A = 0I3 = V / R = 12V / 300WI4 = V / R = 12V / 133.33W6.5V133.33W300W0.500A 0.130A50W18.5V12.0V12.0V0.370A50W18.5V


V = I * R = 0.040A*200W = 8VSV = 0 \ 3V + 9V 8V 4V = 0 V = I * R = 0.090A*33.33W = 3VV = I * R = 0.090A*100W = 9VV = I * R = 0.040A*100W = 4VSV = 0 \ 6.5V + 4V + 8V 18.5V = 0 100W6.5V0.500A 0.130A50W18.5V0.370A50W18.5V33.33W100W200W0.090A0.040A3V9V4V8V


SV = 0 \ 3V V + 6.5V = 0 V = 9.5VSV = 0 \ 6.5V + 4V V = 0 V = 10.5VSV = 0 \ 3V + V 4V = 0 V = 1V6.5V0.500A50W18.5V0.370A18.5V100W200W0.040A3V9V4V8V1V9.5V10.5V0.090A


0.500A50W18.5V0.370A18.5V100W200W0.040A9V8V1V9.5V10.5V0.090A


0.500A50W18.5V0.370A18.5V100W200W0.040A9V8V1V10.5V9.5V100W300W200WI5 = V / R I5 = 10.5V / 300W I5 = 0.035AI6 = V / R I6 = 9.5W / 100V I6 = 0.095AI7 = V / R I7 = 1V / 200W I7 = 0.005A0.090A


0.500A50W18.5V0.370A18.5V100W200W0.040A9V8V0.090A1V10.5V9.5V100W300W200W


Gustav Kirchhoff1824 - 1887. Fsico Alemn realizo investigaciones importantes en los campos de la electricidad, de la galvanometria, de la elasticidad y de la dilatacin de los cuerpos. Invento el espectroscopio y descubri los elementos cesio y rubidio (1861).


6.10 Reglas de KirchhoffSI = 0: I1 + I2 + I3 I4 I5 = 0La suma de las corrientes que entran a una unin debe ser es igual a la suma de las corrientes que salen de la misma unin. Esta regla es un enunciado de la conservacin de la carga. Toda la corriente que entra a un punto dado en un circuito debe salir de ese punto debido a que la carga no debe acumularse en un punto.


II) La suma algebraica de los cambios de potencial a travs de todos los elementos alrededor de cualquier lazo de un circuito cerrado debe ser cero. Esta regla surge de la conservacin de la energa. Una carga que empieza a moverse por cualquier lazo cerrado en un circuito llegando al punto de donde empez debe ganar tanta energa como la que pierde si se define un potencial para cada punto en el circuito. Si se recorre un resistor en la direccin de la corriente, el cambio del potencial a travs del resistor es -IR Si se recorre un resistor en la direccin opuesta a la corriente, el cambio del potencial a travs del resistor es +IR


Si una fem se atraviesa del borne negativo (-) al borne positivo (+) en las terminales el cambio de potencial es +e. Ya que pasamos de un potencial menor (-) a un potencial mayor (+). Vb > Va. e = Vb - Va


Si una fem se atraviesa del borne positivo (+) al borne negativo (-) en las terminales el cambio de potencial es -e. Ya que pasamos de un potencial mayor (+) a un potencial menor (-). Vb > Va. -e = Va - Vb


SV = 0 : +e2 e1 Ir IR = 0 ,o, SV = 0 : e2 + IR + Ir + e1 = 0


Ejemplo 6.6Se tiene el circuito de la figura, si R = 10 W, la e1 = 5 V, e2 = 10 V, cual es la corriente y el voltaje en cada resistencia.Mtodo I: vamos a considerar dos lazos y un nudo.


Tomamos la corriente del lazo derecho en el sentido horario y la del lazo izquierdo en sentido antihorario.


Ecuacin para el lazo izquierdo la SV = 0Ecuacin para el lazo derecho la SV = 0Ecuacin para la corriente, en una unin la SI = 0(3) -I2(R+3R+5R) - 3RI3 + e2 + e1 = 0(2) -I1(2R+R+4R) + e1-3RI3 = 0I1I2I3(1) I3 = I1 + I2


(3) - 90I2 - 30I3 + 10 + 5 = 0(2) - I1(20+10+40) + 5 - 30I3 = 0(2) - 70I1 + 5 - 30I3 = 0(3) - I2(10+30+50) - 30I3 + 10 + 5 = 0I1I2I3(1) I3 = I1 + I2ResolviendoI1 = 0.0135AI2 = 0.1216AI3 = 0.1351A


Ejemplo 6.7Se tiene el circuito de la figura, si R = 10 W, la e1 = 5 V, e1 = 10 V, cual es la corriente y el voltaje en cada resistencia.Mtodo II: vamos a considerar dos mallas.


Ecuacin para la malla derecha en sentido horario la SV = 0Ecuacin para la malla izquierda en sentido antihorario la SV = 0Se incluye el termino 3RIb, por que la corriente Ib recorre la resistencia 3R en el mismo sentido de Ia(1) Ia(2R+R+4R+3R) + e1 3RIb = 0(1) 2RIa RIa 4RIa 3RIa + e1 Ib3R = 0(2) Ib(R+3R+5R+3R) + e2 + e1 Ia3R= 0Se incluye el termino 3RIa, por que la corriente Ia recorre la resistencia 3R en el mismo sentido de Ib(2) RIb 3RIb 5RIb 3RIb + e2 + e1 3R = 0


(2) 120Ib + 10V + 5V 30Ia= 0(2) Ib(10+30+50+30) + 10V + 5V 30Ia= 0(1) Ia(20+10+40+30) + 5V Ib30 = 0(1) 100Ia + 5V 30Ib = 0ResolviendoIa = 0.0135AIb = 0.1216AIc = Ia + Ib Ic = 0.1351A


Ejemplo 6.8El circuito de la figura se ha conectado durante largo tiempo, si R es 5 W, la e1 = 5 V, e2 = 10 V, Ix = 0.5 A y el capacitor C es de 2 mF cul es la diferencia de potencial en el capacitor y como es su polaridad?


Ecuacin en el nudo : S I = 0Como el circuito se ha conectado durante largo tiempo la rama del capacitor esta en circuito abierto, por tanto, por la resistencia R no circula corriente. Tomaremos arbitrariamente el sentido de la corriente como aparece a continuacin.I1 = I2 + Ix = I2 + 0.5


Ecuacin para el lazo izquierdo en sentido antihorario.I1 = I2 + 0.5Ecuacin para el lazo derecho en sentido antihorario.


20I2 10I2 + 0.5Rx 5V = 0La ecuacin para el lazo derecho en sentido horario es:0.5Rx 5 30I2 = 05V 0.5Rx + 10V 10I1 30I1 = 0 La ecuacin para el lazo izquierdo en sentido antihorario es:Resolviendo I1 = 0.357 A ; I2 = 0.143 A ; Rx = 1.44 W15 0.5Rx 40I1 = 0I1 = I2 + 0.5


La corriente I1 es de signo positivo circula en el sentido que asumimos antihorario, la corriente I2 (lazo derecho) tiene signo negativo significa que va en sentido contrario al que colocamos sentido horario.


En un lazo S V= 0, \ 10.71V + 2.86V + Vc = 0, entonces, Vc = 7.85V ; Q = V*C = 7.85V * 2mF = 15.7mCV = 0.143A*10W = 1.43VV = 0.143A* 20W = 2.86VV = 0A * 5W = 0VV = 0.357A* 30W = 10.71VEn un lazo S V= 0, \ 10V + 5V 3.57V 10.71V = 0En un lazo SV= 0, \ 1.43V 2.86V + 5V 0.72V = 00.143A0.357A V = A* 1.44W = 0.72V1.44W 5V 5V10W10V10W30W20W5W2mFV = 0.357A*10W = 3.57V3.57V10.71V1.43V2.86V0.72V0V


6.11 Circuitos RCEl circuito de la figura se compone de una resistencia R, un capacitor C, una fem e, un interruptor y cables de conexin. Para t < 0, el Vc = VR = 0, colocamos un voltmetro en el capacitor, otro en la resistencia y cerramos el interruptor.


Se cierra el interruptor y el capacitor empieza a cargarse. Para t = 0, la corriente inicial, Io = e / R, la diferencia de potencial en la resistencia es igual al voltaje de la fem VR = e y el voltaje en el capacitor es cero VC = 0


La corriente inicial en el momento que se cierra el interruptor es Io = e / R. Al transcurrir el tiempo y a medida que el capacitor se carga la corriente en el circuito va diminuyendo hasta hacerse cero y viene dada por: I = Io e(-t/(Rc)) A medida que el capacitor se carga el voltaje en el capacitor va aumentando hasta llegar a un valor mximo de Vc = e, y el voltaje en la resistencia va disminuyendo hasta llegar a cero. El voltaje en el capacitor es: VC = e (1 - e(-t/(Rc))) mientras que el voltaje en la resistencia es VR: VR = e e(-t/(Rc)) Para cualquier tiempo la carga en el capacitor esta dada por: Q = Ce(1- e(-t/(Rc))) Al cerrar el interruptor el capacitor inicialmente descargado empieza almacenar carga hasta llegar a una carga mxima de: Q = e * C.


Cargado el capacitor en un tiempo t, la corriente es I = 0, la diferencia de potencial en el capacitor es igual al voltaje de la fem VC = e, el voltaje en la resistencia es, VR = 0 y la carga total es Q = e * C Desconectamos la fuente y descargamos el capacitor a travs de la resistencia.


Para un tiempo t = 0, el voltaje en la resistencia es cero VR = 0 y el voltaje en el capacitor es igual a la fem Vc = e.


A medida que el capacitor se esta descargando el voltaje viene dado por VC = ee(-t/(Rc)), mientras que el voltaje en la resistencia VR es: VR = e (1 - e(-t/(Rc))). La carga en el capacitor: Q = C e e(-t/(Rc)). Y la corriente es: I = - Io e(-t/(Rc))


Ejemplo 6.9En el circuito de la figura se tiene una resistencia R, un capacitor C de 10 mF , una batera e de 15 V, un interruptor y cables de conexin. Al cerrar el interruptor y transcurridos 5 segundos se observa que la diferencia de potencial en el capacitor es 5 V. a)cul es el valor de la resistencia? b)qu carga tiene el capacitor? c) cul es la corriente ? d)cul es el voltaje en la resistencia?.


a) El voltaje en el C es Vc = e (1 e(-t/(Rc))) Vc/e = 1 e(-t/(Rc)) e(-t/(Rc)) = 1 Vc/e -t/(RC) = Ln(1 Vc/e) R = -(t/C) / Ln(1 Vc/e) R = 61657.9 W. b)Q = Ce (1 e(-t/(Rc))) Q = 1000 mC c)I = (e/R)* e(-t/(Rc)) I(5 s) = 0.162 mA d) Como el voltaje en la R es VR = e * e(-t/(Rc)) VR = 10 V


6.12 Auto-evaluacin


Ejercicio 6.1a) Cual es la corriente en una resistencia de 10 W conectado a una batera que tiene una resistencia interna de 1 W si el voltaje de la batera (Va Vb = V) es de 15 V?. b) cual es la fem de la batera? R) a) I = 1.5 A b) Vab = 16.5 V


Ejercicio 6.2Una batera tiene una fem de 10 V. El voltaje terminal de la batera es de 12 V cuando esta entrega 20 watios de potencia a una resistencia externa R.cul es el valor de la resistencia interna r y de la resistencia externa R?R) r = 1.0 W y R = 5 W


Ejercicio 6.3En la figura encuentre a) La resistencia equivalente entre a y b. b) Si por la resistencia de 4 W circula 0.5 A. cual es la diferencia de potencial entre a y b?.R) Re = 3.5 W Vab = 14 V


Ejercicio 6.4Cuando dos resistores se conectan en serie con una batera, se disipan 225 W con una corriente total de 5 A. Para la misma corriente total, se disipan 50 W cuando los resistores se conectan en paralelo. Determine los valores de los resistores.R) R1 = 6 W y R2 = 3 W


Ejercicio 6.5La corriente en un circuito se triplica conectando un resistor de 500 W en paralelo con la resistencia del circuito. Determine la resistencia del circuito en ausencia del resistor de 500 W? R) R = 1000 W


Ejercicio 6.6Calcule la potencia disipada en cada resistor en el circuito de la figura.R) P(e) = 4W ; P(2W) = 2W; P(2W) = 0.5W; P(2W) = 0.5W ; P(1W) = 1W P(e) - P(2W) - P(2W) - P(2W) - P(1W) = 0


Ejercicio 6.7En la figura encuentre la corriente y la diferencia de potencial en cada resistencia.


Ejercicio 6.8En la figura encuentre la corriente y la diferencia de potencial en cada resistencia.


Ejercicio 6.9Para el circuito mostrado en la figura, calcule la corriente que circula en cada resistencia y la carga en el capacitor.


Ejercicio 6.10En la figura el circuito esta conectado durante un largo tiempo. Encuentre la resistencia Rx y la carga en el capacitor.


Ejercicio 6.11Un capacitor completamente cargado almacena 10 Julios de energa. Cuanta energa queda cuando su carga se ha reducido a la mitad de su valor original.R) U2 = U1/ 4 = 2.5 Julios


Ejercicio 6.12En el circuito de la figura, a) Calcule la constante de tiempo. b) Para 50 segundos despus que se cierra el interruptor cual es la carga , la corriente, el voltaje en el capacitor y en la resistencia. c) Cual es la carga cuando se carga completamente el capacitor. d) Cual es la carga, la corriente, el voltaje en el capacitor y en la resistencia 50 segundo despus que el capacitor se comienza a descargar a travs de la resistencia.a) t = RC = 100 s b) Q = 1180.41 mC I = 18.2 mA Vc = 11.8 V VR = 18.20 V C) Q = 3000 mC D) Q = 1819.6 mC I = 18.2 mA Vc = 18.20 V VR = 11.8 V


Ejercicio 6.13En el circuito de la figura, R1 = 10 W, R2 = 20 W, R3 = 30 W, e = 20 V, C = 5 mF. a) Para 100 ms despus que se lleva el interruptor a a cul el voltaje en el capacitor, la carga y la corriente? b) 100 ms despus que se lleva el interruptor a b. cul el voltaje en el capacitor, la carga y la corriente?R) a) Vc(100 ms) = 9.73 V I(100 ms) = 0.342 A Q (100ms) = 48.65 mC b) Vc (100 ms) = 10.26 V Q (100 ms) = 51.3 mC I(100 ms) = - 0.342 A


Ejercicio 6.14El circuito de la figura se ha conectado durante largo tiempo. cul es la diferencia de potencial en el capacitor y que carga tiene? R) Vc = V y Q = 0.5 1mC


6.13 Solucionario


S 6.1 a) Va Vb = Vab = I*R 15 V = I * 10 W \ I = 1.5 Ab) e I*r I*R = 0 e = I*r + I*R \ e = I*(r +R) e = 16.5 V e I*r = Vab e = I*r + V = 16.5 V Vab e Vab = e Ir = 16.5 V 1.5 V = 15 V


S 6.2 Vab = 10 V = VR P = I * Vab = Vab2 / R \ R = Vab2 / P R = 5 W I = Vab / R = 2.0 A ahora Vab = e - Vr I * r = e Vab \ r = (e Vab) / I r = 1.0 W e I * r I * R = 0 Prueba 12 V 2 A * (1 W + 5 W) = 0


S 6.3


La resistencia equivalente en la rama de arriba y abajo es 3 W, la diferencia de potencial en cada rama es 6 V, por tanto, la corriente total es: I = 2 A + 2 A = 4 ALa corriente que circula por la resistencia de 2 W es de 4 A, entonces, V = 4 A * 2 W = 8 V La diferencia de potencial Vab = 8 V + 6 V = 14 V. Por la resistencia de 4 W circula 0.5 A, entonces, la diferencia de potencial en estas tres resistencias es la misma por estar en paralelo, por tanto, V = I*R V = 0.5A*4 W V = 2 V.La Re en las tres resistencias de abajo es 1 W; por tanto, la corriente y el voltaje en la rama de abajo es: I = V/R I = 2 V/1 W = 2 A, y, V = 2 A*(2 W + 1 W ) = 6 V.


S 6.4 P = I * V = I * (I * R) = I2 * R Ps = I2 * (R1 + R2) 225 W = (5A)2 * (R1 + R2) \ 9 = R1 + R2 Pp = I2 (R1 * R2) / (R1 + R2) 50 W = (5A)2 * (R1 * R2) / (R1 + R2) \ 2 = (R1 * R2) / (R1 + R2), como, R1 = 9 - R2 2 = (9 - R2) * R2 / ((9 - R2) + R2) = (9 - R2) * R2 / 9 18 = 9R2 R22 R22 9R2 + 18 = 0 \R1 = 6 W, y, R2 = 3 W Ps = (5 A)2 * 9 W = 225 W Pp = (5 A)2 * 2 W = 50 W


S 6.5 Para el circuito sencillo la batera y la resistencia 1) e = I * R Para el circuito en paralelo de R y 500 W es 2) e = 3I * (R * 500 W / (R + 500 W)), dividiendo 1 en 2 1 = (R/3) * (R +500 W) / (R * 500 W), 1500 = 500 + R R = 1000 W prueba si I = 1A 1) e = 1 A * 1000 W = 1000 V 2) e = 3(1 A) * (1000 W * 500 W / (1000 W + 500 W)) e = 1000 V


S 6.6 P(e) = e * I = 4V * 1A = 4W P(2W) = I2 * R = (1A)2 * 2W = 2W P(2W) = I2 * R = (0.5A)2 * 2W = 0.5W P(2W) = I2 * R = (0.5A)2 * 2W = 0.5W P(1W) = I2 * R = (1A)2 * 1W = 1W P(e) - P(2W) - P(2W) - P(2W) - P(1W) = 0I = V / R = 4V/ 4W = 1A P(e) = e * I = 4V * 1A = 4W P(4W) = I2 * R = (1A)2 * 4W = 4W P(e) - P(4W) = 0P(e) = e * I = 4V * 1A = 4W P(2W) = I2 * R = (1A)2 * 2W = 2W P(1W) = I2 * R = (1A)2 * 1W = 1W P(1W) = I2 * R = (1A)2 * 1W = 1W P(e) - P(2W) - P(1W) - P(1W) = 0


S 6.7


S 6.8


S 6.9 1) I3 = I1 + I2 -1W* I3 + 6V - 2W* I2 = 0 2) - I3 + 6 - 2 I2 = 0 -1W* I3 + 3V - 4W* I1 = 0 3) - I3 + 3 - 4 I1 = 0 Resolviendo I1 = 0.214 A, I2 = 1.93 A, I3 = 2.14 A V(4W) = 0.214A * 4W = 0.856 V 3V- 0.856 V V(1W) = 0 V(1W) = 2.14V 6V - 2W* 1.93A V(1W) = 0 V(1W) = 2.14V 3V- 0.856 V Vc = 0 Vc = 2.14 V La carga en el capacitor es : Q = Vc*C = 8.6 mC


S 6.10 1) 2.14A = I1 + I2 - Rx*2.14A + 6V - 2W* I2 = 0 2) 2.14 Rx + 6 - 2 I2 = 0 - Rx*2.14A + 3V - 4W* I1 = 0 3) 2.14 Rx + 3 - 4 I1 = 0 Resolviendo I1= 0.213A, I2 = 1.93A, Rx = 1WV(4W) = 0.213A * 4W = 0.852 V 3V- 0.856 V V(1W) = 0 V(1W) = 2.14V 3V- 0.852 V Vc = 0 Vc = 2.148 V La carga en el capacitor es : Q = Vc*C = 8.59 mC


S 6.11 1) U1 = Q2 / C 2) U2 = (Q/2)2 / C Dividiendo 1 en 2 (U1/ U2) = 4 U2 = U1/ 4 = 2.5 Julios


S 6.12 a) t = RC = 1*106 W * 100 10-6 F t = 100 s b) Q = e C (1 - e(-t/t))= 1180.41 mC I = (e/R)e(-t/t) = 18.2 mA Vc = e (1 e(-t/t)) = 11.8 V VR = e e(-t/t) = 18.20 V C) Q = e C = 3000 mC D) Q = e C e(-t/t) = 1819.6 mC I = -(e/R)e(-t/t) = 18.2 mA Vc = e e(-t/t) = 18.20 V VR = e (1 e(-t/t)) = 11.8 V


S 6.13 R = R1 + R2 = 30 W. t = 100 ms t = RC = 150 ms e = 20 V Vc(100 ms) = e (1 e(-t/(RC))) Vc(100 ms) = 9.73 V I(100 ms) = Io e(-t/(RC)) I(100 ms) = 0.342 A Q (100ms) = eC (1 e(-t/(RC))) Q (100ms) = 48.65 mC a


El voltaje en el capacitor es: Vc(100 ms) = 9.73 V , R3 = 30 W e = 20 V Vc (100 ms) = e e(-t/(RC)) Vc (100 ms) = 10.26 V Q (100 ms) = e(-t/(RC)) Q (100 ms) = 51.3 mCI(100 ms) = Io e(-t/(RC)) = - 0.342 AbQt = C e = 100*106 C = 48.65 mC + 51.3 mC e = 9.73 V + 10.26 V


S 6.14 Como el circuito hace rato esta conectado en el capacitor se comporta como un circuito abierto, es decir por el capacitor no circula corriente y la carga en el capacitor es Q = Vc*C.I2 = I1 + I3 +5 -10 I3 = 0 I3 = A -5 I1 + 10 I3 = 0 I1= 1 AV(3W) = 1.5 V, V(1W) = 1V -1.5V + Vc + 1V = 0 Vc = V \ Q = V * 1mF = 0.5 1mC V(7W) = 3.5 V, V(4W) = 4V -3.5V + 4V - Vc = 0 Vc = V \ Q = V * 1mF = 0.5 1mC


circuito

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