cinematica_analitica

7/24/2019 cinematica_analitica

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Cinemtica Analtica

byLloren Coll y Wolfpeter Stockfleth

En navegacin, es esencial conocer en todo momento la situacin de nuestra nave, ya sea por observaciones a puntos de Tierra(por ejemplo en navegacin costera) o del firmamento (en navegacin astronmica) obteniendo una situacin de confianza osituacin observada, o tambin por estima, a partir del rumbo y distancia navegados, obteniendo una situacin estimada.

Es necesario pues, conocer la direccin que ha de seguir nuestra embarcacin para llegar a nuestro destino.

Por ello, los marinos han incorporado a sus buques, a lo largo de la historia, el instrumental adecuado y han aprendido unaserie de conocimientos (muchas veces aplicaciones prcticas que funcionan) para efectuar con xito sus travesas

Entre el instrumental clsico, tenemos la aguja nutica que nos indica la direccin y la corredera que nos indica la celeridad,muchas veces llamada velocidad por restriccin de lenguaje, ya que el concepto de velocidad incluye el de direccin.

Estas dos magnitudes, ngulo respecto al meridiano, que nos da la aguja; y celeridad que nos da la corredera, son las nicasque pueden medirse directamente a bordo.

Nos gustara resaltar que en general la gente de mar son prcticos, y que se conforman con soluciones que funcionan, porello han aparecido a lo largo de la historia una gran cantidad de tablas, mtodos grficos de situacin etc.

Este artculo, quiere ser una reflexin sobre las bases fsico - matemticas en qu se basa el estudio de los movimientos de losbuques en la mar sin hacer suposiciones sobre las causas que los producen.

Hemos querido en todo momento mantenernos dentro de un nivel matemtico elemental (evitando el uso de ecuaciones deGeometra Analtica, ... u operaciones como el producto escalar entre vectores al tratar con ngulos).

Empezamos centrndonos en los movimientos en el plano ya que representamos, para situarnos y para trazar nuestra derrota,porciones de la superficie terrestre en una carta plana.

En este estudio son esenciales los vectores; se introducen las dos formas de expresin de un vector en el plano, la formacartesiana y la polar, su mutua relacin y las operaciones de suma y resta de vectores.

Si en la resolucin de un problema intervienen distancias navegadas y ngulos, para evitar salirnos del nivel propuesto, hemosrecurrido a la teora euclidiana ms clsica de tringulos y sus propiedades.

La Cinemtica se puede aplicar pues a cualquier movimiento de uno, o simultneo de dos e incluso de ms buques.

La aplicacin de estos conceptos a los casos elementales de navegacin con corriente, (problemas tpicamente planteados enlas convocatorias de examen para la obtencin del ttulo de PY, entre otras) es inmediata.

En Cinemtica Radar (que se incluye en los temarios de examen de CY, entre otros) se evitan en lo posible los razonamientos

basados slo en grficos. La colaboracin de Wolfpeter Stockfleth (coautor de este trabajo por las discusiones que hemosmantenido durante su elaboracin) en la creacin de los grficos de Rosa de maniobra ha sido esencial para hacer unacomparacin que mostrase la equivalencia de los dos sistemas de resolucin de este tipo de ejercicios.

Lloren Coll Wolfpeter Stockfleth


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Cinemtica nutica

1.- Introduccin

1.1.- Definicin: Cinemtica es la cincia que estudia el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen.La Cinemtica nutica estudiar pues el movimiento de los buques en la mar.

NOTAS: 1. Las naves se desplazan por la superficie terrestre, que en primera aproximacin se considera esfrica2. El movimiento y situacin de las embarcaciones se representa en una carta plana.3. El movimiento de un eco en la pantalla del radar tambin se visualiza en un plano (el de la pantalla).4. Si el movimiento se reduce a regiones pequeas de la Tierra, podemos considerar que nos estamos moviendo

en un plano.Lo expuesto en estas notas, conlleva un grave problema perqu la esfera no es un slido desarrollable.Lo que implica que cualquier tipo de representacin de la Tierra en un plano comporta una deformacin de la realidad.

En cinemtica nutica solamente nos interesarn los movimientos en el plano

1.1.1.- Modelo cinemtico.Siendo el estudio del movimiento de un cuerpo un problema complejo, utilizaremos el sistema de modelos.Un modelo es una simplificacin de la realidad pero que conserva, els trazos ms significativos del fenmeno real quees sujeto de nuestro estudio.

El modelo cinemtico se basa en dos aspectos esenciales:a) el mvil, que es el cuerpo u objeto en movimiento

Si el movimiento es mucho mayor que las dimensiones del objeto que se mueve, o bien se puede prescindir de lasposibles rotaciones del mvil, su movimiento se puede asimilar al movimiento de un punto, es el llamado mvilpuntual o punto material.

b) la referencia, que es un sistema, que consideramos fijo y respecto del cual se desplaza el mvil.Podemos considerar dos tipos de referencias; la referencia espacial y la referencia temporal.

En el caso de un mvil puntual, la referencia espacial es muy sencilla; consta de:Un punto O, llamado origen.Dos rectas mutuamente perpendiculares que pasan por O, llamadas ejes de coordenadas

En nutica es usual identificar el origen con nuestra embarcacin y los ejes decoordenadas respectivamente; con el meridiano local (eje x) siendo su sentido

positivo hacia el norte, y con el paralelo que pasa por nuestro buque (eje y) ycon sentido positivo hacia el este. (grfico 1)

A cualquier punto del plano P, podemos hacerle corresponder un par ordenadoDe nmeros, que no son otra cosa que sus coordenadas - distancias desde elorigen a las proyecciones ortogonales del punto segn cada un de los ejes -.La notacin usual del punto P es: P = (x,y)Por ejemplo; en el grfico 2 de la derecha A = (1,2); B = (4,6)

La referencia temporal consta esencialmente de un instante origen de tiemposllamado poca - que puede ser el instante de poner en marcha el cronmetro o

bien una hora dada - y un intervalo de tiempo considerado como unidad.

Medimos intervalos de tiempo mltiples de la unidad, mientras observamos undeterminado movimiento.

1.1.2.- Magnitudes cinemticas. Posicin: es el lugar que ocupa el mvil respecto de la referencia espacial

Como para poder localizar un punto en el plano, nos hace falta ms de un dato, forzosamente necesitaremos msde un dato para definir la posicin de un mvil.Un tipo de magnitud que se ha de definir con ms de un dato son los vectores, as la posicin de un punto materialse puede representar por un vector llamado vector de posicin.El vector de posicin se representa por el segmento que une el origen con el punto material.

Desplazamiento: es la variacin en la posicin del mvil, y que se define como la diferencia entre la posicinfinal y la inicial.

Velocidad: es la variacin o cambio de posicin del punto material por unidad de tiempo.sta es la variable que nos da toda la informacin del movimiento de un cuerpo

x4 B(4,6)

1 A(1,2)

O 2 6 y

grfico 2

x

P(x,y)x

O y y

grfico 1


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2.- Vectores

2.1.- Definiciones:a) Escalares: Hay magnitudes que se pueden definir completamente con un nmero y una unidad.

Estas magnitudes se llaman escalares.Por ejemplo, son magnitudes escalares la temperatura, la presin, ...

b) Vectores: Son magnitudes que se han de definir con ms de un dato y se pueden representar por un segmentoorientado.

Se caracterizan por tener* mdulo: es la longitud del segmento. En nutica, la unidad de longitud es la milla (ver recuadro )* direccin: es la recta que define el segmento (o una paralela a esta recta)* sentido: es uno de los dos posibles en la recta direccin.

Arbitrariamente se considera un sentido como positivo y el opuesto como negativoEjemplos de magnitudes vectoriales son la posicin, el desplazamiento, la velocidad,

NOTA: 2 vectores son iguales si y slo si tienen el mismo mdulo, la misma direccin y el mismo sentido

2.1.1.- Notacin: Un vector se expresa con dos letras maysculas, origen y extremo del segmento que lo representa o con unaletra minscula, y siempre que sea posible le pondremos encima una flecha para indicar que se trata de unvector. (nosotros aqu, los escribiremos con letras negritas).

As el vector de origen el punto P y extremo el punto Q se escribe: v= PQ2.2.- Expresin analtica de un vector

En la referencia usada antes (punto 1.1.1.-) un vector est determinado completamente si conocemos su origen y suextremo. Si el origen es P (x1,y1) y el extremo es Q (x2,y2), el vector vse puede representar en:

a) Forma cartesiana: mediante dos nmeros que se llaman componentes y que se definen por:1acomponente: es el nmero que hay que sumar a la 1acoordenada del origen del vector para obtener la 1acoordenada del extremo.2acomponente: es el nmero que hay que sumar a la 2acoordenada del origen del vector para obtener la 2acoordenada del extremo

Es decir: PQ= (x2- x1, y2- y1); el vector v se expresar pues como v= (v1,v2) donde v1= x2- x1y v2= y2- y1En el caso que el origen sea A = (1,2) y el extremo sea B = (4,6)

la 1a

coordenada es v1= 4 - 1 = 3 y la 2a

coordenada v2= 6 2 = 4entonces el vector AB= 3,4 (ver grfico 3)

b) Forma polar: dando su mdulo y su argumento1. El mdulo |v| ya hemos dicho que era la longitud del vector, eso es: la distancia entre el origen y el extremo,

que es un nmero positivo2. El argumento que es el ngulo que forma el segmento con el eje x, medido en sentido horario

(desde el N hacia el E, S y W). (ver recuadro)Notemos que el argumento incluye la direccin y el sentido y es equivalente al rumbo de la embarcacinPor abuso de lenguaje a veces a la forma polar se la llama vector en coordenadas polares

2.2.1.- Relacin entre las dos formas de expresar un vectorLas dos formas de expresar un vector estn relacionadas, como no poda ser deotra manera. As:

* Conociendo el mdulo |v| y el argumento de un vector, podemos calcular suscomponentes cartesianas (v1,v2) por trigonometra:

- la 1. componente v1(segn el eje x) del vector vvale v1= |v| cos - la 2a. componente v2 (segn el eje y) del vector v vale v2= |v| sin

Conociendo las componentes cartesianas de un vector v = (v1,v2), podemos hallar:- el mdulo por el teorema de Pitgoras. |v| = (v1

2+ v22)1/2

- y el argumento teniendo en cuenta que tan = v2/v1, as =arctan v2/v1.

NOTA: la funcin arctanx, en las calculadoras corresponde a la tecla tan-1, que retorna un ngulo comprendido entre - 90 y90 y si el vector es del 2. o 3r. cuadrante (de argumento 90 < < 270) se ha de corregir el valor del arctansumndole 180.

2.3.- Relaciones entre vectores Igualdad de vectores: dos vectores son iguales cuando tienen el mismo mdulo, la misma direccin y el mismosentido. (si los vectores estn expresados en forma cartesiana, tienen las mismas componentes)

Equipolencia: dos vectores son equipolentes (o equivalentes) si tienen el mismo mdulo y direcciones paralelas.

x4 B(4,6)

1 A(1,2)

O 2 6 y

grfico 3


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3.- Operaciones con vectores.

3.1.- Suma de vectores

analticaLa suma de vectores es una operacin muy fcil en componentes cartesianas; hay que sumar los dos pares decomponentes ordenadamente; la 1 con la 1 y la 2 con la 2.

As, por ejemplo, si u= (u1,u2) y v = (v1,v2), entonces u + v = (u1,u2) + (v1,v2) = (u1 + v1,u2 + v2)

grficaLa sumade dos vectores u + v se obtiene grficamente como sigue:

1) Colocamos v a continuacin de u, haciendo coincidir el origen de vcon el extremo de u.2) El origen de la suma es el origen de u. y el extremo de la suma es elextremo de v.

Es decir, es el vector que va desde el origen de uhasta el extremo de v cuando secoloca v a continuacin de u.Podemos llegar al mismo resultado con la regla del paralelogramo. (grficos 4 y 5)

caso particularUn vector v es el vector opuestodel vector u si ambos tienen el mismo mdulo,la misma direccin y sentido contrario. Se escribe uSi sumamos un vector con su opuesto obtenemos un vector que se reduce a un punto(su origen coincide con su extremo);es el vector nuloo vector ceroque se nota: u+ (- u) = 0

3.2.- Resta de vectores

analtica

La resta entre dos vectores uy vse nota u - v y es la suma del primero con elopuesto del segundo: u v = u + (- v)Como resulta fcil de ver las componentes de - vse obtienen cambiando el signode cada una de las componentes de v, es decir, si v = (v1,v2) entonces - v = (-v1,-v2).En conclusin: para restar dos vectores hay que restar ordenadamente sus componentes:

u v = u + (- v) = (u1, u2) + (-v1, -v2) = (u1- v1, u2- v2)Resumiendo, las sumas y las restas de dos vectores u = (u1, u2) y v = (v1, v2) en componentes, se obtienen as:u+ v= ( u1+ v1, u2+ v2) , - u + v =(-u1+ v1, -u2+ v2), - u -v = (-u1- v1, -u2 - v2) y u- v= ( u1- v1, u2 - v2)

grficaPara dibujar la diferencia u - vpodemos colocar - va continuacin de u,y unir el origen de ucon el extremo de - v.

.Otro mtodo es poner los dos vectores con un origen comn y unir losextremos. (la resta tiene el origen en el substraendo)

Tambin podemos usar la regla del paralelogramo para dibujar la restau- v.

Notemos que hay ms de una suma o ms de una resta de dos vectores,eso es; u + v, u v, - u + v, i - u - v.Observemos que u + v = - ( u - v) y que u v = - (u + v). (grfico 6)

3.3.- Productos con vectores

producto de un vector vpor un escalar aEs un vector de la misma direccin y sentido que vy de mdulo |av | (a veces llamado vector mltiplo de v)El vector v/|v| que obviamente es de mdulo 1 se llama vector unitario (sirve para indicar una direccin y un sentido)

Producto escalar de dos vectoresEs un escalar definido por: u v= u1 v1+ u2 v2.El producto. v v= v2= v1v1+ v2v2sirve como definicin alternativa del mdulo de un vector: |v| = v

2u v= |u| |v| cos (u - v)

es una definicin de ngulo entre dos vectores

x

v

u u + v

O ygrfico 4

x

u + v

u

vO y

grfico 5

x

u-v

- vu

O u-v yv

grfico 6


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La milla

A partir del siglo IV aC, los griegos usaban el sistema de numeracin tico o Jnico.Es un sistema alfabtico quasidecimal; a cada cifra de las unidades (1, 2, 3, ...9) se le asigna una letra, a cada cifra de les decenas (10,20, ... 90) se le asigna otra letra y a cada cifra de las centenas (100, 200, ...900) otra distinta. (vase el cuadro adjunto)Como el alfabeto griego slo tiene 24 letras y para usar este sistema se necesitan 27 seAadieron tres letras arcaicas.

La digamma o stigma para representar el 6 (hoy da sigma-tau .)La qoppa para el 90 (hoy representado por la qoppa numrica ) yLa sampi para el 900 ())

Para diferenciar los nmeros de las letras, los valores numricos se escriben con un acento agudo.

Para representar cantidades de 1000 a 999999 se usa una coma delante de las mismas letras que para las unidades decenas y centenas.(pero que ahora son de millar).

Los griegos, a pesar que desconocan el cero tal como nosotros lo entendemos, tenan un sistema de numeracin decimal y conocan losnmeros racionales o fracciones.

As, dividieron el ngulo recto en 100 partes iguales - que hoy da llamamos grados centesimales o gradianes (g) - cada gradian sedividi en 100 partes - hoy llamadas minutos (c) - y cada minuto en dcimos de minuto (dc). La circunferencia tiene 400g= 40000c=

400000dc

.Esta divisin de la circunferencia tiene un inconveniente: tiene pocos divisores, 400 slo es divisible por 2, por 5 y sus mltiplos.Resulta ms cmodo usar fracciones de circunferencia, as Clemedes (~ 370 d.C.) explica que Eratstenes midi un ngulo de 1/50 decircunferencia entre los rayos del Sol y un obelisco en Alejandra el da del solsticio de verano.

Los sumerios, persas y babilonios haban desenrollado un sistema sexagesimal (de base 60) para medir ngulos (que an utilizamoshoy da) y que ellos (y nosotros) aplicaron a la Astronoma.

Los griegos usaron el sistema babilnico en sus clculos astronmicos porqu era muy superior el suyo. En efecto: un sistema de base60 tiene muchos divisores: 2, 3, 5, ...y sus mltiplos.

El ngulo recto se divide ahora en 90 partes iguales () llamadas grados, cada grado se divide en 60 partes llamadas minutos () y cadaminuto en 60 segundos (). La circunferencia tiene pues 360 = 21600 = 1296000

Factores de conversin:

Estos dos sistemas se pueden relacionar mediante factores de conversin.

Por ejemplo: * La relacin entre los dcimos de minuto centesimal y los segundos sexagesimales ser:400000/1296000 = 25/81 = 0,3086....

que no es otra cosa que la longitud del pie tico, como curiosidad, se dice que el pie tico era la talla del pie de Hrcules!* La relacin entre los dcimos de minuto centesimal y el minuto sexagesimal es:

400000/21600 = 500/27 = 18 14/27 = 18,5185....que son 60 pies ticos, es decir 1/10 de estadio ateniense que equivale lgicamente a 600 pies ticos

* La relacin entre el minuto centesimal y el minuto sexagesimal es:40000/21600 = 1 23/27 = 1,851851...

* La relacin entre el minuto centesimal y el grado sexagesimal es:40000/360 = 111 1/9 = 111,111....

Todo hace suponer que la relacin entre ambos sistemas fue la base de un sistema metrolgico.Timstenes (s VI a C) defini el estadio olmpico como la relacin entre el segundo centesimal y el minuto sexagesimal; eso es:

4000000/21600 = 185,185Aristteles (384-322 aC) nos dice que el crculo mximo de la Tierra es 400000 basndose en los trabajos de Arquitas de Tarento (430-360 aC) -pitagrico- y de su discpulo Eudoxo de Cnidos (408-337 aC).

El primero de los factores de conversin (la definicin de pie tico) est materializada en la fachada del Partenn (447 aC que mide 100pies ticos)El tercer factor de conversin no son ms que los kilmetros que tiene una milla nutica!Y el cuarto; los kilmetros que tiene un grado, que evidentemente equivale a 600 estadios.

As 10 estadios son 1 milla nutica, y a propsito de la milla; si hacemos servir el sistema de numeracin jnico la palabra millaequivale a: = 40; = 10; = 30;= 30; = 1 que sumados dan: 111.

Si en lugar de dividir los minutos centesimales en dcimos los dividimos en centsimos y cada uno de estos segundos centesimales asu vez en dcimos habramos dividido el crculo mximo en 40 000 000 como hicieron en 1791 en lAcadmie des Sciences de Pars,

para obtener una unidad de longitud racional llamada metro!!!


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La medida de los ngulos

Desde la ms remota antigedad ha sido preciso medir ngulos, ya sea con finalidades prcticas (Agrimensura, Topografa,Navegacin...) como tericas (Astronoma, Geodesia ... ).

Por desgracia no hay un sistema nico para medir ngulos. Cada uno de los sistemas existentes tiene sus ventajas y susinconvenientes. Vamos a discutirlos brevemente..

Sistema racionalEl Sistema Internacional de unidades, define la unidad de ngulo como unidad suplementaria, con el nombre de radian.

Las ideas bsicas para definir el radian son:La longitud de una circunferencia depende del radio con que s ha trazado: en efecto, como sabemos: L = 2 rEn consecuencia la longitud de un arco, tambin depende del radio; as: s = rSi tomamos r = 1, tenemos que L = 2 o que s = y en una tal circunferencia (llamada circunferencia goniomtrica)

podemos medir los ngulos a partir de la medida de sus arcos.

El ngulo completo (toda la circunferencia) vale 2 radianes,El ngulo llano (media circunferencia) vale radianesEl ngulo recto (una cuarta parte de circunferencia) vale radianes, etc.

Este sistema es muy racional pero incmodo en la prctica (porque usa mltiplos y submltiplos de ).

Sistemas alternativos:

Clemedes (370 d.C.) nos narra que los griegos de Alejandra medan los ngulos como fracciones de circunferencia.Concretamente, que Eratstenes midi un ngulo de 1/50 de circunferencia en su clsica medida del mundo.

En aplicaciones tcnicas - sobre todo en Topografa se suele usar una divisin centesimal. Una divisin de este tipo ya la habanusado los griegos.

El ngulo recto se divide en 100 partes, cada una de ellas se llama grado centesimal (o gradian)Cada grado centesimal se divide en 100 minutos centesimales y cada minuto en 100 segundos Una circunferencia entera tendr pues 400 g; 40 000 c o 4000 000 cc.

Este sistema es muy cmodo porqu es decimal. El mayor inconveniente que tiene es en el clculo manual (sin calculadora) ya que400 tiene pocos divisores. (2 y 5 y sus mltiplos)

En Astronoma y en Trigonometra se utiliza el sistema sexagesimal, que divide el ngulo completo en 360 (que segn crean losbabilonios era el nmero de das que tena el ao), el ngulo llano tiene 180 y el ngulo recto 90.

Cada grado ()se divide en 60 minutos () y cada minuto en 60 segundos ().Una circunferencia en este sistema se divide en 360, 21600 o 1926000

La ventaja principal del sistema que nos ocupa es que 60 (o 360) tiene muchos divisores (2, 3, 5, .... y sus mltiplos).

La conversin entre unidades centesimales y sexagesimales fue la base del sistema metrolgico griego (que curiosamente resulta ser

muy parecido al nuestro!!)La relacin entre el segundo centesimal y el minuto sexagesimal es la longitud del estadio ateniense: 4 000 000/21600 = 185,185...

hoy da 1 cable

La relacin entre los dcimos de minuto centesimal y el segundo sexagesimal es: 400000/1296000 = 25/81 = 0,3086....que no es otra cosa que la longitud del pie tico, como curiosidad, se dice que era la medida del pie de Hrcules!.

La relacin entre los dcimos de minuto centesimal y el minuto sexagesimal s: 400000/21600 = 500/27 = 18 14/27 = 18,5185....que son 60 pies ticos, es decir 1/10 de estadio ateniense que equivale lgicamente a 600 pies ticos

La relacin entre el minuto centesimal y el minuto sexagesimal es: 40000/21600 = 1 23/27 = 1,851851...que son los kilmetros que tiene una milla. (aproximadamente 1 braza = 1/1000 milla = 1/100 cable)

La relacin entre el minuto centesimal y el grado sexagesimal es: 40000/360 = 111 1/9 = 111,111.... (km por )


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4.- Tringulos

4.1.-Definicin: Un tringulo es un polgono de tres lados. Tres puntos no alineados determinan un tringulo

4.2.-Elementos - Primarios: lados: a, b, cvrtices: A, B, Cngulos interiores

- Secundarios: alturas: (h) perpendicular a uno de los lados (llamado base) desde el vrtice opuestopermetro: p = a + b + c

4.3.- Clasificacin;- segn los ngulos: rectngulos; tienen un ngulo recto (90)

los lados que forman el ngulo recto se llaman catetosel lado opuesto al ngulo recto se llama hipotenusa.

oblicungulos; no tienen ningn ngulo rectoacutngulos: todos sus ngulos son menores que un rectoobtusngulos: si tienen un ngulo obtuso (mayor que 90).

- segn los lados: equilteros; si tienen los tres lados iguales y los ngulos interiores tambin iguales (60)issceles; si tienen dos lados iguales y los ngulos interiores opuestos a ellos tambin igualesescalenos; si no tienen ningn lado igual (sus ngulos interiores son todos distintos)

4.4.- Propiedades: de los lados; un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferenciade los ngulos; A + B + C = 180de ngulos y lados; a un lado mayor se opone un ngulo mayor

4.5.- Resolucin de tringulos: Es calcular el valor de los tres lados y de los tres ngulos conocidos tres de sus elementos(con la condicin de que por lo menos uno, sea un lado)

4.5.1.- Clculo independiente: Es calcular todos los elementos del tringulo usando slo los datos del problemaSe evita as arrastrar errores de clculo de los elementos calculados previamenteEs posible calcular el elemento que nos interese por medio de dos grupos de frmulas

Grupo del coseno: Cada frmula de este grupo relaciona los tres lados del tringulo con un nguloSe deduce de la resta de vectores: c = a - b, usando el cuadrado escalar

c2= a2+ b2 - 2ab cos Canlogamente: a2= b2+ c2- 2bc cos A

b2

= c2

+

a2

- 2ca cos B

Grupo de los senos: Cada frmula de este grupo relaciona dos de los lados con sus respectivos ngulos opuestosSe deduce de la frmula del rea del tringulo S = b h = b a sin C(El rea del tringulo es igual al producto de dos sus lados por el seno del ngulo que forman),

Los lados son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos.

4.6.- Tringulos rectngulos: En los tringulos rectngulos se cumplen los teoremas siguientes:

Teorema de Pitgoras: a2= b2+ c2relaciones cateto - hipotenusa y cateto - cateto

sin B = b/a cos B = c/a tan B = b/c

se cumple la identidad: sin

2

B + cos

2

B = 1;con las restricciones - 1 sin B 1 i - 1 cos B 1

Teorema de la altura: Por semejanza de los tringulos BHA y AHC (fig. 7)

AH2= BH HC

La altura es media proporcional entre los segmentos en que divide a la hipotenusa

Teorema del cateto: Por semejanza de los tringulos BHA y BAC

BA2= BH BC

Por semejanza de los tringulos AHC y BAC

AC2= CH BC

Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyeccin de este cateto sobre la hipotenusa

C

Ha b

h

B c Agrfico 7

HC

AH

AH

BH

BA

BH

BC

BA

ACCH

BCAC

Csin

c

Bsin

b

Asin

a


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4.7.- Elementos notables: Mediana; recta por un vrtice y el punto medio del lado opuestoMediatriz; perpendicular por el punto medio de un ladoBisectriz; recta que divide un ngulo en dos partes igualesParalela media; recta que une los puntos medios de dos lados

Propiedades: Es paralela al lado que no corta. Vale de la longitud del lado que no cortaA = pm x h = Base x h /2

4.7.1.- Propiedades: de las medianas; se cortan en un punto, llamado BARICENTROesta situado a 2/3 del vrtice y a 1/3 del lado (se demuestra por semejanza de tringulos)es el centro de gravedad del tringulolas coordenadas cartesianas del baricentro son; xB= (x1+ x2+ x3)/3 yB= (y1+ y2+ y3)/3

de las mediatrices; se cortan en un punto llamado CIRCUNCENTROequidista de los tres vrticeses el centro de la circunferencia circunscrita al tringulo

Un tringulo es obtusngulo si y slo si el circuncentro es exterior al tringuloacutngulo si y slo si el circuncentro es interior al tringulorectngulo si y slo si el circuncentro est en uno de sus lados

de las alturas; se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO.Un tringulo es rectngulo si su ortocentro coincide con el vrtice AUn tringulo es obtusngulo si y slo si su ortocentro es exterior al tringulo

Un tringulo es acutngulo si y slo si su ortocentro es interior al tringuloCada vrtice del tringulo es el ortocentro del tringulo formado por los otros dos vrtices yel ortocentro del tringulo original.En un tringulo rectngulo coincide con el vrtice A

de las bisectrices interiores; se cortan en un punto llamado INCENTROequidista de los tres ladoses el centro de la circunferencia inscrita en el tringulo

de las bisectrices exteriores; se cortan en un punto llamado EXCENTROCASO ESPECIAL: en un tringulo equiltero todas estas rectas coinciden!

En un tringulo cualquiera el circuncentro, el ortocentro y el baricentro estn alineados (recta de Euler)

4.8.- Igualdad de tringulos; superpuestos coinciden. Tienen los lados y los ngulos igualescasos: lados iguales ngulos iguales

3 02

1 (formado)1 2 (adyacentes)

4.9.- Semejanza de tringulos; Tienen los ngulos iguales y los lados proporcionalescasos: lados iguales ngulos iguales

3 02 1 (formado)1 2 (adyacentes)

razn de semejanza: r = a/a = b/b =c/c

4.10.- Casos de resolucin de tringulos.Rectngulos: conocidos: los dos catetos La hipotenusa se halla por el teorema de Pitgoras

Los ngulos agudos por la definicin de seno (o de coseno)un cateto y la hipotenusa El otro cateto por el teorema de Pitgoras

Los ngulos agudos por la definicin de seno (o de coseno)un cateto y el ngulo adyacente La hipotenusa por la definicin de coseno

El otro cateto por el teorema de Pitgorasun ngulo agudo y la hipotenusa El cateto opuesto por definicin de seno

El cateto contiguo por definicin de cosenoOblicungulos: dados: un lado y los dos ngulos adyacentes el tercer ngulo A = 180 - (B + C)

los otros lados por el teorema de los senosdos lados y el ngulo comprendido el lado desconocido por el teorema del cosenodos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos.

Puede ser un caso dudoso.del teorema de los senos, tenemos: sin B = b sin A/ a con b sin A a

posibles soluciones: A < 90 a b solucin nica si B < 90 a < b solucin nica si b sin A = a

dos soluciones si b sin A < aA = 90 a > b solucin nica si B < 90A > 90 a > b soluci nica si B < 90

los tres lados dos ngulos por el teorema del coseno y el otro por: A = 180 - (B + C)

Ac b

B Cc a b

B Ca

grfico 8


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9

5.- Navegacin con corriente

Tanto la velocidad de nuestro buque vN, como la velocidad efectiva vef o la intensidad horaria de la corriente Ihcson vectores,sus mdulos son respectivamente los escalares (nmeros) |vN|, |vef|, |Ihc|, y los argumentos o rumbos RN, Ref, Rc.

La relacin que hay entre estos vectores es: vef= vN+ Ihc

Clsicamente se han considerado 5 tipos de problemas posibles con sentido nutico (detallados en Navegacin Costera de J.Vaquero, por ejemplo)

Vamos a ver como se resuelve cada un de estos5 casos de navegacin con corriente de forma analtica.

1r caso

Este problema se presenta cuando desde una situacin observada navegamos un cierto tiempo y la situacin de estima nocoincide con la nueva situacin observada.

Datos: vef(velocidad efectiva) Incgnita: IhcvN(velocidad)

Solucin: 1) Los vectores, que vienen dados en forma polar, se pasan a forma cartesiana

2) Se efecta la operacin siguiente en forma cartesiana Ihc= vef- vN3) Se deshace el cambio

Ejemplo: A HRB= 10:42, estando en situacin ls= 35 50 N; Ls= 006 10 W navegamos al Ra= 088 (Ct= - 12) y velocidadvN= 12 nudos en zona de corriente desconocida.

A HRB= 11:58, estaremos en situacin la= 35 52,9 N; La= 005 47,6 W.

Se pide: a) Rumbo e intensidad horaria de la corrienteb) Rumbo efectivo y velocidad efectiva

Calculemos en primer lugar el intervalo de tiempo: 11 : 5810 : 4201 : 16 1,26666.. h

Estimamos la distancia navegada: D = v t = 12 x 1,2666.. = 15,2 millas y el rumbo: Rv= R

a+ C

t= 88 - 12 = 076

La distancia real recorrida se calcula por un problema inverso de estima: l 35 52,9 L 006 1035 50,0 005 47,600 02.9 000 22,4

lm= (ls+ la) =35 51,45 35,8575 cos lm= 0,8104764 A = L cos lm= 18,1547

D = (l2+ A2)1/2= (2,92+ 18,15472)1/2= 18,385 18,4

La velocidad efectiva ser: vef= D/t = 18,385/1,2666 = 14, 514 nudosy el rumbo efectivo se encuentra a partir de: tan Ref= A/ l = 18,1547/2,9 = 6,260231 => Ref= 80,9243 81

Para hallar el rumbo y la intensidad horaria de la corriente, hemos de hacer la resta vectorial: Ihc= vef- vN

Para ello pasaremos los vectores vNy vefa la forma cartesianavef(x) = 14,514 cos 81 = 2,2894 vN(x) = | vN| cos Rv= 12 cos 76 = 2,9031vef(y) = 14,514 sin 81 = 14,3323 vN(y) = | vN| sin Rv= 12 sin 76 = 11,6435

As: Ihc(x) = 2, 2894 - 2,9031 = - 0.6137Ihc(y) = 14,3323 - 11,6435 = 2,6888

Que en forma polar resulta: |Ihc| = (0,61372+ 2,68882)1/2= 2,.7579

tan Rc= - 4,3812938 Rc= - 77,142878 282,857

recordemos que la funcin arctanx, en las calculadoras corresponde a la tecla tan-1, que retorna un ngulocomprendido entre -90 y 90 y si el vector es del 2. cuadrante, (la primera componente es negativa y la segunda

positiva) al resultado se le ha de restar 180.

As en nuestro caso: Rc= 282,857 - 180 = 102,857 103


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10

2 caso

Es til para calcular la situacin estimada a una hora dada

Datos: Ihc Incgnita: vefvN

Solucin: 1) Los vectores, que vienen dados en forma polar, se pasan a forma cartesiana2) Se efecta la operacin siguiente en forma cartesiana vef= vN+ Ihc3) Se deshace el cambio

Ejemplo: A HRB = 15:30 estando en Sol = 41 31 N; L = 002 35 E, navegamos a la velocidad de 7 nudos al R v= 270 en

una zona de corriente de intensidad horaria Ihc= 2 nudos y Rc= 240

Se pide: a) Rumbo efectivo y velocidad efectiva

b) Situacin a HRB=16:15

Empecemos por pasar los vectores vNyIhca la forma cartesiana:vN(x) = 7 cos 270 = 0 Ihc(x) = 2 cos 240 = - 1vN(y) = 7 sin 270 = - 7 Ihc(y) = 2 sin 240 = - 1,7320

que sumaremos para obtener la velocidad efectiva vef= vN+ Ihcvef(x) = 0 + (- 1) = - 1vef(y) = - 7 + (- 1,7320) = - 8,7320

Para pasar el vector vef a la forma polar; tan Ref= - 8,7320 => Ref= 83,4669pero como es del 3r cuadrante Ref= 180 + 83,4669 263,5

|vef| = (12+ 8,73202)1/2= 8,7891 8,8 nudos

Para saber la situacin a HRB= 16:15 hemos de calcular la distancia navegada D: D = vef t = 8,7891 3/4 = 6,5918y hacer una estima directa

l = 6,5918 cos 263,5 = - 0,7462158 - => lA 41 31,00.7 lm= 41 30,6 cos lm= 0,7488304

41 30,3

A = D sin Ref= - 6,549427 L = A/cos lm= 8,7462 8,75 LA 002 3508,75

002 26,25La situacin a HRB= 16:15 ser: l = 41 30,3 N ; L = 002 26,25 E

3r caso

Este caso se da cuando sabemos los puntos de salida y de arribada, y la corriente que nos afecta y queremos saber el rumbo quehemos de cantar al timonel

Datos: Ihc Incgnita: vNvef

Solucin: 1) Los vectores, que vienen dados en forma polar, se pasan a forma cartesiana2) Se efecta la operacin siguiente en forma cartesiana vN= vef Ihc3) Se deshace el cambio

Ejemplo: Saliendo del puerto de Altea, en situacin l = 38 35,5 N; L = 000 02 W nos dirigimos a sEspalmador

l = 38 47,0 N; L = 001 25,0 E. Si queremos arribar al cabo de 7 horas y en el canal de Ibiza tenemos una

corriente de Ihc= 2,5 nudos y Rc= 150 Qu rumbo de aguja hemos de dar (Vl= 20E, = + 0,5 ) y con qu

velocidad de mquina hemos de navegar?

Busquemos primero el incremento de latitud y el apartamientol = 38 47,0 L = 001 25,0

38 35,5 lm= 38 41,25 => cos lm= 0,7805668 000 02,0 A = L cos lm= 67,909311,5 001 27,0

La distancia que hemos de recorrer: D = (l2+ A2)1/2 = 68,8661 milles 68,9milles

El rumbo efectivo, se calcula por: tan Ref= A/l = 5,9051565 => Ref= 80,3885 80,4


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El vector velocidad de la corriente en componentes es: Ihc(x) = 2,5 cos 150 = - 2,1651Ihc(y) = 2,5 sin 150 = 1,25

La velocidad efectiva ser: vef= D/t = 68,9/ 7 = 9,8428 nudos

y el vector velocidad efectiva tiene por componentes: vef(x) = 9,84 cos 80,4 = 1,6429vef(y) = 9,84 sin 80,4 = 9,7019

El vector velocidad de nuestro buque vN= vef Ihc vN(x) =1,6429 - (- 2,1651) = 3,8080vN(y) = 9,7019 - 1,25 = 8,4519

que pasaremos a polares tan Rv= 8,4519/3,8080 = 2,2195116 => RV= 65,746 65,75|vN| = (3,8080

2+ 8,45192)1/2= 9,27 9,3

El rumbo de aguja ser: Rv= Ra+ Ct Ra= Rv- Ct= 65,75 - 1 = 64,7

4 caso

Datos: Ihc Incgnitas: |vef|Ref RN|vN|

Solucin: La ecuacin fundamental vef= vN+ Ihcnos indica que se ha de formar untringulo de lados |vN|, |vef| y |Ihc|.El ngulo entre |vef| y |Ihc| es Rc- RefAplicando el teorema de los senos podemos hallar el ngulo entre |vN|, |vef|

El tercer ngulo de este tringulo, se obtiene porqu la suma de losngulos interiores de un tringulo suman 180.

= 180 - [(Rc- Ref) + ]|vef| se calcula aplicando otra vez el teorema de los senos

y el rumbo de nuestro buque ser: RN= Ref

Ejemplo: A HRB= 10:00 salimos del Puerto de Ciutadella l = 39 59,6 N; L = 003 49,0 E y nos dirigimos a Puerto Pollena

l = 39 53,6 N; L = 003 06,8 E a una velocidad de mquina |vN| = 10 nudos. Sabemos que en el Canal deMenorca tenemos una corriente de intensidad horaria 2 nudos y rumbo 135.

a) Cul ser nuestro rumbo de aguja si Ct= 0?

b) A qu hora arribaremos a Puerto Pollena?

Primeramente tendremos que calcular el rumbo efectivo, lo que implica hacer una estima inversa.Calculemosl 39 59,6 lm= (ls+ la) = 3956,6

39 53,6 as

06,0 cos lm= 0,7666798calculemosL 003 49,0 y el apartamiento A = L cos lm= 32,354003 06,8

42,2El rumbo efectivo se calcula por: tan Ref= 32,354/6,0 = 5,3923146 => Ref= 79,49390 79,5

pero como es del 3r cuadrante: Ref= 79,5 + 180 = 259,5El ngulo Rc- Ref= 359,5 - 135 = 124,5

Aplicando el teorema de los senos: 0,1648252210

124,5sinsin = 9,487

El rumbo de aguja es igual al rumbo verdadero porque la Ct= 0 RN= 259,5 + 9,5 = 269

El tercer ngulo del tringulo = 180 - (124,5 + 9,5) = 180 - 134 = 46

Y volviendo a aplicar el teorema de los senos: 8,738,7285

124,5sin

sin10|v| ef

La distancia que hemos de recorrer ser: D = (62+ 32,352)1/2= 32,907

El tiempo que tardaremos en recorrerla: t = D/vef= 32,9/8,73 = 3,76941580 h = 3:46:10 o s a HRB= 13:46

x

vef

Ref Rc vN

O Ihc y

grfico 9

|I|

sin

|v|

)R-(Rsin

hc

efc

N

)R-(Rsinsin|v||v|

efcNef


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12

5 caso

Datos: Ihc Incgnitas: |vN|RN Ref|vef|

Solucin: La solucin es similar al caso anterior, se ha de resolver el tringulo de

lados |vN|, |vef| y |Ihc|.El ngulo entre |vN| y |Ihc| es Rc- RN = El 3r ngulo del tringulo ser pues: = 180 - ( )Apliquemos el teorema de los senos para hallar el ngulo

Refse calcula fcilmente: Ref= RN+ = Rc- Y ahora, conociendo , aplico nuevamente el teorema de los senos para hallar |vN|

Ejemplo: Desde la Sol = 41 32 N; L = 002 36 E para arribar al Puerto de Premi (l = 41 29 N; L = 002 22 E )

navegamos al RA= 258,5 (Vl= 0,5 E; = 1) con una velocidad efectiva |vef| = 9,6 nudos. Sabemos que estamosafectados por una corriente de Ihc= 2 nudos y Rc= 230.

Se pide: a) Rumbo efectivo

b) Velocidad de mquina

Calculemos nuestro rumbo verdadero: RN= RA+ Ct= 258,5 + 1,5 = 260El ngulo entre |vN| y |Ihc| es: Rc- RN = El 3r ngulo del tringulo ser: = 180 - ( ) = 180 30 = 150

Apliquemos ahora el teorema de los senos: => = 5,9791

De donde: = 30 5,9791 = 24,0208

Ahora ya podemos calcular Ref Ref= RN+ = 260 5,9791 = 254,0209= Rc-

La velocidad de mquina se obtiene aplicando nuevamente el teorema de los senos.

|I|

sin

|v|

sin

hcef

x

vN

RN vef

O yRc

Ihc

grfico 10

|I|

sin

sin|v| hcN

0,1041667

|I|

|v|150sinsin

hc

ef

nudos7,827,815910,5

0,40706839,6

sinsin

|v||v| efN


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13

6.- Cinemtica del movimiento relativo de dos buques o Cinemtica Radar

El movimiento aparente -o relativo- de un buque B respecto al nuestro, A, lo estudia la cinemtica naval, su conocimiento esimportante para ver si existe riesgo de colisin entre ambos buques, y en tal caso poder aplicar el Reglamento Internacional

para Prevenir los Abordajes en la mar,(RIPA) de forma adecuada.

Para el estudio de los problemas de cinemtica naval se hacen tres suposiciones bsicas:

a)

Se supone que los buques se mueven independientemente con MRU (movimiento rectilneo uniforme)no se tienen en cuenta guiadas, frenazos o acelerones debidos al oleaje

b) Los cambios de rumbo son instantneos (se desprecia la curva de evolucin)c) Los cambios de velocidad son instantneos

Definiciones: - Velocidad absoluta. Velocidad del buque respecto de la referencia espacial usual.- Velocidad relativa. vR= vB vA- Derrota relativa o indicatriz del movimiento es la direccin definida por vR.

Un vectormltiplo de vRse suele designar como vector director de la derrota relativa- Rumbo relativo. Angulo que forma la derrota relativa con el meridiano.

Existe una infinidad de casos posibles, por lo que slo mencionaremos los que ms frecuentemente se plantean en los exme-nes para la obtencin del ttulo de Capitn de Yate de recreo.

1.- Hallar el rumbo y la celeridad (velocidad) de otro buque B si conocemos su movimiento relativo

Datos: - Conocemos el vector velocidad de nuestro buque en forma polar: vA=|vA|RA- Conocemos tambin dos (o tres) posiciones del eco B dadas en forma polar (per distancia al origen d y demora D) y

los tiempos en los que se alcanzan estasposiciones: B1(t1) = (dD)1y B2(t2) = (dD)2...

Estrategia de resolucin:- Pasamos la velocidad de nuestra nave de la forma polar |vA|RAa la cartesiana (vAx,vAy) por: vAx= |vA| cos RA

vAy= |vA| sin RA- Pasamos las posiciones del eco B1y B2a la forma cartesiana, anlogamente; B1x= d1cos D1 B2x= d2cos D2

B1y= d1 sin D1 B2y= d2sin D2

- La indicatriz del movimiento ser la direccin del vector: B2- B1= [(B2- B1)x,( B2- B1)y] que junto con el intervalode tiempo t = t2 t1nos sirve para obtener el vector velocidad relativa: vR= B2- B1/t en forma cartesiana;(vRx, vRy) que hemos de pasar a la forma polar de la forma habitual, de forma que:

- la celeridad |vR| se obtiene por el teorema de Pitgoras |vR| = (vRx2+ vRy

2)1/2- la pendiente (o rumbo) de la indicatriz del movimiento RR, por trigonometra: tan RR= vRy/ vRx.

- Como vR= vB- vA vB= vR+ vA y conocemos las coordenadas cartesianas tanto de vRcomo devApodemoshallar la velocidad vBdel otro buque en cartesianas, que pasaremos a polares para tener |vB| y RB

NOTAS: - Si en lugar de demoras se usan marcaciones, tendremos que pasarlas previamente a demoras (D = R + M)- A rumbo de colisin, |vR| = d/t y RRes la demora inversa de Dv(con la que nos ve a nosotros: RR= 180 + Dv)

2.- Hallar la distancia mnima a qu pasaremos de otro buque sin variar ni el rumbo ni la celeridad (velocidad)

y el tiempo que tardaremos en pasar por esta posicin desde una posicin relativa dada.

Datos: - Conocemos dos posiciones del eco B dadas en forma polar (por distancia al origen d y demora D) y los tiemposrespectivos en qu se alcanzan estasposiciones B1(t1) = (dD)1y B2(t2) = (dD)2

Estrategia de resolucin:- Pasamos B1y B2a la forma cartesiana para calcular (B2- B1)xy (B2- B1)y,- el rumbo de la derrota relativa ser pues: tan RR= (B2- B1)y/(B2- B1)x- La distancia entre B2y B1: d = [(B2- B1)x

2+ (B2- B1)y2]1/2y as:

la velocidad relativa: vR= B2 B1/t = (vRx, vRy)y la celeridad: |vR| = (vRx

2+ vRy2)1/2

- A partir de la posicin B2sabemos d2y DV2, hallamos la demora inversaD = 180 DV2

- En el tringulo O, B2, CPA (en ingls Closest point of aproach) el nguloentre la derrota relativa y el vector de posicin de B2es:

- = RR D

- el lado O, B2= d- el cateto O, CPA: = d sin - la demora del CPA en valor absoluto: (90 - ) - D- el otro cateto B2, CPA (distancia relativa a CPA) dr= d cos

x B1RR

B2

CPA dD

dr

O ygrfico 11


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14

NOTAS: - Si se ha de hallar el intervalo de tiempo que tardaremos en pasar per la mnima distancia: t = dr/|vR|-A rumbo de colisin, |vR| = d/t y RR= Dv180, la demora inversa de Dves decir,la que nos ve a nosotros.

Ejemplo 1:

Navegando al Rv= 120 y vA= 12 nudos. A HRB= 04:05, marcamos un buque por la proa a 11 millas.

A HRB= 04:15 lo volvemos a marcar a Dv= 119 y a 8 millas.Queremos saber: a) Rumbo y velocidad del otro buque

b) Distancia mnima entre los dos buques

Conocemos nuestro vector velocidad en polares vA= 12120 y lo pasamos a cartesianas: vAx= |vA| cos 120 = - 6,0000vAy= |vA| sin 120 = 10,3923

A partir del punto Boque en polares es: Bo= 11120obtengo su posicin en cartesianas Box= 11 cos 120 = - 5,5000Boy= 11 sin 120 = 9,5293

y a partir del punto Beque en polares es: Be= 8119 anlogamente obtengo Bex= 8 cos 119 = - 3,8785Bey= 8 sin 119 = 6,9970

Ambos son puntos de la indicatriz del movimiento (movimiento relativo del buque B respecto al A) de los que se deduce:- El vector director de esta recta que se calcula restando componente a componente: Be- Bo= (1,6215, - 2,5263)- La pendiente (o rumbo) de la misma ser: tan RR= - 2,5293/1,6215 = - 1,559852 RR= - 57,3366 302,66- La distancia entre B

ey B

oser: d = (1,62152+ 2,52632)1/2 = 3,0044.

La distancia entre Bo y Bese ha recorrido en 10 minutos = 0,1666... h: y como |vR| = d/t = 3,0044/0,1666...= 18,026 nudos.El vector vRque en polares vR= 18,03302,66 en componentes cartesianas es: vRx= 18 cos 302,66 = 9,7290

vRy= 18 sin 302,66 = - 15,1758

Calculemos ahora vB= vR+ vA que en coordenadas cartesianas es: vBx= 9,7290 + (- 6,0000) = 3,7290vBy= - 15,1758 + 10,3923 = - 4,7835

y que en la forma usual en nutica es: |vB| = 6,06tan RB= vBy/ vBx= - 1,2827836 RB= 307,9308

En el tringulo O, B2, CPA; el nguloes: = RR- D = 302,66 - (180 + 119) = 3,66

y por definicin de seno:dr= d sin = 8 sin 3,66 = 0,51 milla.

Esta es la distancia mnima a la que se cruzarnlos dos buques, conocida habitualmente por elacrnimo de CPA(del ingls, Closest Point of Approach)

En el grfico de la derecha, damos la resolucingrfica habitual de este ejercicio, para comprobarque los resultados coinciden, como no poda ser deotro modo (dentro de la aproximacin que permitesu resolucin grfica).

Notemos que un sistema fcil de hallar la velocidadrelativa, consiste en ver la distancia relativarecorrida en 1 hora que es la flecha negra de puntosentre puntos extremos)


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3.- Distancia a un buque que nos corta la proa

Datos: Conocemos los vectores velocidad de nuestro buque vAy del eco vByuna posicin de B a un tiempo t determinadopor demora D y distancia d

Estrategia de resolucin:Hallamos vR= vB- vAoperando en forma cartesiana y el resultado lo pasamos

a la forma polar para saber RR(y de paso, aunque no es necesario |vR|)

En el tringulo oblicungulo de lados OB, BP (con rumbo RR) y OP (con rumbo RA)El ngulo en B se relaciona con D i RR = RR- DEl ngulo en O es: = D - RAEl ngulo opuesto a lado d se halla o bien por el teorema de los senos o biencomo diferencia a 180

= 180 - (RR RA)La distancia a B cuando nos corta la proa se calcula por el teorema de los senos

4.- Cambio de rumbo para evitar una colisin (sin variar la velocidad)

A)

Sabiendo el ngulo de cada de nuestra embarcacin.

Datos: Conocemos los vectores velocidad de la nuestro buque y del eco B:vA = |vA|RAy vB= |vB|RBy adems la posicin del eco B en el instante t delcambio de rumbo (por distancia d y demora D a nosotros) B (t) = dD

Estrategia de resolucin:Calculamos primero vR= vB vA. Comoes habitual operamos en cartesianas yuna vez conocido el resultado, lo pasamos a polares para tener |vR| y RR

Si sabemos el ngulo de cada de nuestro barco; RAel nuevo rumbo de nuestra embarcacin ser:RA = RA RA (el signo + si la cada es a estribor y el signo - si es a babor)

El nuevo vector velocidad de nuestro buque ser: vA= |vA|RAque pasamos a cartesianas, hacemos la operacin:

vR = vB vA yel resultado lo pasamos a polares para obtener RR y |vR|En el instante antes de cambiar de rumbo, la derrota relativa pasa por O y por B (indicatriz de movimiento inicial)En el instante despus del cambio de rumbo la derrota relativa pasa por O y a una distancia de B (o por B y a unadistancia de O) donde es perpendicular a esta nueva derrota relativa.

La derrota relativa inicial, la nueva y forman un tringulo rectngulo (tringulo de distancias)El ngulo entre la derrota relativa inicial y la nueva, = RR - RRy el otro ngulo agudo (en O): = 90 La hipotenusa es d (distancia de B al origen), el cateto opuesto a es = d sin (distancia mnima entre

buques), y el otro cateto, dr(distancia relativa al CPA) se obtiene por el teorema de los senos, o por ladefinicin de coseno de un ngulo: dr= d cos

El intervalo de tiempo entre el instante de cambio de rumbo y el de paso por la distancia mnima es: t =dr/|vR|NOTAS: RR = RR = D (el signo + si pasamos al otro barco por nuestro babor y el - si lo pasamos por nuestro estribor)

Ejemplo 2:

Navegando al Rv= 000 (N) y vA= 10 kn, seguimos un eco B. A HRB= 10:00 est a 8 millas con una marcacin MB= 40 Ebr.A HRB= 10:06 est a 7 millas con una marcacin MB= 40 Ebr.

A HRB= 10:12 caemos 40 a Ebr para evitar la colisin.

Se pide la distancia mnima entre buques en el cruce y la hora en qu se producir esta situacin.

Conocemos nuestro vector velocidad antes del cambio de rumbo, en polares es: vA= 10000y en cartesianas: vAx= 10vAy = 0

El vector velocidad relativa antes del cambio de rumbo se obtiene a partir de los dos puntos observados, (derrota relativa)B1x= 8 cos 40 = 6,1284 B2x= 7 cos 40 = 5,3623 (B2 B1)x= 5,3623 - 6,1284 = - 0,7661B1y= 8 sin 40 = 5,1423 B2y= 7 sin 40 = 4,4995 (B2 B1)y= 4,4995 - 5,1423 = - 0,6428

Que tendremos que pasar a la forma polar usual:

El rumbo relativo, se halla; tan RR= (B2 B1)y/(B2 B1)x= - 0,6428/- 0,7661 = 0,839055 RR= 39,998 40pero como las dos componentes del vector director de la derrota relativa son negativas, el rumbo relativo es del 3rcuadrante y as: RR= 40 + 180 = 220y la distancia entre B1y B2d = (0,7661

2+ 0,64282)1/2= 1,0000

x RR B

d RR

D dr

O y CPA

grfico 12

xP B

RR dp d

RAD

O ygrfico 11

p

AAR

d

R-Dsin

d

)R-(R-180sin


16/21

16

Esta distancia se ha recorrido en 6 min = 1/10 h as: |vR| = d/t = 10 kn.El vector vRen coordenadas polares es: vR= 10220y en cartesianas es: vRx= 10 cos 220 = - 7.661

vRy= 10 sin 220 = - 6,428

Calculemos ahora vB= vR+ vA que en coordenadas cartesianas es: vBx= -7.661 + 10 = 2,339vBy= - 6,428 + 0 = - 6,428

y que en la forma usual en nutica es: |vB| = 6,84 tan RB= vBy/ vBx= - 2,748183 RB= - 70,0 290

A HRB= 10:12 el eco demora por los 40 a Ebr y est a una distancia de 6 millas (cada 6 min se acerca 1 milla) en este precisoinstante caemos 40 a Ebr.Al cambiar el rumbo, variamos nuestro vector velocidad; que en coordenadas polares ahora es: vA = 1040y en cartesianas:

vAx = 10 cos 40 = 7,661vAy = 10 sin 40 = 6,428

Habremos de calcular pues, la nueva velocidad relativa: vR = vB vA vRx = vBx- vAx = 2,339 - 7,661 = - 5,322vRy = vBy- vAy = - 6,428 - 6,428 = - 12,856

que en polares es: tan RR = 2,4156332 RR = 67,51.como las dos componentes cartesianas son negativas,el rumbo es del 3r cuadrante, ergo:

RR = 180 + 67,5 = 247,5

y |vR| = (5,3222

+ 12,8562

)1/2

= 13,91En el tringulo de distancias, el ngulo entre la derrotarelativa nueva y nuestra nuevo rumbo es:

= 67,5 - 40 = 27,5La distancia O,CPA, se halla por el teorema de los senos

= 6 sin 27,5 = 6 0,4617486 = 2,7701 2,8

El otro cateto (distancia relativa al CPA) dr se evala;a) buscando el ngulo opuesto (en el origen)

90 27,5 = 62,5

b) volviendo a aplicar el teorema de los senos

dr = 6 0,8870108 = 5,322

El intervalo de tiempo hasta llegar a distancia mnimat = dr/|vR| = 0,382609 h = 0:22:57

10:12:00y la hora 00:22:57

10:34:57

Comprobemos la buena aproximacin que nos da eltringulo de distancias por el mtodo grfico

B) Para pasar a una distancia del eco B

Datos: Conocemos los vectores velocidad de nuestro buque y del eco B (en forma polar) vA = |vA|RAy vB = |vB|RBy adems la posicin del eco B en un tiempo t por distancia d y demora D

Estrategia de resolucin:La derrota relativa inicial, la derrota relativa nueva y la distancia del origen al CPA (, forman un tringulo rectngulo(tringulo de distancias) (siendo perpendicular a la derrota relativa nueva).

El ngulo que forman la derrota relativa inicial y la nueva, es, por definicin de seno: sin = /dEl ngulo entre la derrota relativa inicial y ser: 90 - El rumbo de la derrota relativa nueva, se relaciona con el de la inicial y con por: RR = RR .(el signo + si pasamos al otro buque por nuestro babor y el - si lo pasamos por nuestro estribor)

La hipotenusa es la distancia entre los buques en el instante del cambio de rumbo dUno de los catetos es la distancia mnima entre las naves Y el otro cateto es la distancia relativa al CPA que se obtiene por el teorema de Pitgoras dr= (d

2- 2)1/2

'd

62,5sin

6

90sin

r

x

27,5sin

6

90sin


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17

El ngulo entre la derrota relativa nueva y el rumbo de B es la resta entre RBy RR := RB- (RR ) [o (RR ) - RB]

Despus del cambio de rumbo, hemos de conocer los ngulos del tringulo de velocidades:(opuesto a |vA|) es comn con el tringulo de distancias(opuesto a vB) se obtiene por el teorema de los senos: sin /|vB| = sin /|vA|y el tercer ngulo se deduce de la suma de ngulos de un tringulo: = 180 (+ )

El nuevo rumbo de nuestra embarcacin ser: RB+

|vR| se calcula aplicando nuevamente el teorema de los senos: |vR|/sin = |vA|/sin y el intervalo de tiempo que tardaremos para llegar a distancia mnima ser: t = dr/|vR|

Ejemplo 3:

Navegando a v = 12 nudos y al Rv = 265, con el radar, obtenemos la siguiente informacin de un eco B

A HRB= 03:30 marcacin de B MB= 50 Ebr; distancia d = 14 millas

A HRB= 03:36 marcacin de B MB= 50 Ebr; distancia d = 13 millas

A HRB= 03:42 marcacin de B MB= 50 Ebr; distancia d = 12 millasA HRB= 03:54 para evitar el abordaje, caemos a Ebr. para pasar a 3 millas de B.

Se pide cual ser nuestro nuevo rumbo

Como siempre, hemos de saber nuestro vectorvelocidad vA= 12265y deducir el vector velo-cidad relativa a partir de los datos del radar:

la demora DB= RA+ MB= 265 + 50 = 315y como la distancia disminuye, ser la demorainversa: RR= 135.

La distancia disminuye 1 milla cada 6 minutos(1/10 h) as |vR| = 10 kn. y el vector vR= 10135

Para calcular vB= vR+ vA. hemos de encontrarlas componentes cartesianas de los vectores vAyvR

para vA vAx= 12 cos 265 = - 1,0459vAy= 12 sin 265 = - 11,9543

y para vR vRx= 10 cos 135 = - 7,0711vRry= 10 sin 135 = 7,0711

las componentes cartesianas de vBsern:vBx= - 7,0711 + (- 1,0459) = - 8,1167vBy= 7,0711 + (- 11,9543) = - 4,8832

y en la forma polar vBtendremos:tan RB= vBy/vBx= 0,6016238 RB= 31,03

pero al ser del 3r cuadranteRB= 31,03 +180 = 211,03

|vB| = (vBx2

+ vBy2

)1/2

= 9,4724 9,5.As: vB= 9,5211

Si se mantienen constantes vAy vBa HRB= 03:54la distancia entre los dos buques ser de 10 millas

El ngulo entre la derrota relativa inicial y lanueva, es, por definicin de seno:

sin = /d = 3/10 = 0,3 = 17,46

El rumbo de la derrota relativa nueva es: RR = RR+ = 135 + 17,46 = 152,46

En el tringulo de velocidades, despus del cambio de rumbo,El ngulo entre la derrota relativa nueva y el rumbo de B es: = RB- RR = 211,03 - 152,46 = 58,57El ngulo opuesto a vB, segn el teorema de los senos: sin /|vA| = sin /|vB| sin = 0,6735705 = 42,34Como la suma de ngulos interiores de un tringulo vale 180; = 180 (+ ) = 79,09

El nuevo rumbo de nuestra embarcacin ser: RB+ = 211,03 + 79,09 = 290,12


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5.- Cambio de velocidad de nuestro barco para evitar una colisin (sin variar el rumbo)

Datos: Conocemos los vectores velocidad de nuestro buque antes vA, y despus vA,del cambio de celeridad y el del eco vBTambin sabemos una posicin del eco B en un tiempo t per demora D y distancia d

Estrategia de resolucin:Para hallar la distancia mnima al eco , pasamos nuestro vector velocidad nuevo vA y el del eco vB a cartesianas y

calculamos la nueva velocidad relativa vR = vB- vA.pasaremos el resultado a polares, as tenemos RR y |vR|

Evaluamos el ngulo entre las derrotas relativas inicial y nueva;

En el tringulo de distancias (formado por la derrota relativa inicial, la nueva y siendo = d sin )El otro cateto dr= d cos

El intervalo de tiempo que tardaremos en llegar a la distancia mnima es: t = dr/|vR|

Ejemplo 4:

Navegando a v = 15 kn. y a Rv = 315, observamos en el radar un eco B, del que extraemos la siguiente informacin:

A HRB= 13:00 demora verdadera de B, D = 350 distancia d = 10 millasA HRB= 13:06 demora verdadera de B, D = 350 distancia d = 8 millas

A HRB= 13:12 moderamos la velocidad hasta 6 kn.

Se pide cual ser la mnima distancia a qu pasaremos del eco B

Nuestro vector velocidad es vA= 15315y a partir de los datos del radar deducimos el vector velocidad relativaEl rumbo relativo RRes la demora inversa RR= D - 180 = 170la distancia disminuye 2 millas cada 6 minutos (1/10 h) as |vR| = 20 kn. y el vector vR= 20170

El vector velocidad del eco B es: vB= vR+ vA. Para calcularlo, hemos de pasar vRyvAa cartesianas y sumar por componentespara vA vAx= 15 cos 315 = 10,6066

vAy= 15 sin 315 = - 10,6066

para vR vRx= 20 cos 170 = - 19,6962vRy= 20 sin 170 = 3,4730

as, las componentes cartesianas de vBson:

vBx= - 19,6962 + 10,6066 = - 9,0896vBy= 3,4730 + (- 10,6066) = - 7,1336

y en forma polar:tan RB= vBy/vBx= 0,784809 RB= 38,125 pero al ser del 3r cuadrante:RB= 38,125 + 180 = 218,12|vB| = (vBx

2+ vBy2)1/2= 11,55.

Entonces vB= 11,55218,12

Cuando moderamos la marcha, nuestro vectorvelocidad varia, siendo ahora vA = 6315y el vector velocidad relativa, tambin:

vR = vB vA

Como las componentes cartesianas de vA son:vAx= 6 cos 315 = 4,2426vAy= 6 sin 315 = - 4,2426

las componentes cartesianas de vR sern:vRx = - 9,0896 - 4,2426 = - 13,3322vRy = - 7,1336 - (- 4,2426) = - 2,891

y en forma polar:tan RR = 0,2168434 RR = 12,23

pero al ser del 3r cuadrante:RR = 12,23 + 180 = 192,23

|vR| = 13,64de forma que vR= 13,64192,23


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La distancia mnima entre naves la hallaremos por partes:1) resolveremos el tringulo de distancias (como ahora es un caso de cruce, ser oblicungulo).

Los ngulos son: El ngulo entre la derrota relativa inicial y la nueva es: RR - RR= = 192,23 - 170 = 22,23El ngulo entre RRy RA= 350 - 315 = 35El tercer ngulo es: 180 - (22,23 + 35) = 122,77

2) los lados se hallan por el teorema de los senos

donde, de la primera igualdad x = 2,700 y de la segunda y = 4,093

3) la distancia mnima es perpendicular a RR as, por definicin de seno CPA = 6 sin 22,235 = 2,2704378 2,27

Caso particular: |vA| = 0 entonces vR = vBEn este caso, cuando paramos nuestro buque, la derrota relativa se confunde con la derrota absoluta de B.En el instante antes de parar la mquina, sabemos vAy vRen polares (RR= D 180) de donde deducimos vB= vR+ vA

de parar la mquina sabemos |vB| RBy con la posicin de B por demora D y distancia d:Obtenemos el ngulo entre la derrota relativa inicial y el rumbo del ecoLa distancia mnima entre embarcaciones ser: = d sin y la distancia que ha de recorrer B para encontrarnos a mnima distancia: dr= d cos

Ejemplo 5:Navegando en demanda de Port Masnou al RV= 225 y v = 7 nudos, observamos en la pantalla de radar un eco B tal que:

A HRB= 20:00 tiene una marcacin M = 40 Ebr y est a una distancia d = 4 millas

A HRB= 20:06 tiene una marcacin M = 40 Ebr y est a una distancia d = 3 millasA HRB= 20:09 como tenemos costa d Ebr, para evitar la colisin decidimos para mquinas (vA = 0)

Se pide: a) Distancia mnima a la que pasaremos de B

b)Hora a la que nos hallaremos a distancia mnima

Conocemos vA = 7225 que pasamos a cartesianas: vAx= 7 cos 225 = - 4,9497vAy= 7 sin 225 = - 4,9497

Del punteo, deducimos vR: el rumbo relativo RRser la demora inversa.Como nos dan marcaciones: D = R + M = 225 + 40 = 265 y la inversa: RR = 265 - 180 = 85La celeridad |vR| = d/t = 10 nudos

As vRen coordenadas cartesianas es: vRx= 10 cos 85 = 0,8716vRy = 10 sin 85 = 9,9619

Ahora ya podemos calcular vB= vR+ vAque en coordenadas cartesianas es: vBx= 0,8716 + (- 4,9497) = - 4,0781vBy= 9,9619 + (- 4,9497) = 5,0119

y en polares: |vB| = (vBx2+ vBy

2)1/2= 6,46

tan RB= 5,0119/ - 4,0781 = - 0,8136834 RB= - 39,1pero como ha de ser un rumbo del 2 cuadrante (vBx< 0) RB=180 - 39,1 = 140,9

En el triangulo de distancias el ngulo entre RRy RBvale = 140,9 - 85 = 55,9

A HRB

= 20:09 la distancia entre buques es d = 2,5 millas

As la distancia mnima entre embarcaciones es: = 2,5 sin 55,9 = 2,07 milla

Para hallar la horaLa distancia relativa al CPA; dr= 2,5 cos 55,9 = 1,40 millaEl intervalo de tiempo; t = dr/|vB| = 1,40/6,46 = 0,2169365 h = 0:13:01

As HRB = 20:09 + 00:13 = 20:22

6.- Dar alcance a otro buque (en el menor tiempo posible)

Datos: el vector velocidad de la nuestra embarcacin vAen forma polar |vA|RADos posiciones del eco B dadas en forma polar(por distancia al origen d y demora D) y los tiempos respectivos en que sealcanzan B

1(t

1) = (d

D)

1y B

2(t

2) = (d

D)

2

(alternativamente, el vector velocidad relativa vR|vR|RR)La posicin del otro buque en el instante que decidimos alcanzarlo B = dD

xB1

B2 B

M RR

D

O ygrfico 13

35siny

122,77sin6

22,23sinx


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Estrategia de resolucin:A partir de B1y B2podemos calcular vRpasando B1y B2a la forma cartesiana y calculando (B2- B1)xy (B2- B1)yel rumbo de la derrota relativa es: tan RR= (B2- B1)y/(B2- B1)xlas componentes cartesianas del vector velocidad relativa, sern: (B2- B1)x/t y (B2- B1)y/t respectivamente, as:vR= (vRx, vRy) y la celeridad: |vR| = (vRx

2+ vRy2)1/2

Calculemos vB= vR+ vA que pasamos a la forma polar usual en nutica: |vB|RB

A partir de la posicin B, hallamos la nueva indicatriz del movimiento por: tan D = tan RR = By/Bx

El ngulo en B ser RR- DEn el tringulo de velocidades nuevo, sabemos el ngulo , entre RBy D (opuesto a |vA|)El ngulo opuesto a |vB|, se halla por el teorema de los senos:

y el tercer ngulo por diferencia a 180: = 180 - (+ )

El nuevo rumbo de nuestro buque ser: RA = RR + El intervalo de tiempo hasta llegar a esta situacin se obtiene buscando primero |vR| por el teorema de los senos

y dividiendo d por |vR|: t = d/|vR|

Ejemplo 6:

Recibimos un MAY DAY del buque Neulit. Nuestro AIS nos informa que va a |vB|=3 kn y al Rv= 19,5. vemos que seencuentra a la demora verdadera Dv= 223 y a la distancia de 5,5 millas. Damos rumbo de encuentro a la velocidad de 9 kn.

Se pide: a qu rumbo hemos de gobernar y cuanto tiempo tardaremos hasta abarloarnos al barco B.

Este enunciado es una simplificacin de loexplicado ms arriba.Empecemos hallando las coordenadas cartesianasdel punto B.

Bx= 5,5 cos 223 = - 4,0224

By= 5,5 sin 223 = - 3,7510

para calcular el ngulo D:tan D = By/ Bx= 0,9325278 D = 43

el ngulo entre RBy D es: = RB- D = 43 - 19,5 = 23,5

el ngulo opuesto a |vB|, por el teorema de lossenos

sin= 0,398749/3 = 0,1329163 = 7,638

el tercer ngulo es: 180 - (23,5 + 7,6) = 148,9 149

El nuevo rumbo de nuestra nave: RA = 43 +7,6 =50,6

pero como es del tercer cuadranteRA = 180 + 50,6 = 230,6

Para buscar el tiempo:- hay que hallar |vR| por el teorema de los senos

= 11,6247

- y haciendot = d/|vR| = 5,5/11,625 = 0,473118 = 00:28:23

|v|

sin|v|

sin BA

|v|sin

sin|'v| AR

3

sin

9

23,5sin

923,5sin

149sin'vR


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Anexo: Ejercicio de Cinemtica (autor: Pablo Gonzlez de Villaumbrosa Garca (17-01-2010)

ENUNCIADO:

Navegamos al 360 con vm = 12 nudos. A HRB= 16:00, demora del barco B D1= 50A HRB= 16:15, cortamos la proa de B que demora en este instante D2= 90A HRB= 16:30, el barco B nos corta la estela, demora D3= 180

Se pide: 1.- Rumbo y velocidad de B2.- Distancias a B al demorar 50, 90 y 1803,- CPA y HRBen ese punto

RESOLUCIN

Consideraciones: Como vamos al 00 si en el instante en qu B demora 90le cortamos la proa, entonces RB= 270

Como B se mueve con MRU (recorre distancias igualesen tiempos iguales) y tarda el mismo tiempo entre lasdemoras 50 y 90 que entre las demoras 90 y 180, implicalas distancias recorridas son iguales.

De lo que se deduce: B1B2= B2B3= dB1B3= 2 B2B3= 2 d

Segn el teorema de Thales (o por semejanza de tringulos):

B2B3: B1B3:: AB3: OB3 y B2B3: B1B3:: AB2: OB1

De lo que se sigue: OB3= 2 OA y OB1= 2 AB2

En el tringulo O, B1, B3hemos de averiguar el ngulo en B3Como conocemos el ngulo del tringulo A, O, B1que vale = 50; tendremos: tan = OB1/ OAY como por definicin: tan = OB1/ OB3= OB1/ 2 OADe donde: tan = 2 tan o bien tan = tan = tan 50 = 0,5958768As: = 30,789733

En el tringulo de velocidades O, A, C (rectngulo por ser RARB), el rumbo RR= 180 + 30,789733 = 210,78973|vR| = |vA| cos = 12 cos 210,78973 = 13, 9689 13,97

| vB| = |vA| tan = 12 tan 210,78973 = 7,15

1.- vA= 7,15 y RB=210,8

La distancia relativa recorrida entre B1y B2(o entre B2y B3) ser: d = vR t = 13,97/4 = 3,4925B1y B3, ser 2d = 6,985

En el tringulo A, B1, B3sabemos los ngulos; en A = 40 + 90 = 130 , en B1que es = 180 - (130 + 30,78973) = 19,2103y el lado B1B3= 2 d

Las distancias AB1y AB3se obtienen aplicando el teorema de los senos.

as la distancia AB1es d1= 4,6675 4,67

as la distancia AB3es d3= 3,000

La distancia AB2se halla por Pitgoras en el tringulo A, B2, B3 d2= (d2 d3

2)1/2= 1,7882

2.- Las distancias son d1= 4,67 milla; d2= 1,7882 milla; y d3= 3,000 milla

El CPA (punto de mximo acercamiento) se obtiene de la definicin de seno en el tringulo A B1CPA

= d1sin = 1,5357 milla

la distancia entre el CPA y B1se halla por Pitgoras en el mismo tringulo (d12- 2)1/2= 4,4076

el intervalo de tiempo t = (d12- 2)1/2/ vR= 0,3155315 hora = 18 min 56s 19 min y HRBen ese punto 16:00 + 00:19 = 16:19

3.- el CPA son = 1,54 milla y HRB= 16:19

xO B1

d

C A B2 y CPA

d

B3

30,790sin

d

130sin

d2 1

19,210sin

d

130sin

d2 3

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