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MECCANICA(studio del moto dei corpi)
Cinematica: descrizione del moto
Dinamica: descrizione del moto in funzione della forza
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CINEMATICA del punto materiale
Moto in una dimensione
x2 – x1 distanza percorsa
t2 – t1 tempo trascorso
La legge del moto è rappresentata dalla funzione: x = x(t)
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VETTORE SPOSTAMENTO
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t?x?
ttxx
v12
12 ==--
Velocità media:
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Velocità istantanea:
vtx
0x0t →∆∆
⇒→∆⇒→∆
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Velocità
dtdx
v =
• rapidità con cui la posizione (x) varia nel tempo (t)
• modulo α lunghezza freccia
• grandezza fisica vettoriale v
• v = | v | = modulo di v
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• DIMENSIONI
≡⇒⇒
≡⇒⇒
tempoTtempot
lunghezzaL spaziox
[ ] 1TLtempo
lunghezzav ==
• UNITÀ DI MISURA S.I.
ms-1 Sistema Internazionale
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“traiettoria”
0 x(to) x(t1) x(t3) x(t2) x(t4)….. x
x(t) (“diagramma orario”)
tt0 t1 t2 t3 t4
x0=x(t0)x1
x3
x2
x4
Grafico della legge del moto:
Origine
Moto unidimensionale
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• “Coordinata curvilinea” s(t) :– spazio percorso al tempo t lungo la
“traiettoria”
luogo geometrico dei punti dellospazio occupati dal punto materialedurante il moto
Po
P(t)s(t)
Velocità scalare media tra due istanti t1 e t2=t1+∆t
s(t)
t
“legge del moto”
t1 t2
s(t1)
s(t2)
∆t∆s
ts
ttstts
vm ∆∆
=∆
−∆+=
)()( 11
Coordinata curvilinea e velocità scalare media
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t
s(t)
α (t) v(t) = tan(α(t))
Nota la funzione v(t), la legge del moto s(t) si ottiene perintegrazione:
ds = v(t) dt
dttds
ttstts
tvt
)()()(lim)(
0=
∆−∆+
=→∆
∫+=t
t
dttvtsts0
')'()()( 0
∫∫ =−==∆t
t
s
s
dttvtstsdss00
')'()()( 0
(dimensione : [v] = m/s) :
Velocità scalare istantaneaE’ la derivata rispetto al tempo della coordinata curvilenea s(t):
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t
t
t
v(t)
v(t)
to t1 t2 t3 t4 t5
to
∆ t
t
∫+=t
t
dttvtsts0
')'()()( 0
∑=
∆+=5
00 )()()(
ii ttvtsts
∑=
∆+=2
00 )()()(
ii ttvtsts
to t1 t2
v(t)
Integrazione della velocità
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Moto rettilineo uniforme - DiagrammiNel diagramma (v,t) la legge “v = costante” è rappresentata da una retta parallela all’asse x. L’area tratteggiata in figurarappresenta lo spazio percorso nel tempo ∆t.
Nel diagramma (x,t) la legge “x = x0 + vt” è rappresentata da una retta la cui pendenza è positiva se la velocità è > 0, negativa se è v < 0 ed è tanto maggiore in valore assoluto quanto più grande è la velocità v.
t
v x
x0
t
∆x
vA
vB
vA < vB
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Accelerazione
2
2
dtxd
dtdx
dtd
dtdv
a =
==
• rapidità con cui la velocità (v) varia nel tempo (t)
• modulo di a α lunghezza della freccia
• grandezza fisica vettoriale a
• a = | a | = modulo di a
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Accelerazione media:
t?v?
ttvv
=a12
12 =--
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Accelerazione istantanea:
atv
0v0t??
?? →⇒→⇒→
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• DIMENSIONI
• UNITÀ DI MISURA S.I.
2TL]a[ -=
ms-2 Sistema Internazionale
[ ] 2-TLtempo
lunghezzaa 2 ==
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Reazioni fisiologiche all'accelerazione
• Perdita vista 35 g
• Perdita sensi 6 g
Esempi:
Frenata auto ⇒ 0.25 ÷ 0.45 g auto ⇒ (3 ÷ 6 s)
Incidente auto ⇒ 20 ÷ 100 g ⇒ (0.1 s)
Decollo aereo ⇒ 0.5 g ⇒ (10 ÷ 20 s)
Atterr. Paracadute ⇒ 34 g ⇒ (0.1 ÷ 0.2 s)
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Nota l'accelerazione in funzione del tempo a(t):
1. INTEGRANDO a(t) SI TROVA v(t)
2. INTEGRANDO v(t) SI TROVA x(t)
∫ ∫
∫ ∫
===
=⇒=⇒=
vdtdxdtvdxdtdx
v
adtdvadtdvdtdv
a
Per giungere a x(t) si deve conoscere il valore della POSIZIONE e della VELOCITÀ ad un particolare istante (generalmente all'inizio del moto t=0 )
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a=cost
∫=−t
00 dtavv1)
tavv 0 +=
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( )dttavdtvxxt
0 0
t
00 ∫∫ +==−2)
∫ ∫++=t
0
t
000 dttadtvxx
20 ta
21
vtxx ++=
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)xx(a2vv 020
2 −+=
( ) ( )020
2
v
v
x
x
xxavv21
dxadvv
vdxdv
dtdx
dxdv
dtdv
a
0 0
−=−
=
===
∫ ∫
3)
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Riassumendo:
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xa2vav
a21
xav
t 22
2
=⇒=⇒= xa2vXdivariare
alvelocità=⇒
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EQUAZIONI DIMENSIONALI
modo utile per mettere in evidenza se una equazione è corretta (dimensionalmente).
verificare le dimensioni di tutti i suoi termini.
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Esempio:
x x vt a t= + +021
2
x Lx L
v t LT
T L
a t LT
T L
⇒⇒
⇒ =
⇒ =
0
0
22
212
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Accelerazione scalare istantanea :
Nota la funzione a(t), la velocità v(t) si ottiene perintegrazione:
Accelerazione scalare media :
dv = a(t) dt
tv
ttvttv
am ∆∆
=∆
−∆+=
)()( 11
2
2
0
)()()()()(lim)(
dttsd
dttds
dtd
dttdv
ttvttv
tat
≡
==
∆−∆+
=→∆
∫∫ =−==∆t
t
v
v
dttatvtvdvv00
')'()()( 0
∫+=t
t
dttatvtv0
')'()()( 0
Accelerazione
(dimensione : [a] = m/s2)
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accelerazione costante: a(t) = a
t
a(t)
a
t0
velocità:
t
v(t)
v0
posizione:
s0
α
β tan β = a
tanα(t0) = v0
t
s(t)
t0
)(')'()()( 000
0
ttavdttatvtvt
t
−+=+= ∫
[ ] =−++=+= ∫∫ ')'(')'()()(00
0000 dtttavsdttvtstst
t
t
t
2000 )(
21
)( ttattvs −+−+=
Moto rettilineo uniformemente accelerato
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Accelerazione di gravità (g)
ü Oggetto che cade vicino alla superficie terrestre
ü Resistenza aria trascurabile
Il moto èuniformemente accelerato
lungo la verticale.
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Oggetto lanciato verticalmente verso l'alto:
−=
−=
−=
B20
2110B
10
Yg2v0
tg21tvY
tgv0
Bin
Le equazioni danno in ogni istante velocità e posizione lungo tutto il moto.
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SALTO VERTICALE
h=altezza del salto
d=rincorsa di accelerazione
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125 g1.408 * 10-40.1Pulce
3.3 g2.349 * 10-20.3Rana
2.7 g7.281.02.4Canguro
2.0 g4.430.51.0Uomo
(ms-2)(ms-1)(m)(m)
atvtdh
SE at uomo = at pulce = 125 g
v a d s
hv
g
t t
t
= = ⋅ ⋅ ⋅ = =
= =⋅
=
−2 2 125 9 8 0 5 1225 35
235
2 9 862 5
1
2 2. .
..
m
m
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Moto rettilineo uniformemente accelerato
La traiettoria è una retta e l’accelerazione è costantea = ∆v/∆tè ∆v = a∆tè v2 – v1= a(t2 – t1) èv2 = v1 + a(t2 – t1)Per t1=0, e v1=v0, eliminiamo il pedice “2”, e abbiamo:
v = v0 + at
Anche in questo caso lo spazio percorso sarà dato dall’area tratteggiata nel diagramma (v,t), pertanto, la legge oraria del moto uniformemente accelerato è:
x(t) = x0 +v0t + ½at2
Nel diagramma (x,t) “x(t) = x0 +v0t + ½at2” è rappresentata da una parabola.
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Moto rett. uniform. acc. - Diagrammi
Posso considerare il trapezio come la somma del rettangolo di lati t e v0 e del triangolo rettangolo di cateti v-v0 e t. La sua area è data allora da:
Area = v0t + ½(v-v0)t= v0t + ½at2 (essendo: v-v0 =at)
∆x = Area tratteggiata = v0t + ½at2 , ma ∆x = x - x0 è
x = x0+∆x è x0 + v0t + ½at2
v x
x0
t t
∆x
v2=v
v1=v0
t1=0 t2=t
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Moto di caduta libera di un corpo
Tutti i corpi, vicino alla superficie terrestre, lasciati liberi(si trascura la resistenza dell’aria), cadono lungo la verticale con la stessa accelerazione g = 9,8 m/s2, pertanto, la relazione tra l’altezza di caduta h e il tempo tnecessario a toccare il suolo è:
h = ½g t2 e, t = (2h/g)½
La velocità d’impatto è:v = g t = g (2h/g)½ = (2gh)½
h(t)
t
�
h h = ½g t2
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Moto sul piano - Illustrazione
Il modulo del vettore spostamento è diverso dalla lunghezza dello spazio percorso, in particolare, se la traiettoria è chiusa (A≡B), lo spostamento è zero, ma lo spazio percorso è diverso da zero.
E’ interessante, però, osservare che al diminuire di ∆t, B si avvicina ad A e la traiettoria tende ad identificarsi con lo spostamento; pertanto, la velocità istantanea (che si ottiene quando ∆t ≈ 0) è tangente alla traiettoria.
A
O
BrA
rB
∆r = rB- rAA
O
BrArB
∆r = rB- rA
∆t1 ∆t2 < ∆t1
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at
vB
vA
Moto sul piano – Velocità e accelerazione
Se la traiettoria non è rettilinea, la direzione del vettore velocità cambia da punto a punto, pertanto si deve introdurre un’accelerazione vettoriale, media e istantanea.
L’accelerazione istantanea può essere scomposta in due componenti: una parallela, l’altra perpendicolare alla velocità.
La componente parallela, at, modifica il modulo della velocità.
La componente perpendicolare, ac, (o centripeta, perchédiretta verso il centro di curvatura locale della traiettoria) modifica la direzione della velocità.
A
B
vA
ac
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MOTO IN DUE DIMENSIONI
22yx aaaa +=⇒
ρ
0==dt
vda
ρ
Importante: solo se modulo -direzione - verso della velocità sono costantidurante il moto al variare del tempo t
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MOTO DEI PROIETTILI
Descrizione vettoriale del moto ⇒ Sovrapposizione
•MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATOVERTICALE ( ASSE Y )
• MOTO UNIFORME ORIZZONTALE( ASSE x )
cost=gρ
0=xa
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Gittata
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Andamento della velocità
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v
Moto circolare uniformeTraiettoria circolare, velocitàcostante in modulo.Accelerazione solo centripeta di modulo “ac = v2/R = ω2R”R = raggio della circonferenzav = s/∆t modulo della velocità,ω = θ/∆t = velocità angolareEssendo: θ = s/R è s = θ R èv = θ R /∆t = (θ /∆t) R è v = ωRQuesto moto è periodico e il periodo T è pari a:T = 2πR/v = 2π/ω
La frequenza è ν = 1/T
ac
R
R
A
Bθs
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MOTO CIRCOLARE UNIFORME
Consideriamo un punto materiale che si muove lungo una circonferenza con velocità costante in modulo
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La direzione del vettore ∆v è lungo il raggio, verso il centro
∆∆
∆∆
vt
vt
v r= ⇒ =θ
ω ω2
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T = PERIODO (s) : Tempo necessario per fare un giro completo
f = T-1 = Frequenza (s-1=Hz) : Numero di giri nell’unità di tempo
vr
Tr f m s
Tf rad s
= =
= =
−
−
22
22
1
1
π π
ω π π
( )
( )
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Moto circolare uniforme
• Accelerazione centripeta:? = ω tx=R cos[ω t]y=R sen[ω t]
vx=-R w sen[ω t]vy= R w cos[ω t]
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continua
ax= - R w2 cos[ω t] = - ω 2 xay= - R w2 sen[ω t] = - ω 2 y
à a= ω 2 R = v2 / R
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Graficamente
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Conclusione
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MOTO CIRCOLARE NON UNIFORME
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MOTO CURVO
r = raggio di curvatura nel punto P