cinemática de la partícula
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� Cinemática es la parte de la mecánica que estudia los movimientos de los cuerpos sin importar las causas que los producen.
� En un movimiento intervienen básicamente tres elementos: la distancia o longitud que recorre el móvil, la trayectoria que sigue y el tiempo que tarda en recorrerla.
� Las distancias se miden a partir del punto en que el móvil inicia el movimiento o a partir de algún punto de referencia considerado arbitrariamente como origen de las distancias. Si al medir una distancia se especifica tanto la magnitud como su dirección, entonces se está especificando una distancia vectorial medida en una dirección particular entre dos puntos y se le conoce como desplazamiento.
� La trayectoria es la línea descrita por el móvil y puede ser línea recta o curva.
� El tiempo se mide a partir del instante en que se inicia la medición de la distancia recorrida, o sea cuando el móvil parte o pasa por el origen de las distancias.
� Velocidad. La velocidad es una cantidad vectorial que tiene tanto magnitud como dirección, la magnitud de la velocidad se llama rapidez, que también puede definirse como la distancia recorrida en la unidad de tiempo, es la relación que existe entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla. Una cantidad que como la rapidez tenga solo magnitud se llama cantidad escalar.
� Dependiendo de la velocidad, los movimientos pueden ser uniformes o variados.
� Movimiento uniforme. Un móvil tiene movimiento uniforme cuando su velocidad permanence constante durante todo el tiempo que dura su movimiento, por lo que el movimiento uniforme es el que se realiza con velocidad constante, recorriendo distancias iguales en tiempos iguales.
� Velocidad media. Cuando el movimiento se realiza con diferentes velocidades, es conveniente expresar la velocidad como un promedio de velocidades, a la cual se le considera como velocidad media, la cual es equivalente al cociente que resulta de dividir la distancia total recorrida entre el tiempo empleado en recorrerla. La velocidad media de un móvil es aquella que le permitiría con movimiento uniforme, recorrer la misma distancia en el mismo tiempo.
� Movimiento variado. Es el movimiento en que la velocidad va cambiando, es decir, la velocidad puede aumentar o disminuir durante la trayectoria. La cantidad que aumenta o disminuye la velocidad en un segundo, se llama aceleración. Por lo que aceleración es el cambio de velocidad que un móvil experimenta en la unidad de tiempo, también puede definirse como la razón con que cambia la velocidad durante un cierto intervalo de tiempo. La aceleración tiene magnitud y dirección. Cuando un móvil aumenta su rapidez mientras viaja en línea recta, la dirección y el sentido de la aceleración y del desplazamiento son iguales. Cuando el móvil disminuye su rapidez, el sentido de la aceleración es opuesto al del desplazamiento. Cuando la aceleración tiene el mismo sentido que el del desplazamiento se dice que es positiva, y negativa en caso contrario.
� Se dice que un movimiento es uniformemente variado cuando la aceleración es constante, pues la velocidad varía proporcionalmente al tiempo. La caída de los cuerpos en el vacío es un movimiento uniformemente acelerado.
� El tiro vertical ascendente es un movimiento uniformemente desacelerado.
La aceleración uniforme es igual al cambio de velocidad entre el tiempo empleado en hacer este cambio.
� Velocidad instantánea es la velocidad que tiene el móvil en un instante preciso de su trayectoria y es igual al cociente de dividir la distancia recorrida en un instante de tiempo entre el instante mismo.
1) Velocidad instantánea:
2) Aceleración instantánea:
3) Aceleración= segunda derivada de la distancia con respecto al tiempo:
;
4) Una expresión equivalente de la aceleración se obtiene sustituyendo las siguientes fórmulas:
sustituyendo el valor de dt en la expresión
Se obtiene:
5) fórmula de la velocidad cuando esta es constante:
6) Fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente variado:
7) Si en la expresión sustituímos como el valor de la velocidad final y luego se
integra, se obtiene:
8) Integrando la expresión mediante el arreglo: ;
se obtiene:
�
PROBLEMA 1.3.1. El movimiento de la partícula se define por la relación
donde t se mide en segundos y s en metros. a) Calcular la posición , la velocidad y la aceleración cuando t= 2 segundos. b) Determinar en qué tiempo la velocidad es mínima y su valor correspondiente.
a)Posición de la partícula cuando t=2 segundos:
Velocidad de la partícula:
Velocidad de la partícula cuando t=2 segundos:
Aceleración de la partícula:
Aceleración de la partícula cuando t= 2 segundos:
b) Para encontrar el tiempo en el cual la velocidad es mínima, nos preguntamos
¿en qué tiempo la aceleración es cero?. Igualando a cero la ecuación de aceleración:
En este tiempo ¿qué valor tiene la velocidad?
; sustituyendo t=2.66 seg:
Para saber si la velocidad es mínima o máxima en t=2.66 segundos, se
encuentra el valor de la velocidad para un tiempo menor de 2.66, como t=2 y
luego se encuentra el valor de la velocidad para un tiempo mayor de 2.66, como
t=3, y si el tiempo 2.66 seg nos proporciona la velocidad más pequeña, indicará
un mínimo, de lo contrario indicará un máximo:
como el valor de la
velocidad en t=2.66 es de ,que es menor que 3 y menor que 4, resulta
que este valor es un mínimo, por lo que la velocidad en t=2.66 seg tiene un valor
mínimo que corresponde a Resp.
Las gráficas que nos indican la forma en que la partícula se mueve, son:
Gráfica de posición:
Gráfica de velocidad:
Gráfica de aceleración:
PROBLEMA 1.3.2. El movimiento de una partícula se define por la relación
a) Calcular la posición, la aceleración y el tiempo cuando la velocidad es cero.
b) determinar el tiempo y el valor de la velocidad mínima.
a) Tiempo para el cual la velocidad es cero:
Se tiene que la velocidad es cero cuando el tiempo es de:
La posición es de
La aceleración es de
B) Para encontrar el tiempo en el cual la velocidad es mínima, la ecuación
de la aceleración la igualamos a cero, o sea, la derivada de la velocidad la igualamos a cero:
para este tiempo el valor de la
velocidad debe ser un mínimo, para comprobarlo sustituímos en la
ecuación de la velocidad un tiempo menor, como t=0, y el valor obtenido
de la velocidad lo comparamos con el que se obtenga con un tiempo
ligeramenta mayor de 0.66, como t=1:
Como el valor de la velocidad fué menor para t=0.66 seg. entonces
es el valor mínimo de la velocidad.Resp.
Gráfica de la posición:
Gráfica de la velocidad:
Gráfica de la aceleración:
PROBLEMA 1.3.3.- El movimiento de una partícula se define por la relación
Donde t es el tiempo en segundos y s es la posición en centímetros. a) Encontrar el tiempo para el cual la velocidad es cero. b) La posición y la distancia total recorrida cuando el tiempo es de 8 segundos.
A) Tiempo para velocidad cero: Resultado.
B) Posición de la partícula cuando t=8 seg : del origen.
Para encontrar la distancia total recorrida en 8 segundos, de acuerdo a la
ecuación de posición, la partícula se encuentra a 60 cm del origen en t=0, por lo
que la distancia recorrida será la suma de cada una de las diferencias que
resulten al sustituir en la ecuación de posición los valores desde t=0 hasta t=8.
Con la siguiente instrucción en el Mathematica se genera una tabla de valores:
La cual nos permite obtener la distancia total recorrida
Distancia total recorrida=(60-42)+(42-28)+(28-18)+(18-12)+(12-10)+(12-10)+(18-12)+(28-18)=68cm.Resp.
Otra forma de calcular la distancia total recorrida consiste en determinar primero el tiempo en el cual se obtiene la posición más pequeña, calcular esta y tomarla como referencia, aplicando el criterio de la segunda derivada para obtener un mínimo:
En este tiempo la posición es mínima
debido a que en t=4 la velocidad es de v(4)= - 4
y en t=6 la velocidad es de v(6)=4 (pasando de menos a más).
La posición en t=5 es de y la distancia recorrida
desde t=0 hasta t=5 es de 60-10=50cm. Como la posición en t=8 es de
; la distancia recorrida desde t=5, posición s(5)=10
hasta t=8, posición s(8)=28, es de (28-10)=18 por lo que la distancia total
tecorrida es de
S(total)=50+18=68cm. Resultado.
La gráfica que nos indica la posición de la partícula para cualquier tiempo, es la siguiente:
PROBEMA 1.3.4. La aceleración de una partícula se define por la relación: ; si la velocidad es de cuando el
tempo es cero, y de cuando el tiempo es de 2 segundos, determinar: a) el valor de la constante k ; b) expresar las ecuaciones de aceleración, velocidad y de posición, en función del tiempo.
a) Como se conocen dos velocidades y sus tiempos correspondientes, es
conveniente obtener el valor de la constante k mediante la relación:
; separando las variables e integrando con los límites
correspondientes: se obtiene
Resultado.
B) Resultado. Para obtener la ecuación de velocidad en función del tiempo:
Resultado.
Para obtener la ecuación de posición en función del tiempo:
Separando las variables e integrando con los límites adecuados para obtener la ecuación:
Quedando Resultado.
PROBLEMA 1.3.5. Se deja caer una piedra dentro de un pozo que contiene
agua, si el sonido del choque de la piedra con el agua tarda en escucharse 2
segundos, encuentra la profundidad de pozo hasta el nivel del agua.
La velocidad del sonido es de .
Paso 1. El tiempo que tarda el sonido en llegar hasta el observador, es el tiempo
que tarda la piedra en bajar más el tiempo que tarda el sonido en subir .
Por lo que el tiempo que tarda en escucharse el sonido, es:
Ahora se deben relacionar las ecuaciones del movimiento de ambos en función
del tiempo, y de la distancia que es común. Paso 2. La velocidad del sonido es
la ecuación del movimiento de la piedra que contiene tiempo y
distancia, es 3) Como la distancia es la misma, despejando la
distancia de la ecuación de movimiento del sonido y sustituyéndola en la
ecuación del movimiento de la piedra: ; sustituyendo en la
relación de tiempos se tiene: ;desarrollando el binomio:
; sustituyendo los valores de ; g=9.8 ;
se tiene: resolviendo la ecuación
, resulta:
Por lo que la profundidad del pozo es de
Resultado.
Si en la relación de tiempos se sustituyen los valores de :
arreglando la ecuación:
; desarrollando se tiene: ; la ecuación por resolver,
es: ; multiplicando la ecuación por
; sustituyendo los valores de :
; resolviendo se tiene: Resp.
El valor de la otra raíz, d=24933m, no cumple con la relación de tiempos.
PROBELMA 1.3.6.- Un automóvil parte de un punto "o" con aceleración constante de , un tiempo después se encuentra
con un camión que se mueve en sentido contrario con velocidad constante de . Si el camión pasa por el punto "o" 20 segundos después de haber partido de ahí el auto. Determinar cuándo y dónde ambos vehículos se encontraron.
Paso 1. La distancia que recorre el camión en función del tiempo, es
Paso 2. La distancia que recorre el auto en función del tiempo, es
Paso 3. Como el camión tarda 20 segundos en llegar al punto "o" de partida del
auto, es decir, en el instante en que partió el auto el camión se encontraba 20
segundos alejado, o sea, a una distancia de . Por lo que
para el camión, el punto del encuentro medido a partir del punto "o" hasta el
punto uno, que en la figura se indica como el punto uno, será:
Paso 4. El tiempo que tardan ambos en encontrarse es el mismo. Para el auto,
la distancia que recorre hasta el punto de encuentro es también la distancia
; sustituyendo se tiene:
; resolviendo se tiene: t=11.37 segundos, que es
el tiempo que tardan ambos en encontrarse. Por lo que el punto del encuentro
medido a partir del punto"o" , que es la distancia
es : ; con la fórmula de la distancia del
auto: Resp.
Gráfica que nos indica el lugar y el tiempo del encuentro a partir del origen, punto "o":
PROBLEMA 1.3.7. El auto B se encuentra en reposo cuando pasa el auto A con una velocidad constante de , 5 segundos
después el auto B arranca con una aceleración constante de . Determinar el tiempo y la distancia en ocurre el alcance.
Paso 1. La distancia que recorren ambos autos hasta el punto del encuentro, es la misma,
Paso 2. El tiempo transcurrido hasta el encuentro es diferente para cada auto
debido a que el auto A le lleva una ventaja de 5 segundos al auto B. Por lo que
en el encuentro: .
Paso 3. La distancia que recorre el auto A, es
.
Paso 4. La distancia que recorre el auto B, es:
Paso 5. Igualando las distancias: ; sustituyendo el valor
de
Se tiene: ; ; resolviendo, se
tiene:
que es el tiempo que tarda el auto B en alcanzar al auto A. Para el
auto A, el tiempo del encuentro es La distancia recorrida
hasta el encuentro: ; o bién:
Resultado.
PROBLEMA 1.3.8.- El auto A se mueve con velocidad constante de y el auto B lleva una velocidad constante de
cuando se encuentran 500 metros separados entre sí. ¿A qué distancia medida a partir del punto "o" ocurre el encuentro?
Paso 1. La distancia que recorre el auto A es: ; Paso 2. La distancia
que recorre el auto B es:
Paso 3. En el encuentro, la distancia que recorre cada uno de los autos es:
Paso 4. Sustituyendo las distancias de cada auto: ; que es
equivalente a: Paso 5. En el punto de encuentro, el
tiempo empleado por cada auto es el mismo, por lo que la ecuación anterior se
puede escribir como: ; despejando el tiempo se tiene:
que es el tiempo que tarda cada auto en encontrarse.
Paso 6. En el punto de encuentro, la distancia que recorre el auto A, es de
;y la distancia que recorr el auto B, es de
; por lo que el encuentro medido a partir del punto "o"
es de 300m ;
que es la distancia que recorre el auto A.
PROBLEMA 1.3.9.-Una pelota se deja caer desde cierta altura, y cuando le faltan 10 metros para llegar al suelo, su velocidad es de ¿Desde qué altura se dejó caer?
Paso1. La ecuación de movimiento que es más conveniente, es ; como el
objeto parte del reposo, por lo que la ecuación queda como:
; aplicando esta ecuación entre las posiciones A y B,
resulta:
Resultado.
Paso 2. Resolviendo el problema de otra
forma. Obteniendo el tiempo que tarda en llegar a la posición B: ; como
queda ;
que es el tiempo que tarda en llegar a la posición B, y la distancia
que desciende en este tiempo,es:
.
Por lo que la altura total es de Resultado
PROBLEMA 1.3.10.- El movimiento de una partícula se define por la relación
donde S se expresa en metros y t en segundos. Calcular la posición, la
velocidad y la aceleración cuando t=4seg.
Paso 1. Para calcula la posición cuando t=4 seg. se sustituye directamente:
Resp.
Paso 2. Para calcular la velocidad de la partícula cuando t=4 seg, se deriva y se sustituye el tiempo:
Resp.
Paso 3. Para calcular la aceleración se deriva la ecuación de velocidad:
Resp.
Gráfica de la posición:
Gráfica de la velocidad:
Gráfica de la aceleración:
PROBLEMA 1.3.11.- El movimiento de una partícula se define por la relación donde S se expresa en metros y t en segundos. Calcular la posición, el tiempo y la aceleración cuando la velocidad sea cero.
Paso 1. Primero se determina en qué tiempo la velocidad es cero:
Paso 2. La posición de la partícula para éstos dos tiempos, es:
Resp.
Paso 3. La aceleración de la partícula para éstos dos tiempos, es:
Resp.
Gráfica de la posición:
Gráfica de la velocidad:
Gráfica de la aceleración:
PROBLEMA 1.3.12.- El movimiento de una partícula se define por la relación donde S se expresa en metros y t en segundos. Determinar: a) en qué tiempo la velocidad es cero; b) la posición y la distancia total recorrida cuando t=6 segundos.
Paso 1. Determinar primero el tiempo en el cual la velocidad es cero:
Resp.
Paso 2. La posición de la partícula cuando t=6 seg. es:
Resp.
Paso 3. Para determinar la distancia total recorrida es muy importante tomar en
cuenta la posición que tiene la partícula en el momento en que la velocidad es
cero, es decir en t=2 seg. ya que en este tipo de movimiento, puede significar
que la partícula después de detenerse se mueve en dirección contraria, o que
continúe en la misma dirección, pero es mejor asegurarnos:
Posición.
Paso 4. Para determinar la distancia total, por la expresión dada sabemos que
en t=0 la posición es:S=40m ; por las posiciones encontradas sabemos que: en
t=0, S=40m ; en t=2 seg, S=20m; en t=6 seg, S=100m; Por lo que en los
primeros 2 segundos recorrió 20m, pasando de la posición 40 a la posición 20,
y en los restantes 4 segundos recorrió 80m, pasando de la posición 20 a la
posición 100, por lo que la distancia total recorrida es de 100m, es este caso
fué una coincidencia el hecho de que la distancia total fuera igual que la posición
en t=6 seg. Resp.
Gráfica de la posición:
Gráfica de la velocidad:
PROBLEMA 1.3.13.- El movimiento de una partícula se define por la relación donde S se expresa en
metros y t en segundos. Determinar: a) la distancia total recorrida cuando la aceleración es cero, b) el tiempo en el cual la velocidad es cero.
Paso 1. Primero determinamos el tiempo en el cual la velocidad es cero:
Resp.
La partícula se detiene dos veces.
Paso 2. Calculamos ahora el tiempo en el cual la aceleración es cero:
6t-10=0 ; t=1.66 seg.
Paso 3. Calculamos la posición cuando t=1.66 seg:
Paso 4. Son posiciones importantes en las cuales la partícula tiene velocidad
cero, por lo que determinamos éstas posiciones:
Paso 5. Para determinar la distancia total recorrida cuando la aceleración es
cero, que es en t=1.66 seg, debemos ubicar las posiciones de la partícula
desde t=0 hasta t=1.66 seg:
Por lo que la distancia total recorrida es :
Resp.
Gráfica de la posicción:
Gráfica de la velocidad:
PROBLEMA 1.3.14.- La aceleración de una partícula se define por la relación ; si en el instante en que el tiempo
es cero, la velocidad es de y la posición es de cero; determinar la velocidad, la posición y la distancia total recorrida
cuando el tiempo sea de 4 segundos.
Paso 1. Vamos a obtener una ecuación sencilla, que nos relacione aeleración, tiempo y posición:
Ecuación de velocidad. La
velocidad cuando t=4 seg, es: Resp.
Paso 2. La ecuación de posición es: sustituyendo la ecuación de velocidad, se tiene:
Ec. de posición.
La posición cuando t=4 , es:
Paso 3. Para determinar la distancia total recorrida, debemos de ubicar la posición de la partícula cuando la velocidad es cero, debido a que después de detenerse puede haber un cambio en la dirección de su movimiento, por lo que se debe obtener dicho
tiempo. De la ecuación de velocidad: -5t+4=0 ; . La posición de la partícula para t=0.8seg. la calculamos de
la ecuación de posición:
La distancia total recorrida es : Resp.
Gráfica de la posición:
Gráfica de la velocidad:
Paso 1. Vamos a obtener una ecuación sencilla, que nos relacione aeleración, tiempo y posición:
Ecuación de velocidad. La
velocidad cuando t=4 seg, es:
Resp.
Paso 2. La ecuación de posición es: sustituyendo la ecuación de velocidad, se tiene:
Ec. de posición.
La posición cuando t=4 , es:
Paso 3. Para determinar la distancia total recorrida, debemos de ubicar la
posición de la partícula cuando la velocidad es cero, debido a que después de
detenerse puede haber un cambio en la dirección de su movimiento, por lo que
se debe obtener dicho tiempo. De la ecuación de velocidad: -5t+4=0 ;
. La posición de la partícula para t=0.8seg. la calculamos de la
ecuación de posición:
La distancia total recorrida es :
Resp.
Gráfica de la posición:
Gráfica de la velocidad:
PROBLEMA 1.3.15.- La aceleración de una partícula se define por la relación expresando la posición en metros
y el tiempo en segundos. Si la partícula inicia el movimiento desde el reposo y en la posición S=12m, determinar: a) el tiempo y la posición cuando la velocidad es cero de nuevo; b) la posición, la velocidad y la distancia total recorrida cuando t= 6 seg.
Paso 1. Obtenemos la ecuación de velocidad :
Los límites cumplen con la condición
dada. Ecuación de velocidad.
Paso 2. Obtendremos ahora el tiempo para v=0:
tiempo para velocidad cero. Resp.
Paso 3. Obtenemos la ecuación de posición tomando en cuenta las condiciones
dadas:
Ecuación de posición.
Paso 4. Posición para t=3seg: Resp.
Pso 5. La velocidad cuando t=6seg: Resp.
Paso 6. La posición cuando t=6seg.: Resp.
Paso .7 Para calcular la distancia total recorrida, es conveniente tomar en cuenta
la posición de la partícula cuando la velocidad es cero de nuevo, ya que
posteriormente puede iniciar el movimiento en dirección contraria, por lo que es
mejor asegurarnos, y si no ocurre así, entonces se realiza simplemente un cálculo más.
Distancia total recorrida cuando t=6seg. :
Resp.
Gráfica de la posición:
Gráfica de la velocidad:
Gráfica de la aceleración:
PROBLEMA 1.3.16.- Un automóvil recorre 1000 metros en 30 segundos, con una aceleración constante de
Determinar: a) su velocidad inicial y su velocidad final; b) la distancia recorrida en los primeros 8 segundos.
Paso 1. Obtener una ecuación de movimiento que involucre a las condiciones dadas:
; considerando que , se sustituye en la
ecuación: ; Ecuación
de la distancia para cualquier tiempo. En los problemas de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la posición S es igual a la distancia recorrida para el mismo tiempo considerado.
Paso 2. Sustituyendo las condiciones dadas en la ecuación anterior:
resulta: Resp.
Paso 3. La velocidad final al cabo de los 30 segundos, es :
Resp.
Paso 4. La distancia recorrida en los primeros 8 segundos:
con lo cual se obtiene: Resp.
Gráfica de la velocidad:
Gráfica de la velocidad:
PROBLEMA 1.3.17.- Desde un objeto que es sacado de un pozo con la velocidad constante de , se deja caer una piedra
esta llega al fondo en un tiempo de 1.2 segundos. Determina: a) la altura desde la cual se dejó caer la piedra; b) la velocidad con la cual llegó al fondo.
Paso 1. Como la piedra y el objeto llevaban una velocidad de hacia arriba
en el momento en que se soltó la piedra, puede considerarse que al momento
de desjare caer la piedra, esta llevaba una velocidad de dirigida hacia
arriba y que puede considerarse como velocidad negativa, y positiva la
aceleración de la gravedad hacia abajo, por lo que sustituyendo valores en la
ecuación se tiene:
altura desde donde se dejó caer la piedra. Resp.
Paso 2. Si se supone que la piedra en el instante de ser soltada, por llevar una
velocidad de continúa moviéndose hacia arriba hasta llegar al reposo y
luego iniciar la caída libre, alcanzando la velocidad de hacia abajo al pasar
por el punto desde donde se soltó. Entonces se debe calcular la altura
alcanzada y el tiempo empleado, y posteriormente calcular la altura que
desciende.
Paso 3. Altura alcanzada hasta llegar a detenerse:
Siendo S= 0.07m la altura alcanzada en su movimiento hacia arriba, y el tiempo
empleado, es:
Como el tiempo de subida es igual
al tiempo de bajada hasta llegar al punto de partida, desde donde se soltó la
piedra, por lo que el tiempo empleado es de 0.40 seg y la piedra lleva una
velocidad de en su movimiento hacia abajo.
Paso 4. Calcular ahora, la distancia que desciende partiendo del reposo, desde
la altura alcanzada,con los siguientes valores:
Resp.
Gráfica de la velocidad con respecto al tiempo:
Gráfica de la velocidad con respecto a la distancia:
PROBLEMA 1.3.18.- Un automóvil lleva una velocidad de en el instante en que un semáforo situado a 100m enfrente, cambia a luz roja y esta dura 8 segundos. Si se desea cruzar el semáforo sin hacer alto, calcular la desaceleración que se requiere y la velocidad del auto cuando cruza el semáforo.
Paso 1. Se disponen de 8 seg para recorrer 100m con una velocidad inicial de
por lo que la desaceleración requerida es de:
Resp.
Paso 2. La velocidad con la cual el auto cruza el semáforo, es:
Resp.
Gráfica de la aceleración:
Gráfica de la aceleración:
Gráfica de la velocidad:
Gráfica de la velocidad con respecto a la distancia:
PROBLEMA 1.3.19.-Un montacarga desciende en un pozo con una velocidad constante , cuando golpea a una piedra y la desprende, la cual inicia su caída con velocidad inicial cero.a) Demostrar que la piedra en el instante en que alcanza al
motacarga lleva una velocidad relativa de magnitud . b) Si la velocidad del montacarga es de , qué distancia recorre la piedra para alcanzar al montacarga y en qué tiempo.
Paso 1. La distancia que recorre el montacarga, es:
Paso 2. La distancia que recorre la piedra, es:
Paso 3. En el momento del encuentro, las distancias de ambos son iguales: ;
por lo que, igualando: ; también se tiene que en el
encuentro, los tiempos son iguales, por lo que simplificando:
es el tiempo en encontrarse.
Paso 4. La velocidad de la piedra en el momento del encuentro, es:
sustituyendo el tiempo de encuentro:
; con lo que resulta que en el encuentro, la velocidad de
la piedra es dos veces la velocidad del montacargas:
Paso 5. La velocidad relativa de la piedra con respecto al mantacarga
( ) es : ; sustiuyendo se tiene: ; con
lo que resulta que la velocidad relativa de la piedra con respecto al
montacarga es igual a la velocidad del montacarga: Resp.
Paso 6. Si el tiempo del encuentro, es de
Resp.
Paso 7. La distancia recorrida hasta encontrarse es de
;que es la misma que
Resp.
Gráfica de la posición:
Gráfica de la velocidad:
PROBLEMA 1.3.20.- Los automóviles A y B viajan por vías paralelas y en la misma dirección. El auto A lleva una velocidad constante de ; el auto B que se encuentra en reposo, parte 8 segundos después de haber sido rebasado por el auto A,
con una aceleración constante de . Determinar el tiempo, la distancia y la velocidad con la cual el auto B en alcanza al
auto A.
Paso 1. La distancia que recorre el auto A :
Paso 2. La distancia que recorre el auto B:
Paso 3. En el encuentro, la distancia recorrida es igual para ambos autos. Pero
en el encuentro, el tiempo del auto B es simplemente , y el tiempo del auto A,
es el tiempo del auto B más 8 segundos; esto es:
Por lo que, en el encuentro : ; igualando distancias :
; sustituyendo valores: ; sustituyendo
; despejando a :
Resp.Tiempo que tarda el auto B en alcanzar al auto A.
El tiempo que hace el auto A, es de 23.24 seg.
Paso 4. La distancia que recorre el auto B hasta el encuentro, es de
Resp.
Que es la misma distancia que recorre el auto A:
Paso 5. La velocidad del auto B en el encuentro, es de:
= Resp.
Gráfica de la velocidad con respecto a la distancia:
Gráfica de la distancia:
PROBLEMA 1.3.21.- El ascensor A de la figura desciende con una velocidad constante de Determinar: a) la velocidad del
cable C; b) la velocidad del contrapeso P; c) la velocidad relativa del cable C conrespecto al ascensor; d) la velocidad relativa del contrapeso P con respecto al ascensor A.
Paso 1. Si se soltaran dos metros del cable C, es decir, el
ascensor A se movería un metro hacia abajo, o sea: por lo que la
relación de éstos desplazamientos es de ; y la relación de
velocidades es: ; por lo que si la velocidad del ascensor es de ,
entonces la velocidad del cable C es de Resp. 2) Si el ascensor A baja
1m, entonces el contrapeso P sube 1m. Por lo que la relación de éstos
desplazamientos es de ; y la relación de velocidades es de .
Por lo tanto, si la velocidad del ascensor es de ; entonces la velocidad del
contrapeso es de Resp.
Paso 2. Velocidad relativa del cable con respecto al ascensor= .
Considerar positiva la velocidad en el sentido del movimiento hacia abajo; por lo
que ;
Resp. Esta velocidad significa que si un
observador se colocara en un ponto del cable C, sentiría alejarse del ascensor
con una velocidad de dirigida hacia arriba en el sentido negativo. Ahora,
si un observador se colocara en el ascensor A, sentiría alejarse de un punto del
cable C, con una velocidad de dirigida hacia abajo en el sentido positivo;
esto es, velocidad relativa del ascensor A con respecto al cable C :
Paso 3. La velocidad relativa del contrapeso P con respecto al ascensor A :
Resp. Esto significa que si un observador se
colocara en el contrapeso P, sentiría alejarse del ascensor con una velocidad de
dirigida hacia arriba en el sentido negativo.
Paso 1. Si se soltaran dos metros del cable C, es decir, el ascensor A
se movería un metro hacia abajo, o sea: por lo que la relación de éstos
desplazamientos es de ; y la relación de velocidades es: ;
por lo que si la velocidad del ascensor es de , entonces la velocidad del
cable C es de Resp. 2) Si el ascensor A baja 1m, entonces el
contrapeso P sube 1m. Por lo que la relación de éstos desplazamientos es de
; y la relación de velocidades es de . Por lo tanto, si la
velocidad del ascensor es de ; entonces la velocidad del contrapeso es
de Resp.
Paso 2. Velocidad relativa del cable con respecto al ascensor= .
Considerar positiva la velocidad en el sentido del movimiento hacia abajo; por lo
que ;
Resp. Esta velocidad significa que si un
observador se colocara en un ponto del cable C, sentiría alejarse del ascensor
con una velocidad de dirigida hacia arriba en el sentido negativo. Ahora,
si un observador se colocara en el ascensor A, sentiría alejarse de un punto del
cable C, con una velocidad de dirigida hacia abajo en el sentido positivo;
esto es, velocidad relativa del ascensor A con respecto al cable C :
Paso 3. La velocidad relativa del contrapeso P con respecto al ascensor A :
Resp. Esto significa que si un observador se
colocara en el contrapeso P, sentiría alejarse del ascensor con una velocidad de
dirigida hacia arriba en el sentido negativo.
PROBLEMA 1.3.22.-El ascensor A de la figura, parte del reposo y sube con aceleración constante. Si un punto del cable C recorre 12m en 4 seg. Determinar a) las aceleraciones del cable C y del ascensor A. b) La velocidad del ascensor al cabo de los 4 segundos.
Paso 1. La relación de desplazamientos entre el cable C y el ascensor A, es:
; que significa que si el ascensor sube un metro, un punto del cable C
baja 2 metros; y la relación de velocidades es:
; la relación de aceleraciones, es:
Pso 2. Como se parte del reposo, el desplazamiento de un punto del cable C, es
Resp. Aceleración de un punto del
cable C.
Paso 3. La aceleración del ascensor, es:
Resp.
Paso 4. La velocidad de un punto del cable C, a los 4 seg, es de:
Resp.
Paso 5. La velocidad del ascensor a los 4 seg. es de:
Resp.
PROBLEMA 1.3.23.- El bloque A se desliza hacia la izquierda con una velocidad constante de . Determinar: a) la
velocidad del bloque B; b) la velocidad de los puntos de las porciones de cuerdas C y D.
Paso 1. Si el bloque A se mantiene fijo y el bloque B se mueve dos metros hacia
la izquierda, las porciones de cuerda C, D y E, se a aflojarían dos metros cada
una, dando una longitud de cuerda de 6 metros, y para voverlas a tensar el
bloque A de debe de mover 3 metros hacia la izquierda debido a que los 6
metros de cuerda se deben distribuir en las porciones de cuerda C y D,
permitiendo que el bloque A se mueva 3 metros hacia la izquierda.
Por lo que la relación de desplazamiento entre los bloques A y B, es de
entonces ; o sea: ; entonces ; y como
consecuencia:
La relación de velocidades, es:
Paso 2. Como la velocidad del bloque A es de , la velocidad del bloque B
es de: Resp.
Paso 3. Suponiendo de nuevo que el bloque A permanece fijo y que el bloque B
se mueve un metro hacia la izquierda, las porciones de las cuerdas C, D, y E
quedarían flojas un metro cada una, dando un longitud total de cuerda floja de
3m, permitiendo que el bloque A avance 1.5m hacia la izquierda; esto es:
moviendo el bloque A hacia la izquierda lo necesario para que las porciones de
cuerda se tensen de nuevo, un punto de la porción E se mueve 1m hacia la
derecha, un punto de la porción C se mueve 1m hacia la izquierda, y un punto de
la porción D se mueve 2m hacia la izquierda debido a que proporciona 1m que
aflojó mas 1m que acumuló de la porción E ; por lo anterior, se concluye que:
si ; ; con lo cual la relación de
desplazamientos es:
como se tiene
que:
Paso 4. La relación de velocidades, es:
Por lo que las velocidades pedidas, son: Resp.